Estudo de caso Calculo II (1)

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Estudo de caso Calculo II 
Um reservatório de combustível no formato circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é 
constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade 
sul para 2 metros na extremidade norte. Encontre o volume de combustível no reservatório. 
(5,1)
(-5,2)
x
1
2
y
z
0 5-5
RETA
 
Equação da Reta: ( ax+b=z ) 
(
5a + b = 1
-5a + b = 2
) → 2b = 3 → b =
3
2
 
Substituindo b na primeira equação 
5a +
3
2
 = 1 x(2) → 10a + 3 = 2 → 10a = -1 → a =
-1
10
 
Então a Equação da Reta fica 
-
x
10
+
3
2
 = z 
Calculando Integral dupla 
∬ -
x
10
+
3
2
 da 
Alterando para coordenadas polares 
x=rcos𝜃 ; y=rsen𝜃 ; 0 ≤ r ≤ 5 ; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
∫ ∫ -
x
10
+
3
2
 rdr
5
0
 d𝜃
2𝜋
0
 
∫ (-
rcos𝜃
10
+
3
2
)
5
0
rdr → ∫ (-
r2cos𝜃
10
+
3r
2
) dr
5
0
 → [-
r3cos𝜃
30
+
3r2
4
] 0
5 
-
53cos𝜃
30
+
3(5)2
4
 → -
125cos𝜃
30
+
75
4
 
∫ (-
125cos𝜃
30
+
75
4
)
2𝜋
0
d𝜃 → [-
125sen𝜃
30
+
75𝜃
4
] 0
2𝜋 → - 
125sen2𝜋
30
+
75(2𝜋)
4
 → 0 +
75𝜋
2
 
Volume do Tanque será de 
75𝜋
2
𝑚3 = 117,8m3 
Calculando através formulas 
Ø10
2
1
 
 
Volume = 
𝜋 D2
4
 . h 
Neste caso podemos calcular dois tanque com altura de 1 metro e dividirmos 
1 tanque por 2 
 
Volume 1 = 
𝜋 102
4
 . 1 = 78,539m³ 
Volume 2 = 
𝜋 102
4
 . 1 =
78,539𝑚³
2
 = 39,269m³ 
V1 + V2 = 78,538 + 39,269 = 117,8m³