calculo-diferencial-integral-II-compactado

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL II
Prof. Me. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
Reitor
Márcio Mesquita Serva
Vice-reitora
Profª. Regina Lúcia Ottaiano Losasso Serva
Pró-Reitor Acadêmico
Prof. José Roberto Marques de Castro
Pró-reitora de Pesquisa, Pós-graduação e Ação Comunitária
Profª. Drª. Fernanda Mesquita Serva
Pró-reitor Administrativo
Marco Antonio Teixeira
Direção do Núcleo de Educação a Distância
Paulo Pardo
Coordenadora Pedagógica do Curso
Verona Ferreira Marinho
Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico
B42 Design
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que é de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem autorização. A 
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Universidade de Marília 
Avenida Hygino Muzzy Filho, 1001 
CEP 17.525–902- Marília-SP
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G915b Sobrenome, Nome autor
Titulo Disciplina [livro eletrônico] / Nome completo autor. - 
Marília: Unimar, 2020.
PDF (XXX p.) : il. color.
ISBN XXX-XX-XXXXX-XX-X
1. palavra 2. palavra 3. palavra 4. palavra 5. palavra 6.
palavra 7. palavra 8. palavra I. Título.
CDD – 610.6952017
Introdução
Olá, aluno!
Talvez você já deva ter tido contato comigo por meio da disciplina de Cálculo
DIferencial e Integral I e já esteja familiarizado em como eu gosto de fazer as aulas, mas
mesmo assim leia a introdução inteira porque terá partes destinadas a você também.
Para o aluno me entender melhor e por consequência fazer bom proveito das
informações que estão aqui contidas vou compartilhar um pouco de meus
entendimentos pessoais sobre o estudo de maneira geral.
A graduação universitária ao meu ver é uma chave de um castelo. Como assim?
Existem inúmeros castelos, o castelo da engenharia civil, o castelo da pedagogia, o
castelo da medicina, o castelo da história, o castelo da economia, o castelo da biologia e
por aí vai. E independentemente do motivo pelo qual pessoas querem entrar em
alguns desses castelos, a entrada exige dedicação, estudo, prática e, de maneira geral,
esforço.
O que eu quero dizer é que se você for pegar um livro sozinho de física quântica, por
exemplo, dificilmente você irá compreendê-lo. É necessário, portanto, para
compreender o livro, a chave do castelo da física.
É nesse contexto que este livro que você está lendo agora entra. Aqui, eu tentei deixar
as coisas o mais simples possível para que a partir daqui você consiga entender
quaisquer livro de cálculo do mesmo nível.
Dito tudo isso, entra a questão principal agora. Como fazer um bom uso deste livro que
escrevi para vocês? Simples, em cada aula você encontrará um tema, este tema será
abordado aqui da maneira mais simples objetiva e fácil que eu conseguir. Portanto, leia
a aula, assista o vídeo, faça e refaça os exercícios mencionados aqui tu estará
preparado para uma leitura aprofundada a respeito do tema. Portanto para ter
domínio do conteúdo você terá que abrir qualquer uma das bibliografias indicadas aqui
ou até mesmo de sua escolha após o estudo da aula. A minha aula será portanto uma
chave para você conseguir entrar nos livros de Cálculo Diferencial e Integral que
existem por aí. Pegue esta chave que eu estou te dando e faça bom uso. Vá além!
3
005 Aula 01:
013 Aula 02:
020 Aula 03:
029 Aula 04:
037 Aula 05:
046 Aula 06:
055 Aula 07:
063 Aula 08:
070 Aula 09:
076 Aula 10:
082 Aula 11:
089 Aula 12:
096 Aula 13:
102 Aula 14:
108 Aula 15:
113 Aula 16:
Diferencial 
Antiderivação 
Área 
Integral Definida I 
Integral Definida II 
Função de Mais de uma Variável 
Limites de uma Função de Mais de uma Variável 
Derivadas Parciais 
Regra da Cadeia e Derivadas de Ordem Superior 
Integral Dupla 
Integral Dupla II 
Integral Dupla em Coordenadas Polares 
Equações Diferenciais I 
Equações Diferenciais II 
Equações Diferenciais de Maior Ordem 
Extra
01
Diferencial
Leia com Atenção
Antes de começar o texto em si, vamos falar um pouco sobre as fontes. Como você já
deve imaginar, eu sou muito novo para ter inventado tudo o que está aqui. Assim
como você, eu tive que aprender por meio de apostilas e principalmente livros.
Tudo o que está aqui foi baseado nos meus estudos com os livros que indicarei a
vocês neste item. Alguns exemplos, exercícios e didáticas foram adaptados por mim. É
claro que dei meu toque a respeito da maneira de ensinar.
Independentemente do livro de cálculo que preferir para complementar seu estudo
estará em boas mãos, pois no fim todos chegaram às mesmas conclusões.
Aqui está a lista que usei como referência para desenvolver esta apostila, fiquem à
vontade para estudar um ou mais deles também. Também existem outros livros além
desta lista, não acharei ruim caso use outros, o importante é aprender. Aqui vai a
minha lista. A referência bibliográfica está no final desta apostila.
O cálculo com geometria analítica – vol 1 e vol 2 - Louis Leithold
Cálculo A: funções, limite, derivação, integração – Diva Marília Flemming e Mirian
Buss Gonçalves
Um Curso de Cálculo – vol 1, vol 2 e vol 3 – Hamilton Luiz Guidorizzi
Cálculo – vol 1 e vol 2 – James Stewart
A referência bibliográfica está no final desta apostila. “Professor, qual livro o senhor
gosta mais?” Eu particularmente gosto do primeiro, O Cálculo com Geometria
Analítica. Tanto o volume um como o dois. Inclusive encontrará referências diretas
dele aqui. Isto não significa que você não possa escolher outro como a sua principal
referência.
O que é a Diferencial?
Se você está lendo este livro, significa que já compreende algumas questões a
respeito do cálculo. Já vimos até aqui conjuntos numéricos, funções, limites e
derivadas. A partir de agora, vamos avançar em questões mais profundas a respeito
6
Figura 1 - Gráfico de uma função qualquer com a representação de um f(x) e f(x+Δx)
qualquer.
Fonte: Próprio autor.
da disciplina.
Devemos lembrar que tudo o que será dito aqui parte do pressuposto que já domina
os conceitos apresentados em Cálculo Diferencial e Integral 1.
Começaremos falando a respeito do conceito de diferencial e nas próximas aulas
iremos dar continuidade a suas ramificações.Começaremos aqui com o conceito de
derivada. A função abaixo representa a derivada.
Podemos escrever ela de outra forma visto que f(x+Δx) - f(x) = Δy. Por extenso significa
que o delta y é uma variação. Na Figura 1 vemos a representação de x, f(x), x+Δx e
f(x+Δx).
lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x)
Δx
Agora, voltando aos conceitos de derivada, podemos reescrever a equação da
seguinte maneira.
7
Percebam que quando pensamos em intervalos numéricos Δx será um valor
extremamente pequeno e por consequência Δy também o será. A conclusão aqui é
que dado um   Δx suficientemente pequeno podemos escrever a seguinte equação
f’(x)Δx Δy.
Se a função f for definida por y = f(x), então a diferencial de y, escrita como Δy será
dada pela equação a seguir.
Devemos lembrar que x está no domínio de de f’ e Δx é um incremento extremamente
pequeno e arbitrário de x.
Podemos ir além. Se f for definida por y = f(x), então a diferencial de x, escrita como dx
será dada pela equação a seguir.
A consequência de pensarmos em valores pequenos de Δx e Δy nos possibilita
escrever a seguinte equação.
Agora, expressamos a derivada como uma divisão e poderemos como consequência
fazer operações com o numerador e denominador da fração. Isto é   possível por
causa das definições acima, em que levamos em consideração valores
suficientemente pequenos.
f ′ (x) = lim
Δx→0
Δy
Δx
≈
dy = f ′ (x) Δx
dx = Δx
dy = f ′ (x) dx
= f ′ (x)
dy
dx
8
Testando o Conceito de
Diferencial
Iremos verificar o que estudamos acima de maneira teórica por meio da aplicação
prática dos conceitos. Usaremos a função a seguir.
Para a função dada vamos usar o ponto x=1 e os incrementos Δx = 0,1;Δx= 0,01 e  Δx=
0,001 para estudar o que acontece com Δy, dy e Δy-dy.
O primeiro passo é nos perguntarmos “ O que é Δy?”
Substituindo em f(x) = 3x² teremos.
Para achar os valores de Δy basta substituir o x=1 e os Δx=0,1; Δx=0,01 e por fim
Δx=0,001.
O segundo passo é fazer o cálculo de dy. Lembrando que Δx = dx
O terceiro passo é fazer o cálculo de  Δy-dy.
O quarto passo é fazer a tabela com as respostas.
f(x) = 3x2
Δy = f (x + Δx) − f (x)
Δy = 3(x + Δx)
2
− 3x2
Δy = 3 (x2 + 2xΔx + Δx2) − 3x2
Δy = 3x2 + 6xΔx + 3Δx2 − 3x2
Δy = 6xΔx + 3Δx2
dy = f ′ (x) dx
dy = 6xdx
Δy − dy = 6xΔx + 3Δx2 − 6xdx
9
Tabela 1 - Resultados obtidos com a substituição dos respectivos valores de x e Δx
Fonte: Próprio autor.
x  Δx Δy dy Δy-dy
1 0,1 0,63 0,60 0,03
1 0,01 0,0603 0,0600 0,0003
1 0,001 0,006003 0,006000 0,000003
Qual a conclusão?
Podemos perceber que quanto menor o valor de  Δx mais próximo Δy e dy se tornam.
Verificando dessa forma, podemos fazer a aproximação da derivada pela divisão de
dy/dx, dando para nós a possibilidade de operar tanto com o numerador como com o
denominador da fração.
Prática
Imagine uma bexiga perfeitamente circular cheia de ar em que a parte contendo o ar
possui um raio de 4 centímetros. A espessura do plástico da bexiga é de 1/16
centímetros na situação em que ela se encontra. Ache apenas o volume do plástico da
bexiga.
Na matemática, o volume de uma esfera é dado por 4/3πr³, portanto, o volume da
parte com ar vale.
Queremos trabalhar com um incremento pequeno de raio e, para isso, aplicamos.
V olume = πr3
4
3
= f ′ (x)
dy
dx
10
No caso acima, estamos falando de volume. Portanto, teremos:
Substituindo r=4 e dr = 1/16, teremos.
Portanto, o volume do plástico da bexiga perfeitamente circular quando está cheia de
ar formando um raio interno de 4cm vale 12,57cm³.
dy = f ′ (x) dx
dV = V ′ (r) dr
dV = 4πr2dr
dV = 4π42
1
16
dV = 4π = 12, 57cm3
Vimos nesta aula a aplicação do diferencial no exemplo da bexiga. Agora,
busque outras aplicações do diferencial e comente elas com seus colegas.
Lembre-se que da para fazer a aplicação do diferencial de maneira fácil com
qualquer função do tipo f(x). No caso da bexiga era V(r).
Antes de ir atrás de mais exemplos, pense na área de um quadrado que é
dada por Área=L² (sendo L o lado do quadrado). Não daria para
descobrirmos pequenos incrementos da área do mesmo jeito que fizemos
com o exemplo da bexiga?
11
Repita em seu caderno o item 1.2 (O que é a Diferencial?) e item 1.3
(Testando o Conceito de Diferencial) para ficar craque em termos de
raciocínio.
Acesse o link: Disponível aqui
Está aqui o link do meu canal, onde pretendo explicar mais detalhes sobre o
conteúdo de cálculo.
12
https://www.youtube.com/channel/UCwGJad_6B6E1sNLH49ih81A
02
Antiderivação
Olá, alunos!
Tratamos até agora da operação chamada derivada. Se ela é uma operação, assim
como as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação, será que podemos pensar em uma operação inversa a ela?
Sim. Assim como a subtração é a operação inversa da soma, a divisão é a operação
inversa da multiplicação e a radiciação é a operação inversa da potenciação, podemos
começar a falar aqui de antiderivada.
Definição da Antiderivada
Uma função F será chamada de antiderivada de uma função f em um determinado
intervalo se F’(x) = f(x) para todo x neste intervalo.
Não compreendeu? Então vamos a um exemplo prático.
Dado:
Se existir uma função chamada f(x) = 4x, podemos portanto chamar F(x) de
antiderivada de f(x).
Se tivermos outra função dada por:
G(x) também será uma antiderivada de f(x), mesmo neste caso onde G(x) ≠F(x).
A conclusão é que toda função com o formato abaixo é uma antiderivada de f(x).
F (x) = 2x2 + 3
F
′ (x) = 4x
G (x) = 2x2 − 20
G
′ (x) = 4x
14
Sendo que C é uma constante qualquer. Vamos agora formalizar nosso teorema.
Se f e g forem duas funções, tais que f’(x) = g’(x) para todo x em um determinado
intervalo, então haverá uma constante K que fará com que a equação abaixo seja
validada.
A prova deste teorema pode ser feita da seguinte maneira.
Dado:
Se f’(x) = g’(x) então h’(x) = 0.
Se h’(x) = 0 a antiderivada de h’(x) será dada por h(x) = K, onde K é uma constante
qualquer.
Finalmente, substituindo na equação h(x) = f(x) - g(x) chegaremos a K = f(x) - g(x).
Dessa forma, comprovamos o teorema acima.
Portanto, a antiderivação é o processo de encontrar o conjunto de todas as
antiderivadas de uma dada função. O símbolo da antidiferenciação é   e escrevemos a
operação da seguinte forma.
Neste caso F’(x) = f(x) e portanto:
2x2 + C
f (x) = g (x) + K
h (x) = f (x) + g (x)
h′ (x) = f ′ (x) + g′ (x)
f (x) = g (x) + K
∫
∫ f (x) dx = F (x) + C
d (F (x)) = f (x) dx
= f (x)
d (F (x))
dx
15
Teoremas
Você já deve ter percebido que a antiderivação de uma função é feita pensando na
derivada que a originou. Usaremos aqui de uma certa intuição embasada.
O primeiro teorema será dado pela sentença abaixo.
Qual é a derivada da função f(x) = x + 2 ou f(x) = x - 50 ? A resposta é f’(x) = 1. Portanto
a sentença está correta.
O segundo teorema será dado próxima sentença.
Qual a derivada da função f(x) =3x ? A resposta é f’(x) = 3. A + c.
Agora que já entendeu como funciona, vamos para os próximos teoremas que serão
listados abaixo. A dica aqui é recorde de Cálculo Diferencial e Integral I as derivadas
básicas que naturalmente você entenderá os teoremas. Lembrando que as funções
mostradas a seguir estão definidas no mesmo intervalo.
A antidiferenciação  da soma é igual a soma das antidiferenciação.
Quando temos constantes acompanhando a função, as antidiferenciações são
separadas, porém cada uma com sua respectiva constante
, neste caso n deve ser diferente de -1.
∫ dx = x + C
∫ af (x) dx = a ∫ f (x) dx
∫ 3dx = 3 ∫ dx = 3x
∫ [f (x) + g (x)] dx = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx
∫ [c1f1 (x) + c2f2 (x) +. . . +cnfn (x)] dx = ∫ c1f1 (x) dx+. . . + ∫ cnfn (x) dx
∫ xndx = + Cx
n+1
n+1
16
Neste caso, temos apenas o raciocínio inverso da derivada. Agora, vamos as
antiderivadas de funções trigonométricas. Sim, aqui vamos seguir a lógica de fazer a
conta inversa da derivada. Você poderá seguir a mesma dica das antiderivadas
apresentadas anteriormente, pegue lá de Cálculo Diferencial e Integral 1 quais são as
derivadas de seno, cosseno, tangente e por aí vai.
Com os teoremas apresentados, já podemos ir para o próximo item.
∫ sen (x) dx = − cos(x) + C
∫ cos (x) dx = sen (x) + C
∫ sec2 (x) dx = tg (x) + C
∫ cosec2 (x) dx = cotg (x) + C
∫ sec (x) tg (x) dx = sec (x) + C
∫ cosec (x) cotg (x) dx = −cosec (x) + C
Prática
Os primeiros dois exercícios serão apenas para treinarmos os teoremas
apresentados.
1) Faça a antiderivada das funções a seguir.
a. f(x) = 3x² +4x+2
b. g(x) = sen(x)
a. ∫ (3x2 + 4x + 2) dx = x3 + 2x2 + 2x + C
17
b. 
Para o próximo exercício, vamos contextualizar com a física.
2) Se a função da velocidade instantânea pelo tempo de uma partícula vale
v(t) = 3t²+t. Qual a função do espaço pelo tempo desta partícula sabendo que
no tempo t=0 segundos ela se encontra na posição s=0?
Resposta:
O primeiro passo aqui é fazer a antiderivada da função v(t).
Para encontrar C basta substituirmos a condição de contorno apresentada.
Portanto a função do espaço pelo tempo é dada por s(t)=t³+1/2t².
∫ sen (x) dx = − cos(x) + C
∫ (3t2 + t) dt = t3 + t2 + C
1
2
0 = 03 + 02 + C
1
2
0 = C
Vimos nesta aula o conceito de antiderivação e alguns de seus teoremas. No
segundo exercício apresentado temos a importância de termos uma
operação inversa a da derivação para descobrimos determinadas funções
que são importantes para o problema. Use os teoremas para praticar outros
exercícios que são facilmente encontrados em qualquer livro de cálculo.
Além disso, procure por problemas físicos em que podem ser aplicados o
conceito de derivada e antiderivada.
18
Repita em seu caderno os exercícios apresentados e crie novos. Para
conferir veja se a derivada da função encontrada é igual afunção que você
criou. É claro mantenha-se no nível apresentado nesta aula.
Acesse o link: Disponível aqui
Uma outra maneira de explicação.
19
https://www.infoescola.com/matematica/primitivas-de-funcoes/
03
Área
“Professor, por que ver área a esta altura do campeonato?”
Apesar de saber que você sabe o conceito de área e inclusive já deve ter calculado
várias delas, vamos aqui apresentar uma maneira diferente de entender o cálculo de
uma área.
“Professor, por que é importante saber esta outra maneira?”
Porque essa nova maneira nos possibilita calcular a área de objetos que apresentam
curvas que possuem formatos adversos daqueles que estamos acostumados.
“Professor, existe alguma utilização física para isso?”
Sim, a primeira é a mais intuitiva: olhe ao seu redor e veja que há muitos objetos que
possuem áreas e volumes diferentes daqueles que são clássicos, e muitas vezes a
indústria que os produz necessita saber exatamente qual o espaço que determinado
objeto ocupará. Tanto em termos de área como em termos de volume serão a
consequência do entendimento desta aula.
A outra possibilidade de aplicação deste conceito será a respeito do cálculo de áreas
em gráficos das mais variadas funções. Veremos que calcular a área abaixo de uma
curva em um gráfico de uma determinada função apresenta muitas vezes um
significado físico, e aprender a manipular esses significados assim como aprendemos
a manipular os resultados das derivadas é de extrema importância.
Somatória
Aqui, introduziremos o conceito de somatória. A representação de somatória será
dada pelo seguinte símbolo . Este símbolo indica que devemos fazer uma soma
respeitando algumas regras, é claro. Começaremos com um exemplo prático.
Não entendeu? Então vamos explicar. O símbolo acima está mandando somar a
parcela i² varias vezes.
∑
5
∑
i=1
i
2
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ 4
2
+ 5
2
21
E como sabemos quais números devemos substituir em i²? Os números serão
números do conjunto dos números inteiros.
Como eu sei em qual número começar e em qual acabar? A parte debaixo do símbolo
é onde começamos, e a parte de cima do símbolo é onde acabamos.
Portanto, realizaremos uma somatória de i² começando com i=1 e acabando com i=5
formando 1²+2²+3²+4²+5². Percebam que os números são aumentados de uma em
uma unidade.
Vamos para outros exemplos para você raciocinar.
A definição formal para o que apresentamos na prática é dada pela sentença abaixo.
As condições que devemos respeitar são: m e n devem ser números inteiros e .
É claro que vão existir alguns teoremas a respeito da manipulação dessas somatórias
para facilitar nossos cálculos. Os mais clássicos serão apresentados abaixo.
Neste caso, c é uma constante, e não temos i. Portanto, a somatória será uma parcela
só da constante vezes o valor de n.
1
∑
i=−2
(i + 1)2 = (−2 + 1)2 + (−1 + 1)2 + (0 + 1)2 + (1 + 1)2
n
∑
i=0
i = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+. . . +n
4
∑
i=1
= + + +
2
k
2
1
2
2
2
3
2
4
n
∑
i=m
f (i) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) +. . . +f (n − 1) + f (n)
m ≤ n
n
∑
i=1
c = cn
n
∑
i=1
cf (i) = c
n
∑
i=1
f (i)
22
Neste caso c é uma constante que multiplica uma função f(i). Portanto, podemos
retirar a constante da somatória e multiplicarmos ela só depois no resultado final.
Neste caso, há uma soma de funções. Portanto, podemos separar em duas
somatórias.
Esses dois casos nos mostram a possibilidade de manipular os índices e a função de
maneira a obtermos a mesma resposta.
Existem outros teoremas para facilitar nossa vida, porém, com o que vimos aqui já
estamos aptos a pensar no próximo item desta aula.
n
∑
i=1
[f (i) + g (i)] =
n
∑
i=1
f (i) +
n
∑
i=1
g (i)
b
∑
i=a
f (i) =
b+c
∑
i=a+c
f (i − c)
b
∑
i=a
f (i) =
b−c
∑
i=a−c
f (i + c)
Cálculo da Área
A primeira coisa que devemos deixar claro é que quando falamos de área no sentido
convencional nos referimos à uma superfície que pode apresentar 20cm², 1234mm²
e por aí vai. Além desse sentido, podemos falar em “medida da área” porque nem
sempre as unidades serão essas padrões mencionadas.
Vamos agora trabalhar na prática com a Figura 2.
23
Figura 2 - Gráfico da função x²
Fonte: Próprio autor.
Como podemos usar os conceitos discutidos até aqui para calcular a medida da área
que está representada na Figura 2?
Simples, basta dividirmos a região destacada em regiões menores e aplicarmos a
somatória das medidas das áreas em todas essas regiões. A somatória das pequenas
áreas será igual a área total. A questão é como fazer isso de forma inteligente usando
tudo o que vimos até agora desde o Cálculo Diferencial e Integral I.
24
Figura 3 - Divisão da região em retângulos de largura Δx
Fonte: Próprio autor.
Percebam pela Figura 3 que dividi a área abaixo da curva em retângulos de largura Δx.
Porém, se você fizer a somatória das áreas dos retângulos do jeito que está na Figura
3 o valor final vai ser menor do que a área real. Portanto, devemos dividir a área em
mais retângulos. Quanto maior o número de retângulos, menor o Δx será  e, portanto,
a área final calculada será muito próxima da área real.
E se fizermos Δx possuir um valor infinitamente pequeno? Se fizermos dessa forma,
chegaremos a resposta real da área. Escreveremos a baixo a fórmula final deste
raciocínio.
Para entendermos a fórmula acima vamos olhar para a Figura 4.
Área = lim
n→+∞
n
∑
i=1
f (ci) Δx
25
Figura 4 - Representação dos valores iniciais e finais no eixo x e representação do
valor funcional de cada retângulo
Fonte: Próprio autor.
O valor de Δx será Δx=(b-a)/n , ou seja, limite superior menos o limite inferior dividido
pelo número de retângulos que desejarmos. Para calcular a área de cada retângulo,
precisaremos saber a altura de cada um deles. Cada altura será representada por 
, , até . E agora tudo faz sentido, pois a área de um retângulo é dada
por lado vezes lado, um dos lados vai ser o Δx e o outro lado será o próprio valor da
função no ponto representada por .
f (c1) f (c2) f (cn)
f (ci)
26
Figura 5 - Região demarcada para o exercício
Fonte: Próprio autor.
Prática
Calcule a área representada na Figura 5 usando os conceitos desta aula.
Para este exercício da área, é possível calcular a área do jeito convencional. Área= 4x3
= 12 unidades².
Mas vamos pelo outro caminho só para que vocês vejam como ir de outra maneira.
Δx=(4-0)/n=4/n  ; f(x) = 3
, olhe nas propriedades de somatória apresentadas.
Área = lim
n→+∞
n
∑
i=1
f (ci) Δx
Área = lim
n→+∞
n
∑
i=1
3( )4
n
Área = lim
n→+∞
n
∑
i=1
(3)4n
27
, limite de uma constante é igual a própria constante.
Chegamos a mesma resposta. É claro que esse limite foi fácil de resolver porque a
função é extremamente fácil. Para outras funções, o processo de cálculo ficará bem
maior e você deverá recorrer a mais teoremas de somatória e de limites.
Área = lim
n→+∞
3n
4
n
Área = lim
n→+∞
4x3
Área = 12 unidades2
Refaça o exemplo feito nesta aula e compreenda cada um dos passos.
Sempre busque mais. Portanto abra outros livros que falam a respeito de
somatória e exercite os conceitos.
Acesse o link: Disponível aqui
Para complementar os estudos a respeito de somatório.
28
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-3/a/review-summation-notation
04
Integral 
Definida I
Figura 6 - Representação de um intervalo [a,b]
Fonte: Leithold, 2002.
Na aula passada, definimos a área de uma figura usando o conceito de limite pela
sentença abaixo.
Este limite apresentado acima é um caso particular da definição de integral definida
que vamos trabalhar nesta aula. Para isto, vamos generalizar este limite de uma
forma simplificada e didática.
Na Figura 6, temos a representação de um intervalo [a,b]. Repare que o intervalo foi
dividido de forma desigual, ou seja, as distâncias entre  os elementos são diferentes.
Área = lim
n→+∞
n
∑
i=1
f (ci) Δx
Seguindo o raciocínio, chamaremos as subdivisões de subintervalos e cada um deles
será dado por . O conjunto de todos esses subintervalos do do
intervalo [a,b]chamaremos de partição. Sendo assim, a partição Δ contém n
subintervalos.
O maior subintervalo dentro da partição  Δ será chamado de norma da partição e
seu símbolo será dado por .
Agora, escolhemos um ponto intermediário de cada subintervalo. Para cada um
desses pontos iremos adotar a seguinte notação . Para dar o exemplo, no primeiro
intervalo ficamos com .
Depois de definir tudo isso, fazemos a somatória de cada um deles, de maneira muito
similar ao desenvolvido na aula anterior.
Δix = xi − xi−1
∥Δ∥
εi
x0 ≤ ε1 ≤ x1
f (ε1) Δ1x + f (ε2) Δ2x+. . . +f (εn) Δnx
n
∑
i=1
f (εi) Δix
30
Figura 7 - Representação da soma de Riemann
Fonte: Leithold, 2002.
A somatória apresentada é conhecida como soma de Riemann. Dependendo da
divisão dos intervalos, a somatória acima poderá nos dar a área de uma função
qualquer em relação ao eixo x. A somatória acima fica mais clara quando observamos
a Figura 7, pois nela temos um exemplo de uma aplicação qualquer do nosso
raciocínio.
De maneira simplificada, se fizermos o limite da soma de Riemann com a norma da
partição tendendo a zero, teremos a definição da integral definida. Abaixo, teremos o
limite e logo a seguir a simbologia utilizada na integral definida.
É claro que existem algumas condições: o limite deve existir e a função deve ser
contínua no intervalo. O limite apresentado não é algo trivial de resolver, existem
casos fáceis, mas normalmente se exige um bom conhecimento na hora de trabalhar
com a somatória e o limite.
No próximo item, veremos maneiras fáceis de trabalhar com a integral definida.
lim
∥Δ∥→0
n
∑
i=1
f (εi)Δix
∫
b
a
f (x) dx = lim
∥Δ∥→0
n
∑
i=1
f (εi)Δix
31
Figura 8 - Representação da área equivalente
Fonte: Leithold, 2002.
Teorema do Valor Médio
O primeiro teorema que vamos comentar aqui é o teorema do valor médio. Ele diz
que em um intervalo [a,b] de uma determinada função poderemos encontrar um
retângulo equivalente a área dada pela . Para compreendermos melhor,
vamos olhar a Figura 8.
∫
b
a
f (x) dx
O teorema diz, portanto, que existe um número x, representado por f(X) sobre o qual
é formado um retângulo do ponto a até o ponto b que possui a mesma área da
própria integral naquele intervalo.
∫
b
a
f (x) dx = f (x) (b − a)
32
Teoremas Fundamentais do
Cálculo
O primeiro teorema fundamental do cálculo pode ser descrito pelas expressões
abaixo.
Nas expressões acima, devemos entender que a função f é contínua no intervalo [a,b]
e o valor de x é qualquer número em [a,b].
O segundo teorema fundamental do cálculo nos diz que se temos duas funções f e g
tal que as expressões abaixo sejam válidas para todo x no intervalo [a,b] podemos
simplificar a integral usando a segunda expressão.
Dessa forma, não precisaremos resolver os limites  do zero. Podemos aplicar direto a
expressão acima, pois ela nos dará a mesma resposta do limite da somatória.
Caso estejam interessados no passo a passo de cada definição dada nesta aula, vocês
poderão encontrá las nos itens 5.7 e 5.8 do livro “O cálculo com geometria analitica”
de Louis Leithold. A referência está no final deste livro.
F (x) = ∫
x
a
f (t) dt
F ′ (x) = f (x)
g′ (x) = f (x)
∫
b
a
f (t) dt = g (b) − g (a)
33
Prática
Para fixar o procedimento, vamos resolver passo a passo, dois problemas.
a. Encontre o valor da expressão abaixo.
Resposta:
A primeira coisa que devemos fazer é a antiderivada de x².
O segundo passo é aplicar a diferença entre os extremos.
b. Encontre a medida da área abaixo do gráfico da função f(x)=x² no
intervalo [0,3].
Resposta:
Basta montarmos a integral e resolvê-la.
A área que encontramos está representada pela pela Figura 9.
∫
4
2
x
2
dx
∫
4
2
x
2
dx = [ ] 4
2
x
3
3
∫
4
2
x
2
dx = [ ] 4
2
= [ − ] = 18, 67
x
3
3
43
3
23
3
∫
3
0
x
2
dx = [ ] 3
0
= [ − ] = 9x
3
3
33
3
03
3
34
Figura 9 - Representação geométrica da questão b
Fonte: Próprio autor.
Refaça os dois exercícios, e claro procure qualquer exercício a respeito de
integral definida de nível equivalente para praticar, quanto mais melhor.
Lembrando que as regras de antiderivadas são as mesmas já vistas
anteriormente.
35
Acesse o link: Disponível aqui
Outro texto a respeito da integral definida.
36
https://files.cercomp.ufg.br/weby/up/39/o/Cap%C3%ADtulo_8.pdf
05
Integral 
Definida II
Figura 10 - Gráfico da função f(x)=x
Fonte: Próprio autor.
Nesta aula, vamos aplicar os conceitos vistos até aqui. Continuaremos com os cálculos
das áreas, mas em situações mais complexas. Para ficar claro o que estamos fazendo
e como estamos fazendo, vamos utilizar o gráfico da Figura 10.
No gráfico da Figura 10 temos a representação da função f(x)=x e marcações nas
respectivas áreas em relação ao eixo x do gráfico. O primeiro passo aqui será o
cálculo das áreas utilizando a geometria básica.
A área do triângulo à direita é dada pela equação abaixo.
Área = = 2 unidades quadradas
2x2
2
Para a área do triângulo à esquerda, temos que pensar um pouco sobre os sinais e a
interpretação. Se estamos falando de uma superfície plana, temos que lembrar que
não existe área negativa portanto a fórmula da área do triângulo à esquerda ficará da
seguinte maneira.
 
38
No caso acima, houve uma correção a respeito dos sinais, baseado no conceito
geométrico de área de uma figura plana. Tanto o triângulo à esquerda como o
triângulo à direita no caso apresentado possuem a mesma área. Portanto, a área total
final do gráfico em relação ao eixo x será dada pela sentença abaixo.
Para encontrar a diferença entre as áreas, basta fazer a conta sem a correção dos
sinais e, portanto, ficaremos com a expressão abaixo.
Agora, vamos utilizar o conceito de integral para resolvermos o problema da área
apresentado acima. Na Figura 11 foi feita a representação da norma da partição para
o triângulo à esquerda do eixo y (veja o que é norma na aula anterior).
Área = − [ ] = 2 unidades quadradas
(−2)x2
2
Área total = [ ]−[ ] = 4 unidades quadradas2x2
2
(−2)x2
2
Diferença entre áreas = [ ]+[ ] = 0 unidades quadradas2x2
2
(−2)x2
2
39
Figura 11 - Aplicando o conceito de integral definida
Fonte: Próprio Autor.
Percebam que o está abaixo do eixo x, portanto, seu valor é negativo. Se quisermos
calcular a medida da área geométrica desta região à esquerda, devemos fazer a
correção do sinal de , ficando com a expressão abaixo.
Se quisermos fazer a área total, temos que montar a seguinte expressão.
Se quisermos a diferença entre as áreas, não precisaremos corrigir o sinal e, portanto,
podemos montar a integral de forma direta da seguinte forma.
εi
εi
− ∫
0
−2
xdx = − [ ] 0−2 = − [ − ] = 2 unidades quadradas
x2
2
02
2
22
2
− ∫
0
−2
xdx + ∫
2
0
xdx = − [ ] 0−2 + [ ]
2
0 = 4 unidades quadradas
x2
2
x2
2
− ∫
2
−2
xdx = − [ ] 2−2 = [ − ] = 0 unidades quadradas
x2
2
22
2
(−2)2
2
40
Você deve estar se perguntando. “Professor, não é mais fácil fazer da forma
geométrica?” A resposta é: “nem sempre”. Se tivermos funções maiores, a utilização
do conceito de integral definida irá nos poupar horas de esforço.
Prática
Vamos agora resolver dois exercícios usando os conceitos adquiridos.
a. Calcule a área da região limitada pela função f(x)= x³-2x²-5x+6 em
relação ao eixo x e limitada pelas retas x=-1 e x=2.
Resposta:
O primeiro passo é compreender o problema e suas delimitações. Para isso,
temos que olhar como é o gráfico da função. A Figura 12 é a representação
gráfica da função junto com as limitações x=-1 e x=2.
41
Figura 12 - Gráfico do problema com as marcações pelas retas x=-1 e x=2
Fonte: Próprio autor.
Agora que sabemos qual é o problema vamos montar a integral da área. A
integral da área será dividida em duas parcelas uma representando a região
acima de x e a outra representando a região abaixo de x. Para isso, basta
saber onde a função cruza com o eixo x. No caso apresentado, a função cruza
com o eixo x no ponto x =1. A equação final e a solução da área serão dadas
pelas expressões abaixo.
Resolvendo a primeira parcela, ficamoscom a seguinte expressão.
∫
1
−1
(x3 − 2x2 − 5x + 6) dx − ∫
2
1
(x3 − 2x2 − 5x + 6) dx
[ − 2 − 5 + 6x]
1
−1
− [ − 2 − 5 + 6x]
2
1
x
4
4
x
3
3
x
2
2
x
4
4
x
3
3
x
2
2
42
Resolvendo a segunda parcela ficamos com a seguinte expressão
Finalmente resolvemos a expressão final. (un² = unidades quadradas)
O valor encontrado é um valor aproximado por causa das aproximações
feitas fração a fração. Se você deseja encontrar um valor melhor, faça com
mais casas decimais na calculadora ou represente todas as somas em forma
de fração e faça apenas uma divisão no final.
b. Encontre a área da região limitada pelas curvas f(x) = x² e g(x)=-x²+4x.
Resposta:
O primeiro passo é sempre entender como são os gráficos e onde eles se
cruzam. Os pontos em que as funções se cruzam é dada pela seguinte
equação.
e
− 2 − 5 + 6x1 − [ − 2 − 5 + 6x (−1)]1
4
4
13
3
12
2
(−1)
4
4
(−1)
3
3
(−1)
2
2
0, 25 − 0, 67 − 2, 5 + 6 − 0, 25 − 0, 67 + 2, 5 + 6 = 10, 66
− 2 − 5 + 6x2 − [ − 2 − 5 + 6x1]2
4
4
23
3
22
2
(1)
4
4
13
3
12
2
4 − 5, 33 − 10 + 12 − 0, 25 + 0, 67 + 2, 5 − 6 = −2, 41
[ − 2 − 5 + 6x]
1
−1
− [ − 2 − 5 + 6x]
2
1
x
4
4
x
3
3
x
2
2
x
4
4
x
3
3
x
2
2
10, 66 − (−2, 41) = 13, 07 un2
x
2 = −x2 + 4x
2x2 − 4x = 0
x (2x − 4) = 0
x = 0
43
A Figura 13 é a representação duas duas funções com as marcações
necessárias do conceito de integral definida.
Figura 13 - Gráfico de f(x) e g(x)
Fonte: Próprio autor.
(2x − 4) = 0
x = 2
A integral definida que resolveremos ficará da seguinte forma.
∫
2
0
[g (x) − f (x)] dx = ∫
2
0
[−x2 + 4x − x2]dx
∫
2
0
[−2x2 + 4x] dx = [− + 4 ] 20
2x3
3
x2
2
[− + 4 ] 20 = [−2 + 4 ] − [−2 + 4 ]
2x3
3
x2
2
23
3
22
2
03
3
02
2
44
[−2 + 4 ] − [−2 + 4 ] = −5, 33 + 8 = 2, 67 un2
23
3
22
2
03
3
02
2
Refaça os dois exercícios, e claro procure qualquer exercício a respeito de
integral definida de nível equivalente para praticar, quanto mais melhor.
Lembrando que as regras de antiderivadas são as mesmas já vistas
anteriormente.
Esta dica é a mesma que a da aula anterior. Não tem jeito: se você deseja
dominar as questões de integral definida terá que buscar sempre mais.
Acesse o link: Disponível aqui
Mais um complemento.
45
http://www.professores.uff.br/salete/wp-content/uploads/sites/111/2017/08/a6.pdf
06
Função de Mais 
de uma Variável
Até agora vimos os conceitos gerais do cálculo diferencial e integral para uma variável.
O que significa isso? Significa que aprendemos as ferramentas básicas para lidar com
problemas que dependem apenas de uma variável, ou seja, nossas funções estudadas
sempre dependiam apenas de uma incógnita seja ela x, i, t, entre outras.
Vamos ver alguns exemplos de funções que possuem apenas uma variável abaixo.
Agora, vamos expandir nosso raciocínio para funções que dependam de mais
variáveis e podem possuir a forma a seguir.
Percebam que, independentemente da nomenclatura adotada, as funções dependem
de mais incógnitas. Primeiro, devemos saber da não existência de um limite para o
número de incógnitas. Também precisam saber que existem inúmeros problemas
físicos que dependem de mais de uma variável.
Um exemplo da área administrativa é o custo de um determinado produto, pode-se
chegar a funções do custo levando-se em consideração o custo do trabalho embutido,
preço de materiais e despesas gerais da organização. Expandindo o raciocínio para
outras áreas, teremos aplicações na resistência dos materiais, na física, nas
engenharias, dentre outras áreas.
Visto que já entendemos intuitivamente como funcionam as funções de mais de uma
variável, vamos agora formalizar um pouco mais nos conceitos. Começaremos com o
conceito de espaço numérico n-dimensional. Basicamente é um conjunto numérico
em que seus elementos estão diretamente ligados a quantidade de dimensões.
f (x) = −x2 + 4x
g (t) =
−t2 + 4t
t
h (k) = sen (k) + k
f (x, y) = √25 − x2 − y2
g (x, y, z) = x2 + 3yz2
f (x1, x2, x3,x4,x5,x6) = 2x1 − 3x
2
2 + x
4
3 − x4 + x5 − x6
47
Se n=1 (R) temos um espaço numérico com uma dimensão, ou seja, as funções são
descritas como f(x), f(i), f(t) e por aí vai. Se n=2 (R²) temos um espaço numérico de
duas dimensões, ou seja, as funções são do tipo f(x,y), f(k,i), g(x₁,x₂). Se n=6 (R⁶) então
teremos uma função que dependa de 6 variáveis e assim por diante.
Chamamos de ênupla uma sequência ordenada de n elementos, e Rn é representado
por uma ênupla de números reais, sendo normalmente denotado por P(x₁,x₂,x₃,...,xₙ).O
domínio de uma função de n variáveis é um conjunto de pontos em Rn e a imagem é
um conjunto de pontos em R.
Alguns Conceitos
Para vocês, alunos, que estão começando os estudos a respeito de funções de mais
de uma variável é importante saber lidar com algumas definições e até mesmo lidar
com questões que já entendemos, como é o caso do domínio e da imagem de uma
função.  Para isso, vamos trabalhar com a função abaixo.
O que significa f(2,1,-1) para este caso? Significa que a função terá um valor específico
quando substituirmos esses elementos em uma ordem específica. No caso
apresentado, ficaremos com a seguinte expressão.
Outra questão importante é saber qual é o grau da função polinomial acima. Aqui,
muita gente se confunde, pois como não nenhum elemento elevado ao quadrado ou
ordem superior, a primeira resposta que vem a cabeça é “a função acima é de grau 1”
 - mas não é.
Quando estamos tratando de uma função de mais de uma variável, precisamos levar
em conta a multiplicação das incógnitas, neste caso temos xy, cada uma delas elevado
ao número 1, portanto o grau da função polinomial será a soma dos expoentes. Neste
caso a função apresenta grau 2.
Para uma função de mais de uma variável, também entra o conceito de função
composta. Segue abaixo duas funções e como elas poderiam se juntar em uma
função composta h(x,y)
f (x, y, z) = xy + z
f (2, 1, −1) = 2x1 − 1 = 1
48
Da montagem acima, percebemos que se f é uma função de uma única variável e g for
de uma função de n variáveis então a função composta fog será a função de n
variáveis. No caso acima o domínio de g(x,y) são todos os números reais e o domínio
de f(t) é dado por todos os reais menos o número 0, portanto, o domínio de h(x,y) é
dado pelo conjunto dos números reais menos o número 0.
O conceito de domínio e imagem não difere para funções de n variáveis.
g (x, y) = x2 − y
f (t) =
1
t
h (x, y) = (fog) (x, y) = f (g (x, y)) = f (x2 − y) =
1
x2 − y
Gráfico
Ficaremos aqui restrito a funções de duas variáveis, ou seja, trabalharemos com
funções do tipo z=f(x,y), o gráfico de tal função será dado pelo conjunto de todos os
números (x,y,z) em R3 , sendo o domínio dado pelo conjunto de todos os elementos
de (x,y).
Vamos começar nossos estudos a respeito do gráfico com a seguinte função.
De maneira intuitiva, podemos prosseguir com o análise fazendo alguns
questionamentos. Qual é o domínio da função acima? Sabemos que 25-x²-y²≥0, pois
para os números reais não há raiz negativa, ficamos portanto com x²+y²≤25.
Para continuarmos nosso raciocínio, precisamos montar a representação gráfica da
relação x²+y²≤25. Sabemos que esta soma não pode passar do valor 25, portanto
vamos usar ele como referência montando a função x²+y² =5² como um artifício que
nos ajudará a entender o problema. Qual é a representação gráfica de x²+y²=5²? A
Figura 14 nos responde esta questão visto que o número cinco é funciona como a
hipotenusa de um triângulo retângulo interno à circunferência.
f (x, y) = √25 − x2 − y2
49
Figura 14 - Representação gráfica da função 5²=x²+y²
Fonte: Adaptado de Leithold, 2002.
Sabemos que o domínio da função é dado por x²+y²≤25 e, portanto, para a nossa
função todos os valores internos à circunferência apresentada na Figura 14 fazem
parte do domínio do problema. Agora, só precisamos entender como nosso gráfico
ficará em três dimensões.
Se você raciocinar sobre o problema, perceberá que o maior valor que f(x,y) poderá
assumir é 5 quando x=0 e y=0. A medida que f(x,y) vai diminuindo atézero uma
circunferência surgirá e aumentará até apresentar o formato da Figura 14 quando
z=0. A única representação possível para este caso é o da Figura 15 e da Figura 16,
uma meia esfera.
50
Figura 15 - Representação da função f(x,y)
Fonte: Leithold, 2002.
Figura 16 - O mesmo gráfico f(x,y) representado de uma outra maneira
Fonte: Disponível aqui
Vale lembrar que a Figura 16 foi retirada de um site que pode auxiliar vocês na hora
de entender os gráficos, pois ele monta o gráfico na hora.
51
https://www.wolframalpha.com/
Prática
Vamos resolver juntos aqui um problema relativo à montagem de um gráfico
de uma função de mais de uma variável.
a. Faça um esboço do gráfico da função f(x,y)=x²+y²
Resposta:
Uma das melhores maneiras para traçarmos um gráfico nessas situações é
tentarmos cancelar uma de suas dimensões. Podemos transcrever a função
da seguinte forma.
e
Quando utilizamos este artifício de zerar uma das dimensões,  ficamos com
uma função conhecida tanto para x=0 quanto para y=0. A função conhecida é
uma parábola, tanto no plano x,z quanto no plano yz. O esboço do gráfico é
dado pela Figura 17.
f (x, y) = x2 + y2
f (x, y) = 02 + y2 = y2
f (x, y) = x2 + 02 = x2
52
Fonte: Leithold, 2002.
Entenda certinho o raciocínio utilizado para compreender as funções de
várias variáveis e refaça os dois gráficos apresentados.
53
Acesse o link: Disponível aqui
Texto do instituto militar de engenharia a respeito do assunto.
54
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula1.pdf
07
Limites de uma Função 
de Mais de uma 
Variável
Entraremos agora em um aspecto muito importante das funções de várias variáveis.
Começaremos com conceitos de limites até chegarmos em derivadas parciais e
aplicações nesta aulas e nas subsequentes. Portanto, leia e releia esta aula para fixar
bem o conteúdo.
Na aula anterior, você viu como funciona o gráfico de funções que ocupam uma
determinada superfície e até mesmo um volume. Nesta aula, vamos começar a
raciocinar como interpretar questões relacionadas a limites de funções de mais de
uma variável.
Quando pensamos em limite, estamos nos referindo a uma região tão próxima o
quanto quisermos de um determinado ponto. A questão agora é: como raciocinar
está proximidade em um espaço tridimensional?
Não é difícil. Para começar, temos que relembrar do conceito de distância. Quando
nos referimos, a uma dimensão só, a distância entre dois pontos é dada por |x-a|.
Quando nos referimos a um espaço bidimensional a distância entre os pontos P(x,y) e
Po(x0,y0) é dado pela expressão abaixo.
A fórmula acima representa basicamente a hipotenusa em um triângulo retângulo. E
finalmente, quando nos referimos a uma distância em um espaço tridimensional, a
distância entre os pontos P(x,y,z) e Po(x0,y0,z0) é dado pela seguinte fórmula.
Acredito que você pegou o raciocínio a respeito das fórmulas básicas mencionadas.
Agora, vamos fazer um exercício mental a respeito de como entender as
proximidades de um determinado ponto. Se temos um ponto em um espaço
unidimensional, só podemos caminhar dentro de uma linha.
Para ficar fácil de imaginar, podemos pensar de forma grosseira em uma partícula
podendo ir em linha reta da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda na
tela de um monitor. Se temos um ponto em um espaço bidimensional, podemos
imaginar que esta mesma partícula poderá se mover de forma mais livre do que a
Distância = √(x − x0)2 + (y − y0)2
Distância = √(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)
56
Figura 18 - Proximidades de um ponto a em uma dimensão
Fonte: Leithold, 2002.
Figura 19 - Proximidades de um ponto em duas dimensões
Fonte: Leithold, 2002.
anterior, agora ela poderá também andar para cima e para baixo em um monitor.
Indo para um espaço tridimensional, a nossa partícula ficará mais livre ainda,
podendo além dos movimentos anteriores, sair e entrar de um monitor.
Como conclusão, uma região infinitamente pequena em um espaço unidimensional é
composta somente por uma reta, em um espaço bidimensional teremos um círculo
nas proximidades do ponto e em um espaço tridimensional uma esfera. A Figuras 18,
19 e 20 são as representações dessas proximidades.
57
Figura 20 - Proximidades de um ponto em três dimensões
Fonte: Leithold, 2002.
Teoremas de Limites
A nomenclatura de limites não muda por mais que estejamos falando aqui a respeito
de mais de uma dimensão. A primeira coisa que devemos pensar é como devemos
entender uma função dada por f(x,y). A função apresentada depende das variáveis x e
y, quando substituirmos um determinado x e um determinado y pertencente ao
domínio de f(x,y) vamos obter um terceiro valor que podemos entender por z. Sim,
estamos falando aqui de um espaço tridimensional. Portanto, a forma de
expressarmos o limite na situação acima descrita se encontra logo abaixo.
Temos acima a seguinte sentença. O limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (x0,y0) é L.
Estamos aqui trabalhando com o conceito de proximidade indicado na Figura 20. Em
outras palavras, queremos nos aproximar de (x0,y0) sem trabalharmos com os
elementos do próprio ponto (x0,y0). O limite pode existir sem que exista o próprio
ponto (x0,y0).
lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) = L
58
Dito tudo isso, podemos ir aos teoremas. Em Cálculo Diferencial e Integral I vimos as
definições de limite por meio de intervalos, aqui as definições são as mesmas
praticamente, portanto iremos direto as soluções básicas. Como calcular os limites
então? Veremos no primeiro teorema abaixo.
Por mais que entendamos o limite como uma região próxima ao ponto (a,b), podemos
calcular o limite acima fazendo simplesmente a substituição do ponto (a,b) desde que
ele seja um ponto válido no domínio.
É claro que também serão válidas as funções que apresentam potências. Vamos fazer
um pequeno exemplo.
Perceba que o raciocínio é extremamente parecido ao que vimos em Cálculo
Diferencial e Integral I. Vamos para o próximo exemplo.
Para uma função composta, faremos da mesma forma do exemplo a seguir.
No limite acima o operador ln foi retirado do limite e portanto ficamos com o limite de
uma função mais fácil de trabalhar.(xy-1).
lim
(x,y)→(a,b)
mx + ny + d = ma + nb + d
lim
(x,y)→(1,−1)
x3 + 2x2y − y2 + 3 = (1)
3
+ 2(1)
2
(−1) − (−1)
2
+ 3 = 1
lim
(x,y)→(0,0)
= lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
(x2 − y2) (x2 + y2)
x2 + y2
lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2 = 0 − 0 = 0
lim
(x,y)→(2,1)
ln (xy − 2) = ln( lim
(x,y)→(2,1)
(xy − 1)) = ln (1) = 0
59
Existência dos Limites
Começaremos aqui com a definição de ponto de acumulação. Dado um conjunto S,
um determinado ponto P₀ será um ponto de acumulação se nas suas proximidades
existirem uma infinidade de pontos em S. Em outras palavras, deve existir nas
proximidades (ao seu redor) de P₀ uma infinidades de pontos em S. Vale lembrar que
estamos falando de regiões extremamente pequenas.
Dito isto, podemos fazer o seguinte enunciado. Se a função f possuir limites diferentes
quando nos aproximarmos de um ponto P₀ de acumulação o limite não irá existir.
Continuidade
Aqui valem as mesmas regras do Cálculo Diferencial e Integral I, porém, com os
devidos ajustes. Portanto, valem as regras abaixo para a verificação da continuidade
em um determinado ponto em funções de duas variáveis.
As regras de soma, subtração, multiplicação e divisão também são válidas aqui para a
verificação da continuidade em um determinado ponto.
f (x0, y0) deve existir
lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) deve existir
lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) = f (x0, y0)
60
Prática
Ache os limites, se eles existirem, nos dois casos a seguir.
1. 
2. 
Resposta da questão a:
O limite irá existir se nos aproximarmos de diferentes maneiras do ponto (0,0).
Portanto, vamos escrever os valores de y em função de x ficando com as duas
expressões abaixo.
Portanto, é provável que o limite exista e seja igual a 0. Deve ser feito mais testes, ou
recorrer a definição de intervalos.
Resposta de b:
Usando o mesmo raciocínio, ficamos com as seguintes expressões.
Neste caso, os limites foram diferentes,portanto, o limite com certeza não existe.
lim
(x,y)→(0,0)
3x2y
x2+y2
lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x4+y2
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, mx) = lim
(x)→(0)
= lim
(x)→(0)
3x2mx
x2 + (mx)
2
3mx
1 + (m)
2
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, x2) = lim
(x)→(0)
= lim
(x)→(0)
3x2x2
x2 + (x2)2
3x2
1 + (x)2
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, mx) = lim
(x)→(0)
= lim
(x)→(0)
= 0
x2mx
x4 + (mx)
2
mx
x2 + (m)
2
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, x2) = lim
(x)→(0)
= lim
(x)→(0)
=
x2x2
x4 + (x2)
2
x4
2x4
1
2
61
lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
Entenda principalmente como resolver os limites e refaça os exercícios.
Acesse o link: Disponível aqui
Texto da Universidade Federal do Rio de Janeiro.
62
http://www.im.ufrj.br/nuno/aula11.pdf
08
Derivadas 
Parciais
Olá novamente!
Já entendemos como funciona as questões ligadas ao limite em funções de mais de
uma variável, e vamos trabalhar agora com o conceito de derivada quando a função
possuir mais de uma variável.
O primeiro detalhe que vamos lembrar é que o conceito de derivada não muda. A
derivada ainda é a inclinação da reta tangente em um determinado ponto e sua
interpretação na física será obtida levando-se em consideração a modelagem do
problema.
Começaremos com uma função de duas variáveis f(x,y). A inclinação da reta tangente
será dada inicialmente na direção x ou na direção y. Isso mesmo, a derivada parcial
de uma função de duas variáveis torna-se quase igual a derivadas de funções de
apenas uma variável. Isto fica claro olhando a expressão abaixo que representa a
derivada parcial em relação a x.
A nomenclatura acima significa, por extenso, que a derivada realizada é feita em
relação à primeira variável (x) da função uma vez de f(x,y) é igual ao limite descrito
acima. Percebam que o limite acima é extremamente parecido com a definição de
derivada em uma direção só. Também é bom reparar que a variável y mantém-se
inalterada, ela apenas acompanha a função. Veja agora a definição da derivada parcial
em y
Acima, estamos com a definição da derivada em função da segunda variável, no caso
(y). O que mudou agora é basicamente a aplicação dos conceitos desenvolvidos no
Cálculo Diferencial e Integral I para a variável y.
Fica claro agora que o processo de encontrar uma derivada parcial é chamado de
derivação parcial. Existem outras maneiras de mostrarmos a operação de derivação
parcial, as mais comuns encontram-se listadas abaixo.
 (derivada parcial em relação a x)
D1f (x, y) = lim
Δx→0
f (x + Δx, y) − f (x, y)
Δx
D2f (x, y) = lim
Δy→0
f (x, y + Δy) − f (x, y)
Δy
D1f (x, y)
64
Figura 21 - Representação geométrica das derivadas parciais em suas respectivas
direções em um ponto P qualquer
Fonte: Leithold, 2002.
 (derivada parcial em relação a y)
 (derivada parcial em relação a x)
 (derivada parcial em relação a y)
As duas últimas nomenclaturas vêm do conceito de diferencial já discutido no começo
deste livro. Caso vocês esteja ainda em dúvida na interpretação geométrica das
derivadas parciais, deem uma boa olhada na Figura 21 e percebam que cada reta
tangente está atuando em um eixo x ou y.
D2f (x, y)
ou
∂f(x,y)
∂x
∂f
∂x
ou
∂f(x,y)
∂y
∂f
∂y
E como ficam as derivadas para funções de mais de duas variáveis? Simples, siga o
raciocínio abaixo.
D1f (x, y, z) = lim
Δx→0
f (x + Δx, y, z) − f (x, y, z)
Δx
D2f (x, y, z) = lim
Δy→0
f (x, y + Δy, z) − f (x, y, z)
Δy
D3f (x, y, z) = lim
Δz→0
f (x, y, z + Δz) − f (x, y, z)
Δz
65
Prática I
Vamos fazer a derivada tanto em x quanto em y da função apresentada abaixo.
Para a outra direção, ficaremos com as seguintes expressões
Percebam que o procedimento de cálculo para com os limites é o mesmo. Se
estivermos fazendo a derivada em relação a x todo o restante, com exceção do x, é
considerado uma constante e se estivermos fazendo a derivada em relação a y todo o
restante, com exceção do y, também será considerado uma constante. Os teoremas
vistos em Cálculo Diferencial e Integral I para facilitarem nossas derivadas ainda são
válidos aqui.
f (x, y) = xy2 + y
= lim
Δx→0
∂f (x, y)
∂x
f (x + Δx, y) − f (x, y)
Δx
lim
Δx→0
= lim
Δx→0
(x + Δx) y2 + y − xy2 − y
Δx
xy2 + Δxy2 + y − xy2 − y
Δx
lim
Δx→0
= lim
Δx→0
y2 = y2
xy2 + Δxy2 + y − xy2 − y
Δx
= lim
Δy→0
∂f (x, y)
∂y
f (x, y + Δy) − f (x, y)
Δy
lim
Δy→0
= lim
Δy→0
x(y + Δy)
2
+ (y + Δy) − xy2 − y
Δy
xy2 + 2xyΔy + xΔy2 + y + Δ
Δy
lim
Δy→0
= lim
Δy→0
2xy + xΔy + 1 = 2xy + 1
2xyΔy + xΔy2 + Δy
Δy
66
Diferencial Total
Para entender a diferencial total, temos que necessariamente olhar na Aula 1 deste
livro. Lá na Aula 1 desenvolvemos o raciocínio de diferencial, que de forma bem
resumida podemos entender como pequenos incrementos de um determinado valor.
Chegamos as seguintes expressões para uma variável apenas.
A aproximação acima é válida porque delta y e delta x são suficientemente pequenos.
Como ficará então quando trabalharmos com mais de uma variável? A resposta por
analogia está nas expressões abaixo.
Como escrevemos normalmente z=f(x,y), será feita essa substituição de forma que dz
estará no lugar de df(x,y,Δx,Δy). Ficamos, portanto, com a seguinte expressão.
As duas expressões acima representam o mesmo, porém, em formas distintas. O
nome que se dá a elas é diferencial total. Lembre que as condições de
diferenciabilidade devem ser satisfeitas.
E para mais de duas variáveis? De maneira análoga, ficaremos com a seguinte
expressão.
f ′ (x) = lim
Δx→0
Δy
Δx
dy = f ′ (x) Δx
df (x, y, Δx, Δy) = D1f (x, y) Δx + D2f (x, y) Δy
dz = D1f (x, y) Δx + D2f (x, y) Δy
dz = dx + dy
∂z
∂x
∂z
∂y
dw = dx1 + dx2+. . . + dxn
∂w
∂x1
∂w
∂x2
∂w
∂xn
67
Prática II
Imagine uma caixa de metal com a base quadrada. Seus lados internos são de 2 cm e
sua altura interna é de 6 cm. A espessura do metal é de 0,1 cm. Para cada centímetro
cúbico de metal usado para fazer a caixa o custo é de 5 reais. Encontre o custo
aproximado na produção de uma caixa dessa, por diferencial!
Aplicando a diferencial para a função acima de duas variáveis, ficaremos com o
seguinte raciocínio.
É claro que quanto menor o diferencial mais próximo da realidade o valor final será.
V = l2h
l = lado e h = altura
dv = dl + dh
∂v
∂l
∂v
∂h
dv = 2lhdl + l2dh
dv = 2 × 2 × 6 × 0, 1 + 22 × 0, 2 = 2, 4 + 0, 8
3, 2 cm3 aproximadamente
Para gabaritar não tem outro jeito, refaça os exercícios e procure por mais
deles.
68
Acesse o link: Disponível aqui
Uma outra didática a respeito das derivadas parciais.
69
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/introduction-to-partial-derivatives
09
Regra da Cadeia e 
Derivadas de Ordem 
Superior
Finalmente chegamos à metade da disciplina. Antes de darmos andamento com as
questões voltadas às integrais, primeiro vamos descrever alguns funcionamentos
interessantes a respeito das derivadas parciais.
Já vimos como fazer as derivadas parciais e percebemos que as regras de derivação
com mais variáveis são análogas às regras de derivação com apenas uma variável.
Então ficamos com a seguinte pergunta: como funciona a regra da cadeia visto em
Cálculo Diferencial e Integral I  para mais de uma variável?
Vamos começar com como era antes de escrever como fica. Pensem em uma função
qualquer y que depende de x, sendo que x depende de t, em outras palavras, y=f(x) e
x=f(t).
A equação acima nos lembra como fazíamos em Cálculo Diferencial e Integral I para
funções de uma variável apenas. Agora expandiremos o raciocínio de forma análoga e
com os conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores.
Dada uma função u(x,y), ou seja, u varia em função de x e de y. Vamos pensar agora
que x seja função de x(r,s) e y seja também função de y(r,s). Claro que vamos partir da
hipótese da existência de todas as derivadas. Ficaremos, portanto, com as seguintes
expressões.
Percebam que a forma de escrever as derivadas são praticamente uma junção dos
conceitos de Cálculo Diferencial e Integral I com os conceitos apresentados nas aulas
anteriores.
E se a funçãoapresentar mais de duas variáveis? Deem uma olhada nas expressões
abaixo e tentem perceber o que está ocorrendo.
=
dy
dt
dy
dx
dx
dt
= +
∂u
∂r
∂u
∂x
∂x
∂r
∂u
∂y
∂y
∂r
= +
∂u
∂s
∂u
∂x
∂x
∂s
∂u
∂y
∂y
∂s
= + +. . . +
∂u
∂y1
∂u
∂x1
∂x1
∂y1
∂u
∂x2
∂x2
∂y1
∂u
∂xn
∂xn
∂y1
71
O exercício aqui é comparar as expressões acima com as duas expressões anteriores
a ela. Percebam que há um padrão quando expandimos as derivadas em mais de
duas variáveis. Acima temos uma função u  diferenciável em n variáveis x1 a xn, sendo
cada uma delas funções de m variáveis y1 a ym.
E como ficaria a derivada total em mais de uma variável? O raciocínio segue análogo e,
portanto, ficaremos com a seguinte expressão.
Fazendo um análise da expressão acima, percebemos que u é função de u(x₁,...,xₙ) e
cada uma dessas variáveis é variam em função de t.
= + +. . . +
∂u
∂y2
∂u
∂x1
∂x1
∂y2
∂u
∂x2
∂x2
∂y2
∂u
∂xn
∂xn
∂y2
.
.
.
= + +. . . +
∂u
∂ym
∂u
∂x1
∂x1
∂ym
∂u
∂x2
∂x2
∂ym
∂u
∂xn
∂xn
∂ym
= + +. . . +
du
dt
∂u
∂x1
dx1
dt
∂u
∂x2
dx2
dt
∂u
∂xn
dxn
dt
Prática I
Nada melhor do que fazer uma derivada. Dada as funções abaixo, faça o que se pede.
Encontre e .
Resposta:
u = xy + xz + yz
x = r
y = rcos (t)
z = rsen (t)
∂u
∂r
∂u
∂t
72
Dada as fórmulas apresentadas ficaremos com as seguintes soluções.
e
As expressões acima são passíveis de simplificação, porém, o objetivo aqui não é
desenvolver a trigonometria.
= + +
∂u
∂r
∂u
∂x
∂x
∂r
∂u
∂y
∂y
∂r
∂u
∂z
∂z
∂r
= (y + z) 1 + (x + z) cos (t) + (x + y) sen (t)
∂u
∂r
= + +
∂u
∂t
∂u
∂x
∂x
∂t
∂u
∂y
∂y
∂t
∂u
∂z
∂z
∂t
= (y + z) 0 + (x + z) [−rsen (t)] + (x + y) [rcos (t)]
∂u
∂t
Derivadas de Ordem Superior
A derivada de ordem superior nada mais é do que derivar mais de uma vez a função
dada. Sabendo diss, o que temos que pensar aqui de novidade é como seguir este
raciocínio quando temos funções de mais de uma variável. Dito isso, percebemos que
não a modificação nenhuma em relação ao raciocínio apresentado em Cálculo
Diferencial e Integral I.
A modificação e o cuidado aqui é saber em qual variável vamos fazer a derivada e em
quantas vezes devemos aplicar a derivada. Para conseguir fazer esta distinção, temos
que nos preocupar com a nomenclatura, pois é ela que vai nos informar por meio de
sua simbologia o que devemos fazer.
Veja a seguir uma relação de simbologias que representam a mesma coisa.
D2 (D1f) = D12f = f12 = fxy =
∂2f
∂y∂x
73
Vamos interpretar a simbologia acima. Primeiro, todas estão mandando fazer a
mesma operação. A operação que elas mandam fazer é, primeiro, derivar a função f
em relação a sua primeira variável, e segundo pegar essa função que acabamos de
derivar e derivá-la mais uma vez, mas em relação a sua segunda variável.
Na última simbologia, devemos entender que a primeira variável é x e a segunda
variável é y. Quando tivermos muitas variáveis, é indicado deixá-las com subíndices
(1,2,3,4,5,…,n). A única coisa que nos resta agora é praticar o que  se pede.
Prática II
Vamos aplicar as derivadas pedidas abaixo na função f(x,y) = xsen(y)+cos(xy).
Respostas:
Tanto para a quanto para b primeiramente temos que derivar a função f(x,y) em
relação a x.
Em a temos que derivar a função acima em x mais uma vez.
     (resposta da a)
Em b temos que derivar a função D1f(x,y) em função de y.
     (resposta da b, aqui foi a
aplicado a regra da derivada da multiplicação em sen(xy)y)
Na c temos que derivar a função f(x,y) duas vezes em relação a y e uma vez em
relação a x
a) D11f (x, y)
b) D12f (x, y)
c)
∂3f
∂x∂y2
D1f (x, y) = sen (y) − sen (xy) y
D11f (x, y) = −cos (xy) y
2
D12f (x, y) = cos (y) − [cos (xy) xy + sen (xy)]
74
Após as duas derivadas acima, vamos fazer a derivada da função em relação a x.
Portanto ficaremos com a seguinte resposta.
     (resposta da c)
D2f (x, y) = xcos (y) − sen (xy) x
D22f (x, y) = −xsen (y) − cos (xy) x
2
D221f (x, y) = −sen (y) − [−sen (xy) yx2 + 2xcos (xy)]
75
10
Integral 
Dupla
Assim como foi feito com as derivadas, vamos agora abrir o conceito de integral para
mais variáveis. Sim, é possível. Mas antes, vamos deixar claro dois conceitos que já
foram explicados no começo deste livro.
O primeiro é o de antiderivação, este conceito podemos relembrar como a operação
inversa da derivada. Isto mesmo, se podemos derivar uma função, podemos voltar a
mesma função aplicando a antiderivada, é claro que com alguns cuidados já
mencionados. Curioso? Volte lá na Aula 2 e dê uma lida rapidinho e veja que, quando
aplicamos a antiderivação, surge uma constante.
O segundo conceito é o de integral definida. Utilizamos este conceito para calcular o
valor da área em relação ao eixo x de um gráfico. Neste caso, não há o aparecimento
de uma constante, pois as definições de antiderivação e integral definida são
diferentes mesmo que a solução de certa forma seja parecida. Dê uma pequena
olhada na Aula 3 e 4 para relembrar o que resumidamente disse neste parágrafo.
Na aula 4, definimos o que é norma. “O maior subintervalo dentro da partição  Δ será
chamado de norma da partição e seu símbolo será dado por ”. Naquela aula a
norma estava definida em uma reta. Como iremos agora abrir nosso raciocínio para
mais variáveis a norma terá uma definição mais ampla.
Neste momento, você já deverá ter matado a charada. Sim, agora inicialmente iremos
pensar na norma como uma composição de duas coordenadas, x e y. Portanto, de
maneira simples, você imaginará agora uma subdivisão de um espaço 2d como uma
reunião de vários pequenos retângulos. Aquele que possuir a maior diagonal será a
nova norma.
É a diagonal, porque se pensarmos em um retângulo, teremos quatro vértices e a
maior distância que podemos ter em relação a dois vértices de um retângulo é a sua
diagonal. A Figura 22 deixa isto evidente, um plano em duas dimensões dividido em
retângulos. Um retângulo qualquer da Figura 22 está em destaque com suas
dimensões expressas em função de seus lados Δix e Δiy.
∥Δ∥
77
Figura 22 - Espaço retangular dividido em pequenos retângulos Δix e Δiy
Fonte: Leithold, 2002.
Se a maior diagonal possível da Figura 22 tender a zero, é claro que todas as outras
também se aproxima de 0. Outro ponto importante é a respeito do valor funcional
que será considerado em cada um desses retângulos. O valor será dado pelas
coordenadas do centro de cada um deles.
Sendo   Δix e Δiy, a largura e altura de um retângulo qualquer respectivamente,
podemos definir então a medida da área deste retângulo com a seguinte expressão
Outra definição importante é o produto do valor funcional de um determinado
retângulo por seus respectivos lados. Esse produto pode ainda ser somado a todos os
outros produtos de cada um dos n retângulos formados. Ficamos, portanto, com a
seguinte expressão. Volte a olhar a Figura 22, e procure cada um dos símbolos Δix, Δiy,
ɛi e 𝛾i .
ΔiA = ΔixΔiy
∑n
i=1
f (ξi, γi) ΔiA
78
Finalmente, chegaremos ao conceito de integral dupla, que é o limite da soma acima
quando a norma dessa região tender a 0. Isto fará com que a região seja dividida em
infinitos retângulos, sendo cada um deles acompanhado com seu respectivo valor
funcional. A fórmula da integral dupla está representada abaixo.
Acima, temos a formulação da integral dupla por meio do limite e a representação da
mesma por meio do símbolo da integral. Faça um exercício mental agora, volte à aula
sobre integral definida e compare a formulação abaixo feita para uma variável e a
formulação acima feita para duas variáveis.
lim
∥Δ∥→0
n
∑
i=1
f (ξi, γi)ΔiA = ∫
R
∫ f (x, y) dA
∫
b
a
f (x) dx = lim
∥Δ∥→0
n
∑
i=1
f (εi)Δix
Prática
Uma maneira de entender o raciocínio da formulação da integral dupla é resolver
uma de forma aproximada. Usaremos aqui a integral abaixo com uma região
retangular limitada pelos vértices (-1,1) e (2,3). As divisões dessa região será feita
conforme a Figura 23. A integral dupla será dada pela seguinte expressão.
∫
R
∫ (3y − 2x2) dA
79
Figura 23- Divisão da região formada pelos vértices (-1,1) e (2,3)
Fonte: Leithold, 2002.
Resposta
A região mostrada na Figura 23 foi dividida em apenas seis quadrados, quanto maior
o número de divisões maior será a exatidão do resultado. Porém, por motivos
didáticos, vamos com essas seis divisões mesmo. Se você reparar bem, o lado de cada
quadrado da Figura 23 possui lado igual a uma unidade de medida, sendo assim a
área de cada quadrado vale 1 un² (uma unidade quadrada).
A solução será dada pela multiplicação de cada uma das áreas pelos respectivos
valores funcionais. Os valores funcionais equivalem à substituição das coordenadas
do centro de cada retângulo na função dada.
Feitas todas essas observações, estamos preparados para resolver a integral dupla de
forma aproximada.
∫
R
∫ (3y − 2x2) dA
≈ f (−0, 5; 1, 5)x1 + f (0, 5; 1, 5)x1+
80
+f (1, 5; 1, 5)x1 + f (1, 5; 2, 5)x1+
+f (0, 5; 2, 5)x1 + f (−0, 5; 2, 5)x1
∫
R
∫(3y − 2x2)dA ≈ 25
Refaça as integrais mostradas aqui e busque em algum livro por mais
exercícios resolvidos (sempre tem).
Acesse o link: Disponível aqui
Exercícios resolvidos usando integral dupla.
81
http://www.professores.uff.br/salete/wp-content/uploads/sites/111/2017/08/Calculo21.pdf
11
Integral 
Dupla II
Figura 24 - Evidenciando o elemento de volume formado por Δix e Δiy, e o valor funcional
Fonte: Leithold, 2002.
A primeira coisa que vamos fazer aqui é analisar a fórmula da integral dupla de maneira
geométrica, dada a fórmula básica abaixo, o que ela significa em termos do espaço em
que ela está contida.
Temos um delta área vezes um valor funcional. Em outras palavras, o valor funcional é
um terceiro valor dependente de x e de y. Para ficar mais fácil, podemos imaginar este
terceiro valor como z em um eixo ortogonal aos dois primeiros. Simplificando o
raciocínio, temos basicamente a definição de altura. Portanto, área vezes altura é igual ao
volume. Isto ficará claro olhando a superfície da Figura 24.
lim
∥Δ∥→0
n
∑
i=1
f (ξi, γi)ΔiA = ∫
R
∫ f (x, y) dA
V olume = lim
∥Δ∥→0
n
∑
i=1
f (ξi, γi) ΔiA = ∫
R
∫ f (x, y) dA
83
Teoremas
Os teoremas a seguir vão facilitar a resolução dos problemas relacionados à integral
dupla. Vale lembrar que muitos dos teoremas são análogos aos das integrais simples,
portanto, ficaremos aqui com um item que mistura revisão e aplicação.
O primeiro teorema será relacionado a constantes. Seja c uma constante qualquer, ela
poderá ser retirada da integral conforme mostrado a seguir.
O próximo teorema é a respeito da soma das integrais. Ele é bem simples e está descrita
abaixo. Basicamente, podemos separar em mais integrais, desde que as condições de
integrabilidade sejam satisfeitas.
Se f(x,y)≥g(x,y) para todos os valores de x e de y, a conclusão a seguir também é
verdadeira.
Supondo um função f definida em uma região fechada R e que a região R possa ser
composta de duas regiões R1 e R2 que não possuem pontos em comum com exceção
em sua fronteira.
∫
R
∫ cf (x, y) dA = c∫
R
∫ f (x, y) dA
∫
R
∫[f (x, y) + g (x, y)]dA = ∫
R
∫ f (x, y) dA + ∫
R
∫ g (x, y) dA
∫
R
∫ f (x, y) dA ≥ ∫
R
∫ g (x, y) dA
∫
R
∫ f (x, y) dA = ∫
R1
∫ f (x, y) dA + ∫
R2
∫ f (x, y) dA
84
Solucionando as Integrais
Duplas
Até aqui vimos os conceitos e teoremas a respeito das integrais duplas. Agora vamos
avançar no quesito resolução. Existe maneira fácil de solucionar essas integrais e
encontrar áreas e volumes? Sim, e ela é similar ao que fizemos na aula a respeito das
integrais simples.
O primeiro passo é estabelecer os intervalos de cada uma das integrais para cada uma
das dimensões x e y. O segundo passo é separar em duas integrais definidas simples.
Percebam a separação na formulação abaixo.
A expressão acima indica a ordem de solução. Primeiro em x com seus respectivos
limites a₁ e b₁ e depois em y com seus respectivos limites a₂ e b₂.
A solução segue o modelo do próximo item.
∫
R
∫ f (x, y) dA ≥ ∫
b2
a2
[∫
b1
a1
f (x, y) dx]dy
Prática I
Vamos resolver o mesmo exercício da aula anterior, mas da maneira exata.
Usaremos a integral abaixo com uma região retangular limitada pelos vértices (-1,1) e
(2,3).
Resposta:
O primeiro passo é estabelecer os limites de forma adequada, limites em x na integral
em relação a x, limites em y na integral em relação a y.
∫
R
∫ (3y − 2x2) dA
85
Com os limites acima, estamos dizendo que em x vamos começar do ponto (-1) e ir até o
ponto (2) e em y iremos do ponto (1) ao (3). Resolvendo a primeira integral ficaremos
com a seguinte expressão.
Sobrou agora a integral em y. Para chegarmos a resposta final, basta continuar no
mesmo raciocínio.
Resposta final igual a 24 - do jeito aproximado tinha dado 25. Mas é claro que a
proximidade entre as respostas vai depender do número de divisões feitas. De qualquer
modo, é melhor resolver da forma que nos dá o resultado sem nenhum erro.
∫
3
1
[∫
2
−1
(3y − 2x2) dx] dy
∫
3
1
[(3xy − 2 )]2−1dy = ∫
3
1
[3x2y − 2 − (+3x (−1) y − 2 )]2−1dy
x3
3
23
3
(−1)
3
3
∫
3
1
[(6y − 2 + 3y − ) dy = ∫
3
1
(9y − 6)dy
8
3
2
3
∫
3
1
(9y − 6) dy = [9 − 6y] 31 = [9 − 6 (3) − (9 − 6 (1))]
y2
2
32
2
12
2
− 18 − + 6 = 24
81
2
9
2
Prática II
O segundo exemplo será o cálculo da área utilizando a integral dupla. Para tanto, vamos
recorrer a um exemplo já visto nesta apostila. O objetivo será calcular a área entre as
duas funções mostradas na Figura 25.
O primeiro passo é montar a integral dupla de forma que ela represente a área mostrada
na figura 25. Para isso, você deve imaginar um pequeno quadrado entre os gráficos.
O segundo passo é identificar onde os gráficos se cruzam, neste caso no ponto (0,0) e no
ponto (2,4).
86
Figura 25 - Região onde iremos calcular a área por meio de integral dupla
Fonte: Leithold, 2002.
O terceiro passo é identificar os limites da região tanto na vertical quanto na horizontal.
Na vertical a região vai de x² até 4x-x².
Na horizontal, temos valores bem definidos, vamos de 0 até dois. Como queremos a
área, não existe valor funcional, apenas dxdy ou dydx. Neste caso começaremos com dy.
Dito tudo isso, basta montarmos o problema.
∫
2
0
∫
4x−x2
x2
dydx
∫
2
0
∫
4x−x2
x2
dydx = ∫
2
0
[y] 4x−x
2
x2
dx = ∫
2
0
[4x − x2 − x2] dx
∫
2
0
[4x − x2 − x2] dx = [4 − 2 ] 2
0
= [ − ] = =x
2
2
x3
3
16
2
16
3
3 × 16 − 2 × 16
6
8
3
87
Portanto, a área da região equivale a 8/3.
Refaça as integrais mostradas aqui e busque em algum livro por mais exercícios
resolvidos (sempre tem).
Acesse o link: Disponível aqui
Mais um documento a respeito das integrais duplas.
88
http://www.mat.ufpb.br/bosco/calculoiii2011/nciii.pdf
12
Integral Dupla em 
Coordenadas Polares
Figura 26 - Região formada por um arco de circunferência
Fonte: Leithold, 2002.
Olá mais uma vez!
Nesta aula, vamos mudar as coordenadas. Como assim? Simples, não são todos os
problemas que são fáceis de resolver em relação a x, y ou z da maneira que
conhecemos. Portanto, é fundamental saber mudar a referência. Dependendo do
formato geométrico do problema, pode ser mais fácil fazer uma localização a partir de
um raio e um ângulo.
Exatamente isto que você está pensando: em regiões curvas, indicar um ângulo em
relação à horizontal e uma distância em relação à origem é muito mais fácil do que
utilizar os conhecidos pares ordenados cartesianos.
Vamos olhar a Figura 26: olhe os ângulos formados com a horizontal na extremidade
inferior esquerda da imagem. Existe um ângulo que demarca o começo da região e
um ângulo que demarca o fim da região em termos de angulação. Só isso não é
suficiente, pois uma região entre dois ângulos é infinita.
α
β
90
Assim, é preciso limitar mais ainda a região para poder desenvolver o raciocínio
necessário. Vamos limitar a região por meio de dois comprimentos de raio. Perceba
que na Figura 26 temos a marcação r=a e r=b. Portanto, a região limitada em
coordenadas polares vai de até nos ângulos e de a até b nos raios.
A questão agora é como fazer aquela subdivisão em partições e determinaruma
norma a partir deste raciocínio. Percebam intuitivamente que vamos chegar
basicamente ao mesmo lugar, um limite da somatória de pequenas subdivisões de
uma determinada região quando a norma dessa região tender a zero. Só que neste
caso, você já percebeu que isso vai acontecer em relação a um diferencial de ângulo e
a um diferencial de raio. Vamos formalizar agora!
O primeiro detalhe que você deve lembrar de matemática básica é como medir a área
de um setor circular. A Figura 27 nos mostra o que é um setor circular. Se  é a
área de uma circunferência e sabendo que a circunferência possui 360º ( radianos)
quanto vale a área de um arco cujo o tamanho é a diferença entre dois ângulos?
Simples, basta fazer a seguinte regra de três.
α β
πr2
2π
πr2 − − − − − − − − − − − − − − − 2π radianos
x − − − − − − − − − − − − − − − (θi − θi−1)
x = (θi − θi−1)
r2
2
91
Figura 27 - Representação se um setor circular
Fonte: Próprio autor.
Figura 28 - Diferença entre dois setores circulares
Fonte: Próprio autor.
Portanto, a área do setor circular inteiro representado de forma genérica na Figura 27
vale . A questão aqui é que não queremos um setor circular
completo, queremos uma parte dele. Reparem, na Figura 28.
x = (θi − θi−1)
r
2
2
92
A área da região exibida na Figura 28 é a diferença entre dois setores circulares, um
com raio maior e outro com raio menor. Dito isso, podemos apresentar a formulação
abaixo.
Passando a expressão para os termos da Figura 26, onde temos as representações de
partições ficaremos com a seguinte expressão desenvolvida.
O próximo passo é facilitar nossa nomenclatura dando nome a cada uma dessas
parcelas.
Finalmente chegamos à expressão final da área.
Voltando mais uma vez à Figura 26, podemos fazer a somatória dessas n regiões
assim como fizemos em todas as aulas referentes à integral definida. Ficamos,
portanto, com a somatória a seguir.
Percebam que o raciocínio é o mesmo das aulas anteriores. O valor funcional vezes a
área, a diferença aqui é que o valor funcional é dado por um par ordenado composto
pelo raio r e pelo ângulo   e a área é dada pela multiplicação do raio médio pela
diferença entre raios e pela diferença entre ângulos.
Área = r2i (θi − θi−1) − r
2
i−1
(θi − θi−1)
1
2
1
2
ΔiA = r
2
i (θi − θi−1) − r
2
i−1 (θi − θi−1)
1
2
1
2
ΔiA = (ri − ri−1) (ri + ri−1) (θi − θi−1)
1
2
ri
––
= (ri + ri−1) , podemos entender como raio médio
1
2
Δir = (ri − ri−1) , diferença entre raios
Δiθ = (θi − θi−1) , diferença entre angulações
ΔiA = riΔirΔiθ
∑
n
i=1
f (ri
––
, θi
––
) ΔiA = ∑
n
i=1
f (ri
––
, θi
––
) ri
––
ΔirΔiθ
θ
93
“Professor, e a integral?” A fórmula da integral será dada com a aplicação do devido
limite da norma tendendo a zero. Veja a próxima fórmula!
Vale lembrar alguns detalhes: as condições de integrabilidade devem estar satisfeitas,
as regras de integração são as mesmas, a integral acima naturalmente representa o
volume de uma determinada região, só que agora em coordenadas polares.
lim
∥Δ∥→0
n
∑
i=1
f (ri, θi)riΔirΔiθ = ∫
R
∫ f (r, θ) rdrdθ
Prática
Vamos resolver então um problema de volume a partir das definições dadas
anteriormente. Achemos o volume de um sólido formado por um cone e um cilindro.
A função de um cone em coordenadas polares é z = r ou se preferir =r. A
função de um cilindro em coordenadas polares é . Vamos, neste caso,
nos limitar ao primeiro octante, ou seja, para z positivo e a apenas a um quarto de
volta.
Resposta:
O primeiro passo é montar a integral dupla correspondente ao problema. A dica aqui
é primeiramente montar a fórmula básica e depois colocar os intervalos.
O segundo passo é aplicar os intervalos para cada integral. A primeira integral vai de 0
até a função do cilindro e a segunda integral vai de 0 até um quarto de uma volta 
.
f (r, θ)
r = 3sen (θ)
volume = lim
∥Δ∥→0
n
∑
i=1
f (ri, θi)riΔirΔiθ = ∫
R
∫ f (r, θ) rdrdθ
∫
R
∫ f (r, θ) rdrdθ = ∫
R
∫ rrdrdθ = ∫
R
∫ r2drdθ
( )π
2
∫
0
∫
3sen(θ)
0
r2drdθ = ∫
0
[ ]3sen(θ)0 dθ = 9∫
0
sen3 (θ) dθ
π
2
π
2 r3
3
π
2
94
Fica aqui de desafio para você resolver a integral de sen³(𝞱). Se precisar, procure em
livros e internet. Esta integral não é difícil, por isso estou deixando para vocês.
Continuando, ficaremos com a seguinte expressão.
[−9cos (θ) + 3cos3 (θ)] 0 = 6 unidades de volume
π
2
Refaça o problema acima e dê uma olhada nos capítulos dos livros
referenciados a respeito de coordenadas polares.
Acesse o link: Disponível aqui
Texto sobre as coordenadas polares e como utilizá-las.
95
http://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Down/Polares.pdf
13
Equações 
Diferenciais I
Nesta etapa, já possuímos um grande conhecimento geral a respeito do Cálculo
Diferencial e Integral. Agora, vamos aplicar nossos conceitos de forma a resolver
equações que apresentam derivadas e integrais. Sim, uma equação pode apresentar
derivadas e integrais. E a partir de agora vamos aprender a manipulá-las um pouco.
O primeiro passo aqui é relembrar um conceito bem simples. Veja as equações abaixo
e analise-as com os conhecimentos adquiridos até aqui.
O que está escrito acima? Simples. A derivada de uma função f(k) é igual a h(k) e se
aplicarmos a antiderivada em h(k) poderemos chegar a mesma função f(k) escolhendo
a constante adequada. A questão é, como chegaremos ao valor da constante C? Para
saber qual C vai satisfazer a nossa equação, precisaremos saber algo a respeito do
problema. Portanto, não tem como saber quanto vale C sem raciocinar sobre as
questões de modelagem do problema.
Vamos fazer um teste então. Lá em Cálculo Diferencial e Integral I vimos as relações
físicas cinemáticas. Vimos que a velocidade é a derivada do espaço em função do
tempo e que a aceleração é a derivada da velocidade em função do tempo. Vamos
escrever essas relações abaixo.
Se alguém chegar até você e falar “ache a velocidade no tempo igual a 2 segundos
sabendo que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo”, você não
vai conseguir resolver o problema. Veja abaixo.
f ′ (k) = h (k)
f (k) = ∫h (k) dk + C
S (t) , função do espaço pelo tempo
V (t) = , função da velocidade pelo tempo
dS (t)
d (t)
A (t) = , função da aceleração pelo tempo
dV (t)
d (t)
A (t) =
dV (t)
d (t)
97
Olhando a última expressão, você vai perceber que não vamos chegar a lugar
nenhum. Isto ocorreu porque falta informação a respeito do problema. Portanto,
vamos supor agora que a aceleração no problema acima é constante e vale a.
Observem e vejam até onde conseguiremos fazer agora.
Chegamos mais longe, mas ainda não vamos conseguir resolver o problema, pois se
substituirmos t = 2 segundos, ficaremos com V(t)=2a+C-K e mais uma vez não
chegamos a nenhuma resposta. Portanto, precisamos conhecer algo a mais sobre o
problema. Vamos supor que o objeto que está se movendo estava parado no início do
problema. A consequência desta informação estará em evidência abaixo.
Se ele estava parado no começo do problema, então quando t for zero a velocidade
será zero. Vamos aplicar as condições na equação acima.
A (t) d (t) = dV (t)
∫A (t) d (t) = ∫ dV (t)
A (t) = a
= a
dV (t)
d (t)
dV (t) = ad (t)
∫ dV (t) = ∫ ad (t)
V (t) + K = at + C
V (t) + K = at + C
0 + K = ax0 + C
0 = C − K
V (t) = at + C − K
V (t) = at + 0
V (t) = at
98
Chegamos finalmente á expressão da velocidade pelo tempo. Agora só falta uma
informação, saber quanto vale a aceleração que é constante. Vamos supor que a
aceleração seja igual a 1m/s².
A velocidade, quando o tempo for igual a 2 segundos para este problema em
específico, vale 2m/s. Podemos chegar a algumas conclusões a respeito das equações
diferenciais a partir deste problema. A mais óbvia é que sempre será necessário ter
uma quantidade adequada de informações sobre o problema. Então cada caso é um
caso e não dá para generalizar nada? Não, algumas coisas dá para generalizar em
relação aos problemas, mas essas generalizações exigem reflexão.
Vamos continuar trabalhando com o mesmo exemplo. Para os problemas onde a
aceleração é