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Tj1208
Representação de jogos
É o desenho do jogo (o modelo matemático) que preserva os dados essenciais e descarta o resto.
Existem duas formas principais:
Forma estendida
Utilizada para jogos sequenciais.
É um desenho de uma árvore de possibilidades, que indica a sequência em que cada jogador toma sua decisão, assim como todas as opções existentes.
Ex.
https://www.researchgate.net/figure/Figura-10-Jogo-sequencial-com-informacao-completa-e-perfeita-e-premio-de-33-para_fig3_262497861
O jogador 1 é o primeiro a jogar e, nesse exemplo, pode escolher entre plantar o produto A ou B. Depois, já conhecendo a decisão do jogador 1, o jogador 2 decidirá entre plantar o produto A ou B. Os números no final da árvore são as recompensas que os jogadores podem obter, de acordo com as escolhas que fizerem. O primeiro número é a recompensa do jogador que jogou primeiro (1) e o segundo número é a recompensa do jogador que jogou em segundo lugar (2).
Por exemplo, o jogador 1 escolher plantar o produto A e o jogador 2 escolher plantar o produto B, o jogador 1 ganhará R$605080,00 e o jogador 2 ganhará R$424504,00.
Ex.
https://www.youtube.com/watch?v=JwWpQzvnmlg
Forma normal (ou estratégica)
Utilizado nos jogos simultâneos (normalmente).
É constituído por uma matriz de dupla entrada.
Ex.
	 B A
	b1
	b2
	b3
	b4
	a1
	2,0
	2,0
	1,2
	2,1
	a2
	3,2
	2,0
	2,2
	1,4
	a3
	2,0
	1,1
	3,0
	2,2
	a4
	1,1
	1,4
	1,4
	1,1
Os jogadores são A e B.
O jogador A possui quatro opções de escolha (estratégias) que são: a1, a2, a3 e a4.
O jogador B também possui quatro opções que são: b1, b2, b3 e b4.
O jogador A escolhe entre as linhas da tabela. Por isso, ele é chamado de “jogador das linhas”.
O jogador B escolhe entre as colunas da tabela. Por isso, ele é chamado de “jogador das colunas”.
Os números que aparecem nas demais entradas são as recompensas que os jogadores podem obter, de acordo com suas escolhas. O primeiro número é a recompensa do jogador das linhas e o segundo número do jogador das colunas.
Então, se o jogador A escolher a linha a2 e o jogador B escolher a coluna b4, o resultado será: 
1,4. Ou seja, o jogador A receberá 1 útil e o jogador B receberá 4 úteis.
Resolução de jogos sequenciais por indução reversa
Consiste em analisar as melhores escolhas de cada jogador no sentido inverso do que realmente ocorre.
Inicialmente vemos como o último a jogar deve se decidir, depois o penúltimo, e assim até chegar ao primeiro a jogar.
Ex.
Quando o produtor 2 for decidir ele pode se encontrar no nó da esquerda ou no nó da direita, devemos analisar os dois casos.
Se ele estiver no nó da esquerda ele ganhará 799 se plantar o produto A e ganhará 424 se escolher plantar o produto B. Sendo racional ele escolherá o produto A. Então podemos eliminar o galho em que está o produto B.
Se ele estiver no nó da direita ele ganhará 424 se plantar o produto A e ganhará 615 se escolher plantar o produto B. Sendo racional ele escolherá o produto B. Então podemos eliminar o galho em que está o produto A.
Agora analisamos as opções do jogador 1. Ele deve escolher entre plantar os produtos A e B, mas já tendo previsto o comportamento futuro do jogador 2.
Ele ganhará 799 se plantar o produto A (visto que o produtor 2 irá escolher o produto A) e ganhará 615 se escolher plantar o produto B (visto que o produtor 2 irá escolher o produto B). Sendo racional ele escolherá o produto A.
Então podemos concluir que o jogador 1 escolherá plantar o produto A e o jogador 2 também escolher o produto A e ambos ganharão 799.
Ex.
Analisando de trás pra frente, vamos observar as opções dos países da otan. Quando forem jogar podem se encontrar no nó decima ou debaixo. 
Se estiverem no nó decima recebem -10 úteis se declararem guerra, - 5 se não reagirem e - 2 se aplicarem sanções. Sendo racionais escolherão aplicar sanções. Podemos eliminar as outras opções.
Se estiverem no nó debaixo recebem -15 úteis se declararem guerra, 10 se não reagirem e - 3 se aplicarem sanções. Sendo racionais escolherão não reagirem. Podemos eliminar as outras opções.
Agora podemos analisar as opções de Putin. Se escolher declarar guerra receberá – 2, visto que a otan irá aplicar sanções. Se escolher não fazer nada receberá 0, visto que a otan irá não reagir. Sendo racional escolherá não fazer nada.
Portanto, Putin escolherá não fazer nada e a otan escolherá não reagir e o resultado será (0, 10).
Exemplo
Existe no mercado apenas um modelo de carro com certas características, pertencente à montadora A (que chamaremos de Líder). Uma outra montadora B (que chamaremos de entrante) está estudando a possibilidade de fabricar um modelo concorrente. De acordo com uma pesquisa de mercado conseguiu-se estabelecer os seguintes valores para cada um dos resultados possíveis. Considere que a montadora B toma sua decisão antes da A.
· Se B entrar no mercado e A reagir, B recebe 1 útil e A, 5 úteis.
· Se B entrar no mercado e A não reagir, B recebe 2 úteis e A, 3 úteis.
· Se B não entrar no mercado e A não reagir, B não recebe nada e A, 8 úteis.
· Se B não entrar no mercado e A reagir, B não recebe nada e A, perde 3 úteis.
Modele e resolva.
	
	
	
	Reage
	1,5
	
	
	A
	
	
	
	Entra
	
	Não reage
	2,3
	B
	
	
	
	
	
	Não entra
	
	Reage
	0,-3
	
	
	A
	
	
	
	
	
	Não reage
	0,8
	
	
	
	Reage
	1,5
	
	
	A
	
	
	
	Entra
	
	Não reage
	2,3
	B
	
	
	
	
	
	Não entra
	
	Reage
	0,-3
	
	
	A
	
	
	
	
	
	Não reage
	0,8
	
	
	
	Reage
	1,5
	
	
	A
	
	
	
	Entra
	
	Não reage
	2,3
	B
	
	
	
	
	
	Não entra
	
	Reage
	0,-3
	
	
	A
	
	
	
	
	
	Não reage
	0,8
Exemplo
Considere que em uma cidade existam apenas três vereadores, que chamaremos de A (Amanda), B (Bruno) e C (Carlos). Eles votarão, em sequência e em ordem alfabética, sobre o aumento dos próprios salários. O voto é aberto e oral. 
Para que o aumento seja aprovado são necessários ao menos dois votos a favor.
Os vereadores gostariam que o aumento fosse aprovado (+2 úteis pelo aumento e – 2 úteis pelo não aumento).
Eles, porém, não gostariam de votar a favor do aumento dos próprios salários, pois isso desagrada os eleitores e podem perder votos na próxima eleição ( – 1 útil pelo voto a favor e + 1 útil pelo voto contra).
Como serão os votos dos vereadores, considerando que são racionais?
	
	
	
	
	
	favor 
	
	Teve aumento
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor 
	
	contra
	
	Teve aumento
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra
	
	favor 
	
	Teve aumento
	
	favor
	
	
	Carlos
	
	
	
	Amanda
	
	
	
	
	contra
	
	Não teve aumento
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra
	
	
	
	favor 
	
	Teve aumento
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor
	
	contra
	
	Não teve aumento
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra
	
	favor 
	
	Não teve aumento
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra 
	
	Não teve aumento
	
	
	
	
	
	favor 
	
	Teve aumento ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor 
	
	contra
	
	Teve aumento ( +2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra
	
	favor 
	
	Teve aumento ( +2)
	
	favor
	
	
	Carlos
	
	
	
	Amanda
	
	
	
	
	contra
	
	Não teve aumento ( -2)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra
	
	
	
	favor 
	
	Teve aumento ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor
	
	contra
	
	Não teve aumento ( -2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra
	
	favor 
	
	Não teve aumento ( -2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra 
	
	Não teve aumento ( -2)
	
	
	
	
	
	favor(-1) 
	
	Teve aumento ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor (-1)
	
	contra(+1)
	
	Teve aumento ( +2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	
	Teve aumento ( +2)
	
	favor(-1)
	
	
	Carlos
	
	
	
	Amanda
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	Não teve aumento ( -2)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	
	
	favor(-1) 
	
	Teve aumento ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor(-1)
	
	contra(+1)
	
	Não teve aumento ( -2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	
	Não teve aumento ( -2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1) 
	
	Não teve aumento ( -2)
	
	
	
	
	
	favor(-1) 
	(+1,+1,+1)
	Teve ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor (-1)
	
	contra(+1)
	(+1,+1,+3)
	Teve ( +2)Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	(+1,+3,+1)
	Teve ( +2)
	
	favor(-1)
	
	
	Carlos
	
	
	
	Amanda
	
	
	
	
	contra(+1)
	(-3,-1,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	
	
	favor(-1) 
	(+3,+1,+1)
	Teve ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor(-1)
	
	contra(+1)
	(-1,-3,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	(-1,-1,-3)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1) 
	(-1,-1,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	
	favor(-1) 
	(+1,+1,+1)
	Teve ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor (-1)
	
	contra(+1)
	(+1,+1,+3)
	Teve ( +2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	(+1,+3,+1)
	Teve ( +2)
	
	favor(-1)
	
	
	Carlos
	
	
	
	Amanda
	
	
	
	
	contra(+1)
	(-3,-1,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	
	
	favor(-1) 
	(+3,+1,+1)
	Teve ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor(-1)
	
	contra(+1)
	(-1,-3,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	(-1,-1,-3)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1) 
	(-1,-1,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	
	favor(-1) 
	(+1,+1,+1)
	Teve ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor (-1)
	
	contra(+1)
	(+1,+1,+3)
	Teve ( +2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	(+1,+3,+1)
	Teve ( +2)
	
	favor(-1)
	
	
	Carlos
	
	
	
	Amanda
	
	
	
	
	contra(+1)
	(-3,-1,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	
	
	favor(-1) 
	(+3,+1,+1)
	Teve ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor(-1)
	
	contra(+1)
	(-1,-3,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	(-1,-1,-3)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1) 
	(-1,-1,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	
	favor(-1) 
	(+1,+1,+1)
	Teve ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor (-1)
	
	contra(+1)
	(+1,+1,+3)
	Teve ( +2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	(+1,+3,+1)
	Teve ( +2)
	
	favor(-1)
	
	
	Carlos
	
	
	
	Amanda
	
	
	
	
	contra(+1)
	(-3,-1,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	
	
	favor(-1) 
	(+3,+1,+1)
	Teve ( +2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	favor(-1)
	
	contra(+1)
	(-1,-3,-1)
	Não teve ( -2)
	
	
	Bruno
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1)
	
	favor(-1) 
	(-1,-1,-3)
	Não teve ( -2)
	
	
	
	
	Carlos
	
	
	
	
	
	
	
	
	contra(+1) 
	(-1,-1,-1)
	Não teve ( -2)