Carlos Júlio Estatistica

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Carlos Júlio 
 
 
 
 
 
 
Introdução a teoria das probabilidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Nampula 
2021 
 
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Carlos Júlio 
 
 
 
 
Introdução a teoria das probabilidades 
(Licenciatura em Ensino de Química) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Nampula 
2021 
 
Trabalho individual de carácter avaliativo da cadeira de Estatística 
Educacional do Curso de Licenciatura em Ensino de Química com 
Habilitações em Gestão de Laboratório 3o ano, lecionada pelo: 
Dr. Jorge Filipe Tagir 
 
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Índice 
Introdução ................................................................................................................................... 3 
1. Probabilidades ..................................................................................................................... 4 
2. Fenómeno aleatório (Ω) ...................................................................................................... 4 
3. Espaço amostral e Eventos .................................................................................................. 5 
4. Definição axiomática das probabilidades ............................................................................ 5 
5. Definição clássica das Probabilidades ................................................................................. 6 
5.1. Lei de Laplace ................................................................................................................. 6 
6. Probabilidade condicional ................................................................................................... 6 
Conclusão ................................................................................................................................... 8 
Referências bibliográficas .......................................................................................................... 9 
 
 
3 
 
Introdução 
A probabilidade é a chance que uma situação tem de acontecer. Várias situações podem ser 
calculadas por meio de um método matemático, que calcula de 0 a 1 quão forte é a hipótese de 
um evento ocorrer. 
Uma das formas de calcular a probabilidade é por meio de um experimento aleatório que, 
quando é repetido várias vezes na mesmas condições, dá resultados diferentes. Exemplos desse 
tipo de evento é jogar cara ou coroa, lançar um dado ou participar de jogos de loteria. Tomemos 
o exemplo do lançamento do dado para mostrar como identificar o experimento aleatório: Um 
lançamento de dado pode ser 1, 2, 3, 4, 5, ou 6. Cada um desses resultados é uma chance. Sendo 
assim, há a chance de 1 em 6 de se tirar um número em específico. 
 
4 
 
1. Probabilidades 
A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos 
aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer. 
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência 
dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados 
antecipadamente. 
2. Fenómeno aleatório (Ω) 
“É qualquer subconjunto de um espaço amostral. É também o resultado obtido de cada 
experimento aleatório, que não é previsível.” (Correa, 2003, p. 67). 
Exemplos: 
 Lançamento de um dado. 
 Tempo de duração de uma lâmpada 
Nos experimentos mencionados, pode-se notar que a incerteza sempre está presente, o que quer 
dizer que, se esses experimentos forem repetidos em condições idênticas, não se pode 
determinar qual o resultado que ocorrerá. Tais experimentos são conhecidos como 
experimentos aleatórios. A incerteza esta associada à chance de ocorrência que atribuímos ao 
resultado de interesse. 
Exemplo 1: Vai chover neste final de semana na Praia do Futuro, em Fortaleza? 
Conjunto de possibilidades: S = {chove, não chove} 
Para calcular a probabilidade de chover, podemos ou usar a intuição (subjetivo) ou usar a 
frequência relativa dos últimos dez fins de semana em que choveu (objetivo). 
Exemplo 2: Lançamento de um dado: você ganha se sair uma face par. 
 Conjunto de possibilidades: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Conjunto de possibilidades favoráveis: F = {2, 4, 6} 
 Probabilidade de você ganhar = ? 
Supondo que um dado é honesto e equilibrado, será natural atribuirmos a probabilidade 
3
5
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
5 
 
3. Espaço amostral e Eventos 
 Espaço amostral, denotado por S, é o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento. Um resultado particular de S é um ponto amostral. 
 Evento é o subconjunto do espaço amostral 
Notação A, B, C, ... 
Exemplo 3: Lançamento de um dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 Evento A: Resultado é par A = {2, 4, 6} (evento composto). 
 Evento B: Resultado é maior do que 6 𝐵 = ∅ (evento impossível). 
 Evento C: Resultado menor do que 7 C = S (evento certo). 
 Evento D: Resultado igual a 1 D = {1} (evento simples). 
4. Definição axiomática das probabilidades 
A cada acontecimento A de espaço de acontecimentos faz-se corresponder um número real que 
se chama probabilidade de A, escreve-se P (A), o qual cumpre os seguintes axiomas: 
 ∀𝐴 ∊ 𝑃(𝐴) : 𝑃(𝐴) ∊ [0; 1] 
 𝑃(𝑆) = 1 
 ∀𝐴 ∊ 𝑃(𝑆), ∀𝐵 ∊ 𝑃(𝑆) 𝑠𝑒 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
Propriedades 
 A probabilidade do acontecimento contrário do outro acontecimento obtém-se 
subtraindo 1 à probabilidade do acontecimento de que ele é contrário. 
𝑷(�̅�) = 𝟏 − 𝑷(𝑨) 
 A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 
𝑷(∅) = 𝟎 
 Se A, B e C são acontecimentos incompatíveis dois a dois, então: 
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) 
 Se Se A e B são acontecimentos incompatíveis quaisquer, então: 
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 
6 
 
5. Definição clássica das Probabilidades 
A probabilidade é uma função que atribui um número aos eventos de S (se A é um evento de S, 
então P(A) é a probabilidade de A), que satisfaz aos axiomas prescritos anteriormente. 
𝑷(𝑨) =
𝒏 (𝑨)
𝒏 (𝐒)
 
5.1. Lei de Laplace 
Se numa experiencia aleatória os acontecimentos elementares forem equiprováveis, então, a 
probabilidade de um acontecimento A é o quociente entre o número de casos favoráveis ao 
acontecimento e o número de casos possíveis, ou seja: 
𝑷(𝑨) =
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓á𝒗𝒆𝒊𝒔 𝐚𝐨 𝐚𝐜𝐨𝐧𝐭𝐞𝐜𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐀 
𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐬í𝐯𝐞𝐢𝐬
 
Exemplo 1: Vamos calcular a probabilidade de que num lançamento de um dado perfeito com 
as fáceis numeradas de 1 a 6, se obtenha: 
a) Um número par inferior a 6
Número de casos favoráveis m é 2 e o número de casos possíveis n é 6 
𝑷(𝑨) =
𝑨
𝑺
=
𝟐
𝟔
= 𝟎, 𝟑𝟑𝟑 = 𝟑𝟑, 𝟑 % 
Resposta: Então podemos concluir que a probabilidade de sai um número par e de 33,3%. 
b) Um número par 
Número de casos favoráveis m é 2 e o número de casos possíveis n é 6 
𝑷(𝑨) =
𝑨
𝑺
=
𝟑
𝟔
= 𝟎, 𝟓 = 𝟓𝟎 % 
Resposta: A probabilidade de sair um número par é de 50%. 
6. Probabilidade condicional 
A probabilidade condicional é aquela que calcula as chances de um evento B acontecer, 
considerando que um evento A, ligado a ele, já ocorreu. 
𝑷(𝑨/𝑩) =
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 
e o produto da probabilidade condicional é dado por 
7 
 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩) 
Exemplo 1: De um baralho são retiradas, sucessivamente, duas cartas, sem reposição. Qual a 
probabilidade de que as duas cartais retiradas sejam damas? 
Resolução 
Vamos considerar: 
 Evento A: obter dama na primeira carta. 
 Evento B: obter dama na segunda carta. 
Então, estamos procurando P(A B). )./()()( ABPAPBAP  
 Para a obtenção da primeira carta, existem 4 damas, num total de 52 cartas, então: 
52
4
)( AP 
 Para a obtenção da segunda carta, considerando que já saiu uma dama a primeira 
retirada, temos 3 damas num totalde 51 cartas, então: 
51
3
)/( ABP 
Assim, 
221
1
51
3
51
4
)(  BAP 
Exemplo 2: Consideremos uma urna com 15 bolas equiprováveis, sendo 7 brancas e 8 pretas. 
Tira-se uma bola e, antes de tirar nova bola, repõe-se na urna a bola saída. Qual a probabilidade 
de sair duas vezes bola branca em duas extrações sucessivas? 
Resoluções 
Sejam os acontecimentos, A: “a primeira bola é branca” e B: “ a segunda bola é branca”. 
Dado que a extracção é com reposição, a probabilidade de extrair bola branca na primeira 
tentativa, não afecta a probabilidade de extrair bola branca na segunda tentativa. Então os 
acontecimentos A e B são independentes, logo, a probabilidade pedida será: 
)()()( BPAPBAP  
217,0
15
7
15
7
)(  BAP
 
 
8 
 
Conclusão 
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência 
dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados 
antecipadamente. Um experimento aleatório é aquele que não é possível prever qual resultado 
será encontrado antes de realizá-lo. 
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados 
diferentes e essa inconstância é atribuída ao acaso. 
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma 
distribuição homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza 
qual das 6 faces estará voltada para cima. 
 
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Referências bibliográficas 
Correa, Sonia Maria Barros Barbosa.(2003). Probabilidade e Estatística. 2ª ed. Belo Horizonte: 
PUC Minas Virtual. 
Chilaúle, Arone; Machango, Orlando. (2010). M 12 - Matemática 12a classe programa 
actualizado. Texto Editores: Maputo.