Operações com conjuntos - Resumo e exercícios

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Operação com Conjuntos
A motivação para o estudo das operações entre conjuntos vem da facilidade que elas trazem para a resolução de problemas numéricos do cotidiano. Utilizaremos algumas ferramentas gráficas, como o diagrama de Venn-Euler, para definir as principais operações entre dois ou mais conjuntos, sendo elas: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença de conjuntos e conjunto complementar.
Lembre-se que na matemática os conjuntos representam a reunião de diversos objetos. Quando os elementos que formam o conjunto são números, são chamados de conjuntos numéricos.
Os conjuntos numéricos são:
Números Naturais (N) Números Inteiros (Z) Números Racionais (Q)
 Números Irracionais (I) Números Reais (R)
União de conjuntos
A união entre dois ou mais conjuntos será um novo conjunto constituído por elementos que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos em questão. Formalmente o conjunto união é dado por:
Sejam A e B dois conjuntos, a união entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Em outras palavras, basta unir os elementos de A com os de B.
Exemplo:
a) Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x é um número par natural} e B {y | y é um número ímpar natural}
A união de todos os pares naturais e todos os ímpares naturais resulta em todo o conjunto dos números naturais, logo, temos que:
Intersecção de conjuntos
A intersecção entre dois ou mais conjuntos também será um novo conjunto formado por elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a todos os conjuntos envolvidos. Formalmente temos:
Sejam A e B dois conjuntos, a intersecção entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Desse modo, devemos considerar somente os elementos que estão em ambos os conjuntos.
Exemplo
a) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, –1, –2, –3}
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = { }
B ∩ C = {0}
O conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de conjunto vazio e pode ser represento de duas formas.
Diferença de conjuntos
A diferença entre dois conjuntos, A e B, é dada pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
No diagrama de Venn-Euler, a diferença entre os conjuntos A e B é:
Exemplo
Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} e C = { }. Vamos determinar as seguintes diferenças.
A – B = {5}
A – C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C – A = { }
Observe que, no conjunto A – B, tomamos inicialmente o conjunto A e “tiramos” os elementos do conjunto B. No conjunto A – C, tomamos o A e “tiramos” o vazio, ou seja, nenhum elemento. Por último, em C – A, tomamos o conjunto vazio e “tiramos” os elementos de A, que, por sua vez, já não estavam lá.
Conjuntos complementares
Considere os conjuntos A e B, em que o conjunto A está contido no conjunto B, isto é, todo elemento de A também é elemento de B. A diferença entre os conjuntos, B – A, é chamada de complementar de A em relação a B. Em outras palavras, o complementar é formado por todo elemento que não pertence ao conjunto A em relação ao conjunto B, em que ele está contido.
Exemplo
Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
O complementar de A em relação a B é:
Atividades:
1)Considere os conjuntos A = {2, 4, 5, 12, 40, 53} e B = {9, 12, 30, 90}, determine A – B, A ∪ B e A ∩ B.
2) Sejam os conjuntos A = {1, 4, 5, 8}, B = {1, 2, 8} e C = {3, 8, 12}, determine:
a) A ∩ (B ∩ C)
b) A – (A ∩ B)
c) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)
3) Sejam os conjuntos A e B definidos pelas imagens abaixo, determine o valor de x sabendo que o total de elementos dos conjuntos é 120.
4)Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C).
5) os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C).
6)Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B. 
7)  Em uma sala de aula, a professora de Matemática decidiu fazer um levantamento dos lanches comprados pelos alunos. A professora verificou que, de um total de 35 alunos, dezesseis compraram salgado; destes, quatro compraram pizza e salgado, e sete alunos não compraram lanche nesse dia. Quantos alunos compraram apenas pizza?
8)  Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de?
9) Uma sorveteria, com o intuito de otimizar suas vendas, fez uma pesquisa para saber qual era o sorvete que seus clientes mais consomem. Entre os entrevistados, 130 consomem o sorvete de morango; 165 consomem o sorvete de chocolate e 175 consomem o sorvete de flocos. Dentro desse grupo, 120 consomem apenas sorvete de flocos; 25 consomem sorvete de morango e chocolate; 15 consomem o sorvete de morango e flocos; 10 consomem sorvete de morango, flocos e de chocolate. Quantos clientes consomem os sorvetes de chocolate e flocos?
10) (UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:
• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos dessa turma é
a) 49.
b) 50.
c) 47.
d) 45.
d) 46.
11) Temos o conjunto A = {1, 2, 4, 8 e 16} e o conjunto B = {2, 4, 6, 8 e 10}. De acordo com a alternativas, onde estão localizados os elementos 2, 4 e 8?
12) Dados os conjuntos A, B e C, qual imagem representa A U (B ∩ C)?
13) Qual a proposição abaixo é verdadeira?
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais tem 1 elemento.
c) O número 1,83333... é um número racional.
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
14) O valor da expressão abaixo, quando a = 6 e b = 9, é:
a) um número natural ímpar
b) um número que pertence ao conjunto dos números irracionais
c) não é um número real
d) um número inteiro cujo módulo é maior que 2
15) Uma pesquisa foi realizada para conhecer o hábito de compra dos consumidores em relação a três produtos. A pesquisa obteve os seguintes resultados:
· 40% compram o produto A.
· 25% compram o produto B.
· 33% compram o produto C.
· 20% compram os produtos A e B.
· 5% compram os produtos B e C.
· 19% compram os produtos A e C.
· 2% compram os três produtos.
Com base nesses resultados, responda:
a) Qual a porcentagem de entrevistados que não compram nenhum desses produtos?
b) Qual a porcentagem de entrevistados que compram o produto A e B e não compram o produto C?
c) Qual a porcentagem de entrevistados que compram pelo menos um dos produtos?