68 - APOSTILA - GESTÃO FINANCEIRA (1)

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Gestão Financeira
Professor Mestre Fábio Oliveira Vaz
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FICHA CATALOGRÁFICA
FACULDADE DE TECNOLOGIA E 
CIÊNCIAS DO NORTE DO PARANÁ. 
Núcleo de Educação a Distância;
VAZ, Fábio Oliveira.
Gestão Financeira. Fábio. Oliveira Vaz.
Paranavaí - PR.: Fatecie, 2020. 108 p.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária
Zineide Pereira dos Santos.
AUTOR
Professor Mestre Fábio Oliveira Vaz
Mestre em Administração com a linha de pesquisa em Gestão de Pessoas e 
Organizações pela Universidade Metodista (SP). Pós-Graduado MBA em Marketing pela 
Faculdade Maringá (PR). Possui graduação em Administração pela Faculdade Estadual de 
Educação Ciências e Letras de Paranavaí (2007) e Graduação em Sistemas para Internet. 
Foi Professor na Unicesumar no núcleo de EAD (Educação a Distância) e da UniFatecie - 
Faculdade de Tecnologia do Norte do Paraná (PR). Professor de Pós-Graduação do Instituto 
Paranaense de Ensino – Maringá (PR) e da MaxPós (Faculdade Ingá) de Dourados (MS). 
Tem experiência na área de Administração, Produção, Finanças, Logística e Marketing. 
Proprietário da F2 Consultoria de Marketing e Comunicação. Coordenador dos cursos de 
Gestão do EAD Unifatecie-PR. Coordenador do Curso Superior de Tecnologia em Sistemas 
para Internet da Unifatecie-PR. Palestrante e Consultor Empresarial.
Lattes: http://lattes.cnpq.br/0504949015926787
http://lattes.cnpq.br/0504949015926787
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Caro(a) aluno(a), vamos, a partir daqui trabalhar esse conteúdo tão importante para 
os gestores conhecendo sobre a Gestão Financeira, bem como Cálculos, juros, matemática 
comercial, finanças, decisão e análise de investimentos, além de refletirmos sobre questões 
que permeiam o empreendedorismo e o plano de negócios.
Você terá a oportunidade de praticar com atividades desenvolvidas para a aplicação 
das fórmulas matemáticas e entenderá o uso da calculadora financeira HP-12C, que é uma 
ferramenta que facilita e agiliza os cálculos, ajudando na tomada de decisão em finanças 
de forma rápida e eficiente.
Este material de estudo irá levá-lo a perceber que as tomadas de decisão e a gestão 
estão diretamente ligadas com as questões financeiras, e o desenvolvimento de um plano 
de negócios irá ajudar a melhor gerir o dinheiro e as estratégias do negócio. Além disso, se 
tornará evidente que sem entender as questões financeiras e como planejar nosso negócio, 
teremos dificuldades em ter sucesso em nossos projetos. Por isso, é essencial entender 
como funciona o mercado financeiro e todas as questões de um plano de negócios, desta 
forma, estando preparado para as diversidades existentes no mercado atual.
O mercado é altamente mutável e difícil de prever, por isso é essencial um bom 
plano de ação, mas com conhecimento das questões econômicas e financeiras, para ter 
uma tomada de decisão pautada em dados e informações que facilitem atingir os objetivos 
traçados.
Todas as nossas decisões são de extrema importância, pois irão refletir no futuro 
o sucesso ou fracasso das ações que iremos adotar. Por isso, esteja pronto para planejar, 
avaliar, calcular para que seja possível desenvolver a capacidade de tomar decisões 
estratégicas e pautadas em dados concretos.
Então, a partir de agora, tome a decisão de aprender um pouco mais sobre gestão 
financeira. Esteja preparado para ser um profissional diferenciado e capaz de lidar com 
tudo que possa acontecer no mercado financeiro.
Ótimos estudos!
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 6
Conceitos Iniciais em Finanças
UNIDADE II ................................................................................................... 24
Juros e Descontos
UNIDADE III .................................................................................................. 57
Rendas, Empréstimos e Inflação
UNIDADE IV .................................................................................................. 85
Finanças e Empreendedorismo
6
Plano de Estudo:
1. CONJUNTURA ECONÔMICA BRASILEIRA
2. MATEMÁTICA COMERCIAL
3. REGRA DE TRÊS
4. PORCENTAGEM
Objetivos de Aprendizagem:
• Conceituar o papel das finanças no mercado
• Compreender o uso da matemática comercial
• Estabelecer a importância das regra de três e da porcentagem nos cálculos
UNIDADE I
Conceitos Iniciais em Finanças
Professor Mestre Fábio Oliveira Vaz
7UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a)! Trabalhar com números e cálculos é sempre algo que causa 
certo espanto, porém não podemos trabalhar nossas ações estratégicas sem entender de 
mercado financeiro e sua importância em nossas ações.
Neste material pretendemos ampliar seus conhecimentos sobre esta área, com a 
compreensão de conceitos básicos, porém essenciais para entender e aplicar conhecimentos 
financeiros a gestão dos negócios.
O mercado possui variações constantes e precisam ser analisadas com muito critério 
para evitar surpresas ao adquirir bens ou serviços, pois reflete um grande investimento por 
parte de quem o adquire.
Todos esses cálculos e teorias são essenciais para utilização no cotidiano, além 
de fornecer formas para facilitar sua as análises e decisões com base em números e 
informações financeiras.
Ao falarmos de situação econômica de nosso país precisamos entender que existe 
e sempre haverá uma variação constante, sendo positivas e negativas, e isso deve ser 
levado em conta no momento de uma tomada de decisão de investimento.
Aqui começamos a compreender alguns termos pertinentes a ao conteúdo de 
finanças e que devem fazer parte de sua realidade de trabalho, pois falar de imóveis é falar 
de vendas, juros, parcelamentos, comissões e outros assuntos em torno do tema financeiro.
Começaremos esta unidade falando da economia brasileira, na sequência 
entendendo um pouco sobre cálculos comerciais e conceitos da matemática básica.
8UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
1 CONJUNTURA ECONÔMICA BRASILEIRA
A economia nos cerca, por isso precisamos entendê-la, pois nossas decisões do 
uso do dinheiro, como investimentos, influenciarão no futuro dos nossos negócios e na 
perpetuidade da empresa no mercado.
Segundo Raymundo (2006) a alternância do dólar em frente a nossa modela, o 
real, é algo comum e rotineiro no mercado financeiro, pois dependendo do risco que o país 
oferece para os investidores, menos dólares temos em nosso país, logo, o valor do dólar 
acaba subindo. Fato que o inverso também é verdade pois quanto menos risco o país 
oferece, mais dólares entram, fazendo a moeda americana diminuir de valor frente ao real.
Uma outra questão que merece nossa atenção é que variações no dólar podem 
causar aumento ou diminuição da inflação, mudança na autonomia de compra das pessoas 
e variação dos custos envolvidos em insumos ou outros materiais importados.
Por isso busque conhecer ainda mais sobre o mercado de bolsas, dólar, sociedades 
anônimas, mercado de ações, que podem ser grandes fontes de investimento e mudança 
de realidade do mercado das finanças e as empresas.
Temos como exemplo o mercado da bolsa no Brasil,que se mantém firme mesmo 
passando por algumas crises na economia mundial e que demonstra claramente como o 
mercado é volátil e incerto, por isso entender o que acontece e como tomar decisões é 
essencial.
9UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
SAIBA MAIS
O Brasil contou com 13 planos de estabilização econômica. O último deles, o Plano 
Real, previa a troca da moeda para o Real a partir de 1º e julho de 1994, durante o go-
verno de Itamar Franco (1930-2011).
A implantação do plano ficou sob o comando do ministro da Fazenda, Fernando Henri-
que Cardoso. O Plano Real previa o controle efetivo da inflação, o equilíbrio das contas 
públicas e o estabelecimento de um novo padrão monetário, atrelando o valor do real 
ao dólar.
Desde então, o Brasil entrou numa era de estabilidade monetária que se manteria pelo 
século XXI.
Fonte: https://www.todamateria.com.br/economia-no-brasil/ 
Um grande alerta é que no Brasil temos uma carga tributária muito alta em relação 
a outros países, o que dificulta a sobrevivência das empresas. Para termos uma ideia, 
esses tributos em nosso país podem alcançar 36% do PIB (Produto Interno Bruto) e isso 
pouco se reflete em benefícios ao país, as pessoas e aos negócios.
Além disso, temos um elevado valor de juros, onde o Brasil detém a fama de ter os 
maiores juros do mercado, se comparado com o resto do mundo.
Um bom planejamento passa por analisar cada detalhe do mercado, principalmente 
do financeiro, pois a empresa depende de decisões que envolvam dinheiro que seja lucrativa 
e se perpetue no mercado.
10UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
2 MATEMÁTICA COMERCIAL
Todos nós que queremos ter visão estratégica de negócios precisamos conhecer 
os conceitos básicos dos cálculos voltados ao comércio, entendo os cálculos básicos que 
são extremamente úteis nos negócios.
Na visão de Francisco (1999), a atual economia que é vista como globalizada, 
exige que os profissionais busquem conhecer os aspectos financeiros e comerciais dos 
cálculos, para melhor compreender questões de juros, taxas, impostos e outros assuntos 
que interferem em nosso dia a dia.
Imagine quando você precisa comprar um bem e precisa financiar em 120 vezes, 
com determinado valor de juros, que resultará em um valor futuro maior, e que a vista 
poderia ser mais barato, isso pode interferir em nossas decisões.
Francisco (1999) reforça que os cálculos financeiros oferecem ferramentas para 
que consigamos calcular e tomar decisões embasados em informações corretas, isso nos 
dá mais segurança para avaliar como investir nosso precioso dinheiro.
11UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
Por isso, acompanhe todo esse material para compreender as questões financeiras 
e com isso estar melhor preparado para tomadas de decisão em um mercado altamente 
complexo.
Neste momento iremos rememorar conceitos essenciais e básicos para 
posteriormente nos aprofundarmos nos cálculos financeiros.
REFLITA
Quem nunca enfrentou dificuldades em cálculos ao menos uma vez na vida? Tenha foco 
para compreender e vencer esses desafios.
Fonte: o autor.
12UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
3 REGRA DE TRÊS
Na visão de Gremaud (2003) esta regra ajuda a conhecer o valor desconhecido em 
uma proporção, podendo ser 2 razões, também chamada de simples, ou com mais valores, 
sendo conhecida como composta. Podem ainda ter uma relação direta, ou até mesmo 
podem ser inversas, como iremos compreender na sequência.
3.1. Regra de Três Simples
Gremaud (2003) enfatiza que ela será simples no momento que avalia duas 
grandezas comparadas, onde são aplicadas do seguinte modo:
a) Diretamente Proporcional 
Gremaud (2003, p. 35) essas grandezas são diretamente proporcionais devido a 
sua ligação feita diretamente, quando uma diminui a outra faz a mesma diminuição ou ainda 
se uma aumenta a outra também aumenta.
Vamos entender através de um exemplo:
1. Imaginemos que é necessário nos preparar para uma obra, onde 5 construtores 
fazem 550 metros de reboco por mês. Desta forma, quantos construtores são necessários 
para a produção de 1650 metros de reboco por mês?
As grandezas têm relação direta, ou seja, quanto mais betoneiras, mais lajes 
produzidas, como a seguir: 
13UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
Essa relação acontece da seguinte maneira: X construtores estão para 1.650 
metros de reboco, assim como cinco construtores estão para 550 metros de reboco. 
Precisamos encontrar o valor de X, onde as razões são proporcionais e utilizando 
a regra com multiplicação cruzada. Veja a resolução a seguir:
Resposta: são necessários 15 construtores. 
b) Inversamente Proporcional 
Neste caso existe uma relação inversa, ou seja, quando uma grandeza diminui a 
outra aumentará, e o contrário também é verdadeiro. Vamos entender isso através de um 
exemplo:
1. A empresa Z, contrata 24 operários para erguer um prédio em 48 meses. Quantos 
operários são necessários para erguer esta mesma obra em 36 meses? 
Operários Meses
X 36
24 48
Como a relação é inversa, se aumentar o número de operários, menor será o tempo 
necessário para erguer o prédio. Para a resolução deste cálculo precisamos inverter uma 
das grandezas para utilizar a regra de 3, como apresentado a seguir:
Operários Meses
X 48
24 36
14UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
Perceba que agora fica fácil fazer o cálculo, como se apresenta na resolução a 
seguir:
X = 48
24 36
X = 24 x 48
 36
X = 32
Resposta: precisaria de 32 operários. 
2. Pensemos em um avião que mantendo a velocidade de 256 km/h faz um percurso 
em 6 horas. Porém precisamos descobrir qual deveria ser a velocidade para percor-
rer essa distância em 4 horas?
Resposta: a velocidade será de 384 Km/h.
3.2. Regra de Três Composta
Esta regra de 3 é assim chamada por existirem 3 ou mais grandezas para 
analisarmos e calcularmos, podendo ter as mesmas regras anteriormente vistas, sendo 
diretas ou inversamente proporcionais.
Vamos fazer um exemplo para melhor compreender?
15UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
1. Uma organização contratada consegue construir em 90 dias uma residência com 
200m², utilizando-se de 10 operários. Nesse sentido, quantos dias seriam necessá-
rios para construir 300m² com 30 operários?
Aqui temos 3 grandezas relacionadas, e com base nas informações fornecidas 
vamos montar uma tabela para facilitar a compreensão e o cálculo. 
Tabela 01 – Exemplo de regra de 3
Dias M2 Número de Operários
X 300 30
90 200 10
Fonte: o autor
A dúvida aqui é encontrar o número de dias, logo ele será nosso “X”, lembrando que 
com mais operários menos tempo de construção, porém quanto mais metros construídos 
mais tempo de construção. Número de operários e dias são inversamente proporcionais, 
vamos a resolução:
Tabela 02 – Regra de 3
Dias M2 Número de Operários
X 300 10
90 200 30
Fonte: o autor
Resposta: demoraria 45 dias.
Agora, da mesma forma que é feito o cálculo com a regra de três simples, é só fazer 
a multiplicação cruzada na qual o numerador é formado pela multiplicação entre o número 
que estiver na coluna do X (no caso, 90) e os que estiverem na linha do X (300 e 10). O 
divisor é formado pela multiplicação dos outros (no caso, 200 e 30) conforme segue:
X = 90 x 300 x 10 (número da coluna multiplicado pelo número da linha de X)
 200 x 30 (multiplicação entre os que não estão na coluna nem na linha de X)
X = 45
16UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
REFLITA
Tempo é dinheiro. 
Fonte: Benjamim Franklin.
2. Com 9 operários uma empresa executou um buraco de 9 metros de comprimento, 
5 metros de profundidade e 4,5 metros de largura, em 8 dias de 7 horas de trabalho. 
A dúvida é, em quantos dias esta mesma empresa demoraria tendo 8 trabalhadores, 
com o dobro de poder de trabalho, para abrir umburaco de 6 metros de comprimen-
to, onde a dificuldade é o triplo do primeiro buraco?
Tabela 03 – Regra de 3
DIAS OPERÁRIOS GRAU DE ATIVIDADE COMPRIMENTO
GRAU DE 
DIFICULDADE
X 8 2 6 3
8 9 1 9 1
Fonte: o autor
Observação: como a atividade não fala a largura e profundidade do buraco levemos 
em consideração as mesmas medidas apresentadas anteriormente.
Primeiro passo: verificar as grandezas que são inversamente proporcionais a 
“Dias”.
Operários: é inversamente proporcional, pois quanto mais operários menos dias.
Grau de atividade: é inversamente proporcional, pois quanto mais ativos, menos 
dias se leva para realizar o trabalho.
Comprimento: é diretamente proporcional, pois quanto mais comprido, mais dias 
são necessários.
Grau de dificuldade: é diretamente proporcional, pois quanto mais difícil mais dias 
são necessários.
Segundo passo: vamos inverter as grandezas inversamente proporcionais.
17UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
Tabela 04 – Exemplo de regra de 3
DIAS OPERÁRIOS GRAU DE ATIVIDADE COMPRIMENTO
GRAU DE 
DIFICULDADE
X 9 1 6 3
8 8 2 9 1
Fonte: o autor
Resposta: seriam necessários 9 dias.
SAIBA MAIS
A Regra de Três Simples ajuda a encontrar um Quarto valor que não conhecemos ape-
nas usando outros três valores que temos. É uma ferramenta que pode te ajudar em 
vários cálculos e facilitar sua vida.
Fonte: o autor.
18UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
4 PORCENTAGEM
Conforme Raymundo (2006), dá-se o nome de percentagem ou porcentagem à 
parte calculada sobre uma quantidade de 100 unidades, ou seja, é uma parte de 100, ou 
0,01 (1÷100).
Toda razão a/b, na qual b = 100, é uma porcentagem e o símbolo que a representa 
é %.
Para Puccini (2009) existem vários meios para se resolver um problema que 
necessite do uso de porcentagem como, por exemplo, regra de três simples e o cálculo 
direto por calculadoras. 
Vamos entender por meio de um exemplo: sobre porcentagem de um número 
(%).
1. Se um bem é vendo por R$ 200.000,00 e o vendedor sem uma comissão de 5% de 
comissão, qual será o valor dessa comissão?
5% de 200.000,00
5 ÷ 100 x 200.000,00
0,05 x 200.000,00
R$ 10.000,00
19UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
2. Você acaba de receber R$ 30.000,00 de comissão por vender um imóvel. Sendo sua 
comissão de 6% sobre valor de venda. Mas qual é esse valor de venda?
Aqui você precisa entender a aplicação da regra de 3, veja:
6 está para 100, assim como 30 mil está para X
 6 30.000
100 X
X = 500.000,00
Assim, o valor da venda é R$ 500.000,00 e 6% desse valor é R$ 30.000,00. 
500.000,00 x 0,06 = 30.000,00.
Então você poderia, simplesmente, dividir 30.000,00 por 0,06 e chegaria à resposta 
de R$ 500.000,00.
20UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Percebemos até aqui que a matemática financeira não é um “bicho de sete cabeças”, 
é possível aplicar esses cálculos básicos de forma simples e rápida. Claro que não estamos 
aqui tentando esgotar tudo sobre esses assuntos, mas sim apresentando o que será útil 
para o seu cotidiano no trabalho como gestor.
Para você que recebe comissões, a porcentagem é algo essencial e usual para os 
cálculos do seu rendimento após uma venda comissionada. Além da Regra de Três que 
pode ajudar a encontrar valores que não estão explícitos ou que precisam ser encontrados 
a partir de outros dados.
Segundo Fallet (2011), tudo isso não funciona sem inserirmos a realidade econômica 
brasileira no contexto de tomada de decisão financeira, pois essa realidade influenciará 
diretamente os juros e o valor de nossa moeda perante outros países.
Esses cálculos que foram apresentados nesta Unidade precisam ser compreendidos 
para a evolução da compreensão da matemática financeira, principalmente a forma de 
lidar com a porcentagem em sua forma normal ou transformada em índice, que agiliza 
posteriores cálculos após encontrado.
Para fixar os conteúdos, refaça os exemplos apresentados e faça a atividade 
de estudo proposta na sequência, isso o auxiliará a fixar o conteúdo e o levará ao 
desenvolvimento dos conhecimentos sobre matemática financeira.
Não tenha medo de crescer, evolua constantemente, pois quem busca alcança e 
quem luta pode chegar à vitória. Quem fica parado começa a andar para trás.
Hirschfeld (2000) enfatiza que aquele que domina as informações pode dominar o 
mercado, por isso é essencial entender esse conteúdo, para que sua análise crítica possa 
ser bem mais apurada e possa levá-lo a uma tomada de decisão bem mais assertiva. 
O sucesso é para aqueles que buscam e lutam por ele, por isso, é extremamente 
importante que você busque por ele incansavelmente.
21UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
LEITURA COMPLEMENTAR
Mercado Financeiro: o que é, como funciona e para que serve
Mercado financeiro é, por definição, um ambiente de compra e venda de valores 
mobiliários (ações, opções, títulos), câmbio (moedas estrangeiras) e mercadorias (ouro, 
produtos agrícolas).
Nessas negociações, estão envolvidas diversas instituições, que facilitam o encontro 
entre agentes e regulam e fiscalizam as transações.
No mercado financeiro, o investidor é aquele que dispõe de dinheiro sobrando e 
que deseja multiplicá-lo.
Os caminhos para isso são diversos, mas partem da mesma premissa: a verba é 
destinada a uma aplicação que oferece valorização de acordo com diretrizes acordadas 
entre as partes.
Na renda fixa, por exemplo, o investidor pode projetar o rendimento na hora do 
investimento: ele saberá se o dinheiro vai se valorizar de forma prefixada, com um juro 
anual definido, pós-fixada, atrelada a um indicador, ou híbrida, pagando um juros fixo mais 
a variação de um índice de preços.
Já na renda variável, por outro lado, não há uma garantia de retorno. Um investimento 
em ações de uma empresa na bolsa de valores pode se valorizar ou desvalorizar, dependendo 
do interesse do mercado.
Mas se por um lado há investidores, o que há na outra ponta do mercado 
financeiro? Os tomadores de recursos. Eles são as empresas, instituições ou pessoas que 
querem captar dinheiro para diversos fins, como pagamento de dívidas, financiamento de 
maquinário, entre outros.
O mercado financeiro permite o devido fluxo da economia.
Quer um exemplo prático?
Digamos que você invista R$ 10.000,00 em um CDB (Certificado de Depósito 
Bancário) em um banco. Como contrapartida, você receberá, ao vencimento do título, juros 
prefixados de 10,3% ao ano.
Então outra pessoa procura a mesma instituição financeira para solicitar um 
financiamento de R$ 10.000,00 para cobrir parte do valor de um automóvel que ela está 
comprando.
22UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
O que acontece? O banco empresta esse dinheiro cobrando uma taxa superior 
àquela que está pagando para o investidor.
Assim, duas pontas da economia foram conectadas pelo mercado financeiro. 
Essas instituições intermediárias facilitam, portanto, o encontro entre os tomadores e os 
investidores.
Para isso, claro, o intermediário cobra uma taxa sobre as operações.
A seguir, vamos entender em detalhes como funciona o mercado financeiro e como 
você pode fazer proveito desse conhecimento para investir melhor.
Como funciona?
Como vimos, o mercado financeiro funciona de forma a aproximar agentes, como 
um investidor e um tomador de recursos.
Eles não precisam conversar ou estabelecer contato entre si, pois essa ponte é 
feita através de aplicações da própria instituição financeira.
Dessa forma, você pode investir seu dinheiro aplicando em um CDB e acabar 
fornecendo o capital necessário para que a instituição financeira ofereça um empréstimo a 
um empresário que precisa de capital de giro para o seu negócio.
Assim, o resumo é que quem possui recursos em excesso empresta para quem 
sofre com sua falta (e demonstra capacidade de pagar).
Para normatizar o mercado, existem diversos órgãos importantes, entre eles: 
Conselho Monetário Nacional (CMN), o Conselho Nacional de Seguros Privados (CNSP)e 
o Conselho Nacional de Previdência Complementar (CNPC).
Eles dão as diretrizes operacionais a partir das quais as instituições financeiras se 
baseiam.
E quando falamos em “mercado” ou “mercado financeiro”, não se trata apenas de 
títulos de renda fixa ou de ações na bolsa.
Veja como o mercado financeiro é dividido:
Mercado de crédito: trata dos empréstimos bancários. É o mercado que você acessa 
ao solicitar um financiamento ou usar o cheque especial.
Mercado aberto: cuida das empresas com capital aberto, ou seja, que negocia suas 
ações através da bolsa de valores, que regula a oferta e a demanda pelos papéis das 
companhias.
Mercado de câmbio: é a plataforma de negociação de moedas estrangeiras da 
relação justa entre as moedas dos países.
Fonte: https://www.btgpactualdigital.com/blog/financas/mercado-financeiro 
23UNIDADE I Conceitos Iniciais em Finanças
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
Título: A Magia Da Matemática
Autor: Ilydio Pereira de Sá
Editora: Ciência Moderna
Ano: 2007
Sinopse: o livro pretende mostrar – por meio de atividades 
lúdicas, histórias sobre a Matemática e os matemáticos, desafios 
diversos e estudo de importantes conteúdos matemáticos – que a 
Matemática não é uma ciência difícil, árida, pesada, pronta, sem 
utilidade ou destinada apenas a um seleto grupo de ‘iniciados’. 
A Matemática é para todos e pode ser estudada (e entendida!) 
de forma agradável e contextualizada. O autor, com mais de 30 
anos de experiência em classes da Educação Básica e do Ensino 
Superior, é mestre em Educação Matemática e tem se dedicado, 
entre outras atividades, à formação de profissionais na área.
FILME/VÍDEO
Título: Número 23
Ano: 2007
Sinopse: Um homem encontra um livro obscuro sobre o número 
23 e inicia uma jornada sombria. À medida que ele se torna cada 
vez mais obcecado com o conteúdo, ele se convence de que o livro 
é baseado em sua vida. Para o seu desespero, ele descobre ainda 
que graves consequências estão armazenadas para o principal 
personagem da obra.
WEB 
O vídeo mostra uma aula de matemática de Marcos Aba, na qual 
ele ensina a calcular porcentagem, dando também ênfase na 
conta de “divisão”. Para saber mais detalhes, acesse o conteúdo 
disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=ZZXcTQpbdaE
https://www.youtube.com/watch?v=ZZXcTQpbdaE
24
Plano de Estudo:
1. JURO SIMPLES
2. MÉTODO HAMBURGUÊS
3. DESCONTO SIMPLES
4. JUROS COMPOSTOS
5. EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS DE JUROS
6. DESCONTO COMPOSTO
Objetivos de Aprendizagem:
• Conceituar e contextualizar juros e descontos
• Compreender os tipos de juros e como calcular
• Entender sobre taxas equivalentes
UNIDADE II
Juros e Descontos
Professor Mestre Fábio Oliveira Vaz
25UNIDADE II Juros e Descontos
INTRODUÇÃO
A partir daqui iremos aprofundar em cálculos financeiros, compreendendo sobre os 
juros e suas influências sobre o capital, além de entender sobre os conhecidos descontos.
Fique atento, pois esses são os cálculos que você mais irá utilizar no seu cotidiano 
de trabalho na gestão de empresas, pois envolvem os cálculos sobre juros, descontos e 
valor futuro de dinheiro investido.
O dinheiro passa por valorização durante o tempo que é investido e precisamos 
entender com clareza para que consigamos tomar decisões estratégicas envolvendo 
investimentos.
Claro que não queremos torná-lo um matemático, mas sim alguém capaz de olhar 
as informações e compreender os contextos que estão inseridos e, com isso, facilitar uma 
decisão coerente.
Além disso, nesta Unidade ficará mais fácil entender e usar a HP12C como 
ferramenta essencial para cálculos financeiros, pois ela facilita sua vida para que não 
precise utilizar fórmulas complexas em uma calculadora científica.
Aliás, o que menos queremos é perder tempo com cálculos maçantes e complexos, 
o que acaba transformando a matemática financeira em algo ruim de estudar, pelo contrário, 
aqui veremos que é muito simples aplicar os conhecimentos utilizando a calculadora HP12C 
como sua parceira.
Neste momento, abra sua mente e busque compreender cada cálculo e sua 
importância dentro da sua profissão ou até mesmo para melhor controlar suas finanças 
pessoais.
Vamos começar essa Unidade falando sobre os juros conhecidos como “simples”, 
passando pelos “compostos” e uma breve explanação sobre a utilização da HP12C.
26UNIDADE II Juros e Descontos
1 JURO SIMPLES
Ao pensar em Juros entendemos que é a remuneração de um capital, ou seja, 
dinheiro valorizado. Desta forma o juro é o retorno sobre um empréstimo durante seu tempo 
de uso, quase como um aluguel.
Diferença entre juro e taxa de juro
Pensando em Juro, ele sempre é visto em forma de valor monetário, como por 
exemplo um juro de R$ 20,00 ao mês ou R$ 2.000,00 no final do período de empréstimo.
Já na visão de Fallet (2011) a taxa de juro é representada no formato de percentual, 
e dentro das fórmulas você irá ver essa taxa com a letra “i”, inclusive na HP-12C.
Podemos ver a taxa da seguinte forma, por exemplo:
● percentual: 10% ao mês, 25% ao ano, 0,5% ao dia.
● unitária: 0,10 ao mês; 0,25 ao ano; 0,005 ao dia.
Para transformar uma taxa percentual em unitária basta dividir por 100. Assim, 10% 
é igual a 10 ÷ 100, ou 0,10. 
Observação: cuidado com as fórmulas, sempre que for aplicar um cálculo utilizando 
fórmulas trabalhe no formato unitário, desta forma, quando a taxa, por exemplo, for 5%, o “i” 
na fórmula será substituído por 0,05 (5÷100). 
Apenas na HP-12C é que utilizamos o valor na forma percentual.
27UNIDADE II Juros e Descontos
Cálculo do juro simples
Quando trabalhamos com juros simples entendemos que não existe a capitalização 
dos juros, ou seja, não é o chamado juros sobre juros, isso será visto nos juros compostos.
Assim utilizamos a seguinte fórmula para o cálculo do juro simples: 
J = C x i x n
Na qual:
J = juro. 
C = capital.
i = taxa.
n = número de períodos (dia, mês, ano etc).
Na tabela a seguir percebemos como funciona o cálculo dos juros simples, onde 
trabalhamos com uma taxa de 10% ao período.
Tabela 1 – Juros simples com taxa de 10% ao período.
N C J Juros Acumulados Montante (M)
0 100,00 - - 100,00
1 100,00 10,00 10,00 110,00
2 100,00 10,00 20,00 120,00
3 100,00 10,00 30,00 130,00
Fonte: o autor
Na tabela temos o cálculo dos juros que representam no final do período um 
acréscimo de R$ 30,00:
J = C x i x n
J = 100,00 x 0,10 x 3 
J = 30,00
A partir daqui iremos entender que diversos cálculos podem ser feitos através da 
calculadora HP12C, pense nela como um facilitador de processos e iremos entender um 
pouco mais sobre ela na sequência de nossos estudos.
28UNIDADE II Juros e Descontos
Figura 1 - Calculadora HP12C
Fonte: Epx… ([2017], on-line). 
SAIBA MAIS
Com uso da HP12C você consegue fazer cálculos de maneira rápida e eficiente, logo, é 
uma ferramenta estratégica para um profissional que quer se destacar. 
Fonte: o autor
Com base no exemplo anterior podemos calcular utilizando a HP12C, iniciando com 
o zerar de sua memória teclando em sequência f CLx para zerar todas as suas memórias, 
em seguida digite da seguinte forma na HP12C para obter o resultado:
100 CHS PV 120 i 90 n f int R x<>y
Observação: é importante que para utilização da HP12C em juros simples, a taxa 
deve ser anual e o período sempre em dias, como a seguir:
Portanto: 10% ao mês = 120% ao ano e 3 meses = 90 dias.
29UNIDADE II Juros e Descontos
Cálculo do Montante 
O Montante (M) é a soma do Capital (C) e do Juro (j).
M = C + j ou M = C [ 1 + ( i . n )]
Assim, para calcularmos o Montante de R$ 130,00 ao final do terceiro período 
temos:
M = 100,00 [1 + (0,10 .3)] 
M = 100,00[1 + (0,30)] 
M = 100,00( 1,30 ) M = 130,00 (R$)
FLUXO DE CAIXA
Cálculo do capital
Para o cálculo do capital (C), pode ser usada a mesma fórmula do montante: 
M = C [ 1 + ( i . n )]
Ou a fórmula transformada:
Exemplo: 
Que capital deve ser aplicado para gerar um montante de R$ 130,00 em três meses com 
taxa de juro de 10% ao mês?130 Montante 
 
0 1 2 3 n(períodos) 
100 10 10 10 
Capital Juros Juros Juros 
30UNIDADE II Juros e Descontos
C = 100,00
Cálculo da taxa
Para o cálculo da taxa (i), pode ser usada a mesma fórmula do montante: 
M = C [ 1 + ( i . n )] 
Exemplo: 
Que taxa deve ser aplicada sobre o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de 
R$ 130,00 em três meses?
Substituindo na fórmula do montante temos:
M = C [ 1 + ( i . n )]
130 = 100 [ 1 + ( i . 3 )] 
130 = [100 + ( i . 300 )]
130 – 100 = i . 300
i = 0,10 ou 10% ao mês (ao mês porque o período está expresso em meses)
Ou com a fórmula:
 i = 0,10 ou 10% ao mês 
31UNIDADE II Juros e Descontos
Cálculo do período 
Para o cálculo do período (n), também pode ser usada a mesma fórmula do montante: 
M = C [ 1 + ( i . n )] 
Exemplo: 
Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00 para gerar um mon-
tante de R$ 130,00 com taxa de juros de 10% ao mês?
130 = 100 [ 1 + ( 0,10 . n )] 
130 = 100 [ 1 + 0,10n] 
130 = 100 + 10 . n
130 – 100 = 10n
30 = 10n
30 = n
10
n = 3 (três meses, pois a taxa é ao mês)
Ou pela Fórmula:
 
 
n = 3 meses
32UNIDADE II Juros e Descontos
Períodos e taxas de juro
Relação de siglas com os respectivos significados:
i = taxa.
n = período. 
ad = ao dia. 
am = ao mês. 
ab = ao bimestre. 
at = ao trimestre. 
aq = ao quadrimestre. 
as = ao semestre. 
aa = ao ano. 
A taxa i e o número de períodos n, necessariamente, devem estar expressos na 
mesma unidade de medida de tempo. Por exemplo, quando a taxa for ao mês, o período 
deve ser medido em meses. Quando a taxa for ao ano, o período deve ser medido em anos 
e assim por diante.
Para Francisco (1999), o período comercial considera o mês sempre com 30 dias e 
o ano com 360 dias (12 meses de 30 dias). 
Taxas Proporcionais 
Para a conversão das taxas i proporcionais a diferentes períodos:
● de i ad para i am: multiplica-se a taxa ao dia por 30 (um mês tem 30 dias)
 1% ad = 30 % am (1% × 30 dias).
● de i ad para i aa: multiplica-se a taxa ao dia por 360 (um ano tem 360 dias)
 1% ad = 360 % aa (1% × 360 dias).
● de i am para i ad: divide-se a taxa ao mês por 30 (um mês tem 30 dias)
 30% am = 1 % ad (30% ÷ 30 dias).
● de i am para i aa: multiplica-se a taxa ao mês por 12 (um ano = 12 meses)
 1% am = 12 % aa (1% × 12 meses).
● de i aa para i am: divide-se a taxa ao ano por 12 (um ano = 12 meses)
 12% aa = 1 % am (12% ÷ 12 meses).
33UNIDADE II Juros e Descontos
● de i aa para i ad: divide-se a taxa ao ano por 360 (um ano tem 360 dias)
 360% aa = 1% ad (360% ÷ 360 dias).
Períodos proporcionais
Para transformar:
● dias em meses: divide-se o número de dias por 30 (um mês tem 30 dias);
 75 dias = 2,5 meses (75 ÷ 30 = 2,5);
 15 dias = 0,5 mês (15 ÷ 30 = 0,5);
● dias em anos: divide-se o número de dias por 360 (um ano tem 360 dias);
 540 dias = 1,5 anos (540 ÷ 360 = 1,5);
● meses em dias: multiplica-se por 30 (um mês tem 30 dias);
 1,5 meses = 45 dias (1,5 × 30);
● meses em anos: divide-se por 12 (um ano tem 12 meses);
 6 meses = 0,5 anos (6 ÷ 12).
Fonte: https://matematicafinanceira.webnode.com.br/capitaliza%C3%A7%C3%A3o%20simples/taxas-pro-
porcionais-e-taxas-equivalentes/ 
34UNIDADE II Juros e Descontos
2 MÉTODO HAMBURGUÊS
Neste método percebemos a utilização da cobrança de juros através do regime de 
juros simples para créditos rotativos bancários, segundo Gremaud (2003). Isso é aplicado 
em limites de contas bancárias e cheques especiais que tem cálculos de juros diários e 
apresentados ao final de cada mês gerando um montante.
Desta forma precisamos avaliar quantos dias determinado valor ficou sendo utilizado 
no limite e assim encontrar ao final do mês o saldo médio que multiplicado pela taxa de 
juros diária resulta no saldo devedor diário, como o exemplo a seguir:
1) Através do Método Hamburguês, encontro e calcule o juro que o banco irá cobrar 
no mês, com uma taxa de 6% ao mês sobre a utilização do limite da conta. 
Tabela 2 - Cálculo do saldo médio devedor pela Método Hamburguês
DATA Depósitos Cheques Saldo Saldo(D) x nº de dias
01/11 0,00
02/11 2.000,00(D) 2.000,00(D) x 10 20.000,00
12/11 4.000,00(C) 1.800,00(D) 200,00(C) - -
15/11 1.200,00(C) 4.500,00(D) 3.100,00(D) x 11 34.100,00
26/11 200,00(C) 2.600,00(D) 5.500,00(D) x 4 22.000,00
= ∑ 76.100,00
∑/30 2.536,67
Fonte: o autor.
35UNIDADE II Juros e Descontos
Observação: perceba que as letras D = Débito (ou saldo negativo) e C = Crédito (ou saldo 
positivo).
Cálculo:
J = C . i . n
Na qual:
J: é o juro do período 
C: é a somatória sempre dividida por 30, porque o mês comercial tem 30 dias (76.100,00/30 
= 2.536,67), ou seja, é a média diária do saldo devedor.
i: 6% a.m.
n: como é um só período (um mês) = 1
J = 2.536,67 × 0,06 × 1 
j = 152,20
Através do cálculo descobrimos que o juro que será cobrado no mês pela utilização 
do limite da conta conforme a tabela é de R$ 152,20 com taxa de 6% ao mês.
36UNIDADE II Juros e Descontos
3 DESCONTO SIMPLES
Segundo Hirschfeld (2000), desconto é visto como o abatimento sobre um valor que 
será pago de forma antecipada, ou seja, retirando o juro pelo adiantamento do pagamento.
A fórmula do desconto simples é similar ao dos juros simples, apenas com alterações 
de nomenclatura, ou seja: 
Valor Nominal (VN) é o valor referente ao vencimento do pagamento.
Valor atual (VA) é o valor pela antecipação, sem os juros.
Com isso temos a seguinte fórmula para se cálculo:
D = VN - VA
Existem dois tipos de descontos simples:
a) O Desconto Comercial Simples, que é conhecido como Bancário ou “por fora” é o des-
conto mais usado pelos bancos ou pelo comércio.
37UNIDADE II Juros e Descontos
Para Hirschifeld (2000), esse desconto deve ser aplicado com o seguinte cálculo:
VAcs = VN [1 – (i x n )] 
Onde: VAcs = Valor Atual com desconto comercial simples.
Vamos aplicar em um exemplo:
Temos uma duplicata no valor de R$ 100,00 que teve uma quitação antecipada em 
3 meses antes do seu vencimento. Se a taxa de juros cobrada é de 10% ao mês, qual será 
o desconto pela antecipação?
 
VAcs = VN [1 – (i . n)] 
VAcs = 100 [1 – ( 0,10 . 3 )] 
VAcs = 100 (1 – 0,30)
VAcs = 100 (0,70) = 70,00
Ela foi quitada por R$ 70,00; seu desconto foi de R$ 30,00 (100,00 – 70,00).
Perceba que o valor do desconto é o valor nominal menos o valor atual.
D = VN – VA 
D = 100 – 70 = 30,00
REFLITA
Todo negócio precisa entender que terá ganhos e perdas, saldos e descontos, e isso faz 
parte das decisões de funcionamento do negócio.
Fonte: o autor.
38UNIDADE II Juros e Descontos
b) Desconto Racional simples, é mais conhecido como desconto real ou “por dentro”:
Seu cálculo se dá com base no Valor Atual (VA):
Onde: VArs é o Valor Atual com desconto racional simples
Vejamos sua aplicação: 
Em um desconto racional simples, de uma duplicata de R$ 100,00, a taxa de 
10% ao mês, antecipado 3 meses, qual o novo valor a ser pago?
 
VAr s = 76,92
Para calcular de forma direta também é possível utilizar a seguinte fórmula:
 
Com base nos dados do exemplo:
 :. :. Drs = 23,08
39UNIDADE II Juros e Descontos
4 JUROS COMPOSTOS
Nos juros compostos, ou capitalização composta, todos os juros são capitalizados 
a cada período, desta forma temos a formação do conhecido “juros sobre juros”, na visão 
de Raymundo (2006).
Comparando os regimes de capitalização 
Para entendermos as diferenças entre juros simples e juros compostos, vamos 
aplicar um exemplo e simular suas diferenças, conformea seguir:
Se temos um capital de R$ 1.000,00 que será aplicado com juros de 10% ao mês, du-
rante 3 meses, teremos os seguintes resultados em comparação:
Tabela 3 - comparação entre juros simples e composto 
 Capitalização simples ou linear Capitalização Composta . 
Período Juros Montante Período Juros Montante
1º mês 100,00 1.100,00 1º mês 100,00 1.100,00
2º mês 100,00 1.200,00 2º mês 110,00 1.210,00
3º mês 100,00 1.300,00 3º mês 121,00 1.331,00
Fonte: o autor.
40UNIDADE II Juros e Descontos
Com base neste exemplo percebemos que ao fim do período temos uma diferença 
de R$ 31,00 a mais na capitalização composta, o que reflete a formação dos juros através 
dos juros sobre juros.
A utilização da Calculadora Financeira Hp-12c
HP-12C - Fonte o autor
A calculadora HP-12C é possivelmente a máquina financeira mais popular no; 
mundo das finanças. Ela possui até três funções por tecla: brancas, laranjas e azuis. 
As funções brancas automáticas, ou seja, apertando-se a tecla esta função será 
ativada e as amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas – para ativá-las é 
necessário que se pressione antes a tecla (f) para ativar as funções laranjas e (g) para as 
funções azuis.
Algumas operações básicas na HP-12C:
● Ligar e desligar a calculadora: on.
● Apagar o que tem no visor: CLX.
● Apagar o conteúdo de todos os registros: (f) REG.
● Apagar o conteúdo das memórias financeiras: (f) FIN.
● Introduzir um número: número + ENTER.
● Operações básicas: (número) ENTER (número) operação; 
ex: 12 ENTER 43 + = 55.
● Potenciação: (número) ENTER (potência) (yx); 
ex: 5 elevado a 3, 5 ENTER 3 yx 125.
41UNIDADE II Juros e Descontos
● Raiz, qualquer raiz pode se transformada em uma potência de índice 
fracionário: (número) ENTER (número) (1/x) (yx); 
ex: raiz sétima de 2.187 > 2187 ENTER 7 (1/X) (YX) 3.
● Armazenar um número na memória: (número) ENTER (número da memória 
onde quer armazenar de 0 a 9 ou ainda de .0 a .9).
● Buscar um número na memória: (RCL) (número da memória onde foi 
armazenado).
● Fixar quantidade de casas decimais: (f) (número de casas decimais desejados).
Figura 3 - Funções e teclas da HP12C
Fonte: Google Store ([2018], on-line). 
Cálculo do montante
Nos juros compostos teremos uma forma diferente de calcular o montante, o que 
veremos a seguir:
Exemplo: Calcule o montante de uma aplicação de R$ 100,00, a uma taxa de 10% ao 
mês durante um período de 4 meses.
42UNIDADE II Juros e Descontos
Tabela 4: Cálculo do Montante
Número de 
períodos (n) Capital (C) Juros (J) Juros acumulados Montante (M)
0 R$ 100,00 - - R$ 100,00
1 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 10,00 R$ 110,00
2 R$ 110,00 R$ 11,00 R$ 21,00 R$ 121,00
3 R$ 121,00 R$ 12,10 R$ 33,10 R$ 133,10
Fonte: o autor
Com isso percebemos que a taxa de 10% gera juros a cada período formando um 
montante de R$ 133,10.
Porém para esse cálculo não podemos esquecer que a taxa e o período precisam 
estar em uma mesma medida de tempo, onde se a taxa estiver ao mês o período também 
deve ser ao mês.
O valor futuro ou montante deve ser calculado através da seguinte fórmula:
M = C . (1+ i)n ou FV = PV . (1+ i)n
Onde: M = montante ou valor futuro.
 C = capital ou valor presente.
 i = taxa.
 n = período.
Exemplo: calcule o montante ou valor futuro de um valor de R$ 100,00 aplicados durante 
3 meses com uma taxa de 10% ao mês.
M = C . (1+ i)n 
M = 100,00 . (1+ 0,10)3 
M = 133,10
43UNIDADE II Juros e Descontos
SAIBA MAIS
Cálculo do montante com a hp12c
Na HP12C o cálculo dos juros compostos se torna muito mais simples, onde você in-
forma o que tem de informação e pergunta o que não têm, neste caso utilizaremos a 
seguinte sequência:
f REG (para limpar a memória financeira) 
f 2 (para aparecer no visor duas casas decimais) 
100 CHS PV (PV é o capital de R$ 100,00)
3 n (“n” é o número de períodos = 3)
10 i (“i” é a taxa = 10% a cada período)
FV (FV é o valor futuro ou montante = 133,10)
Cálculo do juro com a hp 12 c:
f REG (para limpar a memória financeira) 
f 2 (para aparecer no visor duas casas decimais) 
100 CHS PV (PV é o capital de R$ 100,00)
3 n (“n” é o número de períodos = 3)
10 i ( “i” é a taxa = 10% a cada período)
FV RCL PV + (Resultado 33,10)
Cálculo do capital com a hp12c
f REG (para limpar a memória financeira) 
f 2 (para aparecer no visor duas casas decimais) 
33,10 CHS FV (FV é o valor futuro ou montante = 133,10)
3 n (“n” é o número de períodos = 3)
10 i (“i” é a taxa = 10% a cada período)
PV (PV é o resultado, ou seja, o capital de R$ 100,00)
Cálculo da taxa com a hp12c
133,10 CHS FV 3 n 100,00 PV 
i (10, ou seja 10% a cada período – mês)
Fonte: https://hp12cparainiciantes.wordpress.com/juros-compostos/ 
44UNIDADE II Juros e Descontos
5 EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS DE JUROS
Em juros compostas existem as questões relacionadas as taxas equivalentes, onde 
um capital que é aplicado em certo tempo gerará montantes equivalentes mesmo com 
variação de tempo.
Capitalização
Nos juros compostos a equivalência de taxas dependerá do período de capitalização. 
Desta forma, quando o temos uma taxa de capitalização em um período menor e 
buscamos a equivalência no período maior, ou seja, temos ao mês e queremos encontrar 
ao ano, utilizamos a seguinte fórmula:
ip> = (1+ip<)n – 1
Na qual: 
i p> , é a taxa do período maior e ip<, é a taxa do período menor
Vejamos o exemplo: 
Uma taxa de 1% ao mês equivale a qual taxa em um ano? 
 i p> = (1+ip<)n – 1
 i p> = (1+0,01)12 – 1 = 12,68% ao ano. 
45UNIDADE II Juros e Descontos
Com a hp 12c 
1 ENTER 0,01 +
12 yx
1 -
100 x 
Descapitalização
Neste caso temos uma taxa que foi capitalização em um período maior e 
queremos encontrar o período menor, neste caso a fórmula tem uma pequena mudança:
ip< = (1+ip>)(1/n) – 1
Veja o exemplo: 
Temos uma taxa de 12% ao ano, encontre a taxa equivalente ao mês.
ip< = (1+ip>)(1/n) – 1
ip< = (1+0,12)(1/12) – 1
ip< = 0,95% ao mês.
Na HP12C, utilizamos as seguintes funções:
1 ENTER 0,12 +
1 ENTER 12 ÷ yx
1 -
100 x 
Cálculo do período
A letra “n” representa o período de aplicação de um capital, esse período pode ser 
encontrado tendo o capital, o montante gerado e a taxa, desta forma podemos utilizar a 
seguinte fórmula:
 
n = ou n = 
46UNIDADE II Juros e Descontos
Vamos entender essa aplicação através do exemplo: 
Para obter um montante de R$ 133,10, a uma taxa de 10% ao mês e um capital de R$ 
100,00, quanto tempo esse capital deve ser aplicado?
n = :. n = 
 
n = :. n = 3 
Ou seja, 3 meses pois a taxa está expressa em meses.
Na HP12C esse cálculo se torna mais simples, sendo da seguinte forma:
100 CHS PV 
133,10 FV 
10 i 
n (Resposta, 3)
IMPORTANTE: o exemplo gerou um resultado 3, um número inteiro, quando acon-
tecer de gerar um número fracionado a HP arredonda automaticamente para o número 
superior.
47UNIDADE II Juros e Descontos
6 DESCONTO COMPOSTO
Como vimos no estudo dos juros simples o desconto é visto como a redução do 
valor dos juros devido a um pagamento antecipado, o que muda é a forma de calcular isso 
nos juros compostos, pois os juros são capitalizados período a período.
Com isso encontramos dois tipos de descontos compostos, a saber:
a) o comercial, também chamado de bancário ou “por fora”.
b) o racional, também chamado de real ou “por dentro”. 
Desconto Composto Comercial
Esse desconto é calculado sobre o valor nominal, também conhecido como desconto 
bancário.
Para encontrar o valor atual vamos aplicar um exemplo:
Uma duplicata no valor de R$ 100,00, foi paga 3 mesesantes da data de vencimento, 
tendo como taxa de desconto 10% ao mês. Calcule o valor a ser pago.
 VN = 100,00 
 
0 1 2 3 
72,90 VA 
48UNIDADE II Juros e Descontos
Este valor pode ser calculado com a aplicação da fórmula a seguir:
VAcc = VN . (1 – i)n
Onde:
VAcc = valor atual com o desconto comercial composto, é o valor do pagamento com abati-
mento devido à antecipação.
VN = valor nominal, valor escrito no título. É o valor no seu vencimento.
VAcc = 100,00(1- 0,10)3
VAcc = 100,00 (0,90)3
VAcc = 100,00 . 0,729 = 72,90
 
Lembre-se que na HP12C esse cálculo se torna mais fácil e rápida, apenas 
informando a taxa de forma negativa para que o desconto seja aplicado ao valor do montante 
e gere o novo valor. Para isso basta seguir os passos a seguir:
f REG f 2
100,00 CHS PV (VN negativo = - 100,00)
10 CHS i ( taxa negativa = - 10%) 
3 n FV (VA ou valor atual = 72,90)
Perceba que as fórmulas não mudam das dos juros compostos, o que muda é 
apena os nomes, porém a lógica é a mesma e a fórmula também.
Cálculo do desconto
O valor do desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
D = VN – VA
D = 100,00 – 72,90 = 27,10
Pode ser calculado com a fórmula:
49UNIDADE II Juros e Descontos
Usando o mesmo exemplo:
Dcc = 100,00[1-(1-0,10)3]
Dcc = 100,00[1-(0,90)3]
Dcc = 100,00 (1-0,729)
Dcc = 100,00 . 0,271 Dcc = 27,10
Com a hp 12c
100,00 CHS PV 
10 CHS i (taxa negativa = - 10%) 
3 n FV RCL PV + 
Cálculo do valor nominal
O valor nominal (VN) é o valor expresso no título. Se forem informadas as outras 
variáveis, é possível calculá-lo com a seguinte fórmula:
Exemplo: encontre o valor nominal de uma duplicata que foi antecipada em 3 
meses, sendo pago R$ 72,90, e a taxa de desconto comercial composto é de 10% ao 
mês.
Com a hp 12c:
72,90 CHS FV 
10 CHS i ( taxa negativa = - 10%) 
3 n PV
Cálculo da taxa 
Para encontrar a taxa, siga a seguinte fórmula:
50UNIDADE II Juros e Descontos
Exemplo: qual é a taxa de desconto de um título de R$ 100,00 que na antecipação 
ficou por R$ 72,90, sendo essa antecipação de 3 meses?
i = 1- (72,90/100,00)1/3
i = 1- (0,7290)0,3333
i = 1 – 0,90 = 0,10 ou 10% ao mês.
Com a hp 12c 
f REG f 2 
100,00 CHS PV 
72,90 FV 
3 n 
i
A resposta é –10. Ou 10% ao mês negativo, porque esse é o percentual retirado do 
valor nominal.
Cálculo do período 
Para encontrar o período do desconto basta utilizar a fórmula a seguir:
Exemplo:
Qual foi o período de antecipação de um título de R$ 100,00, com taxa de 10% ao mês 
que gerou um valor com desconto de R$ 72,90?
 
 
Três meses, pois a taxa está expressa em mês.
Com a hp 12c
f REG f 2 
100,00 CHS PV 
72,90 FV 
10 CHS i 
n
51UNIDADE II Juros e Descontos
Desconto Composto Racional
Esse tipo de desconto é conhecido como “real” e é baseado no valor atual. Nele 
temos a equivalência com a capitalização composta, onde temos apenas mudanças de 
nomes dos itens na fórmula, porém mantendo a forma de cálculo.
Cálculo do valor atual
Exemplo: uma duplicata com valor de R$ 100,00, tendo sido paga 3 meses antes de 
vencer, em um desconto racional, com taxa de 10% ao mês, gera qual valor para pa-
gamento?
Neste caso utilizamos a fórmula a seguir para seu cálculo:
Onde:
VArc = valor atual com desconto racional composto é o valor do pagamento com desconto 
pela antecipação. Pode ser considerado como o Capital.
VN = valor nominal, valor que está escrito no título. É o valor no seu vencimento. Nesse 
caso, também pode ser entendido como o montante.
 
Com a hp 12 c 
f REG f 2 100,00 CHS FV 10 i 3 n PV 
 VN = 100,00 
 0 1 2 3 
VArc=75,13 
52UNIDADE II Juros e Descontos
Cálculo do desconto
O desconto nada mais é do que o valor nominal menos o valor atual.
D = VN – VA
D = 100,00 – 75,13 = 24,87
Neste caso podemos utilizar a seguinte fórmula:
Usando o exemplo anterior:
 Drc = 100,00 ( 1 - 0,7513 )
 Drc = 100,00 . 0,2487 Drc = 24,87
Com a hp 12 c 
100,00 FV 3 n 10 i PV RCL FV + (Resposta = 24,87)
Cálculo do valor nominal
O valor nominal nada mais é do que o valor que se encontra em uma duplicata, a 
partir desse dado e com a fórmula a seguir podemos encontrar esse valor nominal tendo as 
outras informações para aplicação do cálculo:
VN rc = VA (1+i)n
Exemplo: calcule o valor nominal de uma duplicata paga 3 meses antes de seu ven-
cimento pelo valor de R$ 75,13, tendo uma taxa de desconto racional de 10% ao mês.
53UNIDADE II Juros e Descontos
VN rc = 75,13 (1,1)3 
VN rc = 100,00
Com a hp 12 c:
f REG f 2
75,13 CHS PV 
10 i 
3 n 
FV (Resposta 100,00)
Cálculo da taxa
A taxa no desconto racional utiliza a mesma fórmula dos juros compostos, 
apenas com alguns nomes diferentes, veja:
Exemplo: encontre a taxa de desconto racional de um título de R$ 100,00, pago com 
desconto por R$ 75,13, com 3 meses de antecipação.
i = 0,10 ou 10% ao mês
Com a hp 12 c
f REG f 2 
75,13 CHS PV 
100,00 FV 
3 n 
i (resposta 10% ao mês) 
54UNIDADE II Juros e Descontos
Cálculo do período
O cálculo do período do desconto racional composto também é feito com a mesma 
fórmula do período dos juros compostos:
Exemplo: calcule o tempo que foi antecipado um titulo com valor nominal de R$ 
100,00, com pagamento de antecipação de 10% ao mês, gerando um valor de R$ 
75,13.
n = 3 (três meses, pois a taxa está expressa em meses)
Com a hp 12c
f REG f 2 
75,13 CHS PV 
100,00 FV 
10 i 
n (resposta 3)
Lembre-se da dica, a HP12C é uma ferramenta importantíssima para facilitar todos 
esses cálculos, como já foi demonstrado. Por isso indico a aquisição de uma como for-
ma de melhorar a sua visão faz finanças.
55UNIDADE II Juros e Descontos
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Não se limite apenas a esses estudos, a internet possui vários exemplos para 
que você possa praticar e desenvolver ainda mais seus conhecimentos em matemática 
financeira.
Além disso, com a aplicação do método hamburguês você poderá ter uma prévia 
de quanto pagará se precisar usar o limite de sua conta ou o cheque especial, tomara que 
nunca precise, mas isso o ajudará a se preparar e evitar surpresas.
Perceba que cada teoria até aqui apresentada busca o levar a compreender o 
uso do dinheiro e sua variação através do tempo e isso é algo que todos nós deveríamos 
compreender, pois, nos ajudaria muito a controlar nosso dinheiro e não permitir que 
paguemos juros desnecessários por falta de controle.
Apenas um lembrete: fuja das fórmulas, use a HP como sua aliada, é bem mais fácil 
e simples após compreender como ela funciona.
A matemática financeira não é do mal, apenas incompreendida pela cultura 
de não valorizar as questões que envolvem valores e cálculos, a questão é que sem 
esse conhecimento não teremos uma vida financeira controlada chegando até a gerar 
endividamentos por desconhecer essa realidade.
Faça e refaça as atividades para fixar o conhecimento, não há uma maneira de 
aprender sobre juros e descontos mais efetiva do que usar a prática a seu favor.
56UNIDADE II Juros e Descontos
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
Título: Juros Bancários. Limites e Possibilidades
Autor: Alcio Manoel de Sousa Figueiredo
Editora: Juruá
Ano: 2007
Sinopse: juros Bancários: Limites e Possibilidades é obra de 
grande valor. Não só pela forma didática como é exposta a matéria, 
mas também pelo seu conteúdo, profundo, meticuloso, com 
suporte na mais abalizada doutrina e jurisprudência. Normalmente, 
temas desse jaez, num primeiro momento, não aguçam muito a 
curiosidade dos operadores jurídicos não envolvidos diretamenteno tema, pois “juros”, “capitalização”, “spread” etc., são assuntos 
costumeiramente mais relacionados às Ciências da Administração, 
Economia ou da Matemática Financeira.
FILME/VÍDEO 
Título: Uma Mente Brilhante
Ano: 2002
Sinopse: John Forbes Nash Jr. é reconhecido como gênio da 
matemática aos 21 anos. Cedo, casa-se com uma bela mulher, 
mas logo começa a dar sinais de esquizofrenia. Após anos de luta 
contra a doença, ele acaba ganhando o prêmio Nobel.
WEB 
Aqui, você verá dicas importantes sobre o cálculo dos juros simples 
e do juro composto. Ótima para prática a aplicação dos conceitos e 
das fórmulas. Acesse o conteúdo disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=fBqfutC1MmY>.
https://www.youtube.com/watch?v=fBqfutC1MmY
57
Plano de Estudo:
1. RENDAS OU ANUIDADES
2. RENDA PERPÉTUA
3. INFLAÇÃO, DEFLAÇÃO E ÍNDICES DE PREÇO
4. EMPRÉSTIMOS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Objetivos de Aprendizagem:
• Compreender sobre rendas e suas variações
• Conhecer sobre inflação e índices de preços
• Estabelecer a importância do sistema de amortização
UNIDADE III
Rendas, Empréstimos e Inflação
Professor Mestre Fábio Oliveira Vaz
58UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
INTRODUÇÃO
Nesta Unidade, veremos a importância de compreender o tema renda e como ele 
é utilizado para gerar montantes para retirada futura, como é o caso das aposentadorias, 
aluguéis etc.
Além disso, passaremos pelo tema mais temido e que impacta nossas finanças, a 
INFLAÇÃO. Compreender seu funcionamento é essencial para perceber seu impacto em 
nosso dinheiro. Aliás, veremos como ela é calculada e com base em que é gerada.
Outro assunto que abordaremos são as taxas de juros, parcelas e empréstimos, 
tema que é comum no meio empresarial, principalmente para os financiamentos que 
envolvem valores altos e parcelas por um longo período de tempo.
Por isso, quando dizemos que iremos parcelar algo com juros, por um longo 
período, precisamos compreender que para a dívida ser liquidada é necessário amortizar 
o débito após o pagamento de cada parcela, isso nos leva a buscar entender os tipos de 
amortizações existentes e onde são aplicadas.
Termos complexos? Por isso, iremos compreendê-los nesta Unidade e veremos 
como aplicar cada teoria na prática.
Mais uma vez, veremos que a complexidade está mais no medo da disciplina e 
iremos perceber que esse medo é mais lenda do que realidade. Falaremos de renda, juros, 
amortização, empréstimos, inflação de maneira simples e didática.
59UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
1 RENDAS OU ANUIDADES
Ao pensar em rendas temos que entender que elas servem para duas coisas:
a) o pagamento de uma dívida parcelada, ou a compra de um bem em prestações.
b) a constituição de um montante em dinheiro no futuro como, por exemplo, uma 
série de depósitos em caderneta de poupança que é capitalizada.
Figura 01 - Classificação das rendas
Fonte: adaptado de Francisco (1999).
Se em algum momento da sua vida você realizou uma compra parcelada ou guardou 
dinheiro em poupança, você está diante de uma anuidade ou renda certa. Quando nosso 
objetivo é constituir um capital em uma data futura temos um processo de capitalização. Se 
por outro lado nosso objetivo é pagar uma dívida temos um processo de amortização. Veja 
que a discussão gira em torno de entradas e saídas de recursos de forma sucessiva que 
é a característica principal desse assunto, o processo de repetição de um pagamento ou 
recebimento. Veremos adiante os principais tópicos do tema e suas aplicações.
60UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
O tópico a ser abordado agora tratará das rendas certas ou anuidades, que 
representam uma importante aplicação da Matemática Financeira e que percebemos 
facilmente no nosso cotidiano, desde o pagamento dos aluguéis até as compras parceladas.
SAIBA MAIS
Renda, também conhecida como anuidade, é todo valor utilizado sucessivamente 
para compor um capital ou pagar uma dívida. As rendas são um dos principais conceitos 
que baseiam os financiamentos ou empréstimos. Nessas rendas são realizadas uma 
série de pagamentos (parcelas ou termos) para arrecadar um fundo de poupança, pagar 
dívidas, financiar imóveis, etc.
No caso da poupança, para acumularmos determinado valor, realizamos vários 
pagamentos que geram um montante ao final, chamado de montante equivalente da 
renda.
Já no pagamento de uma dívida, os débitos são feitos posteriormente, ou seja, as 
prestações são pagas ao credor com períodos e parcelas determinadas. Um exemplo, 
é o pagamento de um aluguel. Esse pagamento de dívidas é chamado de amortização. 
Existem diversos tipos de sistemas de amortização, são eles: Sistema de Amortização 
Francês, Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Alemão, 
etc., sendo que cada um têm sua particularidade.
Dentro da renda, são trabalhados os seguintes conceitos:
● Número de prestações ou termos de renda: quantidade de pagamentos ou re-
cebimentos feitos;
● Valores dos termos de renda: valor de cada termo da renda;
● Período de Vencimento: data de vencimento ou pagamento dos termos da ren-
da.
As rendas de acordo com as formas de pagamento podem ser divididas em:
Rendas Certas
As rendas certas, também chamadas de séries periódicas uniformes, são aquelas 
em que todos os elementos já estão pré-determinados e podem ser classificados de 
acordo com o tempo, a variação dos elementos, o valor, o período do vencimento, etc, 
que por sua vez podem ser divididas em:
61UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
Rendas Postecipadas: Rendas em que o pagamento é feito apenas ao final de 
cada período. Ex.: faturas de cartão de crédito, empréstimos e financiamentos, etc.
Rendas Antecipadas: Rendas em que há a exigência do pagamento ser feito no 
início de cada período. Ex.: financiamentos pagos à vista.
Rendas Diferidas: O período de pagamento está num prazo entre o início da com-
pra do período de pagamento da primeira parcela. Ex.: Essas séries são utilizadas em 
promoções de “Compre hoje e comece a pagar em tal dia.”
Rendas Aleatórias
As rendas aleatórias são utilizadas quando alguns de seus elementos não podem 
ser previamente determinados. Ex.: o seguro de vida, com relação ao valor do seguro 
(de acordo com a causa da morte) e a data do recebimento (data da morte) que não 
podem ser determinados durante o fechamento do contrato.
Classificação das rendas
Como foi dito, as rendas são uma sucessão de pagamentos ou depósitos em de-
terminado período e tempo. Mas, ainda de acordo com cada tipo de elemento que es-
tiver determinado no contrato, elas podem ser classificadas de formas diferentes. Veja:
Rendas Temporárias: quando os pagamentos possuem um prazo para acabar.
Rendas Perpétuas: quando os pagamentos são infinitos.
Rendas Fixas ou Uniformes: quando os pagamentos são iguais.
Rendas Variáveis: quando os pagamentos mudam.
Rendas Constantes: quando os termos são constantes. Ex.: Prestações.
Rendas Variáveis: quando as rendas são variáveis. Ex.: Depósitos crescentes na 
poupança.
Rendas Imediatas: quando o primeiro pagamento é feito no primeiro período (mês) 
da série.
Fonte:
http://www.okconcursos.com.br/apostilas/apostila-gratis/132-matematica-financeira/1306-rendas-em-
-matematica-financeira#.XEhoWlxKi00
http://www.okconcursos.com.br/apostilas/apostila-gratis/132-matematica-financeira/1306-rendas-em-matematica-financeira#.XEhoWlxKi00
http://www.okconcursos.com.br/apostilas/apostila-gratis/132-matematica-financeira/1306-rendas-em-matematica-financeira#.XEhoWlxKi00
62UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
Calculando a Renda: Valor Atual: 
A atualidade do valor de uma renda pode ser encontrada através da aplicação de 
algumas fórmulas, como veremos a seguir:
a) Quando as parcelas ou pagamentos são feitos sem entrada, também chamados de 
postecipados:
Nesta fórmula temos:
Ap :que é o valor nas parcelas postecipadas, visto como Capital.
PMT é o valor de cada parcela ou prestação.
Vejamos um exemplo de aplicação:Para achar o valor na atualidade de uma dívida, que foi adquirida em 7 pagamentos 
mensais, postecipados, a um valor de R$ 500,00, e a taxa sendo de 4,5% ao mês, fa-
remos da seguinte forma:
Ap= 5,89267 . 500 = 2.946,34
63UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
b) Quando as parcelas ou pagamentos são feitos com uma entrada, também conhe-
cidos como antecipados.
Neste caso o Aa são as parcelas que serão quitadas de forma antecipada.
Vejamos o Exemplo:
Encontre o valor atualizado de uma pendência financeira, paga em 7 meses, de forma 
antecipada, com o valor de R$ 500,00 a uma taxa de 4,5$ ao mês.
Aa= 6,15784 . 500 = 3.078,92
64UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
2 RENDA PERPÉTUA
Esta renda leva esse nome pois não existe uma previsão para seu término, é 
considerado um número de parcelas ou pagamentos infinitos. Temos como exemplo os 
aluguéis, condomínio, Netflix, internet, etc. As parcelas ou prestações utilizam a função 
PMT (Periodic Payment Amount).
Valor atual da renda perpétua
Utilizamos a seguinte fórmula para seu cálculo:
Na qual:
VARP = valor atual de uma renda perpétua
PMT = Valor das parcelas
65UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
Exemplo: 
Se temos uma taxa de 1,2% ao mês e uma renda perpétua de R$ 100,00, qual será o 
valor atual dessa renda perpétua?
Seria a mesma coisa de perguntar qual o valor que preciso para sacar R$ 100,00 por 
mês com uma taxa de 1,2% ao mês.
VArp = 8.333,33
Cálculo da taxa de uma renda perpétua
A taxa pode ser encontrada da seguinte forma:
1) Um bem que tem seu valor estimado em R$ 60.000,00 e tem um aluguel no valor de 
R$ 900,00 tem qual taxa correspondente?
i = 0,015 ou 1,5% (taxa ao mês considerando que o aluguel seja mensal)
66UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
2) Veja esse exemplo: Se você quer se aposentar daqui a 25 anos e ter uma renda 
perpétua de R$ 1.500,00, qual deve ser o valor dos depósitos e qual o montante ne-
cessário (postecipado), sabendo que a taxa de juro é de 1,5% ao mês?
a) Primeiro Passo: é preciso encontrar quanto você precisa daqui a 25 anos para conse-
guir uma renda perpétua de R$ 1.500,00? 
Ela precisará de R$ 100.000,00.
b) Segundo Passo: qual o valor dos depósitos mensais nos próximos 25 anos (n = 300 
meses) para juntar os R$ 100.000,00?
Com os depósitos postecipados (sem entrada)
100.000,00 = 5.737,25 . PMT
PMT = 100.000 PMT = 17,43
 5.737,25
Com a hp 12c
G 8 (Para cálculo dos pagamentos sem entrada ou postecipados)
f CLX f 2 
100.000 CHS FV 
1,5 i 
300 n 
PMT (Resposta 17,43)
Veja que as rendas ou anuidades são formas de pensar no futuro, como o dinheiro 
pode gerar benefícios ao longo do tempo, e isso o ajuda a planejar seu futuro de sua 
aposentadoria dentro de um mercado financeiro.
67UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
3 INFLAÇÃO, DEFLAÇÃO E ÍNDICES DE PREÇO
Na visão de Gremaud (2003), a inflação é vista como o aumento dos preços de 
diversos itens dentro de um determinado tempo. Porém não podemos dizer que se um 
único produto sofre aumento que temos uma inflação.
Já a deflação acontece quando os preços reduzem de forma generalizada, ou seja, 
os juros não ocorrem, isso pode acontecer devido ao excesso de produtos no mercado ou 
falta de consumidores.
Na visão de Gremaud (2003, p. 54) temos os seguintes tipos clássicos e inflação:
● a inflação de demanda, devido ao excesso de procura em relação à produção. 
● a inflação de custos, resultante do aumento dos custos de produção, como 
salários e matéria-prima, que podem ter sido elevados por pressões de sindicatos 
ou de grupos econômicos, ou ainda, pela inflação de demanda preexistente.
● a inflação inercial, causada pela indexação ou correção monetária, regida pela 
ideia de que simplesmente porque houve inflação no período atual, no período 
seguinte também haverá.
● a inflação estruturalista, sobretudo nos países em desenvolvimento, nos quais 
as condições econômicas são deficientes e há conflitos distributivos de renda.
● a inflação causada pela desvalorização cambial, que eleva o custo das 
importações que deve ser repassado ao produto final.
68UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
SAIBA MAIS
Índices de preço
Como a inflação deve ser medida de forma contínua e generalizada, necessária se faz 
a elaboração de índices desses aumentos. No Brasil, são vários esses medidores, os 
quais serão citados o INPC e o IGP-M.
O INPC – Índice nacional de preços ao consumidor – é elaborado pelo Instituto Bra-
sileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e considera a variação do custo de vida dos 
assalariados que recebem de 1 a 8 salários mínimos por mês, nas seguintes regiões 
metropolitanas: Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Curitiba, Salvador, Fortale-
za, Belém, São Paulo, Recife, Brasília e Goiânia. O período é o mês calendário.
O IGP-M – Índice Geral de Preços de Mercado – é medido pela Fundação Getulio Var-
gas e considera a média ponderada de outros três índices: o Índice de Preços por Ata-
cado – Disponibilidade Interna, o Índice de Preços ao Consumidor e o Índice Nacional 
do Custo da Construção. O período da pesquisa compreende do dia 21 do mês anterior 
ao dia 20 do referido mês. 
O INCC – Índice Nacional do Custo da Construção – também é elaborado pela Funda-
ção Getúlio Vargas e mede a evolução dos custos de construções habitacionais. Ele é 
mensal e envolve 18 capitais: Aracaju, Belém, Belo Horizonte, Brasília, Campo Grande, 
Curitiba, Florianópolis, Fortaleza, Goiânia, João Pessoa, Maceió, Manaus, Porto Alegre, 
Recife, Rio de Janeiro, Salvador, São Paulo e Vitória.
Fonte: http://portalibre.fgv.br/main.jsp?lumChannelId=402880811D8E34B9011D92B6160B0D7D 
Índice de Preços – IGP - M
Segundo Hazzan e Pompeo (2010), o Índice Geral de Preços de Mercado 
(IGP-M) é um dos mais populares indicadores de inflação utilizado no Brasil, calculado 
pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) e publicado mensalmente na revista Conjuntura 
Econômica.
O IGP-M é calculado da seguinte maneira:
• IPA (Índice de preços por atacado, isto é, um indicador que mede as variações 
de preços de produtos em transações feitas no atacado) com peso 0,6.
http://portalibre.fgv.br/main.jsp?lumChannelId=402880811D8E34B9011D92B6160B0D7D
69UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
• IPC (Índice de preço ao consumidor, que mede as variações dos preços dos 
produtos de consumo e famílias) do Rio de Janeiro (local onde fica a FGV) com 
peso 0,3.
• INCC (Índice Nacional do Custo da Construção) com peso 0,1.
O IGP-M foi concebido no final de 1940 para ser uma medida abrangente do 
movimento de preços. Entendia-se por abrangente um índice que englobasse não apenas 
diferentes atividades, como também etapas distintas do processo produtivo. 
Construído dessa forma, o IGP poderia ser usado como deflator do índice de 
evolução dos negócios, daí resultando um indicador mensal do nível de atividade econômica.
Veja sua utilização através da Tabela 01:
Tabela 01 - Simulação de IGP-M
Mês IGP-M
janeiro 1.092,1834
fevereiro 1.103,1052
março 1.109,9445
abril 1.114,9392
maio 1.119,7334
Fonte: o autor.
Vamos usar os dados da tabela para calcularmos a inflação do mês de fevereiro, 
março e abril.
Inflação = (Mês atual ÷ Mês anterior) –1
fevereiro = inflação = (1.103,1052 ÷ 1.092,1834) -1 = 0,009999 = 0,9999%
março = inflação = (1.109,9445 ÷ 1.103,1052) -1 = - 0,006200 = 0,6200%
abril = inflação = (1.114,9392 ÷ 1.109,9445) -1 = - 0,004494 = 0,4494%
Se quisermos calcular a taxa acumulada trimestral de fevereiro, março e abril teremos que 
fazer a soma das inflações:
Inflação acumulada = 0,9999 + 0,6200 + 0,4494 = 2,069% ao período.
70UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
3.1 TAXA DE JURO REAL, EFETIVA E NOMINAL
Segundo Lima (1998), é a taxa realmente cobrada no período em que foi fornecida, 
independentemente do período de capitalização. Então, quando queremos ajustar uma 
taxa ao período de capitalização,utilizamos a equivalência de capitais. É o processo de 
formação de juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. 
É obtida pela seguinte expressão:
Exemplo: um valor que é corrigido a 26% ao ano, tendo a inflação neste período de 
12%, tem uma taxa efetiva ou real de:
 = 0,125 ou 12,50% no período.
Onde:
ir é a taxa real
Para Hirschifeld (2000, p. 32):
Taxa efetiva é a taxa expressa em unidade de tempo que coincide com o pe-
ríodo de capitalização dos juros. Ela corresponde, de fato, ao ganho ou custo 
do capital, embora não seja em termos reais. Exemplo: a taxa de 2% ao mês, 
capitalizada mensalmente, é uma taxa efetiva. Porém, se a taxa não for ca-
pitalizada na mesma medida do período, ela é uma taxa nominal. Exemplo: 
a taxa de 12% ao ano, capitalizada mensalmente.
71UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
SAIBA MAIS
O Índice de Preços no Consumidor (IPC) é um índice que quantifica o custo de um 
determinado cabaz fixo de bens de consumo em diferentes momentos. Este cabaz é 
constituído por diversos tipos de bens, sendo atribuído aos respectivos preços uma de-
terminada ponderação de acordo com os hábitos de consumo da população.
A utilidade do IPC reside no facto de ser através dele que é calculada a taxa de inflação: 
algebricamente, a taxa de inflação é calculada como a taxa de variação do IPC entre 
dois períodos.
Fonte: Knoow ([2017], on-line).
72UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
4 EMPRÉSTIMOS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Provavelmente que em algum momento de sua vida, você já tenha realizado alguma 
operação de empréstimo. Senão, vejamos o seguinte: você tem cartão de crédito? Caso 
tenha, é provável que você já tenha emprestado dinheiro à operadora do seu cartão de 
crédito objetivando devolvê-lo na data do pagamento da fatura. Então estas operações nos 
acompanham muito mais do que podemos imaginar.
Neste tópico, veremos as modalidades e os conceitos sobre a temática. O empréstimo 
é uma modalidade de dívida e surge quando uma determinada quantia é emprestada por 
um período de tempo determinado.
Quem contraiu a dívida é obrigado a devolver (restituir) o valor tomado (principal) 
acrescidos dos juros devidos. Os empréstimos podem ser de curto, médio ou longo prazo. 
As formas de cálculo são na maioria das vezes semelhantes, mas nas operações de longo 
prazo temos algumas características específicas que os diferenciam das características de 
curto e médio prazo.
O principal tópico de diferença entre os prazos dos empréstimos reside na forma 
de reembolso adotado e a forma de determinação dos juros efetivamente cobrados nos 
empréstimos de longo prazo. Vale ressaltar que tratamos aqui de juros compostos e os 
juros sempre serão calculados sobre o saldo devedor.
Por fim é importante ressaltar que os juros sempre serão calculados sobre o saldo 
devedor.
73UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
Vejamos alguns termos importantes que precisamos conhecer:
Credor: Pessoa ou instituição que fornece o empréstimo.
Devedor: Pessoa ou instituição que recebe o empréstimo.
Encargos Financeiros: Custo da operação (juros) para o devedor que retorna 
para o credor.
Amortização: Pagamento do principal (capital emprestado), geralmente por meio 
de parcelas periódicas.
IOF: Imposto sobre Operações Financeiras.
Saldo Devedor: Valor da dívida em um determinado momento, depois de deduzido 
o valor já pago ao credor a título de amortização.
Prestação: É composta pela soma do valor da amortização mais os encargos 
financeiros devidos em determinado período.
Carência: É o período concedido ao credor para início do pagamento do principal. 
Pode também ser utilizada para postergar o início do pagamento dos juros.
SAC (Sistema de Amortização Constante)
Neste sistema, as parcelas de amortização são iguais, como sugere sua 
denominação. Os juros são decrescentes, visto que incidem sobre o saldo devedor – 
restante a amortizar – e, consequentemente, as parcelas são decrescentes.
O cálculo do valor das amortizações é simples: basta dividir o valor principal – 
Empréstimo, Valor Financiado ou Aplicação – pelo número de prestações. No cálculo 
dos juros, leva-se em conta sempre o saldo devedor do período imediatamente anterior. 
Podemos representar o sistema SAC graficamente da seguinte forma:
Gráfico 1 – Sistema SAC
Fonte: o autor
74UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
Observe este exemplo do SAC sem carência:
Um valor emprestado de R$ 24.000,00 foi feito através do sistema SAC. O 
pagamento será feito em 4 anos (n), sendo um pagamento por ano, a uma taxa de 8% ao 
ano. Desenvolva a planilha que mostre as amortizações.
1º passo: antes da elaboração da planilha, é necessário calcular as Amortizações, 
dividindo o valor do empréstimo pelo número de períodos, como segue:
R$: 24.000,00 ÷ 4 = 6.000,00 por ano
2º Passo: para preencher a tabela SAC a seguir, no tempo 0 (zero), representa-se 
o empréstimo adquirido.
3º Passo: no tempo 1 (um), representam-se:
● Os juros do período que é o valor do empréstimo 
(R$: 24.000,00) x taxa 8% (0,08) = R$ 1.920,00.
● O saldo corrigido que é dado pelo saldo devedor 
(R$ 24.000,00) + os juros do período (R$ 1.920,00) = R$ 25.920,00.
● Prestação é a soma da amortização 
(R$ 6.000,00) + os juros do período (R$1.920,00) = R$ 7.920,00.
● Saldo devedor é obtido pelo saldo corrigido 
(R$ 25.920,00) - a prestação (R$ 7.920,00) = R$18.000,00; ou 
o saldo devedor (R$24.000,00) menos a amortização (R$ 6.000,00).
4º Passo: refazem-se as mesmas operações do tempo 1 para os demais tempos 
até o término. Veja a Tabela 2.
Tabela 02 - Cálculo da tabela SAC
ANO
(Final)
Juros do Pe-
ríodo Saldo Corrigido
Amortização 
Constante
Prestação
(Amort. + Juro)
Saldo Devedor
0 24.000,00
1 1.920,00 25.920,00 6.000 7.920,00 18.000,00
2 1.440,00 19.440,00 6.000 7.440,00 12.000,00
3 960,00 12.960,00 6.000 6.960,00 6.000,00
4 480,00 6.480,00 6.000 6.480,00 0,00
Fonte: o autor.
75UNIDADE III Rendas, Empréstimos e Inflação
Para reforçar, segue um esquema de como calcular e aplicar a tabela SAC:
● 1º passo: antes da elaboração da planilha, é necessário calcular as Amortizações: 
Empréstimo ÷ período = amortização constante.
● 2º Passo: para preencher a tabela SAC a seguir, no tempo 0 (zero), representa-
se o empréstimo adquirido no saldo devedor.
● 3º Passo: no tempo 1 (um), representa-se: 
 = Os juros do período que é o valor do empréstimo x taxa. 
 = O saldo corrigido que é dado pelo saldo devedor + juros do período. 
 = Prestação é a soma da amortização mais os juros do período. 
 = Saldo devedor é obtido pelo saldo corrigido menos a prestação.
● 4º Passo: refazem-se as mesmas operações do tempo 1 para os demais tempos 
até o término.
Quando houver carência, é preciso corrigir o saldo, para depois aplicar a tabela, 
como vimos em rendas diferidas.
REFLITA
Conhecer como o dinheiro trabalha com os juros e é amortizado para encerrar uma 
dívida nos mostra como os financiamentos funcionam, ter esse conhecimento pode te 
ajudar a se tornar um profissional mais perspicaz? 
Fonte: o autor.
Sistema Price ou Sistema Francês de Amortização
Este sistema de amortização tem como característica principal o valor constante 
das parcelas em termos nominais. Durante o período de pagamentos, o devedor vai 
desembolsando o mesmo valor da prestação, sabendo que na composição do valor da 
parcela temos a amortização e os juros. Durante a vigência da série de pagamentos, o 
devedor vai pagando o mesmo valor da parcela, mas cabe ressaltar que esta parcela é 
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composta por amortização e juros. Então, devemos observar que sua participação vai 
mudando conforme o andamento da série de pagamentos. Assim, apesar de o valor da 
parcela ser o mesmo, os percentuais de juros e de amortização vão se alterando.
Gráfico 02 – Sistema Price
Fonte: o autor
Veja pelo gráfico acima que o valor da parcela permanece inalterado