002__005_024_mat1_2_serie_v2

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PARTE I
UNIDADE 4
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
ASPECTOS CONCEITUAIS
Progressão aritmética é um tipo de sequência numéri-
ca que a partir do segundo elemento, cada termo (elemen-
to) é a soma do seu antecessor com uma constante. 
Podendo ser associadas às funções polinomiais de 1º
grau e à aplicações financeiras com modalidade simples
de juros, dentre outras, as PA mostram diversas associa-
ções ao cotidiano, realizadas através de operações sim-
ples e muitas das vezes, sem o uso de fórmulas.
(5,7,9,11,13,15,17) → essa seqüência é uma progres-
são aritmética, pois os seus elementos são formados
pela soma do seu antecessor com a constante 2. 
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7 
a3 = 7 + 2 = 9 
a4 = 9 + 2 = 11 
a5 = 11 + 2 = 13 
a6 = 13 + 2 = 15 
a7 = 15 + 2 = 17 
Essa constante é chamada de razão e representada
por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética
pode ser crescente, constante ou decrescente. 
P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em
ordem crescente. 
P.A constante ou estacionária: r = 0, então os ele-
mentos serão todos iguais. 
P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão
em ordem decrescente. 
(*) para classificar uma progressão em aritmética, geomé-
trica ou com outra lei de formação, são necessários,
no mínimo, 3 termos consecutivos.
Termo Geral de uma P.A 
Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an)
de razão igual a r, sabemos que: 
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r 
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r 
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r 
… 
a n = a1 + (n – 1) . r 
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizan-
do a seguinte fórmula: 
a n = a1 + (n – 1) . r , onde an é o n-ésimo termo, a1, o
primeiro, n indica o número de termos e r, a razão.
Exemplo 1: 
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e
r = 3. 
an = a1 + (n – 1) . r 
a16 = -10 + (16 – 1) . 3 
a16 = -10 + 15 . 3 
a16 = -10 + 45 
a16 = 35 
O 16º termo de uma P.A é 35. 
 Soma dos termos de uma P.A finita 
Gauss, matemático alemão, foi o primeiro a somar os
termos de uma PA sem precisar somar todos os termos
um por um. Quando criança, sua turma na escola sofreu
um castigo do professor: eles deveriam somar todos os
números de 1 a 100. Gauss foi o primeiro a terminar, em
tempo recorde, e o único a acertar o resultado: 5050.
A explicação para isso está no fato de Gauss ter perce-
bido que a soma do primeiro número com o último tinha
101 como resultado e que o mesmo acontecia para o se-
gundo e penúltimo, terceiro e antepenúltimo e assim por
diante. Não passou muito tempo para ele calcular que, ao
final, teria 50 resultados iguais a 101 e que a soma exigida
pelo professor era igual ao produto 50 por 101.
O pensamento de Gauss norteia a ideia central usada
para demonstrar a fórmula da soma dos n primeiros ter-
mos de uma PA.
FÓRMULA PARA A SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA
Dada a PA (a1, a2, a3, …, an – 2, an – 1, an), que possui n
termos, observe que o primeiro termo é a1, o segundo é a2,
…, o (n-1) ésimo é an – 1 e o n-ésimo termo é an.
Representando a soma desses termos por Sn, teremos
a seguinte expressão:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
Em vez de somar os termos do mesmo modo que
Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de
termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o n-ésimo
termo fique abaixo do primeiro, o (n-1)-ésimo fique abaixo
do segundo e assim por diante.
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1
Observe que, se somarmos as duas expressões, tere-
mos o dobro da mesma soma que Gauss fez.
 Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
 + Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + … + (an – 2 + a3) +
(an – 1 + a2) + (an + a1)
Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resulta-
dos dessas somas entre parênteses serão iguais aos do
primeiro termo somado ao n-ésimo. Podemos substituir,
portanto, todos os termos por (a1 + an). Observe:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an)
+ (a1 + an)
8
Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui
é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui exata-
mente os n termos que a PA possui. A de Gauss possuía
apenas metade, pois ele somou os termos de uma mesma
PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois
nós duplicamos cada termo antes de somá-los. Desse modo,
podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por
n, que é o número inicial de termos. Assim, resolvendo a
equação, teremos a fórmula pretendida:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an)
+ (a1 + an)
2Sn = n(a1 + an)
 
Interpolação de meios aritméticos
Interpolar ou inserir meios aritméticos significa estabe-
lecer uma P.A. que possui determinado o 1º termo (a1) e o
n-ésimo termo (an). Para interpolar os termos precisamos
estabelecer a razão da P.A., para que assim possamos cons-
truí-la. Observe: 
Exemplo
Interpolar 6 meios aritméticos entre 7 e 42 de modo que
a1=7 e a8=42. 
Resolução 
Precisamos estabelecer a razão da P.A., veja: 
an = a1 + (n – 1) ⋅ r 
a8 = 7 + (8 – 1) ⋅ r 
42 = 7 + 7r 
42 – 7 = 7r 
35 = 7r 
r = 35/7 
r = 5 
A progressão aritmética é (7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42) 
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Propriedades das Progressões Aritméticas
1ª propriedade (termos equidistantes dos extremos) 
Numa P.A. finita, a soma de dois termos eqüidistantes
dos extremos é igual à soma dos extremos.
2ª propriedade
Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo mé-
dio é igual à média aritmética entre os extremos. 
3ª propriedade 
A sequência (a, b, c) é P.A. se, e somente se, o termo
médio é igual à média aritmética entre a e c, isto é:
PA de 2ª Ordem
É uma sequência numérica na qual as razões, e não os
elementos, estão em PA.
Uma solução prática para obter-se o n-ésimo termo des-
sa sequência é observar que o 2º termo é igual a soma do
1º com uma razão.
O 3º termo, a soma do 1º com as duas primeiras razões.
O 4º termo, a soma do 1º com as 3 primeiras razões.
Assim, o n-ésimo será obtido pela soma do 1º termo
com a soma das (n-1) primeiras razões.
01 Determine o 10º termo de uma progressão aritmética,
sabendo que o primeiro termo é 2017 e a razão é 7.
(A) 2059.
(B) 2066.
(C) 2073.
(D) 2080.
(E) 2087.
02 O número de múltiplos de 7 que estão compreendidos
entre 100 e 10000 é:
(A) 1517
(B) 1414
(C) 1312
(D) 1217
(E) 1100
03 Ao interpolarmos 8 meios aritméticos entre 10 e 140,
encontraremos uma PA com qual razão ?
04 Para que a sequência (-2, x/3 , 2y) defina uma PA, qual
relação deve haver entre x e y ?
05 Na progressão aritmética 97, 94, 91, ... qual o primeiro
termo negativo ?
06 Uma progressão aritmética de n termos tem razão igual
a 3. Se retirarmos os termos de ordem ímpar, os de
ordem par formarão uma progressão
(A) aritmética de razão 2
(B) aritmética de razão 6
(C) aritmética de razão 9
(D) geométrica de razão 3
(E) geométrica de razão 6
07 As medidas dos ângulos assinalados na figura a seguir
formam uma progressão aritmética. Então, necessari-
amente, um deles sempre mede:
(A) 108º
(B) 104º
(C) 100º
(D) 86º
(E) 72º
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01 (ENEM 2016) Sob a orientação de um mestre de obras,
João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício.
João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares
1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois
andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos anda-
res 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em
três andares. Coincidentemente, terminaram seus tra-
balhos no último andar. Na conclusão da reforma, o
mestre de obras informou, em seu relatório, o número
de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da exe-
cução da obra, em exatamente 20 andares, foram rea-
lizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João
e Pedro.
Qual é o número de andares desse edifício?
(A) 40
(B) 60
(C) 100
(D) 115
(E) 120
02 (ENEM 2018) A prefeitura de um pequeno município
do interior decide colocar postes para iluminação ao
longo de uma estrada retilínea,que inicia em uma pra-
ça central e termina numa fazenda na zona rural. Como
a praça já possui iluminação, o primeiro poste será co-
locado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros,
o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, man-
tendo-se sempre uma distância de vinte metros entre
os postes, até que o último poste seja colocado a uma
distância de 1.380 metros da praça.
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000,00
por poste colocado, o maior valor que poderá gastar
com a colocação desses postes é
(A) R$ 512.000,00.
(B) R$ 520.000,00.
(C) R$ 528.000,00.
(D) R$ 552.000,00.
(E) R$ 584.000,00.
03 (ENEM) As projeções para a produção de arroz no pe-
ríodo de 2012–2021, em uma determinada região pro-
dutora, apontam para uma perspectiva de crescimento
constante da produção anual. O quadro apresenta a
quantidade de arroz, em toneladas, que será produzi-
da nos primeiros anos desse período, de acordo com
essa projeção.
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá
ser produzida no período de 2012 a 2021 será de
(A) 497,25.
(B) 500,85.
(C) 502,87.
(D) 558,75.
(E) 563,25.
04 (ENEM) Jogar baralho é uma atividade que estimula o
raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utili-
za 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas
com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a se-
gunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a
quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até
a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra
forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas
colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é
(A) 21.
(B) 24.
(C) 26.
(D) 28.
(E) 31.
05 (ENEM (LIBRAS) 2017) A figura ilustra uma sequência
de formas geométricas formadas por palitos, segundo
uma certa regra.
Continuando a sequência, segundo essa mesma re-
gra, quantos palitos serão necessários para construir o
décimo termo da sequência?
(A) 30
(B) 39
(C) 40
(D) 43
(E) 57
06 (ENEM 2ª APLICAÇÃO 2016) Em um trabalho esco-
lar, João foi convidado a calcular as áreas de vários
quadrados diferentes, dispostos em sequência, da es-
querda para a direita, como mostra a figura.
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo
1 cm, o segundo quadrado tem lado medindo 2 cm, o
terceiro 3 cm e assim por diante. O objetivo do trabalho
é identificar em quanto a área de cada quadrado da
sequência excede a área do quadrado anterior. A área
do quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi
representada por An.
Para n ≥ 2, o valor da diferença An − An−1 em centímetro
quadrado, é igual a
(A) 2n − 1
(B) 2n + 1
(C) −2n + 1
(D) (n−1)2
(E) n2 − 1
10
07 (ENEM 2ª APLICAÇÃO 2016) Com o objetivo de tra-
balhar a concentração e a sincronia de movimentos dos
alunos de uma de suas turmas, um professor de edu-
cação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e
C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo
A deveriam bater palmas a cada 2 s, os alunos do gru-
po B deveriam bater palmas a cada 3 s e os alunos do
grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s.
O professor zerou o cronômetro e os três grupos co-
meçaram a bater palmas quando ele registrou 1 s. Os
movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar
60 s.
Um estagiário anotou no papel a sequência formada
pelos instantes em que os três grupos bateram palmas
simultaneamente.
Qual é o termo geral da sequência anotada?
(A) 12 n, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5.
(B) 24n, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 2.
(C) 12(n−1), com n um número natural, tal que
1 ≤ n ≤ 6.
(D) 12 (n−1)+1, com n um número natural, tal que
1 ≤ n ≤ 5.
(E) 24 (n−1)+1, com n um número natural, tal que
1 ≤ n ≤ 3.
08 (ENEM PPL 2017) Uma empresa de entregas presta
serviços para outras empresas que fabricam e vendem
produtos. Os fabricantes dos produtos podem contra-
tar um entre dois planos oferecidos pela empresa que
faz as entregas. No plano A, cobra-se uma taxa fixa
mensal no valor de R$ 500,00, além de uma tarifa de
R$ 4,00 por cada quilograma enviado (para qualquer
destino dentro da área de cobertura). No plano B, co-
bra-se uma taxa fixa mensal no valor de R$ 200,00,
porém a tarifa por cada quilograma enviado sobe para
R$ 6,00. Certo fabricante havia decidido contratar o pla-
no A por um período de 6 meses. Contudo, ao perce-
ber que ele precisará enviar apenas 650 quilogramas
de mercadoria durante todo o período, ele resolveu con-
tratar o plano B.
Qual alternativa avalia corretamente a decisão final do
fabricante de contratar o plano B?
(A) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B
custará ao todo R$ 500,00 a menos do que o plano
A custaria.
(B) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B
custará ao todo R$ 1.500,00 a menos do que o pla-
no A custaria.
(C) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B
custará ao todo R$ 1.000,00 a mais do que o plano
A custaria.
(D) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B
custará ao todo R$ 1.300,00 a mais do que o plano
A custaria.
(E) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B
custará ao todo R$ 6.000,00 a mais do que o plano
A custaria.
09 (UERJ 2018) A sequência é definida do seguinte modo:
a1 = 5
an+1 = an + 3
Determine a média aritmética dos 51 primeiros termos
dessa sequência.
10 (UERJ 2017) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte pla-
no de treinos diários para o condicionamento de um
maratonista que se recupera de uma contusão:
• primeiro dia – corrida de 6 km;
• dias subsequentes - acréscimo de 2 km à corrida de
cada dia imediatamente anterior.
O último dia de treino será aquele em que o atleta cor-
rer 42 km.
O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do pri-
meiro ao último dia, em quilômetros, corresponde a:
(A) 414
(B) 438
(C) 456
(D) 484
11 (UERJ 2017) Considere a matriz An×9 de nove colunas
com números inteiros consecutivos, escrita a seguir.
Se o número 18.109 é um elemento da última linha,
linha de ordem n, o número de linhas dessa matriz é:
(A) 2.011
(B) 2.012
(C) 2.013
(D) 2.014
12 (UERJ)
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distânci-
as, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta or-
dem, uma progressão aritmética.
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:
(A) −50
(B) −40
(C) −30
(D) −20
11
13 (UERJ) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um re-
médio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém
200 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual
a 20mg.
Admita que um dos frascos contenha a quantidade
indicada de comprimidos, mas que cada um destes
comprimidos tenha 30mg. Para identificar esse frasco,
cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes pro-
cedimentos:
• numeram-se os frascos de1 a 15;
• retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos
correspondente à sua numeração;
• verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos
comprimidos retirados é igual a 2540mg.
A numeração do frasco que contém os comprimidos
mais pesados é:
(A) 12 (B) 13
(C) 14 (D) 15
14 (UERJ) Leia com atenção a história em quadrinhos.
Considere que o leão da história acima tenha repetido
o convite por várias semanas. Na primeira, convidou a
Lana para sair 19 vezes; na segunda semana, convi-
dou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessiva-
mente, sempre aumentando em 4 unidades o número
de convites feitos na semana anterior.
Imediatamente após ter sido feito o último dos 492 con-
vites, o número de semanas já decorridas desde o pri-
meiro convite era igual a:
(A) 10 (B) 12
(C) 14 (D) 16
15 (UNIRIO) As idades inteiras de três irmãos formam uma
P.A., e a soma delas é igual a 15 anos. A idade máxi-
ma, em anos, que o irmão mais velho pode ter é:
(A) 10 (B) 9
(C) 8 (D) 7
(E) 6
16 (UNIRIO) Um agricultor estava perdendo a sua planta-
ção, em virtude da ação de uma praga. Ao consultar
um especialista, foi orientado para que pulverizasse,
uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um
certo produto, todos os dias, da seguinte maneira:
primeiro dia: 1,0 litro;
segundo dia: 1,2 litros;
terceiro dia: 1,4 litros;
... e assim sucessivamente.
Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de
63litros, o número de dias de duração deste tratamen-
to nesta plantação foi de:
(A) 21 (B) 22
(C) 25 (D) 27
(E) 30
17 (MACKENZIE SP/2018) Se A, B, C e D são termos con-
secutivos de uma progressão aritmética e C2 − B2 ≠ 0,
então o valor de é
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) 5
(E) 7
18 (MACKENZIE SP/2018) Em um triângulo retângulo
ABC, reto em B, as medidas de seus lados AB, BC e
AC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética
de razão 3. Então, das alternativas abaixo, as medidas
de AB, BC e AC são, respectivamente,
(A) 3, 6 e 9
(B) 6, 9 e 12
(C) 9, 12 e 15
(D) 12, 15 e 18
(E) 15, 18 e 21
19 (UNIFOR CE/2017) Observe bem as três figuras que
são mostradas abaixo. Todas elas são formadas por
quadrinhos de mesmo tamanho.
Então, podemos afirmar que, nessa ordem, o número
de quadrinhos escuros da 11ª figura será de
(A) 42.
(B) 44.
(C) 46.
(D) 48.
(E) 50.
20 (UNITAU SP/2017) Sabe-se que a média aritmética de
um conjunto de valores numéricos é calculada soman-
do-se todos esses valores e dividindo-se o resultado
pelo número de elementos somados. Considerando que
a média aritmética de 22 números inteiros é igual a
121 e que esses números formam uma progressão arit-
mética (PA) com razão igual a 4, é CORRETO afirmar
que o sexto termo dessa PA é igual a
(A) 54
(B) 123
(C) 79
(D) 163
(E) 99
21 (UNITAU SP/2017) Numa progressão aritmética (a1, a2,
a3, a4, …), têm-se que a7 − a2 = 20 e a4 + a6 = 40. O
valor da expressão log2(a2 + a6)
4 é igual a
(A) 4
(B) 8
(C) 20
(D) 24
(E) 32
12
22 (UNI-FACEF SP/2017) Dois irmãos, João e Maria, pos-
suem um cofrinho cada um. No dia 1º de janeiro, havia
R$ 5,00 no cofrinho de João e R$ 7,00 no cofrinho de
Maria. No dia seguinte e em todos os demais dias des-
se mês, João e Maria passaram a colocar, respectiva-
mente, R$ 0,30 e R$ 0,20 em seus cofrinhos. Sabendo
que nenhum dinheiro foi retirado dos cofrinhos, o dia
do mês de janeiro em que os dois cofrinhos contaram
com a mesma quantia de dinheiro foi
(A) 24. (B) 23.
(C) 22. (D) 21.
(E) 20.
23 (FATEC SP) Considere a sequência formada por figu-
ras compostas por quadradinhos nas cores cinza e preta
dispostos de acordo com um determinado critério.
Admitindo o mesmo padrão de formação das figuras, o
número de quadradinhos pretos da figura que ocupa a
96ª posição é
(A) 45. (B) 47.
(C) 49. (D) 50.
(E) 52.
24 (FGV /2016) A famosa “pane dos seis minutos”, ocorri-
da no jogo Alemanha 7 x 1 Brasil, é descrita a seguir:
O segundo gol foi aos 23 minutos, o terceiro aos 24
minutos, o quarto aos 26 minutos e o quinto aos 29
minutos.
Se essa pane tivesse se estendido até o final da parti-
da (90 minutos no total) mantendo o padrão observado
de aumentar sempre um minuto, a partir do segundo
gol, nos intervalos entre gols consecutivos, o número
de gols que a Alemanha teria marcado no Brasil seria
igual a
(A) 13.
(B) 25.
(C) 17.
(D) 11.
(E) 45.
25 (CENTRO UNIVERSITÁRIO DE FRANCA SP/2016)
Uma pessoa utiliza 80 gotas de determinado analgési-
co por dia, mas, por recomendação médica, terá que
reduzir o consumo até não utilizar mais o medicamen-
to. Assim, essa pessoa passou a reduzir, a cada dia, 3
gotas da medicação em relação ao que havia tomado
no dia anterior, até não tomar mais nenhuma gota. Sa-
bendo que essa pessoa iniciou a redução do consumo
do analgésico no dia 1º de abril, quando tomou 77 go-
tas, o dia desse mesmo mês em que ela não tomou
mais nenhuma gota desse medicamento foi
(A) 24.
(B) 25.
(C) 26.
(D) 27.
(E) 28.
26 (ESPM SP) Uma sequência numérica (an) é dada por
O 10º termo dessa sequência vale:
(A) 59 (B) 54
(C) 63 (D) 49
(E) 74
27 (UEG GO) Os lados a, b e c da figura a seguir estão em
progressão aritmética de razão 1.
Verifica-se que o valor de “a” é igual a
(A) 5 (B) 1 + i
(C) 1 (D)
28 (FGV) As prestações de um financiamento imobiliário
constituem uma progressão aritmética na ordem em
que são pagas. Sabendo que a 15ª prestação é R$
3 690,00 e a 81ª prestação é R$ 2 700,00, o valor da 1ª
prestação é
(A) R$ 3 800,00 (B) R$ 3 850,00
(C) R$ 3 900,00 (D) R$ 3 950,00
(E) R$ 4 000,00
29 (UFU MG) Três terrenos quadrados de lados, medindo
x – 4, x e x + 3 metros, respectivamente, são tais que
suas áreas estão em progressão aritmética.
Determine a soma dos perímetros, em metros, desses
três terrenos.
(A) 142 (B) 106
(C) 146 (D) 102
01 (UERJ) Na figura, está representada uma torre de qua-
tro andares construída com cubos congruentes
empilhados, sendo sua base formada por dez cubos.
Calcule o número de cubos que formam a base de ou-
tra torre, com 100 andares, construída com cubos iguais
e procedimento idêntico.
13
02 (UERJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obede-
ce às seguintes regras:
• antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivi-
nhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, di-
zendo “cara” ou “coroa”;
• quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em
uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao
errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e as-
sim sucessivamente;
• em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma
sigla.
Veja o quadro que ilustra o jogo:
O jogo terminará quando o número total de letras escri-
tas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez
vezes o número de letras escritas, considerando ape-
nas o enésimo erro.
Determine o número total de letras que foram escritas
até o final do jogo.
03 (UERJ) Duas empresas, A e B, farão doações mensais
a uma creche. A tabela a seguir mostra os valores, em
reais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos
cinco primeiros meses de 2010.
A diferença entre os valores depositados pelas empre-
sas entre dois meses subsequentes será mantida cons-
tante ao longo de um determinado período.
Determine o mês e o ano desse período em que o va-
lor mensal do depósito da empresa A será igual ao da
empresa B.
04 (UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ga-
nhar uma medalha olímpica de ouro na modalidade
salto em distância. Em um treino, no qual saltou n ve-
zes, a atleta obteve o seguinte desempenho:
todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de
ordem par inválidos;
o primeiro salto atingiu a marca de 7,04 m, o terceiro a
marca de 7,07 m, e assim sucessivamente cada salto
válido aumentou sua medida em 3 cm;
o último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de
7,22 m.
Calcule o valor de n.
05 (UERJ) Moedas idênticas de 10 centavos de real fo-
ram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo à dispo-
sição apresentada no desenho: uma moeda no centro
e as demais formando camadas tangentes.
Considerando que a última camada é composta por 84
moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moe-
das usadas nessa arrumação.
06 (UERJ)
A figura acima apresenta 25 retângulos. Observe que
quatro desses retângulos contêm números e um deles,
a letra n.
Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, nú-
meros inteiros positivos, de modo que, em cada linha e
em cada coluna, sejam formadas progressões aritmé-
ticas de cinco termos.
Calcule:
a) a soma dos elementos da quarta linha da figura;
b) o número que deve ser escrito no lugar de n.
07 (PUCRS - ADAPTADA) Observe a sequência represen-
tada no triângulo abaixo:
Na sequência, determine o primeiro elemento da déci-
ma linha.
14
08 (UFJF - ADAPTADA) Se a soma dos n primeiros ter-
mos de uma progressão aritmética (PA) de termo geral
an, com n ≥ 1, é dada por , calcule o vi-
gésimo termo dessa PA .
09 (UFRJ) Os números reais a, b, c e d formam, nesta
ordem, uma progressão aritmética. Calcule o
determinante da matriz
Justifique.
PARTE I
UNIDADE 5
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
ASPECTOS CONCEITUAIS
Define-se progressão geométrica, ou simplesmente P.G.,
como uma sucessão de números reais obtida, com exce-
ção do primeiro, multiplicando o número anterior por um
valor constante q, denominado razão.
Pode-se calcular a razão da progressão, caso ela não
esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois ter-
mos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...),
q = 2.
Cálculo do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são
obtidos,por definição, a partir do primeiro, da seguinte
maneira:
Assim, pode-se deduzir a seguinte expressão do termo
geral, também chamado enésimo termo, para qualquer pro-
gressão geométrica.
an = a1 x q
n-1
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da
soma dos n primeiros termos Sn, considera-se o que se-
gue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, reescreve-se a expressão
como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo,
substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chega-se à se-
guinte fórmula da soma: 
Substituindo an = a1 . q
n-1 , obteremos uma nova apre-
sentação para a fórmula da soma, ou seja: 
Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e de-
crescente. Nestas condições, podemos considerar que no
limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, en-
contra-se: 
15
As PG’s podem ser divididas em quatro tipos, de
acordo com o valor da razão
Oscilante (q < 0) - Neste tipo de PG, ainda que alguns
autores não a reconheçam, a razão é negativa, o que
fará com que a sequência numérica seja composta de
números negativos e positivos, se intercalando.
(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde a razão é -2
Crescente (a1>0 e q>1, ou a1<0 e 0<q<1) - Na PG
crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a
sequência será formada por números crescentes, como:
(1, 3, 9, 27, 81, …), onde a razão é 3
Observação:
ATENÇÃO COM O SINAL DO 1O TERMO ! (*)
Constante - Nesta PG, a sequência numérica tem sem-
pre os mesmos números. Para isso, a razão deve ser
sempre 1:(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …) onde a razão é 1
Descrescente (a1>0 e 0<q<1, ou a1<0 e q>1) - As
progressões geométricas decrescentes tem a razão sem-
pre positiva e diferente de zero, e os números da sequência
são sempre menores do que o número anterior: (64, 32,
16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..)
razão = 1/2
Observação:
PG (-1, -3, -9, -27, -81, …) onde a razão é 3 (note que
na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão,
porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a
sequência)
Propriedades da PG
1) O produto dos termos eqüidistantes dos extremos
de uma P.G. é igual ao produto desses extremos.
2) Qualquer termo, exceção feita ao 1o, é a média geo-
métrica entre seu antecedente e seu conseqüente.
Uma das aplicações mais evidentes da PG na
vida do cidadão é a modalidade de aplicação fi-
nanceira denominada “juros compostos”.
Utilizada, por exemplo, em aplicações bancá-
rias (caderneta de poupança, etc) ou na cobrança
de penalidades por dívidas não saldadas no pra-
zo, as PG mostram um crescimento exponencial e
rápido, visto apresentarem um incremento
multiplicativo.
São associadas a equações e funções
exponenciais e, por vezes, requerem o uso dos
logaritmos como ferramenta na resolução de ques-
tões.
Interpolação geométrica
É possivel, ainda que pouco usual e com resultados
pouco práticos, interpolar n meios geométricos entre dois
valores fornecidos, a partir da fórmula do termo geral.
01 Um capital de R$ 1 000,00 é aplicado a juro simples, à
taxa de 10% ao ano; os montantes, daqui a 1, 2, 3, ... n
anos, formam a sequência (a1, a2, a3, …an).
Outro capital de R$ 2 000,00 é aplicado a juro compos-
to, à taxa de 10% ao ano gerando a sequência de mon-
tantes (b1, b2, b3, …bn) daqui a 1, 2, 3, ... n anos.
As sequencias (a1, a2, a3, …an) e (b1, b2, b3, …bn) for-
mam, respectivamente,
(A) uma progressão aritmética de razão 1,1 e uma pro-
gressão geométrica de razão 10%.
(B) uma progressão aritmética de razão 100 e uma pro-
gressão geométrica de razão 0,1.
(C) uma progressão aritmética de razão 10% e uma
progressão geométrica de razão 1,10.
(D) uma progressão aritmética de razão 1,10 e uma
progressão geométrica de razão 1,10.
(E) uma progressão aritmética de razão 100 e uma pro-
gressão geométrica de razão 1,10.
02 Resolva a equação x + x/2 + x/4 + x/8 + ..... = 10
03 Na PG 2, 6, 18, ...., qual o valor do centésimo termo ?
04 No dia 1º de dezembro de 2018, um menino pediu ao
pai que lhe desse R$ 1,00 e que fosse dobrando a quan-
tia a cada dia, ou seja, receberia R$ 2,00 no dia 2, R$
4,00 no dia 3, e assim por diante, até o dia 24 de de-
zembro.
O pai concordou com a proposta, desde que o filho lhe
desse, no dia 25, um presente que custasse o dobro
do valor recebido no dia 24.
Com o dinheiro que juntou, o menino conseguiu com-
prar o presente ?
05 Ao fazermos a interpolação de 5 meios geométricos
entre 2 e 20, obteremos uma PG com qual razão ?
06 Se os valores a, 3/5 e -b, nessa ordem, definem uma
PG, qual a relação existente entre b e a ?
01 (ENEM 2018) Torneios de tênis, em geral, são disputa-
dos em sistema de eliminatória simples. Nesse siste-
ma, são disputadas partidas entre dois competidores,
com a eliminação do perdedor e promoção do vence-
dor para a fase seguinte. Dessa forma, se na 1ª fase o
torneio conta com 2n competidores, então na 2ª fase
restarão n competidores, e assim sucessivamente até
a partida final.
Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema, par-
ticipam 128 tenistas.
Para se definir o campeão desse torneio, o número de
partidas necessárias é dado por
(A) 2 × 128
(B) 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2
(C) 128 + 64 + 32 + 16 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
(D) 128 + 64 + 32 + 16 + 16 + 8 + 4 + 2
(E) 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
16
02 (ENEM 2018) Um quebra-cabeça consiste em recobrir
um quadrado com triângulos retângulos isósceles, como
ilustra a figura.
Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o
descrito, de tal modo que a menor das peças é um tri-
ângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 cm.
O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um
quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é
(A) 14 (B) 12
(C) (D)
(E)
03 (ENEM 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma
temperatura de 3.000 ºC e diminui 1% de sua tempera-
tura a cada 30 min.
Use 0,477 como aproximação para log10(3) e 1,041
como aproximação para log10(11).
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30ºC
é mais próximo de
(A) 22. (B) 50.
(C) 100. (D) 200.
(E) 400.
04 (ENEM) O acréscimo de tecnologias no sistema pro-
dutivo industrial tem por objetivo reduzir custos e au-
mentar a produtividade. No primeiro ano de funciona-
mento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de um
determinado produto. No ano seguinte, investiu em
tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a
produção em 50%. Estima-se que esse aumento
percentual se repita nos próximos anos, garantindo um
crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade
anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento
da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que
determina o número de unidades produzidas P em fun-
ção de t, para t ≥ 1?
(A) P(t) = 0,5 ⋅ t−1 + 8.000
(B) P(t) = 50 ⋅ t−1 + 8.000
(C) P(t) = 4.000 ⋅ t−1 + 8.000
(D) P(t) = 8.000 ⋅ (0,5)t−1
(E) P(t) = 8.000 ⋅ (1,5)t−1
05 (ENEM) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) -
objeto que pode ser dividido em partes que possuem
semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal,
criada no século XX, estuda as propriedades e o com-
portamento dos fractais - objetos geométricos forma-
dos por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares
da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos se-
guintes passos:
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a meta-
de do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três
cópias;
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo
tenha um vértice comum com um dos vértices de cada
um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura
2;
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada có-
pia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura4 da
sequência apresentada acima é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
17
06 (UERJ) Um feirante vende ovos brancos e vermelhos.
Em janeiro de um determinado ano, do total de vendas
realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros 50%
de ovos vermelhos. Nos meses seguintes, o feirante
constatou que, a cada mês, as vendas de ovos bran-
cos reduziram-se 10% e as de ovos vermelhos aumen-
taram 20%, sempre em relação ao mês anterior.
Ao final do mês de março desse mesmo ano, o percentual
de vendas de ovos vermelhos, em relação ao número
total de ovos vendidos em março, foi igual a:
(A) 64% (B) 68%
(C) 72% (D) 75%
07 (UERJ) Em um recipiente com a forma de um paralele-
pípedo retângulo com 40cm de comprimento, 25cm de
largura e 20cm de altura, foram depositadas, em eta-
pas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a
0,5cm3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera;
na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim suces-
sivamente, dobrando-se o número de esferas a cada
etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço
vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando 210 ≅ 1000, o menor número de etapas
necessárias para que o volume total de esferas seja
maior do que o volume do recipiente é:
(A) 15 (B) 16
(C) 17 (D) 18
08 (UERJ) Um soldado fez n séries de flexões de braço,
cada uma delas com 20 repetições. No entanto, como
consequência das alterações da contração muscular
devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de dura-
ção de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28%
maior do que o tempo gasto para fazer a série imedia-
tamente anterior. A primeira série foi realizada em 25
segundos e a última em 1 minuto e 40 segundos.
Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repe-
tições realizadas nas n séries é igual a:
(A) 100 (B) 120
(C) 140 (D) 160
09 (UERJ) Para analisar o crescimento de uma bactéria,
foram inoculadas 1 × 103 células a um determinado vo-
lume de meio de cultura apropriado. Em seguida, du-
rante 10 horas, em intervalos de 1 hora, era medido o
número total de bactérias nessa cultura. Os resultados
da pesquisa estão mostrados no gráfico a seguir.
No gráfico da figura 1, o tempo 0 corresponde ao mo-
mento do inóculo bacteriano.
Observe que a quantidade de bactérias presentes no
meio, medida a cada hora, segue uma progressão
geométrica até 5 horas, inclusive.
O número de bactérias encontrado no meio de cultura
3 horas após o inóculo, expresso em milhares, é igual
a:
(A) 16 (B) 27
(C) 64 (D) 105
10 (USF SP/2018) Considere uma progressão aritmética
crescente de cinco termos, na qual o produto do pri-
meiro com o quinto termo é 45, e a soma dos outros
três termos é 27. Dado que o segundo e quarto termos
dessa progressão aritmética são, respectivamente, o
primeiro e o segundo termos de uma progressão geo-
métrica, é possível afirmar, corretamente, que o déci-
mo termo da progressão geométrica assim definida vale
(A) 12 288.
(B) 30.
(C) 6 144.
(D) 60.
(E) 3 072.
11 (UNESP SP/2018) A sequência de figuras, desenha-
das em uma malha quadriculada, indica as três primei-
ras etapas de formação de um fractal. Cada
quadradinho dessa malha tem área de 1 cm2.
Dado que as áreas das figuras, seguindo o padrão des-
crito por esse fractal, formam uma progressão geomé-
trica, a área da figura 5, em cm2, será igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
12 (FM PETRÓPOLIS RJ/2018)
Para n ≥ 1, a expressão an = 3n + 5 é o termo geral de
uma progressão aritmética.
Para n ≥ 1, considere a sequência cujo termo geral é
dado por .
A sequência de termo geral bn é uma progressão geo-
métrica cuja razão é
(A) 256
(B) 16
(C) 3
(D) 6
(E) 8
18
13 (UEG GO/2017) Dada a sequência (–7, 21, –63, …),
que forma uma progressão geométrica, o sexto termo
dessa progressão é
(A) –1.701
(B) 1.701
(C) 2.187
(D) –5.103
(E) 5.103
14 (UCB DF/2017)
MEIA-VIDA DE DROGAS (T1/2)
A meia-vida é um conceito cronológico e indica o tempo
em que uma grandeza considerada reduz à metade do pró-
prio valor. Em farmacocinética, ela representa o tempo gasto
para que a concentração plasmática ou a quantidade origi-
nal de um fármaco no organismo se reduza à metade.
Disponível em: <https: //www.portaleducacao.com.br/farmacia/artigos/
45406/meia-vida-de-drogas-t1-2>. Acesso em: 28 nov. 2016, com
adaptações.
Considerando a informação apresentada e sabendo que
uma pessoa ingeriu 200 mg de determinado medica-
mento cuja meia vida é quatro horas, quantos miligra-
mas do medicamento estarão presentes no organismo
após oito horas?
(A) 0.
(B) 25.
(C) 50.
(D) 100.
(E) 150.
15 (UCB DF/2017) Durante o desenvolvimento de deter-
minado fármaco, testes laboratoriais indicam que a
quantidade desse fármaco presente na corrente san-
guínea decai exponencialmente à taxa de 20% por hora.
Nessas condições, e considerando log102 = 0,301, qual
é a melhor aproximação para a meia vida do fármaco?
(A) 2h 54min
(B) 3h 00min
(C) 3h 06min
(D) 3h 12min
(E) 3h 18min
16 (UNCISAL/2017) A figura apresenta quatro etapas do
projeto artístico “Infinitos Tons de Cinza”, cujo objetivo
é pintar um painel retangular de 2 m de largura por 1 m
de altura com variados tons de cinza, a partir do se-
guinte procedimento: pinta-se a metade “esquerda” do
painel com o tom de cinza mais forte e, a partir daí,
pinta-se, sucessivamente, a metade (sempre à esquer-
da) do que falta ser pintado com um tom de cinza mais
claro que o da etapa anterior.
Se n é um número natural, qual é a área, em m2, do
painel que falta ser pintada ao final da enésima etapa?
(A) 2−n
(B) 21−n
(C)
(D)
(E)
17 (FACULDADE BAHIANA DE DIREITO BA/2017)
Levantamento feito pelo departamento de trânsito de
uma cidade demonstrou que um grande número de mo-
toristas costuma avançar o sinal vermelho em um de-
terminado cruzamento, sendo, muitos deles, reinciden-
tes nessa prática. Por essa razão, dentre outras medi-
das, estudou-se a viabilidade de que a multa cobrada
do motorista infrator, a cada reincidência, tenha seu
valor aumentado exponencialmente segundo uma pro-
gressão geométrica, de tal modo que da primeira para
a quinta infração o valor da multa tenha um acréscimo
de 125%.
Assim sendo, pode-se afirmar que da primeira para a
terceira infração, o valor da multa a ser paga deverá ter
um acréscimo de
(A) 25,0%
(B) 37,55%
(C) 50,0%
(D) 62,5%
(E) 75,0%
19
18 (UNIOESTE PR/2018)
A Figura 1 apresenta uma sequência de figuras de bo-
necos com corpo e pernas no formato retangular e ca-
beça circular. As dimensões do primeiro boneco são
apresentadas na figura 2 (na figura 2, r é o raio do cír-
culo). Sabe-se que cada uma das medidas do n-ésimo
boneco é igual à metade da medida correspondente
do (n-1)-ésimo boneco. Assim, se A1 é a área do pri-
meiro boneco, então é CORRETO afirmar que a soma
das áreas dos 30 primeiros bonecos é
Figura 1
Figura 2
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
19 (UFU MG/2017) A Secretaria de Saúde de um determi-
nado Estado brasileiro necessita enviar 640 estojos de
vacinas para N regiões distintas. Após avaliar as de-
mandas de cada uma dessas regiões a serem atendi-
das, estabeleceu-se o seguinte esquema de envio:
• para a região 1 serão enviados x estojos;
• para a região 2 serão enviados x estojos;
• para a região 3 serão enviados 2x estojos;
• para a região 4 serão enviados 4x estojos;
e esse padrão se repete nas demais regiões, ou seja,
serão enviados tantos estojos a uma região quanto for
a soma dos que já foram enviados às regiões anterio-
res. O valor de x deve ser tal que N é o maior possível
e exatamente todos os estojos sejam distribuídos.
Nas condições apresentadas, N⋅x é igual a
(A) 35
(B) 30
(C) 40
(D) 45
20 (UCB DF/2017)
A figura mostra parte do gráfico da função 
para x ≥ 0. Considerando as imagens de todos os valo-
res inteiros do domínio, o valor da soma de todos es-
ses elementos do conjunto imagem é
(A) .
(B) 4.
(C) 8.
(D) 12.
(E) ∞.
21 (ESPM SP/2017) Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8,
…), sendo an o n-ésimo termo e Sn a soma dos n pri-
meiros termos, podemos concluir que:
(A) Sn = 2 ⋅ an
(B) Sn = an + 1
(C) Sn = an + 1 + 1
(D) Sn = an + 1 – 1
(E) Sn = 2 an+ 1
20
22 (IFRS/2017) Uma linha poligonal é construída em eta-
pas. A primeira etapa é tomar um segmento de tama-
nho 1. A segunda etapa consiste em inserir um triângu-
lo equilátero no terço médio do segmento e retirar o
lado do triângulo que sobrepõe o segmento da etapa
anterior, conforme figura abaixo. Na terceira etapa, in-
serem-se dois triângulos equiláteros nos terços médi-
os dos segmentos à esquerda e à direita do triângulo
da etapa anterior e retiram-se os lados que sobrepõem
o segmento da primeira etapa. Em uma etapa qualquer,
inserem-se triângulos equiláteros nos terços médios dos
segmentos à esquerda e à direita dos triângulos da eta-
pa anterior e retiram-se os lados que sobrepõem o seg-
mento da etapa inicial.
Assinale a alternativa que completa corretamente a fra-
se abaixo.
Prosseguindo a construção da linha poligonal desta ma-
neira, o comprimento da linha poligonal
(A) aproxima-se cada vez mais de .
(B) aproxima-se cada vez mais de .
(C) aproxima-se cada vez mais de 2.
(D) ultrapassa 2, mas não é maior do que 1.000.
(E) ultrapassa qualquer valor escolhido, basta aumen-
tar o número de etapas.
23 (UFRGS/2017) Na figura abaixo, encontram-se repre-
sentados quadrados de maneira que o maior quadrado
(Q1) tem lado 1. O quadrado Q2 está construído com
vértices nos pontos médios dos lados de Q1; o quadra-
do Q3 está construído com vértices nos pontos médios
dos lados de Q2 e, assim, sucessiva e infinitamente.
A soma das áreas da sequência infinita de triângulos
sombreados na figura é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
24 (UNIFICADO RJ/2016) Em uma progressão geométri-
ca com infinitos termos, a soma dos dois primeiros ter-
mos é 40, a soma dos três primeiros termos é 76 e a
soma dos quatro primeiros termos é 130.
Quantos termos dessa progressão geométrica são in-
teiros?
(A) 5
(B) 6
(C) 10
(D) 12
(E) 3
25 (IFPE/2016) O bungee jump, também conhecido como
ioiô humano, é um esporte de ação praticado em todo
mundo. Nesse esporte, o atleta executa saltos de pon-
tes, balões, torres, helicópteros ou guindastes, onde a
pessoa fica presa a um cabo elástico. Um indivíduo
salta de um bungee jump e percorre na primeira desci-
da 80 metros, em seguida, cada vez que o cabo elásti-
co é esticado ao máximo, o atleta sobe de sua altu-
ra anterior.
Sabendo que esse movimento será realizado uma infi-
nidade de vezes até parar, qual a distância total per-
corrida por esse atleta?
(A) 320 m
(B) 560 m
(C) 80 m
(D) 240 m
(E) 160 m
26 (FPS PE) Júnior toma um comprimido de Diamicron
MR de 60 mg, diariamente, às 20h00. O organismo de
Júnior elimina metade da medicação tomada a cada
24 horas. A medicação será tomada indefinidamente
para o controle de diabetes. Qual dos valores a seguir
melhor se aproxima da quantidade de Diamicron MR
que se acumulará no organismo de Júnior?
(A) 160 mg (B) 150 mg
(C) 140 mg (D) 130 mg
(E) 120 mg
27 (PUC RS) O resultado da adição indicada
0, 001 + 0,000001 + 0, 000000001 + ........ é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
21
28 (UFRGS) Considere o padrão de construção represen-
tado pelo desenho abaixo.
O disco A tem raio medindo 1. O disco B é tangente ao
disco A no ponto P e passa pelo centro do disco A. O
disco C é tangente ao disco B no ponto P e passa pelo
centro do disco B. O disco D é tangente ao disco C no
ponto P e passa pelo centro do disco C. O processo de
construção dos discos é repetido infinitamente.
Considerando a sucessão infinita de discos, a soma
das áreas dos discos é
(A)
(B)
(C)
(D) π.
(E)
29 (ESCOLA BAHIANA DE MEDICINA E SAÚDE
PÚBLICA/2017)
Segundo um relatório de 2013 da FAO (o braço da ONU
dedicado à alimentação e à agricultura), praticamente
 de tudo que é produzido no mundo (cerca de 1,3
bilhão de toneladas) vai para o lixo, causando um pre-
juízo equivalente a R$1,6 trilhão quase do PIB do
Brasil. Dados dessa pesquisa dão conta de que na Áfri-
ca Subsaariana cada pessoa desperdiça cerca de 6 a
11kg de comida por ano, enquanto na América do Nor-
te e na Europa cada pessoa desperdiça entre 95 e
115kg de comida, no mesmo período. De um modo
geral, quanto mais alto o padrão de vida de um país
mais ele desperdiça.
Considere-se que nas regiões X e Y, em um determina-
do ano, ocorreu um desperdício médio de alimentos,
por pessoa, respectivamente, igual a 75kg e 48kg. A
partir de então, verificou-se um decréscimo anual des-
se desperdício, segundo progressões geométricas de
razão 0,8q e q respectivamente.
Com base nessa informação e comparando-se o des-
perdício médio anual de alimentos, por pessoa, nas
duas regiões, pode-se afirmar que
(A) foi maior em X até o terceiro ano.
(B) foi menor em Y até o quarto ano.
(C) foi o mesmo, no segundo ano.
(D) foi maior em Y a partir do quarto ano.
(E) em X sempre foi maior que em Y.
30 (PUCRS) A imagem da função f : N → R é a progres-
são geométrica (1; 4; 16; 64; ....). Os pontos do gráfico
de f podem pertencer à curva
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
22
31 (UFF) A população de marlim-azul foi reduzida a 20%
da existente há cinquenta anos (em 1953).
Adaptado da Revista Veja, 09 de julho de 2003.
Newsweek, 26 de maio de 2003.
Considerando que foi constante a razão anual (razão
entre a população de um ano e a do ano anterior) com
que essa população decresceu durante esse período,
conclui-se que a população de marlim-azul, ao final dos
primeiros vinte e cinco anos (em 1978), ficou reduzida
a aproximadamente:
(A) 10% da população existente em 1953
(B) 20% da população existente em 1953
(C) 30% da população existente em 1953
(D) 45% da população existente em 1953
(E) 65% da população existente em 1953
01 (UERJ 2017) Em uma atividade nas olimpíadas de ma-
temática de uma escola, os alunos largaram, no senti-
do do solo, uma pequena bola de uma altura de 12 m.
Eles observaram que, cada vez que a bola toca o solo,
ela sobe e atinge 50% da altura máxima da queda ime-
diatamente anterior.
Calcule a distância total, em metros, percorrida na ver-
tical pela bola ao tocar o solo pela oitava vez.
02 (UERJ 2017) Um capital de C reais foi investido a ju-
ros compostos de 10% ao mês e gerou, em três me-
ses, um montante de R$ 53.240,00.
Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.
03 (UERJ 2016) Em 1965, o engenheiro Gordon Moore
divulgou em um artigo que, a cada ano, a indústria de
eletrônicos conseguiria construir um processador com
o dobro de transistores existentes no mesmo
processador no ano anterior. Em 1975, ele atualizou o
artigo, afirmando que, de fato, a quantidade de transis-
tores dobraria a cada dois anos. Essa última formula-
ção descreve uma progressão que ficou conhecida
como Lei de Moore e que permite afirmar que um
processador que possuía 144×102 transistores em 1975
evoluiu para um processador com 288×102 transisto-
res em 1977.
Admitindo um processador com 731×106 transistores
em 2009, calcule a quantidade de transistores que a
evolução desse processador possuirá em 2019, segun-
do a Lei de Moore.
04 (ESPM - ADAPTADA) A figura abaixo mostra a trajetó-
ria de um móvel a partir de um ponto A, com
, , , e assim por
diante.
Considerando infinita a quantidade desses segmentos,
calcule a medida da distância horizontal AP alcançada
por esse móvel.
05 (UERJ - ADAPTADA) Considere a seguinte soma infi-
nita:
No gráfico I, a seguir, cada parcela desta soma é repre-
sentada pela área de um retângulo, e a soma infinita é
determinada pela soma das áreas desses retângulos.
No gráfico II, embora a configuração dos retângulos
tenha sido alterada, as áreas se mantêm iguais.
Com base nessas informações, determine o valor da
soma infinita indicada.
23
06 (ESPCEX (AMAN) - ADAPTADA) Na figura abaixo te-
mos uma espiral formada pela união de infinitos semi-
círculos cujos centros pertencem ao eixo das abscissas.
Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e
o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicír-
culo anterior, calcule o comprimento da espiral.
07 (UERJ) Sejam a e b dois números reais positivos e A,
G e H, respectivamente, as médias aritmética, geo-
métrica e harmônicadesses dois números. Admita que
a > b e que a sequência (A, G, H) seja uma progres-
são geométrica de razão . Determine .
24
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