PROBLEMAS PROPOSTOS CINEMÁTICA, CONSERVAÇÃO DA MASSA, QUANTIDADE DE MOVIMENTO

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Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-42 
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4) 
 
[1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: 
k
ji
xzytxttzyxV ˆˆ
2
ˆ 32),,,( +−=
r . Determinar: 
(a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. 
(b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. 
( c ) Aceleração total da partícula 
(d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) 
(e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). 
 
 
[2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kji tyxztV ˆ2ˆˆ3 ++=
r 
 Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. 
 
[3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: 
k
ji zxxyzzyV ˆ
3
ˆ
2
ˆ
22 32 ++=
r 
(a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional 
(b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. 
 
[4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kzji etaytaxV ˆ2ˆ23ˆ2
2
+−=
r 
 Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. 
[5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k
y
zx
j
y
zx
i
y
zx
V ˆ
3ˆ2ˆ
2
223
2
3
−−=
r 
 Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. 
 
[6] Dado o campo de velocidades kji zzxyxV ˆ2ˆˆ2 12)44(6 +−−=
r Determine o campo de velocidades angular 
ou rotacional. 
 
[7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. 
 
(a) xu −= yv = (b) yu 3= xv 3= (c) xu 4= yv 4−= 
 
(d) xyu 3= ytv 3= (e) tyxyu 2+= txxyv 4+= (c) 324 yxu = 42xyv −= 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
CCOONNSSEERRVVAAÇÇÃÃOO DDAA MMAASSSSAA 
 
(( CCaapp.. 55 )) 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-44 
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) 
 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque 
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes 
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é 
dada pela equação: 
 
i
R
r
UV ˆ1
2
max 


 

−=r 
 
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o 
fluxo de massa da tubulação. 
 
 
 
[3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para 
escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é 
igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as 
entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção 
(2). 
 
 
 
 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. 
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-45 
 
 
Solução Exemplo 1 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de 
uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa 
especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa 
instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
Equação Básica 0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂ 
Hipóteses: 
(1) As propriedades no tanque são uniformes, porem 
dependentes do tempo. 
(2) Escoamento uniforme na seção (1). 
 
 Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo. 
( ) 0=∫+∫ ∀ sc AdVvcdt
rrρρ∂
∂ 
• Como ∀=∀∫
vc
d 
0=∫+∀ sc AdVt
rrρρ∂
∂ 
 
• O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). 
∫=∫ 1Asc AdVAdV
rrrr
ρρ 
 
• Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). 
 
• Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 
 
1111
AVAdV
A
ρρ =∫ rr 
 
( ) 0111 =+∀∂
∂
AV
t
ρρ 
• Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: 
 
( ) 111 AVt ρρ −=∂
∂∀ 
 
( )
∀
−=
∂
∂ 111 AV
t
ρρ 
 
( )
( )
( ) smkgm
m
x
x
s
m
x
m
kg
t
/48,2
05,0
10001000
65
1000
311
13,6
33
2
3


−=





−=∂
∂ ρ 
• Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0). 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-46 
Solução Exemplo 2 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: 
 
i
R
r
UV ˆ1
2
max 


 

−=r 
 
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. 
Determine o fluxo de massa da tubulação. 
 
Solução: 
A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
 
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂ 
 
Hipóteses: 
• Escoamento permanente 
• Escoamento incompressível 
• Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
∫∫∫ === AdVAdVAdVm rrrrrr& ρρρ 222111 
 
A
u
R
uR
um
RRR
R
RR
R
rr
rdr
R
r
rdr
R
r
um
drr
R
r
um
πrdrdA
R
R
R
R
224
2
442
1
42
1
42
1
:integral a Resolvendo
12
)2(1
 2 : tubodo seção da área de elemento o doConsideran
max2max
2
max
222242
0
242
0
2
0
2
max
0
2
max
ρπρπρ
πρ
πρ
==


=
=

 −=


 

−=


 

−=


 

−



 

−=



 

−=
=
∫
∫
∫
&
&
&
 
Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é 
2
maxuu = 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-47 
Solução Exemplo 3 
[3] Dados 
Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2 
Fluxo de massa em (3): 
s
kg
m 603 =& (+) 
Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s 
Velocidade em (1) 
s
m
iV ˆ0,31 =
r 
Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 
 
 
A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂ 
Hipóteses: 
(1) Escoamento permanente 
(2) Escoamento incompressível 
(3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: 
0
4331
=+++= ∫∫∫∫∫
AAAAsc
AdVAdVAdVAdVAdV
rrrrrrrrrr
ρρρρρ 
Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c. 
1
1
1111
1
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c. 
 
222
2
22
2
mAVAVAdV
AA
&
rr
=±== ∫∫ ρρρ Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção 
 
∫∫ ===
3
33333
3 AA
mAVAVAdV &
rr
ρρρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. 
 
4
4
4444
4
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. 
 
04321 =+++=∫ mmmmAdV
sc
&&&&
rr
ρ 
skgmx
s
m
x
m
kg
AVm /6002,00,31000 2
3111
−==−= ρ& (-) entrando no v.c. 
skgm /603 =& (+) saindo dov.c. 
skg
s
m
x
m
kg
QAVm /3003,01000
3
34444
−===−= ρρ& (-) entrando no v.c. 
0306060 24321 =−++−=+++ mmmmm &&&&& 
s
kg
m 302 =& Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. 
Para determinar a velocidade em (2): 
222 AVm ρ=& 
sm
xA
m
V /6,0
05,01000
30
2
2
2 === ρ
& na forma vetorial: 
s
m
jV ˆ6,02 −=
r (aponta em sentido negativo do eixo y) 
Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-48 
Solução Exemplo 4 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. 
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. 
Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) 
devido ao enchimento do reservatório dada por: 
 
 
 
Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2. 
 
resres A
VAVA
A
QQ
t
dh
mmd
t
221121
21 0
+=+=
∂
=−−∀
∂
∂
&&ρ
 
 ( ) ( )
sm
xx
A
VDVD
t
dh
res
/0172,0
18,0
6,0075,09,0025,0
44
22
2
2
21
2
1 =
+
=+=
∂
ππ 
 
021 =−− mmdt
dh
Ares &&ρ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QQUUAANNTTIIDDAADDEE DDEE MMOOVVIIMMEENNTTOO 
 
(( CCaapp..55 )) 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-50 
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5) 
 
[1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. 
 
[2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. 
 
[3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 . Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária 
para manter o cotovelo no lugar. 
 
 
[4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo 
em que atua. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-51 
 
[ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força 
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A 
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com 
diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 
 
Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N 
 
 
 
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de 
diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa 
especifica da água 1000 kg/m3). 
 
 
 
 
 
 
 
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na 
tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 
kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a 
pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. 
 
 
Obs. O fluido escoa de (1) para (2). 
 
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado 
na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade 
do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-52 
Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. 
 Dados: 
Velocidade do jato: smiV /ˆ15=r Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Determinar: Força resultante. 
 
 
Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. 
Equações Básicas 
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂ 
 Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. 
 
∫=
sc
s AdVVF
rrrr
ρ 
 Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x. 
ApRApF atmxatmx −+= Por tanto xx RF = 
 
 A quantidade de movimento na direção - x: 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-53 
{ } 11
11
1
AVuAdVuAdVu
AdVuAdVV
AA
Axsc
ρρρ
ρρ
−=−=
=



∫∫
∫∫
rrrr
rrrrr
 
O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVu 225001,015100015 2
311
−=−=− ρ 
 
NAdVuR
A
x 2250
1
−== ∫ rrρ Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x. 
 
Na forma vetorial NiFs ˆ2250−=
r 
Método simplificado No método simplificado : 
 ( )12 uuQFx −= ρ 
 ( )12 uumFx −= & 
 A massa especifica é determinada com as condições da seção 1. 
skgmx
s
m
x
m
kg
Aum /15001,0151000 2
311
=== ρ& (+) saindo do v.c. 
 A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) 
N
s
m
x
s
kg
umFx 2250151501 −==−= & Aponta no sentido contrário ao eixo x. 
 Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-54 
 
Solução: Exemplo 2 
Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato 
escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. 
 
 
Dados: 
Velocidade do jato: smiV /ˆ15=r Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água ρ=1000 kg/m3 
Pressão atmosférica Patm=101 kPa. 
Solução: 
Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. 
 
Equações Básicas 
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂ 
 
Hipóteses: 
Escoamento permanente 
Escoamento incompressível 
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. 
Forças de campo desprezíveis. 
 
∫=
sc
s AdVVF
rrrr
ρ 
 
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) 
 
∫=
sc
sx AdVuF
rr
ρ 
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. 
ApRApF atmxatmsx −−= Por tanto xsx RF −= 
 
A quantidade de movimento na direção - x: 
 { } 111
1
111
1
AVuAdVuAdVu
AA
ρρρ −=−= ∫∫ rrrr (fluxo entrando no v.c.) 
Igualando os termos: 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-55 
111 AVuRx ρ−=− e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido 
 
Vetor velocidade: 
 
Ponto (1) smiV /ˆ1,6=r e desta forma u1=6,1m/s. 
Consideramos que o jato é uniforme 
Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVuRx 98,1800051,01,610001,6
2
3111
=== ρ 
 
Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y) 
 
∫=
2
222
A
sy AdVvF
rr
ρ 
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). 
HatmyHatmsy ApRApF −+= Por tanto ysy RF = 
 
Pela conservação da massa em (2) smjV /ˆ1,6=r e desta forma: v2=6,1m/s. 
 { } 222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
ρρρ ∫∫ =+= rrrr (fluido saindo da s.c.) 
 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVv 98,18000511,01,610001,6 2
3222
==ρ 
 
NAVvRy 98,19222 == ρ (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) 
 
Método simplificado 
 
O fluxo de massa é dada por: 
s
kg
mx
s
m
x
m
kg
Aum 11,300051,01,61000 2
311
=== ρ&( )12 uumFx −= & u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: NxumFx 98,181,611,31 −==−= & 
 ( )12 vvmFy −= & v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: NxvmFy 98,181,611,32 === & 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-56 
Solução: Exemplo 3 
[ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em 
regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm, a 
velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na seção (2) 
da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão 
atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: A força resultante Rx e 
Ry. Obs. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as 
simplificações (hipótese) do escoamento. 
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂
 Hipotese e escoamento: Escoamento permanente 
Escoamento incompressível 
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. 
 
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) 
 
∫=
sc
sx AdVuF
rr
ρ
 ( considerando força de campo FBx=0) 
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa 
 
xrsx RApF −= 11 
A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direção - x: 
 { } 111
1
111
1
111 AVuAdVuAdVu
AA
ρρρ −=−= ∫∫ rrrr
 (fluxo entrando no v.c.) 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVu 1600113,00,410000,4 2
3111
==ρ
 
11111 AVuApR rx ρ+= ( )
( ) NNxR
AVuApR
x
rx
15161600113,01000120
11111
=+=
+= ρ
 
s
kg
mx
s
m
x
m
kg
AVm 28,4500283,0161000 2
322
=== ρ&
 
Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y) 
 
∫=+
2
222
A
Bysy AdVvFF
rr
ρ
 Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada 
já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo 
FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: 
 
=+= yrsy RApF 22 como pr2=0, ysy RF = 
 { } 222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
ρρρ ∫∫ =+= rrrr
 (fluido saindo da s.c.) (+) 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVv 72400283,016100016 2
3222
−=−=ρ 
NAVvRy 724222 −== ρ (Contrario ao sentido admitido originalmente) 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-57 
Solução: Exemplo 4 
Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é 
igual a 600. Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua. 
 
No método simplificado: 
 
Equações utilizadas: 
 
( )12 uumFx −=∑ & 
 
( )12 vvmFy −=∑ & 
 
O fluxo de massa pode ser determinado como: 
s
kg
s
m
x
m
kg
QAVm 5005,01000
3
311
==== ρρ& 
 
Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.c. 
jviuV ˆˆ 111 +=
r jviuV ˆˆ 222 +=
r 
 
Componentes da velocidade em x: 
 
O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750 
s
m
Vu 07,275cos8)75cos( 0022 === 
s
m
Vu 66,545cos845cos 0011 === 
Componentes da velocidade em y: 
s
m
Vv 73,775sin875sin 0022 === 
s
m
sinsinVv 66,545845 0011 === 
Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s 
 
Força Resultante em x: 
 
( ) N
s
kg
RF xx 5,17966,507,250 −=−==∑ (Aponta em sentido contrário ao eixo - x) 
 
Força Resultante em x: 
 
( ) N
s
kg
RF yy 5,66966,573,750 =+==∑ (Aponta no mesmo sentido que o eixo - y) 
 
Força Resultante: 
 
( ) NRRR yx 6935,669)5,179( 2222 ≈+−=+= 
Ângulo formado pela resultante: 075≈=
x
y
R
R
Tanφ 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-58 
Solução: Exemplo 5 
 
[ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s. 
Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória. 
 
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂ 
 
Hipóteses: 
• Escoamento em regime permanente. Não que existe 
variação das propriedades no tempo no V.C. 
• Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2). 
• Escoamento com velocidades unidimensionais. 
• Escoamento com considerando fluido incompressível. 
 
Fazendo analise em x: 
( )∑ −= 12 xx vvQFx ρ onde: 
smv
smv
x
x
/5,760cos15
/15
2
1
==
= 
s
m
m
x
x
s
m
AVQ
3
2
2
11 118,04
1,0
15 =


== π 
( )
NRx
xxRx
4,883
155,7118,01000
=
−=−
 
 
Solução: Exemplo 6 
 
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual 
permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). 
4
0)(
)()(
2
2
1
21
D
vW
vAvW
vmF
vmvmF
y
y
πρ
ρ
=
−=−
+−=
−+−=
∑
∑
&
&&
 
 
sm
x
D
W
v /88,18
05,01000
70044
22
===
πρπ
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-59 
Solução: Exemplo 7 
 
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na 
tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 
kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a 
pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. 
 
 
Obs. O fluido escoa de (1) para (2). 
 
P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulação: sm
D
V /33,13600
150
4
2
==
π
 
 ( )xx uuQFx 12 −=Σ ρ 
 ( )xxx uuQAPAPR 122211 −=++− ρ 
 ( ) ( )xxx uuQAPPR 12121 )( −=++− ρ 
 
conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s ( ) ( )
( ) NxxxR
APPuuQR
x
xxx
555256528,990314,080100)33,133,1(
3600
150
900
)( 12112
=+−=++−−=
++−−= ρ
 
 
Solução: Exemplo 8 
 
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado 
na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade 
do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. 
 
 
( )12 vvQFy −=∑ ρ 
 
 
NWFy 825−=−=∑ 
 ( )
sm
xx
xxx
D
x
v
Av
vAv
/08,17
601000
100010008254
4
1000
825
825
0825
221
2
1
11
==



=
=
−=−
ππ
ρ
ρ