EsSA 2019 'NOVA'

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Bruno Chieregatti e Joao de Sá Brasil. Zenaide Auxiliadora Pachegas Branco e Silvana Guimarães
Escola de Sargentos das Armas
ESA
Curso de Formação de Sargento do Exército (CFS)
A apostila preparatória é elaborada antes da publicação do Edital Ofi cial com base no edital anterior, 
para que o aluno antecipe seus estudos.
JN056-19
Todos os direitos autorais desta obra são protegidos pela Lei nº 9.610, de 19/12/1998.
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OBRA
Escola de Sargentos das Armas ESA
Curso de Formação de Sargento do Exército (CFS)
AUTORES
Matemática - Prof° Bruno Chieregatti e Prof° Joao de Sá Brasil
Português - Profª Zenaide Auxiliadora Pachegas Branco
História do Brasil - Profª Silvana Guimarães
Geografi a do Brasil - Profª Silvana Guimarães
Inglês - Profª Katiuska W. Burgos General
PRODUÇÃO EDITORIAL/REVISÃO
Elaine Cristina
Leandro Filho 
Erica Duarte
DIAGRAMAÇÃO
Elaine Cristina
Thais Regis
Danna Silva
CAPA
Joel Ferreira dos Santos
Publicado em 01/2019
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
Teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos a) Representação de conjuntos e subconjuntos: união, interseção e diferença de 
conjuntos. b) Razões e proporções: razão de duas grandezas, proporção e suas propriedades, escala, divisão em partes direta 
e inversamente proporcionais, regra de três simples e composta, porcentagem, juros simples e juros compostos. c) Números 
Naturais e Inteiros: divisibilidade, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, decomposição em fatores primos, 
operações e propriedades. d) Números Racionais e Reais: operações e propriedades, representação decimal, desigualdades, 
intervalos reais. ........................................................................................................................................................................................................................01
Funções a) Domínio, contradomínio e imagem. b) Raiz de uma função. c) Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. d) Funções 
crescentes, decrescentes e constantes. e) Funções compostas e inversas. .....................................................................................................50
Função afim e função quadrática .. a) Gráfico, domínio, imagem e características. b) Variações de sinal. c) Máximos e mínimos. 
d) Resolução de equações e inequações. e) Inequação produto e inequação quociente. ........................................................................50
Função exponencial a) Gráfico, domínio, imagem e características. b) Equações e inequações exponenciais. ................................60
Função logarítmica a) Definição de logaritmo, propriedades operatórias e mudança de base. b) Gráfico, domínio, imagem e 
características da função logarítmica. c) Equações e inequações logarítmicas. ...........................................................................................62
Trigonometria a) Trigonometria no triângulo retângulo. b) Trigonometria num triângulo qualquer. c) Unidades de medidas 
de arcos e ângulos: graus e radianos. d) Círculo trigonométrico, razões trigonométricas, redução ao 1º quadrante. e) Funções 
trigonométricas: seno, cosseno e tangente; relações e identidades. f) Fórmulas de adição de arcos e arcos duplos. ..................63
Análise combinatória a) Fatorial: definição e operações. b) Princípio Fundamental da Contagem. c) Arranjos, permutações e 
combinações. ...........................................................................................................................................................................................................................69
Probabilidade a) Experimento aleatório, espaço amostral, evento.b) Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis. c) 
Probabilidade da união e interseção de eventos. d) Probabilidade condicional. e) Eventos independentes. ...................................75
Noções de estatística a) População e amostra. b) Frequência absoluta e frequência relativa. c) Medidas de tendência central: 
média aritmética, média aritmética ponderada, mediana e moda. ....................................................................................................................76
Sequências numéricas a) Lei de formação de uma sequência. b) Progressões aritméticas e geométricas: termo geral, soma dos 
termos e propriedades. ........................................................................................................................................................................................................94
Matrizes, determinantes e sistemas lineares a) Matrizes: conceito, tipos especiais, operações e matriz inversa. b) Determinantes: 
conceito, resolução e propriedades. c) Sistemas lineares: resolução, classificação e discussão. ............................................................95
Geometria plana a) Congruência de figuras planas. b) Semelhança de triângulos. c) Relações métricas nos triângulos, 
polígonos regulares e círculos. d) Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. e) Áreas de polígonos, círculo, coroa e 
setor circular. ............................................................................................................................................................................................................... 105
Geometria espacial a) Retas e planos no espaço: paralelismo e perpendicularismo. b) Prismas, pirâmides, cilindros e cones: 
conceito, elementos, classificação, áreas, volumes e troncos. c) Esfera: elementos, seção da esfera, área e volume. ................ 125
Geometria analítica a) Ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento, condição de 
alinhamento de três pontos. b) Estudo da reta: equação geral e reduzida; interseção, paralelismo e perpendicularismo entre 
retas; distância de um ponto a uma reta; área de um triângulo. c) Estudo da circunferência: equação geral e reduzida; posições 
relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas circunferências; tangência. ......................................................... 130
Números complexos a) O número “i”. b) Conjugado e módulo de um número complexo. c) Representação algébrica e 
trigonométrica de um número complexo. d) Operações nas formas algébrica e trigonométrica. ..................................................... 138
Polinômios a) Função polinomial; polinômio identicamente nulo; grau de um polinômio; identidade de um polinômio, raiz de 
um polinômio; operações com polinômios; valor numérico de um polinômio. b) Divisão de polinômios, Teorema do Resto, 
Teorema de D’Alembert, dispositivo de Briot-Ruffini. ........................................................................................................................................... 140
Equações polinomiais a) Definição, raízes e multiplicidade. b) Teorema Fundamental da Álgebra. c) Relações entre coeficientes 
e raízes. d) Raízes reais e complexas. ........................................................................................................................................................................... 140
SUMÁRIO
PORTUGUÊS
Leitura, interpretação e análise de textos: Leitura, interpretação e análise dos significados presentes em um texto e o 
respectivo relacionamento com o universo em que o texto foi produzido. ...................................................................................... 01
Fonética, ortografia e pontuação: Correta escrita das palavras da língua portuguesa, acentuação gráfica, partição silábica 
e pontuação. ............................................................................................................................................................................................................... 09
Morfologia: Estrutura e formaçãodas palavras e classes de palavras. ................................................................................................ 23
Morfossintaxe: Frase, oração e período, termos da oração, orações do período (desenvolvidas e reduzidas), funções 
sintáticas do pronome relativo, sintaxe de regência (verbal e nominal), sintaxe de concordância (verbal e nominal) e 
sintaxe de colocação.... ............................................................................................................................................................................................ 64
Noções de versificação: Estrutura do verso, tipos de verso, rima, estrofação e poemas de forma fixa. ................................ 91
Teoria da linguagem e semântica: História da Língua Portuguesa; linguagem, língua, discurso e estilo; níveis de linguagem, 
funções da linguagem; figuras de linguagem; e significado das palavras. ........................................................................................ 97
Introdução à literatura: A arte literária, os gêneros literários e a evolução da arte literária, em Portugal e no Brasil. ...106
Literatura brasileira: Contexto histórico, características, principais autores e obras do Quinhentismo, Barroco, Arcadismo, 
Romantismo, Realismo, Naturalismo, Impressionismo, Parnasianismo, Simbolismo, Pré-Modernismo e Modernismo. 108
Redação: Gênero textual; textualidade e estilo (funções da linguagem; coesão e coerência textual; tipos de discurso; 
intertextualidade; denotação e conotação; figuras de linguagem; mecanismos de coesão; a ambiguidade; a não-
contradição; paralelismos sintáticos e semânticos; continuidade e progressão textual); texto e contexto; o texto narrativo: 
o enredo, o tempo e o espaço; a técnica da descrição; o narrador; o texto argumentativo; o tema; a impessoalidade; 
a carta argumentativa; a crônica argumentativa; a argumentação e a persuasão; o texto dissertativo-argumentativo; 
a consistência dos argumentos; a contra-argumentação; o parágrafo; a informatividade e o senso comum; formas de 
desenvolvimento do texto dissertativo-argumentativo; a introdução; e a conclusão. ................................................................118
Alterações introduzidas na ortografia da língua portuguesa pelo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa, assinado 
em Lisboa, em 16 de dezembro de 1990, por Portugal, Brasil, Angola, São Tomé e Príncipe, Cabo Verde, Guiné-Bissau, 
Moçambique e, posteriormente, por Timor Leste, aprovado no Brasil pelo Decreto nº 6.583, de 29 de setembro de 2008 
e alterado pelo Decreto nº 7.875, de 27 de dezembro de 2012. .........................................................................................................130
HISTÓRIA DO BRASIL
1) História do Brasil ................................................................................................................................................................................................................01
a) A expansão Ultramarina Européia dos séculos XV e XVI ...................................................................................................................................01
b) O Sistema Colonial Português na América: Estrutura político-administrativa, estrutura socioeconômica, invasões estrangeiras, 
expansão territorial, interiorização e formação das fronteiras, as reformas pombalinas, rebeliões coloniais; e movimentos e 
tentativas emancipacionistas. ............................................................................................................................................................................................01
c) O Período Joanino e a Independência .......................................................................................................................................................................01
(1) A presença britânica no Brasil, a transferência da Corte, os tratados, as principais medidas de D. João VI no Brasil, a política 
joanina, os partidos políticos, as revoltas, conspirações e revoluções e a emancipação e os conflitos sociais. ...............................01
(2) O processo de independência do Brasil. .................................................................................................................................................................01
d) Brasil Imperial: Primeiro Reinado e Período Regencial: aspectos administrativos, militares, culturais, econômicos, sociais e 
territoriais; Segundo Reinado: aspectos administrativos, militares, econômicos, sociais e territoriais; e Crise da Monarquia e 
Proclamação da República. .................................................................................................................................................................................................01
e) Brasil República: Aspectos administrativos, culturais, econômicos, sociais e territoriais, revoltas, crises e conflitos e a 
participação brasileira na II Guerra Mundial. ...............................................................................................................................................................01
SUMÁRIO
GEOGRAFIA DO BRASIL
2) Geografia do Brasil ............................................................................................................................................................................................................01
a) O território nacional: a construção do Estado e da Nação, a obra de fronteiras, fusoshorários e a federação brasileira. ......01
b) O espaço brasileiro: relevo, climas, vegetação, hidrografia e solos. ..............................................................................................................01
c) Políticas territoriais: meio ambiente. ..........................................................................................................................................................................01
d) Modelo econômico brasileiro: o processo de industrialização, o espaço industrial, a energia e o meio ambiente, os complexos 
agroindustriais e os eixos de circulação e os custos de deslocamento. ...........................................................................................................01
e) A população brasileira: a sociedade nacional, a nova dinâmica demográfica, os trabalhadores e o mercado de trabalho, a 
questão agrária, pobreza e exclusão social e o espaço das cidades. .................................................................................................................01
f) Políticas territoriais e regionais: a Amazônia, o Nordeste, o Mercosul e a América do Sul. .................................................................01
INGLÊS 
Competências e Habilidades: Compreender a utilização de mecanismos de coesão e coerência na produção escrita; Compreender 
de que forma determinada expressão pode ser interpretada em razão de aspectos sociais e/ou culturais; Analisar os recursos 
expressivos da linguagem verbal, relacionando textos e contextos mediante a natureza, função, organização, estrutura, de 
acordo com as condições de produção. ........................................................................................................................................................................01
Conteúdos linguístico-textuais: Denotação e Conotação; Sinonímia e Antonímia; Correlação morfológica, sintática e/ou 
semântica; Pronomes e suas referências; Artigos (definidos e indefinidos); Singular e Plural; Verbos no Presente, para expressar 
hábitos e rotinas, em suas formas afirmativa, interrogativa ou negativa; Verbos no Presente Contínuo, para expressar atividades 
momentâneas e futuro, em suas formas afirmativa, interrogativa ou negativa; Comparativo e Superlativo; Adjetivos e Advérbios 
e suas posições nas frases; Quantificadores (many, much, few, little, a lot of). .............................................................................................05
MATEMÁTICA
ÍNDICE
Teoria dos conjuntose conjuntos numéricos a) Representação de conjuntos e subconjuntos: união, interseção e diferença de 
conjuntos. b) Razões e proporções: razão de duas grandezas, proporção e suas propriedades, escala, divisão em partes direta 
e inversamente proporcionais, regra de três simples e composta, porcentagem, juros simples e juros compostos. c) Números 
Naturais e Inteiros: divisibilidade, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, decomposição em fatores primos, 
operações e propriedades. d) Números Racionais e Reais: operações e propriedades, representação decimal, desigualdades, 
intervalos reais. ........................................................................................................................................................................................................................01
Funções a) Domínio, contradomínio e imagem. b) Raiz de uma função. c) Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. d) Funções 
crescentes, decrescentes e constantes. e) Funções compostas e inversas. .....................................................................................................50
Função afim e função quadrática . a) Gráfico, domínio, imagem e características. b) Variações de sinal. c) Máximos e mínimos. 
d) Resolução de equações e inequações. e) Inequação produto e inequação quociente. ........................................................................50
Função exponencial a) Gráfico, domínio, imagem e características. b) Equações e inequações exponenciais. ................................60
Função logarítmica a) Definição de logaritmo, propriedades operatórias e mudança de base. b) Gráfico, domínio, imagem e 
características da função logarítmica. c) Equações e inequações logarítmicas. ...........................................................................................62
Trigonometria a) Trigonometria no triângulo retângulo. b) Trigonometria num triângulo qualquer. c) Unidades de medidas 
de arcos e ângulos: graus e radianos. d) Círculo trigonométrico, razões trigonométricas, redução ao 1º quadrante. e) Funções 
trigonométricas: seno, cosseno e tangente; relações e identidades. f) Fórmulas de adição de arcos e arcos duplos. ..................63
Análise combinatória a) Fatorial: definição e operações. b) Princípio Fundamental da Contagem. c) Arranjos, permutações e 
combinações. ...........................................................................................................................................................................................................................69
Probabilidade a) Experimento aleatório, espaço amostral, evento.b) Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis. c) 
Probabilidade da união e interseção de eventos. d) Probabilidade condicional. e) Eventos independentes. ...................................75
Noções de estatística a) População e amostra. b) Frequência absoluta e frequência relativa. c) Medidas de tendência central: 
média aritmética, média aritmética ponderada, mediana e moda. ....................................................................................................................76
Sequências numéricas a) Lei de formação de uma sequência. b) Progressões aritméticas e geométricas: termo geral, soma dos 
termos e propriedades. ........................................................................................................................................................................................................94
Matrizes, determinantes e sistemas lineares a) Matrizes: conceito, tipos especiais, operações e matriz inversa. b) Determinantes: 
conceito, resolução e propriedades. c) Sistemas lineares: resolução, classificação e discussão. ............................................................95
Geometria plana a) Congruência de figuras planas. b) Semelhança de triângulos. c) Relações métricas nos triângulos, 
polígonos regulares e círculos. d) Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. e) Áreas de polígonos, círculo, coroa e 
setor circular. ............................................................................................................................................................................................................... 105
Geometria espacial a) Retas e planos no espaço: paralelismo e perpendicularismo. b) Prismas, pirâmides, cilindros e cones: 
conceito, elementos, classificação, áreas, volumes e troncos. c) Esfera: elementos, seção da esfera, área e volume. ................ 125
Geometria analítica a) Ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento, condição de 
alinhamento de três pontos. b) Estudo da reta: equação geral e reduzida; interseção, paralelismo e perpendicularismo entre 
retas; distância de um ponto a uma reta; área de um triângulo. c) Estudo da circunferência: equação geral e reduzida; posições 
relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas circunferências; tangência. ........................................................ 130
Números complexos a) O número “i”. b) Conjugado e módulo de um número complexo. c) Representação algébrica e 
trigonométrica de um número complexo. d) Operações nas formas algébrica e trigonométrica. ..................................................... 138
Polinômios a) Função polinomial; polinômio identicamente nulo; grau de um polinômio; identidade de um polinômio, raiz de 
um polinômio; operações com polinômios; valor numérico de um polinômio. b) Divisão de polinômios, Teorema do Resto, 
Teorema de D’Alembert, dispositivo de Briot-Ruffini. ........................................................................................................................................... 140
Equações polinomiais a) Definição, raízes e multiplicidade. b) Teorema Fundamental da Álgebra. c) Relações entre coeficientes 
e raízes. d) Raízes reais e complexas. ........................................................................................................................................................................... 140
MATEMÁTICA
ÍNDICE
1
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
TEORIA DOS CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS; A) REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS E 
SUBCONJUNTOS: UNIÃO, INTERSEÇÃO E DIFERENÇA DE CONJUNTOS.; B) RAZÕES E PROPORÇÕES: 
RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS, PROPORÇÃO E SUAS PROPRIEDADES, ESCALA, DIVISÃO EM 
PARTES DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA, 
PORCENTAGEM, JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS.; C) NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS: 
DIVISIBILIDADE, MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM, MÁXIMO DIVISOR COMUM, DECOMPOSIÇÃO EM 
FATORES PRIMOS, OPERAÇÕES E PROPRIEDADES.; D) NÚMEROS RACIONAIS E REAIS: OPERAÇÕES 
E PROPRIEDADES, REPRESENTAÇÃO DECIMAL, DESIGUALDADES, INTERVALOS REAIS.
TEORIA DOS CONJUNTOS 
1. Representação
- Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 2, 3, 4, 5}
- Simbolicamente: B={x∈ N|2<x<8}, enumerando esses elementos temos:
B={3,4,5,6,7}
- por meio de diagrama:
Quando um conjunto não possuir elementos chamares de conjunto vazio: S=∅ ou S={ }.
2. Igualdade
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem exatamente os mesmos elementos. Em símbolo:
Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisamos saber apenas quais são os elementos.
Não importa ordem:
A={1,2,3} e B={2,1,3}
Não importa se há repetição:
A={1,2,2,3} e B={1,2,3}
3. Relação de Pertinência
Relacionam um elemento com conjunto. E a indicação que o elemento pertence (∈) ou não pertence (∉)
Exemplo: Dado o conjunto A={-3, 0, 1, 5}
0∈A
2∉A
2
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
4. Relações de Inclusão
Relacionam um conjunto com outro conjunto. 
Simbologia: ⊂(está contido), ⊄(não está contido), 
⊃(contém), (não contém)
A Relação de inclusão possui 3 propriedades:
Exemplo:
{1, 3,5}⊂{0, 1, 2, 3, 4, 5}
{0, 1, 2, 3, 4, 5}⊃{1, 3,5}
Aqui vale a famosa regrinha que o professor ensina, 
boca aberta para o maior conjunto.
5. Subconjunto
O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de 
A é também elemento de B.
Exemplo: {2,4} é subconjunto de {x∈N|xé par}
6. Operações 
6.1. União
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro 
formado pelos elementos que pertencem pelo menos 
um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e 
representamos por: A∪B.
Formalmente temos: A∪B={x|x∈A ou x B}
Exemplo:
A={1,2,3,4} e B={5,6}
A∪B={1,2,3,4,5,6} 
Interseção
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado 
pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é 
representada por: A∩B.
Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e xB}
Exemplo:
A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}
A∩B={d,e}
6.2. Diferença 
Uma outra operação entre conjuntos é a diferença, que 
a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto 
definido por: 
A – B ou A\B que se diz a diferença entre A e B ou o 
complementar de B em relação a A. 
A este conjunto pertencem os elementos de A que não 
pertencem a B. 
A\B = {x : x∈A e x∉B}.
B-A = {x : x∈B e x∉A}.
Exemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7} 
Então os elementos de A – B serão os elementos do 
conjunto A menos os elementos que pertencerem ao 
conjunto B.
Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
6.3. Complementar
O complementar do conjunto A( ) é o conjunto formado 
pelos elementos do conjunto universo que não pertencem a A.
3
M
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EM
[ Á
TI
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Fórmulas da união
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)+n(A∩B∩C)-n(A∩B)-
n(A∩C)-n(B C)
Essas fórmulas muitas vezes nos ajudam, pois ao invés 
de fazer todo o digrama, se colocarmos nessa fórmula, 
o resultado é mais rápido, o que na prova de concurso é 
interessante devido ao tempo.
Mas, faremos exercícios dos dois modos para você 
entender melhor e perceber que, dependendo do exercício 
é melhor fazer de uma forma ou outra.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (MANAUSPREV – ANALISTA PREVIDENCIÁRIO – 
FCC – 2015) Em um grupo de 32 homens, 18 são altos, 
22 são barbados e 16 são carecas. Homens altos e barba-
dos que não são carecas são seis. Todos homens altos que 
são carecas, são também barbados. Sabe-se que existem 
5 homens que são altos e não são barbados nem carecas. 
Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não 
são altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens que 
são carecas e não são altos e nem barbados. Dentre todos 
esses homens, o número de barbados que não são altos, 
mas são carecas é igual a
a) 4.
b) 7.
c) 13.
d) 5.
e) 8.
Resposta: Letra A.
Primeiro, quando temos 3 diagramas, sempre começa-
mos pela interseção dos 3, depois interseção a cada 2 e 
por fim, cada um
Se todo homem careca é barbado, não teremos apenas 
homens carecas e altos.
Homens altos e barbados são 6
Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não 
são altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens 
que são carecas e não são altos e nem barbados
Sabemos que 18 são altos
4
M
AT
EM
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TI
CA
Quando somarmos 5+x+6=18
X=18-11=7
Carecas são 16
7+y+5=16
Y=16-12
Y=4
Então o número de barbados que não são altos, mas são 
carecas são 4.
2. (INSS – ANALISTA DO SEGURO SOCIAL – CESPE – 
2016) Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos 
de idade foi dividida nos seguintes dois grupos:
A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pesso-
as); e
B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 
pessoas).
Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou 
fumante ou ambos (diabética e fumante).
A população do grupo B é constituída por três conjuntos 
de indivíduos: fumantes, ex-fumantes e pessoas que nunca 
fumaram (não fumantes).
Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo.
Se, das pessoas do grupo A, 280 são fumantes e 195 são 
diabéticas, então 120 pessoas desse grupo são diabéticas 
e não são fumantes.
Resposta: Certo
280-x+x+195-x=400
x=75
Diabéticos: 195-75=120
Referências
YOUSSEF, Antonio Nicolau (et al.). Matemática: ensino 
médio, volume único. – São Paulo: Scipione, 2005.
CARVALHO, S. Raciocínio Lógico Simplificado, volume 
1, 2010.
5
M
AT
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CA
Números Naturais e suas operações fundamentais
1. Definição de Números Naturais
Os números naturais como o próprio nome diz, são os 
números que naturalmente aprendemos, quando estamos 
iniciando nossa alfabetização. Nesta fase da vida, não 
estamos preocupados com o sinal de um número, mas sim 
em encontrar um sistema de contagem para quantificarmos 
as coisas. Assim, os números naturais são sempre positivos 
e começando por zero e acrescentando sempre uma 
unidade, obtemos os seguintes elementos: 
ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … .
Sabendo como se constrói os números naturais, 
podemos agora definir algumas relações importantes entre 
eles:
a) Todo número natural dado tem um sucessor (número 
que está imediatamente à frente do número dado 
na seqüência numérica). Seja m um número natural 
qualquer, temos que seu sucessor será sempre de-
finido como m+1. Para ficar claro, seguem alguns 
exemplos:
Ex: O sucessor de 0 é 1.
Ex: O sucessor de 1 é 2.
Ex: O sucessor de 19 é 20.
b) Se um número natural é sucessor de outro, então os 
dois números que estão imediatamente ao lado do 
outro são considerados como consecutivos. Vejam 
os exemplos:
Ex: 1 e 2 são números consecutivos.
Ex: 5 e 6 são números consecutivos.
Ex: 50 e 51 são números consecutivos.
c) Vários números formam uma coleção de números 
naturais consecutivos se o segundo for sucessor do 
primeiro, o terceiro for sucessor do segundo, o quar-
to for sucessor do terceiro e assim sucessivamente. 
Observe os exemplos a seguir:
Ex: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
Ex: 5, 6 e 7 são consecutivos.
Ex: 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
d) Analogamente a definição de sucessor, podemos 
definir o número que vem imediatamente antes ao 
número analisado. Este número será definido como 
antecessor. Seja m um número natural qualquer, te-
mos que seu antecessor será sempre definido como 
m-1. Para ficar claro, seguem alguns exemplos:
Ex: O antecessor de 2 é 1.
Ex: O antecessor de 56 é 55.
Ex: O antecessor de 10 é 9.
FIQUE ATENTO!
O único número natural que não possui 
antecessor é o 0 (zero) !
1.1. Operações com Números Naturais
Agora que conhecemos os números naturais e temos 
um sistema numérico, vamos iniciar o aprendizado das 
operações matemáticas que podemos fazer com eles. 
Muito provavelmente, vocês devem ter ouvido falar das 
quatro operações fundamentais da matemática: Adição, 
Subtração, Multiplicação e Divisão. Vamos iniciar nossos 
estudos com elas:
Adição: A primeira operação fundamental da Aritmética 
tem por finalidade reunir em um só número, todas as 
unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os 
algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas 
por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou 
por meio de ábacos. Esse método é o mais simples para se 
aprender o conceito de adição, veja a figura a seguir:
Observando a historinha, veja que as unidades (pedras) 
foram reunidas após o passeio no quintal. Essa reunião das 
pedras é definida como adição. Simbolicamente, a adição é 
representada pelo símbolo “+” e assim a historinha fica da 
seguinte forma:
3
𝑇𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑠𝑎 +
2
𝑃𝑒𝑔𝑢𝑒𝑖 𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑎𝑙 =
5
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜
Como toda operação matemática, a adição possui 
algumas propriedades, que serão apresentadas a seguir:
a) Fechamento: A adição no conjunto dos números na-
turais é fechada, pois a soma de dois números natu-
rais será sempre um número natural.
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b) Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de 
números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, 
somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é 
igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. Apresentando isso sob a forma de números, sejam 
A,B e C, três números naturais, temos que:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)
c) Elemento neutro: Esta propriedade caracteriza-se pela existência de número que ao participar da operação de adi-
ção, não altera o resultado final. Estenúmero será o 0 (zero). Seja A, um número natural qualquer, temos que:
𝐴 + 0 = 𝐴
d) Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, 
ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda 
parcela com a primeira parcela. Sejam dois números naturais A e B, temos que:
𝐴+ 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
Subtração: É a operação contrária da adição. Ao invés de reunirmos as unidades de dois números naturais, vamos retirar 
uma quantidade de um número. Voltando novamente ao exemplo das pedras:
Observando a historinha, veja que as unidades (pedras) que eu tinha foram separadas. Essa separação das pedras é definida 
como subtração. Simbolicamente, a subtração é representada pelo símbolo “-” e assim a historinha fica da seguinte forma:
5
𝑇𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑠𝑎 −
3
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑎𝑚𝑖𝑔𝑜 =
2
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜
A subtração de números naturais também possui suas propriedades, definidas a seguir:
a) Não fechada: A subtração de números naturais não é fechada, pois há um caso onde a subtração de dois números 
naturais não resulta em um número natural. Sejam dois números naturais A,B onde A < B, temos que:
A − B < 0
 Como os números naturais são positivos, A-B não é um número natural, portanto a subtração não é fechada.
b) Não Associativa: A subtração de números naturais também não é associativa, uma vez que a ordem de resolução é im-
portante, devemos sempre subtrair o maior do menor. Quando isto não ocorrer, o resultado não será um número natural.
c) Elemento neutro: No caso do elemento neutro, a propriedade irá funcionar se o zero for o termo a ser subtraído do 
número. Se a operação for inversa, o elemento neutro não vale para os números naturais:
d) Não comutativa: Vale a mesma explicação para a subtração de números naturais não ser associativa. Como a ordem 
de resolução importa, não podemos trocar os números de posição
Multiplicação: É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, 
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. Veja o exemplo:
Ex: Se eu economizar toda semana R$ 6,00, ao final de 5 semanas, quanto eu terei guardado?
Pensando primeiramente em soma, basta eu somar todas as economias semanais:
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6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30
Quando um mesmo número é somado por ele mesmo repetidas vezes, definimos essa operação como multiplicação. O 
símbolo que indica a multiplicação é o “x” e assim a operação fica da seguinte forma:
6 + 6 + 6 + 6 + 6
𝑆𝑜𝑚𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 =
6 𝑥 5
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠 = 30
A multiplicação também possui propriedades, que são apresentadas a seguir:
a) Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou 
mais números naturais, o resultado será um número natural.
b) Associativa: Na multiplicação, podemos associar três ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o 
primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado 
que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. Sejam os números naturais m,n e p, temos que:
𝑚 𝑥 𝑛 𝑥 𝑝 = 𝑚 𝑥 (𝑛 𝑥 𝑝)
c) Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais também existe um elemento neutro para a multiplicação mas 
ele não será o zero, pois se não repetirmos a multiplicação nenhuma vez, o resultado será 0. Assim, o elemento neutro 
da multiplicação será o número 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 
𝑛 𝑥 1 = 𝑛
d) Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou 
seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o 
segundo elemento pelo primeiro elemento. Sejam os números naturais m e n, temos que:
𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑛 𝑥 𝑚
e) Prioridade sobre a adição e subtração: Quando se depararem com expressões onde temos diferentes operações 
matemática, temos que observar a ordem de resolução das mesmas. Observe o exemplo a seguir:
 Ex: 2 + 4 𝑥 3
 Se resolvermos a soma primeiro e depois a multiplicação, chegamos em 18. 
 Se resolvermos a multiplicação primeiro e depois a soma, chegamos em 14. Qual a resposta certa?
 A multiplicação tem prioridade sobre a adição, portanto deve ser resolvida primeiro e assim a resposta correta é 14. 
FIQUE ATENTO!
Caso haja parênteses na soma, ela tem prioridade sobre a multiplicação. Utilizando o exemplo, temos que: . 
(2 + 4)𝐱3 = 6 𝐱 3 = 18Nesse caso, realiza-se a soma primeiro, pois ela está dentro dos parênteses
f) Propriedade Distributiva: Uma outra forma de resolver o exemplo anterior quando se a soma está entre parênteses 
é com a propriedade distributiva. Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo 
que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. Veja o exemplo:
2 + 4 x 3 = 2x3 + 4x3 = 6 + 12 = 18
Veja que a multiplicação foi distribuída para os dois números do parênteses e o resultado foi o mesmo que do item 
anterior.
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Divisão: Dados dois números naturais, às vezes 
necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido 
no primeiro. O primeiro número é denominado dividendo 
e o outro número é o divisor. O resultado da divisão é 
chamado de quociente. Nem sempre teremos a quantidade 
exata de vezes que o divisor caberá no dividendo, podendo 
sobrar algum valor. A esse valor, iremos dar o nome de 
resto. Vamos novamente ao exemplo das pedras:
No caso em particular, conseguimos dividir as 8 pedras 
para 4 amigos, ficando cada um deles como 2 unidades e 
não restando pedras. Quando a divisão não possui resto, 
ela é definida como divisão exata. Caso contrário, se 
ocorrer resto na divisão, como por exemplo, se ao invés de 
4 fossem 3 amigos:
Nessa divisão, cada amigo seguiu com suas duas pedras, 
porém restaram duas que não puderam ser distribuídas, 
pois teríamos amigos com quantidades diferentes de 
pedras. Nesse caso, tivermos a divisão de 8 pedras por 
3 amigos, resultando em um quociente de 2 e um resto 
também 2. Assim, definimos que essa divisão não é exata.
Devido a esse fato, a divisão de números naturais não 
é fechada, uma vez que nem todas as divisões são exatas. 
Também não será associativa e nem comutativa, já que 
a ordem de resolução importa. As únicas propriedades 
válidas na divisão são o elemento neutro (que segue sendo 
1, desde que ele seja o divisor) e a propriedade distributiva.
FIQUE ATENTO!
A divisão tem a mesma ordem de prioridade 
de resolução que a multiplicação, assim ambas 
podem ser resolvidas na ordem que aparecem.
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (Pref. De Bom Retiro – SC) A Loja Berlanda está com 
promoção de televisores. Então resolvi comprar um televi-
sor por R$ 1.700,00. Dei R$ 500,00 de entrada e o restante 
vou pagar em 12 prestações de:
a) R$ 170,00
b) R$ 1.200,00
c) R$ 200,00
d) R$ 100,00
Resposta: Letra D: Dado o preço inicial de R$ 1700,00, 
basta subtrair a entrada de R$ 500,00, assim: R$ 1700,00-
500,00 = R$ 1200,00. Dividindo esse resultado em 12 
prestações, chega-se a R$ 1200,00 : 12 = R$ 100,00
Números Inteiros e suas operações fundamentais
1.1 Definição de Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a 
união do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., 
n,...}, com o conjunto dos opostos dos números naturais, 
que são definidos como números negativos. Este conjunto 
é denotado pela letra Z e é escrito da seguinte forma: 
ℤ = {… ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Sabendo da definição dos números inteiros, agora é 
possível indiciar alguns subconjuntos notáveis:
a) O conjunto dos números inteiros não nulos: São to-
dos os números inteiros, exceto o zero:
ℤ∗ = {… ,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, … }
b) O conjunto dos números inteiros nãonegativos: São 
todos os inteiros que não são negativos, ou seja, os 
números naturais:
ℤ+ = 0, 1, 2, 3, 4, … = ℕ
c) O conjunto dos números inteiros positivos: São to-
dos os inteiros não negativos, e neste caso, o zero 
não pertence ao subconjunto:
ℤ∗+ = 1, 2, 3, 4, …
d) O conjunto dos números inteiros não positivos: São 
todos os inteiros não positivos:
ℤ_ = {… ,−4,−3,−2,−1, 0, }
e) O conjunto dos números inteiros negativos: São to-
dos os inteiros não positivos, e neste caso, o zero não 
pertence ao subconjunto:
ℤ∗_ = {… ,−4,−3,−2,−1}
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1.2 Definições Importantes dos Números inteiros
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a 
distância ou afastamento desse número até o zero, na reta 
numérica inteira. Representa-se o módulo pelo símbolo | |. 
Vejam os exemplos:
Ex: O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
Ex: O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
Ex: O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
a) O módulo de qualquer número inteiro, diferente de 
zero, é sempre positivo.
Números Opostos: Voltando a definição do inicio do 
capítulo, dois números inteiros são ditos opostos um do 
outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que 
os representam distam igualmente da origem. Vejam os 
exemplos:
Ex: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, 
pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
Ex: No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a 
é – a, e vice-versa.
Ex: O oposto de zero é o próprio zero.
1.3 Operações com Números Inteiros
Adição: Diferentemente da adição de números naturais, 
a adição de números inteiros pode gerar um pouco 
de confusão ao leito. Para melhor entendimento desta 
operação, associaremos aos números inteiros positivos o 
conceito de “ganhar” e aos números inteiros negativos o 
conceito de “perder”. Vejam os exemplos:
Ex: (+3) + (+5) = ?
Obviamente, quem conhece a adição convencional, 
sabe que este resultado será 8. Vamos ver agora pelo 
conceito de “ganhar” e “perder”:
+3 = Ganhar 3
+5 = Ganhar 5
Logo: (Ganhar 3) + (Ganhar 5) = (Ganhar 8)
Ex: (−3) + (−5) = ?
Agora é o caso em que temos dois números negativos, 
usando o conceito de “ganhar” ou “perder”:
-3 = Perder 3
-5 = Perder 5
Logo: (Perder 3) + (Perder 5) = (Perder 8)
Neste caso, estamos somando duas perdas ou dois 
prejuízos, assim o resultado deverá ser uma perda maior.
E se tivermos um número positivo e um negativo? 
Vamos ver os exemplos:
Ex: (+8) + (−5) = ?
Neste caso, temos um ganho de 8 e uma perda de 5, que 
naturalmente sabemos que resultará em um ganho de 3:
+8 = Ganhar 8
-5 = Perder 5
Logo: (Ganhar 8) + (Perder 5) = (Ganhar 3)
Se observarem essa operação, vocês irão perceber que 
ela tem o mesmo resultado que 8 − 5 = 3. Basicamente 
ambas são as mesmas operações, sem a presença dos 
parênteses e a explicação de como se chegar a essa 
simplificação será apresentado nos itens seguintes deste 
capítulo.
Agora, e se a perda for maior que o ganho? Veja o 
exemplo:
Ex: −8 + +5 = ?
Usando a regra, temos que:
-8 = Perder 8
+5 = Ganhar 5
Logo: (Perder 8) + (Ganhar 5) = (Perder 3)
Após a definição de adição de números inteiros, vamos 
apresentar algumas de suas propriedades:
a) Fechamento: O conjunto Z é fechado para a adição, isto 
é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
b) Associativa: Para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ :
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
Ex: 2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada 
z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, 
tal que
z + (–z) = 0
9 + (–9) = 0
Subtração de Números Inteiros
A subtração é empregada quando:
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto 
uma delas tem a mais que a outra;
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- Temos duas quantidades e queremos saber quanto 
falta a uma delas para atingir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9
 
 diferença
 subtraendo
 
 minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião 
passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da 
temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – 
(+3) = +3
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante 
o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 
3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-
feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) 
= +3
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que 
(+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + (–3). 
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o 
mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. Calcule: 
a) (+12) + (–40) ; 
b) (+12) – (–40) 
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)
Resposta: Aplicando as regras de soma e subtração de 
inteiros, tem-se que:
a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28
b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 
= 6 – 24 = -18
1.4. Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada 
de uma adição quando os números são repetidos. 
Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos 
ganhando repetidamente alguma quantidade, como por 
exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, 
significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser 
indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 
+ 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: 
(–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60
Observamos que a multiplicação é um caso particular 
da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode 
ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal 
entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, 
devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
Iguais Positivo
Diferentes Negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros: 
O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a 
multiplicação de dois números inteiros ainda é um número 
inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por 
todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, 
existe um inverso z–1=1/z em Z, tal que
z x z–1 = z x (1/z) = 1
9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
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1.5. Divisão de Números Inteiros
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a 
divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo:
(–20) : (+5) = q  (+5) . q = (–20)  q = (–4)
Logo: (–20) : (+5) = +4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, 
para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro 
número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do 
dividendo pelo módulo do divisor. Daí:
- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, 
o quociente é um número inteiro positivo.
- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, 
o quocienteé um número inteiro negativo.
- A divisão nem sempre pode ser realizada no con-
junto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são 
divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o 
resultado não é um número inteiro.
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é as-
sociativa e não tem a propriedade da existência do 
elemento neutro.
1- Não existe divisão por zero.
 Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não 
existe um número inteiro cujo produto por zero seja 
igual a –15.
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente 
de zero, é zero, pois o produto de qualquer número 
inteiro por zero é igual a zero.
 Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 /b) 0 : (+6) = 0 /c) 0 : (–1) = 0
1.6. Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um 
produto de n fatores iguais. O número a é denominado a 
base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
33 = (3) x (3) x (3) = 27
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125
(-7)² = (-7) x (-7) = 49
(+9)² = (+9) x (+9) = 81
- Toda potência de base positiva é um número inteiro 
positivo.
 Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9
- Toda potência de base negativa e expoente par é 
um número inteiro positivo.
 Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar 
é um número inteiro negativo.
 Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
Propriedades da Potenciação:
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se 
a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9
Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-
se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = 
(+13)8 – 6 = (+13)2
Potência de Potência: Conserva-se a base e 
multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 
(–13)1 = –13
Potência de expoente zero e base diferente de zero: 
É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1
Radiciação de Números Inteiros
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a 
é a operação que resulta em outro número inteiro não 
negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O 
número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o 
radicando (que fica sob o sinal do radical).
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro 
a é a operação que resulta em outro número inteiro não 
negativo que elevado ao quadrado coincide com o número 
a.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número 
inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais 
didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de:
9 = ±3
mas isto está errado. O certo é:
9 = +3
Observamos que não existe um número inteiro não 
negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um 
número negativo.
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A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro que elevado 
ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os 
nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos
(a) 
3 8 = 2, pois 2³ = 8.
(b) 
3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.
(c) 
3 27 = 3, pois 3³ = 27.
(d) 
3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o 
produto de números inteiros, concluímos que:
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número 
inteiro negativo.
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz 
de qualquer número inteiro.
Multiplicidade e Divisibilidade
Um múltiplo de um número é o produto desse número 
por um número natural qualquer. Já um divisor de um 
número é um número cujo resto da divisão do número pelo 
divisor é zero.
Ex: Sabe-se que 30 ∶ 6 = 5, porque 5× 6 = 30.
Pode-se dizer então que:
“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural 
(5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.”
Um numero natural a é divisível por um numero natural 
b, não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a .
Voltando ao exemplo 30 ∶ 6 = 5 , conclui-se que: 30 é 
múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30.
Analisando outros exemplos:
a) 20 : 5 = 4 → 20 é múltiplo de 5 (4×5=20), e 5 é divisor 
de 20
b) 12 : 2 = 6 → 12 é múltiplo de 2 (6×2=12), e 2 é divisor 
de 12 
1. Conjunto dos múltiplos de um número natural: 
É obtido multiplicando-se o número natural em questão 
pela sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Ex: Conjunto dos múltiplos de 7. Para encontrar esse 
conjunto basta multiplicar por 7 cada um dos números da 
sucessão dos naturais:
7 x 0 = 0
7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma 
o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}.
Observações:
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos 
múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números 
pares, e a fórmula geral desses números é . Os 
demais são chamados de números ímpares, e a fórmula 
geral desses números é .
1.1. Critérios de divisibilidade: 
São regras práticas que nos possibilitam dizer se um 
número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a 
divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 
quando ele é par, ou seja, quando ele termina em 0, 2, 4, 
6 ou 8. 
Exs:
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 
quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos 
é divisível por 3. 
Exs:
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 
27 é divisível por 3.
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 
17, e 17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 
quando termina em 00 ou quando o número formado 
pelos dois últimos algarismos for divisível por 4. 
Exs:
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é 
divisível por 4.
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 
não é divisível por 4.
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Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 
quando termina em 0 ou 5. 
Exs:
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0.
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.
EXERCÍCIO COMENTADO
1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 
5 positivos menores que 30.
Resposta: Seguindo a tabuada do 5, temos que: 
{5,10,15,20,25}.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 
quando é divisível por 2 e por 3.
Exs:
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 (termina 
em 4) e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 
(8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16).
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 
2 (termina em 1).
Divisibilidade por 7: Para verificar a divisibilidade por 
7, deve-se fazer o seguinte procedimento.
- Multiplicar o último algarismo por 2
- Subtrair o resultado do número inicial sem o último 
algarismo
- Se o resultado for um múltiplo de 7, então o número 
inicial é divisível por 7.
É importante ressaltar que, em caso de números com 
vários algarismos, será necessário fazer o procedimento 
mais de uma vez.
Ex: 
Analisando o número 1764
Procedimento:
- Último algarismo: 4. Multiplica-se por 2: 4×2=8
- Subtrai-se o resultado do número inicial sem o últi-
mo algarismo: 176-8=168
- O resultado é múltiplo de 7? Para isso precisa verifi-
car se 168 é divisível por 7. 
Aplica-se o procedimento novamente, agora para o nú-
mero 168.
- Último algarismo: 8. Multiplica-se por 2: 8×2=16
- Subtrai-se o resultado do número inicial sem o últi-
mo algarismo: 16-16=0
- O resultado é múltiplo de 7? Sim, pois zero (0) é múl-
tiplo de qualquer número natural.
Portanto, conclui-se que 168 é múltiplo de 7. Se168 é 
múltiplo de 7, então 1764 é divisível por 7.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 
quando termina em 000 ou quando o número formado 
pelos três últimos algarismos for divisível por 8. 
Exs:
a) 57000 é divisível por 8, pois termina em 000.
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algaris-
mos formam o número 24, que é divisível por 8.
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos al-
garismos formam o número 125, que não é divisível 
por 8.
EXERCÍCIO COMENTADO
2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 
8 compreendidos entre 30 e 50.
Resposta: Seguindo a tabuada do 8, a partir do 30: 
{32,40,48}.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 
quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos 
formam um número divisível por 9. 
Exs:
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 
+ 1 = 27 é divisível por 9.
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 
3 = 14 não é divisível por 
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 
quando termina em zero. 
Exs:
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em 
zero.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 
quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição 
ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em 
um número divisível por 11. 
Exs:
a) 43813 é divisível por 11. Vejamos o porquê
Os algarismos de posição ímpar são os algarismos nas 
posições 1, 3 e 5. Ou seja, 4,8 e 3. A soma desses algarismos 
é 4 + 8 + 3 = 15
Os algarismos de posição par são os algarismos nas 
posições 2 e 4. Ou seja, 3 e 1. A soma desses algarismos 
é 3+1 = 4
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15 – 4 = 11→ A diferença divisível por 11. Logo 43813 é 
divisível por 11.
b) 83415721 não é divisível por 11. Vejamos o porquê
Os algarismos de posição ímpar são os algarismos nas 
posições 1, 3, 5 e 7. Ou seja, 8, 4, 5 e 2. A soma desses 
algarismos é 
Os algarismos de posição ímpar são os algarismos nas 
posições 1, 3, 5 e 7. Ou seja, 8, 4, 5 e 2. A soma desses 
algarismos é 8+4+5+2 = 19
Os algarismos de posição par são os algarismos nas 
posições 2, 4 e 6. Ou seja, 3, 1 e 7. A soma desses algarismos 
é 3+1+7 = 11
19 – 11 = 8→ A diferença não é divisível por 11. Logo 
83415721 não é divisível por 11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 
quando é divisível por 3 e por 4.
Exs:
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 
+ 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 
4 (termina em 11).
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 
3 (8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 
quando é divisível por 3 e por 5.
Exs:
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 (6 + 5 
+ 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 
5 (termina em 2).
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 
3 (6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).
POTENCIAÇÃO
Define-se potenciação como o resultado da 
multiplicação de fatores iguais, denominada base, sendo 
o número de fatores igual a outro número, denominado 
expoente. Diz-se “b elevado a c”, cuja notação é:
𝑏𝑐 = 𝑏 × 𝑏 ×⋯× 𝑏
𝑐 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
Por exemplo: 43=4×4×4=64, sendo a base igual a 4 e o 
expoente igual a 3. 
Esta operação não passa de uma multiplicação com 
fatores iguais, como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 53 
= 5 × 5 × 5 = 125
1. Propriedades da Potenciação
Propriedade 1: potenciação com base 1
Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural 
é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1. Em resumo, 
1n=1
Exemplos:
a) 13 = 1×1×1 = 1
b) 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
Propriedade 2: potenciação com expoente nulo
Se n é um número natural não nulo, então temos que nº=1. 
Exemplos:
a) 5º = 1
b) 9º = 1
Propriedade 3: potenciação com expoente 1
Qualquer que seja a potência em que a base é o número 
natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1 , é igual 
ao próprio n. Em resumo, n1=n
Exemplos:
a) 5¹ = 5
b) 64¹ = 64
Propriedade 4: potenciação de base 10
Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 
1 seguido de n zeros. 
Exemplos:
a) 103 = 1000
b) 108 = 100.000.000
c) 104 = 1000
Propriedade 5: multiplicação de potências de mesma 
base
Em uma multiplicação de duas potências de mesma 
base, o resultado é obtido conservando-se a base e 
somando-se os expoentes. 
Em resumo: xa × xb = x a+b
Exemplos:
a) 23×24 = 23+4 = 27
b) 34×36 = 34+6=310
c) 152×154 = 152+4=156
Propriedade 6: divisão de potências de mesma base
Em uma divisão de duas potências de mesma base, o 
resultado é obtido conservando-se a base e subtraindo-se 
os expoentes. 
Em resumo: xa : xb = xa-b
Exemplos:
a) 25 : 23 = 25-3=22
b) 39 : 36 = 39-6=33
c) 1512 : 154 = 1512-4 = 158
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FIQUE ATENTO!
Dada uma potência xa , onde o número real a 
é negativo, o resultado dessa potência é igual 
ao inverso de x elevado a a, isto é, 𝑥𝑎 = 
1
𝑥𝑎
 
se a<0. 
Por exemplo, 2−3 = 
1
23 , 5
−1 = 
1
51 .
Propriedade 7: potência de potência
Quando uma potência está elevado a outro expoente, o 
expoente resultante é obtido multiplicando-se os expoentes
Em resumo: (xa )b=xa×b
Exemplos:
a) (25 )3 = 25×3=215
b) (39 )2 = 39×2=318
c) (612 )4= 612×4=648
Propriedade 8: potência de produto
Quando um produto está elevado a uma potência, o 
resultado é um produto com cada um dos fatores elevado 
ao expoente
Em resumo: (x×y)a=xa×ya
Exemplos:
a) (2×3)3 = 23×33
b) (3×4)2 = 32×42
c) (6×5)4= 64×54
Em alguns casos podemos ter uma 
multiplicação ou divisão potência que não está 
na mesma base (como nas propriedades 5 e 6), 
mas pode ser simplificada. Por exemplo, 43×25 
=(22 )3×25= 26×25= 26+5=211 e 33:9 = 33 : 32 = 31.
#FicaDica
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (MPE-RS – 2017) A metade de 440 é igual a:
a) 220
b) 239
c) 240
d) 279
e) 280
Resposta: Letra D.
Para encontrar a metade de 440, basta dividirmos esse 
número por 2, isto é, 4
40
2
 . Uma forma fácil de resolver 
essa fração é escrever o numerador e denominador des-
sa fração na mesma base como mostrado a seguir:
440
2 = 
22 40
2 = 
280
2 = 2
80−1 = 279
.
Note que para resolver esse exercício utilizamos as pro-
priedades 6 e 7.
Números Primos, MDC e MMC
O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum 
são ferramentas extremamente importantes na matemática. 
Através deles, podemos resolver alguns problemas simples, 
além de utilizar seus conceitos em outros temas, como 
frações, simplicação de fatoriais, etc.
Porém, antes de iniciarmos a apresentar esta teoria, é 
importante conhecermos primeiramente uma classe de 
números muito importante: Os números primos.
1. Números primos
Um número natural é definido como primo se ele tem 
exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo. 
Já nos inteiros, p ∈ ℤ é um primo se ele tem exatamente 
quatro divisores: ±1 e ±𝑝 . 
FIQUE ATENTO!
Por definição, 0, 1 e − 1 não são números pri-
mos.
Existem infinitos números primos, 
como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C.. A 
propriedade de ser um primo é chamada “primalidade”, e 
a palavra “primo” também são utilizadas como substantivo 
ou adjetivo. Como “dois” é o único número primo par, o 
termo “primo ímpar” refere-se a todo primo maior do que 
dois.
O conceito de número primo é muito importante 
na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos 
números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que 
afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode 
ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como 
um produto de números primos (chamados fatores primos): 
este processo se chama decomposição em fatores primos 
(fatoração). É exatamente este conceito que utilizaremos 
no MDC e MMC. Para caráter de memorização, seguem os 
100 primeiros números primos positivos. Recomenda-se 
que memorizem ao menos os 10 primeiros para MDC e 
MMC:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59
, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 
131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 
193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 
263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 
337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 
409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 
479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541
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2. Múltiplos e Divisores
Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro 
natural b, se existe um número natural k tal que: 
𝑎 = 𝑘. 𝑏
Ex. 15 é múltiplo de 5, pois 15=3 x 5
Quando a=k.b, segue que a é múltiplo de b, mas 
também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 
que é múltiplo de 5 e de 7, pois: 35 = 7 x 5.
Quando a = k.b, então a é múltiplo de b e se conhecemos 
b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k 
assumir todos os números naturais possíveis.
Ex. Para obter os múltiplos de dois, isto é, os números 
da forma a = k x 2, k seria substituído por todos os números 
naturais possíveis.
FIQUE ATENTO!
Um número b é sempre múltiplo dele mesmo. 
a = 1 x b ↔ a = b.
A definição de divisor está relacionada com a de 
múltiplo. 
Um número natural b é divisor do número natural a, se 
a é múltiplo de b.
Ex. 3 é divisor de 15, pois , logo 15 é múltiplo de 3 e 
também é múltiplo de 5. 
Um número natural tem uma quantidade finita 
de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá 
ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no 
conjunto dos números naturais não podemos 
dividir 6 por um número maior do que ele. Os 
divisores naturais de 6 são os números 1, 2, 3, 6, 
o que significa que o número 6 tem 4 divisores. 
#FicaDica
MDC
Agora que sabemos o que são números primos, 
múltiplos e divisores, vamos ao MDC. O máximo divisor 
comum de dois ou mais números é o maior número que é 
divisor comum de todos os números dados. 
Ex. Encontrar o MDC entre 18 e 24.
Divisores naturais de 18: D(18) = {1,2,3,6,9,18}.
Divisores naturais de 24: D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24}.
Pode-se escrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: 
D(18)∩ D (24) = {1,2,3,6}.
Observando os divisores comuns, podemos identificar 
o maior divisor comum dos números 18 e 24, ou seja: MDC 
(18,24) = 6.
Outra técnica para o cálculo do MDC:
Decomposição em fatores primos: Para obter o MDC 
de dois ou mais números por esse processo, procede-se da 
seguinte maneira:
Decompõe-se cada número dado em fatores primos.
O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada 
um deles elevado ao seu menor expoente.
Exemplo: Achar o MDC entre 300 e 504.
Fatorando os dois números:
 
Temos que: 
300 = 22.3 .52 
504 = 23.32 .7 
O MDC será os fatores comuns com seus menores 
expoentes:
mdc (300,504)= 22.3 = 4 .3=12
MMC
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é 
o menor número positivo que é múltiplo comum de todos 
os números dados. Consideremos:
Ex. Encontrar o MMC entre 8 e 6
Múltiplos positivos de 6: M(6) = 
{6,12,18,24,30,36,42,48,54,...}
Múltiplos positivos de 8: M(8) = {8,16,24,32,40,48,56,64,...}
Podem-se escrever, agora, os múltiplos positivos 
comuns: M(6)∩M(8) = {24,48,72,...}
Observando os múltiplos comuns, pode-se identificar o 
mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou seja: 
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Outra técnica para o cálculo do MMC:
Decomposição isolada em fatores primos: Para 
obter o MMC de dois ou mais números por esse processo, 
procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O MMC é o produto dos fatores comuns e não-co-
muns, cada um deles elevado ao seu maior expoente.
Ex. Achar o MMC entre 18 e 120.
Fatorando os números:
 
18 = 2 .32 
120 = 23.3 .5 
mmc (18,120) = 23 � 32 � 5 = 8 � 9 � 5 = 360
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (FEPESE-2016) João trabalha 5 dias e folga 1, enquanto 
Maria trabalha 3 dias e folga 1. Se João e Maria folgam no 
mesmo dia, então quantos dias, no mínimo, passarão para 
que eles folguem no mesmo dia novamente?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 15
e) 24
Resposta: Letra c.
COMENTÁRIO: O período em que João trabalha e folga 
corresponde a 6 dias enquanto o mesmo período, para 
Maria, corresponde a 4 dias. Assim, o problema consiste 
em encontrar o mmc entre 6 e 4. Logo, eles folgarão no 
mesmo dia novamente após 12 dias pois mmc(6,4)=12.
Números Racionais: Frações, Números Decimais e 
suas Operações
1. Números Racionais
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve 
ser diferente de zero. Frequentemente usamos 
n
m para 
significar a divisão de m por n . 
Como podemos observar, números racionais podem ser 
obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela 
qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por 
Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = { nm: m e n em Z,n diferente de zero }
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
• 𝑄∗ = conjunto dos racionais não nulos;
• 𝑄+ = conjunto dos racionais não negativos;
• 𝑄+∗ = conjunto dos racionais positivos;
• 𝑄− = conjunto dos racionais não positivos;
• 𝑄−∗ = conjunto dos racionais negativos.
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que 
representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: Módulo de - 2
3
 é 2
3
. Indica-se − 32 =
3
2
Módulo de+ 
2
3 é 
2
3 . Indica-se 3
2 =
3
2
Números Opostos: Dizemos que −
3
2 e 
3
2 são números 
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto 
do outro. As distâncias dos pontos −32 e 
3
2
 ao ponto zero da 
reta são iguais.
1.1. Soma (Adição) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser 
escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os 
números racionais a
b
 e c
d
, , da mesma forma que a soma de 
frações, através de:
a
b
+
c
d
=
a � d + b � c
b � d
1.1.1. Propriedades da Adição de Números Racionais
O conjunto é fechado para a operação de adição, isto 
é, a soma de dois números racionais resulta em um número 
racional.
- Associativa: Para todos em : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- Comutativa: Para todos em : a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe em , que adicionado a todo 
em , proporciona o próprio , isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, 
tal que q + (–q) = 0
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1.2. Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais e é a própria 
operação de adição do número com o oposto de q, isto é: 
p – q = p + (–q)
1.3. Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode 
ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto 
de dois números racionais ab e 
c
d , da mesma forma que o 
produto de frações, através de:
a
b
�
c
d
=
a � c
b � d
O produto dos números racionais a e b também pode 
ser indicado por a × b, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal 
entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, 
devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em 
toda a Matemática:
(+1)�(+1) = (+1) – Positivo Positivo = Positivo
(+1)�(-1) = (-1) - Positivo Negativo = Negativo
(-1)�(+1) = (-1) - Negativo Positivo = Negativo
(-1)� (-1) = (+1) – Negativo Negativo = Positivo
O produto de dois números com o mesmo sinal 
é positivo, mas o produto de dois números 
com sinais diferentes é negativo.
#FicaDica
1.3.1. Propriedades da Multiplicação de Números 
Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o 
produto de dois números racionais resultaem um número 
racional.
- Associativa: Para todos a,b,c em Q: a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
- Comutativa: Para todos a,b em Q: a ∙ b = b ∙ a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por 
todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q ∙ 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q =
a
b em Q, q
−1 =
b
a diferente 
de zero, existe em Q: q � q−1 = 1, ou seja, a
b ×
b
a = 1
- Distributiva: Para todos a,b,c em Q: a ∙ ( b + c) = ( a ∙ 
b ) + ( a∙ c )
1.4. Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria 
operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, 
isto é: p ÷ q = p × q-1
De maneira prática costuma-se dizer que em uma 
divisão de duas frações, conserva-se a primeira fração e 
multiplica-se pelo inverso da segunda:
Observação: É possível encontrar divisão de frações da 
seguinte forma: 
a
b
c
d
. . O procedimento de cálculo é o mesmo.
1.5. Potenciação de Números Racionais
A potência q𝐧 do número racional é um produto de 
fatores iguais. O número é denominado a base e o número 
é o expoente.
q
n
 = q � q � q � q � . . .� q, (q aparece n vezes)
Exs:
a) 
3
5
2





 = 





5
2 . 





5
2 . 





5
2 = 
125
8
b) 3
2
1





− = 




−
2
1 . 




−
2
1 . 




−
2
1 = 
8
1
−
c) (– 5)² = (– 5) � ( – 5) = 25
d) (+5)² = (+5) � (+5) = 25
1.5.1. Propriedades da Potenciação aplicadas a 
números racionais
Toda potência com expoente 0 é igual a 1.
0
5
2





+ = 1
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
1
4
9





− =
4
9
−
- Toda potência com expoente negativo de um número 
racional diferente de zero é igual a outra potência que tem 
a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual 
ao oposto do expoente anterior.
2
5
3 −





− = 
2
3
5





− = 
9
25
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo 
sinal da base.
3
3
2





 = 





3
2
 . 





3
2
 . 





3
2
 = 
27
8
- Toda potência com expoente par é um número 
positivo.
2
5
1





− = 




−
5
1
 . 




−
5
1
 = 
25
1
19
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, 
conservamos a base e somamos os expoentes.
2
5
2





 . 
3
5
2





 =
532
5
2
5
2
5
2.
5
2.
5
2.
5
2.
5
2





=




=











+
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
32525
2
3
2
3
2
3.
2
3
2
3.
2
3.
2
3.
2
3.
2
3
2
3:
2
3





=




==











−
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base 
e multiplicamos os expoentes.
62322222232
2
1
2
1
2
1
2
1.
2
1.
2
1
2
1





=




=




=
















=














+++
1.6. Radiciação de Números Racionais
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. 
Vejamos alguns exemplos:
Ex:
4 Representa o produto 2. 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se 4 = 2.
Ex:
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou
2
3
1





 .Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
.Indica-se 
9
1
= 
3
1
Ex:
0,216 Representa o produto 0,6 � 0,6 � 0,6 ou (0,6)3 . Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,216
3 = 0,6 .
Assim, podemos construir o diagrama:
FIQUE ATENTO!
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, 
os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
20
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
O número 
9
100
− não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10
− como 3
10
+ , quando elevados ao quadrado, dão 
9
100 .
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
O número 
3
2 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê 
3
2 .
Frações
Frações são representações de partes iguais de um todo. São expressas como um quociente de dois números x
y
, sendo 
x o numerador e y o denominador da fração, com y ≠ 0 .
1. Frações Equivalentes
São frações que, embora diferentes, representam a mesma parte do mesmo todo. Uma fração é equivalente a outra 
quando pode ser obtida multiplicando o numerador e o denominador da primeira fração pelo mesmo número.
Ex: 3
5
 e 6
10
.
A segunda fração pode ser obtida multiplicando o numerador e denominador de 3
5
 por 2:
3 � 2
5 � 2 =
6
10
Assim, diz-se que 6
10
 é uma fração equivalente a 3
5
2. Operações com Frações
2.1. Adição e Subtração
2.1.1. Frações com denominadores iguais:
Ex:
Jorge comeu 3
8
 de um tablete de chocolate e Miguel 5
8
 desse mesmo tablete. Qual a fração do tablete de chocolate 
que Jorge e Miguel comeram juntos?
A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela também estão representadas as frações do tablete que Jorge e 
Miguel comeram:
Observe que 38 =
2
8 =
5
8
Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos 5
8
 do tablete de chocolate.
Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm denominadores iguais, conservamos o denominador comum e 
somamos ou subtraímos os numeradores.
Outro Exemplo:
3
2 +
5
2 −
7
2 =
3 + 5 − 7
2 =
1
2
21
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
2.1.2. Frações com denominadores diferentes:
Calcular o valor de 
3
8 +
5
6
 Inicialmente, devemos 
reduzir as frações ao mesmo denominador comum. Para 
isso, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) 
entre os dois (ou mais, se houver) denominadores e, em 
seguida, encontramos as frações equivalentes com o novo 
denominador: 
mmc (8,6) = 24
3
8 =
5
6 =
9
24 =
20
24
24 ∶ 8 � 3 = 9
24 ∶ 6 � 5 = 20
Devemos proceder, agora, como no primeiro caso, 
simplificando o resultado, quando possível:
9
24 +
20
24 =
29
24
Portanto: 
3
8 +
5
6 =
9
24 +
20
24 =
29
24
Na adição e subtração de duas ou mais 
frações que têm os denominadores diferentes, 
reduzimos inicialmente as frações ao menor 
denominador comum, após o que procedemos 
como no primeiro caso.
#FicaDica
2.2. Multiplicação
Ex:
De uma caixa de frutas, 4
5
 são bananas. Do total de 
bananas, 2
3
 estão estragadas. Qual é a fração de frutas da 
caixa que estão estragadas?
Representa 4/5 do conteúdo da caixa
Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa.
Repare que o problema proposto consiste em calcular 
o valor de 2
3
 de 4
5
 que, de acordo com a figura, equivale a 
8
15
do total de frutas. De acordo com a tabela acima, 2
3
 de 
4
5
equivale a 2
3 �
4
5
. Assim sendo:
2
3 �
4
5 =
8
15
Ou seja:
2
3
 de 4
5 = 
2
3 �
4
5 =
2�4
3�5 =
8
15
O produto de duas ou mais frações é uma fração 
cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo 
denominador é o produto dos denominadores das frações 
dadas.
Outro exemplo: 2
3 �
4
5 �
7
9 =
2 � 4 � 7
3 � 5 � 9 =
56
135
Sempre que possível, antes de efetuar a 
multiplicação, podemos simplificar as frações 
entre si, dividindo os numeradores e os 
denominadores por um fator comum. Esse 
processo de simplificação recebe o nome de 
cancelamento.
#FicaDica
2.3. Divisão
Duas frações são inversas ou recíprocas quando o 
numerador de uma é o denominador da outra e vice-versa.
Exemplo
2
3
 é a fração inversa de 3
2
5 ou 5
1
 é a fração inversa de 1
5
Considere a seguinte situação:
Lúcia recebeu de seu pai os 4
5
 dos chocolates contidos 
em uma caixa. Do total de chocolates recebidos, Lúcia 
deu a terça parte para o seu namorado. Que fração dos 
chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lúcia?
A solução do problema consiste em dividir o total de 
chocolates que Lúcia recebeu de seu pai por 3, ou seja, 
4
5 : 3
22
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular 1
3 
 desse algo.
Portanto: 4
5 : 3 =
1
3
 de 4
5
Como 1
3 
 de 45= 
1
3 �
4
5 =
4
5 �
1
3 , resulta que 
4
5 : 3 =
4
5 :
3
1 =
4
5 �
1
3
Observando que as frações 3
1
 e 1
3 
 são frações inversas, podemos afirmar que:
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda.
Portanto 45 : 3 =
4
5 ∶
3
1 =
4
5 �
1
3 =
4
15
Ou seja, o namorado deLúcia recebeu 4
15
 do total de chocolates contidos na caixa.
Outro exemplo: 6
5
8
5.
3
4
5
8:
3
4
2
1
==
Observação:
Note a expressão: . Ela é equivalente à expressão 3
2 :
1
5
Portanto 
Números Decimais
De maneira direta, números decimais são números que possuem vírgula. Alguns exemplos: 1,47; 2,1; 4,9587; 0,004; etc.
1. Operações com Números Decimais
1.1. Adição e Subtração
Vamos calcular o valor da seguinte soma:
5,32 + 12,5 + 0, 034
Transformaremos, inicialmente, os números decimais em frações decimais:
5,32 + 12,5 + 0,034 =
352
100 +
125
10 +
34
1000 =
5320
1000 +
12500
1000 +
34
1000 =
17854
1000 = 17,854
Portanto: 5,32 + 12,5 + 0, 034 = 17, 854
Na prática, a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a seguinte regra:
- Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros.
- Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula embaixo de vírgula.
- Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números naturais.
- Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos números dados.
23
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Exemplo
2,35 + 14,3 + 0, 0075 + 5
Disposição prática:
 2,3500
 14,3000
+ 0,0075
 5,0000
 21,6575
1.2. Multiplicação
Vamos calcular o valor do seguinte produto: 2,58 � 3,4 .
Transformaremos, inicialmente, os números decimais em frações decimais:
2,58 � 3,4 =
258
100 �
34
100 =
8772
1000 = 8,772
Portanto 2,58 � 3,4 = 8,772
Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras:
- Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais.
- No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às do segundo 
fator.
#FicaDica
Exemplo: 
Disposição prática:
 652,2  1 casa decimal
 X 2,03  2 casas decimais
19 566
 1 304 4
1 323,966  1 + 2 = 3 casas decimais
1.3. Divisão
24
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Vamos, por exemplo, efetuar a seguinte divisão: 
24 ∶ 0,5
Inicialmente, multiplicaremos o dividendo e o divisor da 
divisão dada por 10.
24 ∶ 0,5 = (24 � 10) ∶ (0,5 � 10) = 240 ∶ 5
A vantagem de tal procedimento foi a de transformarmos 
em número natural o número decimal que aparecia na 
divisão. Com isso, a divisão entre números decimais se 
transforma numa equivalente com números naturais.
Portanto: 24 ∶ 0,5 = 240 ∶ 5 = 48
Na prática, a divisão entre números decimais é 
obtida de acordo com as seguintes regras:
- Igualamos o número de casas decimais do 
dividendo e do divisor.
- Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão 
como se os números fossem naturais.
#FicaDica
Ex: 24 ∶ 0,5 = 240 ∶ 5 = 48
Disposição prática: 
Nesse caso, o resto da divisão é igual à zero. Assim 
sendo, a divisão é chamada de divisão exata e o quociente 
é exato.
Ex: 9,775 ∶ 4,25
Disposição prática:
Nesse caso, o resto da divisão é diferente de zero. Assim 
sendo, a divisão é chamada de divisão aproximada e o 
quociente é aproximado.
Se quisermos continuar uma divisão aproximada, 
devemos acrescentar zeros aos restos e prosseguir 
dividindo cada número obtido pelo divisor. Ao mesmo 
tempo em que colocamos o primeiro zero no primeiro 
resto, colocamos uma vírgula no quociente.
 
Ex: 0,14 ∶ 28 
Ex: 2 ∶ 16
2. Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional 
p
q tal que não seja 
múltiplo de . Para escrevê-lo na forma decimal, basta 
efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2
5 = 0,4
1
4 = 0,25
35
4 = 8,75
153
50 = 3,06
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, 
infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1
3 = 0,333 …
1
22 = 0,04545 …
167
66 = 2,53030 …
25
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
FIQUE ATENTO!
Se após as vírgulas os algarismos não são periódicos, então esse número decimal não está contido no 
conjunto dos números racionais.
3.Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de 
fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é 
composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:
0,9 =
9
10
5,7 =
57
10
0,76 =
76
100
3,48 =
348
100
0,005 =
5
1000 =
1
200
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns 
exemplos:
Ex:
Seja a dízima 0,333...
Façamos e multipliquemos ambos os membros por 10: 
10x = 0,333
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:
10x – x = 3,333 … – 0,333. . . 9x = 3 x =
3
9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3
9
.
Ex:
Seja a dízima 5,1717...
Façamos x = 5,1717. . . e 100x = 517,1717. . .
Subtraindo membro a membro, temos:
26
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
99x = 512 x = 512 99⁄
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512
99
.
Ex:
Seja a dízima 1,23434...
Façamos x = 1,23434 … ;10x = 12,3434 …; 1000x = 1234,34 …
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34. . . – 12,34 … 990x = 1222 x =
1222
990
Simplificando, obtemos x =
611
495
, a fração geratriz da dízima 1,23434...
Analisando todos os exemplos, nota-se que a idéia consiste em deixar após a vírgula somente a parte periódica (que se 
repete) de cada igualdade para, após a subtração membro a membro, ambas se cancelarem.
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (EBSERH – Médico – IBFC/2016) Mara leu 1/5 das páginas de um livro numa semana. Na segunda semana, leu mais 2/3 
de páginas. Se ainda faltam ler 60 (sessenta) páginas do livro, então o total de páginas do livro é de:
a) 300
b) 360
c) 400
d) 450
e) 480
Resposta: Letra D.
Mara leu 1
5 +
2
3 =
3+10
15 =
13
15
 do livro. Logo, ainda falta 1 − 1315 =
15−13
15 =
2
15
 para ser lido. Essa fração que falta 
ser lida equivale a 60 páginas
Assim: 2
15
  60 páginas. Portanto, 1
15
  30 páginas.
Logo o livro todo (15/15) possui: 15∙30=450 páginas
RAZÕES E PROPORÇÕES
1. Razão
Quando se utiliza a matemática na resolução de problemas, os números precisam ser relacionados para se obter uma 
resposta. Uma das maneiras de se relacionar os números é através da razão. Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 
0,define-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a ÷ b, ou 𝑎𝑏 .
A razão basicamente é uma fração, e como sabem, frações são números racionais. Entretanto, a leitura deste número é 
diferente, justamente para diferenciarmos quando estamos falando de fração ou de razão.
27
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
a) Quando temos o número 
3
5 e estamos tratando de 
fração, lê-se: “três quintos”.
b) Quando temos o número 35 e estamos tratando de 
razão, lê-se: “3 para 5”.
Além disso, a nomenclatura dos termos também é 
diferente:
O número 3 é numerador
a) Na fração 35
O número 5 é denominador
O número 3 é antecedente
b) Na razão 3
5
O número 5 é consequente
Ex. A razão entre 20 e 50 é 20
50 =
2
5
 já a razão entre 50 e 20 
é 50
20 =
5
2
. Ou seja, deve-se sempre indicar o antecedente e 
o consequente para sabermos qual a ordem de montarmos 
a razão.
Ex.Numa classe de 36 alunos há 15 rapazes e 21 moças. 
A razão entre o número de rapazes e o número de moças 
é 15
21
, se simplificarmos, temos que a fração equivalente 57
, o que significa que para “cada 5 rapazes há 7 moças”. Por 
outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de 
alunos é dada por 15
36 =
5
12
, o que equivale a dizer que “de 
cada 12 alunos na classe, 5 são rapazes”.
Razão entre grandezas de mesma espécie: A razão 
entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente 
dos números que expressam as medidas dessas grandezas 
numa mesma unidade.
Ex. Um automóvel necessitapercorrer uma estrada de 
360 km. Se ele já percorreu 240 km, qual a razão entre a 
distância percorrida em relação ao total?
Como os dois números são da mesma espécie (distância) 
e estão na mesma unidade (km), basta fazer a razão:
𝑟 =
240 𝑘𝑚
360 𝑘𝑚 =
2
3
No caso de mesma espécie, porém em unidades 
diferentes, deve-se escolher uma das unidades e converter 
a outra.
Ex. Uma maratona possui aproximadamente 42 km 
de extensão. Um corredor percorreu 36000 metros. Qual 
a razão entre o que falta para percorrer em relação à 
extensão da prova?
Veja que agora estamos tentando relacionar metros 
com quilômetros. Para isso, deve-se converter uma das 
unidades, vamos utilizar “km”:
36000 m=36 km
Como é pedida a razão entre o que falta em relação ao 
total, temos que:
𝑟 =
42 𝑘𝑚 − 36 𝑘𝑚
42 𝑘𝑚 =
6 𝑘𝑚
42 𝑘𝑚 =
1
7
Ex. Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse 
comprimento é representado num desenho por 20 cm. 
Qual é a razão entre o comprimento representado no 
desenho e o comprimento real?
Convertendo o comprimento real para cm, temos que:
𝑒 =
20 𝑐𝑚
800 𝑐𝑚 =
1
40
A razão entre um comprimento no desenho e 
o correspondente comprimento real, chama-se 
escala
#FicaDica
Razão entre grandezas de espécies diferentes: É 
possível também relacionar espécies diferentes e isto está 
normalmente relacionado a unidades utilizadas na física:
Ex. Considere um carro que às 9 horas passa pelo 
quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo 
quilômetro 170. Qual a razão entre a distância percorrida e 
o tempo gasto no translado?
Para montarmos a razão, precisamos obter as 
informações:
Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km
Tempo gasto: 11h – 9h = 2h
Calculamos a razão entre a distância percorrida e o 
tempo gasto para isso:
𝑣 =
140 𝑘𝑚
2 ℎ =
70
1 = 70 𝑘𝑚 ℎ
⁄
Como são duas espécies diferentes, a razão entre elas 
será uma espécie totalmente diferente das outras duas. 
A razão entre uma distância e uma medida de 
tempo é chamada de velocidade.
#FicaDica
28
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Ex. A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, 
Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 
927 286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, 
aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o 
ano de 1995. Qual a razão entre o número de habitantes e 
a área total?
Dividindo-se o número de habitantes pela área, 
obteremos o número de habitantes por km2 (hab./km2):
𝑑 =
66288000 ℎ𝑎𝑏
927286 𝑘𝑚²
= 71,5
ℎ𝑎𝑏
𝑘𝑚2
A razão entre o número de habitantes e a área 
deste local é denominada densidade demográ-
fica.
#FicaDica
Ex. Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de 
gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos 
pelo número de litros de combustível consumidos, teremos 
o número de quilômetros que esse carro percorre com um 
litro de gasolina:
𝑐 =
83,76 𝑘𝑚
8 𝑙 = 10,47
𝑘𝑚
𝑙
A razão entre a distância percorrida em relação 
a uma quantidade de combustível é definida 
como “consumo médio”
#FicaDica
2. Proporção
A definição de proporção é muito simples, pois se trata 
apenas da igualdade de razões.
Na proporção 3
5 =
6
10
 (lê-se: “3 está para 5 assim como 
6 está para 10”).
Observemos que o produto 3 x 10=30 é igual ao produto 
5 x 6=30, o que caracteriza a propriedade fundamental das 
proporções
Se multiplicarmos em cruz (ou em x), teremos 
que os produtos entre o numeradores e os de-
nominadores da outra razão serão iguais.
#FicaDica
Ex. Na igualdade 2
3 =
6
9
, temos 2 x 9=3 x 6=18, logo, 
temos uma proporção.
Ex. Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se 
a seguinte dosagem: 7 gotas para cada 3 kg do “peso” da 
criança. Se uma criança tem 15 kg, qual será a dosagem 
correta?
Como temos que seguir a receita, temos que atender a 
proporção, assim, chamaremos de x a quantidade de gotas 
a serem ministradas:
7 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠
3 𝑘𝑔 =
𝑥 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠
15 𝑘𝑔
Logo, para atendermos a proporção, precisaremos 
encontrar qual o número que atenderá a proporção. 
Multiplicando em cruz, temos que:
3x=105
𝑥 = 1053
x=35 gotas
Ou seja, para uma criança de 30 kg, deve-se ministrar 35 
gotas do remédio, atendendo a proporção.
Outro jeito de ver a proporção: Já vimos que uma 
proporção é verdadeira quando realizamos a multiplicação 
em cruz e encontramos o mesmo valor nos dois produtos. 
Outra maneira de verificar a proporção é verificar se a duas 
razões que estão sendo igualadas são frações equivalentes. 
Lembra deste conceito?
FIQUE ATENTO!
Uma fração é equivalente a outra quando po-
demos multiplicar (ou dividir) o numerador e o 
denominador da fração por um mesmo núme-
ro, chegando ao numerador e denominador 
da outra fração.
Ex. 4
3 e
12
9
 são frações equivalentes, pois:
4x=12 →x=3
3x=9 →x=3
Ou seja, o numerador e o denominador de 
4
3 quando 
multiplicados pelo mesmo número (3), chega ao numerador 
e denominador da outra fração, logo, elas são equivalentes 
e consequentemente, proporcionais.
Agora vamos apresentar algumas propriedades da 
proporção:
a) Soma dos termos: Quando duas razões são 
proporcionais, podemos criar outra proporção somando 
os numeradores com os denominadores e dividindo pelos 
numeradores (ou denominadores) das razões originais:
5
2 =
10
4 →
5 + 2
5 =
10 + 4
10 →
7
5 =
14
10
29
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
ou
5
2 =
10
4 →
5 + 2
2 =
10 + 4
4 →
7
2 =
14
4
b) Diferença dos termos: Analogamente a soma, te-
mos também que se realizarmos a diferença entre os ter-
mos, também chegaremos em outras proporções:
 4
3 =
8
6 →
4 − 3
4 =
8 − 6
8 →
1
4 =
2
8
ou
4
3 =
8
6 →
4 − 3
3 =
8 − 6
6 →
1
3 =
2
6
c) Soma dos antecedentes e consequentes: A soma 
dos antecedentes está para a soma dos consequentes as-
sim como cada antecedente está para o seu consequente:
12
8 =
3
2 →
12 + 3
8 + 2 =
15
10 =
12
8 =
3
2 
d) Diferença dos antecedentes e consequentes: A 
soma dos antecedentes está para a soma dos consequen-
tes assim como cada antecedente está para o seu conse-
quente:
12
8 =
3
2 →
12 − 3
8− 2 =
9
6 =
12
8 =
3
2 
FIQUE ATENTO!
Usamos razão para fazer comparação entre 
duas grandezas. Assim, quando dividimos uma 
grandeza pela outra estamos comparando a 
primeira com a segunda. Enquanto proporção 
é a igualdade entre duas razões.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. O estado de Tocantins ocupa uma área aproximada de 
278.500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins 
tinha uma população de aproximadamente 1.156.000 ha-
bitantes. Qual é a densidade demográfica do estado de 
Tocantins?
Resposta : 
A densidade demográfica é definida como a razão entre 
o número de habitantes e a área ocupada:
d = 
1 156 000 hab.
278 500 km²
= 4,15 ha b k⁄ m²
2. Se a área de um retângulo (A1) mede 300 cm² e a área 
de um outro retângulo (A2) mede 100 cm², qual é o valor 
da razão entre as áreas (A1) e (A2) ?
Resposta : 
Ao fazermos a razão das áreas, temos:
A1
A2
=
300
100 = 3
Então, isso significa que a área do retângulo 1 é 3 vezes 
maior que a área do retângulo 2.
3.(CELESC – Assistente Administrativo – FEPESE/2016) 
Dois amigos decidem fazer um investimento conjunto por 
um prazo determinado. Um investe R$ 9.000 e o outro 
R$ 16.000. Ao final do prazo estipulado obtêm um lucro de 
R$ 2.222 e decidem dividir o lucro de maneira proporcional 
ao investimento inicial de cada um. Portanto o amigo que 
investiu a menor quantia obtém com o investimento um 
lucro:
a) Maior que R$ 810,00
b) Maior que R$ 805,00 e menor que R$ 810,00
c) Maior que R$ 800,00 e menor que R$ 805,00
d) Maior que R$ 795,00 e menor que R$ 800,00
e) Menor que R$ 795,00
Resposta : Letra D.
Ambos aplicaram R$ 9000,00+R$ 16000,00=R$ 25000,00 
e o lucro de R$ 2222,00 foi sobre este valor. Assim, cons-
trói-se uma proporção entre o valor aplicado (neste 
caso, R$ 9000,00 , pois o exercício quer o lucro de quem 
aplicou menos) e seu respectivo lucro:
9000
x =
25000
2222 → 25x = 19998 → x = R$ 799,92
Divisão proporcional
Para decompor um número M emduas partes A e B 
diretamente proporcionais a p e q, montamos um siste-
ma com duas equações e duas incógnitas, de modo que a 
soma das partes seja A+B=M, mas:
A
p =
B
q
A solução segue das propriedades das proporções:
A
p =
B
q =
A + B
p + q =
M
p + q = K
30
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
O valor de K é que proporciona a solução, pois: 
𝐀 = 𝐊 � 𝐩 e 𝐁 = 𝐊 � 𝐪
Exemplo: Para decompor o número 100 em 
duas partes A e B diretamente proporcionais 
a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que 
A+B=100, cuja solução segue de:
A
2 =
B
3 =
A + B
5 =
100
5 = 20
#FicaDica
Segue que A = 40 e B = 60
Ex. Determinar números A e B diretamente proporcionais 
a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para re-
solver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:
A
8 =
B
3 =
A− B
5 =
60
5 = 12
Segue que A = 96 e B = 36
1. Divisão em várias partes diretamente proporcio-
nais
Para decompor um número M em partes 
X1 , X2, . . . , X𝐧 diretamente proporcionais a , deve-se 
montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo 
as somas 
X1 + X2+. . . +X𝐧 = M
e
p1 + p2+. . . +p𝐧 = P
x1
p1
=
x2
p2
= ⋯ =
xn
pn
A solução segue das propriedades das proporções:
x1
p1
=
x2
p2
= ⋯ =
xn
pn
=
x1 + x2 + ⋯+ xn
p1 + p2 + ⋯ pn
=
M
P = K
Ex. Para decompor o número 120 em três partes A, B e 
C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um 
sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C= 
120 E 2+4+6=P . Assim:
Logo: A = 20, B = 40 e C = 60
Ex. Determinar números A, B e C diretamente propor-
cionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.
A solução segue das propriedades das proporções:
A
2 =
B
4 =
C
6 =
2A + 3B − 4C
2 � 2 + 3 � 4 − 4 � 6 =
120
−8 = −15
Logo A = −30 , B = −60 e C = −90.
1.1. Divisão em duas partes inversamente propor-
cionais
Para decompor um número M em duas partes A e B in-
versamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este 
número M em duas partes A e B diretamente proporcionais 
a e , que são, respectivamente, os inversos de p e q.
Assim basta montar o sistema com duas equações e 
duas incógnitas tal que A + B = M . Desse modo:
A
1 p⁄ =
B
1 q⁄ =
A + B
1 p⁄ + 1 q⁄ =
M
1 p⁄ + 1 q⁄ =
M � p � q
p + q = K
O valor de K proporciona a solução, pois, 
A = K/p e B = K/q.
Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes 
A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar 
o sistema tal que , de modo que:
A
1 2⁄ =
B
1 3⁄ =
A + B
1 2⁄ + 1 3⁄ =
120
5 6⁄ =
120 � 2 � 3
5 = 144
Assim A = 72 e B = 48 ,
Exemplo: Determinar números A e B inversamente pro-
porcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 
10. Para resolver este problema, tomamos . Assim:
A
1/6 =
B
1/8 =
A− B
1/6− 1/8 =
10
1/24 = 240
Assim A = 40 e B = 30
1.2. Divisão em várias partes inversamente propor-
cionais
Para decompor um número M em n partes X1, X
𝟐
, . . . , X
𝐧
inversamente proporcionais a p1 , p2, . . . , p𝐧, , basta de-
compor este número M em n partes X1, X
𝟐
, . . . , X
𝐧
direta-
mente proporcionais a 1/p1 , 1/p
𝟐
, . . . , 1/p
𝐧
.
A montagem do sistema com n equações e n incógni-
tas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e, além disso:
31
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
x1
1 p⁄ 1
=
x2
1 p⁄ 2
= ⋯ =
xn
1 pn⁄
Cuja solução segue das propriedades das proporções:
x1
1 p⁄ 1
=
x2
1 p⁄ 2
= ⋯ =
xn
1 p⁄ n
=
x1 + x2 + ⋯+ xn
1 p1⁄ + 1 p2⁄ + ⋯ 1 p⁄ n
=
M
1 p1⁄ + 1 p⁄ 2 + ⋯+ 1 p⁄ n
Ex. Para decompor o número 220 em três partes A, B e 
C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar 
um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que 
A+B+C=220. Desse modo:
 
A
1 2⁄ =
B
1 4⁄ =
C
1 6⁄ =
A + B + C
1 2⁄ + 1 4⁄ + 1 6⁄ =
220
11 12⁄ = 240
A solução é A = 120 , B = 60 e C = 40 .
Ex. Para obter números A, B e C inversamente proporcionais 
a 2, 4 e 6, de modo que , devemos montar as proporções:
A
1 2⁄ =
B
1 4⁄ =
C
1 6⁄ =
2A + 3B − 4C
2 2⁄ + 3 4⁄ − 4 6⁄ =
10
13 12⁄ =
120
13
Logo , A = 60 13⁄ , B = 30 13⁄ e C = 20 13⁄ .
FIQUE ATENTO!
Pode haver coeficientes A,B e C como números 
fracionários e/ou negativos.
1.3. Divisão em duas partes direta e inversamente 
proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B 
diretamente proporcionais a c e d e inversamente propor-
cionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas 
partes A e B diretamente proporcionais a a c/q e d/q , 
basta montar um sistema com duas equações e duas in-
cógnitas de forma que A+B=M e, além disso:
A
c p⁄ =
B
d q⁄ =
A + B
c p⁄ + d q⁄ =
M
c p⁄ + d q⁄ =
M � p � q
c � q + p � d = K
O valor de K proporciona a solução, pois: 
A = Kc/p e B = Kd/q.
Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes 
A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente 
proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:
A
2/5 =
B
3/7 =
A + B
2/5 + 3/7 =
58
29/35 = 70
Assim A = (2/5) � 70 = 28 e B = (3/7) � 70 = 30
Exemplo: Para obter números A e B diretamente pro-
porcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, 
sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver 
este problema basta escrever que A-B=21 resolver as pro-
porções:
A
4 6⁄ =
B
3 8⁄ =
A − B
4 6⁄ − 3 8⁄ =
21
7 24⁄ = 72
Assim A = (4/6) � 72 = 48 e B = (3/8) � 72 = 27
1.4. Divisão em n partes direta e inversamente pro-
porcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X
𝟐
, . . . , X
𝐧
 
diretamente proporcionais a p1 , p2, . . . , p𝐧, e inversamen-
te proporcionais a q𝟏, q𝟐, . . . , q𝐧, , basta decompor este 
número M em n partes diretamente proporcionais a 
p
𝟏
/q
𝟏
, p
𝟐
/q
𝟐
, . . . , p
𝐧
/q
𝐧
. .
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas 
exige que X1 + X2+. . . +X𝐧 = M e além disso:
x1
p1 q⁄ 1
=
x2
p2 q⁄ 2
= ⋯ =
xn
pn qn⁄
A solução segue das propriedades das proporções:
x1
p1 q⁄ 1
=
x2
p2 q⁄ 2
= ⋯ =
xn
pn qn⁄
=
xn + x2 + ⋯+ xn
p1 q1⁄ + p2 q2⁄ + ⋯+ pn qn⁄
Ex. Para decompor o número 115 em três partes A, B 
e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente 
proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 
3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal 
que:
A
1 4⁄ =
B
2 5⁄ =
C
3 6⁄ =
A + B + C
1 4⁄ + 2 5⁄ + 3 6⁄ =
115
23 20⁄ = 100
Logo
A = (1/4)100 = 25, B = (2/5)100 = 40 e C = (3/6)100 = 50.
Ex. Determinar números A, B e C diretamente propor-
cionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, 
de modo que 2A+3B-4C=10.
A montagem do problema fica na forma:
32
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
A
1 2⁄ =
B
10 4⁄ =
C
2 5⁄ =
2A + 3B − 4C
2 2⁄ + 30 4⁄ − 8 5⁄ =
10
69 10⁄ =
100
69
A solução é , A = 50/69, B = 250/69 e C = 40/69.
EXERCÍCIO COMENTADO
1. Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato 
de futebol amador irão receber o prêmio de R$: 3.340,00 
rateados em partes inversamente proporcionais ao número 
de faltas cometidas em todo campeonato. Os Jogadores 
cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação a cada um 
deles respectivamente?
Resposta:
p1 = K . 1/5
p2 = K . 1/7
p3 = K . 1/11
p1 + p2 + p3 = 3340
Para encontrarmos o valor da constante K devemos substi-
tuir o valor de p1, p2 e p3 na última expressão:
Portanto:
p1 = 7700 . 1/5 = 1540
p2 = 7700 . 1/7 = 1100
p3 = 7700 . 1/11 = 700
A premiação será respectivamente R$ 1.540,00, R$ 1.100,00 
e R$ 700,00.
Regra de Três Simples
Os problemas que envolvem duas grandezas direta-
mente ou inversamente proporcionais podem ser resol-
vidos através de um processo prático, chamado regra de 
três simples.
Ex: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos 
litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?
Solução:
O problema envolve duas grandezas: distância e litros 
de álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser 
consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma 
mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que 
se correspondem em uma mesma linha:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15
 210 x
Na coluna em que aparece a variávelx (“litros de ál-
cool”), vamos colocar uma flecha:
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo 
de álcool também duplica. Então, as grandezas distância 
e litros de álcool são diretamente proporcionais. No es-
quema que estamos montando, indicamos esse fato colo-
cando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido 
da flecha da coluna “litros de álcool”:
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.
Procure manter essa linha de raciocínio nos 
diversos problemas que envolvem regra de 
três simples ! Identifique as variáveis, verifique 
qual é a relação de proporcionalidade e siga 
este exemplo !
#FicaDica
Ex: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, eu 
gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velo-
cidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?
Solução: Indicando por x o número de horas e colocan-
do as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspon-
dem em uma mesma linha, temos:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4
 80 x
33
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos 
colocar uma flecha:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4
 80 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica 
reduzido à metade. Isso significa que as grandezas veloci-
dade e tempo são inversamente proporcionais. No nos-
so esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna 
“velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha 
da coluna “tempo”:
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido 
das flechas. Assim, temos:
Resposta: Farei esse percurso em 3 h.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (CBTU – ASSISTENTE OPERACIONAL – FU-
MARC/2016) Dona Geralda comprou 4 m de tecido im-
portado a R$ 12,00 o metro linear. No entanto, o metro 
linear do lojista media 2 cm a mais. A quantia que o lojista 
deixou de ganhar com a venda do tecido foi:
a) R$ 0,69
b) R$ 0,96
c) R$ 1,08
d) R$ 1,20
Resposta: Letra B.
As grandezas (comprimento e preço) são diretamente 
proporcionais. Assim, a regra de três é direta:
Metros Preço
1 12
0,02 x
1 � x = 0,02 � 12 → x = R$ 0,24
 Note que foi necessário passar 2 cm para metros, para 
que as unidades de comprimento fiquei iguais. Assim, 
cada 2 cm custaram R$ 0,24 para o vendedor. Como ele 
vendeu 4 m de tecido, esses 2 cm não foram considera-
dos quatro vezes. Assim, ele deixou de ganhar 
2. Para se construir um muro de 17m² são necessários 3 
trabalhadores. Quantos trabalhadores serão necessários 
para construir um muro de 51m²?
Resposta: 9 trabalhadores. 
As grandezas (área e trabalhadores) são diretamente 
proporcionais. Assim, a regra de três é direta:
Área N Trabalhadores
17 3
51 x
17 � x = 51 � 3 → x = 9 trabalhadores
Regra de Três Composta
O processo usado para resolver problemas que envol-
vem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente 
proporcionais, é chamado regra de três composta.
Ex: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em 
quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 
300 dessas peças?
Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloque-
mos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem 
em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável 
x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.
As grandezas peças e dias são diretamente proporcio-
nais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se 
na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha 
da coluna “dias”:
34
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
As grandezas máquinas e dias são inversamente pro-
porcionais (duplicando o número de máquinas, o número 
de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso 
será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma fle-
cha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”:
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão 
que contém o x, que é 
x
4 , com o produto das outras razões, 
obtidas segundo a orientação das flechas 6
8 �
160
300
:
Resposta: Em 10 dias.
FIQUE ATENTO!
Repare que a regra de três composta, embora 
tenha formulação próxima à regra de três 
simples, é conceitualmente distinta devido 
à presença de mais de duas grandezas 
proporcionais.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (SEDUC-SP - ANALISTA DE TECNOLOGIA DA IN-
FORMAÇÃO – VUNESP/2014) Quarenta digitadores pre-
enchem 2 400 formulários de 12 linhas, em 2,5 horas. Para 
preencher 5 616 formulários de 18 linhas, em 3 horas, e 
admitindo-se que o ritmo de trabalho dos digitadores seja 
o mesmo, o número de digitadores necessários será 
a) 105
b) 117
c) 123
d) 131
e) 149
Resposta: Letra B.
A tabela com os dados do enunciado fica:
Digitadores Formulários Linhas Horas
40 2400 12 2,5
x 5616 18 3
Comparando-se as grandezas duas a duas, nota-se que:
•	 Digitadores e formulários são diretamente propor-
cionais, pois se o número de digitadores aumenta, 
a quantidade de formulários que pode ser digitada 
também aumenta.
•	 Digitadores e linhas são diretamente proporcionais, 
pois se a quantidade de digitadores aumenta, o nú-
mero de linhas que pode ser digitado também au-
menta.
•	 Digitadores e horas são inversamente proporcionais, 
pois se o número de horas trabalhadas aumenta, en-
tão são necessários menos digitadores para o serviço 
e, portanto, a quantidade de digitadores diminui.
A regra de três fica:
40
x =
2400
5616 �
12
18 �
3
2,5
→
40
x =
86400
252720
→ 86500x = 10108800
→ x = 117 digitadores
2. Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 
carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados 
por 4 homens em 16 dias?
Resposta:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Observe que, aumentando o número de homens, a pro-
dução de carrinhos aumenta. Portanto a relação é dire-
tamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carri-
nhos aumenta. Portanto a relação também é direta-
mente proporcional (não precisamos inverter a razão). 
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o 
produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
20
π =
8
4 �
5
16
Logo, serão montados 32 carrinhos.
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PORCENTAGEM
Definição
A definição de porcentagem passa pelo seu próprio 
nome, pois é uma fração de denominador centesimal, ou 
seja, é uma fração de denominador 100. Representamos 
porcentagem pelo% e lê-se: “por cento”.
Deste modo, a fração100
50
 
ou qualquer uma equivalente a 
ela é uma porcentagem que podemos representar por 50%.
A porcentagem nada mais é do que uma razão, que 
representa uma “parte” e um “todo” a qual referimos como 
100%. Assim, de uma maneira geral, temos que:
𝐴 =
𝑝
100 .𝑉
Onde A, é a parte, p é o valor da porcentagem e V é o 
todo (100%). Assim, os problemas básicos de porcentagem 
se resumem a três tipos:
Cálculo da parte (Conheço p e V e quero achar A): 
Para calcularmos uma porcentagem de um valor V, basta 
multiplicarmos a fração correspondente, ou seja, 
𝑝
100 por V. Assim:
P% de V =A= 
𝑝
100 .V
Ex. 23% de 240 = 23
100
.240 = 55,2
Ex. Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 
67% de uma amostra assistem a certo programa de TV. 
Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas 
assistem ao tal programa?
Aqui, queremos saber a “parte” da população que 
assiste ao programa de TV, como temos a porcentagem e o 
total, basta realizarmos a multiplicação:
67% de 56000=A= 67
100
 56000=37520
Resp. 37 520 pessoas.
Cálculo da porcentagem (conheço A e V e quero 
achar p): Utilizaremos a mesma relação para achar o valor 
de p e apenas precisamos rearranjar a mesma:
𝐴 =
𝑝
100 .𝑉 → 𝑝 =
𝐴
𝑉 . 100
Ex. Um time de basquete venceu 10 de seus 16 jogos. 
Qual foi sua porcentagem devitórias?
Neste caso, o exercício quer saber qual a porcentagem 
de vitórias que esse time obteve, assim:
𝑝 =
𝐴
𝑉 . 100 =
10
16 . 100 = 62,5%
Resp: O time venceu 62,5% de seus jogos.
Ex. Em uma prova de concurso, o candidato acertou 48 
de 80 questões. Se para ser aprovado é necessário acertar 
55% das questões, o candidato foi ou não foi aprovado?
 Para sabermos se o candidato passou, é necessário 
calcular sua porcentagem de acertos:
𝑝 =
𝐴
𝑉 . 100 =
48
80 . 100 = 60% > 55%
Logo, o candidato foi aprovado.
Calculo do todo (conheço p e A e quero achar V): 
No terceiro caso, temos interesse em achar o total (Nosso 
100%) e para isso basta rearranjar a equação novamente:
𝐴 =
𝑝
100 .𝑉 → 𝑝 =
𝐴
𝑉 . 100 → 𝑉 =
𝐴
𝑝 . 100
Ex. Um atirador tem taxa de acerto de 75% de seus 
tiros ao alvo. Se em um treinamento ele acertou 15 tiros, 
quantos tiros ele deu no total?
Neste caso, o problema gostaria de saber quanto vale 
o “todo”, assim:
𝑉 =
𝐴
𝑝 . 100 =
15
75 . 100 = 0,2.100 = 20 𝑡𝑖𝑟𝑜𝑠
Forma Decimal: Outra forma de representação de 
porcentagens é através de números decimais, pois todos eles 
pertencem à mesma classe de números, que são os números 
racionais. Assim, para cada porcentagem, há um numero 
decimal equivalente. Por exemplo, 35% na forma decimal seriam 
representados por 0,35. A conversão é muito simples: basta fazer 
a divisão por 100 que está representada na forma de fração:
75% = 100
75
 = 0,75
Aumento e desconto percentual
Outra classe de problemas bem comuns sobre 
porcentagem está relacionada ao aumento e a redução 
percentual de um determinado valor. Usaremos as 
definições apresentadas anteriormente para mostrar a 
teoria envolvida
Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V 
que deve sofrer um aumento de de seu valor. Chamemos 
de VA o valor após o aumento. Assim:
VA = V + 100
p .V
Fatorando:
VA = ( 1 + 100
p ) .V
Em que (1 + 100
p
 ) será definido como fator de aumento, 
que pode estar representado tanto na forma de fração ou 
decimal.
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TI
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Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial 
V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. 
Chamemos de VD o valor após o desconto. 
VD = V –100
p .V
Fatorando:
VD = (1 –100
p ) .V
Em que (1 – 
100
p ) será definido como fator de desconto, 
que pode estar representado tanto na forma de fração ou 
decimal.
Ex. Uma empresa admite um funcionário no mês de 
janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. 
Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir 
de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?
Neste caso, o problema deu o valor de e gostaria de 
saber o valor de V, assim:
VA = ( 1 +100
p
).V
3500 = ( 1 + 40100 ).V
3500 =(1+0,4).V
3500 =1,4.V
V = 
3500
1,4 =2500
Resp. R$ 2 500,00
Ex. Uma loja entra em liquidação e pretende abaixar em 
20% o valor de seus produtos. Se o preço de um deles é de 
R$ 250,00, qual será seu preço na liquidação?
Aqui, basta calcular o valor de VD :
VD = (1 –100
p ) .V
VD = (1 –
20
100
) .250,00
VD = (1 –0,2) .250,00
VD = (0,8) .250,00
VD = 200,00
Resp. R$ 200,00
FIQUE ATENTO!
Em alguns problemas de porcentagem são 
necessários cálculos sucessivos de aumentos 
ou descontos percentuais. Nesses casos é ne-
cessário ter atenção ao problema, pois erros 
costumeiros ocorrem quando se calcula a por-
centagens do valor inicial para obter todos os 
valores finais com descontos ou aumentos. Na 
verdade, esse cálculo só pode ser feito quando 
o problema diz que TODOS os descontos ou 
aumentos são dados a uma porcentagem do 
valor inicial. Mas em geral, os cálculos são fei-
tos como mostrado no texto a seguir.
Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um 
valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois 
aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após 
o primeiro aumento, temos:
V1 = V .(1 +
𝑝1
100
)
Sendo V2 o valor após o segundo aumento, ou seja, 
após já ter aumentado uma vez, temos que:
V2 = V1 .(1 +
𝑝2
100
)
Como temos também uma expressão para V1, basta 
substituir:
V2 = V .(1 +
𝑝1
100 ) .(1 +
𝑝2
100
)
Assim, para cada aumento, temos um fator 
correspondente e basta ir multiplicando os fatores para 
chegar ao resultado final. 
No caso de desconto, temos o mesmo caso, sendo V 
um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois 
descontos sucessivos de p1% e p2%.
Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:
V1 = V.(1 – 
𝑝1
100
)
Sendo V2 o valor após o segundo desconto, ou seja, 
após já ter descontado uma vez, temos que:
V2 = V1 .(1 –
𝑝2
100
)
Como temos também uma expressão para , basta 
substituir:
V2 = V .(1 – 
𝑝1
100
) .(1 –
𝑝2
100
)
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Além disso, essa formulação também funciona para 
aumentos e descontos em sequência, bastando apenas 
a identificação dos seus fatores multiplicativos. Sendo V 
um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um 
aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.
Sendo V1 o valor após o aumento, temos:
V1 = V .(1+ 
𝑝1
100
)
Sendo V2 o valor após o desconto, temos que:
V2 = V1 .(1 –
𝑝2
100
)
Como temos uma expressão para , basta substituir:
V2 = V .(1+
𝑝1
100
) .(1 – 
𝑝2
100
)
Ex. Um produto sofreu um aumento de 20% e depois 
sofreu uma redução de 20%. Isso significa que ele voltará 
ao seu valor original.
( ) CERTO ( ) ERRADO
Este problema clássico tem como finalidade conceituar 
esta parte de aumento e redução percentual e evitar o erro 
do leitor ao achar que aumentando p% e diminuindo p%, 
volta-se ao valor original. Se usarmos o que aprendemos, 
temos que:
V2 = V . 1 +
𝑝1
100
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
 . 1 – 
𝑝2
100 
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜
V2 = V .(1+
20
100
) .(1 – 20
100
)
V2 = V .(1+0,2) .(1 – 0,2 )
V2 = V .(1,2) .(0,8)
V2 = 0,96.V= 
96
100
 V=96% de V
Ou seja, o valor final corresponde a 96% de V e não 
100%, assim, eles não são iguais, portanto deve-se assinalar 
a opção ERRADO
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (UNESP) Suponhamos que, para uma dada eleição, uma 
cidade tivesse 18.500 eleitores inscritos. Suponhamos ain-
da que, para essa eleição, no caso de se verificar um índice 
de abstenções de 6% entre os homens e de 9% entre as 
mulheres, o número de votantes do sexo masculino será 
exatamente igual ao número de votantes do sexo feminino. 
Determine o número de eleitores de cada sexo.
Resposta: Denotamos o número de eleitores do sexo fe-
mininos de F e de votantes masculinos de M. Pelo enun-
ciado do exercícios, F+M = 18500. Além disso, o índice 
de abstenções entre os homens foi de 6% e de 9% 
entre as mulheres, ou seja, 94% dos homens e 91% 
das mulheres compareceram a votação, onde 94%M = 
91%F ou 0,94M = 0,91F. Assim, para determinar o nú-
mero de eleitores de cada sexo temos os seguinte siste-
ma para resolver:
�F + M = 185000,94M = 0,91F
Da segunda equação, temos que M = 0,910,94 F . Agora, substituindo M na primeira equação do sistema encon-
tra-se F = 9400 e por fim determina-se M = 9100.
JUROS SIMPLES
Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo 
a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um 
devedor, pela utilização de dinheiro de um credor (aquele 
que empresta).
1. Nomenclatura
a) Os juros são representados pela letra J.
b) O dinheiro que se deposita ou se empresta chama-
mos de capital e é representado pela letra C.
c) O tempo de depósito ou de empréstimo é represen-
tado pela letra t.
d) A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre 
um capital durante certo tempo. É representado pela 
letra i e utilizada para calcular juros.
Chamamos de simples os juros que são somados ao 
capital inicial no final da aplicação.
FIQUE ATENTO!
Devemos sempre relacionar taxa e tempo 
numa mesma unidade:
Taxa anual --------------------- tempo em anos
Taxa mensal-------------------- tempo em meses
Taxa diária---------------------- tempo em dias
Exemplo: Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, 
a quantia de R$ 3000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 
2%ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?
Resolução:
- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00
- Tempo de aplicação (t): 4 meses
- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)
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Fazendo o cálculo, mês a mês:
No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 R$ 3.000,00 = R$ 60,00
No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 + R$ 60,00 = R$ 120,00
No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 60,00 = R$ 180,00
No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00 + R$ 60,00 = R$ 240,00
Para evitar essa sequência de cálculos toda vez que vamos calcular os juros simples, existe uma fórmula que 
quantifica o total de juros simples do período, e ela está apresentada abaixo:
J=C ∙ i ∙ t
Além disso, quando quisermos saber o total que será pago de um empréstimo, ou o quanto se resgatará do 
investimento, o qual definimos como Montante (M), basta somar o capital com os juros, usando o conceito 
fundamental da matemática financeira:
M=C+J
Ou
M=C(1+i . t)
#FicaDica
EXERCÍCIO COMENTADO
1. Um investidor possui R$ 80.000,00. Ele aplica 30% desse dinheiro em um investimento que rende juros simples a uma 
taxa de 3% a.m., durante 2 meses, e aplica o restante em investimento que rende 2% a.m., durante 2 meses também. Ao fim 
desse período, esse investidor possui:
a) R$ 83.680,00
b) R$ 84.000,00
c) R$ 84.320,00
d) R$ 84.400,00
e) R$ 88.000,00
Resposta: Letra A. Temos neste problema um capital sendo investido em duas etapas. Vamos realizar os cálculos sepa-
radamente:
1º investimento
30% de R$ 80.000,00 = R$ 24.000,00 valor a ser investido a uma taxa i = 3% a.m., durante um período t = 2 meses. Lem-
brando que i = 3% = 0,03.
Cálculo dos juros J, onde : J=C ∙ i ∙ t:
J = 24000 ∙ (0,03) ∙ 2 = 1440.
Juros do 1º investimento = R$ 1440,00.
2º investimento
R$ 80.000,00 – R$ 24.000,00 = R$ 56.000,00 valor a ser investido a uma taxa i = 2% a.m., durante um período t = 2 
meses.
J = 56000 ∙ (0,02) ∙ 2 = 2240.
Juros do 2º investimento = R$ 2.240,00.
Portanto, o montante final será de
R$ 80.00,00 + R$ 1.440,00 + R$ 2.240,00 = R$ 83.680,00.
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2. Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
Resposta: 
M = P ∙ ( 1 + (i∙t) )
M = 70000 [1 + (10,5/100)∙(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período t na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 
360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
JUROS COMPOSTOS
O capital inicial (principal) pode crescer como já sabemos, devido aos juros. Basicamente, há duas modalidades de como 
se calcular os juros:
Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros. 
Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. 
Também conhecido como “juros sobre juros”.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: 
Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. (ao ano) Teremos:
Capital = 100 Juros Simples Juros Compostos
N° de Anos Montante Simples Montante Composto
1 100 + 0,1 ∙ 100 = 110 100,00 + 0,1 ∙ (100,00) = 110,00
2 110 + 0,1 ∙ 100 = 120 110,00 + 0,1 ∙ (110,00) = 121,00
3 120 + 0,1 ∙ 100 = 130 121,00 + 0,1 ∙ (121,00) = 133,10
4 130 + 0,1 ∙ 100 = 140 133,10 + 0,1 ∙ (133,10) = 146,41
5 140 + 0,1 ∙ 100 = 150 146,41 + 0,1 ∙ (146,41) = 161,05
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros 
compostos é EXPONENCIAL, e, portanto tem um crescimento muito mais “rápido”. Isto poderia ser ilustrado graficamente 
da seguinte forma: 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas 
pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso 
de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
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Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado 
a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i = 10% 
a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a 
mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 ∙ 1,1 = 1100 = 
1000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 ∙1,1 = 1210 = 
1000(1 + 0,1)2
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 ∙ 1,1 = 1331 = 
1000(1 + 0,1)3
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos 
evidentemente: M = 1000(1 + 0,1)n
De uma forma genérica, teremos para um capital 
C, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o 
período n :
M = C(1 + i)n 
Onde M = montante, C = Capital, i = taxa de juros e n = 
número de períodos que o principal C foi aplicado. 
#Fica a dica: Na fórmula acima, as unidades de tempo 
referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser 
necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, 
que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa 
for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 
2% ao mês durante 3 ∙ 12=36 meses.
Exemplo: Calcule o montante de uma aplicação 
financeira de R$ 2000,00 aplicada a juros compostos de 2% 
ao mês durante 2 meses:
Resolução:
M = C∙(1 + i)n→M = 2000∙(1 +0,02)2→M = 2000∙(1,02)2=R$ 2080,80
Com aplicação da fórmula, obtém-se o montante. 
Agora, se quisermos os juros? Como se calcula os juros 
desta aplicação sendo que agora não temos uma fórmula 
para J como nos juros simples? Para resolver isso, basta 
relembrar o conceito fundamental:
M=C+J→J=M-C
Como calculamos o montante e temos o capital:
J=M-C→2080,80-2000,00=R$ 80,80
Esse exemplo é a aplicação básica de juros compostos. 
FIQUE ATENTO!
Alguns concursos podem complicar um pouco 
as questões, deixando como incógnita o perí-
odo da operação “n”. 
Exemplo: Em quanto tempo devo deixar R$ 3000,00 em 
uma aplicação para que renda um montante de R$ 3376,53 
a uma taxa de 3% ao mês.
Resolução: Neste caso, precisamos saber n, vamos isolá-
lo na fórmula do montante:
M = C 1 + i n →
M
C = 1 + i
n → log
M
C = log 1 + i
n
log
M
C = n � log 1 + i →
A fórmula envolve logaritmos e você tem dois caminhos: 
Memorize ou sempre lembre da dedução a partir da 
fórmula do montante. Substituindo os valores:
EXERCÍCIO COMENTADO
1. Calcule o montante de um empréstimo a juros compos-
tos de R$ 3000,00 a uma taxa de 1% a.m durante 3 meses. 
Dado: 1,01³ = 1,0303
a) R$ 3060,30
b) R$ 3090,90
c) R$ 3121,81
d) R$ 3250,30
e) R$ 3450,40
Resposta: Letra B.
M = C(1 + i)n→M = 3000∙(1 +0,01)3→M = 3000∙(1,01)3=R$ 3090,90
2. Calcule o montante de um empréstimo a juros compos-
tos de R$ 10000,00 a uma taxa de 0,5% a.m durante 6 me-
ses. Dado: 1,0056 = 1,0304
a) R$ 10303,77
b) R$ 10090,90
c) R$ 13030,77
d) R$ 13250,80
e) NDA
Resposta: Letra a.
M = C(1 + i)n→M = 10000∙(1 +0,005)6→M = 10000∙(1,005)6=
=R$ 10303,77
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TAXAS DE JUROS
Podemos definir a taxa nominal como aquela em que 
a unidade de referência do seu tempo não coincide com a 
unidade de tempo dos períodos de capitalização. É usada 
no mercado financeiro, mas para cálculo deve-se encontrar 
a taxa efetiva. Por exemplo, a taxa nominal de 12% ao ano, 
capitalizada mensalmente, resultará em uma taxa mensal 
de 1% ao mês. Entretanto, quando esta taxa é capitalizada 
pelo regime de juros compostos, teremos uma taxa efetiva 
de 12,68% ao ano.
1. Taxa Nominal
A taxa nominal de juros relativa a uma operação finan-
ceira pode ser calculada pela expressão: 
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do emprés-
timo
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, 
deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário 
de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por: 
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00
Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%
Sem dúvida, se tem um assuntoque gera muita con-
fusão na Matemática Financeira são os conceitos de taxa 
nominal, taxa efetiva e taxa equivalente. Até na esfera judi-
cial esses assuntos geram muitas dúvidas nos cálculos de 
empréstimos, financiamentos, consórcios e etc. 
Vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria 
das vezes nos livros e apostilas disponíveis no mercado, 
não são apresentados de uma maneira clara. 
Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta 
não é realmente a taxa utilizada para o cálculo dos juros 
(é uma taxa “sem efeito”). A capitalização (o prazo de for-
mação e incorporação de juros ao capital inicial) será dada 
através de outra taxa, numa unidade de tempo diferente, 
taxa efetiva.
Como calcular a taxa que realmente vai ser utilizada; 
isto é, a taxa efetiva?
Vamos acompanhar através do exemplo
1.1. Taxa Efetiva
Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00 (mil 
reais), aplicados durante 18 (dezoito) meses, capitalizados 
mensalmente, a uma taxa de 12% a.a. Explicando o que é 
taxa Nominal, efetiva mensal e equivalente mensal: 
2. Respostas e soluções
1) A taxa Nominal é 12% a.a; pois o capital não vai ser 
capitalizado com a taxa anual.
2) A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas 
convenções: taxa proporcional mensal ou taxa equi-
valente mensal.
a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 
12): 12%/12 = 1% a.m.
b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos 
R$ 1.000,00, rende os mesmos juros que a taxa anual 
aplicada nesse mesmo capital). 
 
Cálculo da taxa equivalente mensal:
 
onde:
iq : taxa equivalente para o prazo que eu quero
it : taxa para o prazo que eu tenho
q : prazo que eu quero
t : prazo que eu tenho
 
iq = 0,009489 a.m ou iq = 0,949 % a.m.
3) Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva 
mensal
a) pela convenção da taxa proporcional:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,01) 18 = 1.000 x 1,196147
M = 1.196,15
 
b) pela convenção da taxa equivalente:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,009489) 18 = 1.000 x 1,185296
M = 1.185,29
 
NOTA: Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é 
equivalente a taxa de 12% a.a, basta calcular o montante 
utilizando a taxa anual, neste caso teremos que transfor-
mar 18 (dezoito) meses em anos para fazer o cálculo, ou 
seja : 18: 12 = 1,5 ano. Assim:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,12) 1,5 = 1.000 x 1,185297
M = 1.185,29
 
3. Conclusões
- A taxa nominal é 12% a.a, pois não foi aplicada no 
cálculo do montante. Normalmente a taxa nominal vem 
sempre ao ano!
- A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é 
aquela que foi utilizado para cálculo do montante. Pode 
ser uma taxa proporcional mensal (1 % a.m.) ou uma taxa 
equivalente mensal (0,949 % a.m.).
- Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em 
se tratando de concursos públicos, a grande maioria das 
bancas examinadoras utilizam a convenção da taxa propor-
cional. Em se tratando do mercado financeiro, utiliza-se a 
convenção de taxa equivalente.
42
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
4. Taxa Equivalente
Taxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao 
mesmo capital, num mesmo intervalo de tempo, produzem 
montantes iguais. Essas taxas devem ser observadas com 
muita atenção, em alguns financiamentos de longo prazo, 
somos apenas informados da taxa mensal de juros e não 
tomamos conhecimento da taxa anual ou dentro do pe-
ríodo estabelecido, trimestre, semestre entre outros. Uma 
expressão matemática básica e de fácil manuseio que nos 
fornece a equivalência de duas taxas é: 
1 + ia = (1 + ip)n, onde: 
ia = taxa anual 
ip = taxa período
n: número de períodos 
Observe alguns cálculos: 
Exemplo 1
Qual a taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês?
Temos que: 2% = 2/100 = 0,02 
1 + ia = (1 + 0,02)12 
1 + ia = 1,0212
1 + ia = 1,2682 
ia = 1,2682 – 1 
ia = 0,2682 
ia = 26,82% 
A taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês é de 
26,82%. 
As pessoas desatentas poderiam pensar que a taxa 
anual nesse caso seria calculada da seguinte forma: 2% x 
12 = 24% ao ano. Como vimos, esse tipo de cálculo não 
procede, pois a taxa anual foi calculada de forma correta e 
corresponde a 26,82% ao ano, essa variação ocorre porque 
temos que levar em conta o andamento dos juros compos-
tos (juros sobre juros). 
5. Taxa Real
A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto 
interessante sobre as taxas reais de juros, é que elas podem 
ser inclusive, negativas.
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros 
nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado 
capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a 
certa taxa nominal in 
O montante S1 ao final do período será dado por S1 = 
P(1 + in).
Consideremos agora que durante o mesmo período, a 
taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O 
capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante S2 
= P (1 + j). 
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela aplicada 
ao montante S2, produzirá o montante S1. Poderemos en-
tão escrever: S1 = S2 (1 + r)
Substituindo S1 e S2 , vem:
P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)
Daí então, vem que:
(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:
in = taxa de juros nominal
j = taxa de inflação no período
r = taxa real de juros
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, 
isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coin-
cidentes. 
Exemplo
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um 
banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano 
com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do 
empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal 
e real deste empréstimo.
Teremos que a taxa nominal será igual a:
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 
0,25 = 25%
Portanto in = 25%
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 
0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,10
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, te-
ríamos para a taxa real de juros:
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,30
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto 
teríamos uma taxa real de juros negativa.
Exemplo
$100.000,00 foi emprestado para ser quitado por 
$150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período 
foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?
Resposta: 25%
6. Taxas Proporcionais
Para se compreender mais claramente o significado 
destas taxas deve-se reconhecer que toda operação envol-
ve dois prazos: 
- o prazo a que se refere à taxa de juros; e 
- o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. (ASSAF 
NETO, 2001).
Taxas Proporcionais: duas (ou mais) taxas de juro sim-
ples são ditas proporcionais quando seus valores e seus 
respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma 
unidade, forem uma proporção. (PARENTE, 1996). Exemplos
43
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Prestação = amortização + juros
Há diferentes formas de amortização, conforme descritas a seguir. 
Para os exemplos numéricos descritos nas tabelas, em todas as diferentes formas de amortização, utilizaremos o mesmo 
exercício: uma dívida de valor inicial de R$ 100 mil, prazo de três meses e juros de 3% ao mês.
Pagamento único
É a quitação de toda a dívida (amortização + juros) em um único pagamento, ao final do período. Utilizamos a mesma 
fórmula do montante:
Nos juros simples:
M = C (1 + i×n)
M = montante
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = período
Nos juros compostos:
M = C (1+i)n
M = montante
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = período
Nos juros simples:
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 - - 103.000,00 
2 3.000,00 - - 106.000,00 
3 3.000,00 100.000,00 
 
109.000,00 - 
Nos juros compostos:
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - -- 100.000,00 
1 3.000,00 - - 103.000,00 
2 3.090,00 - - 106.090,00 
3 3.182,70 100.000,00 
 
109.272,70 - 
7. Sistema Price (Sistema Francês)
Foi elaborado para apresentar pagamentos iguais ao longo do período do desembolso das prestações. A fórmula para 
encontrarmos a prestação é dada a seguir:
PMT = VP . _i.(1+i)n_ 
 (1+i)n -1
44
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
PMT = valor da prestação
VP = valor inicial do empréstimo
i = taxa de juros
n = período
A fórmula foi desenvolvida, considerando-se apenas a capitalização por juros compostos. O resultado é listado a seguir:
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 32.353,04 
 
35.353,04 67.646,96 
2 2.029,41 33.323,63 
 
35.353,04 34.323,33 
3 1.029,71 34.323,33 
 
35.353,04 - 
8. Sistema de Amortização Misto (SAM)
É a média aritmética das prestações calculadas nas duas formas anteriores (SAC e Price). É encontrado pela fórmula:
PMTSAM = (PTMSAC + PMTPRICE) / 2
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 32.843,19 
 
35.843,19 67.156,81 
2 2.014,70 33.328,49 
 
35.343,19 33.828,32 
3 1.014,87 33.828,32 
 
34.843,19 -
9. Sistema de Amortização Crescente (SACRE)
Este sistema, criado pela Caixa Econômica Federal (CEF), é uma das formas utilizadas para o cálculo das prestações dos 
financiamentos imobiliários. Usa-se, para o cálculo do valor das prestações, a metodologia do sistema de amortização 
constante (SAC) anual, desconsiderando-se o valor da Taxa Referencial de Juros (TR). Esta é incluída posteriormente, resul-
tando em uma amortização variável. Chamar de “amortização crescente” parece-nos inadequado, pois pode resultar em 
amortizações decrescentes, dependendo da ocorrência de TR com valor muito baixo.
10. Sistema Alemão
Neste caso, a dívida é liquidada também em prestações iguais, exceto a primeira, onde no ato do empréstimo (momento 
“zero”) já é feita uma cobrança dos juros da operação. As prestações, a primeira amortização e as seguintes são definidas 
pelas três seguintes fórmulas:
PMT = _ Vp.i _ 
 1- (1+i)n
[PMT = valor da prestação
VP = valor inicial do empréstimo
i = taxa de juros
n = período
45
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
A1 = PMT . (1- i)n-1
A1 = primeira amortização
PMT = valor da prestação
i = taxa de juros
n = período
An = An-1 _ 
 (1- i)
An = amortizações posteriores (2º, 3º, 4º, ...)
An-1 = amortização anterior
i = taxa de juros
n = período
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 
3.000,00 
- 3.000,00 100.000,00 
1 
2.030,30 
 32.323,34 34.353,64 67.676,66 
2 
1.030,61 
 33.323,03 34.353,64 34.353,63 
3 - 34.353,64 34.353,64 (0,01)
 
OBS: os resíduos em centavos, como saldo devedor final na tabela anterior, são resultados de arredondamento do cál-
culo e serão desconsiderados. 
11. Sistema de Amortização Constante – SAC
Consiste em um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em pro-
gressão aritmética, em que o valor da prestação é composto por uma parcela de juros uniformemente decrescente e outra 
de amortização que permanece constante.
Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um empréstimo por prestações que incluem 
os juros, amortizando assim partes iguais do valor total do empréstimo.
Neste sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. Desta forma, no sistema SAC o valor 
das prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculado dividindo-se 
o valor do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas.
O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos imobiliários. A principal característica 
do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do saldo devedor desde o início do financiamento. Esse percentual de amor-
tização é sempre o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do financiamento, 
fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros mecanismos de amortização. 
Exemplo: 
Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte mil reais) a ser pago em 12 meses, a uma taxa de juros de 1% ao mês 
(em juros simples). Aplicando a fórmula para obtenção do valor da amortização, iremos obter um valor igual a R$ 10.000,00 
(dez mil reais). Essa fórmula é o valor do empréstimo solicitado divido pelo período, sendo nesse caso: R$ 120.000,00 / 12 
meses = R$ 10.000,00. Logo, a tabela SAC fica:
Nº Prestação Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 120000
1 11200 1200 10000 110000
2 11100 1100 10000 100000
3 11000 1000 10000 90000
4 10900 900 10000 80000
5 10800 800 10000 70000
6 10700 700 10000 60000
46
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
7 10600 600 10000 50000
8 10500 500 10000 40000
9 10400 400 10000 30000
10 10300 300 10000 20000
11 10200 200 10000 10000
12 10100 100 10000 0
Note que o juro é sempre 10% do saldo devedor do mês anterior, já a prestação é a soma da amortização e o juro. 
Sendo assim, o juro é decrescente e diminui sempre na mesma quantidade, R$ 100,00. O mesmo comportamento tem as 
prestações. A soma das prestações é de R$ 127.800,00, gerando juros de R$ 7.800,00.
Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem em progressão aritmética (PA) de r=100.
12. Sistema Americano
O tomador do empréstimo paga os juros mensalmente e o principal, em um único pagamento final.
Considera-se apenas o regime de juros compostos:
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00
1 3.000,00 - 3.000,00 100.000,00
2 3.000,00 - 3.000,00 100.000,00
3 3.000,00 100.000,00 103.000,00 -
13. Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês
O tomador do empréstimo amortiza o saldo devedor em valores iguais e constantes ao longo do período. 
Considera-se apenas o regime de juros compostos:
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 33.333,33 36.333,33 66.666,67 
2 2.000,00 33.333,33 35.333,33 33.333,34 
3 1.000,00 33.333,34 34.333,34 -
Qual a melhor forma de amortização?
A tabela abaixo lista o fluxo de caixa nos diversos sistemas de amortização discutidos nos itens anteriores.
N Pgto único (jrs comp.) Sistema Americano SAC PRICE SAM Alemão
0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00
1 - (3.000,00) (36.333,33) (35.353,04) (35.843,19) (34.353,64)
2 - (3.000,00) (35.333,33) (35.353,04) (35.343,19) (34.353,64)
3 (109.272,70) (103.000,00) (34.333,34) (35.353,04) (34.843,19) (34.353,64)
As várias formas de amortização utilizadas pelo mercado brasileiro, em sua maioria, consideram o regime de capitali-
zação por juros compostos. A comparação entre estas, por meio do VPL (vide item 6.2), demonstra que o custo entre elas 
se equivale. Vejam: no nosso exemplo, todos, exceto no sistema alemão, os juros efetivos cobrados foram de 3% ao mês 
(regime de juros compostos) ou 9,27% no acumulado dos três meses.
47
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
n Pgto único (jrs comp.) Sistema Americano SAC PRICE SAM Alemão
0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 
1 - (2.912,62) (35.275,08) (34.323,34) (34.799,21) (33.353,04)
2 - (2.827,79) (33.305,05) (33.323,63) (33.314,35) (32.381,60)
3 (100.000,00) (94.259,59) (31.419,87) (32.353,04) (31.886,45) (31.438,44)
VPL - - - - - (173,09)
OBS: tabela com as prestações dos sistemas anteriores, descontada da taxa (juros compostos) de 3% ao mês.
Considerando o custo de oportunidade de 2% ao mês, isto é,abaixo do valor do empréstimo, teríamos a tabela abaixo. 
Isso seria uma situação mais comum: juros do empréstimo mais caro que uma aplicação no mercado. Neste caso, quanto 
menor (em módulo) o VPL, melhor para o tomador do empréstimo, ou seja, o sistema SAC seria o melhor sob o ponto de 
vista financeiro.
n Pgto único (jrs comp.) Sistema Americano SAC PRICE SAM Alemão
0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 
1 - (2.941,18) (35.620,91) (34.659,84) (35.140,38) (33.680,04)
2 - (2.883,51) (33.961,29) (33.980,24) (33.970,77) (33.019,64)
3 (102.970,11) (97.059,20) (32.353,07) (33.313,96) (32.833,52) (32.372,20)
VPL (2.970,11) (2.883,88) (1.935,28) (1.954,04) (1.944,67) (2.071,88)
OBS: tabela com as prestações dos sistemas anteriores, descontada da taxa (juros compostos) de 2% ao mês. 
Outra situação seria considerarmos um empréstimo com taxa de juros abaixo do mercado. Neste exemplo a seguir, 
teremos como custo de oportunidade a taxa de 4% ao mês. Isso, na vida real, não será comum: juros do empréstimo mais 
barato do que uma aplicação no mercado. Assim, como no exemplo anterior, quanto maior o VPL, melhor para o tomador 
do empréstimo, ou seja, o sistema de pagamento único, sob o ponto de vista financeiro, é o melhor, como no caso abaixo.
n Pgto único (jrs comp.) Sistema Americano SAC PRICE SAM Alemão
0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 
1 - (2.884,62) (34.935,89) (33.993,31) (34.464,61) (33.032,34)
2 - (2.773,67) (32.667,65) (32.685,87) (32.676,77) (31.761,87)
3 (97.143,03) (91.566,62) (30.522,21) (31.428,72) (30.975,47) (30.540,26)
VPL 2.856,97 2.775,09 1.874,24 1.892,10 1.883,16 1.665,53 
OBS: tabela com as prestações dos sistemas anteriores, descontada da taxa (juros compostos) de 4% ao mês. 
Referências
Passei Direto. Disponível em: https://www.passeidireto.com/arquivo/1599335/exercicios_matematica_finaceiraexercicios_
matematica_finaceiraNos juros compostos:
M = C (1+i)n
M = montante
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = período
48
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (TRE/PR – ANALISTA JUDICIÁRIO – FCC/2017) Para 
comprar um automóvel, Pedro realizou uma pesquisa em 3 
concessionárias e obteve as seguintes propostas de finan-
ciamento:
Concessionária 1: Entrada de R$ 12.000,00 + 1 prestação de 
R$ 29.120,00 para 30 dias após a entrada.
Concessionária 2: Entrada de R$ 13.000,00 + 1 prestação de 
R$ 29.120,00 para 60 dias após a entrada.
Concessionária 3: Entrada de R$ 13.000,00 + 2 prestações 
R$ 14.560,00 para 30 e 60 dias após a entrada, respectiva-
mente.
Sabendo que a taxa de juros compostos era 4% ao mês, 
para a aquisição do automóvel 
a) a melhor proposta é a 1, apenas. 
b) a melhor proposta é a 2, apenas. 
c) a melhor proposta é a 3, apenas. 
d) as melhores propostas são 2 e 3, por serem equivalentes. 
e) as melhores propostas são 1 e 2, por serem equivalentes.
Resposta: Letra B..
Concessionária 1
Concessionária 2
Concessionária 3
2. (TST – ANALISTA JUDICIÁRIO – FCC/2017) Um em-
préstimo foi obtido para ser liquidado em 10 parcelas men-
sais de R$ 2.000,00, vencendo-se a primeira parcela um 
mês após a data da obtenção. A taxa de juros negociada 
com a instituição financeira foi 2% ao mês no regime de 
capitalização composta. Se, após o pagamento da oitava 
parcela, o devedor decidir liquidar o saldo devedor do em-
préstimo nesta mesma data, o valor que deverá ser pago, 
desprezando-se os centavos, é, em reais, 
a) 3.846,00. 
b) 3.883,00. 
c) 3.840,00. 
d) 3.880,00. 
e) 3.845,00.
Resposta: Letra B.
3. (POLICIA CIENTIFICA/PR – PERITO CRIMINAL – 
IBFC/2017) Assinale a alternativa correta. Uma pessoa 
comprou um vídeo game de última geração em uma loja, 
parcelando em 12 prestações mensais de 140,00 cada uma, 
sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros compostos 
cobrada pela loja foi de 3% ao mês, sendo que os valores 
estão arredondados e que: (1,03)12 = 1,4258
(1,03)12 x 0,03 = 0,0428
0,4258/0,0428 = 9,95
O valor do vídeo game era de:
a) R$ 1.393
b) R$ 1.820
c) R$ 1.680
d) R$ 1.178
e) R$ 1.423
Resposta: Letra A.
Sendo PMT o valor da parcela e PV o valor presente, usa-
remos o sistema de amortização PRICE, por ser parcelas 
fixas:
4. (TST – ANALISTA JUDICIÁRIO – FCC/2017) Um in-
vestidor aplicou R$ 10.000,00 em títulos que remuneram à 
taxa de juros compostos de 10% ao ano e o prazo para res-
gate da aplicação foi de 2 anos. Sabendo-se que a inflação 
no prazo total da aplicação foi 15%, a taxa real de remune-
ração obtida pelo investidor no prazo total da aplicação foi 
a) 5,00%. 
b) 6,00%. 
c) 5,22%. 
d) 5,00% (negativo). 
e) 4,55%.
Resposta: Letra C.
Sendo i a taxa de juros nominal
R a taxa de juros real
J a taxa de juros de inflação
1+i=(1+r)(1+j)
(1+0,1)²=(1+r)⋅(1+0,15)
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1,1²=(1+r) ⋅1,15
1,21=1,15+1,15r
0,06=1,15r
R=0,05217≅0,0522=5,22%
5. (TST - ANALISTA JUDICIÁRIO - FCC/2017) Uma em-
presa obteve um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 
para ser liquidado em uma única parcela no final do prazo 
de 2 meses. A taxa de juros compostos negociada foi 3% 
ao mês e a empresa deve pagar, adicionalmente, na data da 
obtenção do empréstimo, uma taxa de cadastro no valor 
de R$ 1.000,00. Na data do vencimento do empréstimo a 
empresa deve pagar, junto com o valor que pagará à insti-
tuição financeira, um imposto no valor de R$ 530,00. O cus-
to efetivo total para a empresa no prazo do empréstimo, foi 
a) 7,70%. 
b) 6,09%. 
d) 7,62%. 
d) 6,00%. 
e) 7,16%.
Resposta: Letra A.
M=C(1+i)t
M=100000(1+0,03)²=106090
Como teve uma taxa de 1000, a empresa recebeu então 
99000
A empresa teve eu pagar 106090+530=106620
106620=99000(1+i)
106620=99000+99000i
7620=99000i
I=0,0769=7,69%
6. (TRE/PR - ANALISTA JUDICIÁRIO - FCC/2017) A 
Cia. Ted está avaliando a alternativa de compra de um novo 
equipamento por R$ 480.000,00 à vista. Estima-se que a vida 
útil do equipamento seja de 3 anos, que o valor residual de 
revenda no final do terceiro ano seja R$ 70.000,00 e que os 
fluxos líquidos de caixa gerados por este equipamento ao 
final de cada ano sejam R$ 120.000,00, R$180.000,00 e R$ 
200.000,00, respectivamente. Sabendo que a taxa mínima 
de atratividade é de 10% a.a., a alternativa 
a) apresenta valor presente líquido positivo. 
b) apresenta valor presente líquido negativo. 
c) apresenta taxa interna de retorno maior que 10% a.a. 
d) é economicamente viável à taxa mínima de atratividade 
de 10% a.a.. 
e) é economicamente viável à taxa mínima de atratividade 
de 12% a.a..
Resposta: Letra B.
VPL = valor presente das entradas – valor presente das 
saídas
7. (FUNAPE – ANALISTA EM GESTÃO PREVIDENCIÁ-
RIA – FCC/2017) Um empréstimo foi contratado com uma 
taxa nominal de juros de 6% ao trimestre e com capitaliza-
ção mensal. A taxa efetiva desse empréstimo é igual a 
(A) 6,2302%. 
(B) 6,3014%. 
(C) 6,1385%. 
(D) 6,2463%. 
(E) 6,1208%.
Resposta: Letra E.
Temos que transformar os 6% ao trimestre em capitali-
zação mensal
6/3=2%a.m
1,02³=1,061208=6,1208%
8. (TRE/BA – TÉCNICO JUDICIÁRIO – CESPE/2017) Um 
banco emprestou a uma empresa R$ 100.000, entregues no 
ato, sem prazo de carência, para serem pagos em quatro 
prestações anuais consecutivas pelo sistema de amortiza-
ção constante (SAC). A taxa de juros compostos contratada 
para o empréstimo foi de 10% ao ano, e a primeira presta-
ção será paga um ano após a tomada do empréstimo.
Nessa situação, o valor da segunda prestação a ser paga 
pela empresa será
a) superior a R$ 33.000.
b) inferior a R$ 30.000.
c) superior a R$ 30.000 e inferior a R$ 31.000.
d) superior a R$ 31.000 e inferior a R$ 32.000.
e) superior a R$ 32.000 e inferior a R$ 33.000.
Resposta: Letra E.
SD=100000
A=100000/4=25000
J=(100000-25000)⋅0,1
J=7500
P=A+J
P=25000+7500=32500
9. (EMBASA – CONTADOR – IBFC/2017) Um clientefez 
um empréstimo no valor de R$ 2.000,00 no Banco ABC em 
31/12/2013 para reaplicar em um investimento em sua em-
presa. A taxa de juros cobrada pelo Banco era de 10% ao ano. 
Após um ano, em 31/12/2014, o fluxo de caixa da empresa 
foi de R$ 1.100,00. Após dois anos, em 31/12/2015, o fluxo de 
caixa da empresa foi de R$ 1.210,00 e em 31/12/2016, após 
três anos, o fluxo de caixa da empresa foi de R$ 1.331,00.
O valor presente líquido dos valores do fluxo de caixa, trazi-
dos a valor presente em 31/12/2013, era de:
a) R$ 1.100,00
b) R$ 1.000,00
c) R$ 2.210,00
d) R$ 2.331,00
Resposta: Letra B.
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10.(DPE/PR – CONTADOR – INAZ DO PARÁ/2017) Um comerciante recebeu, no meio do mês, uma excelente oferta de 
compra de material para sua empresa no valor de R$8.000,00. No entanto, por estar desprovido de recursos, precisou tomar 
um empréstimo junto ao seu banco, em parcelas de 15 vezes a uma taxa de juros 2,5% a.m. Determine o valor da última 
prestação do empréstimo, lembrando que o Sistema de financiamento usado é o SAC.
a) R$ 533,33 
b) R$ 733,33 
c) R$ 653,33 
d) R$ 560,00 
e) R$ 546,67
Resposta: Letra E.
8000/15 = 533,33
Portanto, a última parcela será de 533,33⋅1,025=546,66
FUNÇÕES: A) DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM.; B) RAIZ DE UMA FUNÇÃO.;C) FUNÇÕES 
INJETORAS, SOBREJETORAS E BIJETORAS.;D) FUNÇÕES CRESCENTES, DECRESCENTES E 
CONSTANTES.;E) FUNÇÕES COMPOSTAS E INVERSAS.; FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO QUADRÁTICA: 
A) GRÁFICO, DOMÍNIO, IMAGEM E CARACTERÍSTICAS.; B) VARIAÇÕES DE SINAL.; C) MÁXIMOS E 
MÍNIMOS. D) RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. E) INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO 
QUOCIENTE.
Função do 1˚ Grau
1. Conceitos Fundamentais sobre Funções
Uma função é uma relação entre dois conjuntos A e B de modo que cada elemento do conjunto A está associado a um 
único elemento de B. Sua representação matemática é bem simples:
y=f(x):A→B
Onde y são os elementos do conjunto B e x são os elementos do conjunto A. f(x) é a chamada “função de x”, que basi-
camente é uma expressão matemática que quantifica o valor de y, dado um valor de x. Outra maneira de representarmos 
uma função é através de um modelo esquemático:
Neste modelo esquemático, temos o conjunto A sendo representado a esquerda e o conjunto B sendo representado a 
direita, mostrando a relação de função entre eles. A partir destas definições, podemos definir 3 conceitos fundamentais das 
funções: Domínio, Contradomínio e Imagem.
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1.1 Domínio
O domínio da função, ou domínio de f(x), é o conjunto 
de todos os valores que podem ser atribuídos a x, ou seja, 
todos os elementos do conjunto A.
1.2. Contradomínio
O contradomínio da função, ou contradomínio de f(x), 
são todos os valores possíveis que podem ser atribuídos a 
y, ou seja, trata-se do conjunto B,
1.3. Imagem
A imagem de uma função, ou imagem de f(x), é um sub-
conjunto do contradomínio que contém apenas os valores 
de y que tiveram algum elemento de x associado.
Usando o diagrama esquemático representado ante-
riormente, podemos descrever as 3 definições nele:
Domínio: Todos os valores de A: f(x):Dom={2,4,7,10}
Contradomínio: Todos os valores de B: f(x):ContraDom= 
{0,4,8,10,12,16}
Imagem: Todos os valores de B que tiveram associação 
com A: f(x):Imagem={0,4,10,16}
Observe que o elemento “8” do conjunto B não per-
tence a imagem, pois não há nenhum valor do conjunto A 
associado a ele.
FIQUE ATENTO!
Nem sempre a imagem e o contradomínio te-
rão o mesmo tamanho! 
Função crescente: A função f(x), num determinado in-
tervalo, é crescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes a 
este intervalo, com com x1<x2, tivermos f(x1 )<f(x2 ).
Função decrescente: Função f(x), num determinado in-
tervalo, é decrescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencen-
te a este intervalo, com x1<x2, tivermos f(x1 )>f(x2 ).
Função constante: A função f(x), num determinado in-
tervalo, é constante se, para quaisquer x1<x2 , tivermos f(x1) 
= f(x2).
1.4. Representação Gráfica
A função f(x) pode ser representada no plano cartesia-
no, através de um par ordenado (x,y). O lugar geométrico 
dos pares ordenados para os quais x∈Dom e y∈Imagem 
formam, no plano cartesiano, o gráfico da função. Um 
exemplo de plano cartesiano é apresentado abaixo:
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A apresentação de uma função por meio de 
seu gráfico é muito importante, não só na 
Matemática como nos diversos ramos dos 
estudos científicos.
#FicaDica
2. Função do 1º Grau
As funções de 1° grau, conhecidas também como fun-
ções lineares, são expressões matemáticas onde a variável 
independente x possui grau igual a 1 e não está no deno-
minador, em outras palavras, a forma geral de uma função 
de primeiro grau é a seguinte:
f(x)=ax+b a≠0
Onde “a” e “b” são números reais e são denominados 
respectivamente de coeficientes angular e linear. Nas fun-
ções de primeiro grau, tanto o domínio, contradomínio e 
imagem são todos os números reais, uma vez que não há 
nenhum tipo de restrição de valor nas mesmas. 
2.1. Zeros da Função do 1º grau:
Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b 
o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para que 
y seja igual à zero.
Assim, para achar o zero da função y = ax + b, basta 
resolver a equação ax + b = 0
Ex:
Determinar o zero da função: y = 2x – 4.
O zero da função y = 2x – 4 é 2.
2.2. Gráfico da Função do 1º Grau
A forma desta função, como o próprio nome diz, será 
linear ou uma reta, e terá três tipos:
a) Crescente: a> 0
Quando o coeficiente angular da função for positivo, os 
valores de y aumentarão quando o valor de x também au-
mentar. A representação gráfica dos três posicionamentos 
desta reta, em função do valor de b, está abaixo:
 
b) Decrescente: 
A representação gráfica dos três posicionamentos desta 
reta, em função do valor de b, está abaixo:
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c) Constante: 
Algumas referências não tratam a função constante 
como uma função linear e na teoria, realmente ela não é. 
Entretanto, como sua forma também é uma reta e trata-se 
de um caso específico do valor de a, colocamos nesta se-
ção para ficar de maneira mais didática ao leitor. A repre-
sentação gráfica dos três posicionamentos desta reta, em 
função do valor de b, está abaixo:
 
2.3. Estudo do sinal da função do 1º grau
Estudar o sinal da função do 1º grau é 
determinar os valores reais de x para que:
- A função se anule (y = 0);
- A função seja positiva (y > 0);
- A função seja negativa (y < 0).
Ex:
Estudar o sinal da função .
a) Qual o valor de x que anula a função?
A função se anula para .
b) Quais valores de x tornam positiva a função?
A função é positiva para todo x real maior que 2.
c) Quais valores de x tornam negativa a função?
A função é negativa para todo x real menor que 2.
Podemos também estudar o sinal da função por meio 
de seu gráfico:
- 
- Para x = 2 temos y = 0;
- Para x > 2 temos y > 0;
- Para x < 2 temos y < 0.
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EXERCÍCIO COMENTADO
1. Determine o domínio das funções reais apresentadas 
abaixo.
a) 
b) 
c) 
Resposta:
a) Domínio = 
b) Domínio = 
c) Domínio = 
Função do 2˚ Grau
Chama-se função do 2º grau ou função quadrática toda 
função de em definida por um polinômio do 2º 
grau da forma com a , b e c reais 
e . O gráfico de uma função do 2º grau é uma pa-
rábola.
Exs:
1. Zeros da Função do 2º grau
As raízes ou zeros da função quadrática 
 são os valores de x reais tais que 
 e, portanto, as soluções da equação do 2º grau.
A resolução de uma equação do 2º grau é feita utilizan-
do a fórmula de Bháskara como já visto.
FIQUE ATENTO!
As raízes (quando são reais), o vértice e a in-
tersecção com o eixo y são fundamentais para 
traçarmos um esboço do gráfico de uma fun-
ção do 2º grau.
1.1. Concavidade da Parábola
No caso das funções do 2º grau, a parábola pode ter 
sua concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para 
baixo (a < 0).
 a> 0 a<0
1.2. Coordenadas do vértice da parábolaA parábola que representa graficamente a função do 2º 
grau apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que 
intercepta o gráfico num ponto chamado de vértice.
As coordenadas do vértice são:
 e 
 Vértice (V)
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O Conjunto Imagem de uma função do 2º grau está associado ao seu ponto extremo, ou seja, à ordenada do vértice 
( ).
Ex:
Vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola da seguinte função quadrática: .
Cálculo da abscissa do vértice:
Cálculo da ordenada do vértice:
Substituindo x por 4 na função dada:
Logo, o ponto V, vértice dessa parábola, é dado por V .
Como observado, a ordenada do vértice (
) pode ser calculada de duas formas distintas: 
substituindo o valor de na função ou usando a 
fórmula dada anteriormente . Cos-
tuma-se utilizar a primeira forma (apresentada 
no exemplo) por exigir menos cálculos e com 
isso ganha-se tempo na prova. Mas fica a cargo 
do aluno qual forma utilizar. Para fins ilustrati-
vos, vamos encontrar o utilizando a fórmula:
 
 que é idêntico 
(como não poderia deixar de ser) ao valor en-
contrado anteriormente.
#FicaDica
1.3. Domínio e Imagem da função do 2º grau
O domínio de uma função do 2º grau é o conjunto dos números reais, ou seja Dom= 
Como visto acima, a imagem de uma função do 2º grau está diretamente relacionada à ordenada do vértice ( ).
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Para a > 0 → Im = y ∈ ℝ y ≥ yV}
Para a < 0 → Im = y ∈ ℝ y ≤ yV}
1.4. Representação gráfica – diferentes casos
Para sabermos a posição e orientação desta parábola, 
precisaremos além de analisar o sinal do discriminante, te-
remos que analisar também o sinal do coeficiente “a”. Ve-
jam os casos:
a) a > 0 e Δ > 0 : Neste caso, teremos a “boca” da 
parábola apontada para cima, e como temos duas raízes 
distintas, a mesma cruza duas vezes no eixo x. Além disso, 
o vértice da parábola caracteriza-se pelo ponto de mínimo 
da mesma. Seguem as representações para duas raízes po-
sitivas, uma positiva e outra negativa, e as duas negativas, 
respectivamente:
b) a < 0 e Δ > 0 : Neste caso, temos a “boca” da parábo-
la apontada para baixo, e como temos duas raízes distintas, 
a mesma cruza duas vezes no eixo x. Além disso, o vértice 
da parábola caracteriza o ponto de máximo da mesma. Se-
guem as representações para as duas raízes positivas, uma 
positiva e outra negativa, e as duas negativas, respectiva-
mente:
c) a > 0 e Δ = 0 : Neste caso, a “boca” da parábo-
la segue apontada para cima, mas a mesma toca o eixo x 
apenas uma vez, já que a raízes são idênticas. Além disso, o 
vértice desta parábola é exatamente o ponto de tangência, 
a figura a seguir apresenta os casos para a raiz positiva e 
negativa respectivamente:
d) a < 0 e Δ = 0 : Neste caso, a “boca” da parábola 
segue apontada para baixo, mas a mesma toca o eixo x 
apenas uma vez, já que a raízes são idênticas. Além disso, o 
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vértice desta parábola é exatamente o ponto de tangência, 
a figura a seguir apresenta os casos para a raiz positiva e 
negativa respectivamente:
e) a > 0 e Δ = 0 : Neste caso, não há raízes (a pará-
bola não toca e nem cruza o eixo x). A “boca” da parábola 
segue para cima e as figuras a seguir apresentam os grá-
ficos para vértices com coordenada x positiva e negativa 
respectivamente:
f) a < 0 e Δ = 0 : Neste caso, não há raízes (a pará-
bola não toca e nem cruza o eixo x). A “boca” da parábola 
segue para baixo e as figuras a seguir apresentam os grá-
ficos para vértices com coordenada x positiva e negativa 
respectivamente:
1.5. Valor máximo e valor mínimo da função do 2º 
grau
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem or-
denada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de 
mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo 
da função;
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem 
ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto de má-
ximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da 
função.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. Dada a função parabólica a < 0 e Δ = 0 , determine as 
coordenadas do vértice, V.
Resposta: As coordenadas do seu vértice podem ser en-
contradas através de:
xv = – b
 2a
yv = – Δ
 4a
Logo, 
xv = −
−1
2 � 1 =
1
2
yv = −
−1 2 − 4 � 1 � 0
4 � 1 = −
1
4
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Portanto: 
V =
1
2 ,−
1
4 .
2. (UFSCAR–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de 
meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua 
trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥0) , 
onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em 
metros da bola no instante t. Determine, apos o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura atingida pela bola.
Resposta:
a) Houve dois momentos em que a bola tocou o chão: 
o primeiro foi antes de ela ser chutada e o segundo foi 
quando ela terminou sua trajetória e retornou para o 
chão. Em ambos os momentos a altura h(t) era igual a 
zero, sendo assim:
h(t) = – 2t² + 8t
0 = – 2t² + 8t
2t² – 8t = 0
2t.(t – 4) = 0
t’ = 0
t’’ – 4 = 0
t’’ = 4
Portanto, o segundo momento em que a bola tocou no 
chão foi no instante de quatro segundos.
b) A altura máxima atingida pela bola é dada pelo vér-
tice da parábola. As coordenadas do seu vértice podem 
ser encontradas através de:
xv = – b
 2a
yv = – Δ
 4a
No caso apresentado, é interessante encontrar ape-
nas yv:
yv = – Δ
 4a
yv = – (b² – 4ac)
 4a
yv = – (8² – 4 (–2)0)
 4 (– 2)
yv = – (64 – 0)
 – 8
yv = 8
Portanto, a altura máxima atingida pela bola foi de 8 
metros.
FUNÇÃO MODULAR
1. Módulo
As funções modulares são desenvolvidas através de um 
operador matemático chamado de “Módulo”. Sua definição 
está apresentada abaixo:
x = � 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 −𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
Sua representação é através de duas barras verticais e 
lê-se “Módulo de x”. 
Módulo também conhecido como valor 
absoluto pode ser entendido como uma 
distância e por isso |x|<0 não existe para todo 
x.
Ex: |3| = 3 e |-3| = 3.
#FicaDica
1.1. Função Modular
A função modular, segue a mesma representação, tro-
cando apenas x por f(x):
f(x) = � 𝑓 x ,𝑠𝑒 𝑓 x ≥ 0 −𝑓 x ,𝑠𝑒 𝑓 x ≤ 0
FIQUE ATENTO!
A representação gráfica será feita através de 
duas retas, dependendo de como é a forma de 
f (x). 
Abaixo segue alguns exemplos:
Ex: 
Desenhar o gráfico de f x = |x|
Resolução: O gráfico de f x = |x| forma uma ponta 
na origem e segue uma reta espelhada tanto para o sentido 
positivo quanto para o negativo:
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Ex: 
Desenhar o gráfico de f x = |x− a
Resolução: Quando há um termo subtraindo o valor de x dentro do módulo, o gráfico original acima se desloca, com a 
“ponta” se movendo para a coordenada “a”. Seguem os dois casos, para a > 0 e a < 0 respectivamente:
1.2. Equações modulares
As equações modulares são funções modulares igualadas a algum número ou expressão. Ela será resolvida decompon-
do a mesma em dois casos, com domínios pré-determinados. Este tipo de solução é apresentada no Exercício Comentado 
1, a seguir:
EXERCÍCIO COMENTADO
1. Resolva x − 3 = 7
Resolução: Conforme foi mencionado, vamos resolver dois casos, usando a definição de módulo:
x − 3 = 7 , para x− 3 ≥ 0
− x − 3 = 7 , para x− 3 ≤ 0
Resolvendo:
x = 7 + 3 = 10, para x ≥ 3
– x + 3 = 7 ⇔ x = −4, para x ≤ 3
Observe que as duas soluções estão dentro dos domínios pré-estabelecidos, assim: S={-4,10}
2. (PREF. OSASCO-SP – ATENDENTE – FGV/2014) Assinale a única função, dentre as opções seguintes, que pode estar 
representada no gráfico a seguir: 
a) y = 1 – |x – 1|;
b) y = 1 – |x + 1|;
c) y = 1 + |x – 1|;
d) y = 1 + |x + 1|;
e) y = |x – 1| + |x + 1|.
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Resposta: Letra A.
Pelo gráfico se x = 0 implica em y = 0, se x = 2 implica em y = 0 e se x = 1 implica em y=1. Analisando o itens acima, 
verifica-se que essas condições são satisfeitas se y = 1 – |x – 1|. Logo, a resposta correto é a letra a.
FUNÇÃO EXPONENCIAL A) GRÁFICO, DOMÍNIO, IMAGEM E CARACTERÍSTICAS. B) EQUAÇÕES E 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS.
FUNÇÃO EXPONENCIALA função exponencial, como o nome mostra, é uma função onde a variável independente é um expoente:
Com “a” sendo um número real. Possui dois tipos básicos, quando a > 1 (crescente) e 0 < a < 1 (decrescente). 
As figuras a seguir apresentam seus respectivos gráficos:
É importante ressaltar que o gráfico da função exponencial (na forma que foi apresentado) não toca o eixo , 
pois a função com é sempre positiva.
#FicaDica
1. Equações exponenciais
As equações exponenciais são funções exponenciais relacionadas a números ou expressões. O princípio fundamental 
para a resolução das mesmas é lembrar que dois expoentes serão iguais se as respectivas bases também forem iguais, 
sigam os exemplos abaixo:
Ex: 
Resolva 3x = 27
Resolução: Seguindo o princípio que bases iguais terão expoentes iguais, temos que lembrar que 27 = 33 , assim:
3x = 33
x = 3
S = {3}
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EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. Resolva 22x = 1024
Resposta:
Utilizando as propriedades de potenciação, tem-se:
𝟐𝟐𝐱 = 𝟐𝟏𝟎
𝟐𝐱 = 𝟏𝟎
Portanto, a solução da equação exponencial é x=5.
2.(CONED-2016) Qual a soma das raízes ou zeros da função exponencial abaixo:
22x−3 − 3 � 2x−1 + 4 = 0
a) 5
b) 4
c) 6
d) 8
e) -6
Resposta: Letra A.
22x−3 − 3 � 2x−1 + 4 = 0
22x
23 −
3 � 2x
2 + 4 = 0
2x 2
23 −
3 � 2x
2 + 4 = 0
Faz-se a substituição 2x = y pra obter uma equação de segundo grau
y2
8 −
3y
2 + 4 = 0
Multiplicando a equação por 8
y2 − 12y + 32 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau:
Δ = −12 2 − 4 � 1 � 32 = 144 − 128 = 16
Assim, �2
x = 4 → 2x = 22 → x1 = 2
2x = 8 → 2x = 23 → x2 = 3
Portanto, a soma das raízes é igual a 2+3=5.
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA A) DEFINIÇÃO DE LOGARITMO, PROPRIEDADES OPERATÓRIAS E 
MUDANÇA DE BASE. B) GRÁFICO, DOMÍNIO, IMAGEM E CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO 
LOGARÍTMICA. C) EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
As funções logarítmicas tem como base o operador matemático log:
f x = logax , com a > 0, a ≠ 1 e x > 0
FIQUE ATENTO!
Observe que há restrições importantes para os valores de (logaritmando) e (base) e será essas restrições que 
poderá determinar o conjunto solução das equações logarítmicas. 
O gráfico da função logarítmica terá dois formatos, baseado nos possíveis valores de a. Será crescente quando e de-
crescente quando :
1. Equações Logarítmicas
As equações logarítmicas adotarão um princípio semelhante as equações exponenciais. Para se achar o mesmo logarit-
mando, dois logaritmos deverão ter a mesma base ou vice-versa. Ressalta-se apenas que as condições de existência de um 
logaritmo devem ser respeitadas. Veja o exemplo:
Ex: 
Resolva log2 x − 2 = 4
Primeiramente, será importante transformar o número 4 em um log. Como a base do log que contém x é dois, vamos 
transformar 4 em um log na base 2 da seguinte forma:
log216 = 4
Igualando isso a equação:
log2 x − 2 = log216
Bases iguais, logaritmandos iguais:
4x + 2 = 3x + 3
→ 4x − 3x = 3− 2
→ x = 1
#FicaDica
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EXERCÍCIO COMENTADO
1. (FUNDEP-2014) O conjunto solução da equação log 4x + 2 = log 3x + 3 é:
a) S={1}
b) S= {2}
c) S= {3}
d) S= {4}
e) S= {5}
Resposta: Letra A.
Como as bases são iguais, os logaritmandos devem ser iguais. Portanto, pode-se escrever: 
4x + 2 = 3x + 3
→ 4x − 3x = 3 − 2
→ x = 1
TRIGONOMETRIA A) TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. B) TRIGONOMETRIA 
NUM TRIÂNGULO QUALQUER.
C) UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS: GRAUS E RADIANOS.
D) CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO, RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS, REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE.
E) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO, COSSENO E TANGENTE; RELAÇÕES E IDENTIDADES.
F) FÓRMULAS DE ADIÇÃO DE ARCOS E ARCOS DUPLOS.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Definiremos algumas relações e números obtidos a partir dos lados de triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos 
revisar seus conceitos básicos. A figura abaixo apresenta um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de medida 
90º ou 
2
π
rad), o que nos permite classificá-lo como um triângulo retângulo.
 
Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo, a soma dos seus três ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito 
do triângulo ABC apresentado, dizemos que:
α + β + 90° = 180° → α + β = 90°
Com isso, podemos concluir:
a) Que os ângulos α e β são complementares, isto é, são ângulos cujas medidas somam 90º;
b) Uma vez que são complementares ambos terão sempre medida inferior a 90º, ou seja, serão ângulos agudos.
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FIQUE ATENTO!
Dizemos que todo triângulo retângulo tem 
um ângulo interno reto e dois agudos, 
complementares entre si. 
Vale lembrar que a hipotenusa será sempre 
o lado oposto ao ângulo reto e, ainda, o 
lado maior do triângulo. Podemos relacioná-
los através do Teorema de Pitágoras, o qual 
enuncia que o quadrado sobre a hipotenusa 
de um triângulo retângulo é igual à soma dos 
quadrados sobre os catetos. 
#FicaDica
2. Seno, Co-seno e Tangente de um Ângulo Agudo
A figura abaixo ilustra um triângulo retângulo com suas 
medidas de lados:
De fato, as medidas de seus lados (3, 4 e 5 unidades de 
comprimento) satisfazem a sentença do teorema de Pitá-
goras: 52 = 32 + 42.
Agora, definiremos três importantes relações entre os 
lados do triângulo, aos quais chamaremos de seno, co-se-
no e tangente. Essas propriedades serão sempre relativas 
a um determinado ângulo, assim, precisaremos especificar 
de qual ângulo estamos falando. A expressão geral é apre-
sentada abaixo, com as abreviações as propriedades:
sen Ângulo =
cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
cos Ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
hipotenusa
tg Ângulo =
cateto oposto ao ângulo
cateto adjacente ao ângulo
A partir dessas definições, podemos calcular o seno, co-
-seno e tangente do ângulo α, do triângulo da figura:
sen α =
cateto oposto a α
hipotenusa
cos α =
cateto adjacente a α
hipotenusa
tg α =
cateto oposto a α
cateto adjacente a α
No caso de , o cateto oposto a ele será aquele que não 
forma o ângulo, ou seja, o segmento AC. Já o cateto adja-
cente será o cateto que junto com a hipotenusa, forma o 
ângulo, assim, ele será AB. Substituindo os valores:
sen α =
cateto oposto a α
hipotenusa =
3
5 = 0,6
cos α =
cateto adjacente a α
hipotenusa =
4
5 = 0,8
tg α =
cateto oposto a α
cateto adjacente a α =
3
4 = 0,75
2.1. Seno, Co-seno e Tangente dos Ângulos Notáveis
Uma vez definidos os conceitos de seno, co-seno e tan-
gente de ângulos agudos internos a um triângulo retân-
gulo, passaremos a determinar seus valores para ângulos 
de grande utilização em diversas atividades profissionais e 
encontrados facilmente em situações cotidianas.
Observemos, nas figuras abaixo, que a diagonal de um 
quadrado divide ângulos internos opostos, que são retos, 
em duas partes de 45 + o+, e que o segmento que define a 
bissetriz (e altura) de um ângulo interno do triângulo equi-
látero permite-nos reconhecer, em qualquer das metades 
em que este é dividido, ângulos de medidas 30o e 60o.
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Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da 
diagonal do quadrado e a altura h, do triângulo equilátero. 
Como já vimos as fórmulas na seção anterior de triângulos, 
vamos apenas indicar os valores:
d = a 2
h = l 32
Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior 
do quadrado tem catetos de medida 𝐚 2 e hipotenusa 𝐚 2
. Para o outro triângulo sombreado, teremos catetos e me-
didas 1
2 e 
l 3
2
 , enquanto sua hipotenusa tem comprimento 
1.
Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangen-
te dos ângulos de 30o, 45o e 60o.
2.2. Seno, Co-seno e Tangente de 30° e 60°.
Tomando por base o triângulo equilátero da figura aci-
ma, e conhecendo as medidas de seus lados, temos:
sen 30° =
cateto oposto a 30°
hipotenusa =
l/2
l =
1
2
cos 30° = cateto adjacente a 30°hipotenusa =
l 3
2
l =
3
2
tg 30° = cateto oposto a 30°cateto adjacente a 30° =
l/2
l 3
2
= 33
E 
cos 60° = cateto adjacente a 60°hipotenusa =
l
2
l =
1
2
tg 60° = cateto oposto a 60°catetoadjacente a 60° =
l 3
2
l
2
= 3
Observação Importante: Observe que os ângulos de 30° 
e 60° são complementares, e isso provoca a troca dos va-
lores de seno e cosseno. Já a tangente, temos exatamente 
o valor inverso.
2.3. Seno, Co-seno e Tangente de 45°
A partir do quadrado representado na figura acima, de 
lado a e diagonal 𝐚 2 , podemos calcular:
tg 45° =
cateto oposto a 45°
cateto adjacente a 45° =
a
a = 1
Note que o ângulo de 45° tem valores iguais de seno 
e cosseno, o que implica em uma tangente igual a 1. Isso 
se deve pois o complementar deste ângulo é ele mesmo.
Os resultados que obtivemos nos permitem definir, a 
seguir, uma tabela de valores de seno, co-seno e tangente 
dos ângulos notáveis, que nos será extremamente útil.
30o 45o 60o
sen 1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg 3
3
1
2
3
3. O círculo trigonométrico
Definidas principais propriedades e o ângulos notáveis, 
podemos expandir essa análise para todos os ângulos de 
um círculo, indo de 0 a 360° ou de 0 a 2π rad. Para isso, 
usamos o circulo trigonométrico apresentado a seguir:
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Nele, podemos ver a divisão do círculo em quadrantes e em cada quadrante, podemos ver as posições do seno e cos-
seno dos ângulos. É importante memorizar os sinais dos senos e cossenos, pois eles se alteram conforme mudamos de 
quadrante.
Também é importante notar os limites de valores para o seno e cosseno. Para qualquer ângulo x, os valores de seno e 
cosseno estarão sempre entre -1 e 1 e isto está representado nos valores para os ângulos de 0,
π
2 ,π,
3π
2 e 2π
4. Outras Razões Trigonométricas – Co-tangente, Secante e Co-secante
Além das razões com que trabalhamos até aqui, são definidas a co-tangente, secante e co-secante de um ângulo agudo 
de triângulo retângulo através de relações entre seus lados, como definimos a seguir, com suas respectivas abreviações
cotg Ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
cateto oposto ao ângulo
sec Ângulo = hipotenusacateto adjacente ao ângulo
cossec Ângulo = hipotenusacateto oposto ao ângulo
Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento que apresentamos anteriormente, 
temos para o ângulo α:
cotg α =
cateto adjacente a α
cateto oposto a α =
4
3
sec α = hipotenusacateto adjacente a α =
5
4
cossec α = hipotenusacateto oposto a α =
5
3
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5. Identidades Trigonométricas
É comum a necessidade de obtermos uma razão 
trigonométrica, para um ângulo, a partir de outra razão 
cujo valor seja conhecido, ou mesmo simplificar expressões 
extensas envolvendo várias relações trigonométricas para 
um mesmo ângulo. Nesses casos, as identidades trigono-
métricas que iremos deduzir neste tópico são ferramentas 
de grande aplicabilidade.
Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade 
verdadeira para quaisquer valores a elas atribuídos, desde 
que verifiquem as condições de existência de expressão.
Vamos iniciar então, mostrando um triângulo retângulo 
qualquer:
Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pi-
tágoras, obtemos a seguinte igualdade:
b2 + c2 = a2
Dividindo os seus membros por , não alteraremos a 
igualdade. Assim, teremos:
b2
a2 +
c2
a2 =
a2
a2 →
b
a
2
+
c
a
2
= 1
Se utilizarmos as relações trigonométricas que defi-
nimos (seno, cosseno e tangente), podemos simplificar a 
expressão de duas maneiras possíveis, em função de ou :
sen2α + cos2 α = 1
ou
cos2 β + sen2β = 1
Logo, como sempre teremos a soma dos quadrados de 
seno e co-seno de um ângulo. Essa identidade valerá para 
qualquer ângulo x: 
sen2x + cos2 x = 1
Essa relação, é conhecida como relação fundamental da 
trigonometria.
Façamos agora outro desenvolvimento. Tomemos um 
dos ângulos agudos do triângulo ABC, da figura. Por exem-
plo, α. Dividindo-se sen α por cos α, obtemos:
sen α
cosα =
b a⁄
c a⁄ =
b
c = tg α
De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se 
tomar o ângulo β. Dizemos, portanto, que, para um ângulo 
x, cujo cosseno não será nulo:
tg x =
sen x
cos x
Podemos observar, também, que a razão b
c
, que re-
presenta tg α , se invertida (passando a c
b
), vem a consti-
tuir cotg α . Em virtude disso, e aproveitando a identidade 
enunciada anteriormente, podemos dizer que, para todo 
ângulo x de seno não-nulo:
cotg x =
1
tg x =
cos x
sen x
Tais inversões ocorrem também e se tratando das re-
lações seno, co-seno, secante e co-secante. Vejamos que:
e
Teríamos encontrado inversões análogas se utilizás-
semos o ângulo β. Assim, essas relações também valerão 
para qualquer ângulo x, desde que seja respeitada a condi-
ção de os denominadores dos segundos membros dessas 
identidades não serem nulos.
Aplicando essas relações no teorema de Pitágoras, chega-
mos as outras duas importantes identidades trigonométricas:
tg2x + 1 = sec2 x
cotg2x + 1 = cosec2 x
6. Adição e Subtração de Arcos
Outras identidades trigonométricas estão relacionadas 
a operações com ângulos. As fórmulas a seguir foram de-
duzidas para facilitar algumas operações matemáticas. Se-
jam e ângulos quaisquer. Temos que:
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Seno da Soma: sen α + β = sen α � cosβ+ sen β � cosα
Seno da Diferença: sen α − β = senα � cosβ− sen β � cosα
Cosseno da Soma: cos α + β = cosα � cosβ− sen α � sen β
Cosseno da Diferença: cos α − β = cosα � cosβ+ sen α � sen β
Tangente da Soma: tg α + β = tg α+tg β1−tgα � tgβ
Tangente da Diferença: tg α − β = tg α−tg β1+tgα.tg β
Dessas fórmulas, podemos deduzir uma variação importante, que são as fórmulas dos arcos duplos:
sen 2θ = 2 � sen θ � cosθ
cos2θ = cos2 θ − sen ²θ
EXERCÍCIO COMENTADO
1. Dado o triângulo a seguir, obtenha os valores dos catetos. Utilize 3 = 1,7
a) 10 e 7,5
b) 5 e 8,5
c) 5 e 5
d) 8,5 e 7,5
e) 7,5 e 7,5
Resposta: Letra B. Basta calcular o seno e o cosseno de 30° e igualar aos valores de ½ e 3 2⁄ . Nem sempre os exercícios 
passarão os valores dos ângulos notáveis, é importante memorizar.
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2. Dado o triângulo a seguir, obtenha o valor da hipotenusa. Utilize 2 = 1,4
a) 4,8
b) 5,0
c) 5,5
d) 5,7
e) 6,0
Resposta: Letra D. Usando o cosseno de 45°, chega-se na resposta.
3. Assinale a alternativa que representa os valores de sen (75°) e cos (75°)
a) 6− 22 e
6+ 2
2
b) 6− 24 e
6+ 2
4
c) 6+ 24 e
6− 2
4
d) 6− 24 e
6+ 2
4
Resposta: Letra C. Usando a fórmula de soma de arcos para seno e cosseno e considerando que 75° = 30° + 45°:
ANÁLISE COMBINATÓRIA A) FATORIAL: DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES. B) PRINCÍPIO 
FUNDAMENTAL DA CONTAGEM. C) ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES.
CONTAGEM E ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. Princípio fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem permite quantificar situações ou casos de uma determinada situação ou evento. 
Em outras palavras, é uma maneira sistemática de “contar” a quantidade de “coisas”.
A base deste princípio se dá pela separação de casos e quantificação dos mesmos. Após isso, uma multiplicação de 
todos estes números é feita para achar a quantidade total de possibilidades. O exemplo a seguir irá ilustrar isso.
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Exemplo: João foi almoçar em um restaurante no centro 
da cidade, ao chegar no local, percebeu que oferecem 3 
tipos de saladas, 2 tipos de carne, 6 bebidas diferentes e 
5 sobremesas diferentes. De quantas maneiras distintas 
ele pode fazer um pedido, pegando apenas 1 tipo de cada 
alimento?
Resolução: O princípio da contagem depende 
fortemente de uma organização do problema. A sugestão 
é sempre organizar cada caso em traços e preenchendo 
a quantidade de possibilidades. Como temos 4 casos 
distintos (salada, carne, bebida e sobremesa), iremos fazer 
4 traços:
Agora, preencheremos a quantidade de possibilidades 
de cada caso:
Finalmente, multiplicamos os números:
Assim, João tem 180 possibilidades diferentes de se 
montar um prato.
2.Fatorial
Antes de definirmos casos particulares de contagem, 
iremos definir uma operação matemática que será utilizada 
nas próximas seções, o fatorial. Define-se o sinal de fatorial 
pelo ponto de exclamação,ou seja “ ! “. Assim, quando 
encontrarmos 2! Significa que estaremos calculando o 
“fatorial de 2” ou “2 fatorial”. A definição de fatorial está 
apresentada a seguir:
n! = n ∙ n − 1 ∙ n − 2 ∙ n − 3 … 3 ∙ 2 ∙ 1
Ou seja, o fatorial de um número é caracterizado pelo 
produto deste número e seus antecessores, até se chegar 
no número 1. Vejam os exemplos abaixo:
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
Assim, basta ir multiplicando os números até se chegar 
ao número 1. Observe que os fatoriais aumentam muito 
rápido, veja quanto é 10!:
10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3628800
Já estamos na casa dos milhões! Para não trabalharmos 
com valores tão altos, as operações com fatoriais são 
normalmente feitas por último, procurando fazer o maior 
número de simplificações possíveis. Observe este exemplo:
Calcule 10!7!
Resolução: Ao invés de calcular os valores de 7! e 10! 
separadamente e depois fazer a divisão, o que levaria 
muito tempo, nós simplificamos os fatoriais primeiro. Pela 
definição de fatorial, temos o seguinte:
10!
7! =
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
Observe que o denominador pode ser inteiramente 
cancelado, pois 10! Possui todos os termos de 7!. Essa é 
uma particularidade interessante e facilitará demais a 
simplificação. Se cancelarmos, restará apenas um produto 
de 3 termos:
10!
7! =
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720
Essa operação é muito mais fácil que calcular os fatoriais 
desde o começo!
Agora que sabemos o que é fatorial e como simplificá-
lo, podemos passar para os casos particulares de contagem: 
Permutações, Combinações e Arranjos.
3. Permutações
As permutações são definidas como situações onde o 
número de elementos é igual ao número de posições que 
podemos colocá-los. Considere o exemplo onde temos 5 
pessoas e 5 cadeiras alinhadas. Queremos saber de quantas 
maneiras diferentes podemos posicionar essas pessoas. 
Esquematizando o problema, chamando de P as pessoas e C 
as cadeiras:
Em problemas onde o número de elementos é igual ao 
número de posições, teremos uma permutação. A fórmula 
da permutação, considerando que não há repetição de 
elementos é a seguinte:
Pn = n!
Ou seja, para permutar 5 elementos em 5 posições, 
basta eu calcular o fatorial de 5:
P5 = 5! = 120
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Logo, eu posso posicionar as pessoas de 120 maneiras 
diferentes na fileira de cadeiras.
Observe que a fórmula da permutação é utilizada como 
não há repetição de elementos, mas e quando ocorre 
repetição? Neste caso, a fórmula da permutação terá uma 
complementação, para desconsiderar casos repetidos que 
serão contados 2 ou mais vezes se utilizarmos a fórmula 
diretamente.
O exemplo mais comum destes casos é o que 
chamamos de Anagrama. Os anagramas são permutações 
das letras de uma palavra, formando novas palavras, 
sem a necessidade de terem sentido ou não. Usando 
primeiramente um exemplo sem repetição, conte quantos 
anagramas podemos formar com o nome BRUNO.
Montando a esquematização:
Ou seja, temos que posicionar as letras nas 5 casas 
correspondentes e neste caso, é um problema de 
permutação sem repetição:
P5 = 5! = 120
Logo, podemos formar 120 anagramas com a palavra 
BRUNO. Agora, vamos olhar a palavra MARIANA. Ela possui 
7 letras, logo teremos 7 posições:
Entretanto, temos a repetição da letra A. Veja o que 
acontece quando montarmos um anagrama qualquer da 
palavra:
Não conseguimos saber qual letra “A” foi utilizada 
nas posições C1,C3 e C5. Se trocarmos as mesmas de 
posição entre si, ficaremos com os mesmos anagramas, 
caracterizando uma repetição. Assim, para saber a 
quantidade de anagramas com repetição, corrigiremos a 
fórmula da permutação da seguinte forma:
Pna =
n!
a!
Ou seja, calcula-se a permutação de “n” elementos com 
“a” repetições. Considerando que MARIANA tem 7 letras 
(n=7) e a letra “A” se repete 3 vezes, temos que:
P73 =
7!
3! =
 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
3 ∙ 2 ∙ 1 = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840
Assim, a palavra MARIANA tem 840 anagramas possíveis.
Outro exemplo para deixar este conceito bem claro, é 
quando temos dois elementos se repetindo. Por exemplo, 
calcule os anagramas da palavra TALITA:
Observe que a letra “T” repete 2 vezes e a letra “A” 
também repete duas vezes. Na fórmula da permutação 
com repetição, faremos duas divisões:
Pna,b =
n!
a! b!
Ou seja, se houver 2 ou mais elementos se repetindo, 
a correção é feita, dividindo pelas repetições de cada um. 
Como ambos repetem duas vezes:
P6
2,2 =
6!
2! 2! =
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 =
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3
2 ∙ 1 =
360
2 = 180
Assim, a palavra TALITA tem 180 anagramas.
4. Combinações
As combinações e os arranjos, que serão apresentados 
a seguir, possuem uma característica diferente da 
permutação. A diferença está no fato do número de 
posições ser MENOR que o número de elementos, ou seja, 
quando os elementos forem agrupados, sobrarão alguns. 
Veja este exemplo: De quantas maneiras podemos formar 
uma comissão de 3 membros, dentro os 7 funcionários de 
uma empresa?
Resolução: Este exemplo mostrará também como 
diferenciar combinação de arranjo. Logo de início, podemos 
ver que não se trata de um problema de permutação, 
pois temos 3 posições para 7 elementos. Para diferenciar 
combinação e arranjo, temos que verificar se a ordem 
de escolha dos elementos importa ou não. Neste caso, a 
ordem não importa, pois estamos escolhendo 3 pessoas e 
não importa a ordem que escolhemos elas pois a comissão 
será a mesma. Observe a esquematização:
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As pessoas foram chamadas pelas letras de A até G. Vamos supor que escolheremos as pessoas A,D e G mas em ordens 
diferentes:
É importante notar que as comissões ADG e GAD não possuem diferenças, já que as casas C1,C2 e C3 não possuem 
nenhuma particularidade descrita no enunciado. Assim, trata-se de um problema de combinação. A fórmula da combinação 
depende do número de elementos “n” e o número de posições “p”:
Cn,p =
n!
p! (n − p)!
No exemplo, temos 7 elementos e 3 posições, assim:
Cn,p =
n!
p! (n − p)! =
7!
4! 7 − 4 ! =
7!
4! .3! =
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =
7 ∙ 6 ∙ 5
3 ∙ 2 ∙ 1 = 7 ∙ 5 = 35
Ou seja, podemos formar 35 comissões distintas.
5. Arranjos
Os arranjos seguem a mesma linha da combinação, onde o número de elementos deve ser maior que o número de 
posições possíveis, mas com a diferença que a ordem de escolha dos elementos deve ser considerada. Vamos utilizar o 
mesmo exemplo descrito na combinação, mas com algumas diferenças:
De quantas maneiras podemos formar uma comissão de 3 membros, composta por um presidente, um vice-presidente 
e um secretário, dentro os 7 funcionários de uma empresa?
Observe que agora o enunciado classifica explicitamente as posições, e podemos montar o esquema da seguinte forma:
73
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
As posições agora foram classificadas de acordo com 
a posição que foi pedida no enunciado. Vamos observar 
agora o que acontece quando selecionando novamente as 
pessoas A,D e G:
Neste caso, as duas comissões são diferentes, pois 
em uma a pessoa A é presidente e na outra ela é vice-
presidente. Como a ordem importa, temos um problema 
de arranjo. A fórmula de arranjo é mais simples que a 
fórmula de combinação:
An,p =
n!
(n − p)!
Tomando n=7 e p = 3 novamente:
An,p =
n!
(n − p)! =
7!
7 − 3 ! =
7!
4! =
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7 ∙ 6 ∙ 5 = 210
Ou seja, é possível formar 210 comissões neste caso. 
Veja que o número é maior que o número da combinação. 
A razão é que comissões que antes eram repetidas na 
combinação, deixaram de ser no arranjo.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (IF-BA – Professor – AOCP/2016) Na sequência cres-
cente de todos os números obtidos, permutando-se os al-
garismos 1, 2, 3, 7, 8, a posição do número 78.312 é a :
a) 94ª
b) 95ª
c) 96ª
d) 97ª
e) 98ª
Resposta: Letra B.Deve-se contar todos os números an-
teriores a ele.Iniciando com 1_ _ _ _, temos 4! = 24 nú-
meros; iniciando com 2 _ _ _ _ temos outros 24 núme-
ros, assim como iniciando com 3_ _ _ _. Depois temos 
os números iniciados com “71_ _ _” que são 6 (3!), assim 
como os iniciados em “72_ _ _” e “73_ _ _”. Depois apa-
rece o iniciado com “781_ _” que são 2 números, assim 
como o “782 _ _”. O próximo já será o 78312. Somando: 
24+24+24+6+6+6+2+2=94. Logo, ele será o 95ª número.
2. Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos 
escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?
Resposta: Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmu-
la, quanto usando a princípio fundamental da contagem.
1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem.
Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos 
algarismos que irão compor a senha, então teremos a 
seguinte situação:
• 9 opções para o algarismo das unidades;
• 8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já 
utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
• 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utiliza-
mos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
• 6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que 
tirar os que já usamos anteriormente.
Assim, o número de senhas será dado por:
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3 024 senhas
2ª maneira: usando a fórmula
Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber 
que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 
1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula 
de arranjo.
Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 
4. Desta maneira, o cálculo será:
A9,4 =
9!
9− 4 ! =
9!
5! =
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
5! = 3024 senhas 
BINÔMIO DE NEWTON
1.Definição
Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da 
forma , sendo n um número natural. 
Ex: 3x − 2y 4 , onde a = 3x, b = −2y e n = 4 
Primeiramente, vamos desenvolver alguns binômios, 
variando o seu grau (exponente):
 
 
 
 
a + b 0 = 1 
a + b 1 = a + b 
a + b 2 = a2 + 2ab + b2 
a + b 3 = a3 + 3a
2
b + 3ab
2
 + b
3
 
a + b 4 = a4 + 4a
3
b + 6a
2b2 + 4ab
3
 + b
4
 
a + b 5 = a5 + 5a
4
b + 10a
3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 
Observe que, conforme o grau do binômio é aumen-
tado, a quantidade de termos aumenta, mas que certo 
padrão é seguido. Observando os coeficientes dos termos 
desenvolvidos, temos o seguinte padrão:
a + b 0 1
a + b 1 1 1
74
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
a + b 2 1 2 1
a + b 3 1 3 3 1
a + b 4 1 4 6 4 1
a + b 5 1 5 10 10 5 1
Esse padrão é conhecido como Triângulo de Pascal e 
pode ser expandido da seguinte forma: Os termos das pon-
tas (primeiro e último) serão sempre iguais a 1 e os termos 
interiores serão sempre a soma dos dois termos correspon-
dentes da linha anterior. Vamos desenvolver os coeficientes 
dos termos para , lembrando que ele terá 1 termo a mais:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 1
Com o primeiro e último termos iguais a 1, vamos agora 
efetuar as somas para encontrar os termos seguintes:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 1+5=6 1
Analogamente:
Terceiro termo:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 6 5+10=15 1
Quarto termo:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 6 15 5+10=15 1
Quinto termo:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 6 15 20 5+10=15 1
Sexto termo:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 6 15 20 15 5+1=6 1
Assim, seguindo o padrão de soma, consegue-se cons-
truir qualquer linha do triângulo. Expandindo até o expoen-
te 10, temos que:
Obviamente, se tivermos um expoente alto, gastaría-
mos muito tempo para montar todo o triângulo. Para resol-
ver este problema, os conceitos de fatorial são bem úteis. 
Relembrando a fórmula da combinação:
Cn,p =
n
p =
n!
p! n − p !
Temos que o triângulo de Pascal pode ser reescrito da 
seguinte forma:
Ou seja, dado o expoente, você tem o valor de “n”. O valor de 
“p” será em função de qual termo você deseja obter o coeficiente. 
Observe que se desejar o 5° termo de um binômio desen-
volvido, você terá p = 4, ou seja, não possui a mesma corres-
pondência direta que temos em cada linha com o valor de n.
2.Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton 
Agora que sabemos como obter cada coeficiente, falta 
responder se há algum padrão para os expoentes de “a” e 
“b” quando o binômio é desenvolvido.
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de 
a + b n , sendo um número natural, é dado por:
75
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
T
p+1 
= 
n
p ∙ a
n – p ∙ bp
Essa expressão pode obter qualquer termo de qualquer 
expoente de um determinado binômio. Basta aplicarmos 
adequadamente a fórmula, usando os valores de “n” e “p”, 
além de identificarmos quem são os termos “a” e “b”.
Ex: 4° termo de a + b 5
Aplicando a fórmula, temos então que p + 1 = 4 → p = 3 
e n=5:
T
4 
= 
5
3 ∙ a
5−3 ∙ b3 =
5!
3! 5 − 3 ! a
2b3 = 10a2b3
Se você observar os exemplos anteriores, verá que este 
é exatamente o valor do termo do desenvolvimento.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
 
1. Determine o 7º termo do binômio 2x + 1 9 .
Resposta: 672x
3
. Desenvolvendo o termo geral para 
a = 2x, b = 1, n = 9 e p + 1 = 7 → p = 6 , chega-se ao 
resultado.
2.Qual o termo médio do desenvolvimento de 2x + 3y
8
?
Resposta: 90720x
4y4 . Desenvolve-se o termo geral 
para a = 2x, b = 3y, n = 8 . Além disso, para n=8, o bi-
nômio desenvolvido terá 9 termos, portanto o termo do 
meio será o quinto termo, logo e p + 1 = 5 → p = 4.
3. Desenvolvendo o binômio 2x − 3y 3n , obtemos um po-
linômio de 16 termos. Qual o valor de n? 
Resposta: 5 Se o binômio desenvolvido possui 16 ter-
mos, seu grau será um dígito anterior a esse número, ou 
seja 15. Assim, 3n=15.
4. Determine o termo independente de x no desenvolvi-
mento de x + 1x 
6
..
Resposta: 20. Problema clássico de binômio de Newton, 
o termo independente será aquele onde os expoentes 
de e são iguais, pois neste caso o x se cancela, restando 
apenas números.
Para resolver, basta igualar os expoentes de “a” e “b” do 
termo geral: n-p=p→n=2p. . Resolvendo para a=x, b = 1x 
e n=6, temos p=3→p+1=4, ou seja, o termo indepen-
dente é o quarto termo do desenvolvimento.
PROBABILIDADE A) EXPERIMENTO 
ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL, EVENTO.
B) PROBABILIDADE EM ESPAÇOS 
AMOSTRAIS EQUIPROVÁVEIS. 
C) PROBABILIDADE DA UNIÃO E 
INTERSEÇÃO DE EVENTOS.
D) PROBABILIDADE CONDICIONAL.
E) EVENTOS INDEPENDENTES.
PROBABILIDADE
1. Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento
Em uma tentativa com um número limitado de 
resultados, todos com chances iguais, devemos considerar 
três definições fundamentais:
Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos 
resultados possíveis.
Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos 
resultados possíveis; será representado por S e o número 
de elementos do espaço amostra por n(S).
Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do 
espaço amostral; será representado por A e o número de 
elementos do evento por n(A). 
Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, 
portanto são eventos.
Ø = evento impossível.
S = evento certo.
2. Conceito de Probabilidade
As probabilidades têm a função de mostrar a chance 
de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer 
um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de 
um espaço amostral S≠Ø , é dada pelo quociente entre 
o número de elementos A e o número de elemento S. 
Representando:
P A =
n(A)
N(S)
Ex: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 
6, e observar o lado virado para cima, temos:
a) um espaço amostral, que seria o conjunto S 
{1,2,3,4,5,6}.. 
b) um evento número par, que seria o conjunto A1 = 
{2,4,6} C S.
c) o número de elementos do evento número par é 
n(A1) = 3.
d) a probabilidade do evento número par é 1/2, pois
P A =
n(A1)
N(S) =
3
6 =
1
2
76
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
3.Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não 
Vazio
a) Em um evento impossível a probabilidade é igual a 
zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 
1. Simbolicamente: P(Ø ) = 0 e P(S)= 1
b) Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ 
P(A) ≤ 1.
c) Se A for o complemento de A em S, neste caso P(A) 
= 1 - P(A)
4. Demonstração das PropriedadesConsiderando S como um espaço finito e não vazio, temos:
�A ∪ A
� = S
A ∩ A� = ∅
5.União de Eventos
Considere A e B como dois eventos de um espaço 
amostral S, finito e não vazio, temos:
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)↔
↔
n(A ∪ B)
n(S) =
n(A)
n(S) +
n(B)
n(S) −
n(A ∩ B)
n(S)
Logo: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
6. Eventos Mutuamente Exclusivos
Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão 
denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B 
= 0, portanto: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Quando os eventos 
A
1
, A
2
, A
3
, … , A
n de S forem, de dois em dois, sempre 
mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:
P(A
1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + . . . + P(An)
7. Eventos Exaustivos
Quando os eventos A
1
, A
2
, A
3
, … , A
n
 de S forem, 
de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão 
denominados exaustivos se:
A
1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …∪ An = S
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
A) POPULAÇÃO E AMOSTRA.
B) FREQUÊNCIA ABSOLUTA E FREQUÊNCIA 
RELATIVA.
C) MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: 
MÉDIA ARITMÉTICA, MÉDIA ARITMÉTICA 
PONDERADA, MEDIANA
E MODA.
ESTATÍSTICA
1.Definições Básicas
Estatística: ciência que tem como objetivo auxiliar 
na tomada de decisões por meio da obtenção, análise, 
organização e interpretação de dados.
População: conjunto de entidades (pessoas, objetos, 
cidades, países, classes de trabalhadores, etc.) que 
apresentem no mínimo uma característica em comum. 
Exemplos: pessoas de uma determinada cidade, preços 
de um produto, médicos de um hospital, estudantes que 
prestam determinado concurso, etc.
Amostra: É uma parte da população que será objeto 
do estudo. Como em muitos casos não é possível estudar 
a população inteira, estuda-se uma amostra de tamanho 
significativo (há métodos para determinar isso) que retrate o 
comportamento da população. Exemplo: pesquisa de intenção 
de votos de uma eleição. Algumas pessoas são entrevistadas 
e a pesquisa retrata a intenção de votos da população.
Variável: é o dado a ser analisado. Aqui, será chamado 
de e cada valor desse dado será chamado de . Essa variável 
pode ser quantitativa (assume valores) ou qualitativa 
(assume características ou propriedades).
2. Medidas de tendência central
São medidas que auxiliam na análise e interpretação 
de dados para a tomada de decisões. As três medidas de 
tendência central são:
77
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Média aritmética simples: razão entre a soma de todos os valores de uma mostra e o número de elementos da amostra. 
Expressa por . Calculada por:
x� =
∑xi
n
Média aritmética ponderada: muito parecida com média aritmética simples, porém aqui cada variável tem um peso 
diferente que é levado em conta no cálculo da média.
x� =
∑xipi
∑pi
Mediana: valor que divide a amostra na metade. Em caso de número para de elementos, a mediana é a média entre os 
elementos intermediários
Moda: valor que aparece mais vezes dentro de uma amostra.
Ex: Dada a amostra {1,3,1,2,5,7,8,7,6,5,4,1,3,2} calcule a média, a mediana e a moda.
Solução
Média:
x� =
1 + 3 + 1 + 2 + 5 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 1 + 3 + 2
14 =
55
14 = 3,92
Mediana:
Inicialmente coloca-se os valores em ordem crescente:
{1,1,1,2,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8}
Como a amostra tem 14 valores (número par), os elementos intermediários são os 7º e 8º elementos. Nesse exemplo, 
são os números 3 e 4. Portanto, a mediana é a média entre eles: 3+4
2 =
7
2 = 3,5
Moda:
O número que aparece mais vezes é o número 1 e, portanto, é a moda da amostra nesse exemplo.
Ex: Dada a amostra {2,4,8,10,15,6,9,11,7,4,15,15,11,6,10} calcule a média, a mediana e a moda.
Solução:
Média:
x� =
2 + 4 + 8 + 10 + 15 + 6 + 9 + 11 + 7 + 4 + 15 + 15 + 11 + 6 + 10
15 =
133
14 = 8,867
Mediana:
Inicialmente coloca-se os valores em ordem crescente
{2,4,4,6,6,7,8,9,10,10,11,11,15,15,15}
Como a amostra tem 15 valores (número par), o elemento intermediário é o 8º elemento. Logo, a mediana é igual a 9.
Moda: 
O número que aparece mais vezes é o número 15 e, portanto, é a moda da amostra nesse exemplo.
Ex: A média de uma disciplina é calculada por meio da média ponderada de três provas. A primeira tem peso 3, a 
segunda tem peso 4 e a terceira tem peso 5. Calcule a média de um aluno que obteve nota 8 na primeira prova, 5 na 
segunda e 6 na terceira.
78
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Solução:
Trata-se de um caso de média aritmética ponderada.
x� =
∑xipi
∑pi
=
3 ∙ 8 + 4 ∙ 5 + 5 ∙ 6
3 + 4 + 5 =
74
12 = 6,167
3. Tabelas e Gráficos
3.1.Tabelas
Tabelas podem ser utilizadas para expressar os mais diversos tipos de dados. O mais importante é saber interpretá-las e 
para isso é conveniente saber como uma tabela é estruturada. Toda tabela possui um título que indica sobre o que se trata 
a tabela. Toda tabela é dividida em linhas e colunas onde, no começo de uma linha ou de uma coluna, está indicado qual o 
tipo de dado que aquela linha/coluna exibe.
Ex:
Tabela 1 - Número de estudantes da Universidade ALFA divididos por curso
Curso Número de Estudantes
Administração 2000
Arquitetura 1450
Direito 2500
Economia 1800
Enfermagem 800
Engenharia 3500
Letras 750
Medicina 1500
Psicologia 1000
TOTAL 15300
Nesse caso, as colunas são: curso e número de estudantes e cada linha corresponde a um dos cursos da Universidade 
com o respectivo número de alunos de cada curso. 
Tabela 2 - Número de estudantes da Universidade ALFA divididos por curso e gênero
Curso Gênero Número de Estudantes
Administração
Homem 1200
Mulher 800
Arquitetura
Homem 850
Mulher 600
Direito
Homem 1600
Mulher 900
Economia
Homem 800
Mulher 1000
Enfermagem
Homem 350
Mulher 450
Engenharia
Homem 2500
Mulher 1000
Letras
Homem 200
Mulher 550
79
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Medicina
Homem 700
Mulher 800
Psicologia
Homem 400
Mulher 600
TOTAL 15300
Nesse caso, as colunas são: curso, gênero e número de estudantes e cada linha corresponde a um dos cursos da 
Universidade com o respectivo número de alunos de cada curso separados por gênero.
Acima foram exibidas duas tabelas como exemplos. Há uma infinidade de tabelas cada uma com sua particula-
ridade o que torna impossível exibir todos os tipos de tabelas aqui. Porém em todas será necessário identificar 
linhas, colunas e o que cada valor exibido representa.
#FicaDica
3.2. Gráficos
Para falar de gráficos em estatística é importante apresentar o conceito de frequência.
Frequência: Quantifica a repetição de valores de uma variável estatística.
Tipos de frequência
Absoluta: mede a quantidade de repetições.
Ex. Dos 30 alunos, seis tiraram nota 6,0. Essa nota possui freqüência absoluta:
fi = 4
Relativa: Relaciona a quantidade de repetições com o total (expresso em porcentagem)
Ex. Dos 30 alunos, seis tiraram nota 6,0. Essa nota possui freqüência relativa: 
fr =
6
30 ∙ 100 = 20%
4. Tipos de Gráficos
Gráficos de coluna: gráficos que têm como objetivo atribuir quantidades a certos tipos de grupos. Na horizontal são 
apresentados os grupos (dados qualitativos) dos quais deseja-se apresentar dados enquanto na vertical são apresentados 
os valores referentes a cada grupo (dados quantitativos ou frequências absolutas)
Ex: A Universidade ALFA recebe estudantes do mundo todo. A seguir há um gráfico que mostra a quantidade de 
estudantes separados pelos seus continentes de origem:
0
100
200
300
400
500
600
700
América do
Norte
América do
Sul
América
Central
Europa Ásia África Oceania
Estudantes da Universidade ALFA
80
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Gráficos de barras: gráficos bastante similares aos de 
colunas, porém, nesse tipo de gráfico, na horizontal são 
apresentados os valores referentes a cada grupo (dados 
quantitativos) enquanto na vertical são apresentados os 
grupos (dados qualitativos) 
Ex: A Universidade ALFA recebe estudantes do mundo 
todo. A seguir há um gráfico que mostra a quantidade de 
estudantes separados pelos seus continentes de origem:
0 100 200 300 400 500 600 700
América do Norte
América do Sul
América Central
Europa
Ásia
África
Oceania
Estudantes da Universidade ALFA
Gráficos de linhas: gráficosnos quais são exibidas séries 
históricas de dados e mostram a evolução dessas séries ao 
longo do tempo.
Ex: A Universidade ALFA tem 10 anos de existências e 
seu reitor apresentou um gráfico mostrando o número de 
alunos da Universidade ao longo desses 10 anos.
0
500
1000
1500
2000
2500
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Estudantes da Universidade ALFA ao longo de 10 anos
Gráficos em pizzas: gráficos nos quais são expressas 
relações entre grandezas em relação a um todo. Nesse 
gráfico é possível visualizar a relação de proporcionalidade 
entre as grandezas. Recebe esse nome pois lembram uma 
pizza pelo formato redondo com seus pedaços (frequências 
relativas).
Ex: A Universidade ALFA recebe estudantes do mundo 
todo. A seguir há um gráfico que mostra a distribuição de 
estudantes de acordo com seus continentes de origem 
630
520
150
440
260
150
30
Estudantes da Universidade ALFA
América do Norte América do Sul América Central Europa Ásia África Oceania
Ex: Foi feito um levantamento do idioma falado pelos 
alunos de um curso da Universidade ALFA.
Frequências absolutas:
Frequências relativas:
81
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (SEGEP-MA - Técnico da Receita Estadual – FCC/2016) 
Três funcionários do Serviço de Atendimento ao Cliente de 
uma loja foram avaliados pelos clientes que atribuíram uma 
nota (1; 2; 3; 4; 5) para o atendimento recebido. A tabela 
mostra as notas recebidas por esses funcionários em um 
determinado dia.
Considerando a totalidade das 95 avaliações desse dia, é 
correto afirmar que a média das notas dista da moda des-
sas mesmas notas um valor absoluto, aproximadamente, 
igual a:
a) 0,33
b) 0,83
c) 0,65
d) 0,16
e) 0,21
Resposta: Letra c.Trata-se de um caso de média aritmé-
tica ponderada. Considerando as 95 avaliações, o peso 
de cada uma das notas é igual ao total de pessoas que 
atribuiu a nota. Analisando a tabela
8 pessoas atribuíram nota 1
18 pessoas atribuíram nota 2
21 pessoas atribuíram nota 3
29 pessoas atribuíram nota 4
19 pessoas atribuíram nota 5
Assim, a média das 95 avaliações é calculada por:
x� =
8 ∙ 1 + 18 ∙ 2 + 21 ∙ 3 + 29 ∙ 4 + 19 ∙ 5
8 + 18 + 21 + 29 + 19 =
318
95 = 3,34
2. (UFC - 2016) A média aritmética das notas dos alunos 
de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual 
a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 
6, a média aritmética das notas das meninas é igual a:
a) 6,5
b) 7,2
c) 7,4
d) 7,8
e) 8,0
Resposta: Letra B. Primeiramente, será identificada 
a soma das notas dos meninos por x e a da nota das 
meninas por y. Se a turma tem 5 meninos e a média 
aritmética de suas notas é igual a 6, então a soma das 
notas dos meninos (x) dividida pela quantidade de me-
ninos (5) deve ser igual a 6, isto é:
x 
5 = 6
x = 6 ∙ 5
x = 30
Do mesmo modo, se a turma tem 25 meninas 
(Me é a média aritmética de suas notas), o quociente 
da soma das notas das meninas (y) e a quantidade de 
meninas (25) deve ser igual a Me, isto é:
(x + y)/(25+5) = 7
y = 25∙Me
Para calcular a média da turma, devemos somar as notas 
dos meninos (30) às notas das meninas (y) e dividir pela 
quantidade de alunos (25 + 5 = 30). O resultado deverá 
ser 7. Sendo assim, temos:
x + y
25 + 5 = 7
30 + 25 ∙ Me
30 = 7
30 + 25 ∙ Me = 7 • 30
30 + 25 ∙ Me = 210
25 ∙ Me = 210 – 30
25 ∙ Me = 180
Me = 7,2
Portanto, a média aritmética das notas das meninas 
é 7,2. A alternativa correta é a letra b.
Então, logo:
�P A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An = P A1 + P A2 + ⋯+ P(An)P A1 ∪ A2 ∪⋯An = P S = 1
Portanto: 
P(A
1
) + P(A
2
) + P(A
3
) + . . . + P(A
n
) = 1
8. Probabilidade Condicionada
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, 
finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é 
dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que 
já ocorreu A. É representada por P(B/A).
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[ Á
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Veja: P(B/A) =
n(A ∩ B)
n(A)
9. Eventos Independentes
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral 
S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente 
quando:
P(A/B) = P(A)
P(B/A) = P(B)
10. Intersecção de Eventos
Considerando A e B como dois eventos de um espaço 
amostral S, finito e não vazio, logo:
P(B/A) =
n(A ∩ B)
n(A) =
n A ∩ B + n(S)
n A + n(S) =
P(A ∩ B)
P(A)
P(A/B) =
n(A ∩ B)
n(B) =
n A ∩ B + n(S)
n B + n(S) =
P(A ∩ B)
P(B)
Assim sendo:
P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B/A)
P A ∩ B = P B ∙ P(A/B)
Considerando A e B como eventos independentes, logo 
P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A)∙ 
P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, 
podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de 
A ∩ B. Veja a representação:
A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou
A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)
FIQUE ATENTO!
Um exercício de probabilidade pode envolver 
aspectos relativos à análise combinatória. É 
importante ter em mente a diferença concei-
tual que existe entre ambos.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1.Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas 
verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola 
ser verde?
Resposta: 5/12. Neste exercício o espaço amostral pos-
sui 12 elementos, que é o número total de bolas, portan-
to a probabilidade de ser retirada uma bola verde está 
na razão de 5 para 12.
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de 
uma bola verde, matematicamente podemos represen-
tar a resolução assim:
P E =
n E
n S
P E =
5
12
Logo, a probabilidade desta bola ser verde é 5/12.
2. (IBGE – Analista Censitário – FGV/2017) Entre os cinco 
números 2, 3, 4, 5 e 6, dois deles são escolhidos ao acaso 
e o produto deles dois é calculado. A probabilidade desse 
produto ser um número par é:
a) 60%
b) 75%
c) 80%
d) 85%
e) 90%
Resposta: Letra E. Para sabermos o tamanho do es-
paço amostral, basta calcularmos a combinação dos 
5 elementos tomados 2 a 2 (a ordem não impor-
ta, pois a ordem dos fatores não altera o produto): 
C5,2 =
5!
2! 3! =
5 ∙ 4
2 = 10
.
Para o produto ser par, os dois números escolhidos de-
verão ser par ou um deles é par. O único caso onde o 
produto não dá par é quando os dois números são ím-
pares. Assim, apenas o produto 3 5 não pode ser es-
colhido. Logo, se 1/10 = 10% não terá produto par, os 
outros 90% terão.
GRÁFICOS E TABELAS
Os gráficos e tabelas apresentam o cruzamento entre 
dois dados relacionados entre si. 
A escolha do tipo e a forma de apresentação sempre 
vão depender do contexto, mas de uma maneira geral um 
bom gráfico deve:
-Mostrar a informação de modo tão acurado quanto 
possível.
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-Utilizar títulos, rótulos, legendas, etc. para tornar claro 
o contexto, o conteúdo e a mensagem.
-Complementar ou melhorar a visualização sobre as-
pectos descritos ou mostrados numericamente atra-
vés de tabelas.
-Utilizar escalas adequadas.
-Mostrar claramente as tendências existentes nos da-
dos.
1. Tipos de gráficos
Barras- utilizam retângulos para mostrar a quantidade.
Barra vertical
Fonte: tecnologia.umcomo.com.br
Barra horizontal
Fonte: mundoeducacao.bol.uol.com.br
Histogramas
São gráfico de barra que mostram a frequência de uma 
variável específica e um detalhe importante que são faixas 
de valores em x.
Setor ou pizza- Muito útil quando temos um total e 
queremos demonstrar cada parte, separando cada pedaço 
como numa pizza.
Fonte: educador.brasilescola.uol.com.br
Linhas- É um gráfico de grande utilidade e muito co-
mum na representação de tendências e relacionamentos 
de variáveis 
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CA
Pictogramas – são imagens ilustrativas para tornar mais 
fácil a compreensão de todos sobre um tema.
Da mesma forma, as tabelas ajudam na melhor visuali-
zação de dados e muitas vezes é através dela que vamos 
fazer os tipos de gráficos vistos anteriormente.
Podem ser tabelas simples:
Quantos aparelhos tecnológicos você tem na sua casa?
aparelho quantidade
televisão 3
celular 4
Geladeira 1
Até as tabelas que vimos nos exercícios de raciocínio 
lógico
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (TJ/RS- TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) Na 
Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua, re-
alizada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística 
(IBGE), foram obtidos os dados da taxa de desocupação da 
população em idade para trabalhar. Esses dados, em por-
centagem, encontram-se indicados na apresentação gráfi-
ca abaixo, ao longo de trimestres de 2014 a 2017.
Dentre as alternativas abaixo, assinale a que apresenta a 
melhor aproximação para o aumento percentual da taxa de 
desocupação do primeiro trimestre de 2017 em relação à 
taxa de desocupação do primeiro trimestre de 2014. 
a) 15%.
b) 25%. 
c) 50%. 
d) 75%. 
e) 90%.
Resposta: Letra E.
13,7/7,2=1,90
Houve um aumento de 90%.
2. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO - VU-
NESP/2017) A tabela seguinte, incompleta, mostra a dis-
tribuição, percentual e quantitativa, da frota de uma em-
presa de ônibus urbanos, de acordo com o tempo de uso 
destes.
O número total de ônibus dessa empresa é
a) 270.
b) 250.
c) 220
d) 180.
e) 120.
Resposta: Letra D
81+27=108
108 ônibus somam 60%(100-35-5)
108-----60
x--------100
x=10800/60=180
3. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO - VU-
NESP/2017) O gráfico mostra o número de carros vendi-
dos por uma concessionária nos cinco dias subsequentes à 
veiculação de um anúncio promocional.
 
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CA
O número médio de carros vendidos por dia nesse período 
foi igual a
a) 10.
b) 9.
c) 8.
d) 7.
e) 6.
Resposta: Letra C.
4. (CRBIO – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2017) 
Uma professora elaborou um gráfico de setores para repre-
sentar a distribuição, em porcentagem, dos cinco conceitos 
nos quais foram agrupadas as notas obtidas pelos alunos 
de uma determinada classe em uma prova de matemática. 
Observe que, nesse gráfico, as porcentagens referentes a 
cada conceito foram substituídas por x ou por múltiplos e 
submúltiplos de x.
Analisando o gráfico, é correto afirmar que a medida do 
ângulo interno correspondente ao setor circular que repre-
senta o conceito BOM é igual a
a) 144º.
b) 135º.
c) 126º
d) 117º
e) 108º.
Resposta: Letra A.
X+0,5x+4x+3x+1,5x=360
10x=360
X=36
Como o conceito bom corresponde a 4x: 4x36=144°
5. (TCE/PR – CONHECIMENTOS BÁSICOS – CES-
PE/2016) 
Tendo como referência o gráfico precedente, que mostra 
os valores, em bilhões de reais, relativos à arrecadação de 
receitas e aos gastos com despesas do estado do Paraná 
nos doze meses do ano de 2015, assinale a opção correta.
a) No ano considerado, o segundo trimestre caracterizou-
-se por uma queda contínua na arrecadação de receitas, 
situação que se repetiu no trimestre seguinte.
b) No primeiro quadrimestre de 2015, houve um período 
de queda simultânea dos gastos com despesas e da ar-
recadação de receitas e dois períodos de aumento si-
multâneo de gastos e de arrecadação.
c) No último bimestre do ano de 2015, foram registrados 
tanto o maior gasto com despesas quanto a maior arre-
cadação de receitas.
d) No ano em questão, janeiro e dezembro foram os únicos 
meses em que a arrecadação de receitas foi ultrapassada 
por gastos com despesas.
e) A menor arrecadação mensal de receitas e o menor gasto 
mensal com despesas foram verificados, respectivamente, 
no primeiro e no segundo semestre do ano de 2015. 
Resposta: Letra B.
Analisando o primeiro quadrimestre, observamos que os 
dois primeiros meses de receita diminuem e os dois meses 
seguintes aumentam, o mesmo acontece com a despesa.
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TI
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6. (BRDE – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO – FUNDA-
TEC/2015) Assinale a alternativa que representa a nomen-
clatura dos três gráficos abaixo, respectivamente.
a) Gráfico de Setores – Gráfico de Barras – Gráfico de Linha.
c) Gráfico de Pareto – Gráfico de Pizza – Gráfico de Ten-
dência.
c) Gráfico de Barras – Gráfico de Setores – Gráfico de Linha.
d) Gráfico de Linhas – Gráfico de Pizza – Gráfico de Barras.
e) Gráfico de Tendência – Gráfico de Setores – Gráfico de 
Linha.
Resposta: Letra C.
Como foi visto na teoria, gráfico de barras, de setores ou 
pizza e de linha
7. (TJ/SP – ESTATÍSTICO JUDICIÁRIO – VUNESP/2015) 
A distribuição de salários de uma empresa com 30 funcio-
nários é dada na tabela seguinte. 
Salário (em salários mínimos) Funcionários
1,8 10
2,5 8
3,0 5
5,0 4
8,0 2
15,0 1
Pode-se concluir que
a) o total da folha de pagamentos é de 35,3 salários.
b) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3 salá-
rios.
c) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários.
d) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda 
total.
e) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda 
total.
Resposta: Letra D.
a) 1,8x10+2,5x8+3,0x5+5,0x4+8,0x2+15,0x1=104 salá-
rios
b) 60% de 30=18 funcionários e se juntarmos quem ga-
nha mais de 3 salários (5+4+2+1=12)
c)10% de 30=0,1x30=3 funcionários
E apenas 1 pessoa ganha
d) 40% de 104=0,4x104= 41,6
20% de 30=0,2x30=6 
5x3+8x2+15x1=46, que já é maior.
e) 60% de 30=0,6x30=18 
30% de 104=0,3x104=31,20da renda: 31,20
8. (TJ/SP – ESTATÍSTICO JUDICIÁRIO – VUNESP/2015) 
Considere a tabela de distribuição de frequência seguinte, 
em que xi é a variável estudada e fi é a frequência absoluta 
dos dados.
xi fi
30-35 4
35-40 12
40-45 10
45-50 8
50-55 6
TOTAL 40
Assinale a alternativa em que o histograma é o que melhor 
representa a distribuição de frequência da tabela.
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[ Á
TI
CA
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resposta: Letra A.
Colocando em ordem crescente: 30-35, 50-55, 45-50, 
40-45, 35-40, 
9. (DEPEN – AGENTE PENITENCIÁRIO FEDERAL – 
CESPE/2015)
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional 
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen, 
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro, 
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações)
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema 
penitenciário brasileiro por região em 2013. Nesse ano, o déficit re-
lativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit de vagas 
no sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema pe-
nitenciário — registrado em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na 
média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil habitantes.
Com base nessas informações e na tabela apresentada, jul-
gue o item a seguir.
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se 
encontrava na região Sudeste.
( ) CERTO ( ) ERRADO
Resposta: CERTA.
555----100%
x----55%
x=305,25
Está correta, pois a região sudeste tem 306 pessoas.
10. (DEPEN – AGENTE PENITENCIÁRIO FEDERAL – 
CESPE/2015) 
A partir das informações e do gráfico apresentados, julgue 
o item que se segue.
Se os percentuais forem representados por barras verticais, 
conforme o gráfico a seguir, então o resultado será deno-
minado histograma.
( ) CERTO ( ) ERRADO
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Referências
http://www.galileu.esalq.usp.br
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. Teste de Hipóteses
Definição: Processo que usa estatísticas amostrais para 
testar a afirmação sobre o valor de um parâmetro popula-
cional.
Para testar um parâmetro populacional, você deve afir-
mar cuidadosamente um par de hipóteses – uma que re-
presente a afirmação e outra, seu complemento. Quando 
uma é falsa, a outra é verdadeira.
Uma hipótese nula H0 é uma hipótese estatística que 
contém uma afirmação de igualdade, tal como ≤, =, ≥
A hipótese alternativa Ha é o complemento da hipótese 
nula. Se H0 for falsa, Ha deve ser verdadeira, e contém afir-
mação de desigualdade, como <, ≠, >.
Vamos ver como montar essas hipóteses
Um caso bem simples.
Assim, fica fácil, se H0 for falsa, Ha é verdadeira 
Há uma regrinha para formular essas hipóteses
Formulação verbal 
H0 
A média é
Formulação 
Matemática
Formulação 
verbal Ha 
A média é
...maior ou igual 
a k.
....pelo menos k.
...não menos que 
k.
...menor que k
... abaixo de k
...menos que k.
...menor ou igual 
a k.
....no máximo k.
...não mais que k.
..maior que k
... acima de k
...mais do que 
k.
... igual a k.
.... k.
...exatamente k.
... não igual 
a k.
.... diferentede k.
...não k.
Exemplo: Um fabricante de torneiras anuncia que o 
índice médio de fluxo de água de certo tipo de torneira é 
menor que 2,5 galões por minuto.
Referências
Larson, Ron. Estatística Aplicada. 4ed – São Paulo: Pear-
son Prentice Hall, 2010.
FREQUÊNCIAS
A primeira fase de um estudo estatístico consiste em 
recolher, contar e classificar os dados pesquisados sobre 
uma população estatística ou sobre uma amostra dessa 
população.
1. Frequência Absoluta
É o número de vezes que a variável estatística assume 
um valor.
1.1. Frequência Relativa
É o quociente entre a frequência absoluta e o número 
de elementos da amostra.
Na tabela a seguir, temos exemplo dos dois tipos:
1.2. Distribuição de frequência sem intervalos de 
classe: 
É a simples condensação dos dados conforme as repe-
tições de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável 
esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exi-
ge muito espaço. Veja exemplo abaixo:
Dados Frequência
41 3
42 2
43 1
44 1
45 1
46 2
89
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
50 2
51 1
52 1
54 1
57 1
58 2
60 2
Total 20
1.3. Distribuição de frequência com intervalos de 
classe: 
Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racio-
nal efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos 
de classe.
Classes Frequências
41 |------- 45 7
45 |------- 49 3
49 |------- 53 4
53 |------- 57 1
57 |------- 61 5
Total 20
2. Média aritmética
Média aritmética de um conjunto de números é o valor 
que se obtém dividindo a soma dos elementos pelo núme-
ro de elementos do conjunto.
Representemos a média aritmética por .
A média pode ser calculada apenas se a variável envol-
vida na pesquisa for quantitativa. Não faz sentido calcular a 
média aritmética para variáveis quantitativas. 
Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre 
diferentes grupos, se for possível calcular a média, ficará 
mais fácil estabelecer uma comparação entre esses grupos 
e perceber tendências.
Considerando uma equipe de basquete, a soma das al-
turas dos jogadores é:
Se dividirmos esse valor pelo número total de jogado-
res, obteremos a média aritmética das alturas:
A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m.
2.1. Média Ponderada 
A média dos elementos do conjunto numérico A relati-
va à adição e na qual cada elemento tem um “determinado 
peso” é chamada média aritmética ponderada.
2.2. Mediana (Md)
Sejam os valores escritos em rol:
Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo tal que o 
número de termos da sequência que precedem é igual 
ao número de termos que o sucedem, isto é, é termo 
médio da sequência ( ) em rol.
Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela 
média aritmética entre os termos e , tais que o nú-
mero de termos que precedem é igual ao número de 
termos que sucedem , isto é, a mediana é a média arit-
mética entre os termos centrais da sequência ( ) em rol.
Exemplo 1:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
Solução:
Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: 
(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio desse 
rol. Logo: Md=12
Resposta: Md=12.
Exemplo 2:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Solução: 
Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-
-se:
(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmé-
tica entre os dois termos centrais do rol. 
Logo: 
Resposta: Md=15 
3. Moda (Mo)
Num conjunto de números: , chama-se 
moda aquele valor que ocorre com maior frequência.
Observação:
A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única.
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[ Á
TI
CA
Exemplo 1:
O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual 
a 8, isto é, Mo=8.
Exemplo 2: 
O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda.
4. Medidas de dispersão
Duas distribuições de frequência com medidas de ten-
dência central semelhantes podem apresentar característi-
cas diversas. Necessita-se de outros índices numéricas que 
informem sobre o grau de dispersão ou variação dos dados 
em torno da média ou de qualquer outro valor de concen-
tração. Esses índices são chamados medidas de dispersão.
5. Variância 
Há um índice que mede a “dispersão” dos elementos de 
um conjunto de números em relação à sua média aritmética, 
e que é chamado de variância. Esse índice é assim definido:
Seja o conjunto de números , tal que é 
sua média aritmética. Chama-se variância desse conjunto, 
e indica-se por , o número:
Isto é:
E para amostra
Exemplo 1:
Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresen-
tou o seguinte desempenho, descrito na tabela abaixo:
Jogo Número de pontos
1 22
2 18
3 13
4 24
5 26
6 20
7 19
8 18
a) Qual a média de pontos por jogo?
b) Qual a variância do conjunto de pontos?
Solução:
a) A média de pontos por jogo é:
b) A variância é:
Desvio médio
1. Definição
Medida da dispersão dos dados em relação à média de 
uma sequência. Esta medida representa a média das dis-
tâncias entre cada elemento da amostra e seu valor médio.
2. Desvio padrão
2.1. Definição
Seja o conjunto de números , tal que é 
sua média aritmética. Chama-se desvio padrão desse con-
junto, e indica-se por , o número:
Isto é:
Exemplo:
As estaturas dos jogadores de uma equipe de basque-
tebol são: 2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. Calcular:
a) A estatura média desses jogadores.
b) O desvio padrão desse conjunto de estaturas.
Solução:
Sendo a estatura média, temos:
Sendo o desvio padrão, tem-se:
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[ Á
TI
CA
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (CRBIO – AUXILIAR ADMINISTRATIVO – VU-
NESP/2017) Uma empresa tem 120 funcionários no total: 
70 possuem curso superior e 50 não possuem curso supe-
rior. Sabe-se que a média salarial de toda a empresa é de 
R$ 5.000,00, e que a média salarial somente dos funcioná-
rios que possuem curso superior é de R$ 6.000,00. Desse 
modo, é correto afirmar que a média salarial dos funcioná-
rios dessa empresa que não possuem curso superior é de
a) R$ 4.000,00.
b) R$ 3.900,00.
c) R$ 3.800,00.
d) R$ 3.700,00.
e) R$ 3.600,00.
Resposta: Letra E.
S=cursam superior
M=não tem curso superior
S+M=600000
S=420000
M=600000-420000=180000
2. (TJM/SP – ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO – VU-
NESP/2017) Leia o enunciado a seguir para responder a questão.
A tabela apresenta o número de acertos dos 600 candida-
tos que realizaram a prova da segunda fase de um concur-
so, que continha 5 questões de múltipla escolha
Número de 
acertos
Número de candidatos
5 204
4 132
3 96
2 78
1 66
0 24
A média de acertos por prova foi de
a) 3,57.
b) 3,43
c) 3,32.
d) 3,25.
e) 3,19.
Resposta: Letra B. 
3. (PREF. GUARULHOS/SP – ASSISTENTE DE GESTÃO 
ESCOLAR – VUNESP/2016) Certa escola tem 15 classes 
no período matutino e 10 classes no período vespertino. O 
número médio de alunos por classe no período matutino 
é 20, e, no período vespertino, é 25. Considerando os dois 
períodos citados, a média aritmética do número de alunos 
por classe é
a) 24,5.
b) 23.
c) 22,5.
d) 22.
e) 21.
Resposta: Letra D.
M=300
V=250
4. (SEGEP/MA – TÉCNICO DA RECEITA ESTADUAL – 
FCC/2016) Para responder à questão, considere as infor-
mações abaixo.
Três funcionários do Serviço de Atendimento ao Cliente de 
uma loja foram avaliados pelos clientes que atribuíram uma 
nota (1; 2; 3; 4; 5) para o atendimento recebido. A tabela 
mostra as notas recebidas por esses funcionários em um 
determinado dia.
Considerando a avaliação média individual de cada funcio-
nário nesse dia, a diferença entre as médias mais próximas 
é igual a
92
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
a) 0,32.
b) 0,21.
c) 0,35.
d) 0,18.
e) 0,24.
Resposta: Letra B.
3,36-3,15=0,21
5. (UFES – ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO – 
UFES/2017) Considere n números x1, x2, … , xn, em que 
x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn . A mediana desses números é igual a x(n 
+ 1)/2, se n for ímpar, e é igual à média aritmética de xn 
⁄ 2 e x(n + 2)/2, se n for par. Uma prova composta por 5 
questões foi aplicada a uma turma de 24 alunos. A tabela 
seguinte relaciona o número de acertos obtidos na prova 
com o número de alunos que obtiveram essenúmero de 
acertos. 
Número de acertos Número de alunos
0 4
1 5
2 4
3 3
4 5
5 3
A penúltima linha da tabela acima, por exemplo, indica que 
5 alunos tiveram, cada um, um total de 4 acertos na prova. 
A mediana dos números de acertos é igual a 
a) 1,5
b) 2
c) 2,5
d) 3
e) 3,5
Resposta: Letra B.
Como 24 é um número par, devemos fazer a segunda 
regra:
6. (UFAL – AUXILIAR DE BIBLIOTECA – COPEVE/2016) 
A tabela apresenta o número de empréstimos de livros de 
uma biblioteca setorial de um Instituto Federal, no primeiro 
semestre de 2016. 
 
Mës Empréstimos
Janeiro 15
Fevereiro 25
Março 22
Abril 30
Maio 28
Junho 15
Dadas as afirmativas,
I. A biblioteca emprestou, em média, 22,5 livros por mês.
II. A mediana da série de valores é igual a 26.
III. A moda da série de valores é igual a 15.
Verifica-se que está(ão) correta(s) 
a) II, apenas. 
b) III, apenas. 
c) I e II, apenas. 
d) I e III, apenas. 
e) I, II e III.
Resposta: Letra D.
Mediana
Vamos colocar os números em ordem crescente
15,15,22,25,28,30
Moda é o número que mais aparece, no caso o 15.
7. (COSANPA - QUÍMICO – FADESP/2017) Algumas De-
terminações do teor de sódio em água (em mg L-1) foram 
executadas (em triplicata) paralelamente por quatro labo-
ratórios e os resultados são mostrados na tabela abaixo. 
Replicatas Laboratório
1 2 3 4
1 30,3 30,9 30,3 30,5
2 30,4 30,8 30,7 30,4
3 30,0 30,6 30,4 30,7
Média 30,20 30,77 30,47 30,53
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Desvio 
Padrão
0,20 0,15 0,21 0,15
Utilize essa tabela para responder à questão.
O laboratório que apresenta o maior erro padrão é o 
de número 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4.
Resposta: Letra C.
Como o desvio padrão é maior no 3, o erro padrão é 
proporcional, portanto também é maior em 3.
8. (ANAC – ANALISTA ADMINISTRATIVO- ESAF/2016) 
Os valores a seguir representam uma amostra
3 3 1 5 4 6 2 4 8
Então, a variância dessa amostra é igual a
a) 4,0
b) 2,5.
c) 4,5.
d) 5,5
e) 3,0
Resposta: Letra C.
9. (MPE/SP – OFICIAL DE PROMOTORIA I – VU-
NESP/2016) A média de salários dos 13 funcionários de 
uma empresa é de R$ 1.998,00. Dois novos funcionários 
foram contratados, um com o salário 10% maior que o do 
outro, e a média salarial dos 15 funcionários passou a ser 
R$ 2.013,00. O menor salário, dentre esses dois novos fun-
cionários, é igual a
a) R$ 2.002,00.
b) R$ 2.006,00.
c) R$ 2.010,00.
d) R$ 2.004,00.
e) R$ 2.008,00.
Resposta: Letra C.
Vamos chamar de x a soma dos salários dos 13 funcio-
nários
x/13=1998
X=13.1998
X=25974
Vamos chamar de y o funcionário contratado com me-
nor valor e, portanto, 1,1y o com 10% de salário maior, 
pois ele ganha y+10% de y
Y+0,1y=1,1y
(x+y+1,1y)/15=2013
25974+2,1y=15∙2013
2,1y=30195-25974
2,1y=4221
Y=2010
10. (PREF. DE NITERÓI – AGENTE FAZENDÁRIO – 
FGV/2015) Os 12 funcionários de uma repartição da pre-
feitura foram submetidos a um teste de avaliação de co-
nhecimentos de computação e a pontuação deles, em uma 
escala de 0 a 100, está no quadro abaixo.
 50 55 55 55 55 60
 62 63 65 90 90 100
O número de funcionários com pontuação acima da média 
é:
a) 3;
b) 4;
c) 5;
d) 6;
e) 7.
Resposta: Letra A.
M=66,67
Apenas 3 funcionários estão acima da média.
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SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
A) LEI DE FORMAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA.
B) PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E 
GEOMÉTRICAS: TERMO GERAL, SOMA DOS 
TERMOS E PROPRIEDADES.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
1. Definição
O diário do professor é composto pelos nomes de seus 
alunos e esses nomes obedecem a uma ordem (são es-
critos em ordem alfabética). Essa lista de nomes (diário) 
pode ser considerada uma sequência. Os dias do mês são 
dispostos no calendário obedecendo a certa ordem que 
também é um tipo de sequência. Assim, sequências estão 
presentes no nosso dia a dia com mais frequência que você 
pode imaginar.
A definição formal de sequência é todo conjunto ou 
grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma 
determinada ordem ou padrão. No estudo da matemáti-
ca estudamos obviamente, as sequências numéricas. 
Ao representarmos uma sequência numérica, deve-
mos colocar seus elementos entre parênteses. Veja alguns 
exemplos de sequências numéricas:
Ex: (2,4,6,8,10,12,…)→ números pares positivos.
Ex: (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...)→ números naturais.
Ex: (10,20,30,40,50...)→ números múltiplos de 10.
Ex: (10,15,20,30)→ múltiplos de 5, maiores que 5 e me-
nores que 35.
Pelos exemplos, observou-se dois tipos básicos de se-
quências: 
Sequência finita: Sequência numérica onde a quanti-
dade dos elementos é finita.
Sequência infinita: Sequência que seus elementos se-
guem ao infinito.
2. Representação
 
Em uma sequencia numérica qualquer, o primeiro ter-
mo será representado por uma letra minúscula seguido 
de sua posição na sequência. Assim, o primeiro termo é 
representado por , o segundo termo é , o terceiro e assim 
por diante. 
FIQUE ATENTO!
Em uma sequência numérica finita desconhe-
cida, o último elemento (chamado por exem-
plo de n-ésimo termo) é representado por an . 
Na matemática, achar uma expressão que 
possa descrever a sequência numérica em 
função da posição do termo na mesma torna-
se conveniente e necessário para se usar essa 
teoria. Os exemplos a seguir exemplificam esse 
conceito.
#FicaDica
Ex: (1,2,3,4,…)→ Essa sequência pode ser descrita como 
sendo: an = n . Ou seja, qualquer termo da sequência é 
exatamente o valor de sua posição.
Ex: (5,8,11,14,…)→ Essa sequência pode ser descrita 
como sendo: an = 3n + 2 . Ou seja, qualquer termo da se-
quência é o triplo da sua posição somado 2.
Ex: (0,3,8,15,…)→ Essa sequência pode ser descrita como 
sendo: an = n2 − 1 . Ou seja, qualquer termo da sequência 
é o quadrado da sua posição subtraído 1.
Essa expressão de an é definida como expressão do 
termo geral da sequência.
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (FCC-2016 – Modificado) Determine o termo geral da 
sequência numérica:
1
2 ,
3
4 ,
5
6 ,
7
8 , … , an 
Resposta: Mediante análise dos termos da sequência, 
nota-se que termo geral é 
 an =
2n − 1
2n
2. (FCC-2016) A sequência numérica 1/2, 3/4, 5/6, 7/8;...é 
ilimitada e criada seguindo o mesmo padrão lógico. A diferença 
entre o 500º e o 50º termos dessa sequência é igual a:
a) 0,9
b) 9
c) 0,009
d) 0,09
e) 0,0009
Resposta: Letra C. Utilizando o termo geral dessa se-
quência an =
2n − 1
2n , facilmente 
a500 e a50 são iden-
tificados. 
Substituindo para n=500 e n=50 , chega-se ao resultado.
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MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS 
LINEARES
A) MATRIZES: CONCEITO, TIPOS ESPECIAIS, 
OPERAÇÕES E MATRIZ INVERSA.
B) DETERMINANTES: CONCEITO, 
RESOLUÇÃO E PROPRIEDADES.
C) SISTEMAS LINEARES: RESOLUÇÃO, 
CLASSIFICAÇÃO E DISCUSSÃO.
MATRIZ
Exemplo prático
A tabela seguinte mostra a situação das equipes no 
Campeonato Paulista de Basquete masculino.
Campeonato Paulista – Classificação
Time Pontos
1º Tilibra/Copimax/Bauru 20
2º COC/Ribeirão Preto 20
3º Unimed/Franca 19
4º Hebraica/Blue Life 17
5º Uniara/Fundesport 16
6º Pinheiros 16
7º São Caetano 16
8º Rio Pardo/Sadia 15
9º Valtra/UBC 14
10º Unisanta 14
11º Leitor/Casa Branca 14
12º Palmeiras 13
13º Santo André 13
14º Corinthians 12
15º São José 12
Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete)
Folha de S. Paulo – 23/10/01
Observando a tabela, podemos tirar conclusões por 
meio de comparações das informações apresentadas, por 
exemplo:
 COC/Ribeirão lidera a classificação com 20 pontos 
juntamente com Tilibra/Bauru
 Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna.
Ou seja, esta tabela nos oferece valores numéricos nos 
quais podemos tirar determinadas conclusões.
1. Definições
Chamamos de matriz m x n (m Є N
∗ e n Є N
∗) qualquer 
tabela formada por m x n (m Є N
∗ e n Є N
∗) elementos (informações) dis-
postos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
a) 1 0 −2 3
1 1 3 2
é uma matriz 2 x 4 (duas linhas e 
por quatro colunas)
b) 
1 0 1
2 3 3
1 4 2
 é uma matriz 3x3 (três linhas por três 
colunas)
c) 1 0 3 é uma matriz 1x3(uma linha e três co-
lunas)
d) 2
0
 é uma matriz 2x1 (duas linhas e uma coluna)
 
O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiús-
culas do alfabeto latino, (A,B,C,D... por exemplo), enquanto 
os elementos da matriz são indicados por letras latinas mi-
núsculas (a,b,c,d...), a mesma do nome de matriz, com dois 
índices, que indicam a linha e a coluna que o elemento 
ocupa na matriz.
Assim, um elemento genérico da matriz é representado 
por aij .
O primeiro índice, i, indica a linha que esse elemento 
ocupa na matriz, e o segundo índice, j, a coluna desse co-
mando.
Exemplo:
Na matriz B de ordem 2x3 temos:
B = 1 0 32 −1 4
b
11
 = 1; b
12
 = 0; b
13
 = 3;
b
21
 = 2; b
22
 = −1; b
23
 = 4.
Observação: O elemento b23, por exemplo, possui a se-
guinte leitura: “b dois três”.
De uma forma geral, a matriz A, de ordem m x n, é re-
presentada por:
A =
a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮
am1 ⋯ amn
Ou com a notação abreviada: A = aij mxn
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2. Matrizes Especiais
Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matri-
zes especiais:
a) Matriz Linha: É a matriz que possui uma única linha.
Exemplos: 
 
 
A = −1 0
B = 1 0 0 2
b) Matriz Coluna: É a matriz que possui uma única 
coluna.
Exemplos:
 
A = 21
B =
0
−1
3
c) Matriz Nula: É a matriz que possui todos os 
elementos iguais a zero.
Exemplos:
 
 
A = 0 00 0
B = 0 0 00 0 0
d) Matriz Quadrada: É a matriz que possui o número 
de linhas igual ao número de linhas igual ao número 
de colunas. 
Exemplo: 
A = 1 03 −2
Vale destacar que quando uma matriz não é quadrada, 
ela é chamada de matriz retangular.
e) Matriz Diagonal: Dada uma matriz quadrada de or-
dem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao 
conjunto dos elementos que possuem índices iguais.
Exemplo:
{a
11
, a
22
, a
33
, a
44
}
é a diagonal principal da matriz A 
(4x4).
Além disso, a matriz quadrada que apresenta todos os 
elementos, não pertencentes à diagonal principal, iguais a 
zero, é definida como matriz diagonal.
Exemplo:
 
A =
2 0 0
0 1 0
0 0 3
f) Matriz Identidade: É a matriz diagonal que apresenta 
todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e 
os outros iguais a 0. Representamos a matriz identi-
dade de ordem n por In.
Exemplo:
I2 =
1 0
0 1
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Observação: Para uma matriz identidade In = (aij)n x n
g) Matriz Transposta: Dada uma matriz A, chamamos 
de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-
-se “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a 
matriz transposta de A por At.
Exemplo:
Se, A = 1 0 32 1 4 , então: A
t =
1 2
0 1
3 4
Observação importante: Se uma matriz A é de ordem m 
x n, a matriz At, transposta de A, é de ordem n x m.
3. Igualdade de Matrizes
Sendo A e B duas matriz de mesma ordem, dizemos 
que um elemento de matriz A é correspondente a um ele-
mento de B quando eles ocupam a mesma posição nas res-
pectivas matrizes.
Exemplo:
Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2,
A =
a11 a12
a21 a22 e B =
b11 b12
b21 b22
São elementos correspondentes de A e B, os pares: a11 e 
b11; a12 e b12; a21 e b21; a22 e b22.
Assim, duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, 
têm a mesma ordem e os elementos correspondentes são 
iguais.
Indica-se, portanto: A = B ou A = (aij)n x n e B = (bij)p x q
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IMPORTANTE: Dada uma matriz A = aij m x n , 
dizemos que uma matriz B = bij m x n é oposta de A 
quando bij = −aij para todo i, 1 ≤ i ≤ m, e todo j, 1 
≤ j ≤ n.
Exemplo:
A = 3 −12 4 , temos que: B = −A =
−3 1
−2 −4
4. Adição e Subtração de Matrizes
Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n, 
denominamos soma da matriz A com a matriz B à matriz 
C, de ordem m x n, cujos elementos são obtidos quando 
somamos os elementos correspondentes das matrizes A e 
B. Indicamos:
C = A + B
Assim:
1 3 4
2 1 −2 +
2 1 1
3 2 3 =
3 4 5
5 3 1
Propriedades da Adição: Sendo A, B e C matrizes m x n 
e O a matriz nula m x n , valem as seguintes propriedades.
a) A + B = B + A (Comutativa)
b) A + B + C = A + (B + C) (Associativa)
c) A + O = O + A = A (Elemento Neutro)
d) A + −A = O (Elemento Oposto)
e) A + B t = At + Bt
Metodologia: Consideremos duas matrizes A e B, am-
bas de mesma ordem . Chamamos de diferença entre A e B 
(indicamos com ) a soma de A com a oposta de B.
A – B = A + (−B)
Exemplo: 
A = 3 21 −2 e B =
4 5
−2 1
A − B = A + −B = 3 21 −2 +
−4 −5
2 −1
= 3− 4 2 − 51 + 2 −2 − 1 =
−1 −3
3 −3
Na prática, para obtermos a subtração de matrizes de 
mesma ordem, basta subtrairmos os elementos correspon-
dentes.
5. Multiplicação de Matrizes por um Número Real
Consideremos uma matriz A, de ordem m x n, e um nú-
mero real c . O produto de por A é uma matriz B, de ordem m 
x n, obtida quando multiplicamos cada elemento de A por c .
Indicamos:
B = c � A
Exemplo: 
A = 1 32 5 e c = 2, temos que:
c � A = 2 � A = 2 � 1 2 � 32 � 2 2 � 5 =
2 6
4 10
6. Produto entre matrizes
O produto (linha por coluna) de uma matriz A = a
ij m x p
 
por uma matriz B = bij p x n é uma matriz , de modo que 
cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenada-
mente os elementos da linha i de A pelos elementos da 
coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos. 
FIQUE ATENTO!
Só existe o produto de uma matriz A por uma 
matriz B se o número de colunas de A é igual 
ao número de linhas de B.
Propriedades: Sendo A uma matriz de ordem m x n, 
B e C matrizes convenientes (ou seja, o produto entre 
elas é possível), são válidas as seguintes propriedades.
a) A � B � C = A � (B � C) – Associativa
b) C � A + B = C � A + C � B – Distributiva pela esquerda
c) A + B � C = A � C + B � C – Distributiva pela direita
d) A � In = Im � A = A – Elemento neutro
e) A � B t = Bt � At
Para a multiplicação de matrizes não vale 
a propriedade comutativa (A B ≠ B A). Esta 
propriedade só é verdadeira em situações 
especiais, quando dizemos que as matrizes são 
comutáveis.
#FicaDica
7. Matriz Inversa
No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, exis-
te um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a 
condição:
a � b = b � a = 1
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Normalmente indicamos o inverso de a por 1
a ou a
−1
Analogamente para as matrizes temos que uma matriz 
A, quadrada de ordem n, é dita inversível se, e somente se, 
existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:
A � B = B � A = In
A matriz B é denominada inversa de A e indicada por 
A−1 .
Exemplo:
Verifique que a matriz B = 4 −3−1 1 é a inversa da 
matriz A = 1 31 4 . Para isso, basta realizar o produto en-
tre elas e verificar se o resultado será a matriz identidade:
A � B = 1 31 4 �
4 −3
−1 1 =
1 0
0 1
Ou
B � A = 4 −3−1 1 �
1 3
1 4 =
1 0
0 1
Como A � B = B � A = I2 , a matriz B é a inversa 
de A, isto é, B = A−1 .
IMPORTANTE: É bom observarmos que, de acordo com 
a definição, a matriz A também é a inversa de B, isto é,
A = B−1 , ou seja, A = A
−1 −1 .
Exemplo: 
Encontre a matriz inversa da matriz A = 3 12 1 , se existir. 
Neste caso, teremos que encontrar individualmente os ter-
mos da matriz inversa, que chamaremos de B.
Supondo que B = a bc d é a matriz inversa de A, temos:
A � B = 3 12 1 .
a b
c d =
1 0
0 1
Fazendo a multiplicação, encontraremos o seguinte re-
sultado:
3a + c 3b + d
2a + c 2b + d =
1 0
0 1
Logo, teremos dois sistemas lineares, 2x2:
�3a + c = 12a + c = 0 e �
3b + d = 0
2b + d = 1
Resolvendo os sistemas, encontramos:
a = 1, b = −1, c = 2 e d = 3
Assim, B = 1 −1−2 3
Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é única, 
cuja matriz é:
B = A−1 = 1 −1−2 3
Propriedades: Sendo A e B matrizes quadradas de or-
dem n e inversíveis, temos as seguintes propriedades:
a) A−1 −1 = A
b) A−1 t = At −1
c) A � B −1 = B−1 � A−1
DETERMINANTES 
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por 
matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki 
Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para deter-
minar as soluções de Sistemas Lineares.
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada 
A, um único número real que denominamosdeterminante 
de A e que indicamos por “det A” ou colocamos os ele-
mentos da matriz A entre duas barras verticais, como no 
exemplo abaixo:
A = 1 24 5 → det A =
1 2
4 5
No estudo de determinantes, vamos analisar diversos 
tamanhos de matrizes, iniciando, pelo menor, ou seja, uma 
matriz de ordem 1 passando pela ordem 2 e ordem 3. De-
terminantes maiores são muito raros de serem cobrados 
em concursos públicos. 
1. Determinante de uma Matriz de Ordem 1
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A = [a
11
] , o deter-
minante dessa matriz é o próprio número dentro da matriz:
det A = a11 = a11
Exemplos:
A = −2 → det A = −2
B = 5 → det B = 5
C = [0] → det C = 0
2. Determinante de uma Matriz de ordem 2
Seja a matriz quadrada de ordem 2: A =
a11 a12
a21 a22. O determinante dessa matriz será o número:
det A =
a11 a12
a21 a22 = a11 � a22 − a21 � a12
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Para facilitar a memorização desse número, 
podemos dizer que o determinante é a 
diferença entre o produto dos elementos da 
diagonal principal e o produto dos elementos 
da diagonal secundária.
#FicaDica
Exemplos:
 
A = 1 25 3
det A = 1 � 3 − 5 � 2 = 3 − 10 = −7
B = 2 −12 3
det B = 2 � 3 − 2 � −1 = 6 + 2 = 8
 
3. Determinante de uma Matriz de Ordem 3
Seja a matriz quadrada de ordem 3: 
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
O determinante desta matriz será uma soma de produ-
tos intercalados de três em três números, ou seja:
det A
= a11 � a22 � a33 + a12 � a23
� a31 + a21 � a32 � a13 − a31
� a22 � a13 − a21 � a12 � a33
− a11 � a32 � a23
Para memorizarmos a definição de determinante de or-
dem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sar-
rus:
1) Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz.
det A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a13
a21 a23
a31 a31
2) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços 
em diagonal e associando o sinal indicado dos pro-
dutos, temos:
det A = a11 � a22 � a33 + a12 �
a23 � a31 + a21 � a32 � a13 −
a31 � a22 � a13 − a21 � a12 �
a33 − a11 � a32 � a23
4. Propriedades dos determinantes
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que vi-
sam a simplificar o cálculo dos determinantes:
a) O determinante de uma matriz A é igual ao de sua 
transposta At.
Exemplo:
Demonstração no determinante 2x2:
A = a bc d e A
t = a cb d
det A = a � d − b � c
det At = a � d − b � c = det A
b) Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadra-
da A, quando trocamos entre si a posição de duas 
filas (linhas ou colunas) paralelas, então:
detB = −detA
Exemplo.
Demonstração no determinante 2x2:
A = a bc d e B =
c a
d b
B foi obtida trocando de posição a primeira e segunda 
coluna de A. Assim:
det A = a � d− b � c
det B = c � b− a � d = − det A
Um ponto importante é se por exemplo, montarmos 
uma matriz C trocando de posição agora a primeira e se-
gunda linha de B:
C = d bc a
100
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Calculando o determinante:
detC = a � d− b � c = −detB = det A
Assim, cada troca de linha ou coluna irá acarretar uma 
troca de sinal do determinante. Logo, se fizemos uma 
quantidade par de trocas (2,4,6,...) o determinante perma-
nece com o mesmo sinal. Já se fizermos uma quantidade 
de trocas ímpar (1,3,5...) o determinante inverte de sinal.
c) Seguindo a propriedade 2, se uma matriz possuir 
duas linhas ou colunas idênticas, o seu determinan-
te será 0. Justificativa: A matriz que obtemos de A, 
quando trocamos entre si as duas filas (linha ou co-
luna “iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a 
propriedade 2, escrevemos que detA = −detA
. O único resultado possível para isso é detA = −detA0.
d) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, e uma 
matriz k.A é obtida multiplicando todos os elemen-
tos de A por k, então:
det(k � A) = kn � detA
Exemplo: A =
a b c
d e f
g h i
→ k � A =
ka kb kc
kd ke kf
kg kh ki
Se você calcular o determinante, encontrará k3 � det A
e) Teorema de Jacobi: O determinante não se altera, 
quando adicionamos uma fila qualquer com outra 
fila paralela multiplicada por um número.
Exemplo: 
Considere o determinante 
det A =
a b c
d e f
g h i
Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos:
Calculando o determinante, você verá que det B = det A
f) Uma consequência do teorema de Jacobi é que se 
uma fila de uma matriz é a soma de múltiplos de 
filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), 
o determinante é igual a zero.
g) Teorema de Binet: Sendo A e B matrizes quadradas 
de mesma ordem, então:
det(A � B) = detA � detB
Exemplo: A = 1 20 3 , B =
4 3
2 1 , logo: A � B =
8 5
6 3
det A = 1 20 3 = 3
det B = 4 32 1 = 4− 6 = −2
det AB = 8 56 3 = 24 − 30 = −6 = 3 � (−2)
Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e 
, temos:
det(An) = detA n
E no caso da matriz inversa:
detA−1 =
1
det A
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (BRDE – Analista de Sistema – FUNDATEC/2015) 
Considere as seguintes matrizes: A = 2 34 6 , B =
2 3
4 5
6 6
 e 
C = 2 1 04 6 7
, a solução de é:
a) Não tem solução, pois as matrizes são de ordem diferentes.
b) 10 1478 90
c) 2 34 5
d) 6 620 36
e) 8 1174 84
Resposta: Letra B.
2 1 0
4 6 7
2 3
4 5
6 6
+ 2 34 6 =
8 11
74 84 +
2 3
4 6 =
10 14
78 90
2. (Pref. Agudo-SP – Auxiliar Administrativo - OBJE-
TIVA/2015) Dadas as matrizes A = 7 83 x e B =
x 2
3 9
 e , 
qual deverá ser o valor de x para que se tenha det A = det B .
a) -14
b) 3
c) -9
d) 5
101
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[ Á
TI
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Resposta: Letra C.
7 8
3 x =
x 2
3 9 → 7x − 24 = 9x − 6 → 2x = −18 → x = −9
 
SISTEMAS LINEARES
1. Definição
Sistemas lineares são conjuntos de 2 ou mais equações 
lineares, onde procura-se valores das incógnitas, chamadas 
de X = x1 , x2, x3 … e xn que atendam simultaneamen-
te todas as equações lineares:
Onde 
a11 , a12 , … , ann e b1, b2 , … , bn 
são números reais.
1.1. Classificação de Sistemas Lineares
Considerando um sistema de n equações lineares, po-
demos classificá-lo de 3 formas possíveis:
Impossível: Quando não existem valores de 
X = (x1 , x2, x3 … e xn) que satisfaçam todas as n 
equações lineares.
Possível e Indeterminado: Quando existem infinitas 
possibilidades para X = (x1 , x2, x3 … e xn) que aten-
dem todas as equações;
Possível e determinado: Quando apenas um único 
conjunto de X = (x1 , x2, x3 … e xn) satisfaz as equa-
ções lineares.
1.2. Associação de Sistemas Lineares com Matrizes
Podemos escrever qualquer sistema linear da seguinte 
forma, separando as constantes das incógnitas:
Se det A ≠ 0 , a matriz possui inversa e assim pode-
mos isolar X da seguinte maneira:
A � X = B ⇒ A−1 � A � X = A−1 � B
⇒ I � X = A−1 � B
⇒ X = A−1 � B
2.Sistemas Lineares 2x2
Um exemplo de sistema 2 x 2, possui duas equações e 
duas incógnitas (x e y) é:
� 3𝑥 − 𝑦 = 6 2𝑥 + 2𝑦 = 20
Há diversos métodos utilizados para resolver um siste-
ma linear 2 x 2. Aqui, destacam-se dois deles: método da 
adição e método da substituição.
2.1. Método da Adição
O método da adição consiste em multiplicar uma (ou 
ambas) das equações por um valor de modo que, ao so-
mar-se as duas equações, uma das incógnitas seja elimi-
nada. Para isso, a incógnita a ser eliminada deve possuir o 
mesmo número multiplicando-a em ambas as equações, 
porém com sinais opostos. Utilizando o exemplo:
� 3𝑥 − 𝑦 = 6 2𝑥 + 2𝑦 = 20
Uma maneira de resolver o sistema pelo método da adi-
ção consiste em eliminar a variável “y”. Na primeira equa-
ção a variável “y” está multiplicada por -1, enquanto que 
na segunda equação, está multiplicada por 2. Se a primei-
ra equação for multiplicada por , em ambas as equações 
a variável “y” estará multiplicada por 2 porém com sinais 
opostos.
Somando-se ambas as equações após multiplicar a pri-
meira equação por 2, tem-se:
6x − 2y + 2x + 2y = 12 + 20
→ 8x = 32
→ x = 4
Após encontrar o valor de uma das variáveis, basta 
substituir esse valor em qualquer uma das equações e en-
contrar o valor da outra variável. Substituindo na primeira 
equação:
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[ Á
TI
CA
3x − y = 6
→ 3 × 4 − y = 6
→ 12 − y = 6
→ y = 6
Assim, S = 4,6
2.2. Método da Substituição
Este métodoconsiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir na outra equação. Retomando o 
mesmo exemplo:
� 3𝑥 − 𝑦 = 6 2𝑥 + 2𝑦 = 20
É possível isolar qualquer uma das variáveis em qualquer uma das equações. Isolando a variável “y” na primeira 
equação:
y = 3x − 6
Substitui-se essa expressão para “y” na segunda equação:
2x + 2 3x − 6 = 20
Agora, resolve-se essa equação do primeiro grau:
2x + 6x − 12 = 20
2x + 6x = 20 + 12
8x = 32
x =
32
8 = 4
Utiliza-se a expressão encontrada anteriormente para “y” para encontrar o valor dessa incógnita:
y = 3x − 6
→ y = 3 × 4 − 6 = 12 − 6
→ y = 6
Assim: S = 4,6
3. Sistemas Lineares 3x3 ou maiores.
Todos os sistemas lineares podem ser resolvidos pelo método da substituição apresentado acima. Porém, com mais 
equações, ele vai se tornando bem trabalhoso. Desta forma, um método mais rápido é sugerido, chamado de método de 
Cramer. Utiliza-se a notação matricial e o conceito de determinantes para resolver:
Ex: 
Primeiro, calcula-se DA = det A . Também serão calculados determinantes auxiliares, substituindo uma coluna corres-
pondente da matriz A, pela matriz B:
103
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, e 
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte maneira:
x1 =
Dx1
DA
, x2 =
Dx2
DA
, x3 =
Dx3
DA
Exemplo: Resolva pelo método de Cramer o seguinte Sistema Linear:
 
Transformando em forma matricial:
 
1 2 −1
2 −1 1
1 1 1
x
y
z
=
2
3
6
Calculando os determinantes:
DA =
1 2 −1
2 −1 1
1 1 1
= −7
Dx =
2 2 −1
3 −1 1
6 1 1
= −7
Dy =
1 2 −1
2 3 1
1 6 1
= −14
Dz =
1 2 2
2 −1 3
1 1 6
= −21
Logo:
x = DxDA =
−7
−7 = 1
y = DyDA =
−14
−7 = 2
z = DzDA =
−21
−7 = 3
104
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Sistemas lineares de ordem 3x3 ou maiores 
não precisam ser necessariamente resolvidos 
usando o método de Cramer. Fica a cargo do 
estudante escolher um forma que pareça ser 
mais fácil. 
#FicaDica
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (VUNESP/2010) Considere o seguinte sistema linear:
Pode-se afirmar que o valor de z é
a) –2.
b) –1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
Resposta: Letra E.
Para esse caso o método da soma é utilizado:
4y + 2z = 4
−4y − 4z = −8 
− 2z = − 4 
 z = 2
Obs: Aqui usamos o método da soma, mas como ex-
posto no texto, podemos usar o método de Cramer.
2. (PM SP 2014 – VUNESP). Em um lote de xícaras de 
porcelana, a razão entre o número de xícaras com defeitos 
e o número de xícaras perfeitas, nesta ordem, é 2/3. Se o 
número total de xícaras do lote é 320, então, a diferença 
entre o número de xícaras perfeitas e o número de xícaras 
com defeitos, nesta ordem, é:
a) 56.
b) 78.
c) 93.
d) 85.
e) 64.
Resposta: Letra E
Vamos denominar:
x = número de xícaras com defeitos
y = número de xícaras perfeitas
Sabendo disto, temos as seguintes equações:
x
y =
2
3 , 
ou seja,
 x =
2y
3
x + y = 320
Temos um sistema de equações de primeiro grau. Subs-
tituindo a primeira na segunda equação:
2y
3 + y = 320 
(multiplicando ambos os lados por 3)
2y + 3y = 320 � 3
5y = 960
y = 960/5 = 192
Calculando x:
x = 2 y 3⁄ = 2 � 192 3⁄ = 128
Daí,
y – x = 192 – 128 = 64
105
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[ Á
TI
CA
GEOMETRIA PLANA
A) CONGRUÊNCIA DE FIGURAS PLANAS.
B) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS.
C) RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS, 
POLÍGONOS REGULARES E CÍRCULOS.
D) INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE 
POLÍGONOS REGULARES.
E) ÁREAS DE POLÍGONOS, CÍRCULO, COROA 
E SETOR CIRCULAR.
INTRODUÇÃO A GEOMETRIA PLANA
1. Ponto, Reta e Plano
A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é 
quase impossível, o que se sabe muito bem e aqui será o 
mais importante é sua representação geométrica e espa-
cial.
1.1. Representação, (notação)
→ Pontos serão representados por letras latinas maiús-
culas; ex: A, B, C,…
→ Retas serão representados por letras latinas minús-
culas; ex: a, b, c,…
→ Planos serão representados por letras gregas minús-
culas; ex: β,∞,α,...
1.2. Representação gráfica
Postulados primitivos da geometria, qualquer postula-
do ou axioma é aceito sem que seja necessária a prova, 
contanto que não exista a contraprova.
- Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos 
distintos.
- Dois pontos determinam uma única reta (uma e so-
mente uma reta).
- Pontos colineares pertencem à mesma reta.
- Três pontos determinam um único plano.
- Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta 
reta está contida neste plano.
- Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um 
ponto em comum. 
Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na 
reta s.
Um plano é um subconjunto do espaço de tal modo 
que quaisquer dois pontos desse conjunto podem ser li-
gados por um segmento de reta inteiramente contida no 
conjunto. 
Um plano no espaço pode ser determinado por qual-
quer uma das situações: 
- Três pontos não colineares (não pertencentes à mes-
ma reta); 
- Um ponto e uma reta que não contem o ponto; 
- Um ponto e um segmento de reta que não contem o 
ponto; 
- Duas retas paralelas que não se sobrepõe; 
106
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- Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe; 
- Duas retas concorrentes; 
- Dois segmentos de reta concorrentes. 
Duas retas (segmentos de reta) no espaço podem ser: 
paralelas, concorrentes ou reversas. 
Duas retas são ditas reversas quando uma não tem 
interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se 
pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e 
uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa. 
Uma reta é perpendicular a um plano no espaço , se ela 
intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta 
contido no plano que tem P como uma de suas extremida-
des é perpendicular à reta. 
Uma reta r é paralela a um plano no espaço , se existe uma 
reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada. 
Seja P um ponto localizado fora de um plano. A dis-
tância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta 
perpendicular ao plano em que uma extremidade é o pon-
to P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção 
entre o plano e o segmento.
Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula. 
Planos concorrentes no espaço são planos cuja interse-
ção é uma reta.
Planos paralelos no espaço são planos que não tem 
interseção. 
Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais 
planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes 
dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este 
ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quais-
quer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes. 
Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um 
ângulo reto (90°).
Razão entre Segmentos de Reta
Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de 
uma reta que estão limitados por dois pontos que são as 
extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial 
e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas 
letras como, por exemplo, AB, sendo A o início e B o final 
do segmento.
Ex: AB é um segmento de reta que denotamos por AB.
Segmentos Proporcionais
Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. 
De forma semelhante aos que já estudamos com números 
racionais, é possível estabelecer a proporcionalidade entre 
segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.
Vamos considerar primeiramente um caso particular 
com quatro segmentos de reta com suas medidas apresen-
tadas na tabela a seguir:
m(AB) = 2cm m(PQ) =4 cm
m(CD) = 3cm m(RS) = 6cm
A razão entre os segmentos e e a razão entre os seg-
mentos e , são dadas por frações equivalentes, isto é: ; PQ/
RS = 4/6 e como , segue a existência de uma proporção 
entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à 
definição de segmentos proporcionais.
Diremos que quatro segmentos de reta, , , e , nesta 
ordem, são proporcionais se: .
Os segmentos e são os segmentos extremos e os seg-
mentos e são os segmentos meios.
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que 
existe uma proporção entre os números reais que repre-
sentam as medidas dos segmentos:
Feixe de Retas Paralelas
Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano 
é chamado feixede retas paralelas. A reta que intercepta 
as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas a, 
b, c e d que aparecem no desenho anexado, formam um 
feixe de retas paralelas enquanto que as retas s e t são retas 
transversais.
107
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Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas deter-
mina sobre duas transversais quaisquer, segmentos pro-
porcionais. A figura abaixo representa uma situação onde 
aparece um feixe de três retas paralelas cortadas por duas 
retas transversais.
Identificamos na sequência algumas proporções:
Ex: Consideremos a figura ao lado com um feixe de re-
tas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas 
em centímetros.
Assim:
B C A⁄ B = E F D⁄ E
A B D⁄ E = B C E⁄ F
D E A⁄ B = E F B⁄ C
Uma proporção entre segmentos pode 
ser formulada de várias maneiras. Se 
um dos segmentos do feixe de paralelas 
for desconhecido, a sua dimensão pode 
ser determinada com o uso de razões 
proporcionais.
#FicaDica
Ângulos
Ângulo: Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - 
gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não 
colineares.
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do 
que 90º. 
Ângulo Central
a) Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro 
da circunferência; 
b) Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do 
polígono regular e cujos lados passam por vértices 
consecutivos do polígono. 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não per-
tence à circunferência e os lados são tangentes à ela. 
108
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Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a 
uma circunferência e seus lados são secantes a ela. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do 
que 90º. 
Ângulo Raso:
 
- É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apóiam em retas perpendicu-
lares. 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são comple-
mentares se a soma das suas medidas é 900. 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a 
mesma medida. 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são 
opostos pelo vértice se os lados de um são as respectivas 
semi-retas opostas aos lados do outro. 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suple-
mentares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 
180º. 
Grau: (º): Do latim - gradu; dividindo a circunferência 
em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 
1/360 da circunferência denominamos de grau.
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Ângulos formados por duas retas paralelas com uma 
transversal
Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mes-
mo plano e não possuem ponto em comum. 
Vamos observar a figura abaixo:
Todos esses ângulos possuem relações entre si, e elas 
estão descritas a seguir:
Ângulos colaterais internos: O termo colateral signi-
fica “mesmo lado” e sua propriedade é que a soma destes 
ângulos será sempre 180°
Assim a soma dos ângulos 4 e 5 é 180° e a soma dos 
ângulos 3 e 6 também será 180°
Ângulos colaterais externos: O termo colateral signi-
fica “mesmo lado” e sua propriedade é que a soma destes 
ângulos será sempre 180°
Assim a soma dos ângulos 2 e 7 é 180° e a soma dos 
ângulos 1 e 8 também será 180°
Ângulos alternos internos: O termo alterno significa la-
dos diferentes e sua propriedade é que eles sempre serão 
congruentes
Assim, o ângulo 4 é igual ao ângulo 6 e o ângulo 3 é 
igual ao ângulo 5
Ângulos alternos externos: O termo alterno significa 
lados diferentes e sua propriedade é que eles sempre serão 
congruentes
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Assim, o ângulo 1 é igual ao ângulo 7 e o ângulo 2 é 
igual ao ângulo 8
Ângulos correspondentes: São ângulos que ocupam 
uma mesma posição na reta transversal, um na região in-
terna e o outro na região externa.
Assim, o ângulo 1 é igual ao ângulo 5, o ângulo 2 é igual 
ao ângulo 6, o ângulo 3 é igual ao ângulo 7 e o ângulo 4 é 
igual ao ângulo 8.
FIQUE ATENTO!
Há cinco classificações distintas para os ân-
gulos formados por duas retas paralelas que 
intersectam uma transversal. Então, procure 
visualizar bem as imagens para associá-las a 
cada classificação existente.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (CS-UFG-2016) Considere que a figura abaixo represen-
ta um relógio analógico cujos ponteiros das horas (menor) 
e dos minutos (maior) indicam 3 h e 40 min. Nestas condi-
ções, a medida do menor ângulo, em graus, formado pelos 
ponteiros deste relógio, é:
a) 120°
b) 126°
c) 135°
d) 150°
Resposta: Letra B.
Considerando que cada hora equivale a um ângulo de 
30° (360/12 = 30) e que a cada 15 min o ponteiro da 
hora percorre 7,5°. Assim, as 3h e 40 min indica um ân-
gulo de aproximadamente 126°.
2. Na imagem a seguir, as retas u, r e s são paralelas e cor-
tadas por uma reta transversal. Determine o valor dos ân-
gulos x e y.
Resposta: x = 50° e y = 130°
Facilmente observamos que os ângulos x e 50° são opos-
tos pelo vértice, logo, x = 50°. Podemos constatar tam-
bém que y e 50° são suplementares, ou seja:
50° + y = 180°
y = 180° – 50°
y = 130°
Portanto,os ângulos procurados são y = 130° e x = 50°.
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EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (CS-UFG-2016) Considere que a figura abaixo represen-
ta um relógio analógico cujos ponteiros das horas (menor) 
e dos minutos (maior) indicam 3 h e 40 min. Nestas condi-
ções, a medida do menor ângulo, em graus, formado pelos 
ponteiros deste relógio, é:
a) 120°
b) 126°
c) 135°
d) 150°
Resposta: Letra B.
Considerando que cada hora equivale a um ângulo de 
30° (360/12 = 30) e que a cada 15 min o ponteiro da 
hora percorre 7,5°. Assim, as 3h e 40 min indica um ân-
gulo de aproximadamente 126°.
2. Na imagem a seguir, as retas u, r e s são paralelas e cor-
tadas por uma reta transversal. Determine o valor dos ân-
gulos x e y.
Resposta: x = 50° e y = 130°
Facilmente observamos que os ângulos x e 50° são opos-
tos pelo vértice, logo, x = 50°. Podemos constatar tam-
bém que y e 50° são suplementares, ou seja:
50° + y = 180°
y = 180° – 50°
y = 130°
Portanto,os ângulos procurados são y = 130° e x = 50°.
POLÍGONOS
Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal fechada. A palavra “polígono” advém do 
grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).
 Linhas poligonais e polígonos
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:
Linha poligonal fechada simples:
Linha poligonal fechada não-simples:
Linha poligonal aberta simples:
Linha poligonal aberta não-simples:
FIQUE ATENTO!
Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a 
interior e a exterior), sem pontos comuns.
Elementos de um polígono
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Um polígono possui os seguintes elementos:
Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: AB, BC, CD, DE, EA.
Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E
Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC, AD, BD, BE, CE
Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: a�, b� , c�, d� , e�.
Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: a�1, b1, c1, d1, e1
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados
Nome Número de lados Nome Número de lados
triângulo 3 quadrilátero 4
pentágono 5 hexágono 6
heptágono 7 octógono 8
eneágono 9 decágono 10
hendecágono 11 dodecágono 12
tridecágono 13 tetradecágono 14
pentadecágono 15 hexadecágono 16
heptadecágono 17 octodecágono 18
eneadecágono 19 icoságono 20
A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:
Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano 
em uma região interna e externa), caso o contrário é denominado complexo.
Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso 
o contrário é denominado côncavo.
Um polígono convexoé denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices 
pertencerem a uma mesma circunferência.
Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares:
a) triângulo equilátero 
b) quadrado 
c) pentágono regular 
d) hexágono regular 
Propriedades dos polígonos
De cada vértice de um polígono de n lados, saem dv = n – 3
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O número de diagonais de um polígono é dado por:
d =
n n − 3
2
Onde n é o número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polí-
gono de n lados (Si) é dada por:
Si = n− 2 � 180°
A soma das medidas dos ângulos externos de um polí-
gono de n lados (Se) é igual a:
Se =
360°
n
Em um polígono convexo de n lados, o número de 
triângulos formados por diagonais que saem de cada vér-
tice é dado por n - 2. 
A medida do ângulo interno de um polígono regular de 
n lados (ai) é dada por:
ai =
n− 2 � 180°
n
A medida do ângulo externo de um polígono regular de 
n lados (ae) é dada por:
ae =
360°
n
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polí-
gono regular de n lados (Sc) é igual a 360º. 
A medida do ângulo central de um polígono regular de 
n lados () é dada por:
ac =
360°
n
Polígonos regulares
Os polígonos regulares são aqueles que possuem to-
dos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. 
Todas as propriedades anteriores são válidas para os polí-
gonos regulares, a diferença é que todos os valores são dis-
tribuídos uniformemente, ou seja, todos os ângulos terão 
o mesmo valor e todas as medidas terão o mesmo valor.
Polígonos regulares são formas de polígonos 
mais estudadas e cobradas em questões de 
concursos.
#FicaDica
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (PREF. DE POÁ-SP – ENGENHEIRO DE SEGURANÇA 
DE TRABALHO – VUNESP/2015) A figura ilustra um oc-
tógono regular de lado cm.
Sendo a altura do trapézio ABCD igual a 1 cm, a área do 
triângulo retângulo ADE vale, em cm²
a) 5
b) 4
c) 
d) 2 + 1
e) 2
Resposta: Letra D.
COMENTÁRIO:
Como a altura do trapézio mede 1 cm, temos um trian-
gulo isósceles de hipotenusa AB, assim, o segmento 
AD = 2 + 2 . Assim, a área de ADE é:
A =
2 + 2 2
2 =
2
2 +
2 2
2 = 1 + 2
5
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2. (UNIFESP - 2003) Pentágonos regulares congruentes 
podem ser conectados lado a lado, formando uma estrela 
de cinco pontas, conforme destacado na figura a seguir
Nessas condições, o ângulo θ mede:
a) 108°.
b) 72°.
c) 54°.
d) 36°.
e) 18°.
Resposta: Letra D.
Na ponta da estrela onde está destacado o ângulo θ, temos 
o encontro de três ângulos internos de pentágonos regu-
lares. Para descobrir a medida de cada um desses ângulos, 
basta calcular a soma dos ângulos internos do pentágono e 
dividir por 5.
A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de 
um polígono é: S = (n – 2) · 180
*n é o número de lados do polígono. No caso desse 
exercício:
S = (5 – 2) · 180
S = 3 · 180
S = 540
Dividindo a soma dos ângulos internos por 5, pois um 
pentágono possui cinco ângulos internos, encontrare-
mos 108° como medida de cada ângulo interno.
Observe na imagem anterior que a soma de três ângu-
los internos do pentágono com o ângulo θ tem como 
resultado 360°.
108 + 108 + 108 + θ = 360
324 + θ = 360
θ = 360 – 324
θ = 36°
Quadriláteros, Circunferência e Círculo
Quadriláteros
São figuras que possuem quatro lados dentre os quais 
temos os seguintes subgrupos:
Paralelogramo
Características:
Possuem lados paralelos, dois a dois, ou seja: 
AB // DC e AD // BC .
Além de paralelos, os lados paralelos possuem a mesma 
medida, ou seja: AB = DC e AD = BC
A altura é medida em relação a distância entre os seg-
mentos paralelos, ou seja: BG: altura = h
A base é justamente a medida dos lados que se mediu 
a altura: AD: base = b
A área é calculada como o produto da base pela altura: 
Área= b∙h
O perímetro é calculado como a soma das medidas de 
todos os quatro lados: AB + BC + CD + DA
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Retângulo
Características:
Possuem lados paralelos, dois a dois, ou seja: 
AB // DC e AD // BC
Além de paralelos, os lados paralelos possuem a mesma 
medida, ou seja: AB = DC e AD = BC
Diferentemente do paralelogramo, todos os ângulos do 
retângulo medem 90°: A� = B� = C� = D� = 90°
No retângulo, um par de lados paralelos 
será a base e o outro será a altura, no desenho: 
AB: altura = h e AD: base = b
A área é calculada como o produto da base pela altura: 
Área= b∙h
O perímetro é calculado como a soma das medidas de 
todos os quatro lados:
Perímetro = AB + BC + CD + DA = 2b + 2h
Losango
Características:
Possuem lados paralelos, dois a dois, ou seja: 
AB // DC e AD // BC
Possuem os quatro lados com medidas iguais: 
AB = DC = AD = BC
No losango, definem-se diagonais como a distância en-
tre vértices opostos, assim: 
BD: diagonal maior = D e AC: diagonal menor = d
A área é calculada a partir das diagonais e não dos la-
dos: Área =
D � d
2O perímetro é calculado como a soma das medidas de 
todos os quatro lados: AB + BC + CD + DA
Quadrado
Características:
Possuem lados paralelos, dois a dois, ou seja: 
AB // DC e AD // BC
Possuem os quatro lados com medidas iguais: 
AB = DC = AD = BC
Diferentemente do losango, todos os ângulos do qua-
drado medem 90°: A� = B� = C� = D� = 90°
Seguindo a lógica do retângulo, temos o valor da base e 
da altura iguais neste caso: BC: lado = L e AB: lado =
A área é calculada de maneira simples: Área = L2
O perímetro é calculado como a soma das medidas de todos 
os quatro lados: Perímetro = AB + BC + CD + DA = 4L
Trapézio
Características:
Possuirá apenas um par de lados paralelos que serão 
chamados de bases maior e menor:
AD// BC, AB: base maior = B e CD: base menor = b
A altura será definida como a distância entre as bases: 
BG: altura = h
A área é calculada em função das bases e da altura: 
Área =
B + b
2 � h
O perímetro é calculado como a soma das medidas de 
todos os quatro lados: AB + BC + CD + DA
Circunferência e Círculo
Uma circunferência é definida como o conjunto de pon-
tos cuja distância de um ponto, denominado de centro, O é 
igual a R, definido como raio.
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Já um círculo é definido como um conjunto de pontos 
cuja distância de O é menor ou igual a R.
Características:
A medida relevante da circunferência é o raio (R) que é 
a distância de qualquer ponto da circunferência em relação 
ao centro C.
A área é calculada em função do raio: Área = πR2
O perímetro, também chamado de comprimento da 
circunferência, é calculado em função do raio também: 
Perímetro = 2πR
Setor Circular
Um Setor Circular é uma região de um círculo com-
preendida entre dois segmentos de reta que se iniciam no 
centro e vão até a circunferência. 
Em termos práticos, um setor circular é um “pe-
daço” de um círculo.
#FicaDica
Características:
O ângulo α é definido como ângulo central
Área do Setor Circular (para α em graus): A = απR
2
360
Área do Setor Circular (para α em radianos): A =
αR2
2
Segmento Circular
Um Segmento Circular é uma região de um círculo 
compreendida entre um segmento que liga os pontos de 
cruzamento dos segmentos de reta com a circunferência, 
ao qual definimos como corda AB e a circunferência. 
Características:
A Área do Setor Circular (para α em radianos): 
A =
R2
2 α − senα
3. Posições Relativas entre Retas e Circunferências
Dado uma circunferência de raio R e uma reta ‘r’ cuja 
distância ao centro da circunferência é ‘d’, temos as seguin-
tes posições relativas: 
Reta Tangente: Reta e circunferência possuem apenas 
um ponto em comum (dOP = R)
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Reta Exterior: Reta e circunferência não possuem pon-
tos em comum (dOP > R)
Reta Secante: Reta e circunferência possuem dois pon-
tos em comum (dOP < R)
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1.(SEEDUC-RJ – Professor – CEPERJ/2015) O quadrado 
MNPQ abaixo tem lado igual a 12cm. Considere que as cur-
vas MQ e QP representem semicircunferências de diâme-tros respectivamente iguais aos segmentos MQ e QP.
A área sombreada, em cm2, corresponde a:
a) 30
b) 36
c) 3 46π − 2
d) 6(36π − 1)
e) 2(6π − 1)
Resposta: Letra B.
Aplicando a fórmula do segmento circular, encontra-se 
a área de intersecção dos dois círculos. Subtraindo esse 
valor da área do semicírculo, chega-se ao resultado.
2. A figura abaixo é um losango. Determine o valor de x e y, 
a medida da diagonal AC , da diagonal BD e o períme-
tro do triângulo BMC. 
Resposta:
Aplicando as relações geométricas referentes ao losan-
go, tem-se:
x = 15
y = 20 
AC = 20 + 20 = 40
 BD = 15 + 15 = 30
BMC = 15 + 20 + 25 = 60
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TRIÂNGULOS E TEOREMA DE PITÁGORAS
Definição
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que 
possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono 
mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns 
elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, altu-
ras, medianas e bissetrizes.
Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes so-
bre os mesmos.
a) Vértices: A,B,C.
b) Lados: AB,BC e AC.
c) Ângulos internos: a, b e c.
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um 
vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice for-
mando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto 
médio do lado oposto. BM é uma mediana.
Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas 
partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste 
caso Ê = Ô.
Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. 
Todo triângulo possui três ângulos internos.
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triân-
gulo e pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado).
Classificação dos triângulos quanto ao número de 
lados
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais. .
m(AB) = m(BC) = m(CA)
Triângulo Isósceles: Dois lados têm medidas iguais.
m(AB) = m(AC).
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas 
diferentes.
2.1. Classificação dos triângulos quanto às medidas 
dos ângulos
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são 
agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do 
que 90º.
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, 
isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
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Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto 
(90 graus). Atenção a esse tipo de triângulo pois ele é mui-
to cobrado!
Medidas dos Ângulos de um Triângulo
Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Po-
deremos identificar com as letras a, b e c as medidas dos 
ângulos internos desse triângulo. 
Em alguns locais escrevemos as letras 
maiúsculas, acompanhadas de acento () para 
representar os ângulos.
#FicaDica
Seguindo a regra dos polígonos, a soma dos ângulos 
internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, 
isto é: a + b + c = 180°
Ex: Considerando o triângulo abaixo, podemos achar o 
valor de x, escrevendo: 70º + 60º + x = 180º e des-
sa forma, obtemos x = 180º − 70º − 60º = 50º
Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. 
Como observamos no desenho, as letras minúsculas repre-
sentam os ângulos internos e as respectivas letras maiúscu-
las os ângulos externos.
Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma 
dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo 
externo. Assim: A = b + c, B = a + c, C = a + b
Ex: No triângulo desenhado, podemos achar a medida 
do ângulo externo x, escrevendo: x = 50º + 80º = 130°.
Congruência de Triângulos
Duas figuras planas são congruentes quando têm a 
mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo 
tamanho. Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são 
congruentes, usaremos a notação: ABC ~ DEF
Para os triângulos das figuras abaixo, existe a congruên-
cia entre os lados, tal que: AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ T e 
entre os ângulos: 
Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, es-
crevemos: A� ~ R� , B �~ S� , C� ~ T�
FIQUE ATENTO!
Dois triângulos são congruentes, se os seus 
elementos correspondentes são ordenada-
mente congruentes, isto é, os três lados e os 
três ângulos de cada triângulo têm respecti-
vamente as mesmas medidas. Deste modo, 
para verificar se um triângulo é congruente a 
outro, não é necessário saber a medida de to-
dos os seis elementos, basta conhecerem três 
elementos, entre os quais esteja presente pelo 
menos um lado. Para facilitar o estudo, indica-
remos os lados correspondentes congruentes 
marcados com símbolos gráficos iguais. 
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Casos de Congruência de Triângulos
LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos. 
Dois triângulos são congruentes quando têm, respectiva-
mente, os três lados congruentes. Observe que os elemen-
tos congruentes têm a mesma marca.
LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ân-
gulo. Dois triângulos são congruentes quando têm dois la-
dos congruentes e os ângulos formados por eles também 
são congruentes.
ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e 
um lado. Dois triângulos são congruentes quando têm um 
lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamen-
te, congruentes.
LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um 
lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado. Dois triângu-
los são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um 
ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respec-
tivamente congruente.
Semelhança de Triângulos
Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma 
forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Se 
duas figuras R e S são semelhantes, denotamos: .
Ex: As ampliações e as reduções fotográficas são figuras 
semelhantes. Para os triângulos:
Os três ângulos são respectivamente congruentes, isto 
é: A~R, B~S, C~T
Casos de Semelhança de Triângulos
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois 
ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos 
são semelhantes.
Se A~D e C~F então: ABC =� DEF
Dois lados proporcionais: Se dois triângulos tem dois 
lados correspondentes proporcionais e os ângulos forma-
dos por esses lados também são congruentes, então os 
triângulos são semelhantes.
Como m(AB) ⁄ m(EF) = m(BC) ⁄ m(FG) = 2 ,
então ABC =� EFG
Ex: Na figura abaixo, observamos que um triângulo 
pode ser “rodado” sobre o outro para gerar dois triângulos 
semelhantes e o valor de x será igual a 8. 
Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os 
três lados correspondentes proporcionais, então os triân-
gulos são semelhantes.
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Teorema de Pitágoras
Dizem que Pitágoras, filósofo e matemático grego que viveu na cidade de Samos no século VI a. C., teve a intuição do 
seu famoso teorema observando um mosaico como o da ilustração a seguir.
Observando o quadro, podemos estabelecer a seguinte tabela:
Triângulo 
ABC
Triângulo 
A`B`C`
Triângulo 
A``B``C``
Área do quadrado construído 
sobre a hipotenusa
4 8 16
Área do quadrado construído 
sobre um cateto
2 4 8
Área do quadrado construído 
sobre o outro cateto
2 4 9
Como 4 = 2 + 2 � 8 = 4 + 4 � 16 = 8 + 8 , Pitágoras observou que a área do quadrado construído sobre a 
hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
A descoberta feita por Pitágoras estava restrita a um triângulo particular: o triângulo retângulo isósceles. Estudos reali-
zados posteriormente permitiram provar que a relação métrica descoberta por Pitágoras era válida para todos os triângulos 
retângulos. Os lados do triângulo retângulo são identificados a partir a figura a seguir:
Onde os catetos são os segmentos que formam o ângulo de 90° e a hipotenusa é o lado oposto a esse ângulo. Cha-
mando de “a” e “b” as medidas dos catetos e “c” a medida da hipotenusa, define-se um dos teoremas mais conhecidos da 
matemática, o Teorema de Pitágoras:
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c2 = a2 + b2
Onde a soma das medidas dos quadrados dos catetos é 
igual ao quadrado da hipotenusa.
Teorema de Pitágoras no quadrado
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabele-
cer uma relação importanteentre a medida d da diagonal 
e a medida l do lado de um quadrado.
d= medida da diagonal
l= medida do lado
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retân-
gulo ABC, temos:
d² = l² + l²
d = √2l²
d = l 2
Teorema de Pitágoras no triângulo equilátero
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabele-
cer uma relação importante entre a medida h da altura e a 
medida l do lado de um triângulo equilátero.
l= medida do lado
h= medida da altura
No triângulo equilátero, a altura e a mediana coincidem. 
Logo, é ponto médio do lado BC. No triângulo retângulo 
AHC, é ângulo reto. De acordo com o teorema de Pitágo-
ras, podemos escrever:
h² =
3l2
4
h =
l 3
2
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1.(TJ-SP – ESCREVENTE JUDICIÁRIO – VUNESP/2017) 
A figura seguinte, cujas dimensões estão indicadas em me-
tros, mostra as regiões R
1
e R
2
, e , ambas com formato de 
triângulos retângulos, situadas em uma praça e destinadas a 
atividades de recreação infantil para faixas etárias distintas.
Se a área de R
1
e R
2
, é 54 m², então o perímetro de R
1
e R
2
, é, em 
metros, igual a:
a) 54
b) 48
c) 36
d) 40
e) 42
Resposta: Letra B.
Esse problema se resolve tanto por semelhança de triân-
gulos, quanto pela área de . Em ambos os casos, encon-
traremos x = 12 m. Após isso, pelo teorema de Pitágoras, 
achamos a hipotenusa do triângulo R
1
e R
2
, , que será 20 m. 
Assim, o perímetro será 12+16+20 = 48 m.
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2. (PM SP 2014 – VUNESP). Duas estacas de madeira, 
perpendiculares ao solo e de alturas diferentes, estão dis-
tantes uma da outra, 1,5 m. Será colocada entre elas uma 
outra estaca de 1,7 m de comprimento, que ficará apoiada 
nos pontos A e B, conforme mostra a figura.
A diferença entre a altura da maior estaca e a altura da 
menor estaca, nessa ordem, em cm, é:
a) 95.
b) 75.
c) 85.
d) 80.
e) 90.
Resposta: Letra D.
Note que x é exatamente a diferença que queremos, e 
podemos calculá-lo através do Teorema de Pitágoras:
1,72 = 1,52 + x2
2,89 = 2,25 + x2
x2 = 2,89 – 2,25
x² = 0,64x = 0,8 m ou 80 cm
LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS
Lei dos Senos
A Lei dos senos relaciona os senos dos ângulos de um 
triângulo qualquer (não precisa necessariamente ser retân-
gulo) com os seus respectivos lados opostos. Além disso, 
há uma relação direta com o raio da circunferência circuns-
crita neste triângulo:
a
sen A�
=
b
sen B�
=
c
sen C�
= 2R
.Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos é considerada uma generalização 
do teorema de Pitágoras, onde para qualquer triângulo, 
conseguimos relacionar seus lados com a subtração de um 
termo que possui o ângulo oposto do lado de referência.
a2 = b2 + c2 − 2 � b � c � cos A�
b2 = a2 + c2 − 2 � a � c � cos B�
c2 = a2 + b2 − 2 � a � b � cos C�
FIQUE ATENTO!
Há três formas distintas de utilizar a Lei 
dos Cossenos. Quando for utilizá-la, tenha 
cuidado ao expressar os termos conhecidos 
e a incógnita em uma das três equações 
propostas. Note que o termo à esquerda do 
sinal de igual é o lado oposto ao ângulo que 
deve aparecer na equação. 
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EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. Calcule a medida de x:
Resposta: Aplicando a lei dos senos, lembrando que temos que aplicar ao ângulo oposto ao lado que iremos usar. As-
sim, o lado de medida 100 possui o ângulo A� como oposto, e ele mede 30°, dado as medidas dos outros ângulos, assim:
x
sen 45° =
100
sen 30°
x
2/2
=
100
1/2
x = 100 2
2.Calcule a medida de x:
Resposta: Aplicando a lei dos senos, lembrando que ela se relaciona com a circunferência circunscrita ao triângulo:
x
sen 60° = 2R
x
3/2
= 2 3
x = 3
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GEOMETRIA ESPACIAL
A) RETAS E PLANOS NO ESPAÇO: PARALELISMO E PERPENDICULARISMO.
B) PRISMAS, PIRÂMIDES, CILINDROS E CONES: CONCEITO, ELEMENTOS, CLASSIFICAÇÃO, 
ÁREAS, VOLUMES E TRONCOS.
C) ESFERA: ELEMENTOS, SEÇÃO DA ESFERA, ÁREA E VOLUME.
GEOMETRIA ESPACIAL
1. Poliedros 
Poliedros são sólidos compostos por faces, arestas e vértices. As faces de um poliedro são polígonos. Quando as faces 
do poliedro são polígonos regulares e todas as faces possuem o mesmo número de arestas, temos um poliedro regular. 
Há 5 tipos de poliedros regulares, a saber:
Tetraedro: poliedro de quatro faces
Hexaedro: poliedro de seis faces (cubo)
Octaedro: poliedro de oito faces
Dodecaedro: poliedro de doze faces
Icosaedro: poliedro de vinte faces
Já poliedros não regulares são sólidos cujas faces ou são polígonos não regulares ou não possuem o mesmo número de 
arestas. Os exemplos mais usuais são pirâmides (com exceção do tetraedro) e prismas (com exceção do cubo).
Relação de Euler: relação entre o número de arestas (A), faces (F) e vértices (V) de um poliedro convexo. É dada por:
V− A + F = 2
2. Prismas
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à 
inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. 
2.1. Prisma reto
As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.
As faces laterais são retangulares. 
2.2. Prisma oblíquo
As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
As arestas laterais são oblíquas (formam um ângulo diferente de um ângulo reto) ao plano da base.
As faces laterais não são retangulares. 
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Bases: regiões poligonais congruentes 
Altura: distância entre as bases 
Arestas laterais paralelas: mesmas 
medidas 
Faces laterais: paralelogramos
Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo
Prismas regulares: prismas que possuem como base, polígonos regulares (todos os lados iguais).
Sendo AB , a área da base, ou seja, a área do polígono correspondente e AL , a área lateral, caracterizada pela soma 
das áreas dos retângulos formados entre as duas bases, temos que:
Área total: AT = AL + 2 � AB
Volume: V = AB. h , onde h é a altura, caracterizada pela distância entre as duas bases
3. Cilindros
São sólidos parecidos com prismas, que apresentam bases circulares e também podem ser retos ou oblíquos.
Sendo R o raio da base, a altura do cilindro, temos que:
Área da base: AB = πR2
Área lateral: AL = 2πRh
Área total: AT = AL + 2AB
Volume: V = AB � h
4. Pirâmides
As pirâmides possuem somente uma base e as faces laterais são triângulos. A distância do vértice de encontro dos 
triângulos com a base é o que determina a altura da pirâmide (h).
127
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Sendo a área da base, determinada pelo polígono que 
forma a base, a área lateral, determinada pela soma das 
áreas dos triângulos laterais, temos que:
Área total: AT = AL + AB
Volume: V =
AB � h
3
5. Cones
Os cones são sólidos possuem uma única base (círculo). 
A distância do vértice à circunferência (contorno da base) 
é chamada de geratriz (g) e a distância entre o vértice e o 
centro do círculo é a altura do cone (h).
Geratriz: g2 = R2 + h2
Área da Base: AB = πR2
Área Lateral: AL = πgR
Área Total: AT = AL + AB
Volume: V = AB � h3
6. Esfera
A esfera é o conjunto de pontos nos quais a distância 
em relação a um centro é menor ou igual ao raio da esfera 
R. A esfera é popularmente conhecida como “bola” pois seu 
formato é o mesmo de uma bola de futebol, por exemplo.
Área da Superfície Esférica: A = 4πR2
Volume: V =
4πR3
3
Na área total dos prismas e cilindros, multipli-
camos a área da base por 2 pois temos duas 
bases formando o sólido. Já no caso das pirâ-
mides e dos cones isto não ocorre, pois há ape-
nas uma base em ambos.
#FicaDica
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (TJ-SP – ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO – VU-
NESP/2017) As figuras seguintes mostram os blocos de 
madeira A, B e C, sendo A e B de formato cúbico e C com 
formato de paralelepípedo reto retângulo, cujos respecti-
vos volumes, em cm³, são representados por VA, VB e VC.
Se VA + VB = 1/2 VC , então a medida da altura do bloco C, 
indicada por h na figura, é, em centímetros, igual a:
a) 15,5
b) 11
c) 12,5
d) 14
e) 16
128
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Resposta : Letra C. 
 
VA = 53 = 125 cm³
VB = 103 = 1000 cm³
Logo: VC2 = VA+ VB = 125 + 1000
→
VC
2 = 1125 → VC = 2250 cm³ 
Portanto, VC = 18 � 10 � h = 2250 → h =
2250
180 = 12,5 cm
2. (PEDAGOGO – IF/2016) Uma lata de óleo de soja de 1 
litro, com formato cilíndrico, possui 8 cm de diâmetro inter-
no. Assim, a sua altura é de aproximadamente: (Considere 
π = 3,14 )
a) 20 cm
b) 25 cm
c) 201 cm
d) 200 cm
e) 24 cm
Resposta: Letra A.
1L = 1dm3 = 1000 cm³
Volume da lata(cilindro): 
VC = πR2h → 3,14 � 42 � h = 1000 → h ≅ 20 cm
Obs: Como o diâmetro é igual a 8cm o raio é igual a 
4cm.
3. (PREF. ITAPEMA-SC – TÉCNICO CONTÁBIL – MS 
CONCURSOS/2016) O volume de um cone circular reto, 
cuja altura é 39 cm, é 30% maior do que o volume de um 
cilindro circular reto. Sabendo que o raio da base do cone 
é o triplo do raio da base do cilindro, a altura do cilindro é:
a) 9 cm
b) 30 cm
c) 60 cm
d) 90 cm
Resposta: Letra D. 
Volume do cone: VC
Volume do cilindro: Vcil
Do enunciado: VC = 1,3. Vcil (30% maior).
4. (CÂMARA DE ARACRUZ-ES – AGENTE ADMINIS-
TRATIVO E LEGISLATIVO – IDECAN/2016) João possui 
cinco esferas as quais, quando colocadas em certa ordem, 
seus volumes formam uma progressão aritmética. Sabendo 
que a diferença do volume da maior esfera para a menor é 
32 cm³ e que o volume da segunda maior esfera é 86,5 cm³, 
então o diâmetro da menor esfera é: (Considere: π = 3)
a) 2 cm
b) 2,5 cm
c) 4,25 cm
d) 5 cm
Resposta: Letra D.
Sendo a P.A. (V1 , V2 , V3, V4 , V5), (, o enunciado fornece:
Do termo geral da P.A., sabe-se que 
V5 = V1 + 5− 1 � r = V1 + 4r
onde r é a razão da P.A.
Assim, V1 + 4r − V1 = 32 → 4r = 32 → r = 8
Como 
V4 = V1 + 3r
→ V1 + 3 � 8 = 86,5
→ V1 + 24 = 86,5
→ V1 = 62,5 cm
Como 
V =
4
3 πR
3
→
4
3 � 3 � R
3 = 62,5
→ R3 =
62,5
4
→ R3 = 15,625
→ R = 2,5 cm
Como o exercício pediu o diâmetro, D = 2.2,5 = 5 cm
ESCALAS
Em linhas gerais, escala é a relação matemática entre a 
distância medida em um mapa (ou desenho, planta, etc.) 
e a dimensão real do objeto (local) representado por esse 
mapa (ou desenho, planta, etc.). Quando se observa um 
mapa e lê-se que ele foi feito em escala 1:500 cm, significa 
que 1 cm medido no mapa equivale a 500 cm na realidade.
Tipos de Escala
Considerando a forma de apresentação, há dois tipos 
de escala, a saber:
Gráfica: a escala gráfica é aquela na qual a distância a 
ser medida no mapa e sua equivalência são apresentadas 
por unidade. Geralmente estão na parte inferior do mapa, 
como no exemplo abaixo:
Fonte: brasilescola.uol.com.br/geografia/escalas.htm
Medindo com uma régua a distância entre 0 e 50 me-
tros, por exemplo, significa que a medida dessa distância 
no mapa equivale a 50 metros na realidade.
129
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Numérica: a escala numérica é apresentada como uma 
relação e estabelece diretamente qual é a relação entre dis-
tâncias no mapa e real, sem a necessidade de medições 
com régua como na escala gráfica. Um exemplo de escala 
numérica:
1:50.000
Isso significa que 1 cm no mapa equivale a 50.000 cm 
na realidade. 
Considerando o tamanho da representação de determi-
nado mapa ou desenho, a escala pode ser classificada de 
três formas:
Natural: a escala natural é aquela na qual o tamanho 
do desenho coincide com o tamanho do objeto real.
Reduzida: a escala reduzida é aquela na qual o dese-
nho é menor do que a realidade. É a escala na qual a maio-
ria dos mapas é feita.
Ampliada: a escala ampliada é aquela na qual o dese-
nho é maior do que a realidade. Figuras obtidas com auxílio 
de microscópios, por exemplo, estão em escala ampliada.
Cálculo de Escala
A escala (E) pode ser expressa como:
𝐸 =
𝑑
𝐷
onde d é a distância medida no desenho (mapa) e D é 
a distância real do objeto (local que o mapa representa). 
Assim é possível calcular quaisquer distâncias medidas no 
desenho.
FIQUE ATENTO!
Não se esqueça de trabalhar sempre com as 
mesmas unidades de medida!
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (NOVA CONCURSOS - 2018) Considere o mapa a seguir:
Fonte: GIRARDI, G. ROSA, J.V. 1998 (Adaptação)
Determine, em quilômetros, a distância entre as cidades do 
Rio de Janeiro e Vitória, e de Belo Horizonte a Vitória.
Resposta: 385 km e 346,5 km. Começando pela distân-
cia entre Rio de Janeiro e Vitória.
Pela definição de escala: 
𝐸 =
𝑑
𝐷 →
1
7.700.000 =
5
𝐷 → 𝐷 = 5 ∙ 7.700.000 = 38.500.00 𝑐𝑚
Logo, a distância em quilômetros é igual a: 385 km
Entre Belo Horizonte e Vitória.
Pela definição de escala: 
𝐸 =
𝑑
𝐷 →
1
7.700.000 =
4
𝐷 → 𝐷 = 4,5 ∙ 7.700.000 = 34.650.00 𝑐𝑚
Logo, a distância em quilômetros é igual a: 346,5 km
2. (NOVA CONCURSOS - 2018) Em uma cidade duas atra-
ções turísticas distam 4 km. Sabe-se que no mapa dessa 
cidade, esses pontos estão distantes 20 cm um do outro. 
Qual é a escala do mapa?
Resposta: 1:20000 Antes de utilizar a definição de es-
cala é importante que ambas as distâncias estejam na 
mesma medida. Assim, é necessário passar 4 km para 
cm: 4 km=400000 cm.
Pela definição de escala: 
𝐸 =
𝑑
𝐷 → 𝐸 =
20
400000 =
1
20000 → 𝐸 = 1: 20000
130
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[ Á
TI
CA
3. (NOVA CONCURSOS - 2018) Qual será a distância entre dois pontos em um mapa sabendo que a escala do mapa é de 
1:200 000 e a distância real entre eles é de 8 km?
Resposta: 4 cm. Antes de utilizar a definição de escala é importante que ambas as distâncias estejam na mesma medida. 
Assim, é necessário passar 8 km para cm: 8 km=800000 cm.
Pela definição de escala: 
𝐸 =
𝑑
𝐷 →
1
200000 =
𝑑
800000 →
1
2 =
𝑑
8 → 𝑑 = 4𝑐𝑚
GEOMETRIA ANALÍTICA
A) PONTO: O PLANO CARTESIANO, DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, PONTO MÉDIO DE UM 
SEGMENTO, CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS.
B) ESTUDO DA RETA: EQUAÇÃO GERAL E REDUZIDA; INTERSEÇÃO, PARALELISMO E 
PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS; DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA; ÁREA DE UM 
TRIÂNGULO.
C) ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÃO GERAL E REDUZIDA; POSIÇÕES RELATIVAS 
ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA, RETA E CIRCUNFERÊNCIA E DUAS CIRCUNFERÊNCIAS; 
TANGÊNCIA.
A Geometria Analítica é a parte da Matemática que trata de resolver problemas cujo enunciado é geométrico, empre-
gando processos algébricos.
Criada por René Descartes (1596-1650), a Geometria Analítica contribui para a visão moderna da Matemática como um 
todo, substituindo assim a visão parcelada das chamadas “matemáticas”, que colocava em compartilhamentos separados 
Geometria, Álgebra e Trigonometria.
Essa integração da Geometria com Álgebra é muito rica em seus resultados, propriedades e interpretações. São inúme-
ras as aplicações da Geometria Analítica nas Ciências e na Técnica.
Abscissa de um ponto
Considere-se uma reta r. Sobre ela, marque-se um ponto O arbitrário, que chamaremos de origem, e seja adotada uma 
unidade (u) de comprimento com a qual serão medidos os segmentos contidos na reta r.
O
u
r
Tome-se na reta r os pontos P à direita de O e P’ à esquerda de O, tais que, relativamente a (u), os segmentos e tenham 
a mesma medida m.
P’ O P
m m
r
O sentido de O para P será considerado positivo e indicado por uma ponta de seta. Assim associa-se ao ponto P o nú-
mero real positivo m e ao ponto P’, o número –m. 
P’(-m) P(m) rO 
Dessa forma, associa-se a cada ponto da reta r um único número real, que será denominado abscissa (ou coordenada) 
do ponto; a abscissa é positiva se, a partir da origem, o ponto for marcado no sentido positivo, e é negativa em caso con-
trário.
131
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
O rB A 
-2 3
A(3): ponto A de abscissa 3
B (-2): ponto B de abscissa -2
O conjunto {reta, origem, unidade, sentido} será cha-
mado eixo.
Notas
1) A abscissa da origem é o número real 0 (zero).
2) Cada ponto de um eixo possui uma única abscissa, e 
reciprocamente para cada abscissa existe um único 
ponto do eixo.
3) Costuma-se indicar pela letra x a abscissa de um ponto.
Exemplo 1
Marcar sobre o eixo x, representado abaixo, os pontos 
A(2), B(-3) e C .
0 1 x
Resolução
0 1½ 2-3
B C A
x
 Segmento Orientado
Dado um segmento de reta AB, é possível associar a ele 
o sentido de A para B ou o sentido de B para A. adotando-
-se, por exemplo, o sentido de A paraB, tem-se o segmen-
to orientado de origem A e extremidade B.
A B
Medida Algébrica
Considere-se sobre um eixo r um segmento orientado .
A B
r
A medida algébrica de , que será indicada por , é 
definida pelo número XB – XA, onde XB e XA são respectiva-
mente as abscissas de B e de A.
Assim:
= XB – XA
Exemplo 2
= XB – XA = 10 – 3 = 7
a) A(3)
B(10)
= XB – XA = 1 – 8 = 7
b) A(1)
B(8)
Observações
1) Quando o sentido de é o mesmo do eixo, a me-
dida algébrica é positiva; em caso contrário, é negativa. 
Nessas condições, se tem medida algébrica positiva, 
então tem medida algébrica negativa.
2) O comprimento d de um segmento orientado , é 
o módulo (valor absoluto) da medida algébrica de , ou 
seja, .
Em símbolos:
d = = |XB - XA|
Exemplo 3
a) O comprimento do segmento orientado , dados 
A(2) e B(11) é
 = |XB - XA| = |11 – 2| = |9| = 9
b) O comprimento do segmento orientado , dados 
A(
3) e B(8) é
 = |XB - XA| = |3 - 8| = |-5| = 5
Exemplo 4
Na figura abaixo, os pontos A, B e C estão sobre o eixo 
x de origem O.
A O C B
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
Calcular:
a) 
b) 
c) 
Resolução
Da figura, tem-se XA = -3, XB = 4 e XC = 2.
Assim, 
a) = XC – XA = 2 – (-3) = 5
b) = XO – XB = 0 – 4 = -4
c) 
Exemplo 5
Dados os pontos A(1) e B(9), determinar o ponto C tal 
que .
Resolução
Seja XC a abscisssa do ponto C:
Substituindo-se as coordenadas dos pontos:
XC – 1 = 3(9 - XC) → XC = 7
Resposta: C(7).
132
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Exemplo 6
Dado o ponto A(3), determinar um ponto B que diste 5 
unidades do ponto A.
Resolução
Seja XB a abscissa de B. Tem-se: = 5, ou seja, |XB - 
XA| = 5
 XB – 3 = 5 → XB = 8
Então |XB – 3| = 5 ou
 XB – 3 = -5 → XB = -2
De fato, existem dois pontos B que distam 5 unidades 
de A:
B A B
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
5 5
Resposta: B(8) ou B(-2).
Ponto Médio
Considerem-se os pontos A(XA) e B(XB). Sendo M(XM) o 
ponto médio de (ou de ), tem-se:
De fato,
A B B
XA XB
Portanto, a abscissa do ponto médio M do segmento 
(ou de ) é a média aritmética das abscissas de A e de B.
Exemplo 7
Determinar o ponto médio M do segmento , nos se-
guintes casos:
a) A(1) e B(7)
Resolução
Resposta: M(4).
b) A(-3) e B(15)
Resolução
Resposta: M(6).
c) A(-1) e B(-12)
Resolução
Resposta: M .
Exemplo 8
Dados os pontos A(1) e B(16), obter os pontos que divi-
dem o segmento em três partes congruentes.
Resolução
Considere-se a figura abaixo, onde R e S são os pontos 
pedidos.
A R S B
1 16
Como são iguais, pode-se escrever 
, ou seja,
XS – XA = 2(XB – XS)
XS – 1 = 2(16 – XS) ∴ XS = 11
Sendo R o ponto médio de , vem:
Resposta: R(6) e S(11).
SISTEMA CARTESIANO
Coordenadas de um ponto
Sejam x e y dois eixos perpendiculares entre si e com 
origem O comum, conforme a figura abaixo. Nessas condi-
ções, diz-se que x e y formam um sistema cartesiano re-
tangular (ou ortogonal), e o plano por eles determinado é 
chamado plano cartesiano.
Eixo x (ou Ox): eixo das abscissas
Eixo y (ou Ou): eixo das ordenadas
O: origem do sistema
y
x
0 1
1
133
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
A cada ponto P do plano corresponderão dois núme-
ros: a (abscissa) e b (ordenada), associados às projeções 
ortogonais de P sobre o eixo x e sobre o eixo y, respecti-
vamente.
Assim, o ponto P tem coordenadas a e b e será indicado 
analiticamente pelo par ordenado (a, b).
P
y
x
0 a
b
•
•
•
Exemplo 1
Os pontos, no sistema cartesiano abaixo, têm suas 
coordenadas escritas ao lado da figura.
A (3, 2)
B (0, 2)
C (-3, 2)
D (-3, 0)
E (-3, -2)
F (0, -2)
G (3, -2)
H (3, 0)
O (0, 0) C
H
E
D
AB
F
-3 -2 -11
0
1 2 3
2
-2
-1
G
y
x
•
Nota
Neste estudo, será utilizado somente o sistema carte-
siano retangular, que se chamará simplesmente sistema 
cartesiano.
Observações
1) Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro 
regiões ou quadrantes (Q), que são numeradas, como na 
figura abaixo.
y
x
0
2º Q 1º Q
4º Q3º Q
2) Neste curso, a reta suporte das bissetrizes do 1º e 
3º quadrantes será chamada bissetriz dos quandrantes 
ímapares e indica-se por bi.a do 2º e 4º quadrantes será 
chamado bissetriz dos quadrantes pares e indica-se por bp.
y
x
0
bp
bi
 Propriedades
1) Todo ponto P(a, b) do 1º quadrante tem abscissa po-
sitiva (a > 0) e ordenada positiva (b > 0) e recipro-
camente.
P(a, b) 1º Q a > 0 e b > 0
Assim P(3, 2) 1º Q
P
y
x
0
2
3
2) Todo ponto P(a, b) do 2º quadrante tem abscissa ne-
gativa (a < 0) e ordenada positiva (B > 0) e recipro-
camente.
P(a, b) 2º Q a < 0 e b > 0
Assim P(-3, 2) 2º quadrante
P
y
x
0-3
2
134
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
3) Todo ponto P(a, b) do 3º quadrante tem abscissa ne-
gativa (a < 0) e ordenada negativa (b < 0) e recipro-
camente.
P(a, b) 3º Q a < 0 e b < 0
Assim P(-3, -2) 3º Q
P
y
x
0
-3
-2
4) Todo ponto P(a, b) do 4º quadrante tem abscissa po-
sitiva (a > 0) e ordenada negativa (B < 0) e recipro-
camente.
P(a, b) 4º Q a > 0 e b < 0
Assim P(3, -2) 4º Q
P
y
x
0
3
-2
5) Todo eixo das abscissas tem ordenada nula e reci-
procamente.
P(a, b) Ox b = 0
Assim P(3, 0) Ox
y
xP
30
6) Todo ponto do eixo das ordenadas tem abscissa nula 
e reciprocamente.
P(a, b) Oy a = 0
Assim P(0, 3) Oy
y
x
P3
0
7) Todo ponto P(a, b) da bissetriz dos quadrantes ím-
pares tem abscissa e ordenada iguais (a = b) e reci-
procamente.
P(a, b) bi a = b
Assim P(-2, -2) bi
y
x
P -2
0-2
8) Todo ponto P(a, b) da bissetriz dos quadrantes pares 
tem abscissa e ordenada opostas (a = -b) e recipro-
camente.
P(a, b) bp a = -b
Assim P(-2, 2) bp
y
x
P 2
0-2
Exemplo 2
Obter a, sabendo-se que o ponto A(4, 3ª -6) está no 
eixo das abscissas.
135
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Resolução
A Ox 3a – 6 = 0 ∴ a = 2
Resposta: 2.
Exemplo 3
Obter m, sabendo-se que o ponto M(2m – 1, m + 3) 
está na bissetriz dos quadrantes ímpares.
Resolução
M bi 2m – 1 = m + 3 ∴ m = 4
Resposta: 4.
Ponto Médio
Considerem-se os pontoa A(xA, yA) e B(xB, yB). Sendo 
M(xM, yM) o ponto médio de (ou ), tem-se:
 e , ou seja,
o ponto médio é dado por:
y
x
0
B’’ (yB)
M’’ (yM)
A’’ (yA)
B’ (yB)M’ (yM)A’ (yA)
De fato:
Se M é o ponto médio de (ou ), pelo teorema de 
Tales, para o eixo x pode-se escrever:
Analogicamente, para o eixo y, tem-se
Portanto, as coordenadas do ponto médio M do seg-
mento (ou ) são respectivamente as médias das abs-
cissas de A e B e das ordenadas de A e B.
Exemplo 4
Obter o ponto médio M do segmento , sendo dados: 
A(-1, 3) e B(0, 1).
Resolução
Resposta: .
Baricentro
Seja o triângulo ABC de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, 
yC). sendo G(xG, yG) o baricentro (ponto de encontro das 
medianas) do triângulo ABC, tem-se:
ou seja, o ponto G é dado por
G
M
y
x
0 A’(xA) G’(xG) M’(xM)
C
A
B
De fato, considerando a mediana AM, o baricentro G é 
tal que
Pelo Teorema de Tales, para o eixo x podemos escrever
e, como , vem 
136
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
ou seja, 
Analogamente, para o eixo y, tem-se
Portanto, as coordenadas do baricentro de um triân-
gulo ABC são, respectivamente, as médias aritméticas das 
abscissas de A, B e C e das ordenadas A, B e C.
Exemplo 5
Sendo A(1, -1), B(0, 2) e C(11, 5) os vértices de um triân-
gulo, obter o baricentro G desse triângulo.
Resolução
Logo, G(4, 2).
Distância Entre Dois Pontos
Considerem-se dois pontos distintos A(xA, yA) e B(xB, yB), 
tais que o segmento não seja paralelo a algum dos ei-
xos coordenados.
Traçando-se por A e B as retas paralelas aos eixos coor-
denados que se interceptam em C, tem-se o triângulo ACB, 
retângulo em C.
•
y
x
0
A
B
C
d
A distância entre os pontos A e B qie se indica por d é 
tal que
Portanto:
Observações
1) Como (xB - xA)2 = (xA - xB)2, a ordem escolhida para a 
diferença das abscissas não altera o cálculo de d. O mesmo 
ocorre com a diferença das ordenadas.
2) A fórmulapara o cálculo da distância continua válida 
se o segmento é paralelo a um dos eixos, ou ainda se 
os pontos A e B coincidem, caso em que d = 0.
Exemplo 6
Calcular a distância entre os pontos A e B, nos seguintes 
casos:
a) A(1, 8) e B(4, 12)
Resolução
b) A(0, 2) e B(-1, -1)
Resolução
Exemplo 7
Qual é o ponto da bissetriz dos quadrantes pares cuja 
distância ao ponto A(2, 2) é 4?
Resolução
Seja P o ponto procurado.
Como P pertence à bissetriz dos quadrantes pares (bp), 
pode-se representá-lo por P(a, -a).
Sendo 4 a distância entre A e P, tem-se
Quadrando
(2 – a)2 + (2 + a )2 = 16
 a = 2
4 – 4a + a2 + 4 + 4a + a2 = 16 ∴ a2 = 4 ou
 a = -2
Assim se a = 2, tem-se o ponto (2, -2)
 se a = -2, tem-se o ponto (-2, 2)
De fato, existem dois pontos P da bissetriz dos qua-
drantes pares (bp) cuja distância ao ponto A(2, 2) é 4. Ob-
serve-se a figura:
bp
y
x
P-2
0
-2 2
2P A
137
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
EXERCÍCIO COMENTADO
1- Dar as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G da 
figura abaixo:
E
D
C
A
B
F
1
G
y
x
•
Resposta: A(5, 1); B(0, 3); C(-3, 2); D(-2, 0); E(-1, -4); F(0, 
-2); G(4, -3).
2- Seja o ponto A(3p – 1, p – 3) um ponto pertencente 
à bissetriz dos quadrantes ímpares, então a ordenada do 
ponto A é:
a) 0
b) –1
c) –2 
d) 
e) –4
Resposta: Letra E.
Como A pertence à bissetriz dos quadrantes ímapres xA 
= yA ⇒ 3p – 1 = p – 3 ⇒ p = 1.
Logo, o ponto A(-4, -4) tem ordenada igual a -4.
3- O ponto A(p – 2, 2p – 3) pertence ao eixo das ordenadas. 
Obter o ponto B’ simétrico de B(3p – 1, p – 5) em relação ao 
eixo das abscissas.
Resposta: B’(5, 3).Se A pertence ao eixo das ordenadas, 
temos que p – 2 = 0 ⇒ p = 2, logo, B(5, –3).
Como B’ é o simétrico de B em relação ao eixo das abs-
cissas, temos a mesma abscissa e a ordenada oposta, 
logo, B’(5, 3) é o ponto procurado.
4- Um triângulo equilátero de lado 6 tem um vértice no 
eixo das abscissas. Determine as coordenadas do 3º vérti-
ce, sabendo que ele está no 4º quadrante (faça a figura).
Resposta: C(3, ).Lembrando que a altura do triân-
gulo equilátero mede , temos: .
B (6, 0)
•
A (0, 0)
C (3, )
x
y
5- A distância entre dois pontos (2, -1) e (-1, 3) é igual a:
a) zero
b) 
c) 
d) 5
e) n.d.a.
Resposta: Letra D
Resolução
Δx = 2 – (–1) = 3 e Δy = –1 –3 = –4
d = 5
6- Sendo A(3,1), B(4, -4) e C(-2, 2) os vértices de um triân-
gulo, então esse triângulo é:
a) retângulo e não isósceles.
b) retângulo e isósceles.
c) equilátero.
d) isósceles e não retângulo.
e) escaleno.
Resposta: Letra D
e e 
Portanto, o Δ ABC é isósceles e não retângulo.
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7- Achar o ponto T da bissetriz dos quadrantes ímpares 
que enxerga o segmento de extremindades A(2, 1) e B(5, 
2) sob ângulo reto.
Resposta; T1(2, 2) e T2(3, 3).
Resolução
T∈ bissetriz dos quadrantes ímpares ⇒ T(x, x).
Se T enxerga sob ângulo reto, então o triângulo ATB 
é retângulo em T.
T
A
B
⇒ 
Assim:
[(x - 2)2 + (x - 1)2] + [(x – 5)2 (x – 2)2] = [(2 – 5)2 + (1 – 2)2]
X2 – 4x + 4 + x2 – 2x + 1 + x2 – 10x + 25 + x2 – 4x + 4 = 
9 + 1
4x2 – 20x + 24 = 0
X2 – 5x + 6 = 0 ⇒ x = 2 ou x = 3.
8- O paralelogramo ABCD tem lados , , e . Sen-
do A(0, 0), B(4, 2) e D(8, 0), determine as coordenadas do 
ponto C.
Resposta: C(12, 2).
Resolução
M
B (4,2)
A (0,0) D (8,0)
C(a, b)
M é o ponto de encontro das diagonais, portanto ponto 
médio dos segmentos e . Dados B e D, temos M(6, 
1) e agora temos A e M, logo:
⇒
NÚMEROS COMPLEXOS
A) O NÚMERO “I”.
B) CONJUGADO E MÓDULO DE UM 
NÚMERO COMPLEXO.
C) REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA E 
TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO 
COMPLEXO.
D) OPERAÇÕES NAS FORMAS ALGÉBRICA E 
TRIGONOMÉTRICA.
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) 
na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com 
um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos 
ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente 
no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos 
estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os 
que realmente conseguiram expor uma interpretação 
geométrica num outro conjunto de números, chamado de 
números complexos, que representamos por C.
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e 
representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou 
seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde 
i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode 
ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma 
algébrica, onde temos: 
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos: Dois números 
complexos são iguais se, e somente se, apresentam 
simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. 
Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos: Para somarmos dois 
números complexos basta somarmos, separadamente, 
as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se 
z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos: Para subtrairmos 
dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, 
as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se 
z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
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Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n 
pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se 
de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta 
calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos: Para 
multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos 
a multiplicação de dois binômios, observando os valores 
das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo: Dado z=a+bi, 
define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> 
z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
Divisão de números complexos: Para dividirmos dois 
números complexos basta multiplicarmos o numerador e o 
denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se 
z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo: Dado z = a+bi, 
chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido 
como ro 
Interpretação geométrica: Como dissemos, no início, 
a interpretação geométrica dos números complexos é que 
deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o 
complexo z = a+bi da seguinte maneira
Forma polar dos números complexos: Da 
interpretação geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica 
de um número complexo.
Operações na forma polar: Sejam z1=ro1(cos t11) e 
z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação 
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
Exercícios 
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i. 
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja 
imaginário puro. 
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são 
iguais, qual o valor de x?
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = 
(1+i) / i
Respostas
Resolução 01.
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
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Resolução 02.
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
Resolução 03.
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
Oconjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
Resolução 04.
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
Resolução 05.
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 – i
Para a forma trigonométrica, temos que: 
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 (cos 315º + i sen 315º)
POLINÔMIOS A) FUNÇÃO POLINOMIAL; POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO; GRAU DE UM 
POLINÔMIO; IDENTIDADE DE UM POLINÔMIO, RAIZ DE UM POLINÔMIO; OPERAÇÕES COM 
POLINÔMIOS; VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO.
B) DIVISÃO DE POLINÔMIOS, TEOREMA DO RESTO, TEOREMA DE D’ALEMBERT, DISPOSITIVO 
DE BRIOT-RUFFINI.
EQUAÇÕES POLINOMIAIS A) DEFINIÇÃO, RAÍZES E MULTIPLICIDADE.
B) TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA.
C) RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES.
D) RAÍZES REAIS E COMPLEXAS.
POLINÔMIOS
1. Definição e valor numérico
Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática defi-
nida por: p(x) = aO + a1x + a2x² + a3x³ +. . . + anxn , onde a0, a1 , a2, . . . , an são números reais, denominados 
coeficientes do polinômio. O coeficiente a0 é o termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x. O valor numérico de um 
polinômio p = p(x) em x = a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).
Ex: O valor numérico de de p(x) = 2x² + 7x − 12 para x = 3 é é dado por:
p(3) = 2 � (3)² + 7 � 3 − 12 = 2 � 9 + 21 − 12 = 18 + 9 = 27
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2. Grau de um polinômio
Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o 
coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p = p (x) não nulo, é o expoente 
de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr (p) . Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações 
importantes:
a) Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados de mate-
mática, até define-se o grau de um polinômio nulo, mas não é o escopo desta apostila;
b) Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado Mônico.
c) Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.
d) Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto. Se o grau de um polinômio incom-
pleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n + 1.
f) Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo 
constante. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n + 1.
h) É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p= p (x) e P [x] o conjunto de todos os poli-
nômios reais em x.
3. Igualdade de polinômios
Os polinômios p e q em P[x], definidos por:
p(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ +. . . + an
xn 
q(x) = b
0
 + b
1
x + b
2
x² + b
3
x³ +. . . + b
n
xn
São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n: 
FIQUE ATENTO!
Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os 
seus coeficientes sejam nulos. 
Assim, um polinômio: 
p(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ +. . . + anxn será nulo se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3, . . . ,n: a
k
= 0
4. Soma de polinômio
Consideremos novamente, p e q polinômios em P[x], definidos por:
p(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ +. . . + an
xn 
q(x) = b
0
 + b
1
x + b
2
x² + b
3
x³ +. . . + b
n
xn
Definimos a soma de p e q, por:
�p + q)(x) = (ao + bo) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x² +. . . + an + bn xn
A estrutura matemática formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas 
propriedades:
a) Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
p + q) + r = p + (q + r
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b) Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p + q = q + p
c) Elemento neutro: Existe um polinômio tal que:
po + p = p qualquer que seja p em P[x].
d) Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q = −p em P[x] tal que: p + q = 0.
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.
5. Produto de polinômios
Sejam p, q em P[x], dados por:
p(x) = a
o + a1x + a2x² + a3x³ +. . . + anx
n
q(x) = b
o
 + b
1
x + b
2
x² + b
3
x³ +. . . + b
n
xn
Definimos o produto de p e q, como outro polinômio r em P[x]:
r x = p x · q x = co + c1x + c2x² + c3x³ +. . . + cnxn
Tal que:
ck = aobk + a1bk−1 + a2bk−2 + a3bk−3 +. . . + ak−1b1 + akbo
Para cada ck (k = 1, 2, 3, . . . , m + n) . Observamos que para cada termo da soma que gera ck (k = 1, 2, 3, . . . , m + n), a soma do índice de a com 
o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.
A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui 
várias propriedades:
a) Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
p · q) · r = p � (q · r
b) Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p · q = q · p
c) Elemento nulo: Existe um polinômio tal que:
po · p = po qualquer que seja p em P[x].
d) Elemento Identidade: Existe um polinômio tal que:
p1 · p = p qualquer que seja p em P[x]. 
e) Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
p · (q + r) = p · q + p · r
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6. Divisão de Polinômios
Sendo um polinômio e um polinômio não nulo , existe um par de polinômios e que satisfazem as seguintes relações:
A x = Q x � B x + R(x)
R x ≠ 0 ⇒ ∂R x < ∂B(x)
Onde: : A x : Dividendo, B x : Divisor, Q x : Quociente, R x : Resto
7. Teorema do Resto
Esse teorema propõe algumas relações interessantes em relação ao resto da divisão de um polinômio P (x) por alguns 
tipos específicos de polinômios: 
a) O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x − a) é P(a). 
b) Se dividirmos P (x) por x+a, o resto será P (-a).
c) No caso da divisão de P (x) por um polinômio linear na forma B(x) = ax − b , o resto será P (b/a) . 
Existe um teorema, proposto por D´Lambert que confirma o conceito de raiz de função polinomial que 
sempre foi utilizado. A condição necessária e suficiente para que o Polinômio P (x) seja divisível por (x-a) é 
que a seja raiz de P (x) , ou seja P (a)=0.
#FicaDica
8. Método Euclidiano de divisão de polinômios
Método clássico que realiza a divisão por chaves de um polinômio de grau maior por um de grau menor. Aqui é impor-
tante a organização e multiplicação de todos os termos do polinômio para os devidos cancelamentos.
Ex: Vamos dividir x4 − x3 + 2x − 1 por x2 + x + 1
Primeiramente vamos montar a divisão e colocar o coeficiente “0” nos termos incompletos do polinômio. No caso do 
primeiro polinômio, não temos o termo que multiplica x2. Assim, completamos com 0:
Agora, iniciamos a divisão propriamente dita. Devemos ir cancelando os maiores graus do polinômio dividendo, usando 
o polinômio divisor. Logo, x4 do dividendo dividido por x2 do divisor, dá exatamente x2, assim:
Temos que realizar a subtração para eliminar o primeiro termo do divisor. Assim, devemos multiplicar o quociente pelo 
divisor e inserir abaixo do dividendo, com o sinal invertido , pois estamos fazendo uma subtração:
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Analogamente, temos que fazer a mesma coisa para 
os outros dois termos do divisor, +x e +1. Observe que 
colocamos os resultados dos produtos com sinal inverti-
do e exatamente abaixo do grau correspondente de cada 
resultado. Por isso, a importância de preencher com 0 os 
coeficientes faltantes de um polinômio incompleto.
E
Agora é só realizar a operação, queirá gerar um polinô-
mio divisor de grau menor que o anterior:
Repetindo o procedimento para o polinômio que foi 
formado, ficamos com o seguinte resultado:
Observe que a divisão finaliza quando o grau do resto é 
menor que o grau do divisor.
9. Método de Divisão de Briot-Ruffini
Método desenvolvido unicamente para realizar divisões 
de polinômios por(x-a) . 
Ex. Divisão de 3x5 − 7x4 + 3x² − 5x + 17 por (x − 2)
Vamos montar um diagrama conforme visto na figura 
abaixo e primeiramente vamos escrever os coeficientes do 
polinômio na sua parte superior, preenchendo também 
com “0” os termos que o polinômio não tem, nesse caso, o 
divisor não possui o termo :
Como estamos dividindo por (x-2), sabemos que 2 é 
raiz do divisor. Assim, vamos colocar este número no lado 
esquerdo do diagrama: 
Agora vamos iniciar o método copiando o primeiro 
coeficiente do dividendo na parte de baixo. Depois, multi-
plicaremos o termo pelo número da esquerda (nesse caso, 
2) e somando com o posterior na parte de cima, dessa for-
ma (3∙2 + (-7) = -1):
Repete-se o processo até chegarmos ao último termo 
que será o resto da divisão.
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Logo, o resultado da divisão será o polinômio formado pelos coeficientes da linha inferior, 1 grau abaixo do dividendo: 
Q x = 3x4 − x³ − 2x² − x − 7 . O resto será sempre o número indicado no lado direito: R (x) = 3.
10. Equações Algébricas
As equações algébricas estudam os polinômios de acordo com suas raízes. Sabendo deste objetivo, podemos relembrar 
um conceito interessante que é a fatoração de polinômios, utilizando suas raízes, que também é chamado de Teorema de 
Decomposição.
Sendo P x = a0x0 + a1x1 + a2x2 + ⋯+ anxn , ele pode ser escrito da seguinte forma:
P x = an � x − γ1 � x − γ2 � ⋯ � x − γn
Assim, toda Equação Polinomial P (x) = 0 de grau n ≥ 1 , tem exatamente n raizes reais ou complexas.
Outro conceito importante em relação as raízes é o que chamamos de multiplicidade. As raízes de P (x) não são 
necessariamente distintas, logo, supondo que γ1 repete r vezes e γ2 repete s vezes, a decomposição fica:
P x = an � x − γ1 r � x − γ2 s � ⋯ � x − γn
Haverá um expoente determinando quantas repetições a raiz terá dentro do polinômio.
11. Relações de Girard
As relações de Girard foram encontradas para relacionar as raízes dos polinômios com os coeficientes dos mesmos. 
Quem relembrar da equação de segundo grau na forma , vai ter estudado essas relações quando formularam as fórmulas 
de soma e produto das raízes, onde tínhamos como resultado − ba e
c
a
 respectivamente. 
Essas relações são de Girard e agora iremos expandir para os demais graus de polinômios:
Sendo P x = a0x0 + a1x1 + a2x2 + ⋯+ anxn , podem-se relacionar as raízes do mesmo (γ1 , γ2, … γn) da seguinte 
forma:
a) Soma das raízes: γ1 + γ2 + ⋯+ γn = −
an−1
an
b) Soma dos produtos das raízes tomadas 2 a 2: 
γ1 � γ2 + γ1 � γ3 + ⋯+ γ1 � γn + γ2 � γ3 + ⋯+ γn−1 � γn = −
an−2
an
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c) Soma dos produtos das raízes tomadas p a p (p<n): 
γ1 � γ2 … γp + ⋯+ γn−p … γn−1 � γn = −
an−p
an
d) Produto das raízes: 
γ1 � γ2 � ⋯ � γn=
−1 na0
an
12. Raízes Complexas
Quando um número complexo na forma z = a + b∙i com e a, b ∈ ℝ e b ≠ 0 é raiz da equação algébrica P(x) = 0, de 
coeficientes reais, então o seu conjugado é também raiz da mesma equação. Isso implica em duas consequências importantes:
a) Se o número complexo z possuir multiplicidade k, então seu conjugado também terá multiplicidade k;
b) Como as raízes complexas estão em pares, então pode-se afirmar que um polinômio de grau ímpar tem ao menos 
1 raiz real.
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (IF-BA – Professor – AOCP/2016) A equação x3 − 147x + 686 = 0 tem por raízes os números m e n, 
sendo m raiz dupla e . Nessas condições, o valor de (m + n) é:
a) 7
b) -7
c) -7 ou 7
c) 7-i
d) -7+i
Resposta: Letra B. Efetuando a multiplicação da forma fatorada e igualando ao polinômio original, temos que:
x − m 2 � x − n = x3 − 147x + 686
x2 − 2xm + m2 � x + 2m = x3 − 147x + 686
x3 + 2mx2 − 2mx2 − 4m2x + m2x + 2m3 = x3 − 147x + 686
Igualando os coeficientes semelhantes, temos que:
�−3m
2 = −147
2m3 = 686
Logo: m = 7 e n = −1
2. (MACK-SP) Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m − 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x + 4 
seja de grau 2.
Resposta: Não existe m, tal que o grau de P(x) seja igual 2.
Para que P(x) tenha grau 2, devemos respeitar as seguintes condições:
m – 4 = 0
m = 4
m2– 16 ≠ 0
m2 ≠ 16
m ≠ + 4 e – 4
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Para m = 4, temos:
p x = 4 – 4 x3 + 42– 16 x2 + 4 + 4 x + 4
p x = 0x3 + 0x2 + 8x + 4
p x = 8x + 4
Para m = – 4, temos
p x = – 4 – 4 x3 + – 4 2– 16 x2 + – 4 + 4 x + 4
p x =– 8x3 + 0x2 + 0x + 4
p x = – 8x³ + 4
Portanto, Não existe valor para m de modo que o polinômio p(x) seja de grau 2
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
1. Definições
Expressões Algébricas: São aquelas que contêm números e letras.
Ex: 2ax² + bx
Variáveis: São as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem 
um valor definido. 
Valor numérico: É o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações. 
Ex: Sendo x=1 e y=2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: 
Substituindo os valores: x² + y → 1² + 2 = 3 . Portanto o valor numérico da expressão é 3.
Monômio: Os números e letras estão ligados apenas por produtos. 
Ex: 4x
Polinômio: É a soma ou subtração de dois ou mais monômios. 
Ex: 4x+2y
Termos semelhantes: São aqueles que possuem partes literais iguais (variáveis) 
Ex: 2x³y²z e 3x³y²z são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal (x3y2z). 
2. Adição e subtração de monômios 
FIQUE ATENTO!
Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E quando os termos 
envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a operação indicada.
Ex: Dado os termos 5xy², 20xy², como os dois termos são semelhantes, é possível efetuar a adição e a subtração deles:
5xy² + 20xy² = 25xy2
Ex: Já para 5xy² − 20xy2 = −15xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
5xy² − 20xy2 = −15xy2
3. Multiplicação de monômios 
Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com 
coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade 
da potência que diz: am � an = am+n (bases iguais na multiplicação, repetimos a base e somamos os expoentes). 
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Ex: (3a²b) � (− 5ab³)
Na multiplicação dos dois monômios, devemos multi-
plicar os coeficientes 3 e -5 e na parte literal multiplicamos 
os termos que contém a mesma base para que possamos 
usar a propriedade de soma dos expoentes:
3a
2
b � − 5ab
3
= 3 � −5 � a2 � a � (b � b3)
3a
2
b � − 5ab
3
= −15 � a2+1 � (b1+3)
3a
2
b � − 5ab
3
= −15 a3b4
4. Divisão de monômios
Para dividirmos os monômios não é necessário que eles 
sejam semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coe-
ficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando 
dividirmos as partes literais devemos usar a propriedade 
da potência que diz: am ∶ a
n = a
m−n (bases iguais na 
divisão repetimos a base e diminuímos os expoentes), sen-
do que . 
Ex: −20x²y³) ∶ (− 4xy³
Na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coe-
ficientes -20 e -4 e na parte literal dividirmos os termos 
que contém a mesma base para que possamos usar a pro-
priedade 
−20x
2y3 : − 4xy
3
= −20 : −4 � x2: x � (y3: y3) 
−20x
2y3 : − 4xy
3
= +5 x2−1 � (y3−3)
−20x
2y3 : − 4xy
3
= +5 x1 � (y0)
−20x
2y3 : − 4xy
3
= +5x
5. Potenciação de monômios 
Na potenciação de monômios devemos novamente uti-
lizar uma propriedade da potenciação:
I - ab
m
 = am bm
II - am n = am�n 
Ex: −5x
2
b6 2
Aplicando as propriedades:
−5x
2
b6 2 = −5)2 � x
2 2
� (b6 2
−5x
2
b6 2 = +25x4b12
6. Adição e Subtração de expressões algébricas 
Para determinarmosa soma ou subtração de expres-
sões algébricas, basta somar ou subtrair os termos seme-
lhantes. 
Ex: 2x³y²z + 3x³y²z = 5x³y²z
Ex: 2a²b − 3a²b = −a²b
7. Multiplicação e Divisão de expressões algébricas
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, 
devemos usar a propriedade distributiva.
Ex: a (x + y) = ax + ay 
Ex: (a + b) � (x + y) = ax + ay + bx + by
Ex: x(x² + y) = x³ + xy
Para multiplicarmos potências de mesma base, 
conservamos a base e somamos os expoentes. 
Na divisão de potências devemos conservar a 
base e subtrair os expoentes
#FicaDica
 
Ex: 4x
2
2x = 2x
Ex: 6x
3− 8x
2x = 3x² − 4
Ex: x
4−5x3+9x2−7x+2
x2−2x+1
Neste exemplo mais sofisticado, devemos usar a divisão 
por chaves:
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EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. Calcule: 3x² + 2x − 1) + (−2x² + 4x + 2
Resposta: 
3x2 + 2x − 1 + −2x2 + 4x + 2
= 3x2 − 2x2 + 2x + 4x − 1 + 2 = x2 + 6x + 1
2. Calcule: 4 10x3 + 5x2 + 2x − 2x + 10
Resposta:
4 10x3 + 5x2 + 2x − 2x + 10 = 40x3 + 20x2 + 6x − 10
= 2(20x3 + 10x2 + 3x − 5)
HORA DE PRATICAR!
1.(SAAE de Aimorés – MG) Em uma festa de aniversário, 
cada pessoa ingere em média 5 copos de 250 ml de refri-
gerante. Suponha que em uma determinada festa, havia 
20 pessoas presentes. Quantos refrigerantes de 2 litros o 
organizador da festa deveria comprar para alimentar as 20 
pessoas? 
a) 12
b) 13
c) 15
d) 25
2. Analise as afirmativas a seguir e assinale a alternativa 
CORRETA:
I) 3 𝑥 4 ∶ 2 = 6
II) 3 + 4 𝑥 2 = 14
III) O resto da divisão de 18 por 5 é 3
a) I somente
b) I e II somente
c) I e III somente
d) I, II e III
3. (Pref. de Timon – MA) O problema de divisão 648 : 2 é 
equivalente à:
a) 600: 2 𝑥 40: 2 𝑥 8: 2
b) 6: 2 + 4: 2 + 8: 2
c) 600: 2 − 40: 2 − 8: 2
d) 600: 2 + 40: 2 + 8: 2
e) 6: 2𝑥4: 2𝑥8: 2
4. (Pref. de São José do Cerrito – SC) Qual o valor da ex-
pressão: 34 + 14.4 2⁄ − 4 ?
a) 58
b) -31
c) 92
d) -96
5. (IF-ES) Um caminhão tem uma capacidade máxima de 
700 kg de carga. Saulo precisa transportar 35 sacos de ci-
mento de 50 kg cada um. Utilizando-se desse caminhão, 
o número mínimo de viagens que serão necessárias para 
realizar o transporte de toda a carga é de:
a) 4
b) 5
c) 2
d) 6
e) 3
150
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6. (Pref. Teresina – PI) Roberto trabalha 6 horas por dia de 
expediente em um escritório. Para conseguir um dia extra 
de folga, ele fez um acordo com seu chefe de que trabalha-
ria 20 minutos a mais por dia de expediente pelo número 
de dias necessários para compensar as horas de um dia do 
seu trabalho. O número de dias de expediente que Roberto 
teve que trabalhar a mais para conseguir seu dia de folga 
foi igual a Parte superior do formulário
a) 16
b) 15
c) 18
d) 13
e) 12
7.(ITAIPU BINACIONAL) O valor da expressão: 
1 + 1 + 1 + 1𝑥7 + 1 + 1𝑥0 + 1 − 1 é
a) 0
b) 11
c) 12
d) 29
e) 32
8. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí 
e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as 
informações? Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul. 
Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul. Máxima prevista 
37° no Piauí.
a) 34
b) 36
c) 38
d) 40
e) 42
9. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos 
em que o maior deles é –10?
a) -1320
b) -1440
c) +1320
d) +1440
e) nda
10. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles 
é +99. Determine o produto desses três números.
a) 999.000
b) 999.111
c) 999.900
d) 999.999
e) 1.000.000
11. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando 
a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?
a) 726
b) 738
c) 744
d) 752
e) 770
12. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à pri-
meira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que 
ocorrerá com o total?
a) -2
b) -1
c) +1
d) +2
e) +3
13. (Prefeitura de Chapecó – Engenheiro de Trânsi-
to – IOBV/2016) A alternativa cujo valor não é divisor de 
18.414 é:
a) 27
b) 31
c) 37
d) 22
14. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.
a) 23418 
b) 65000 
c) 38036 
d) 24004 
e) 58617
15. (ALGÁS – ASSISTENTE DE PROCESSOS ORGANI-
ZACIONAIS – COPEVE/2014) 
Critério de divisibilidade por 11
Esse critério é semelhante ao critério de divisibilidade por 
9. Um número é divisível por 11 quando a soma alternada 
dos seus algarismos é divisível por 11. Por soma alternada 
queremos dizer que somamos e subtraímos algarismos al-
ternadamente (539  5 - 3 + 9 = 11).
Disponível em:<http://educacao.globo.com> . Acesso em: 
07 maio 2014. 
Se A e B são algarismos do sistema decimal de numeração 
e o número 109AB é múltiplo de 11, então
a) B = A
b) A+B=1
c) B-A=1
d) A-B=10
e) A+B=-10
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16. (IF-SE – TÉCNICO DE TECNOLOGIA DA INFOR-
MAÇÃO - FDC-2014) João, nascido entre 1980 e 1994, 
irá completar, em 2014, x anos de vida. Sabe-se que x é 
divisível pelo produto dos seus algarismos. Em 2020, João 
completará a seguinte idade:
a) 32
b) 30
c) 28
d) 26
17. (PREF. ITATINGA-PE – ASSISTENTE ADMINISTRA-
TIVO – IDHTEC/2016) O número 102 + 101 + 100 é a repre-
sentação de que número?
a) 100
b) 101
c) 010
d) 111
e) 110
18. (TRF-SP – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) O re-
sultado da expressão numérica 53 : 51 × 54 : 5 × 55 : 5 : 56 - 5 
é igual a :
a) 120.
b) 1
5
c) 55.
d) 25.
e) 620.
19. (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 108 . 4 . 10-3 é:
a) 206
b) 2 . 106
c) 2 . 109
d) 20 . 10-4
20. (PREF. GUARULHOS-SP –ASSISTENTE DE GESTÃO 
ESCOLAR – VUNESP/2016) Para iniciar uma visita moni-
torada a um museu, 96 alunos do 8º ano e 84 alunos do 9º 
ano de certa escola foram divididos em grupos, todos com 
o mesmo número de alunos, sendo esse número o maior 
possível, de modo que cada grupo tivesse somente alunos 
de um único ano e que não restasse nenhum aluno fora 
de um grupo. Nessas condições, é correto afirmar que o 
número total de grupos formados foi
a) 8
b) 12
c) 13
d) 15
e) 18
21. (PREF. ITATINGA-PE – ASSISTENTE ADMINISTRA-
TIVO – IDHTEC/2016) Um ciclista consegue fazer um per-
curso em 12 min, enquanto outro faz o mesmo percurso 
15 min. Considerando que o percurso é circular e que os 
ciclistas partem ao mesmo tempo do mesmo local, após 
quanto tempo eles se encontrarão?
a) 15 min
b) 30 min
c) 1 hora
d) 1,5 horas
e) 2 horas
22. (PREF. SANTA TERIZINHA DO PROGRESSO-SC – 
PROFESSOR DE MATEMÁTICA – CURSIVA/2018) Acer-
ca dos números primos, analise.
I- O número 11 é um número primo;
II- O número 71 não é um número primo;
III- Os números 20 e 21 são primos entre si.
Dos itens acima:
a) Apenas o item I está correto.
b) Apenas os itens I e II estão corretos.
c) Apenas os itens I e III estão corretos.
d) Todos os itens estão corretos.
23. (SAMAE DE CAXIAS DO SUL –RS – OPERADOR DE 
ESTAÇÃO DE TRATAMENTO DE ÁGUA E ESGOTO – 
OBJETIVA/2017) Marcar C para as afirmativas Certas, E 
para as Erradas e, após, assinalar a alternativa que apresen-
ta a sequência CORRETA:
(---) Pertencem ao conjunto dos números naturais ímpares 
os números ímpares negativos e os positivos.
(---) O número 72 é divisível por 2, 3, 4, 6, 8 e 9
(---) A decomposição do número 256 em fatores primos é 27
(---) Considerando-se os números 84 e 96, é correto afir-
mar que o máximo divisor comum é igual a 12.
a) E - E - C - C.
b) E - C - C - E.
c) C - E - E - E.
d) E - C - E - C.
e) C - E - C - C.
24. (PREF. GUARULHOS-SP – AGENTE ESCOLAR – VU-
NESP/2016) No ano de 2014, três em cada cinco estudan-
tes, na faixa etária dos 18 aos 24 anos, estavam cursando o 
ensino superior, segundo dados do Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística. Supondo-se que naquele ano 2,4 
milhões de estudantes, naquela faixa etária, não estivesse 
cursando aquele nível de ensino, o número dos que cursa-
riam o ensino superior, em milhões, seria:
a) 3,0
b) 3,2
c) 3,4
d) 3,6
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e) 4,0
2.5 (PREF. TERRA DE AREIA-RS – AGENTE ADMINIS-
TRATIVO – OBJETIVA/2016) Três funcionários (Fernando, 
Gabriel e Henrique) de determinada empresa deverão di-
vidir o valor de R$ 950,00 entre eles, de forma diretamente 
proporcional aos dias trabalhos em certo mês. Sabendo-seque Fernando trabalhou 10 dias, Gabriel, 12, e Henrique, 
16, analisar os itens abaixo: 
I - Fernando deverá receber R$ 260,00.
II - Gabriel deverá receber R$ 300,00.
III - Henrique deverá receber R$ 410,00.
Está(ão) CORRETO(S):
a) II
b) I e II
c) I e III
d) II e III
e) Todos os itens
26. (TRT- 15ª REGIÃO SP– ANALISTA JUDICIÁRIO – 
FCC/2018) André, Bruno, Carla e Daniela eram sócios em 
um negócio, sendo a participação de cada um, respecti-
vamente, 10%, 20%, 20% e 50%. Bruno faleceu e, por não 
ter herdeiros naturais, estipulara, em testamento, que sua 
parte no negócio deveria ser distribuída entre seus sócios, 
de modo que as razões entre as participações dos três 
permanecessem inalteradas. Assim, após a partilha, a nova 
participação de André no negócio deve ser igual a:
a) 20%.
b) 8%
c) 12,5%
d) 15%
e) 10,5%
27. (PREF. GUARULHOS-SP – AUXILIAR ADMINIS-
TRATIVO – VUNESP/2018) Um terreno retangular tem 
35 m de largura e 1750 m2 de área. A razão entre a largura 
e o comprimento desse terreno é 
a) 0,8.
b) 0,7.
c) 0,6.
d) 0,5.
e) 0,4.
Leia o texto, para responder a Questão a seguir: 
Uma loja vende peças de MDF (mistura de fibras de 
madeira prensada) retangulares para artesãos. A unidade 
padrão mede 22 cm de comprimento por 15 cm de largura 
e custa R$ 24,00.
Fonte: http://voltarelliprudente.com.br/ o-que-e-mdf-cru/ 
O catálogo desta loja disponibiliza peças com outras 
medidas cortadas a partir da unidade padrão. Observe 
que ele está com informações incompletas em relação a 
área e preço das peças.
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28. (UTPR 2018) O preço de cada peça é definido pro-
porcionalmente à área de cada uma em relação à unidade 
padrão. Por exemplo, a área da peça B é metade da área da 
unidade padrão, desse modo o preço da peça B é metade 
do preço da unidade padrão, ou seja, R$ 12,00. Assim, as 
peças A, C e D custam respectivamente: 
a) R$ 12,00; R$ 12,00; R$ 4,00
b) R$ 12,00; R$ 6,00; R$ 6,00
c) R$ 6,00; R$ 4,00; R$ 4,00
d) R$ 12,00; R$ 4,00; R$ 6,00
e) R$ 12,00; R$ 6,00; R$ 4,00
29. Dividindo-se 660 em partes inversamente proporcio-
nais aos números 1/2, 1/3 e 1/6 obtém-se que números? 
a) 30, 10, 5.
b) 30, 20, 10.
c) 40, 30, 20.
d) 20, 10, 5
30. Certo concreto é obtido misturando-se uma parte de 
cimento, dois de areis e quatro de pedra. Qual será (em m³) 
a quantidade de areia a ser empregada, se o volume a ser 
concretado é 378 m³?
a) 108m3
b) 100m3
c) 80m3
e) 60m3
31. A herança de R$ 30.000,00 deve ser repartida entre 
Antonio, Bento e Carlos. Cada um deve receber em partes 
diretamente proporcionais a 3, 5 e 6, respectivamente, e in-
versamente proporcionais às idades de cada um. Sabendo-
-se que Antonio tem 12 anos, Bento tem 15 anos e Carlos 
24 anos, qual será a parte recebida por Bento?
a) R$ 12.000,00.
b) R$ 14.000,00.
b) R$ 8.000,00.
c) R$ 24.000,00.
32. (SAAE Aimorés- MG – Ajudante – MÁXIMA/2016) 
Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. A 
porcentagem de gasolina na mistura é igual a: 
a) 40%
b) 20%
c) 30%
d) 10%
33. (PREF. PIRAÚBA-MG – OFICIAL DE SERVIÇO PÚ-
BLICO – MS CONCURSOS/2017) Certo estabelecimento 
de ensino possui em seu quadro de estudantes alunos de 
várias idades. A quantidade de alunos matriculados nes-
te estabelecimento é de 1300. Sabendo que deste total 
20% são alunos maiores de idade, podemos concluir que 
a quantidade de alunos menores de idade que estão ma-
triculados é:
a) 160
b) 1040
c) 1100
d) 1300
34. (PREF. JACUNDÁ-PA – AUXILIAR ADMINISTRATIVO 
– INAZ/2016) Das 300 dúzias de bananas que seu José foi 
vender na feira, no 1° dia, ele vendeu 50% ao preço de R$ 3,00 
cada dúzia; no 2° dia ele vendeu 30% da quantidade que so-
brou ao preço de R$ 2,00; e no 3° dia ele vendeu 20% do que 
restou da venda dos dias anteriores ao preço de R$ 1,00. Quan-
to seu José apurou com as vendas das bananas nos três dias?
a) R$ 700,00
b) R$ 540,00
c) R$ 111,00
d) R$ 450,00
e) R$ 561,00
35. (COLÉGIO PEDRO II – PROFESSOR – 2016) Com a cria-
ção de leis trabalhistas, houve muitos avanços em relação aos 
direitos dos trabalhadores. Entretanto, ainda há muitas barrei-
ras. Atualmente, a renda das mulheres corresponde, aproxima-
damente, a três quartos da renda dos homens. Considerando 
os dados apresentados, qual a diferença aproximada, em ter-
mos percentuais, entre a renda do homem e a da mulher?
a) 75%
b) 60%
c) 34%
d) 25%
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36. (EBSERH – TÉCNICO EM ENFERMAGEM – IBFC/2017) Paulo gastou 40% de 3/5 de seu salário e ainda lhe restou R$ 
570,00. Nessas condições o salário de Paulo é igual a:
a) R$ 2375,00
b) R$ 750,00
c) R$ 1240,00
d) R$ 1050,00
e) R$ 875,00
37. (PREF. TANGUÁ-RJ – TÉCNICO E ENFERMAGEM – MS CONCURSOS/2017) Raoni comprou um fogão com 25% 
de desconto, pagando por ele R$ 330,00. Qual era o preço do fogão sem o desconto?
a) R$ 355,00 
b) R$ 412,50 
c) R$ 440,00 
d) R$ 460,00 
38. (EBSERH – ADVOGADO – IBFC/2016) Ao comprar um produto, José obteve um desconto de 12% (doze por cento) 
por ter pagado à vista e pagou o valor de R$ 105,60 (cento e cinco reais e sessenta centavos). Nessas condições, o valor 
do produto, sem desconto, é igual a:
a) R$ 118,27
b) R$ 125,00
c) R$ 120,00
d) R$ 130,00
e) R$ 115,00
39. (PREF. ITAPEMA-SC – AGENTE MUNICIPAL DE TRÂNSITO – MS CONCURSOS/2016) Segundo dados do IBGE, 
a população de Itapema (SC) em 2010 era de, aproximadamente, 45.800 habitantes. Já atualmente, essa população é de, 
aproximadamente, 59.000 habitantes. O aumento percentual dessa população no período de 2010 a 2016 foi de:
a) 22,4%
b) 28,8%
c) 71,2%
d) 77,6%
40. (EBSERH – ADVOGADO – IBFC/2016) Joana gastou 60% de 50% de 80% do valor que possuía. Portanto, a porcen-
tagem que representa o que restou para Joana do valor que possuía é:
a) 76%
b) 24%
c) 32%
d) 68%
e) 82%
41. (TRT 11ª REGIÃO – ANALISTA JUDICIÁRIO – FCC/2015) Em 2015 as vendas de uma empresa foram 60% superiores 
as de 2014. Em 2016 as vendas foram 40% inferiores as de 2015. A expectativa para 2017 é de que as vendas sejam 10% 
inferiores as de 2014. Se for confirmada essa expectativa, de 2016 para 2017 as vendas da empresa vão.
a) diminuir em 6,25% 
b) aumentar em 4% 
c) diminuir em 4% 
d) diminuir em 4,75% 
e) diminuir em 5,5%
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42. (SAMAE CAXIAS DO SUL –RS –AJUSTADOR DE HIDRÔMETROS – OBJETIVA/2017) Em certa turma de matemá-
tica do Ensino Fundamental, o professor dividiu igualmente os 34 alunos em dois grupos (A e B) para que participassem de 
certa competição de matemática envolvendo frações. Para cada resposta correta dada pelo grupo, este ganhava 10 pontos 
e, para cada resposta incorreta, o grupo transferia 5 dos seus pontos para a equipe adversária. Considerando-se que os gru-
pos A e B iniciaram a competição com 20 pontos cada, e as questões foram as seguintes, assinalar a alternativa CORRETA:
a) grupo B ficou com 25 pontos a mais do que o grupo A.
b) grupo A ficou com 10 pontos a mais do que o grupo B.
c) grupo B ganhou ao todo 30 pontos e perdeu 5.
d) grupo A ganhou ao todo 20 pontos e perdeu 10.
 e) Os dois grupos terminaram a competição com a mesma pontuação, 30 pontos cada.
43. (UFGO) Uma fração equivalente a 3/4 cujo denominador é um múltiplo dos números 3 e 4 é:
a) 6/8
b) 9/12
c) 15/24
d) 12/16
44. (COLÉGIO PEDRO II – PROFESSOR – 2018) O número decimal que representa a quantidade de crianças e jovens 
envolvidos em atividades não agrícolas no Brasil, segundo o PNAD 2015, é: 
a) 68/10
b) 0,68
c) 6,8
d) 68/100
45. Em seu testamento, uma mulher decide dividir seu patrimônio entre seus quatro filhos. Tal divisão foi feita da seguinte 
forma:
• João receberá 1/5;
• Camila receberá 15%;
• Ana receberá R$ 16.000,00;
• Carlos receberá 25%.
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A fração que representa a parte do patrimônio recebida 
por Ana é:
a) 2/4.
b) 3/5.
c) 2/5.
d) 1/4.
e) 3/4.
46. Bela é uma leitora voraz. Ela comprou uma cópia do best 
seller «A Beleza da Matemática». No primeiro dia, Bela leu 
1/5 das páginasmais 12 páginas, e no segundo dia, ela leu 
1/4 das páginas restantes mais 15 páginas. No terceiro dia, 
ela leu 1/3 das páginas restantes mais 18 páginas. Então, 
Bela percebeu que restavam apenas 62 páginas para ler, 
o que ela fez no dia seguinte. Então, o livro lido por Bela 
possuía o seguinte número de páginas:
a) 120.
b) 180.
c) 240.
d) 300.
47. (EMAP – CARGOS DE NÍVEL MËDIO – CESPE/2018) 
Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos 
igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses opera-
dores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carre-
gam 12 navios.
Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.
Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses ope-
radores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.
( ) CERTO ( ) ERRADO
48. (PREF. SUZANO-SP – GUARDA CIVIL MUNICIPAL – 
VUNESP/2018) Para imprimir um lote de panfletos, uma grá-
fica utiliza apenas uma máquina, trabalhando 5 horas por dia 
durante 3 dias. O número de horas diárias que essa máquina te-
ria que trabalhar para imprimir esse mesmo lote em 2 dias seria 
a) 8,0.
b) 7,5.
c) 7,0.
d) 6,5.
e) 6,0.
49. (VUNESP – CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO CARLOS 
– AGENTE DE COPA – 2013) Com uma lata de leite con-
densado, é possível se fazer 30 brigadeiros. Sabendo que o 
preço de cada lata é de 4 reais, e para uma comemoração 
serão necessários 450 brigadeiros, o total gasto, em reais, 
para fazer esses brigadeiros, será de
a) 45
b) 53
c) 60
d) 70.
50. (VUNESP – CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO CARLOS – 
RECEPCIONISTA – 2013) Num posto de gasolina, foi pedido 
ao frentista que enchesse o tanque de combustível. Foram colo-
cados 20,6 litros de gasolina, pelos quais custou R$ 44,29. Se fos-
sem colocados 38 litros de gasolina, o valor a ser pago seria de
a) R$ 37,41.
b) R$ 79,80.
c) R$ 81,70.
d) R$ 85,30. 
e) R$ 88,50.
51. (VUNESP - CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO CARLOS 
– RECEPCIONISTA – 2013) Lendo 30 páginas por dia de 
um livro, gastarei 6 dias para ler esse livro. Se eu ler 20 pá-
ginas por dia desse mesmo livro, gastarei
a) 9 dias.
b) 8 dias. 
c) 6 dias. 
d) 5 dias. 
e) 4 dias.
52. (VUNESP – PROCON – AUXILIAR DE MANUTEN-
ÇÃO – 2013) Um supermercado fez a seguinte oferta “3/4 
de quilograma de carne moída por apenas R$ 4,50 ‘’. Uma 
pessoa aproveitou a oferta e comprou 3 quilogramas de car-
ne moída. Essa pessoa pagou pelos 3 quilogramas de carne
R$ 18,00. 
R$ 18,50. 
R$ 19,00.
R$ 19,50.
R$ 20,00.
53. (VUNESP – TJM – SP – AGENTE DE SEGURANÇA JU-
DICIÁRIA – 2013) Se certa máquina trabalhar seis horas por 
dia, de forma constante e sem parar, ela produzira n peças em 
seis dias. Para produzir quantidade igual das mesmas peças 
em quatro dias, essa máquina deverá trabalhar diariamente, 
nas mesmas condições, um número de horas igual a
a) 12.
b) 10.
c) 9. 
d) 8.
54. (VUNESP – AUXILIAR AGROPECUÁRIO – 2014) O 
refeitório de uma fábrica prepara suco para servir no almo-
ço. Com 5 litros de suco é possível encher completamente 
20 copos de 250 ml. Em um certo dia, foram servidas 90 re-
feições e acompanhando cada uma delas, 1 copo com 250 
ml de suco. O número, mínimo, de litros de suco necessário 
para o almoço, desse dia, foi
a) 21,5. 
b) 22.
c) 22,5. 
d) 23. 
e) 23,5.
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55. (PREF. TERESINA-PI – PROFESSOR – NUCE-
PE/2016) Sabendo que o comprimento do muro Parque 
Zoobotânico é de aproximadamente 1,7 km e sua altura é 
de 1,7 m, um artista plástico pintou uma área correspon-
dente a 34 m² do muro em 8 horas trabalhadas em um úni-
co dia. Trabalhando no mesmo ritmo e nas mesmas condi-
ções, para pintar este muro, o pintor levará
a) 83 dias.
b) 84 dias.
c) 85 dias.
d) 86 dias.
e) 87 dias.
56. (SES-PR – TÉCNICO DE ENFERMAGEM – 
UFPR/2009) Uma indústria metalúrgica consegue produ-
zir 24.000 peças de determinado tipo em 4 dias, trabalhan-
do com seis máquinas idênticas, que funcionam 8 horas 
por dia em ritmo idêntico de produção. Quantos dias se-
rão necessários para que essa indústria consiga produzir 
18.000 peças, trabalhando apenas com 4 dessas máquinas, 
no mesmo ritmo de produção, todas elas funcionando 12 
horas por dia?
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 8.
57. (CISMARPA – AUXILIAR ADMINISTRATIVO – IPE-
FAE/2015) Em um restaurante, 4 cozinheiros fazem 120 
pratos em 5 dias. Para atender uma demanda maior de 
pessoas, o gerente desse estabelecimento contratou mais 
2 cozinheiros. Quantos pratos serão feitos em 8 dias de 
funcionamento do restaurante? 
a) 288
b) 294
c) 296
d) 302
58. (CRO-SP – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO – VU-
NESP/2015) Cinco máquinas, todas de igual eficiência, 
funcionando 8 horas por dia, produzem 600 peças por dia. 
O número de peças que serão produzidas por 12 dessas 
máquinas, funcionando 10 horas por dia, durante 5 dias, 
será igual a
a) 1800.
b) 3600.
c) 5400.
d) 7200.
e) 9000.
59. (PREF. PORTO ALEGRE-RS – FMP CONCUR-
SOS/2012) A construção de uma casa é realizada em 10 
dias por 30 operários trabalhando 8 horas por dia. O nú-
mero de operários necessários para construir uma casa em 
8 dias trabalhando 6 horas por dia é
a) 18.
b) 24.
c) 32.
d) 38.
e) 50.
60.(VUNESP – PMESP – CURSO DE FORMAÇÃO DE 
OFICIAIS – 2014) A tabela, com dados relativos à cidade 
de São Paulo, compara o número de veículos de frota, o 
número de radares e o valor total, em reais, arrecadado 
com multas de trânsito, relativos aos anos de 2004 e 2013:
Ano Frota Radares Arrecadação
2004 5,8 milhões 260 328 milhões
2013 7,5 milhões 601 850 milhões
Se o número de radares e o valor da arrecadação tivessem 
crescido de forma diretamente proporcional ao crescimen-
to da frota de veículos no período considerado, então em 
2013 a quantidade de radares e o valor aproximado da ar-
recadação, em milhões de reais (desconsiderando-se cor-
reções monetárias), seriam, respectivamente,
a) 336 e 424.
b) 336 e 426.
c) 334 e 428.
d) 334 e 430.
e) 330 e 432.
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GABARITO
1 B
2 C
3 D
4 A
5 E
6 C
7 B
8 D
9 A
10 C
11 B
12 E
13 C
14 B
15 C
16 B
17 D
18 A
19 B
20 D
21 C
22 C
23 D
24 D
25 A
26 C
27 B
28 E
29 A
30 B
31 A
32 A
33 B
34 E
35 D
36 B
37 C
38 C
39 B
40 A
41 A
42 C
43 B
44 C
45 B
46 C
47 ERRADO
48 B
49 C
50 C
51 A
52 A
53 C
54 C
55 C
56 A
57 A
58 E
59 E
60 A
PORTUGUÊS
ÍNDICE
Leitura, interpretação e análise de textos: Leitura, interpretação e análise dos significados presentes em um texto e o 
respectivo relacionamento com o universo em que o texto foi produzido. .....................................................................................01
Fonética, ortografia e pontuação: Correta escrita das palavras da língua portuguesa, acentuação gráfica, partição silábica 
e pontuação. ...............................................................................................................................................................................................................09
Morfologia: Estrutura e formação das palavras e classes de palavras. ................................................................................................23
Morfossintaxe: Frase, oração e período, termos da oração, orações do período (desenvolvidas e reduzidas), funções 
sintáticas do pronome relativo, sintaxe de regência (verbal e nominal), sintaxe de concordância (verbal e nominal) e 
sintaxe de colocação.... ............................................................................................................................................................................................64
Noções de versificação: Estrutura do verso, tipos de verso, rima, estrofação e poemas de forma fixa. ................................ 91
Teoria da linguagem e semântica: História da Língua Portuguesa; linguagem, língua, discurso e estilo; níveis de linguagem, 
funções da linguagem; figuras de linguagem; e significado das palavras. ........................................................................................97
Introdução à literatura: A arte literária, os gêneros literários e a evolução da arte literária, em Portugal e no Brasil. ...106
Literatura brasileira:Contexto histórico, características, principais autores e obras do Quinhentismo, Barroco, Arcadismo, 
Romantismo, Realismo, Naturalismo, Impressionismo, Parnasianismo, Simbolismo, Pré-Modernismo e Modernismo. 108
Redação: Gênero textual; textualidade e estilo (funções da linguagem; coesão e coerência textual; tipos de discurso; 
intertextualidade; denotação e conotação; figuras de linguagem; mecanismos de coesão; a ambiguidade; a não-
contradição; paralelismos sintáticos e semânticos; continuidade e progressão textual); texto e contexto; o texto narrativo: 
o enredo, o tempo e o espaço; a técnica da descrição; o narrador; o texto argumentativo; o tema; a impessoalidade; 
a carta argumentativa; a crônica argumentativa; a argumentação e a persuasão; o texto dissertativo-argumentativo; 
a consistência dos argumentos; a contra-argumentação; o parágrafo; a informatividade e o senso comum; formas de 
desenvolvimento do texto dissertativo-argumentativo; a introdução; e a conclusão. ................................................................118
Alterações introduzidas na ortografia da língua portuguesa pelo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa, assinado 
em Lisboa, em 16 de dezembro de 1990, por Portugal, Brasil, Angola, São Tomé e Príncipe, Cabo Verde, Guiné-Bissau, 
Moçambique e, posteriormente, por Timor Leste, aprovado no Brasil pelo Decreto nº 6.583, de 29 de setembro de 2008 
e alterado pelo Decreto nº 7.875, de 27 de dezembro de 2012. .........................................................................................................130
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LEITURA, INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE DE 
TEXTOS: LEITURA, INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE 
DOS SIGNIFICADOS PRESENTES EM UM TEXTO 
E O RESPECTIVO RELACIONAMENTO COM O 
UNIVERSO EM QUE O TEXTO FOI PRODUZIDO.
INTERPRETAÇÃO TEXTUAL
Texto – é um conjunto de ideias organizadas e 
relacionadas entre si, formando um todo significativo 
capaz de produzir interação comunicativa (capacidade de 
codificar e decodificar).
Contexto – um texto é constituído por diversas frases. 
Em cada uma delas, há uma informação que se liga com 
a anterior e/ou com a posterior, criando condições para 
a estruturação do conteúdo a ser transmitido. A essa 
interligação dá-se o nome de contexto. O relacionamento 
entre as frases é tão grande que, se uma frase for retirada 
de seu contexto original e analisada separadamente, 
poderá ter um significado diferente daquele inicial.
Intertexto - comumente, os textos apresentam 
referências diretas ou indiretas a outros autores através de 
citações. Esse tipo de recurso denomina-se intertexto. 
Interpretação de texto - o objetivo da interpretação de 
um texto é a identificação de sua ideia principal. A partir daí, 
localizam-se as ideias secundárias (ou fundamentações), 
as argumentações (ou explicações), que levam ao 
esclarecimento das questões apresentadas na prova.
 
Normalmente, em uma prova, o candidato deve:
• Identificar os elementos fundamentais de uma ar-
gumentação, de um processo, de uma época (neste 
caso, procuram-se os verbos e os advérbios, os quais 
definem o tempo).
• Comparar as relações de semelhança ou de diferen-
ças entre as situações do texto.
• Comentar/relacionar o conteúdo apresentado com 
uma realidade. 
• Resumir as ideias centrais e/ou secundárias. 
• Parafrasear = reescrever o texto com outras palavras.
Condições básicas para interpretar
 
Fazem-se necessários: conhecimento histórico-literário 
(escolas e gêneros literários, estrutura do texto), leitura e 
prática; conhecimento gramatical, estilístico (qualidades do 
texto) e semântico; capacidade de observação e de síntese; 
capacidade de raciocínio.
Interpretar/Compreender
Interpretar significa:
Explicar, comentar, julgar, tirar conclusões, deduzir.
Através do texto, infere-se que...
É possível deduzir que...
O autor permite concluir que...
Qual é a intenção do autor ao afirmar que...
Compreender significa
Entendimento, atenção ao que realmente está escrito.
O texto diz que...
É sugerido pelo autor que...
De acordo com o texto, é correta ou errada a afirmação...
O narrador afirma...
Erros de interpretação
 
• Extrapolação (“viagem”) = ocorre quando se sai do 
contexto, acrescentando ideias que não estão no tex-
to, quer por conhecimento prévio do tema quer pela 
imaginação.
• Redução = é o oposto da extrapolação. Dá-se aten-
ção apenas a um aspecto (esquecendo que um texto 
é um conjunto de ideias), o que pode ser insuficiente 
para o entendimento do tema desenvolvido. 
• Contradição = às vezes o texto apresenta ideias con-
trárias às do candidato, fazendo-o tirar conclusões 
equivocadas e, consequentemente, errar a questão.
 
Observação: 
Muitos pensam que existem a ótica do escritor e a ótica 
do leitor. Pode ser que existam, mas em uma prova de 
concurso, o que deve ser levado em consideração é o que 
o autor diz e nada mais.
 
Coesão - é o emprego de mecanismo de sintaxe que 
relaciona palavras, orações, frases e/ou parágrafos entre 
si. Em outras palavras, a coesão dá-se quando, através 
de um pronome relativo, uma conjunção (NEXOS), ou um 
pronome oblíquo átono, há uma relação correta entre o 
que se vai dizer e o que já foi dito.
 
São muitos os erros de coesão no dia a dia e, entre eles, 
está o mau uso do pronome relativo e do pronome oblíquo 
átono. Este depende da regência do verbo; aquele, do seu 
antecedente. Não se pode esquecer também de que os 
pronomes relativos têm, cada um, valor semântico, por isso 
a necessidade de adequação ao antecedente. 
Os pronomes relativos são muito importantes na 
interpretação de texto, pois seu uso incorreto traz erros de 
coesão. Assim sendo, deve-se levar em consideração que 
existe um pronome relativo adequado a cada circunstância, 
a saber:
que (neutro) - relaciona-se com qualquer antecedente, 
mas depende das condições da frase.
qual (neutro) idem ao anterior.
quem (pessoa)
cujo (posse) - antes dele aparece o possuidor e depois 
o objeto possuído. 
como (modo)
onde (lugar)
quando (tempo)
quanto (montante) 
Exemplo:
Falou tudo QUANTO queria (correto)
Falou tudo QUE queria (errado - antes do QUE, deveria 
aparecer o demonstrativo O).
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Dicas para melhorar a interpretação de textos
• Leia todo o texto, procurando ter uma visão geral do 
assunto. Se ele for longo, não desista! Há muitos can-
didatos na disputa, portanto, quanto mais informação 
você absorver com a leitura, mais chances terá de re-
solver as questões. 
• Se encontrar palavras desconhecidas, não interrompa 
a leitura.
• Leia o texto, pelo menos, duas vezes – ou quantas fo-
rem necessárias.
• Procure fazer inferências, deduções (chegar a uma con-
clusão).
• Volte ao texto quantas vezes precisar.
• Não permita que prevaleçam suas ideias sobre as 
do autor. 
• Fragmente o texto (parágrafos, partes) para melhor 
compreensão.
• Verifique, com atenção e cuidado, o enunciado de 
cada questão.
• O autor defende ideias e você deve percebê-las.
• Observe as relações interparágrafos. Um parágrafo 
geralmente mantém com outro uma relação de con-
tinuação, conclusão ou falsa oposição. Identifique 
muito bem essas relações. 
• Sublinhe, em cada parágrafo, o tópico frasal, ou seja, a 
ideia mais importante. 
• Nos enunciados, grife palavras como “correto” ou 
“incorreto”, evitando, assim, uma confusão na 
hora da resposta – o que vale não somente para In-
terpretação de Texto, mas para todas as demais ques-
tões! 
• Se o foco do enunciado for o tema ou a ideia principal, 
leia com atenção a introdução e/ou a conclusão.
• Olhe com especial atenção os pronomes relativos, 
pronomes pessoais, pronomes demonstrativos, etc., 
chamados vocábulos relatores, porque remetem a 
outros vocábulos do texto.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (SECRETARIA DE ESTADO DA ADMINISTRAÇÃO PÚ-
BLICA DO DISTRITO FEDERAL/DF – TÉCNICO EM ELE-
TRÔNICA – MÉDIO - IADES/2014)
Gratuidades
Crianças com até cinco anos de idade e adultos com mais 
de 65 anos de idade têm acesso livre ao Metrô-DF. Para 
os menores,é exigida a certidão de nascimento e, para os 
idosos, a carteira de identidade. Basta apresentar um do-
cumento de identificação aos funcionários posicionados no 
bloqueio de acesso. 
Disponível em: <http://www.metro.df.gov.br/estacoes/ 
gratuidades.html> Acesso em: 3/3/2014, com adaptações. 
Conforme a mensagem do primeiro período do texto, assi-
nale a alternativa correta. 
a) Apenas as crianças com até cinco anos de idade e os 
adultos com 65 anos em diante têm acesso livre ao Me-
trô-DF. 
b) Apenas as crianças de cinco anos de idade e os adultos 
com mais de 65 anos têm acesso livre ao Metrô-DF. 
c) Somente crianças com, no máximo, cinco anos de idade 
e adultos com, no mínimo, 66 anos têm acesso livre ao 
Metrô-DF. 
d) Somente crianças e adultos, respectivamente, com cinco 
anos de idade e com 66 anos em diante, têm acesso livre 
ao Metrô-DF. 
e) Apenas crianças e adultos, respectivamente, com até cin-
co anos de idade e com 65 anos em diante, têm acesso 
livre ao Metrô-DF.
Resposta: Letra C.
Dentre as alternativas apresentadas, a única que con-
diz com as informações expostas no texto é “Somente 
crianças com, no máximo, cinco anos de idade e adultos 
com, no mínimo, 66 anos têm acesso livre ao Metrô-DF”.
2. (SUSAM/AM – TÉCNICO (DIREITO) – SUPERIOR - 
FGV/2014 - adaptada) “Se alguém que é gay procura 
Deus e tem boa vontade, quem sou eu para julgá-lo?” a 
declaração do Papa Francisco, pronunciada durante uma 
entrevista à imprensa no final de sua visita ao Brasil, ecoou 
como um trovão mundo afora. Nela existe mais forma que 
substância – mas a forma conta”. (...) 
(Axé Silva, O Mundo, setembro 2013)
O texto nos diz que a declaração do Papa ecoou como um 
trovão mundo afora. Essa comparação traz em si mesma 
dois sentidos, que são 
a) o barulho e a propagação. 
b) a propagação e o perigo. 
c) o perigo e o poder. 
d) o poder e a energia. 
e) a energia e o barulho. 
Resposta: Letra A.
Ao comparar a declaração do Papa Francisco a um tro-
vão, provavelmente a intenção do autor foi a de mostrar 
o “barulho” que ela causou e sua propagação mundo 
afora. Você pode responder à questão por eliminação: a 
segunda opção das alternativas relaciona-se a “mundo 
afora”, ou seja, que se propaga, espalha. Assim, sobraria 
apenas a alternativa a!
3. (SECRETARIA DE ESTADO DE ADMINISTRAÇÃO PÚ-
BLICA DO DISTRITO FEDERAL/DF – TÉCNICO EM CON-
TABILIDADE – MÉDIO - IADES/2014 - adaptada) 
Concha Acústica
Localizada às margens do Lago Paranoá, no Setor de Clu-
bes Esportivos Norte (ao lado do Museu de Arte de Brasília 
– MAB), está a Concha Acústica do DF. Projetada por Oscar 
Niemeyer, foi inaugurada oficialmente em 1969 e doada 
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pela Terracap à Fundação Cultural de Brasília (hoje Secre-
taria de Cultura), destinada a espetáculos ao ar livre. Foi o 
primeiro grande palco da cidade. 
Disponível em: <http://www.cultura.df.gov.br/nossa-cul-
tura/concha- acustica.html>. Acesso em: 21/3/2014, com 
adaptações.
Assinale a alternativa que apresenta uma mensagem com-
patível com o texto. 
a) A Concha Acústica do DF, que foi projetada por Oscar 
Niemeyer, está localizada às margens do Lago Paranoá, 
no Setor de Clubes Esportivos Norte. 
b) Oscar Niemeyer projetou a Concha Acústica do DF em 
1969. 
c) Oscar Niemeyer doou a Concha Acústica ao que hoje é a 
Secretaria de Cultura do DF. 
d) A Terracap transformou-se na Secretaria de Cultura do 
DF. 
e) A Concha Acústica foi o primeiro palco de Brasília.
Resposta: Letra A.
Recorramos ao texto: “Localizada às margens do Lago 
Paranoá, no Setor de Clubes Esportivos Norte (ao lado 
do Museu de Arte de Brasília – MAB), está a Concha 
Acústica do DF. Projetada por Oscar Niemeyer”. As in-
formações contidas nas demais alternativas são incoe-
rentes com o texto.
TIPOLOGIA E GÊNERO TEXTUAL
A todo o momento nos deparamos com vários textos, 
sejam eles verbais ou não verbais. Em todos há a presença 
do discurso, isto é, a ideia intrínseca, a essência daquilo 
que está sendo transmitido entre os interlocutores. Estes 
interlocutores são as peças principais em um diálogo ou 
em um texto escrito.
É de fundamental importância sabermos classificar os 
textos com os quais travamos convivência no nosso dia a 
dia. Para isso, precisamos saber que existem tipos textuais 
e gêneros textuais.
Comumente relatamos sobre um acontecimento, um 
fato presenciado ou ocorrido conosco, expomos nossa 
opinião sobre determinado assunto, descrevemos algum 
lugar que visitamos, fazemos um retrato verbal sobre 
alguém que acabamos de conhecer ou ver. É exatamente 
nessas situações corriqueiras que classificamos os nossos 
textos naquela tradicional tipologia: Narração, Descrição e 
Dissertação.
As tipologias textuais se caracterizam pelos aspectos de 
ordem linguística
Os tipos textuais designam uma sequência definida pela 
natureza linguística de sua composição. São observados 
aspectos lexicais, sintáticos, tempos verbais, relações 
logicas. Os tipos textuais são o narrativo, descritivo, 
argumentativo/dissertativo, injuntivo e expositivo.
A) Textos narrativos – constituem-se de verbos de ação 
demarcados no tempo do universo narrado, como também 
de advérbios, como é o caso de antes, agora, depois, entre 
outros: Ela entrava em seu carro quando ele apareceu. 
Depois de muita conversa, resolveram...
B) Textos descritivos – como o próprio nome indica, 
descrevem características tanto físicas quanto psicológicas 
acerca de um determinado indivíduo ou objeto. Os tempos 
verbais aparecem demarcados no presente ou no pretérito 
imperfeito: “Tinha os cabelos mais negros como a asa da 
graúna...”
C) Textos expositivos – Têm por finalidade explicar 
um assunto ou uma determinada situação que se almeje 
desenvolvê-la, enfatizando acerca das razões de ela 
acontecer, como em: O cadastramento irá se prorrogar até 
o dia 02 de dezembro, portanto, não se esqueça de fazê-lo, 
sob pena de perder o benefício.
D) Textos injuntivos (instrucional) – Trata-se de 
uma modalidade na qual as ações são prescritas de 
forma sequencial, utilizando-se de verbos expressos no 
imperativo, infinitivo ou futuro do presente: Misture todos 
os ingrediente e bata no liquidificador até criar uma massa 
homogênea. 
E) Textos argumentativos (dissertativo) – Demarcam-se 
pelo predomínio de operadores argumentativos, revelados 
por uma carga ideológica constituída de argumentos e 
contra-argumentos que justificam a posição assumida 
acerca de um determinado assunto: A mulher do mundo 
contemporâneo luta cada vez mais para conquistar seu 
espaço no mercado de trabalho, o que significa que os 
gêneros estão em complementação, não em disputa.
Gêneros Textuais
São os textos materializados que encontramos em 
nosso cotidiano; tais textos apresentam características 
sócio-comunicativas definidas por seu estilo, função, 
composição, conteúdo e canal. Como exemplos, temos: 
receita culinária, e-mail, reportagem, monografia, poema, 
editorial, piada, debate, agenda, inquérito policial, fórum, 
blog, etc.
A escolha de um determinado gênero discursivo 
depende, em grande parte, da situação de produção, 
ou seja, a finalidade do texto a ser produzido, quem são 
os locutores e os interlocutores, o meio disponível para 
veicular o texto, etc. 
Os gêneros discursivos geralmente estão ligados a 
esferas de circulação. Assim, na esfera jornalística, por 
exemplo, são comuns gêneros como notícias, reportagens, 
editoriais, entrevistas e outros; na esfera de divulgação 
científica são comuns gêneros como verbete de dicionário 
ou de enciclopédia, artigo ou ensaio científico, seminário, 
conferência.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CEREJA, Wiliam Roberto, MAGALHÃES, Thereza Cochar. 
Português linguagens: volume 1 – 7.ª ed. Reform. – São 
Paulo: Saraiva, 2010.
CAMPEDELLI, Samira Yousseff, SOUZA, Jésus Barbosa. 
Português – Literatura, Produção de Textos & Gramática – 
volume único – 3.ª ed. – São Paulo: Saraiva, 2002.
SITE
Disponível em: <http://www.brasilescola.com/redacao/
tipologia-textual.htm>4
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1. COESÃO E COERÊNCIA
Na construção de um texto, assim como na fala, usamos 
mecanismos para garantir ao interlocutor a compreensão 
do que é dito, ou lido. Estes mecanismos linguísticos que 
estabelecem a coesão e retomada do que foi escrito - ou 
falado - são os referentes textuais, que buscam garantir a 
coesão textual para que haja coerência, não só entre os 
elementos que compõem a oração, como também entre a 
sequência de orações dentro do texto. Essa coesão também 
pode muitas vezes se dar de modo implícito, baseado em 
conhecimentos anteriores que os participantes do processo 
têm com o tema. 
Numa linguagem figurada, a coesão é uma linha 
imaginária - composta de termos e expressões - que une os 
diversos elementos do texto e busca estabelecer relações 
de sentido entre eles. Dessa forma, com o emprego 
de diferentes procedimentos, sejam lexicais (repetição, 
substituição, associação), sejam gramaticais (emprego de 
pronomes, conjunções, numerais, elipses), constroem-se 
frases, orações, períodos, que irão apresentar o contexto – 
decorre daí a coerência textual.
Um texto incoerente é o que carece de sentido ou 
o apresenta de forma contraditória. Muitas vezes essa 
incoerência é resultado do mau uso dos elementos de 
coesão textual. Na organização de períodos e de parágrafos, 
um erro no emprego dos mecanismos gramaticais e lexicais 
prejudica o entendimento do texto. Construído com os 
elementos corretos, confere-se a ele uma unidade formal.
Nas palavras do mestre Evanildo Bechara, “o enunciado 
não se constrói com um amontoado de palavras e orações. 
Elas se organizam segundo princípios gerais de dependência 
e independência sintática e semântica, recobertos por 
unidades melódicas e rítmicas que sedimentam estes 
princípios”.
Não se deve escrever frases ou textos desconexos – é 
imprescindível que haja uma unidade, ou seja, que as frases 
estejam coesas e coerentes formando o texto. Relembre-se 
de que, por coesão, entende-se ligação, relação, nexo entre 
os elementos que compõem a estrutura textual.
Formas de se garantir a coesão entre os elementos de 
uma frase ou de um texto:
	 Substituição de palavras com o emprego de 
sinônimos - palavras ou expressões do mesmo campo 
associativo.
	 Nominalização – emprego alternativo entre 
um verbo, o substantivo ou o adjetivo correspondente 
(desgastar / desgaste / desgastante).
	 Emprego adequado de tempos e modos verbais: 
Embora não gostassem de estudar, participaram da aula. 
	 Emprego adequado de pronomes, conjunções, 
preposições, artigos:
O papa Francisco visitou o Brasil. Na capital brasileira, 
Sua Santidade participou de uma reunião com a Presidente 
Dilma. Ao passar pelas ruas, o papa cumprimentava as 
pessoas. Estas tiveram a certeza de que ele guarda respeito 
por elas.
	 Uso de hipônimos – relação que se estabelece 
com base na maior especificidade do significado de um 
deles. Por exemplo, mesa (mais específico) e móvel (mais 
genérico).
	 Emprego de hiperônimos - relações de um termo 
de sentido mais amplo com outros de sentido mais especí-
fico. Por exemplo, felino está numa relação de hiperonímia 
com gato.
	 Substitutos universais, como os verbos vicários. 
Verbo vicário é aquele que substitui outro já utilizado 
no período, evitando repetições. Geralmente é o verbo 
fazer e ser. Exemplo: Não gosto de estudar. Faço porque 
preciso. O “faço” foi empregado no lugar de “estudo”, 
evitando repetição desnecessária.
A coesão apoiada na gramática se dá no uso de 
conectivos, como pronomes, advérbios e expressões 
adverbiais, conjunções, elipses, entre outros. A elipse 
justifica-se quando, ao remeter a um enunciado anterior, 
a palavra elidida é facilmente identificável (Exemplo.: O 
jovem recolheu-se cedo. Sabia que ia necessitar de todas 
as suas forças. O termo o jovem deixa de ser repetido e, 
assim, estabelece a relação entre as duas orações).
Dêiticos são elementos linguísticos que têm a 
propriedade de fazer referência ao contexto situacional 
ou ao próprio discurso. Exercem, por excelência, essa 
função de progressão textual, dada sua característica: são 
elementos que não significam, apenas indicam, remetem 
aos componentes da situação comunicativa.
Já os componentes concentram em si a significação. 
Elisa Guimarães ensina-nos a esse respeito:
“Os pronomes pessoais e as desinências verbais 
indicam os participantes do ato do discurso. Os pronomes 
demonstrativos, certas locuções prepositivas e adverbiais, 
bem como os advérbios de tempo, referenciam o 
momento da enunciação, podendo indicar simultaneidade, 
anterioridade ou posterioridade. Assim: este, agora, hoje, 
neste momento (presente); ultimamente, recentemente, 
ontem, há alguns dias, antes de (pretérito); de agora em 
diante, no próximo ano, depois de (futuro).”
A coerência de um texto está ligada:
1. à sua organização como um todo, em que devem 
estar assegurados o início, o meio e o fim;
2. à adequação da linguagem ao tipo de texto. Um texto 
técnico, por exemplo, tem a sua coerência fundamentada 
em comprovações, apresentação de estatísticas, relato de 
experiências; um texto informativo apresenta coerência 
se trabalhar com linguagem objetiva, denotativa; textos 
poéticos, por outro lado, trabalham com a linguagem 
figurada, livre associação de ideias, palavras conotativas.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
CAMPEDELLI, Samira Yousseff, SOUZA, Jésus Barbosa. 
Português – Literatura, Produção de Textos & Gramática – 
volume único – 3.ª ed. – São Paulo: Saraiva, 2002.
SITE
Disponível em: <http://www.mundovestibular.com.
br/articles/2586/1/COESAO-E-COERENCIA-TEXTUAL/
Paacutegina1.html>
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EXERCÍCIO COMENTADO
1. (BANESTES – ANALISTA ECONÔMICO FINANCEIRO 
GESTÃO CONTÁBIL – FGV-2018)
Texto 2
“A prefeitura da capital italiana anunciou que vai banir a 
circulação de carros a diesel no centro a partir de 2024. O 
objetivo é reduzir a poluição, que contribui para a erosão 
dos monumentos”. (Veja, 7/3/2018)
A ordem cronológica dos fatos citados no texto 2 é:
a) redução da poluição / banimento da circulação de carros 
/ erosão dos monumentos;
b) banimento da circulação de carros / erosão dos monu-
mentos / redução da poluição;
c) erosão dos monumentos / redução da poluição / bani-
mento da circulação de carros;
d) redução da poluição / erosão dos monumentos / bani-
mento da circulação de carros;
e) erosão dos monumentos / banimento da circulação de 
carros / redução da poluição.
Resposta: Letra E
“A prefeitura da capital italiana anunciou que vai banir a 
circulação de carros a diesel no centro a partir de 2024. 
O objetivo é reduzir a poluição, que contribui para a ero-
são dos monumentos”. 
Primeiro ocorreu a erosão dos monumentos (=1) devido 
à poluição; optou-se pelo banimento da circulação dos 
carros (=2) para que a poluição diminua (=3), o que pre-
servará os monumentos.
2. (BANCO DA AMAZÔNIA – TÉCNICO BANCÁRIO – 
CESGRANRIO-2018) A ideia a que o pronome destacado 
se refere está adequadamente explicitada entre colchetes 
em:
a) “Ela é produzida de forma descentralizada por milhares 
de computadores, mantidos por pessoas que ‘empres-
tam’ a capacidade de suas máquinas para criar bitcoins” 
[computadores]
b) “No processo de nascimento de uma bitcoin, que é cha-
mado de ´mineração´, os computadores conectados à 
rede competem entre si” [bitcoin]
c) “O nível de dificuldade dos desafios é ajustado pela rede, 
para que a moeda cresça dentro de uma faixa limitada, 
que é de até 21 milhões de unidades” [rede]
d) “Elas são guardadas em uma espécie de carteira, que é 
criada quando o usuário se cadastra no software.” [es-
pécie ]
e) “Críticos afirmam que a moeda vive uma bolha que em 
algum momento deve estourar.” [bolha]
Resposta: Letra E
Em “a”: “Ela é produzida de forma descentralizada por 
milhares de computadores, mantidos por pessoas que 
(= as quais – retoma o termo “pessoas”) 
Em “b”: “No processo de nascimento de uma bitcoin, 
que é chamado de ‘mineração’ (= o qual - retoma oter-
mo “processo de nascimento”)
Em “c”: “O nível de dificuldade dos desafios é ajustado 
pela rede, para que a moeda cresça dentro de uma faixa 
limitada, que é de até 21 milhões de unidades” = retoma 
o termo “faixa limitada”
Em “d”: “Elas são guardadas em uma espécie de carteira, 
que é criada (= a qual – retoma “carteira”)
Em “e”: “Críticos afirmam que a moeda vive uma bolha 
que (= a qual) em algum momento deve estourar.” [bo-
lha] = correta
3. (PETROBRAS – ADMINISTRADOR JÚNIOR – CES-
GRANRIO-2018-ADAPTADA)
O vício da tecnologia
Entusiastas de tecnologia passaram a semana com os olhos 
voltados para uma exposição de novidades eletrônicas re-
alizada recentemente nos Estados Unidos. Entre as inova-
ções, estavam produtos relacionados a experiências de re-
alidade virtual e à utilização de inteligência artificial — que 
hoje é um dos temas que mais desperta interesse em pro-
fissionais da área, tendo em vista a ampliação do uso desse 
tipo de tecnologia nos mais diversos segmentos.
Mais do que prestar atenção às novidades lançadas no 
evento, vale refletir sobre o motivo que nos leva a uma 
ansiedade tão grande para consumir produtos que prome-
tem inovação tecnológica. Por que tanta gente se dispõe a 
dormir em filas gigantescas só para ser um dos primeiros 
a comprar um novo modelo de smartphone? Por que nos 
dispomos a pagar cifras astronômicas para comprar apare-
lhos que não temos sequer certeza de que serão realmente 
úteis em nossas rotinas?
A teoria de um neurocientista da Universidade de Oxford 
(Inglaterra) ajuda a explicar essa “corrida desenfreada” por 
novos gadgets. De modo geral, em nosso processo evolu-
tivo como seres humanos, nosso cérebro aprendeu a suprir 
necessidades básicas para a sobrevivência e a perpetuação 
da espécie, tais como sexo, segurança e status social.
Nesse sentido, a compra de uma novidade tecnológica 
atende a essa última necessidade citada: nós nos senti-
mos melhores e superiores, ainda que momentaneamente, 
quando surgimos em nossos círculos sociais com um pro-
duto que quase ninguém ainda possui.
Foi realizado um estudo de mapeamento cerebral que 
mostrou que imagens de produtos tecnológicos ativa-
vam partes do nosso cérebro idênticas às que são ativadas 
quando uma pessoa muito religiosa se depara com um ob-
jeto sagrado. Ou seja, não seria exagero dizer que o vício 
em novidades tecnológicas é quase uma religião para os 
mais entusiastas.
O ato de seguir esse impulso cerebral e comprar o mais 
novo lançamento tecnológico dispara em nosso cérebro 
a liberação de um hormônio chamado dopamina, respon-
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sável por nos causar sensações de prazer. Ele é liberado 
quando nosso cérebro identifica algo que represente uma 
recompensa.
O grande problema é que a busca excessiva por recom-
pensas pode resultar em comportamentos impulsivos, que 
incluem vícios em jogos, apego excessivo a redes sociais e 
até mesmo alcoolismo. No caso do consumo, podemos ob-
servar a situação problematizada aqui: gasto excessivo de 
dinheiro em aparelhos eletrônicos que nem sempre trazem 
novidade –– as atualizações de modelos de smartphones, 
por exemplo, na maior parte das vezes apresentam poucas 
mudanças em relação ao modelo anterior, considerando-se 
seu preço elevado. Em outros casos, gasta-se uma quantia 
absurda em algum aparelho novo que não se sabe se terá 
tanta utilidade prática ou inovadora no cotidiano.
No fim das contas, vale um lembrete que pode ajudar a 
conter os impulsos na hora de comprar um novo smar-
tphone ou alguma novidade de mercado: compare o efei-
to momentâneo da dopamina com o impacto de imaginar 
como ficarão as faturas do seu cartão de crédito com a 
nova compra.
O choque ao constatar o rombo em seu orçamento pode 
ser suficiente para que você decida pensar duas vezes a 
respeito da aquisição.
DANA, S. O Globo. Economia. Rio de Janeiro, 16 jan. 2018. 
Adaptado.
A ideia a que a expressão destacada se refere está explici-
tada adequadamente entre colchetes em:
a) “relacionados a experiências de realidade virtual e à uti-
lização de inteligência artificial — que hoje é um dos 
temas que mais desperta interesse em profissionais da 
área” [experiências de realidade virtual]
b) “tendo em vista a ampliação do uso desse tipo de tec-
nologia nos mais diversos segmentos” [inteligência ar-
tificial]
c) “a compra de uma novidade tecnológica atende a essa 
última necessidade citada” [segurança]
d) “O ato de seguir esse impulso cerebral e comprar o mais 
novo lançamento tecnológico dispara em nosso cérebro 
a liberação de um hormônio chamado dopamina” [ma-
peamento cerebral]
e) “Ele é liberado quando nosso cérebro identifica algo que 
represente uma recompensa.” [impulso cerebral]
Resposta: Letra B
Em “a”: “relacionados a experiências de realidade virtual 
e à utilização de inteligência artificial — que hoje é um 
dos temas que mais desperta interesse em profissionais 
da área” [experiências de realidade virtual]
Nesse caso, a resposta se encontra na alternativa: inteli-
gência artificial
Em “b”: “tendo em vista a ampliação do uso desse tipo 
de tecnologia nos mais diversos segmentos” [inteligên-
cia artificial]
Texto: Entre as inovações, estavam produtos relaciona-
dos a experiências de realidade virtual e à utilização de 
inteligência artificial — que hoje é um dos temas que 
mais desperta interesse em profissionais da área, tendo 
em vista a ampliação do uso desse tipo de tecnologia 
nos mais diversos segmentos.= correta
Em “c”: “a compra de uma novidade tecnológica atende 
a essa última necessidade citada” [segurança]
Texto: (...) suprir necessidades básicas para a sobrevivên-
cia e a perpetuação da espécie, tais como sexo, segu-
rança e status social. / Nesse sentido, a compra de uma 
novidade tecnológica atende a essa última necessidade 
citada... = status social
Em “d”: “O ato de seguir esse impulso cerebral e com-
prar o mais novo lançamento tecnológico dispara em 
nosso cérebro a liberação de um hormônio chamado 
dopamina” [mapeamento cerebral]
(...) vício em novidades tecnológicas é quase uma reli-
gião para os mais entusiastas. / O ato de seguir esse 
impulso cerebral e comprar
Em “e”: “Ele é liberado quando nosso cérebro identifica 
algo que represente uma recompensa.” [impulso cere-
bral]
(...) a liberação de um hormônio chamado dopamina, 
responsável por nos causar sensações de prazer. Ele é 
liberado = dopamina
4. (PETROBRAS – ENGENHEIRO(A) DE MEIO AMBIENTE 
JÚNIOR – CESGRANRIO-2018)
Texto I
Portugueses no Rio de Janeiro
O Rio de Janeiro é o grande centro da imigração portu-
guesa até meados dos anos cinquenta do século passa-
do, quando chega a ser a “terceira cidade portuguesa do 
mundo”, possuindo 196 mil portugueses — um décimo de 
sua população urbana. Ali, os portugueses dedicam-se ao 
comércio, sobretudo na área dos comestíveis, como os ca-
fés, as panificações, as leitarias, os talhos, além de outros 
ramos, como os das papelarias e lojas de vestuários. Fora 
do comércio, podem exercer as mais variadas profissões, 
como atividades domésticas ou as de barbeiros e alfaiates. 
Há, de igual forma, entre os mais afortunados, aqueles liga-
dos à indústria, voltados para construção civil, o mobiliário, 
a ourivesaria e o fabrico de bebidas.
A sua distribuição pela cidade, apesar da não formação de 
guetos, denota uma tendência para a sua concentração em 
determinados bairros, escolhidos, muitas das vezes, pela 
proximidade da zona de trabalho. No Centro da cidade, 
próximo ao grande comércio, temos um grupo significativo 
de patrícios e algumas associações de porte, como o Real 
Gabinete Português de Leitura e o Liceu Literário Portu-
guês. Nos bairros da Cidade Nova, Estácio de Sá, Catumbi 
e Tijuca, outro ponto de concentração da colônia, se locali-
zam outras associações portuguesas, como a Casa de Por-
tugal e um grande número de casas regionais. Há, ainda, 
pequenas concentrações nos bairros periféricos da cidade, 
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como Jacarepaguá, originalmente formado por quintas de 
pequenoslavradores; nos subúrbios, como Méier e Enge-
nho Novo; e nas zonas mais privilegiadas, como Botafogo 
e restante da zona sul carioca, área nobre da cidade a partir 
da década de cinquenta, preferida pelos mais abastados.
PAULO, Heloísa. Portugueses no Rio de Janeiro: salazaristas 
e opositores em manifestação na cidade. In: ALVES, Ida et 
alii. 450 Anos de Portugueses no Rio de Janeiro. Rio de Ja-
neiro: Ofi cina Raquel, 2017, pp. 260-1. Adaptado.
“No Centro da cidade, próximo ao grande comércio, temos 
um grupo significativo de patrícios e algumas associações 
de porte”. No trecho acima, a autora usou em itálico a pa-
lavra destacada para fazer referência aos:
a) luso-brasileiros
b) patriotas da cidade
c) habitantes da cidade
d) imigrantes portugueses
e) compatriotas brasileiros
Resposta: Letra D
Ainda hoje é o utilizado o termo “patrício” para se referir 
aos portugueses. “Patrício” significa “da mesma pátria”.
5. (BANESTES – TÉCNICO BANCÁRIO – FGV-2018) Todas 
as frases abaixo apresentam elementos sublinhados que 
estabelecem coesão com elementos anteriores (anáfora); 
a frase em que o elemento sublinhado se refere a um ele-
mento futuro do texto (catáfora) é:
a) “A civilização converteu a solidão num dos bens mais 
preciosos que a alma humana pode desejar”;
b) “Todo o problema da vida é este: como romper a própria 
solidão”;
c) “É sobretudo na solidão que se sente a vantagem de 
viver com alguém que saiba pensar”;
d) “O homem ama a companhia, mesmo que seja apenas a 
de uma vela que queima”;
e) “As pessoas que nunca têm tempo são aquelas que pro-
duzem menos”.
Resposta: Letra B
Em “a”: “A civilização converteu a solidão num dos bens 
mais preciosos que a alma humana pode desejar” = re-
toma “bens preciosos”
Em “b”: “Todo o problema da vida é este: como romper a 
própria solidão” = o pronome se refere ao período que 
virá (= catáfora)
Em “c”: “É sobretudo na solidão que se sente a vanta-
gem de viver com alguém que saiba pensar” = retoma 
“solidão”
Em “d”: “O homem ama a companhia, mesmo que seja 
apenas a de uma vela que queima” = retoma “compa-
nhia”
Em “e”: “As pessoas que nunca têm tempo são aquelas 
que produzem menos” = retoma “pessoas”
6. (MPE-AL - TÉCNICO DO MINISTÉRIO PÚBLICO – FGV-
2018) 
NÃO FALTOU SÓ ESPINAFRE
A crise não trouxe apenas danos sociais e econômicos. 
Mostrou também danos morais.
Aconteceu num mercadinho de bairro em São Paulo. A 
dona, diligente, havia conseguido algumas verduras e avi-
sou à clientela. Formaram-se uma pequena fila e uma gran-
de discussão. Uma senhora havia arrematado todos os dez 
maços de espinafre. No caixa, outras freguesas pergunta-
ram se ela tinha restaurante. Não tinha. Observaram que 
a verdura acabaria estragada. Ela explicou que ia cozinhar 
e congelar. Então, foram ao ponto: caramba, havia outras 
pessoas na fila, ela não poderia levar só o que consumiria 
de imediato?
“Não, estou pagando e cheguei primeiro”, foi a resposta.
Compras exageradas nos supermercados, estoques do-
mésticos, filas nervosas nos postos de combustível – teve 
muito comportamento na base de cada um por si.
Cabem nessa categoria as greves e manifestações oportu-
nistas. Governo, cedendo, também vou buscar o meu – tal 
foi o comportamento de muita gente.
Carlos A. Sardenberg, in O Globo, 31/05/2018.
“A crise não trouxe apenas danos sociais e econômicos. 
Mostrou também danos morais”. A palavra ou expressão 
do primeiro período que leva à produção do segundo pe-
ríodo é:
a) a crise.
b) não trouxe.
c) apenas.
d) danos sociais.
e) (danos) econômicos.
Resposta: Letra C
1.º período: A crise não trouxe apenas danos sociais e 
econômicos. 
2.º período: Mostrou também danos morais.
A expressão que nos dá a ideia de que haverá mais in-
formações que complementarão a primeira “tese” apre-
sentada é “apenas”.
7. (IBGE – RECENSEADOR – FGV-2017)
Texto 3 – “Silva, Oliveira, Faria, Ferreira... Todo mundo tem 
um sobrenome e temos de agradecer aos romanos por 
isso. Foi esse povo, que há mais de dois mil anos ergueu 
um império com a conquista de boa parte das terras ba-
nhadas pelo Mediterrâneo, o inventor da moda. Eles tive-
ram a ideia de juntar ao nome comum, ou prenome, um 
nome.
Por quê? Porque o império romano crescia e eles precisa-
vam indicar o clã a que a pessoa pertencia ou o lugar onde 
tinha nascido”. (Ciência Hoje, março de 2014)
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“Todo mundo tem um sobrenome e temos de agradecer 
aos romanos por isso”. (texto 3) O pronome “isso”, nesse 
segmento do texto, se refere a(à): 
a) todo mundo ter um sobrenome; 
b) sobrenomes citados no início do texto; 
c) todos os sobrenomes hoje conhecidos; 
d) forma latina dos sobrenomes atuais; 
e) existência de sobrenomes nos documentos.
Resposta: Letra A
Todo mundo tem um sobrenome e temos de agradecer 
aos romanos por isso = ter um sobrenome.
8. (MPU – ANALISTA – ANTROPOLOGIA – CESPE-2010)
Inovar é recriar de modo a agregar valor e incrementar a 
eficiência, a produtividade e a competitividade nos proces-
sos gerenciais e nos produtos e serviços das organizações. 
Ou seja, é o fermento do crescimento econômico e social 
de um país. Para isso, é preciso criatividade, capacidade de 
inventar e coragem para sair dos esquemas tradicionais. 
Inovador é o indivíduo que procura respostas originais e 
pertinentes em situações com as quais ele se defronta. É 
preciso uma atitude de abertura para as coisas novas, pois 
a novidade é catastrófica para os mais céticos. Pode-se di-
zer que o caminho da inovação é um percurso de difícil 
travessia para a maioria das instituições. Inovar significa 
transformar os pontos frágeis de um empreendimento em 
uma realidade duradoura e lucrativa. A inovação estimula 
a comercialização de produtos ou serviços e também per-
mite avanços importantes para toda a sociedade. Porém, a 
inovação é verdadeira somente quando está fundamenta-
da no conhecimento. A capacidade de inovação depende 
da pesquisa, da geração de conhecimento. É necessário 
investir em pesquisa para devolver resultados satisfatórios 
à sociedade. No entanto, os resultados desse tipo de in-
vestimento não são necessariamente recursos financeiros 
ou valores econômicos, podem ser também a qualidade de 
vida com justiça social.
Luís Afonso Bermúdez. O fermento tecnológico. In: Darcy. 
Revista de jornalismo científico e cultural da Universida-
de de Brasília, novembro e dezembro de 2009, p. 37 (com 
adaptações).
Subentende-se da argumentação do texto que o prono-
me demonstrativo, no trecho “desse tipo de investimento”, 
refere-se à ideia de “fermento do crescimento econômico 
e social de um país”.
( ) CERTO ( ) ERRADO
Resposta: ERRADO
Ao trecho: (...) É necessário investir em pesquisa para de-
volver resultados satisfatórios à sociedade. No entanto, 
os resultados desse tipo de investimento = investir em 
pesquisa / desse tipo de investimento.
9. (MPU – ANALISTA DO MPU – CESPE-2015)
Texto I
Na organização do poder político no Estado moderno, à 
luz da tradição iluminista, o direito tem por função a pre-
servação da liberdade humana, de maneira a coibir a de-
sordem do estado de natureza, que, em virtude do risco 
da dominação dos mais fracos pelos mais fortes, exige a 
existência de um poder institucional. Mas a conquista da 
liberdade humana também reclama a distribuição do po-
der em ramos diversos, com a disposição de meios que 
assegurem o controle recíproco entre eles para o advento 
de um cenário de equilíbrio e harmonia nas sociedades es-
tatais. A concentração do poder em um só órgão ou pessoa 
viria sempre em detrimento do exercício da liberdade. É 
que, como observou Montesquieu, “todo homem que tem 
poder tende a abusar dele; ele vai até onde encontra limi-
tes. Para que não se possa abusar do poder, é preciso que, 
pela disposição das coisas, o poder limite o poder”.
Até Montesquieu, não eram identificadas com clareza as 
esferas de abrangência dos poderes políticos: “só se conce-
bia sua união nas mãos de um só ou, então, sua separação; 
ninguém se arriscava a apresentar,