Probabilidade

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Como determinar a probabilidade de ocorrência de um evento?
“Determinar a probabilidade de ter uma criança do sexo feminino antes da fecundação determinar a probabilidade de ter duas crianças do sexo feminino antes da fecundação determinar a probabilidade de ter três crianças, sendo duas do sexo masculino e uma do sexo feminino antes da fecundação, independentemente da ordem de nascimento.”
Todo processo desenvolvido para realizar observações e obter dados com um determinado objetivo é denominado experimento.
Evento é qualquer conjunto de resultados ou consequêcias de um experimento. 
Evento simples é um resultado ou um evento que não pode mais ser decomposto em componentes mais simples. 
O conjunto formado por todos os eventos simples de um experimento é denominado espaço amostral do experimento. 
Um experimento é aleatório quando pode resultar em um dos resultados do espaço amostral sem que se seja possível predizer com certeza qual o resultado que será observado.
 Experimento determinístico é aquele cujo resultado é sempre o mesmo, apesar de ser repetido, várias vezes, em condições semelhantes. Exemplo: a água ferve a 100ºC.
 Experimento aleatório é todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis entre os resultados possíveis.
Exemplo: lançamento de uma moeda.
Experimento aleatório
Experimento aleatório é um processo de obtenção de um resultado ou uma medida que apresenta as seguintes características:
-não se pode afirmar, antes de fazer o experimento, qual será o resultado de uma realização, mas é possível determinar o conjunto de resultados possíveis; 
-E quando é realizado um grande número de vezes (replicado), apresentará uma regularidade que permitirá construir um modelo probabilístico para analisar o experimento.
São experimentos aleatórios:
a) o lançamento de um dado e a observação da face voltada para cima; não se sabe exatamente qual face vai ocorrer, apenas que será uma das seis, e que, se o dado for não viciado, e o lançamento, imparcial, todas as faces têm a mesma chance de ocorrer;
b) a observação dos diâmetros, em mm, de eixos produzidos em uma metalúrgica; sabe-se que as medidas devem estar próximas de um valor nominal, mas não se sabe exatamente
qual é o diâmetro de cada eixo antes de efetuar as mensurações; 
c) o número de mensagens que são transmitidas corretamente por dia em uma rede de computadores; sabe-se que o mínimo possível é zero, mas não se sabe nem sequer o número
máximo de mensagens que serão transmitidas.
Todo experimento aleatório terá alguns resultados possíveis, que constituirão o espaço amostral
Espaço amostral (S ou Ω)
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Para cada experimento aleatório, haverá um espaço amostral único Ω associado a ele.
experimentos aleatórios com os respectivos espaços amostrais:
a) o lançamento de um dado e a observação da face voltada para cima: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
b) a retirada de uma carta de um baralho comum (52 cartas) e a observação do naipe: Ω = {copas, espadas, ouros, paus};
c) o número de mensagens que são transmitidas corretamente por dia em uma rede de computadores: Ω = {0, 1, 2, 3, ...}; 
d) a observação do diâmetro, em mm, de um eixo produzido em uma metalúrgica: Ω = {D, tal que D > 0}; 
e) as vendas mensais, em unidades, de determinado modelo de veículo: Ω = {0, 1, ...}
Espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Exemplo: No lançamento de um dado honesto, todos os resultados possíveis são:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
-O espaço amostral pode ser:
 finito, formado por um número limitado de resultados possíveis, como nos casos a e b;
 infinito numerável, formado por um número infinito de resultados, mas que podem ser listados, como nos casos c ou e; 
 infinito, formado por intervalos de números reais, como no caso d.
-Um espaço amostral:
é dito discreto quando ele for finito ou infinito enumerável;
é dito contínuo quando for infinito, formado por intervalos de números reais. 
A construção do modelo probabilístico dependerá do tipo de espaço amostral, como será visto mais adiante.
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral (S)
· Evento impossível é o evento igual ao conjunto vazio ().
Exemplo: D: observar face maior do que 6. D = { }
· Evento certo é o evento igual ao espaço amostral S.
Exemplo: E: observar face menor do que 7. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
· Evento simples é um evento que não comporta decomposição em coleções menores, ou seja, ele tem um único elemento.
Exemplo: F: observar face maior do que cinco. F = {6}
Eventos 
Sejam o experimento aleatório lançamento de um dado não viciado e observação da face voltada para cima: o seu espaço amostral será Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Definindo três eventos:
E1 = {2, 4, 6}, E2 = {3, 4, 5, 6} e E3 = {1, 3}
-Evento união de E1 com E2 (E1 ∪ E2 ): evento que ocorre se E1 ou E2 ou ambos ocorrem.
E1 ∪ E2 = {2, 3, 4, 5, 6} Composto por todos os resultados que pertencem a um ou ao outro, ou a ambos
-Evento intersecção de E1 com E2 (E1 ∩ E2 ): evento que ocorre se E1 E E2 ocorrem simultaneamente
Composto por todos os resultados que pertencem a ambos: E1 ∩ E2 = {4, 6}
- Eventos mutuamente exclusivos (M.E.): são eventos que não podem ocorrer simultaneamente, não apresentando elementos em comum (sua intersecção é o conjunto vazio).
 Entre os três eventos definidos acima, observamos que os eventos E1 e E3 não têm elementos em comum: E3 = {1, 3} E1 = {2, 4, 6} E1 ∩ E3 = ∅ => E1 e E3 são mutuamente exclusivos.
- Evento complementar de um evento qualquer é formado por todos os resultados do espaço amostral que não pertencem ao evento. A união de um evento e seu complementar formará o próprio espaço amostral, e a intersecção de um evento e seu complementar são o conjunto vazio.
 
No lançamento de um dado sabemos que o espaço amostral é composto de 6 eventos. Partindo desse lançamento, vamos considerar somente os eventos com valores das faces menores que 5, dados por 1, 2, 3, 4, totalizando 4 eventos. Nessa situação temos que o evento complementar é dado pelos números 5 e 6.
Probabilidade clássica
Situações em que os resultados que compõem o espaço amostral têm a mesma possibilidade de ocorrerem, ou seja, os eventos simples são considerados equiprováveis e o espaço amostral é finito.
-Exemplo 1: Lança-se um dado honesto e observa-se a face voltada para cima. Determine a probabilidade de ocorrer face 4.
Solução:
Experimento: lançar um dado.
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6
-Exemplo 2: Lança-se um dado honesto e observa-se a face voltada para cima. Determine a probabilidade de ocorrer face maior do que 6. 
Solução: Experimento: lançar um dado. Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 Evento B: ocorrer face maior do que 6 . B = { } n(B) = 0
Exemplo 3: Lança-se um dado honesto e observa-se a face voltada para cima. Determine a probabilidade de ocorrer face menor do que 7.
Solução: Experimento: lançar um dado. Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 Evento C: ocorrer face menor do que 7. C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 4: Um baralho é constituído de 52 cartas. Retirando desse baralho uma carta ao acaso, calcule a probabilidade de ser do naipe de espadas.
Solução: Experimento: retirar uma carta do baralho. Espaço amostral: n(S) = 52 Evento A: retirar uma carta de espadas n(A)= 13
Observação:
Um evento impossível possui probabilidade de ocorrência igual a 0 (zero), enquanto um evento certo possui probabilidade igual a 1. Logo, a probabilidade de um evento A qualquer é maior ou
igual a zero ou menor ou igual a um: 
Dica: o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis são previamente conhecidos.
Probabilidade empírica
os resultados são baseados em dados observados. A freqüência de resultados no espaço amostral é estimada a partir de um experimento. A probabilidade empírica de um evento A ocorrer é a freqüência relativa desse evento.Define-se probabilidade (definição frequentista) de um acontecimento A e representase por P(A), como sendo o valor obtido para a frequência relativa com que se observou A, num grande número de realizações da experiência aleatória.
Ao estudar um fenômeno aleatório cujo espaço de resultados tenha um número finito de resultados a construção de um modelo para este fenômeno compreende duas fases: - Descrição de todos os resultados do espaço de resultados ou espaço amostral; - Atribuição de uma probabilidade a cada um dos resultados do espaço de resultados.
A escolha deste conjunto de números pode ser feita de forma a obtermos um conjunto de números consistentes com a nossa intuição sobre os valores que iríamos obter para as frequências relativas dos resultados obtidos, se repetíssemos o fenômeno um número suficientemente grande de vezes.
Probabilidade Subjetiva: A probabilidade do Evento A é estimada com base no conhecimento de circunstâncias relevantes
Teorema da soma
Seja S um espaço amostral, A e B eventos de S. A probabilidade de que o evento A ocorra ou o evento B ou ambos é dada por: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
O teorema da soma consiste em somar a probabilidade do evento A com a probabilidade de ocorrência do evento B; o evento A intersecção B deve, então, ser subtraído desse total, uma vez que já foi incluído duas vezes no cálculo da probabilidade de A e da probabilidade de B.
Exemplo: Numa comunidade de 1.000 habitantes, 400 pessoas são assinantes do jornal A, 300 são assinantes do jornal B e 200 de ambos. Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao
acaso ser assinante de A ou B.
Solução:
ε: selecionar um habitante da comunidade n(S) = 1.000
A: ser assinante do jornal A n(A) = 400
B: ser assinante do jornal B n(B) = 300
Interpretação: A probabilidade de um habitante selecionado aleatoriamente ser assinante do jornal A ou do jornal B é de 50%. 
Observação: O teorema da soma é simplificado sempre que A e B não podem ocorrer simultaneamente, de modo que P(A e B) se torna zero. Nesse caso, dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(A ou B) = P(A) + P(B).
Exemplo 2: Uma urna contém quatro bolas amarelas, duas brancas e três vermelhas. Retirando-se uma bola, calcular a probabilidade de ela ser amarela ou branca. 
Solução: ε: retirar uma bola da urna n(S) = 9 
A: retirar uma bola amarela n(A) = 4
B: retirar uma bola branca n(B) = 2 
C: retirar uma bola vermelha n(C) = 3
 
Interpretação: A probabilidade de que a bola retirada seja amarela ou branca é de 66,67%.
Exemplo 3: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de:
a) retirar um ás ou uma carta de copas? b) retirar um valete ou uma dama? 
Solução do item a: ε: retirar uma carta do baralho n(S) = 52 A: retirar um ás n(A) = 4 C: retirar uma carta de copas n(C) = 13
Solução do item b: ε: retirar uma carta do baralho 
n(S) = 52 D: retirar uma dama n(D) = 4 
V: retirar um valete n(V) = 4
Axiomas e propriedades da probabilidade
Alguns autores chamam estes axiomas e propriedades de definição axiomática da probabilidade. Sejam um experimento aleatório e um espaço amostral associado a ele. A cada evento Ei associaremos um número real denominado P(Ei ) que deve satisfazer os seguintes axiomas:
-Propriedades básicas da probabilidade
a) P (∅) = 0 
A probabilidade de ocorrência do conjunto vazio é nula (igual a zero), uma vez que não há resultados no conjunto vazio. Por isso, o conjunto vazio é chamado de evento impossível*. 
b) Σ P(Ei ) = 1,0 
Se a probabilidade de ocorrência do espaço amostral é igual a 1 (100%), ao somar as probabilidades de todos os eventos que compõem o espaço amostral, o resultado deverá ser igual a 1 (100%). 
c) P(Ei ) = 1 – P(Ei ) 
A probabilidade de ocorrência de um evento qualquer será igual à probabilidade do espaço amostral (1 ou 100%) menos a probabilidade de seu evento complementar (a soma das probabilidades de todos os outros eventos do espaço amostral). 
d) Sejam Ei e Ej dois eventos quaisquer: P(Ei ∪ Ej ) = P(Ei ) + P(Ej ) – P(Ei ∩ Ej ) 
A probabilidade de ocorrência do evento União de dois outros eventos será igual à soma das probabilidades de cada evento menos a probabilidade de ocorrência do evento intersecção dos mesmos dois eventos. Esta propriedade também é chamada de regra da adição.
probabilidade condicional
Probabilidade condicional é um segundo evento de um espaço amostral que ocorre em um evento depois que já tenha ocorrido o primeiro.
Vamos trabalhar com o seguinte exemplo: suponha que um dado foi lançado. A probabilidade de ter ocorrido face 4 no lançamento do dado é 1/6. Suponha, agora, que o dado foi jogado e já se sabe que ocorreu face par. Determine a probabilidade de ter ocorrido face 4. 
Solução: Se já saiu face par, só podem ter ocorrido as faces 2, 4 ou 6. O espaço amostral foi reduzido para apenas três casos possíveis. Portanto, a probabilidade de ter ocorrido face 4, sabendose que já ocorreu face par, é 1/3. 126 Definição: Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral. A probabilidade condicional de A dado que B ocorreu, representada por A/B, é definida como:
Eventos independentes
Dois eventos A e B são ditos independentes se a probabilidade de ocorrência de um não influenciar a probabilidade de ocorrência do outro. Exemplo: Considere o experimento de lançar uma moeda e um dado. Determine a probabilidade de ocorrer face 4 no lançamento do dado, sabendo que ocorreu cara no lançamento da moeda. Espaço amostral associado a esse experimento é:
Exemplo de eventos independentes: Quando tiramos duas cartas de um baralho, e depois que tirarmos uma segunda carta, a primeira carta já estiver de volta no baralho, o resultado da primeira carta não influenciará no resultado da segunda carta.
Exemplo de eventos dependentes: Quando tiramos duas cartas de um baralho, e depois formos tirar a segunda carta e não colocamos de volta a primeira, o resultado da primeira influenciará no resultado da segunda carta, pois temos um espaço amostral diferente para a segunda carta que passa a ter 51 cartas e não 52 cartas.
Teorema do produto
não é mutualmente exclusivo
1:52 é porque tem 1 dama sendo intersecção no conjunto A e B 
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