Slides sobre Vetores

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GRANDEZAS
ESCALARES E 
VETORIAIS
Sabemos que:
 a gramática trabalha com palavras, e com a 
relação existente entre elas;
 a história trabalha com fatos e eventos.
... e a Física, com o que ela trabalha ???
Bem, a Física trabalha com grandezas físicas, e 
por isso é muito importante que você as conheça.
Existem 2 tipos de grandezas:
As físicas e as não físicas.
físicas (vetoriais ou escalares): São aquelas 
grandezas que podem ser medidas. Ex: comprimento, 
massa, tempo etc...
não físicas: São aquelas que não podem ser 
medidas. Ex: beleza, emoção, alegria, amor etc...
A Física somente trabalha com as grandezas físicas, 
ou seja, com aquelas que podem ser medidas e 
quantificadas.
GRANDEZAS:
É muito comum existir uma confusão entre o que é 
uma grandeza física e o que é uma unidade física.
Vamos tentar resolver este problema através de alguns 
exemplos:
· No nado livre a velocidade do nadador pode chegar 
a até 7,2 km/h. 
Aqui a grandeza física em questão é a 
velocidade. Esta grandeza mede a rapidez do nadador.
A unidade usada para representar a rapidez do 
nadador foi o km/h (quilômetros por hora). 
Note que se eu quiser posso usar outras unidades 
para representar a grandeza física velocidade . Poderia 
usar o m/s metros por segundo), ou então a mph
(milhas por hora).
Existem muitas unidades diferentes para se medir 
uma mesma grandeza física. Veja outro exemplo:
A grandeza física usada aqui é o tempo, e a 
unidade usada foi a hora.
Existem outras unidades usadas para representar 
o tempo (segundo, minuto, dia, ano, século etc)
 O seu organismo demora de 6 a 8h (seis a 
oito horas) para digerir um prato de feijoada. 
Você já deve ter reparado que existem várias 
grandezas físicas, como por exemplo a velocidade, o 
volume, a temperatura, a massa, o comprimento etc.
Se você estiver interessado em medir a rapidez de 
algum corpo, terá que usar a grandeza física 
velocidade, mas se você quiser descobrir qual é a 
quantidade de matéria de determinado corpo, a 
velocidade não irá resolver seu problema.
Neste caso você terá que medir a massa deste corpo.
E se você precisar saber qual o espaço ocupado por 
determinado corpo ???
Qual grandeza física lhe será útil ??
Se você pensou no volume, acertou.
http://br.geocities.com/galileon/1/grandezas/grandezas.htm
É importante que fique claro a diferença entre uma 
grandeza física e uma unidade física. Só existe uma 
grandeza física para se medir rapidez, por exemplo.
A grandeza é a velocidade.
Mas existem muitas unidades diferentes para se medir 
a velocidade, como por exemplo,m/s,km/h, mps, nó etc.
Analise então o seguinte problema:
Vamos supor que você precise medir o "tamanho" de 
um cabo de vassoura. 
Logicamente a grandeza física que deve ser 
usada é o comprimento.
Não adianta medir a massa, nem a temperatura, 
nem a velocidade do cabo de vassoura pra saber seu 
tamanho, não é mesmo?
Muito bem, para medir o "tamanho" do cabo de vassoura 
tenho que usar a grandeza física comprimento.
"... qual unidade eu uso???“
Existem várias unidades possíveis para se medir 
o comprimento do cabo de vassoura.
Algumas delas são: metros (m), centímetro (cm), 
polegada (in), milha (mi), quilômetro (km), pé (ft).
Logicamente você não vai medir o cabo da 
vassoura em quilômetros ou milhas.
Neste caso estas unidades não são práticas, 
embora possam ser usadas.
C om certeza a unidade escolhida será o metro ou o 
centímetro, afinal de contas, polegada e pé são 
unidades usadas com maior freqüência nos EUA, e não 
aqui no Brasil.
"... qual unidade eu uso???“
Mas deixando por enquanto estes detalhes de lado, 
você mediu o cabo de vassoura e encontrou o valor 
1,5m.
Qual seria o valor encontrado se você usasse o 
centímetro como unidade ?
Qual seria o valor encontrado se você resolvesse 
medi-lo em polegadas ?
Para responder a estas perguntas, que 
aparecerão inúmeras vezes na Física, você deve 
aprender a transformar uma unidade em outra.
Como eu faço para transformar metros em 
centímetros?
Para isso você precisa saber a relação que existe 
entre algumas unidades básicas. 
Múltiplos e submúltiplos 
das unidades
Você com certeza já ouviu alguém falar que 
determinado alimento possui 20 kcal (lê-se vinte 
quilocalorias).
Ou então que um saco de arroz possui massa de 
5 kg (lê-se cinco quilogramas, mas acho que este 
você já sabia, certo?).
Múltiplos e submúltiplos 
das unidades
Mais um exemplo: a profundidade máxima 
conhecida do oceano fica no Pacífico, e 
possui 11,5 km (onze quilômetros e meio).
Este lugar é conhecido como Fossa das 
Marianas, e fica a leste do Havaí.
"Será coincidência o fato destas unidades 
começarem com a letra k , e quando lemos 
cada uma delas pronunciarmos inicialmente 
a palavra quilo ???"
Você sabia que um camelo pode tomar 200 ml
(duzentos mililitros) de água por segundo ? 
Isso dá aproximadamente um copo, a cada segundo.
Você também pode ler em uma embalagem de suco, 
que 100 ml (cem mililitros) de suco diluído possui 15 
mg (quinze miligramas) de vitamina C. 
E para finalizar, a espessura de uma caneta Bic é de 
8 mm (oito milímetros). 
Repare que aqui acontece a mesma coisa, "todas as 
unidade começam com a letra m , e ao pronunciá-las 
dizemos inicialmente a palavra mili. Será isto outra 
grande coincidência ???"
Múltiplos e submúltiplos 
das unidades
Não é coincidência. Existe uma regra para darmos 
nome aos múltiplos e submúltiplos das unidades 
básicas.
Nos exemplos acima vemos que:
 20 000 calorias pode ser lido como 20 mil 
calorias, ou 20 kcal 
 5 000 gramas pode ser lido como 5 mil gramas, 
ou 5 kg 
 11 500 m pode ser lido como 11,5 mil metros, ou 
11,5 km 
O mil foi substituído pelo letra "k" (quilo), e passou a ser 
lido junto com a unidade.
Múltiplos e submúltiplos 
das unidades
Nos outros exemplos percebemos que:
 200 ml significa 200/1000 litros, que dá 0,2 litros 
 15 mg significa 15/1000 gramas, que dá 0,015 
gramas 
 8 mm significa 8/1000 metros, que dá 0,008 
metros 
Aqui vemos que a letra "m" (mili) representa que o 
valor dado deve ser dividido por mil para ser lido com 
a unidade básica (litros, gramas ou metros)
Múltiplos e submúltiplos 
das unidades
A massa de uma bola de boliche é de
aproximadamente 7 000 g.
Você já deve ter visto que mil representa 103.
Então uma outra maneira de escrever 7 000g seria
7 x 103 g.
Parece que complicou, mas observe que podemos
substituir o 103 pelo prefixo k na unidade, ou
seja:
Sete mil gramas virou sete quilogramas.
Isso funciona da mesma maneira para todos os 
outros prefixos.
Múltiplos e submúltiplos 
das unidades
 É a que possui valor numérico (um 
número) e uma unidade de medida para 
representar uma grandeza física.
 O valor numérico (um número) e uma 
unidade de medida também podem ser 
chamados de:
 Módulo
 ou Intensidade
 ou Magnitude
 Algumas vezes necessitamos mais que um número 
e uma unidade para representar uma grandeza 
física.
 Sendo assim, surgiu uma representação matemática 
que expressa outras característica de uma 
grandeza... O VETOR
 O valor numérico (um número) e uma unidade de 
medida também podem ser chamados de:
 Módulo
 ou Intensidade
 ou Magnitude
 É um ente matemático representado por um 
segmento de reta orientado. 
 Possuí valor numérico e unidade de medida também 
chamados de: módulo ou intensidade ou magnitude. 
(Que é o comprimento da reta)
 Tem uma direção( eixo que ocorre o fenômeno).
 E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está 
apontando, ou melhor para onde vai).
Módulo
Sentido
Direção da Reta Suporte ou Eixo
 As grandezas vetorial são representadas da 
seguinte forma: a letra que representa a 
grandeza, e uma a “flechinha” sobre a letra. 
Da seguinte forma:
V
F
d
 Vetores Iguais
a
b
r
s
Mesmo Módulo
Mesma Direção
Mesmo Sentido
a = b
O vetor a é igual ao vetor b.
 Vetores Opostos
a
b
r
s
c
t
Sobre os vetores b e c podemos afirmar:Tem o mesmo módulo, mesma direção mas 
sentidos opostos.
a = b = - c
O vetor c é oposto aos vetores a e b.
 Através da soma vetorial encontramos o 
vetor resultante.
 O vetor resultante seria como se todos os 
vetores envolvidos na soma fossem 
substituídos por um, e este tivesse o 
mesmo efeito.
 Existem regras para fazer a soma vetores.
 É utilizada na adição de qualquer quantidade de 
vetores.
 Exemplo: a
b
c
Determinarmos a soma a + b + c
Para isto devemos posicionar cada vetor junto ao 
outro de forma que a extremidade de um vetor 
coloca-se junto à origem do outro.
E o vetor soma, ou também chamado vetor 
resultante, será o vetor que une a origem do primeiro 
do primeiro com a extremidade do último, formando 
assim um polígono.
a
b c
r
 É utilizada para realizar a adição de apenas dois 
vetores.
 Exemplo: a
bDeterminar a soma a + b.
Para isto devemos posicionar a origem dos dois vetores 
no mesmo ponto e traçar uma reta paralela a cada um 
passando pela extremidade do outro.
E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, 
será o vetor que une a origem dos dois vetores com o 
cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, 
formando assim um paralelogramo.
E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante 
será dado por:
R² = a² + b² 
Reta Paralela ao vetor b e que passa 
pela extremidade do vetor a.
Reta Paralela ao vetor a e que 
passa pela extremidade do 
vetor b.
a
b
a
R
1º ) α = 0º
S = a + b
2º ) α = 180º
S = a - b
3º ) α = 90º
S = a + b
22 2
Sendo assim, qualquer 
que seja o ângulo entre 
os dois vetores o valor 
da resultante será:
| a – b | ≤ R ≤ a + b
 Considere os dois vetores a seguir:
a
b
Realizar a subtração, a – b, é como somar a mais um 
vetor de mesma intensidade, mesma direção mas de 
sentido oposto ao do vetor b originalmente 
representado.
Na realidade, estaremos fazendo a adição do vetor a 
com um vetor oposto ao vetor b ( a + (-b) ).
a
- b
R