CILINDRO - FÓRMULAS

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Cilindro
Celso do Rozário Brasil
		
EXERCÍCIOS EXTRAÍDOS DO LIVRO: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR, VOLUME 10
(494) Calcule a área lateral, a área total e o volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo:
(a) Cilindro equilátero
	
	
(b) Cilindro reto
	
	
(c) Semicilindro reto
	
	(i) Área lateral do semicilindro = Metade da área lateral + Área do retângulo ABCD:
	
(ii) Área total = Metade da área total do semicilindro + Área do retângulo ABCD:
(495) Represente através de expressões algébricas a área lateral, a área total e o volume dos cilindros cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo:
(a) Cilindro equilátero
	
	(i) Área lateral
 
(ii) Área total
(iii) Volume: 
(b) Cilindro reto
	
	(i) Área lateral
(ii) Área total
(iii) Volume
(c) Semicilindro reto
	
	(i) Área lateral do semicilindro = Metade da área lateral + Área do retângulo ABCD:
	
	
(ii) Área total = Metade da área total do semicilindro + Área do retângulo ABCD:
(iii) Volume
	(496) Calcule o volume do cilindro oblíquo da figura ao lado em função de “g”.
	
Solução:
	
	No triângulo retângulo ABC, temos:
	Área da base (Sb):
	Volume do Cilindro:
(497) A área lateral de um cilindro de revolução de 10 cm de raio é igual à área da base. Calcule a altura do cilindro.
Solução
(i) A área lateral do cilindro é dada por:
(498) Calcule a medida da área lateral de um cilindro circular reto, sabendo que o raio da base mede 4 cm e a geratriz 10 cm.
Solução
r = 4 cm
g = h = 10 cm
(499) O raio de um cilindro circular reto mede 3 cm e a altura 3 cm. Determine a área lateral desse cilindro.
Solução
r = 3 cm
h = 3 cm
(500) Determine o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral de um cilindro equilátero de raio r.
Solução:
r = raio do círculo
Área do círculo = Área lateral do cilindro
(501) Demonstre que, se a altura de um cilindro reto é a metade do raio da base, a área lateral é igual à área da base.
(i) Devemos ter: 
Pelo enunciado: 
 
(502) Um cilindro tem 2,7 cm de altura e 0,4 cm de raio da base. Calcule a diferença entre a área lateral e a área da base.
Solução:
h = 2,7 cm
r = 0,4 cm
	(i) Área Lateral ():
	(ii) Área da Base (Sb):
	(iii) Diferença entre a área lateral e a 
Área da base:
(503) Qual a altura de um reservatório cilíndrico, sendo 150 m o raio da base e sua área lateral?
Solução:
h =?
r = 150 m
SL = 
Solução:
h = 8 m
Diâmetro = 2 m
Raio = 1 m
(Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada,o volume do cilindro:
a) é reduzido em 50%
b) aumenta em 50%
c) permanece o mesmo
d) é reduzido em 25%
Solução
	
	(i) Volume do cilindro original:
	
	
	(ii) Volume do cilindro modificado:
Resposta: (A) O volume do cone original é reduzido em 50%
(ESPCEX 2017) O valor da altura de um cilindro reto de raio R, cujo volume é a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2 é:
Solução:
Cujo volume é igual a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2.
Vamos calcular o volume de 1
O sólido 1 é um tronco de cilindro.
Considere um cilindro qualquer de altura “a”
(UEL) Dois recipientes cilíndricos têm altura de 40 cm e raios da base medindo 10 cm e 5 cm. O maior deles contém água até 1/5 de sua capacidade. Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h, de:
(a) 32 cm (b) 24 cm (c) 16 cm (d) 12 cm (e) 10 cm
Solução
1º vamos descobrir a quantidade de água no recipiente maior.
O volume/capacidade de um cilindro é: V = ABh
AB: área da base
h: altura do cilindro
Então, o volume do cilindro com raio de 10 cm é π(10)2.40 cm3
O volume de água é 1/5 do volume do recipiente, portanto a quantidade de água é π(10)2.8 cm3
O volume que a água, ou outro líquido, ocupa em um recipiente cilíndrico é: Vl = ABhl
AB: área da base do cilindro
hl: altura do líquido
Vl é π(10)2.8 cm3.
A área da base do cilindro menor é π(5)2.
h nós queremos
π(10)2.8 = π(5)2.h
h = 32 cm
Resposta (a)
(FMP 2017) A figura mostra um retângulo ABCD cujos lados medem 7 cm e 3 cm. Um cilindro será formado girando-se o retângulo ABCD em torno da reta definida pelo seu lado AB.
A medida do volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é mais próxima de
a) 750
b) 441
c) 63
d) 126
e) 190
Solução
A medida do volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é mais próxima de: 
O cilindro gerado ao girarmos AB ter raio 3 cm e altura 7 cm
O volume de um cilindro é: V = ABh
AB: área da base
h: altura do cilindro
Portanto, o volume do cilindro será
π(3)2.7, considerando π = 3
189 cm3
Resposta (e)
(FAMEMA 2017) Um cilindro circular reto A, com raio da base igual a 6 cm e altura H, possui a mesma área lateral que um cilindro circular reto B, com raio da base r e altura h, conforme mostram as figuras.
Sabendo que h/H = 1,2 e que o volume do cilindro B é 240π cm3, é correto afirmar que a diferença entre os volumes dos cilindros é:
a) 50π cm3
b) 42π cm3
c) 45π cm3
d) 48π cm3
e) 37π cm3
Solução
O que a questão quer é |VA -VB|
O volume de um cilindro é: V = ABh
AB: área da base
h: altura do cilindro
Portanto, o volume de A é
VA = π62H
VA = 36πH
O volume de B é VB = πr2h
Assim sendo, |VA -VB| = |36πH -πr2h|
Note que em nenhuma das opções aparece H ou h, então nós precisamos tirá-los da equação.
A questão deu que as áreas laterais são iguais.
A área lateral de um cilindro circular reto é: al = c.h
c: comprimento da base
h: altura do cilindro
Considere:
AA: área lateral do cilindro de raio 6 cm
AB: área lateral do cilindro de raio desconhecido
Então
AA = 2π6H
AB = 2πrh
Segundo a questão AA = AB, sendo assim
2π6H = 2πrh
6H = rh
A questão também deu que  
Portanto h = 1,2H, substituindo h na equação acima temos
6H = r(1,2H)
r = 5 cm
Sabemos também que o volume de B, VB, é 240π, portanto:
Lembrando que h = 1,2H, temos então:
Resposta (d)
(EEAR) Um cilindro circular reto, de altura igual a 2/3 do raio da base e de 12π cm2 de área lateral, possui raio da base igual a _______ cm.
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
Solução
Raio r
Altura 2r/3
A área lateral de um cilindro é: Al = 2πrh
r: raio da base
Segundo a questão a área lateral é 12π cm2, portanto
12π = 2πrh
12π = 2πr(2r/3)
6 = 2r2/3
18 = 2r2
9 = r2
r = ± 3
Como o raio não pode ser negativo, então r = 3
Resposta (c)
(Unesp) Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a capacidade desse tonel, em litros é:
a) 200
b) 300
c) 400
d) 500
e) 800
Solução
Pelos dados da questão, devemos ter:
Segundo a questão, o vinho ocupa a metade da capacidade do tonel, portanto:
O volume de um líquido em um cilíndrico é: v = ABha
AB: área da base do cilindro, neste caso o tonel
ha: altura do líquido no cilindro
Assim sendo, o volume de vinho no tonel é vv = ABha   (eq2)
Após tirar 40 L a altura do vinho cai 20%, logo:
Se a altura caiu 20%, então a altura final será 80% ou 0,8 da altura inicial:
Resposta (c)
(FATEC) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6 m e raio da base 3 m. O nível da água nele contida está a 2/3 da altura do tanque. Se π = 3,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:
a) 113 040
b) 169 560
c) 56 520
d) 37 680
e) 56 520
Solução
Devemos ter:
Segundo a questão “O nível da água nele contida está a 2/3 da altura do tanque”, então a altura da água é 4 metros:
O volume de um líquido em um cilíndrico é: v = ABha
AB: área da base do cilindro
ha: altura do líquido no cilindro
A área da base do cilindro é π32
A altura da água é 4.
Assim sendo:
v = π32.4
v = 113,04 m3 ou 113.040 L
Resposta (a)
(FAAP) Sabendo-se que uma lata de azeite cilíndrica tem 8 cm de diâmetro e 18,5 cm de altura e ainda que nela vem marcado o conteúdo 900 ml, o volume de ar contido na lata "cheia" e"fechada" é: (Adote π = 3,14)
(a) 29,44 ml (b) 10,0 ml (c) 15,60 ml (d) 21,72 ml (e) 35,50 ml
Solução
Devemos ter:
volume do conteúdo + volume de ar na lata = volume da lata
A lata tem uma forma de cilindro.
O volume de um cilindro é: V = ABh
AB: área da base
h: altura do cilindro
A área da base é Sb = π42, se π = 3,14, então, a área da base é Sb= 50,24 cm²
A altura é 18,5 cm.
Portanto o volume da lata é: VL=50,24 x 18,5 = 929,44 cm³ ou 929,44 ml
Finalmente
900 + volume de ar na lata = 929,44
volume de ar na lata = 29,44 ml
Resposta (a)
(Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro:
a) é reduzido em 50%
b) aumenta em 50%
c) permanece o mesmo
d) é reduzido em 25%
Solução
O volume de um cilindro é: v = Abh
Ab: área da base
h: altura
A base de um cilindro é uma circunferência, logo sua área é π. r2 e seu volume inicial será vi = π. r2h
O raio é então reduzido pela metade e a altura é duplicada, assim:
Resposta (a)
(Enem 2010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10, 00 e tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a:
(a) R$ 230, 40 b) R$ 124, 00 (c) R$ 104, 16 (d) R$ 54, 56 (e) R$ 49, 60.
Solução
Devemos ter:
Sua lateral será envolvida com concreto de 20 cm (0,2 m) de espessura gerando assim um cilindro de concreto de raio 1,2 m e 4 m de altura:
O volume de concreto utilizado é o volume do cilindro maior (feito de concreto) - o volume do cilindro menor.
Sabendo que o volume de um cilindro é: v = Abh
Ab: área da base
h: altura
O volume do cilindro menor é:
vm = 
vm = 3,1. 12. 4
vm = 12,4 m3
O volume do maior é
vM = 
vM = 3,1.(1,2)2. 4
vM = 17,856 m3
Logo a quantidade de concreto utilizada foi q = vM - vm 17,856   -12,4 q = 5,456 m3
Através de uma regra de três simples, temos:
Se 1 m3 custa R$ 10,00, então 5,456 m3 custam x
1 ----------- 10
5,456 ------ x
x = 5,456 . 10
x = R$ 54,56
Resposta (d)
(UPF - 2017) Um tonel está com 30% da sua capacidade preenchida por um certo combustível. Sabendo que esse tonel tem diâmetro de 60 cm e altura de 600/π cm, a quantidade de combustível contida nesse tonel, em litros, é:
(a) 1,62 (b) 16,2 (c) 162 (d) 180 (e) 162.000
Solução
O tonel tem a forma de um cilindro.
O volume de um cilindro é: V = ABh
AB: área da base
h: altura do cilindro
A área da base do tonel é
Sb = πr2, sendo: r = 30 cm, portanto:
Sb = π302
Sb = 900 π cm²
O volume do cilindro será
V = Sb.h
Como apenas 30% da capacidade do tonel foi utilizada, então a quantidade de combustível armazenada é de:
Resposta (c)
(Enem 2010) O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado.
Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de (considere π ≅ 3 )
(a) R$86,40 (b) R$21,60 (c) R$8,64 (d) R$7,20 (e) 1,80
Solução
Sabemos que cada família paga R$ 2,50 por metro cúbico utilizado.
Uma família utiliza 12 vezes a capacidade total do kit.
Qual a capacidade total do kit ?
O kit é formado por seis tambores cilíndricos, cada tambor tem 1 metro de altura e 0,2 metro de raio.
O volume de um cilindro é: V = ABh
AB: área da base
h: altura do cilindro
Então, o volume de um tambor é:
π(0,2)2 .1
0,12 m3
Como o kit tem 6 tambores, o seu volume total será:
 6.0,12 0,72 m3
A família utiliza 12 vezes a capacidade total do kit, então:
Volume consumido = 12.0,72 = 8,64 m3
Se a família paga R$ 2,50 por metro cúbico utilizado, quanto ela pagou nos 8,64 m3?
2,5 ----------- 1
x ----------- 8,64
x = 2,5.8,64
x = R$ 21,6
Resposta (b)
	
	
	
	
(Enem 2015) Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.
A medida da altura desconhecida vale
(a) 8 cm (b) 10 cm (c) 16 cm (d) 20 cm (e) 40 cm.
Solução
O volume de um cilindro é: V = ABh
AB: área da base
h: altura do cilindro
Portanto, o volume do cilindro V1 é π62.4
O volume do cilindro V2 é π32.h
Segundo a questão “a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2 ” portanto
V1 = 1,6V2
π62.4 = 1,6(π32.h)
h = 10 cm
Resposta (b)
(Ita) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em m², vale:
Solução
1º o cilindro de revolução é o cilindro obtido ao girarmos um retângulo em torno de um eixo
O raio mede 1,5 m e a altura é h
A área da base do cilindro é π(1,5)2
Mas o que é essa “secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro” ?
Imagine um plano que corta um cilindro bem no meio, isto é a secção
a área dela é 3h
A área total do cilindro é Al +2AB
Al: área lateral
AB: área de uma base
A área lateral de um cilindro é: Al = 2πrh
E a área da base, que é uma circunferência, é: AB = πr2
Nas duas equações acima r é o raio da base.
Portanto, a área total do cilindro é 2π.1,5h +2(π(1,5)2)   (eq1)
Precisamos descobrir h.
Segundo a questão “a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro”, assim sendo
Resposta (b)
Considere uma chapa retangular de ferro cuja área é 150 cm² e a altura mede 15 cm. Juntando as duas alturas e soldando dois círculos que se ajustavam ao molde, obteve-se um cilindro. O volume desse solido é (em cm³):
(a) 345π (b) 355 π (c) 365π (d) 375π (e) 385π
Solução
As dimensões da chapa são:
A área da chapa vale:
Sc = 150π cm²
15.x = 150π
x = 10π cm
10 cm é o comprimento da circunferência quando a chapa é dobrada. Logo:
Volume do cilindro:
Resposta (d)
Em um cilindro de altura 10 cm e cuja base circunscreve um quadrado de lado , a área total e o volume valem, respectivamente:
(a) 100 cm²; 230 cm³
(b) 120cm²; 150 cm³
(c) 150
(d) 250
(e) 140
Solução
Devemos ter:
Como á área da base circunscreve um quadrado de lado , devemos ter:
Note que a diagonal do quadrado (D) vale duas vezes o valor do raio do círculo:
A área da base vale:
A área total vale:
O volume do cilindro vale:
Resposta (c)
(UNEB-BA) A razão entre o volume de um cilindro de raio r e altura 2r e o volume de um cubo de aresta igual a altura do cilindro é:
Solução
(UFG-GO) Um pedaço de cano, de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno, encontra-se na posição vertical e possui a parte inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água:
(a) ultrapassa o meio do cano;
(b) transborda;
(c) não chega ao meio do cano;
(d) enche o cano até a borda;
(e) atinge exatamente o meio do cano
Solução
Solução
Solução
Solução
Solução
(CEFET – PR) O recipiente da figura a seguir é composto por dois cilindros circulares retos de mesmo eixo e com bases inferiores no mesmo plano. Com uma vazão de 9 litros/min, uma torneira é aberta por 15 min, despejando água no cilindro interno que, quando cheio, deixa escapar a água, que passa a ser armazenada pelo cilindro externo até uma altura H de:
(a) 75 cm (b) 100 cm (c) 112,5cm (d) 125 cm (e) 137,5 cm
Considere: 3
Solução
(i) A altura do cone menor é 1,5 m = 15 dm
(ii) O raio do cone menor vale: 10 cm = 1 dm e o raio do cone maior vale: 20 cm = 2 dm
(iii) Volume do cone interno:
(iv) A vazão da torneira é de 9 litros/min. Assim sendo:
9 litros....................1 minuto
 x.........................15 minutos
(v) O volume do cone externo é:
 (i)
(vi) Note que em 15 minutos o volume total de água foi de 135 dm³, porém, a capacidade do cilindro interno é de 45 m³. O excedente passou para o cilindro externo. Logo:
(vii) Fazendo (i) = (ii), temos:
12h = 90
Resposta (a)
Uma cidade tem um reservatório de água, no formato de um cilindro circular reto, com capacidade para 50 m³. A administração municipal, preocupada com o crescimento populacional, construiu outro reservatório, de modo que o raio da base e a altura fossem o dobro do anterior. Nessas condições, a capacidade do novo reservatório, em m³, é igual a:
(a) 100 (b) 200 (c) 300 (d) 400 (e) 500
Solução
(i) Volume do reservatório original = 50 m³
 (i)
(ii) Volume do novo reservatório:
(iii) Substituindo (i) em (ii), temos:
A caixa d’água de um prédio público tem a forma de um cilindro reto de diâmetro d = 3,2 m e altura h = 4 m. Então, assumindo-se a aproximação π = 3, a capacidade dessa caixa d’água será de
1. a) 3072 L.
2. b) 12288 L.
3. c) 30720 L.
4. d) 48080 L.
Um tanque, na forma de um cilindro circular reto, com 1,5 metros de altura e área da base igual a 12m² é utilizado em uma indústria para lavar peças de aço. O tanque estava com 9 m³ de água no momento em que foram colocadas dentro dele algumas peças para serem lavadas, as quais ficaram totalmente submersas. Depois de colocadas as peças, verificou-se que o nível da água no tanque subiu 50 cm. Neste caso, o volume do material que foi colocado no tanque para ser lavado foi de
1. a) 3m³
2. b) 6m³
3. c) 12m³
4. d) 18m
Um tanque, na forma de um cilindro circular reto, com 1,5 metros de altura e área da base igual a 12m2 é utilizado em uma indústria para lavar peças de aço. O tanque estava com 9 m3 de água no momento em que foram colocadas dentro dele algumas peças para serem lavadas, as quais ficaram totalmente submersas. Depois de colocadas as peças, verificou-se que o nível da água no tanque subiu 50 cm. Neste caso, o volume do material que foi colocado no tanque para ser lavado foi de 
1. a) 3m3
2. b) 6m3
3. c) 12m3
4. d) 18m3
Diariamente nos deparamos com objetos que têm a forma de um cilindro reto. Admita que a área da base e a altura de um desses objetos sejam respectivamente iguais a 10,36 cm2 e 20,4 cm. O volume desse cilindro, em cm3 , é igual a:
1. a) (10,36) x (20,4)2
2. b) (10,36)2 x (20,4)
3. c) (10,36)2 x (20,4)2
4. d) (10,36) x (20,4)
Um professor de Matemática do IFMS levou para a sala de aula um cilindro e uma bola, perfeitamente acondicionada no cilindro. Admitindo-se que o cilindro é equilátero, de volume 30π m³ e encontra-se circunscrito à esfera, o volume dessa esfera é:
1. a) 15π m³.
2. b) 18π m³.
3. c) 20π m³.
4. d) 24π m³.
Um barril com a forma de um cilindro circular reto com 60 cm de diâmetro e 1 m de altura tem, aproximadamente, a capacidade de
1. a) 210 litros.
2. b) 280 litros.
3. c) 320 litros.
4. d) 400 litros.
Para inscrever um cilindro circular reto, de volume máximo,  em  um  cone  de  24  cm  de  altura  e  8  cm  de  raio  da  base,   deve‐se avaliar a  função V(r) =  3πr²(8 − r), 0 ≤ r ≤  8. Nesse caso, o volume máximo é igual a kπ/9, em que K vale
1. a) 211.
2. b) 210.
3. c) 28 .
4. d) 23 .
Dois cilindros circulares retos, C1 e C2, têm raio da base r e R , respectivamente. As áreas de suas superfícies laterais são iguais.
A razão entre os volumes de C1 e de C2 , nesta ordem, é:
1. a) 1
2. b) 1/2
3. c) r/R
4. d) R/r.
No projeto de uma caixa d’água, com formato de um cilindro reto, o raio interno teve que aumentar 20% e a altura diminuir 10% em relação ao projeto original.
É correto afirmar que a capacidade desse novo cilindro em relação ao original
1. a) aumentou aproximadamente 8%.
2. b) aumentou aproximadamente 10%.
3. c) aumentou aproximadamente 30%.
4. d) diminuiu aproximadamente 9%.
Solução
V. cinlindro Vci = (πr²) × h
V. cone Vco = (πr²h) ÷ 3
V. semiesfera Vs = (4πr³) ÷ 6 = (2πr³) ÷ 3
Assim temos:
V(S₁) = πr²h ÷ 3 + 2πr³ ÷ 3 = πr² ÷ 3 × (h + 2r)
V(S₂) = πr² × h - 2πr³ ÷ 3 = πr²÷ 3 × (3h - 2r)
Após realizar os cálculos observamos que o volume de S₁ é maior que o volume de S₂ para quais que valores de altura e de raio.
A resposta correta é a alternativa A
	
	
	
	Celso Brasil	Geometria espacial
	2