7 - Probabilidade

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PROBABILIDADE 
 Cálculos que permitem quantificar as chances de ocorrer um determinado resultado em um 
experimento. 
 
Espaço amostral 
 Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório, ou seja, número de 
casos possíveis de o experimento ocorrer, sendo que em alguns casos será inviável descrever, um 
a um, todos os resultados possíveis. É indicado pela letra grega Ω (lê-se “ômega”). 
Exemplos 
1. Suponha que um dado seja lançado duas vezes, sucessivamente, e seja observada a sequência 
de números obtidos nas faces voltadas para cima. Descreva o espaço amostral desse experimento. 
Solução: 
Pelo P.F.C. temos que o número de resultados possíveis de ocorrer nesse experimento é 
6 ∙ 6 = 36 
2. Resultado do sorteio dos números da Mega-Sena. 
Solução: 
𝐶60,6 =
60!
(60 − 6)! 6!
= 50.063.860 
 
Evento 
Cada um dos subconjuntos do espaço amostral, ou seja, cada uma das possibilidades de 
resultado recebe o nome de evento. 
Exemplo: Uma caixa contém 20 bolas, de mesmo peso e tamanho, numeradas de 1 a 20. Uma 
pessoa, com os olhos vendados retira uma bola dessa caixa. 
 Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. 
Construindo subconjuntos alguns desse espaço temos: 
 A) A bola sorteada contém um múltiplo de 4: {4, 8, 12, 16, 20}. 
 B) A bola sorteada contém um número formado por dois algarismos: {10, 11, 12, 13, 14, 15, 
16, 17, 18, 19, 20} 
 C) A bola sorteada contém um número primo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 
 D) A bola sorteada contém um número natural não nulo menor ou igual a 20: [1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} 
 E) A bola sorteada contém um número formado por três algarismos: { } 
 
Observações: 
 Quando o evento coincide com o espaço amostral ele é chamado de evento certo (é o caso 
do evento D do exemplo). 
 Quando o evento é o conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível (é o caso do 
evento E do exemplo). 
 Quando todos os eventos do espaço têm a mesma chance de ocorrer dizemos que o espaço 
amostral é equiprovável. 
Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis 
 A probabilidade de ocorrer um determinado evento em um espaço amostral equiprovável é 
dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis (casos que nos interessam) e o número 
de casos possíveis (total de casos). Ou seja: 
𝒑(𝑬) =
𝒓
𝒌
 = 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑬
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 Ω
=
𝒏(𝑬)
𝒏(Ω)
 
Exemplos: 
1. uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a 
probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11? 
Solução: 
Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}  15 elementos 
Evento: o número da bola sorteada é maior ou igual a 11: {11, 12, 13, 14, 15}  5 elementos 
Assim: 𝑝(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
5
15
=
1
3
= 33,3% 
2. Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual é a probabilidade de ocorrer 5 no primeiro 
lançamento e um número par no segundo? 
Solução 
Como vimos, pelo P.F.C. temos que o número de resultados possíveis de ocorrer nesse 
experimento é 6 ∙ 6 = 36. 
O evento que nos interessa é E = {(5,2), (5,4), (5,6)}  3 elementos 
Assim: 𝑝(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
3
36
=
1
12
= 8,3% 
3. De um baralho comum, com 52 cartas, extraímos, ao acaso, uma carta. Qual é a probabilidade 
de não sair um ás? 
Solução: 
Espaço amostral: 52 cartas do baralho 
O baralho possui 4 ás (ás de copas, ás de paus, ás de ouros, ás de espadas), então nosso 
evento possui 48 elementos (52 – 4). 
Assim: 𝑝(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
48
52
=
12
13
= 92,3% 
 
4. Um ônibus de excursão com 20 brasileiros e 6 estrangeiros é parado pela Polícia Federal de Foz 
do Iguaçu para vistoria de bagagem. O funcionário escolhe, ao acaso, três passageiros para terem 
as malas revistadas. Qual é a probabilidade de que todos sejam brasileiros? 
Solução: 
Espaço amostral: é formado por todos os grupos de 3 passageiros quaisquer que podemos 
formar com 26 turistas. Temos, então, 𝑛(Ω) = 𝐶26,3 = 2600. 
O evento E que nos interessa é formado pelos grupos de 3 turistas brasileiros que podemos 
formar. Desse modo, 𝑛(𝐸) = 𝐶20,3 = 1140. 
Assim: 𝑝(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
1140
2600
= 43,8% 
 
5. Em um estado brasileiro, todas as placas de automóveis são formadas por 3 letras (entre as 26 
do alfabeto) e 4 algarismos e começam pela letra M. Uma placa será confeccionada completamente 
ao acaso. Qual é a probabilidade de que ela seja formada por letras distintas e algarismos também 
distintos? 
Solução: 
Espaço amostral: O número de possibilidades de composição da placa pode ser calculado pelo 
P.F.C.: 1 ∙ 26 ∙ 26 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 262 ∙ 104 
Evento: Vamos determinar, usando o P.F.C., o número de elementos de E: “a placa tem letras e 
algarismos distintos”. Temos: 1 ∙ 
Assim, a probabilidade pedida é: 𝑝(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
=
25∙24∙10∙9∙8∙7
26∙26∙10∙10∙10∙10
= 47,7% 
 
Probabilidade da união de dois eventos 
 Sejam 𝐴 e 𝐵 eventos de um mesmo espaço amostral finito, não vazio e equiprovável. 
Consideremos dois casos: 
 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅  𝐴 e 𝐵 são chamados eventos mutuamente exclusivos. 
Neste caso, a expressão para a probabilidade de ocorrer o evento 𝐴 ou o evento 𝐵, isto é, a 
probabilidade da ocorrência do evento 𝐴 ∪ 𝐵 é dada por: 
𝒑(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒑(𝑨) + 𝒑(𝑩) 
 𝑨 ∩ 𝑩 ≠ ∅ 
Neste caso, a expressão para a probabilidade de ocorrer o evento 𝐴 ou o evento 𝐵, isto é, a 
probabilidade da ocorrência do evento 𝐴 ∪ 𝐵 é dada por: 
𝒑(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒑(𝑨) + 𝒑(𝑩) − 𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) 
 
Exemplos: 
1. Ao lançarmos um dado qual a probabilidade de que o número obtido na face superior seja 
múltiplo de 3 ou de 4? 
Solução: 
Espaço amostral: 6 
Evento de A (múltiplos de 3): {3, 6} = 2 elementos → 𝑝(𝐴) =
2
6
 
Evento de B (múltiplos de 4): {4} = 1 elemento → 𝑝(𝐵) =
1
6
 
Logo: 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) =
2
6
 + 
1
6
=
3
6
= 50% 
2. Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25 e uma delas será extraída ao acaso. Qual a 
probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3? 
Solução: 
Espaço amostral: 25 
Evento de A (múltiplos de 2): {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24} = 12 elementos → 𝑝(𝐴) =
12
25
 
Evento de B (múltiplos de 3): {3,6,9,12,15,18,21,24} = 8 elementos → 𝑝(𝐵) =
8
25
 
𝐴 ∩ 𝐵 = {6,12,18,24} = 4 elementos→ 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
4
25
 
Logo: 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) =
12
25
 + 
8
25
−
4
25
=
16
25
= 64% 
 
 
 
 
Probabilidade condicional 
 São os casos em que se deseja calcular a probabilidade de ocorrência de um 
determinado evento 𝐴, que depende de um evento 𝐵 já ocorrido, ou seja, o fato de ter ocorrido o 
evento 𝐵 altera a probabilidade de ocorrer o evento 𝐴. Sua notação é 𝑝(𝐴|𝐵). 
 Neste caso, para realizar os cálculos, reduz-se o espaço amostral e se calculam as 
probabilidades nesse novo espaço. 
Exemplo: Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Sabendo que a soma dos pontos 
obtidos é menor que 6, qual é a probabilidade de que em ao menos um lançamento apareça a face 
com o número 2? 
Solução: 
Espaço amostral inicial = 6 x 6 = 36 
Espaço amostral reduzido (casos em que a soma dos pontos obtidos é menor que 6): 
 {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3,1), (3, 2), (4,1)} → número de elementos = 10. 
Eventos (contém o número 2): {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)} → número de elementos = 5. 
Assim a probabilidade pedida é 
5
10
=
1
2
= 50% 
 
Probabilidade da interseção de dois eventos 
 A expressão para se calcular a probabilidade de ocorrer a interseção dos eventos 𝐴 e 
𝐵 (ocorrência simultânea de 𝐴 e 𝐵), ou seja, 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵), é dada por: 
𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒑(𝑨) ∙ 𝒑(𝑩) 
Observação: Quando se tem dois eventos distintos é preciso verificar se o fato de ter ocorrido o 
evento A altera a probabilidade de ocorrer o evento B. Os casos em que o fato de ter ocorrido o 
evento B não altera a probabilidadede ocorrer o evento A são chamados eventos independentes. 
Exemplos: 
1. Em um cesto de roupas há 10 meias, das quais três estão rasgadas. Retirando-se uma meia do 
cesto duas vezes consecutivas e sem reposição, qual é a probabilidade de que as duas meias 
retiradas não estejam rasgadas? 
Solução: 
1ª Retirada 
Espaço amostral: 10 meias no total 
Evento: 7 meias não estão rasgadas 
𝑝(𝐴) =
7
10
 
 
 
2ª Retirada 
Espaço amostral: 9 meias (10 menos 1 que 
já foi retirada) 
Evento: 6 meias não rasgadas (7 menos 1 
que já foi retirada) 
𝑝(𝐴) =
6
9
 
Portanto: 
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
7
10
 ∙ 
6
9
=
42
90
=
7
15
= 4,67% 
 
2. Um dado é lançado e o número obtido é registrado. Em seguida, uma moeda é lançada e o 
resultado obtido em sua face também é registrado. Qual é a probabilidade de obtermos o número 
5 e coroa? 
 
Solução 
Probabilidade de sair o número 5  𝑝(𝐴) =
1
6
 
Probabilidade de sair coroa  𝑝(𝐵) =
1
2
 
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
6
 ∙ 
1
2
=
1
12
= 8,3% 
3. Duas cartas, de um baralho de 52, são extraídas sucessivamente. Qual é a probabilidade de 
saírem duas cartas de copas, se a extração é feita: 
a) Sem reposição? 
b) Com reposição? 
Solução: 
a) 
1ª extração: 
Espaço amostral: 52 cartas ao total 
Evento: 13 cartas de copas 
𝑝(𝐴) =
13
52
 
2ª extração: 
Espaço amostral: 51 cartas (52 que haviam 
menos 1 que foi retirada na 1ª extração) 
Evento: 12 cartas de copas (13 que haviam 
menos 1 que foi retirada na 1ª extração) 
𝑝(𝐵) =
12
51
 
Portanto: 
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
13
52
 ∙ 
12
51
=
156
2652
=
1
17
= 5,9% 
b) 
1ª extração: 
Espaço amostral: 52 cartas ao total 
Evento: 13 cartas de copas 
𝑝(𝐴) =
13
52
 
2ª extração: 
Espaço amostral: 52 cartas ao total 
Evento: 13 cartas de copas 
𝑝(𝐵) =
13
52
 
Portanto: 
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
13
52
 ∙ 
13
52
=
169
2704
=
1
16
= 6,25%