FerramentasMatematicasAplicadas-AulaTeorica04

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Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
Ferramentas Matemáticas Aplicadas
Aula 4
66
‹nº›
Conversa Inicial
66
‹nº›
Derivadas
Máximos e mínimos
Otimização em 3D
Integrais
Áreas
66
‹nº›
Derivadas
66
‹nº›
Derivada: 
66
‹nº›
Calcule, por meio do Python, a derivada primeira de cada uma das seguintes funções
a) f(x)=-2x3-4x2+13x-1
Resolução
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=-2*x**3-4*x**2+13*x-1
diff(f, x)
f’(x)=-6x2-8x+13
Exemplo
66
‹nº›
b) g(x)=2x+ln(x)
Resolução
from sympy import *
x,g=symbols("x g")
g=2*x+ln(x)
diff(g, x)
g’(x)=2+1/x
66
‹nº›
c) h(x)=sen(x)
from sympy import *
x,h=symbols("x h")
h=sin(x)
diff(h, x)
h’(x)=cos(x)
66
‹nº›
d) r(x)=tg(x)
from sympy import *
x,r=symbols("x r")
r=tan(x)
diff(r, x)
r’(x)=tan2(x)+1
66
‹nº›
e) q(x)=sen(x)cos(x)
from sympy import *
x,q=symbols("x q")
q=sin(x)*cos(x)
diff(q, x)
q’(x)=-sen2(x)+cos2(x)
66
‹nº›
f) 
from sympy import *
x,v=symbols("x v")
v=(x**2-5*x)**(1/2)
diff(v, x)
v’(x)=(x-2,5)(x2-5x)-0,5
66
‹nº›
g) 
from sympy import *
x,t=symbols("x t")
t=(3*x**2-4*x)/(2*x**3+6) 
diff(t, x)
t’(x)=-6x2(3x2-4x)/(2x3+6)2+
(6x-4)/(2x3+6)
66
‹nº›
Calcule, por meio do Python, a derivada segunda de cada uma das seguintes funções
a) f(x)=-2x3-4x2+13x-1
Resolução
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=-2*x**3-4*x**2+13*x-1
diff(f, x, 2)
f’’(x)=-4(3x+2)=-12x-8
Exemplo
66
‹nº›
b) g(x)=2x+ln(x)
Resolução
from sympy import *
x,g=symbols("x g")
g=2*x+ln(x)
diff(g, x, 2)
g’’(x)=-1/x2
66
‹nº›
c) h(x)=sen(x)
from sympy import *
x,h=symbols("x h")
h=sin(x)
diff(h, x, 2)
h’(x)=-sen(x)
66
‹nº›
Máximos e Mínimos
66
‹nº›
A relação entre o preço de venda x
de um modelo de aparelho de telefone
celular e o lucro y referente
à comercialização desse aparelho é dada
pela função y=-4x2+4000x-200000
Sendo assim, qual é o preço de venda que maximiza o lucro?
Qual é o lucro máximo?
66
‹nº›
from sympy import *
x,y = symbols("x y")
y=-4*x**2+4000*x-200000
df=diff(y, x)
d2f=diff(y, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
l=y.subs(x, p[0])
ds=d2f.subs(x, p[0])
print('Preço ótimo: ',p[0])
print('Lucro máximo: ',l)
print('Derivada segunda: ',ds)
66
‹nº›
from sympy import *
x,y = symbols("x y")
y=-4*x**2+4000*x-200000
df=diff(y, x)
d2f=diff(y, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
l=y.subs(x, p[0])
ds=d2f.subs(x, p[0])
print('Preço ótimo: ',p[0])
print('Lucro máximo: ',l)
print('Derivada segunda: ',ds)
Preço ótimo: 500
Lucro máximo: 800000
Derivada segunda: -8
18
O custo c referente à produção diária de x unidades de certo item corresponde a c(x)=x2-20x+300
Qual é o nível de produção que minimiza o custo?
Faça o gráfico
66
‹nº›
from sympy import *
x,c = symbols("x c")
c=x**2-20*x+300
df=diff(c, x)
d2f=diff(c, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
ds=d2f.subs(x, p[0])
print('Produção ótima: ',p[0])
print('Derivada segunda: ',ds)
66
‹nº›
from sympy import *
x,c = symbols("x c")
c=x**2-20*x+300
df=diff(c, x)
d2f=diff(c, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
ds=d2f.subs(x, p[0])
print('Produção ótima: ',p[0])
print('Derivada segunda: ',ds)
Produção ótima: 10
Derivada segunda: 2
20
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.linspace(0,25,100)
c=x**2-20*x+300
plt.plot(x, c)
plt.show()
66
‹nº›
400
350
300
250
200
	0	5	10	15	20	25
21
Uma indústria de carne congelada realizou um estudo e chegou à conclusão de que o lucro mensal L(x) é dado em função do preço x do quilo da carne congelada, e essa relação é descrita pela função L(x)=-120x2+4800x
Determine para quais valores de x o lucro mensal é máximo
66
‹nº›
from sympy import *
x,L = symbols("x L")
L=-120*x**2+4800*x
df=diff(L, x)
d2f=diff(L, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
ds=d2f.subs(x, p[0])
print('Preço ótimo: ',p[0])
print('Derivada segunda: ',ds)
66
‹nº›
from sympy import *
x,L = symbols("x L")
L=-120*x**2+4800*x
df=diff(L, x)
d2f=diff(L, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
ds=d2f.subs(x, p[0])
print('Preço ótimo: ',p[0])
print('Derivada segunda: ',ds)
Preço ótimo: 20
Derivada segunda: -240
23
A função f(x)=-0,04185x4+2,52027x3-54,81718x2+509,27586x-1624,86959 descreve a variação do consumo de lanches em uma praça de alimentação de um centro comercial onde x é o horário, das 12 às 22 horas, e f(x) é o respectivo consumo em unidades vendidas
Em que horário o consumo foi máximo?
Em qual horário o consumo foi mínimo?
Faça o gráfico
66
‹nº›
from sympy import *
x,f = symbols("x f")
f=-0.04185*x**4+2.52027*x**3-54.81718*x**2+509.27586*x-1624.86959
df=diff(f, x)
d2f=diff(f, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
print(p)
print('Mínimo: ',p[1])
print('Máximo: ',p[2])
66
‹nº›
66
‹nº›
from sympy import *
x,f = symbols("x f")
f=-0.04185*x**4+2.52027*x**3-54.81718*x**2+509.27586*x-1624.86959
df=diff(f, x)
d2f=diff(f, x, 2)
p=solve(Eq(df,0))
print(p)
print('Mínimo: ',p[1])
print('Máximo: ',p[2])
[10.1981485082868 + 0.e-22*I, 14.7684642235581 – 0.e-22*I, 20.1995163004132 – 0.e-21*I]
Mínimo: 14.7684642235581 – 0.e-22*I
Máximo: 20.1995163004132 – 0.e-22*I
26
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.linspace
(12,22,100)
f=-0.04185*x**
4+2.52027*x**3-54.81718*x**2+509.27586*x-1624.86959
plt.plot(x, f)
plt.show()
66
‹nº›
100
95
90
85
80
75
70
	12	14	16	18	20	22
27
Um objeto desloca-se em linha reta, e a relação entre a distância considerada em metros do objeto à origem e o tempo em segundos é dada por s=2t2+3t
Sabendo que a velocidade corresponde à derivada de s em relação a t, determine a velocidade do objeto quando t=2 segundos
66
‹nº›
from sympy import *
s,t = symbols("s t")
s=2*t**2+3*t
ds=diff(s, t)
v=s.subs(ds, 2)
print('Velocidade: %.2f m/s ' % v)
66
‹nº›
from sympy import *
s,t = symbols("s t")
s=2*t**2+3*t
ds=diff(s, t)
v=s.subs(ds, 2)
print('Velocidade: %.2f m/s ' % v)
Velocidade: 11.00 m/s
29
Otimização em 3D
66
‹nº›
Dada a função f(x,y)=x2+y2, faça o gráfico e em seguida obtenha e classifique os pontos críticos
66
‹nº›
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
xx=np.linspace(-5,5,100)
yy=np.linspace(-5,5,100)
x,y=np.meshgrid(xx,yy)
z=x**2+y**2
fig=plt.figure()
ax=plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(x,y,z)
66
‹nº›
-4	-2	0	2	4
-4	-2	0	2	4
50
40
30
20
10
32
from sympy import *
x,y,f = symbols("x y f")
f=x**2+y**2
fx=diff(f, x)
fy=diff(f, y)
fxx=diff(f, x, 2)
fyy=diff(f, y, 2)
fxy=diff(fx,y)
fyx=diff(fy,x)
66
‹nº›
px=solve(Eq(fx,0))
py=solve(Eq(fy,0))
fxxp=fxx.subs({x:px[0], y:py[0]})
fyyp=fyy.subs({x:px[0], y:py[0]})
fxyp=fxy.subs({x:px[0], y:py[0]})
fyxp=fyx.subs({x:px[0], y:py[0]})
D=fxxp*fyyp-fxyp*fyxp
print('Solução: (%.2f, %.2f)' % (px[0], py[0]))
print('Determinante: ',D)
print('Derivada segunda em relação a x: ',fxxp)
66
‹nº›
66
‹nº›
print('Solução: (%.2f, %.2f)' % (px[0], py[0]))
print('Determinante: ',D)
print('Derivada segunda em relação a x: ',fxxp)
Solução: (0.00, 0.00)
Determinante: 4
Derivada segunda em relação a x: 2
35
Considerando a função
f(x,y)=(1-x2)2+100(y-x2)2, faça o gráfico
e em seguida determine e classifique os pontos críticos
66
‹nº›
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
xx=np.linspace(-5,5,100)
yy=np.linspace(-5,5,100)
x,y=np.meshgrid(xx,yy)
f=(1-x**2)**2+100*(y-x**2)**2
fig=plt.figure()
ax=plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(x,y,f)
66
‹nº›
-4	-2	0	2	4
-4	-2	0	2	4
80000
60000
40000
20000
37
from sympy import *
x,y,f = symbols("x y f")
f=(1-x)**2+2*(3-y)**2
fx=diff(f, x)
fy=diff(f, y)
fxx=diff(f, x, 2)
fyy=diff(f, y, 2)
fxy=diff(fx,y)
fyx=diff(fy,x)
66
‹nº›
px=solve(Eq(fx,0))
py=solve(Eq(fy,0))
fxxp=fxx.subs({x:px[0], y:py[0]})
fyyp=fyy.subs({x:px[0], y:py[0]})
fxyp=fxy.subs({x:px[0], y:py[0]})
fyxp=fyx.subs({x:px[0], y:py[0]})
D=fxxp*fyyp-fxyp*fyxp
print('Solução: (%.2f, %.2f)' % (px[0], py[0]))
print('Determinante: ',D)
print('Derivada segunda em relação a x: ',fxxp)
66
‹nº›
66
‹nº›
print('Solução: (%.2f, %.2f)' % (px[0], py[0]))
print('Determinante: ',D)
print('Derivada segunda em relação a x: ',fxxp)
Solução: (1.00, 3.00)
Determinante:8
Derivada segunda em relação a x: 2
40
Integrais
66
‹nº›
Calcule, por meio do Python, se possível, a integral indefinida de cada uma das seguintes funções
a) f(x)=-2x3-4x2+13x-1
Resolução
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=-2*x**3-4*x**2+13*x-1
integrate(f, x)
F(x)=-x4/4-4x3/3+13x2/2-x+C
Exemplo
66
‹nº›
b) g(x)=2x+ln(x)
Resolução
from sympy import *
x,g=symbols("x g")
g=2*x+ln(x)
integrate(g, x)
G(x)=x2+x.log(x)-x+C
66
‹nº›
c) h(x)=sen(x)
from sympy import *
x,h=symbols("x h")
h=sin(x)
integrate(h, x)
H(x)=-cos(x)+C
66
‹nº›
d) r(x)=tg(x)
from sympy import *
x,r=symbols("x r")
r=tan(x)
integrate(r, x)
R(x)=-log(cos(x))+C
66
‹nº›
e) q(x)=sen(x)cos(x)
from sympy import *
x,q=symbols("x q")
q=sin(x)*cos(x)
integrate(q, x)
Q(x)=sen2(x)/2
66
‹nº›
f) 
from sympy import *
x,v=symbols("x v")
v=(x**2-5*x)**(1/2)
integrate(v, x)
V(x)=Integral((x**2-5*x)**0.5,x)
66
‹nº›
g) 
from sympy import *
x,t=symbols("x t")
t=(3*x**2-4*x)/(2*x**3+6) 
integrate(t, x)
T(x)=-6x2(3x2-4x)/(2x3+6)2+
(6x-4)/(2x3+6)
66
‹nº›
Utilizando o Python, calcule a integral definida da função f(x)=-2x3-4x2+13x-1 no intervalo [1, 2]
66
‹nº›
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=-2*x**3-4*x**2+13*x-1
integrate(f, (x, 1, 2))
5/3
66
‹nº›
Áreas
66
‹nº›
Seja a função f(x)=x2
Obtenha a área entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [0, 2]
Faça o gráfico
66
‹nº›
from sympy import *
x,f=symbols("x f")
f=x**2
integrate(f, (x, 0, 2))
8/3
66
‹nº›
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sy
x=np.linspace(-1,3,1000)
f=x**2
plt.plot(x,f,color='blue')
plt.axhline(color='blue')
plt.fill_between(x, f, where=[(x>0) and (x<2) for x in x],color='green')
66
‹nº›
8
6
4
2
0
	-1.0	-0.5	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
54
Qual é a área abaixo da curva y=x3, de x=1 a x=3?
66
‹nº›
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np
x,f=symbols("x f")
f=x**3
A=integrate(f, (x, 1, 3))
66
‹nº›
x=np.linspace(0.5,3.5,1000)
f=x**3
plt.plot(x,f,color='blue')
plt.axhline(color='blue')
plt.fill_between(x, f, where=[(x>1) and (x<3) for x in x],color='magenta')
print('Área:', A)
66
‹nº›
66
‹nº›
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np
x,f=symbols("x f")
f=x**3
A=integrate(f, (x, 1, 3))
x=np.linspace(0.5,3.5,1000)
f=x**3
plt.plot(x,f,color='blue')
plt.axhline(color='blue')
plt.fill_between(x, f, where=[(x>1) and (x<3) for x in x],color='magenta')
print('Área:', A)
Área: 20
40
30
20
10
0
	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5
58
Calcule a área limitada pelo gráfico da função y=-x2+4x+1 e pelo eixo x
66
‹nº›
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np
x,f=symbols("x f")
f=-x**2+4*x+1
coeff=[-1, 4, 1]
r=np.roots(coeff)
A=integrate(f, (x, min(r), max(r)))
66
‹nº›
60
x=np.linspace(min(r)-0.5,max(r)+0.5,1000)
f=-x**2+4*x+1
plt.plot(x,f,color='blue’)
plt.axhline(color='blue’)
plt.fill_between(x, f, where=[(x>min(r)) and (x<max(r)) for x in x],color='yellow’)
print('Área:', A)
66
‹nº›
66
‹nº›
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np
x,f=symbols("x f")
f=-x**2+4*x+1
coeff=[-1, 4, 1]
r=np.roots(coeff)
A=integrate(f, (x, min(r), max(r)))
x=np.linspace(min(r)-0.5,max(r)+0.5,1000)
f=-x**2+4*x+1
plt.plot(x,f,color='blue’)
plt.axhline(color='blue’)
plt.fill_between(x, f, where=[(x>min(r)) and (x<max(r)) for x in x],color='yellow’)
print('Área:', A)
Área: 14.9071198499986
5
4
3
2
1
0
-1
-2
	-1	0	1	2	3	4	5
62
Calcule a área limitada pelos gráficos das funções y=2x e y=1/x, com x variando de 1 a 4
66
‹nº›
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np
x,f,g=symbols("x f g")
f=2*x
g=1/x
A=integrate((f-g), (x, 1, 4))
66
‹nº›
x=np.linspace(0.5,4.5,1000)
f=2*x
g=1/x
plt.plot(x,f,color='blue’)
plt.plot(x,g,color='red’)
plt.axhline(color='black’)
plt.fill_between(x, f, g, where=[(x>1) and (x<4) for x in x],color='magenta’)
print('Área:', A)
66
‹nº›
66
‹nº›
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import numpy as np
x,f,g=symbols("x f g")
f=2*x
g=1/x
A=integrate((f-g), (x, 1, 4))
x=np.linspace(0.5,4.5,1000)
f=2*x
g=1/x
plt.plot(x,f,color='blue’)
plt.plot(x,g,color='red’)
plt.axhline(color='black’)
plt.fill_between(x, f, g, where=[(x>1) and (x<4) for x in x],color='magenta’)
print('Área:', A)
Área: -log(4) + 15
8
6
4
2
0
	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0	4.5
66
66
‹nº›