Lista de exercício I - geometria espacial

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1. (UNESP) Sejam α e β planos perpendiculares, α ∩ β = r. Em α, considera-se uma reta s perpendicular à r, s ∩ r = {A}, e, em β, considera-se t oblíqua a r, t ∩ r = {A}. Dentre as afirmações:
I. s é perpendicular a β.
II. t é perpendicular à s.
III. O plano determinado por s e t é perpendicular a β.
IV. Todo plano perpendicular à s e que não contém A é paralelo a β.
Pode-se garantir que:
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente IV é falsa.
e) nenhuma é falsa.
2. (FATEC) Na figura a seguir, tem-se o plano α definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a α em A, com A ∈ c; o ponto B, interseção de c e d. Se X é um ponto de b, X ∉ α, então a reta s, definida por X e B,
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b.
c) está contida no plano α.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
3.(UFSCAR) Considere um plano α e um ponto P qualquer do espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicular a α, a intersecção dessa reta com α é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre α. No caso de uma figura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre α é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos.
Com relação a um plano α qualquer fixado, pode-se dizer que:
a) a projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar numa semi-reta.
b) a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta numa reta.
c) a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar num segmento de reta.
d) a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar num quadrilátero.
e) a projeção ortogonal de uma circunferência pode resultar num segmento de reta.
4. Analisando uma das tendas da fotografia a seguir. Matheus percebeu que sua base é um quadrado de lado 2m e suas faces laterais são triângulos equiláteros congruentes. Interessado em determinar as medidas dos ângulos existentes na tenda, Matheus construiu o seguinte modelo matemático, no qual o ponto O representa o centro da base e VO, a altura da tenda. Baseado nessas informações, determine a medida, em metros, da altura da tenda:
a) b) c) d) 2 e) 3
5. João segura um disco de diâmetro 4 cm, deixando a superfície do disco paralela ao solo. Se os raios solares incidem sobre a superfície do disco formando um ângulo de 60° com a horizontal, qual é a área, em cm², da sombra gerada pelo disco no piso plano e horizontal?
a) 16 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2
6. (Enem) No projeto de uma nova máquina, um engenheiro encomendou a um torneiro mecânico a fabricação de uma peça, obtida a partir do recorte em um cubo, como ilustrado na figura. Para isso, o torneiro forneceu, juntamente com o desenho tridimensional da peça, suas vistas frontal, lateral e superior, a partir das posições indicadas na figura. Para facilitar o trabalho do torneiro, as arestas dos cortes que ficam ocultos nas três vistas devem ser representadas por segmentos tracejados, quando for o caso. As vistas frontal, lateral e superior que melhor representam o desenho entregue ao torneiro são:
7. (Enem) Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às da figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao final da aula, solicitou que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. Depois de guardadas, os alunos fizeram um esboço da vista lateral da cadeira fechada.
9. (Enem) Durante uma atividade, um grupo de escoteiros mirins, numa atividade num parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto em que foram usadas hastes metálicas. Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos. A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por.
10. (Enem) Uma formiga move-se sobre um castiçal de vidro transparente, do ponto A para B em linha reta, percorre o arco circular BCD, sendo C localizado na parte da frente do castiçal, e desce o arco DE, como representado na figura.
11. (Enem 2020) A Figura 1 apresenta uma casa e a planta do seu telhado, em que as setas indicam o sentido do escoamento da água de chuva. Um pedreiro precisa fazer a planta do escoamento da água de chuva de um telhado que tem três caídas de água, como apresentado na Figura 2. A figura que representa a planta do telhado da Figura 2 com o escoamento da água de chuva que o pedreiro precisa fazer é:
12. (PUC) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é:
a) 4
b) 12
c) 10
d) 6
 e) 8
13. (ENEM 2021) Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura, observa-se um octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas. Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da planificação dada?
a) 1, 2, 3 e 4
b) 1 e 3
c) 1
d) 2
e) 4
14. (PUC) Um poliedro convexo é formado por faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma dos ângulos de todas as faces é igual a 12 ângulos retos. Qual o número de arestas desse poliedro? 
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 1
16.(ENEM) O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes às faces. Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a
a) 10
b) 12
c) 25
d) 42
e) 48.
17. (ENEM/2019) No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares. Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?
a) V + F = A
b) V + F = A - 1
c) V + F = A + 1
d) V + F = A + 2
e) V + F = A + 3
18. (ENEM) Existe uma incrível e fascinante quantidade de relações geométricas entre formas poliédricas, responsáveis por inúmeras estruturas da natureza. Lembrando os poliedros de Platão, vejam que interessante a correspondência entre as formas de alguns desses poliedros: o dodecaedro possui 12 faces e 20 vértices, enquanto o icosaedro possui 20 faces e 12 vértices. Além disso, ambos possuem 30 arestas e, por isso, dizemos que o dodecaedro é dual (ou conjugado) do icosaedro e, analogamente, o icosaedro é dual do dodecaedro. Com base nessas observações, podemos afirmar que, dentre os poliedros abaixo, o único que é dual ao cubo é o
a) octaedro
b) tetraedro
c) hexaedro
d) dodecaedro
e) icosaedr​o
19. (ENEM/2021) O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas.
Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e umaoutra esfera foi construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas pelas diagonais do cubo. Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por um elevador, que permite o deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central. Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representada por:
20. (ENEM/2022) Na figura estão destacadas duas trajetórias sobre a superfície do globo terrestre, descritas ao se percorrer parte dos meridianos 1, 2 e da Linha do Equador, sendo que os meridianos 1 e 2 estão contidos em planos perpendiculares entre si. O plano α é paralelo ao que contém a Linha do Equador. A vista superior da projeção ortogonal sobre o plano α dessas duas trajetórias é
2. Se o perímetro de um hexágono regular é 36 cm, a área do círculo circunscrito é, em cm²,
a) 4
b) 6
c) 9
d) 36
e) 72
3. (ENEM/2021) O dono de uma loja pretende usar cartões imantados para a sua divulgação de sua loja. A empresa que fornecerá o serviço lhe informa que o custo de fabricação do cartão é de R$0,01 por centímetro quadrado e que disponibiliza modelos tendo como faces úteis para impressão: um triângulo equilátero de lado 12 cm; um quadrado de lado 8 cm; um retângulo de lados 11 cm e 8 cm; um hexágono regular de lado 6cm; um círculo de diâmetro 10 cm. O dono da loja está disposto a pagar, no máximo, R$0,80 por cartão. Ele escolherá, dentro desse limite de preço, o modelo que tiver maior área de impressão. Use 3 como aproximação para e use 1,7 como aproximação para .
Nessas condições, o modelo que deverá ser escolhido tem como face útil para impressão um
a) triângulo
b) quadrado
c) retângulo
d) hexágono
e) círculo 
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