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Teoria dos Números e Álgebra AD1 - Primeira Avaliação a Distância - 2021.2 - Aulas 1 a 5 O Princı́pio de Indução Matemática é um dos principais tópicos da disciplina de Álgebra 1. É importante que você tenha clareza do seu enunciado e de como aplicá-lo, a questão a seguir tem como objetivo reforçar o aprendizado desse importante conteúdo. 1a Questão: (a) (1,0 ponto) Prove por indução matemática que 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + ... + 2 · n = n2 + n, qualquer que seja o n maior ou igual a 1. (b) (1,0 ponto) Prove por indução matemática que n−1∑ i=1 i (i + 1) = n (n− 1) (n + 1)3 , ∀ inteiros n ≥ 2. (c) (1,0 ponto) Ache a fórmula fechada para a soma n∑ i=2 1 (i− 1)i , ∀ inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática. (d) (1,0 ponto) Prove a seguinte afirmação P (n) usando indução matemática. P (n) : Qualquer inteiro positivo n ≥ 8 pode ser escrito como a soma de 3’s e 5’s. Solução: (a) Primeiramente precisamos verificar que a afirmação é válida para o primeiro n, isto é, para n = 1. De fato, 2 · 1 = 12 + 1 = 2. Como hipótese de indução, iremos admitir que a afirmação é válida para n = k, isto é, 2 · 1 + 2 · 2 + ... + 2 · k = k2 + k. 1 A partir disso vamos mostrar que a afirmação é válida para n = k + 1. 2 · 1 + 2 · 2 + ... + 2 · k + 2 · (k + 1) = k2 + k + 2k + 2 = = (k + 1)2 + (k + 1) , que é a expressão correspondente a n = k + 1. Critério de correção: (a) • 0,3 se verificou o caso n = 1; • 0,3 se formulou corretamente a hipótese de indução; • 0,4 se fez corretamente o passo indutivo. (b) Verifiquemos que a expressão é verdadeira para n = 2. De fato, 2−1∑ i=1 i (i + 1) = 1 · 2 = 2 · (2− 1) · (2 + 1)3 = 2. Como hipótese de indução, admitimos que a afirmação é verdadeira para n = k, ou seja, k−1∑ i=1 i (i + 1) = k · (k − 1) · (k + 1)3 . Mostremos que o resultado vale para n = k + 1. k∑ i=1 i (i + 1) = k−1∑ i=1 i (i + 1) + k (k + 1) = k · (k − 1) · (k + 1)3 + k (k + 1) = = k (k + 1)3 [(k − 1) + 3] = (k + 1) k (k + 2) 3 . Critério de correção: (b) • 0,3 se verificou o caso n = 2; • 0,3 se formulou corretamente a hipótese de indução; • 0,4 se fez corretamente o passo indutivo. 2 (c) Nossa suposição é de que n∑ i=2 1 (i− 1) i = 1− 1 n , ∀ n ≥ 2. Vamos provar que tal suposição é verdadeira usando indução matemática sobre n. Inicialmente devemos verificar que a afirmação é verdadeira para n = 2. De fato, 2∑ i=2 1 (i− 1) i = 1 2 = 1− 1 2 . Como hipótese de indução, vamos admitir que: k∑ i=2 1 (i− 1) i = 1− 1 k . Provemos, a partir da nossa hipótese de indução, que o resultado vale para n = k + 1. k+1∑ i=2 1 (i− 1) i = k∑ i=2 1 (i− 1) i + 1 k (k + 1) = = 1− 1 k + 1 k (k + 1) = 1− 1 k + 1 ( k + 1 k − 1 k ) = 1− 1 k + 1 . Critério de correção: (c) • 0,3 se achou corretamente a fórmula fechada; • 0,2 se verificou o caso n = 2; • 0,2 se formulou corretamente a hipótese de indução; • 0,3 se fez corretamente o passo indutivo. (d) Para n = 8, temos que 8 = 3 + 5 e assim a afirmação é verdadeira. Nosso passo indutivo é: se a fórmula é verdadeira para n = k então deve ser verdadeira para n = k + 1, isto é, se vale P (k) : k = 3a + 5b, para a ≥ 0 e b ≥ 0. [hipótese de indução]. Então devemos mostrar que P (k + 1) : k + 1 = 3a′ + 5b′ 3 para a′ ≥ 0 e b′ ≥ 0. Temos dois casos a considerar para k + 1: • b 6= 0. Nesse caso é possı́vel substituir um 5 por dois 3′s. k + 1 = 3a + 5b + 1 + 5− 5 = = 3a + 5 (b− 1) + 6 = = 3a + 3 · 2 + 5 (b− 1) = = 3 · (a + 2) + 5 · (b− 1) = 3a′ + 5b′. • b = 0. Neste caso, devemos adicionar e subtrais 9 = 3 · 3. k + 1 = 3a + 1 = 3a + 3 · 3− 3 · 3 + 1 = = 3 (a− 3) + 3 · 3 + 1 = 3a′ + 5 · 2 = = 3a′ + 5b′. Critério de correção: (d) • 0,3 se verificou o caso n = 8; • 0,3 se formulou corretamente a hipótese de indução; • 0,4 se fez corretamente o passo indutivo. Para todo m ∈ N, seja tm = m(m + 1) 2 tm chama-se o m−ésimo número triangular. A partir daı́ responda a questão seguinte. 2a Questão: (2,0 pontos) Prove que para todo número natural n vale: n é um número triângular se, e somente se, 8n + 1 é um quadrado perfeito. Solução: Primeiramente vamos mostrar que se n é um número triangular então 8n + 1 é um quadrado perfeito. Seja então n tal que n = tm para algum m ∈ N. Então 8n + 1 = 8tm + 1 = 8 [ m (m + 1) 2 ] + 1 = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1)2 4 é um quadrado perfeito. Provemos agora a afirmação contrária, ou seja, se 8n + 1 é um quadrado perfeito, então n é um número triangular. Seja então 8n + 1 = k2 um quadrado perfeito. Como k é ı́mpar e k ≥ 3, então k − 1 2 ∈ N. Se fizermos m = k − 1 2 então tm = tk−1 2 = k − 1 2 ( k − 1 2 + 1 ) 2 = k2 − 1 8 = n, mostrando que n é um número triangular. Critério de correção: • 1,0 ponto se provou corretamente que se n é um número triangular então 8n + 1 é um quadrado perfeito; • 1,0 ponto pela demonstração correta do sentido contrário, isto é, se 8n + 1 é um quadrado perfeito, então n é um número triangular. 3a Questão: (2, 0 pontos) Mostre que se m e n são inteiros positivos, então mdc(2m, 3n) = 1. Solução: Observe, inicialmente, que, como 3n = 3 · 3 · ... · 3 (n fatores) e 2 é primo e diferente de 3, então, pelo lema 1 da aula 8, 2 - 3n. • Nenhum múltiplo de 2 é divisor de 3n De fato, suponhamos que exista um inteiro q tal que 2q | 3n. Então existe um inteiro k tal que 3n = (2q)k = 2(qk) e, portanto, 2 | 3n, contradizendo o que foi provado acima. Conclusão: Nenhum múltiplo de 2 é divisor de 3n. • Por outro lado, note que D(2m) = {±1,±2,±22,±23, ...,±2m} Dessa forma, tem -se que D(2m) ∩D(3n) = {±1} e, portanto, mdc(2m, 3n) = 1. Critério de correção: 5 • 0,5 ponto se observou corretamente que 2 - 3n; • 0,5 ponto se concluiu corretamente que nenhum múltiplo de 2 é divisor de 3n. • 1,0 ponto pela conclusão correta. 4a Questão: (2, 0 pontos) Mostre que se a, b e c são inteiros tais que a | bc e mdc(a, b) = 1, então a | c. Solução: Como mdc(a, b) = 1, então existem inteiros r e s tais que ar + bs = 1 e, portanto, acr + bcs = c. Como a | bc, existe um inteiro q tal que bc = aq. Assim c = acr + bcs = acr + aqs = a(cr + qs) = aq, e,portanto, a | c. Critério de correção: • 1,0 ponto se observou corretamente que existem inteiros r e s tais que ar + bs = 1; • 1,0 ponto pela conclusão correta. 6
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