ELE0390_1_contedo_-_Anlise_em_corrente_contnua

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Universidade Federal de Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
• De acordo com a 1ª lei da termodinânica “A energia não pode ser criada nem destruída 
apenas transformada de uma forma em outra, ou seja, a quantidade de energia total 
permanece constante”. Abaixo são apresentadas algumas formas de energia:
Energia térmica Energia luminosa
2
• Dentre as formas de energia existentes, pode-se dizer que a mais nobre é a energia elétrica pois:
a. É a mais fácil de ser transportada;
b. Pode ser transformada em energia térmica, luminosa, motriz (acionamento).
3
Vamos relembrar alguns 
conceitos de eletricidade? 
4
• No âmbito da eletricidade podemos ter sinais representados através de:
• Na presente aula será apresentada uma revisão sobre corrente contínua. 
Corrente alternada Corrente contínua
5
• Corrente elétrica: é o movimento ordenado 
de elétrons. Esse movimento só ocorre se 
houver uma pressão externa capaz de 
movimentar os elétrons. A unidade é o 
Ampère (A);
• Matematicamente, a corrente elétrica 
representa a quantidade de elétrons 
(∆Q) que atravessa a seção transversal 
de um condutor durante um intervalo 
de tempo (∆T):
� =
∆�
∆�
6
• Não pode haver corrente elétrica sem a 
existência de elétrica. Entretanto, pode 
haver tensão sem corrente elétrica (ex: 
t o m a d a s s e m e q u i p a m e n t o s 
conectados).
• Tensão: é a pressão externa necessária para 
que os elétrons se movimentem. Essa 
pressão externa é uma di ferença de 
potencial. A unidade é Volt (V);
7
• Resistência: Embora a tensão exerça uma pressão externa para movimentar os elétrons, estes 
não fluem livremente. Sempre haverá uma restrição, ou seja, uma oposição à passagem da 
corrente elétrica. Essa oposição é a resistência, cuja unidade é o Ohm (Ω).
8
• Potência: é a quantidade de trabalho 
realizada durante um período de 
tempo. A equação característica da 
potência é:
a. P: potência em Watt (W);
b. τ: trabalho em Joule (J);
c. t: tempo em segundos (s). 
� =  
�
�
• Em um circuito elétrico, a potência é a 
quantidade de cargas Q a qual uma fonte de 
tensão de magnitude V pode fornecer 
durante um intervalo de tempo ∆t :
� = � ∙ �
� =  
� ∙ �
�
� =  
�
�
Forma mais apreciada pelos físicos. Forma usada pelos profissionais que trabalham com eletricidade. 
9
Como posso relacionar 
essas grandezas?
Lei de Ohm e 
efeito Joule!
10
• Ao analisar, na primeira metade do século XIX, características de materiais submetidos a potenciais 
diferentes e as correntes originadas nesses, George Simon Ohm verificou que, para vários materiais, 
existia uma proporcionalidade entre a tensão aplicada e a corrente elétrica. Isso significa, por 
exemplo, que ao dobrarmos a voltagem aplicada a esse material, a intensidade de corrente elétrica 
também dobraria, isto é, a relação se mantem constante. Essa constante é a resistência elétrica.
tan � =  
�
�
� =  
�
�
11
• Desse modo, pode-se enunciar a lei de ohm: a intensidade de corrente elétrica (I) em um 
condutor é diretamente proporcional à tensão aplicada a ele (V) e inversamente proporcional 
a resistência dele (R). Matematicamente, tem-se:
• Para a lei de Ohm, a corrente é o efeito desejado, a tensão é a causa e a resistência é a 
oposição. 
� =  
�
�
12
• Efeito Joule: a corrente elétrica ao atravessar uma resistência dissipa calor. Esse calor 
dissipado é o efeito Joule que pode ser verificado através do aquecimento de água para um 
chuveiro elétrico. Outra forma é o aquecimento do filamento de tungstênio numa lâmpada 
incandescente, o qual emitirá um fluxo luminoso.
Efeito Joule no aquecimento da água. Efeito Joule usado na iluminação.
13
• Observe o circuito em corrente contínua:
• A potência elétrica fornecida pela fonte é:
• A tensão no resistor é a própria tensão da 
fonte: 
� = � ∙ �
� = �
• Toda a potência elétrica da fonte será 
transformada em calor na resistência R:
• A partir da Lei de Ohm, é possível obter 
outras formas de calcular a potência 
dissipada no resistor:
� = � ∙ �
� = � ∙ � = � ∙
�
� � =
�2
�
� = � ∙ � = � ∙ � ∙ � � = � ∙ �2  
14
• Em sistemas elétricos, os elementos são constituídos a partir de bipolos;
• Bipolos são dispositivos com dois terminais onde pode haver a passagem da corrente elétrica.
• Os bípolos podem ser:
a. Ativos: são os dispositivos capazes de gerar energia elétrica. Ex: Fontes de corrente ou 
tensão;
b. Passivos: são dispositivos que apenas absorvem energia elétrica. Ex: resistores, indutores 
ou capacitores.
15
• Representação de bipolos ativos em corrente contínua:
• Representação de bipolos passivos:
V A
Resistor Indutor capacitor
Fonte de tensão Fonte de corrente
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• As associações mais comuns entre resistores são:
a. Associação em série;
b. Associação em paralelo.
• Em uma associação de resistores, é possível substituir o referido conjunto de resistores por 
um único resistor capaz de “equivalentar” a todos. Esse resistor é denominado resistor 
equivalente. 
17
• A mesma corrente atravessa todos os resistores;
• A tensão é dividida entre os resistores de forma proporcional à resistência de cada um;
• A resistência equivalente entre os pontos A e B é soma de todas as resistências.
�1 = �2 = �3 = �
�1 = �1 ∙ � �2 = �2 ∙ � �3 = �3 ∙ �
�1 + �2 + �3 = �
�1 + �2 + �3 = ���
18
• Em uma associação em série, caso haja defeito em algum resistor, a corrente será 
interrompida e nenhum elemento poderá recebê-la.
19
• A mesma tensão é estabelecida nos terminais de cada um dos resistores;
• A corrente é dividida entre os resistores de forma inversamente proporcional à resistência de 
cada um;
• O inverso da resistência equivalente entre os pontos A e B é soma dos inversos de todas as 
resistências.
�1 = �2 = �3 = �
�1 =
�1
�1
�2 =
�2
�2
�1 + �2 + �3 = �
1
�1
+
1
�2
+
1
�3
=
1
���
�3 =
�3
�3
20
• Em uma associação em paralelo, caso haja defeito em algum resistor, somente a corrente no 
elemento danificado será interrompida.
21
• Resistores também podem ser associados de forma mista, isto é, através de uma combinação 
entre resistores em série e paralelo. Para o circuito abaixo, a resistência equivalente pode ser 
expressa como:
��� = �1 + 
1
�2
+
1
�3
+
1
�4
 
22
• Para o circuito ilustrado na imagem abaixo, determine a resistência equivalente entre os 
pontos A e B.
23
• Observe que os resistores circulados estão 
em paralelo. Portanto, pode-se obter o 
resistor equivalente entre eles:
• Os resistores circulados estão em série. 
Desse modo, tem-se:
���2 = 5 + 7 → ���2 = 12 Ω
24
1
���1
=
1
�1
+
1
�2
→ ���1 =
�1 ∙ �2
�1 + �2
→ ���1 = 1 Ω
���3 = 4 + 8 → ���3 = 12 Ω
Req1
Req2
Req3
• Observe que os resistores circulados estão 
em paralelo. Portanto, pode-se obter o 
resistor equivalente entre eles:
• Os resistores circulados estão em série. 
Desse modo, tem-se:
25
���4 =
12 ∙ 12
12 + 12
→ ���4 = 6 Ω
���� = 1 + 6 → ���� = 7 Ω
Req4
ReqT
Estudamos associação de resistores em corrente contínua no 
ensino médio. Mas por que não estudamos a associação de 
indutores e capacitores em corrente contínua?
26
• Relação entre tensão e corrente em resistores, indutores e capacitores:
a) Resistor b) Indutor c) Capacitor
� = � ∙ � � = � ∙
��
��
� = � ∙
��
��
Em corrente contínua, como a corrente é 
constante, a tensão no indutor será zero. 
Assim, o indutor está em curto-circuito e 
comporta-se como um fio de resistência 
nula.
Em corrente contínua, como a tensão é 
constante, a corrente no indutor será 
zero. Assim, o capacitor está aberto e 
comporta-se como um fio de resistência 
infinita.
De acordo com a lei de Ohm, há 
tensão e corrente em um resistor.
27
• Circuitos elétricos e eletrônicos estão presentes em diversos instrumentos presentes em nossa 
vida quotidiana (computadores, televisores, telefones celulares,, etc);
• A análise matemática de circuitos elétricos (cálculo de correntes, tensões, potência) é feita 
através das leis de Kirchhoff:a. Lei dos nós;
b. Lei das malhas.
• Entretanto, antes de apresentar as leis de Kirchhoff, é preciso conhecer a terminologia 
empregada em circuitos elétricos (conceito de nó, ramo e malha).
28
b. R a m o : T r e c h o d e c i r c u i t o 
compreendido entre do is nós . A 
corrente elétrica que atravessa cada 
elemento do ramo é a mesma. No 
circuito ao lado existem 3 ramos: BAFE 
(corrente I1), BE (corrente I2) e BCDE 
(corrente I3);
c. Malha: Qualquer conjunto de ramos 
formando um percurso fechado. No 
circuito ao lado tem-se 2 malhas: 
ABEFA e BCDEB. 
• A part ir do c ircuito abaixo , vamos 
discutir os principais conceitos:
a. Nó: qualquer ponto do circuito que se 
conectam três ou mais elementos. Em 
um nó a corrente se divide. No circuito, 
tem-se os nós B e E; 
29
• A 1ª Lei de Kirchhoff, ou lei dos nós, afirma que: em um nó, a soma 
algébrica das corrente é zero. Para equacionar essa lei, pode-se 
adotar a seguinte convenção:
a. Corrente é positiva quando chega a um nó (I1 e I2);
b. Corrente é negativa quando sai do nó (I3).
• A partir do equacionamento pode-se enunciar a lei dos nós de outa 
forma: em um nó, a soma das correntes que chegam é igual a soma 
das correntes que saem.
 � = 0 → �1 + �2 − �3 = 0 → �1 + �2 = �3
30
• P a r a o c i r c u i t o d a f i g u r a a b a i x o , 
determine:
a. A corrente IA;
b. Sabendo que R = 10 Ω, determine a 
tensão em cada resistor 
• Cálculo da corrente IA:
• Tensão em cada resistor:
a. Ramo BO: 
b. Ramo AO:
c. Ramo DO: 
 � = 0 → �� + 2 − 3,5 − 4 = 0
� = 10 ∙ 2 → � = 20 �
�� + 2 − 3,5 − 4 = 0 → �� = 5,5 �
� = 10 ∙ 5,5 → � = 55 �
� = 10 ∙ 3,5 → � = 35 �
31
• A 2ª Lei de Kirchhoff, ou lei das malhas, afirma que: a soma algébrica das tensões em uma 
malha é igual a zero. No circuito abaixo, a malha é o percurso fechado FABEF.
 � = 0
Mas como é possível equacionar a lei 
d a s m a l h a s ? P a r a i s s o s e r á 
n e c e s s á r i o r e a l i z a r a l g u m a s 
convenções. 
32
• Convenções para aplicar a lei de Kirchhoff das malhas:
a. Em um elemento passivo, onde a corrente entrar marca-se a polaridade como positiva. O 
outro terminal será marcado como negativo. 
b. Em uma fonte de tensão em corrente contínua, a placa maior refere-se ao terminal 
positivo e a menor ao terminal negativo.
33
• Para realizar uma equação de malha de Kirchhoff também é necessário adotar um sentido 
de percurso na malha: sentido horário ou anti-horário;
• Ao atravessar um elemento em um circuito, estamos aumentando ou reduzindo o potencial. 
Para isso, considera-se que:
1. Se atravessarmos um elemento passando do potencial maior para o menor (do + para o -), 
temos uma queda de potencial e o sinal na equação será negativo;
2. Se atravessarmos um elemento passando do potencial menor para o maior (do - para o +), 
temos uma elevação de potencial e o sinal na equação será positivo.
34
• Para o circuito abaixo, adota-se o sentido horário para percorrer a malha e escolhe-se 
começar a partir do ponto A. Caso se deseje calcular a corrente I1, tem-se o seguinte 
equacionamento:
 � = 0 →− �1 ∙ �1 − �2 ∙ �1 + �2 − �3 ∙ �1 − �4 ∙ �1 − �1 = 0
 �1 + �2 + �3 + �4 ∙ �1 = �2 − �1
�1 =
�2 − �1
�1 + �2 + �3 + �4
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• Em circuitos elétricos, para determinar as correntes através dos elementos, bem como as 
tensões aplicadas sobre estes, faz-se o uso das leis de Kirchhoff dos nós e das malhas. 
Suportadas por essas leis, existem diferentes métodos que permitem soluções com um menor 
número de cálculos. Vamos conhecer dois desses procedimentos e compará-los:
a. Solução através do método das correntes de ramo;
b. Solução através do método das correntes de malha.
36
• Para realizar a comparação entre os dois métodos, adota-se como base o circuito ilustrado 
abaixo. No referido circuito, deseja-se determinar as correntes em cada um dos elementos.
37
• Para iniciar a solução, é preciso estabelecer o conceito de “corrente de ramo”. A corrente de ramo é uma 
corrente real que circula através de cada um dos ramos do circuito. A quantidade de ramos define a 
quantidade de correntes de ramo;
• Uma vez conhecido o conceito de corrente de ramo, pode-se estabelecer uma sequência de passos para a 
determinação das correntes de ramos:
1. O sentido das correntes de ramo no circuito é desconhecido. Portanto, deve-se arbitrar o sentido das 
correntes de ramo no circuito;
2. Após arbitrar o sentido das correntes de ramo, deve-se arbitrar também o sentido de percurso das 
malhas no circuito;
3. Após determinar as correntes de ramo do circuito, deve-se atentar para o sinal da corrente. Caso o valor 
obtido para a corrente seja positiva, o sentido arbitrado está correto. Caso o sinal seja negativo, o sentido 
correto é o oposto ao adotado. 
38
• Para o circuito adotado, os sentidos das correntes de ramo (I1, I2 e I3) estão indicados, bem 
como o sentido do percurso usado para aplicar a lei de Kirchhoff das malhas (α e β). 
Ressalta-se que todos os elementos do circuito devem ser contemplados no equacionamento.
. 
39
• Vamos aplicar a lei de Kirchhoff das tensões na malha da esquerda (FABEF):
− �1 ∙ �1 + �1 − �2 ∙ �1 − �4 ∙ �2 − �2 − �5 ∙ �2 − �3 ∙ �1 = 0 → �1 + �2 + �3 ∙ �1 + �4 + �5 ∙ �2 = �1 − �2
 0,5 + 0,5 + 1 ∙ �1 + 0,5 + 0,5 ∙ �2 = 20 − 20 → 2 ∙ �1 + 1 ∙ �2 = 0    1 
40
• Vamos aplicar a lei de Kirchhoff das tensões na malha da direita (EBCDE):
+ �5 ∙ �2 + �2 + �4 ∙ �2 + �6 ∙ �3 − �3 + �7 ∙ �3 = 0 → �4 + �5 ∙ �2 + �6 + �7 ∙ �3 = �3 − �2
 0,5 + 0,5 ∙ �2 + 3 + 1 ∙ �3 = 6 − 20 → 1 ∙ �2 + 4 ∙ �3 =− 14    2 
41
• Até o momento existem 2 equações e três incógnitas, ou seja, é preciso mais uma equação 
para calcular as 3 correntes de ramos. A 3ª equação pode ser obtida a partir da lei dos nós no 
nó B. 
 � = 0 → �1 + �3 − �2 = 0
�1 + �3 = �2      3 
42
• O sistema de equações a ser resolvido é:
• Resolvendo o sistemas, obtém-se as 
seguintes correntes de ramo:
• Para as correntes cujo resultado foram 
negativos, isso significa que o sentido 
correto é o oposto. Assim, o sentido real 
das correntes de ramo está representado 
abaixo.
 
2 ∙ �1 + 1 ∙ �2 = 0
1 ∙ �2 + 4 ∙ �3 =− 14
�1 + �3 = �2
 
�1 = 1 �
�2 =− 2 �
�3 =− 3 �
43
• É preciso destacar o seguinte aspecto: correntes de malha não existem, o que existe de fato 
são as correntes de ramo;
• A resolução de circuitos com base em correntes de malha tem como objetivo simplificar os 
cálculos. Assim, calculam-se as correntes de malha e, posteriormente, determinam-se as 
correntes em cada ramo em função das correntes de malha;
• Passos para aplicar o método de correntes de malha:
1. A quantidade de correntes de malha é a quantidade de malhas;
2. Escolhe-se um sentido arbitrário para cada uma das correntes de malha;
44
3. Também de forma arbitrária, escolhe-se o percurso na malha para compor a equação;
4. Usando 2ª lei de Kirchhoff, determinam-se as “n” equações. Todos os elementos do circuito 
devem estar incluídos.
5. Resolve-se o sistema de equações, sendo calculadas as correntes de malha;
6. Após calcular as correntes de malha, calculam-se as correntes de ramo.
45
• Observação 1: Diferentemente do que acontecia na 
resolução por correntes de ramo, no método de correntes 
de malha pode acontecer que um ramo seja percorrido 
por mais de uma corrente de malha. No cálculo da queda 
de tensão, deve-se contemplar a referida queda por cada 
corrente de malha;
• Observação 2: As correntes de ramo são calculadas a 
partir das correntes de malha. Correntes de ramo no 
mesmo sentido da corrente de malha recebem sinal 
positivo. Já as correntes de ramo com sentido contrário às 
correntes de malha recebem sinal negativo.
 
�� − �� ∙ �� + �� ∙ �� = 0
�� = �� ∙ �� − �� ∙ ��
�� = �� − ��
46
• Vamos determinar agora as correntes de ramo no mesmo circuito através da técnica de 
correntes de malha. As correntes de malha são ilustradas abaixo:
47
• Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões na malha da esquerda (FABEF)no sentido horário:
− �1 ∙ �1 + �1 − �2 ∙ �1 − �4 ∙ �1 + �4 ∙ �2 − �2 − �5 ∙ �1 + �5 ∙ �2 − �3 ∙ �1 = 0
 0,5 + 0,5 + 1 + 0,5 + 0,5 ∙ �1 − 0,5 + 0,5 ∙ �2 = 20 − 20 → 3 ∙ �1 − 1 ∙ �2 = 0    1 
 �1 + �2 + �3 + �4 + �5 ∙ �1 − �4 + �5 ∙ �2 = �1 − �2
48
• Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões na malha da direita (EBCDE) no sentido horário:
�5 ∙ �1 − �5 ∙ �2 + �2 + �4 ∙ �1 − �4 ∙ �2 − �6 ∙ �2 − �3 − �7 ∙ �2 = 0
 0,5 + 0,5 ∙ �1 − 0,5 + 0,5 + 3 + 1 ∙ �2 = 6 − 20 → 1 ∙ �1 − 5 ∙ �2 =− 14    2 
 �4 + �5 ∙ �1 − �4 + �5 + �6 + �7 ∙ �2 = �3 − �2
49
• O sistema de equações a ser resolvido é:
• Resolvendo o sistemas, obtém-se as 
seguintes correntes de malha:
• Uma vez calculadas as correntes de 
malha, adota-se as correntes de ramo no 
de acordo com o circuito abaixo.
 3 ∙ �1 − 1 ∙ �2 = 01 ∙ �1 − 5 ∙ �2 =− 14
 �1 = 1 ��2 = 3�
50
• No ramo BAFE só existe uma única corrente de malha (I1) e está no mesmo sentido da ramo 
(Ia). Portanto, tem-se:
• No ramo BE há duas correntes de malha (I1 e I2). A corrente I1 está no sentido oposto ao de Ib. 
Já a corrente I2 está no mesmo sentido de Ib. Portanto, tem-se:
• No ramo BCDE só existe uma única corrente de malha (I2) e está no mesmo sentido da ramo 
(Ib). Portanto, tem-se:
�� = �2 = 3 �
�� = �1 = 1 �
�� = �2 − �1 = 2 �
51
• Ambos os métodos obtiveram o mesmo resultado final;
• O método das correntes de malha obteve a solução com menos cálculos pois resolveu um 
sistema com 2 equações e 2 incógnitas (pelo método das correntes de ramo, a solução foi 
obtida para um sistema com 3 equações e 3 incógnitas);
• Quanto maior o número de malhas do circuito, fica mais acentuada a redução dos cálculos 
para o método das correntes de malha.
52
• Para o circuito abaixo, usando o método das correntes de malha, determine:
a. As correntes em cada ramo;
b. A tensão entre os nós A e B;
c. A potência dissipada no resistor de 5 Ω.
53
• O circuito tem duas malhas. Desse modo, 
haverá duas correntes de malhas. O 
sentido arbitrário dessas correntes de 
malha IA e IB são ilustradas abaixo. 
IA IB
• Percorrendo a malha da esquerda no 
sentido horário, tem-se a equação (1):
• Percorrendo a malha da direita no sentido 
horário, tem-se a equação (2):
−2 ∙ �� + 30 − 10 − 1 ∙ �� + 1 ∙ �� = 0
3 ∙ �� − 1 ∙ �� = 20        1 
1 ∙ �� − 1 ∙ �� + 10 − 5 ∙ �� = 0
−1 ∙ �� + 6 ∙ �� = 10        2 
54
• O sistema de equações a ser resolvido é:
• Resolvendo o sistemas, obtém-se as 
seguintes 
• Cálculo da correntes de ramo:
• Cálculo da tensão entre os pontos A e B:
• Potência dissipada no resistor de 5 Ω:
 3 ∙ �� − 1 ∙ �� = 20−1 ∙ �� + 6 ∙ �� = 10
 
�� =
130
17  �
�� =
50
17  �
�1 = �� =
130
17
� �2 = �� − �� =
80
17
� �3 = �� =
50
17
�
��� = 5 ∙ �3 → ��� = 5 ∙
50
17
→ ��� =
250
17
 �
�5Ω = 5 ∙ �3 2 → �5Ω = 5 ∙ 
50
17
 
2
→ �5Ω = 43,25 �
55