Interpretação Geométrica da Derivada

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INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 
 
 
Reta tangente: Seja ( )xf uma função derivável no ponto 0x , cujo gráfico está 
representado na figura abaixo. 
 
 
 
 Vimos que ( )0xf  representa o coeficiente angular da reta tangente t ao gráfico 
de ( )xf no ponto ( )( )00 , xfxP , ou seja: 
( )0xftgmt ==  . 
 Assim a equação da reta tangente t é dada por: 
 
( ) ( )( )000: xxxfxfyt −=− 
 
Reta normal: A reta normal n à curva ( )xf no ponto ( )( )00 , xfxP é a reta perpendicular 
à reta tangente a esta curva que passa no referido ponto. 
 
 De acordo com a figura acima, consideramos a inclinação da reta normal n dada 
pelo ângulo  , assim o coeficiente angular da reta normal é dado por: 
tgmn = 
Conforme podemos observar na figura, temos que 
2

 += , assim: 
t
n
mtgsen
sensen
sensensen
tgtgm
11cos
22
coscos
cos
22
cos
2
cos
2
2
10
10
−=−=−=
=
−
+
=






+






+
=





+==

















 
Portanto: 
( )0
11
xfm
m
t
n

−=−= . 
 
 Assim a equação da reta normal n é dada por: 
 
( )
( )
( )0
0
0
1
: xx
xf
xfyn −

−=− 
 
Reta horizontal: A reta horizontal h é uma reta paralela ao eixo dos x. Sendo assim, o 
ângulo de inclinação desta reta é 0° e o coeficiente angular da reta horizontal é dado por: 
00 == tgmh 
 Assim a equação da reta horizontal é dada por: 
0: 0 =− yyh 
 
Reta vertical: A reta vertical é uma reta perpendicular ao eixo dos x. Sendo assim, o 
ângulo de inclinação da reta vertical é 90° e a sua equação é dada por: 
0: 0 =− xxv 
 
Exemplos: 
 
1. Determinar as equações das retas tangente e normal à curva 53 23 +−−= xxxy 
no ponto ( )2,3P . 
 
Solução: 
 
 Para determinar o coeficiente angular da reta tangente à curva dada, vamos 
determinar a derivada da função 53 23 +−−= xxxy no ponto 30 =x . 
 Assim temos: 
163 2 −−= xxy , 
logo 
( ) 811827136333 2 =−−=−−== ymt 
Daí a equação da reta tangente t à curva dada no ponto ( )2,3P é dada por: 
( )382 −=− xy 
De onde se obtém: 
228: −= xyt 
Para determinar a equação da reta normal n, vamos determinar o coeficiente 
angular desta reta, que é dado por: 
( ) 8
1
3
11
−=

−=−=
ym
m
t
n 
Daí a equação da reta normal n à curva dada no ponto ( )2,3P é dada por: 
( )3
8
1
2 −−=− xy 
De onde se obtém: 
0198: =−+ yxn 
 Na figura abaixo apresentamos o gráfico da função 53 23 +−−= xxxy , as retas 
tangente e normal a esta curva no ponto ( )2,3P . 
 
 
 
 
2. Determinar a equação da reta tangente à parábola 342 +−= xxy que é 
perpendicular à reta 04 =+ yx . 
 
 Solução: 
 
Considerando a reta 04: =+ yxr , podemos reescrever a sua equação na forma: 
xy
4
1
−= , assim o coeficiente angular desta reta é dado por: 
4
1
−=rm 
Conforme o enunciado do problema, a reta tangente à parábola deve ser 
perpendicular à reta r, sendo assim o coeficiente angular da reta tangente deve ser: 
4
1
=−=
r
r
m
m 
Por outro lado, o coeficiente angular da reta tangente à parábola é determinado 
pela derivada da função 342 +−= xxy no ponto de tangência. Então considerando a 
derivada desta função obtemos: 
42 −= xy 
Daí, no ponto de tangência da curva 34
2 +−= xxy onde a reta tangente é 
perpendicular à reta r devemos ter: 
442 =−x 
Portanto neste ponto temos: 
482 == xx 
Então como o ponto de tangência pertence à parábola, este deve verificar a equação
342 +−= xxy , logo quando 4=x , temos: 
334442 =+−=y 
 Sendo assim, vamos escrever a equação da reta tangente à parábola, que passa no 
ponto ( )3,4P e que tem coeficiente angular 4=rm , que deve ser escrita como: 
( )443 −=− xy 
Portanto obtemos: 
134: −= xyt 
 
 A figura a seguir apresenta a solução gráfica do problema 2. 
 
 
 
 
 
 3. Determinar os pontos de tangência horizontal sobre a curva 23 3xxy −= , se 
existirem. 
 
 Solução: 
 
 Nos pontos de tangência horizontal sobre a curva dada, a reta tangente é uma reta 
horizontal, logo o seu coeficiente angular é nulo, ou seja, a derivada da função no ponto 
de tangência horizontal deve ser nula. 
 Assim, considerando a função 23 3xxy −= , temos que a sua derivada é dada por: 
xxy 63 2 −= , 
daí, nos pontos de tangência horizontal devemos ter: 
 
( ) 2e0023063 2 ===−=− xxxxxx 
 
 Como os pontos de tangência horizontal pertencem à curva dada, para determinar a 
ordenada destes pontos devemos substituir os valores encontrados para a variável x na 
equação da curva, ou seja: 
 
- quando 0=x , temos: 0030
23 =−=y 
- quando 2=x , temos: 4232
23 −=−=y 
 
 Portanto os pontos de tangência horizontal sobre a curva 
23 3xxy −= são: 
( ) ( ).4,2 e0,0 21 −PP 
 A figura a seguir apresenta a solução gráfica do problema 3. 
 
 
 
4. Determinar a equação da reta tangente à curva 𝑦 = √𝑥
3
, no ponto 𝑃(0,0). 
 
Solução: 
 
Para determinar o coeficiente angular da reta tangente à curva dada, vamos 
determinar a derivada da função 𝑦 = √𝑥
3
 no ponto 𝑥0 = 0. Temos que: 
 
𝑦′ =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥
1
3) =
1
3
𝑥− 
2
3 =
1
3𝑥
2
3
=
1
3√𝑥2
3 
Podemos observar que a função 𝑦 = √𝑥
3
 não é derivável no ponto 𝑥0 = 0, pois a 
função 𝑦′ =
1
3 √𝑥2
3 não é definida neste ponto. Entretanto, se calcularmos 𝑦′(0) através da 
definição de derivada, obtemos: 
 
𝑦′(0) = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) − 𝑓(0)
𝑥 − 0
= lim
𝑥→0
√𝑥
3
− 0
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥
1
3
𝑥
= 
 
 = lim
𝑥→0
𝑥
1
3
−1 = lim
𝑥→0
𝑥− 
2
3 = lim
𝑥→0
1
√𝑥2
3 = +∞ 
 
Logo o coeficiente angular da reta tangente à curva 𝑦 = √𝑥
3
 no ponto 𝑃(0,0) tende 
para +∞, portanto a reta tangente é uma vertical e sua equação é dada por: 
 
𝑡: 𝑥 = 0. 
 
A figura a seguir mostra a curva 𝑦 = √𝑥
3
 e a reta tangente a esta curva no ponto 
𝑃(0,0).