MATEMÁTICA ELEMENTAR

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MATEMÁTICA ELEMENTAR 
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Sumário 
NOSSA HISTÓRIA ................................................................................................................................ 2 
Cálculo Mental ................................................................................................................................... 3 
Introdução ......................................................................................................................................... 3 
Os fatos numéricos são ferramentas essenciais. ................................................................................. 5 
Gradualmente deu-se mais importância ao Cálculo Mental. ............................................................... 6 
Estratégias informais de cálculo ......................................................................................................... 6 
O Cálculo Mental é ativo, flexível e habilidoso .................................................................................... 7 
Cada aluno utiliza as estratégias que lhe são mais confortáveis .......................................................... 7 
Como é que as crianças aprendem a realizar o cálculo mental? .......................................................... 8 
O Cálculo Mental desenvolve-se gradualmente ao longo da escolaridade e através da diversidade de 
experiências vividas ........................................................................................................................... 9 
As estratégias de Cálculo mental devem ser discutidas na turma. .....................................................10 
Resolução de Problemas ...................................................................................................................11 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: SUA IMPORTÂNCIA E ESTRATÉGIAS .....................................................14 
Compreensão do problema ...............................................................................................................20 
Construção de uma estratégia de resolução ......................................................................................21 
CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................................................26 
Bibliografia .......................................................................................................................................27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, em 
atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-Graduação. Com 
isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo serviços educacionais em nível 
superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação no 
desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. Além de 
promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que constituem 
patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de publicação ou outras 
normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma confiável e 
eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e ética. 
Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta de 
cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no atendimento e valor do 
serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Cálculo Mental 
Introdução 
 
O cálculo mental constitui uma ferramenta importante nos dias de hoje, quer 
diga respeito a cálculos com dinheiro, tempo, massa ou distâncias. As boas 
competências de cálculo são essenciais para a manutenção de uma forte relação com 
os números, de forma a sermos capazes de olhar para eles criticamente e interpretá-
los de modo apropriado. Neste sentido o cálculo mental é um elemento crucial da 
numeraria que a criança deve ser capaz de usar com confiança. “No dia-a-dia, a 
maioria dos cálculos que fazemos são mentais. Nem sempre se pode usar papel e 
lápis, nem é necessário. Em muitas situações a resposta não tem que ser exata, mas 
basta uma aproximação” (Ponte e Serrazina, 2000). Quando precisamos obter 
resultados exatos aos quais não conseguimos chegar com o “nosso” cálculo mental, 
podemos utilizar a tecnologia. Mesmo quando utilizamos uma calculadora é bom 
realizar primeiro uma estimativa do resultado para que se possa detectar algum erro 
ao carregar nas teclas. 
O desenvolvimento do cálculo mental não pode no entanto, ser entendido sem 
haver também um desenvolvimento do sentido do número uma vez que, “ao promover 
nos alunos a utilização de métodos próprios para calcular (...) está-se a ajudar no 
desenvolvimento do sentido do número e de estratégias próprias de cálculo mental” 
(Ponte e Serrazina, 2000). Por esta razão, recomendamos a consulta da brochura 
dedicada ao “Sentido do Número”. 
O cálculo mental tem sido encarado muitas vezes como o “fazer contas na 
cabeça”. 
Mas será que quando visualizamos um algoritmo sem o uso de papel e lápis 
estaremos a fazer cálculo mental? E poderá haver cálculo mental com recurso a lápis 
e papel? Será o cálculo mental apenas a aprendizagem de factos básicos como por 
exemplo, 6+7 ou 6x7? 
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São estas algumas das questões que se pretendem abordar neste documento 
para além de se apresentarem diversas tarefas que podem ajudar a desenvolver o 
cálculo mental. 
As propostas apresentadas não devem ser encaradas como uma sequência de 
tarefas a seguir, mas sim como um conjunto de recursos a utilizar de forma sistemática 
e interligada. Assim, devem ser alternadas entre si sem uma ordem definida, podendo 
aumentar-se o grau de dificuldade de tarefa para tarefa dentro da mesma proposta. 
Cabe ao professor, de acordo com o conhecimento que tem dos alunos, criar 
sequências e articulá-las. Em cada proposta é sugerido o procedimento a seguir para 
o seu desenrolar em sala de aula. 
O tipo de propostas apresentadas incide em rotinas (contagens, cadeias de 
números, número do dia, tiras), jogos e estratégias de cálculo mental. 
A realização sistemática destas tarefas ajuda a memorização dos factos 
numéricos básicos que são ferramentas essenciais no desenvolvimento do cálculo. O 
treino de contagens, por exemplo, pode levar os alunos a apropriar-se desses factos 
e à construção de futuras estratégias. Sempre que os alunos se apropriam de uma 
ocorrência após a sua verificação e compreensão e cujo questionamento já não se 
coloca, estamos perante um facto numérico. Alguns exemplos podem ser a 
decomposição do dez em duas parcelas (amigos do 10), as tabuadas da multiplicação 
ou qualquer outro acontecimento significativo para o aluno/turma (25 x 5 =125; 4 x 25 
= 100; ¼ x 100 = 100 /2 /2 =25). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os fatos numéricos são ferramentas essenciais. 
Um pouco atrás no tempo... 
 
Historicamente, o cálculo mental nem sempre teve a importância que tem hoje. 
Na primeira metade do séc. XIX o seu papel nos programas era praticamente virtual, 
uma vez que toda a ênfase era colocada nos algoritmos. Neste período, toda a 
atenção era dirigida para a aprendizagem da adição, subtração, multiplicação e 
divisão, para a memorização das tabuadas e para a mecanização dos exercícios. 
No final do séc. XIX, por influência de Versluys, um matemático alemão, é 
introduzida uma pequena mudança. Pela flexibilidade com que as operações eram 
realizadas, este matemático interpretava o cálculo mental como algo distinto do 
cálculo algorítmico. Inicialmente, este ponto de vista conduziu, no séc. XX, ao 
aparecimento de manuais em que era dada uma enorme atenção ao cálculo mental a 
seguirao trabalho com os algoritmos. Alguns manuais, os algoritmos eram separados 
do cálculo mental, como um processo independente de cálculo, enquanto noutros os 
algoritmos e o cálculo mental eram trabalhados simultaneamente. Depois da 2ª guerra 
mundial, sob uma forte tendência para a individualização do ensino, a educação 
matemática voltou a ser progressivamente uma actividade individual de papel e lápis 
centrada na realização dos algoritmos. 
Mas gradualmente, uma outra mudança ocorreu. Entre outras coisas, deu-se 
mais atenção às propriedades das operações e ao cálculo mental em jogos e puzzles. 
A ênfase passou a colocar-se primordialmente em habilidosas e variadas estratégias. 
Só entre 1980 e 1990, quando os educadores matemáticos realistas 
começaram a alargar os seus pontos de vista acerca do cálculo mental é que se 
começou a tomar a direção descrita anteriormente. Com a introdução, em larga 
escala, das calculadoras, menos e menos importância é agora dada à realização dos 
algoritmos – um movimento que ainda não parou. Esta panorâmica sobre o lugar e a 
natureza do cálculo mental parece ter começado a ser bem aceite. 
 
 
 
 
 
 
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Gradualmente deu-se mais importância ao Cálculo Mental. 
Num estudo recente, realizado por investigadores holandeses, em que mais de 
duzentos especialistas em aritmética estiveram envolvidos, a larga maioria aprova 
esta panorâmica. Ao mesmo tempo, três quartos dos questionados defendiam um 
currículo em que o cálculo mental formasse o tronco do programa de aritmética em 
educação matemática, e em que os algoritmos fossem um importante ramo deste 
tronco. 
 
Estratégias informais de cálculo 
 
Toda a gente precisa do cálculo mental na sua vida do dia-a-dia e, como tal, 
deve ter uma ideia do que isso envolve. Nas últimas décadas, o conceito de cálculo 
mental tem-se vindo a clarificar progressivamente. Devido à introdução em larga 
escala da calculadora, o cálculo mental tem ganho importância crescente no ensino 
da aritmética. Trata-se de um conceito adoptado por um grupo de professores e 
investigadores matemáticos e que ganhou consenso internacional. Pode dizer-se, 
resumidamente, que este conceito consiste no cálculo aritmético activo, flexível e 
habilidoso porque: 
 permite a cada um escolher o próprio método. 
 pode ser adaptado aos números em causa. 
 exige a compreensão e só pode ser usado se for compreendido. 
O cálculo mental, como um poderoso meio de cálculo, é fundamentalmente, um 
caminho de aproximação aos números e à informação numérica. É uma competência 
elementar caracterizada por: 
 trabalhar com os números e não com os algarismos; 
 Usar as propriedades elementares de cálculo e as relações entre números tal 
como a propriedade comutativa, a propriedade distributiva e a noção de 
operação inversa; 
 
 
 
 
 
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O Cálculo Mental é ativo, flexível e habilidoso 
 
 implicar um bom desenvolvimento do sentido de número e um saudável 
conhecimento dos factos numéricos elementares; 
 permitir o uso de registos intermédios de acordo com a situação. 
O cálculo mental pode ser descrito como um movimento rápido e flexível através 
do mundo dos números. Uma das suas importantes características é poder 
desenvolver nas crianças uma diferenciação natural no modo como operam para 
chegar à solução de um problema. O cálculo mental dá-lhes a liberdade de seguirem 
as suas próprias abordagens, usarem as suas próprias referências numéricas e 
adoptarem o seu próprio grau de simplificação de cálculos. 
Em geral, o cálculo mental possui três estratégias elementares que, analisadas 
sob o ponto de vista do processo de aprendizagem, vão dando continuidade umas às 
outras sendo a sua aquisição acompanhada por um alargamento crescente da 
compreensão dos números e operações: 
 O cálculo em que os números são primeiramente vistos como objetos sobre 
uma linha de contagem e em que as operações são movimentos ao longo da 
linha: para a frente (+), para trás (-), ou repetidamente para a frente (x), ou 
repetidamente para trás (:). 
 que os números são de preferência vistos como objetos com uma estrutura 
decimal e em que as operações são realizadas por decomposição de números 
baseados nesta estrutura. 
 cálculo baseado em propriedades aritméticas nos quais os números são vistos 
como objetos que podem ser estruturados de várias maneiras e em que as 
operações são efetuadas com recurso às propriedades apropriadas. 
 
Cada aluno utiliza as estratégias que lhe são mais 
confortáveis 
 
Cada uma destas formas básicas pode ser utilizada em diferentes graus: num 
grau mais baixo, usando modelos como a reta vazia ou dinheiro, e num grau mais 
elevado, registando os passos intermédios em linguagem aritmética ou, simplesmente 
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calculando mentalmente. Estas formas básicas podem ser introduzidas e praticadas 
como extensões umas das outras. 
A introdução das formas de grau mais elevado não significa que desapareçam 
as de grau mais baixo. Deve-se desenvolver um progressivo repertório de estratégias 
de cálculo mental para que os alunos possam escolher uma, de acordo com o tipo de 
problema e da sua própria referência. Deste modo, podem-se aplicar as seguintes 
estratégias para um problema cujo modelo matemático é 325 – 249. 
Uma estratégia de partição em que o primeiro número é visto como um todo e 
o segundo é subtraído por partes: 
 
325 – 249 = 76 325 - 200 = 125 
125 - 20 = 105 
105 - 20 = 85 
85 - 9 =76 
325 - 249 = 76 325 – 49 = 276 
276 – 200 = 76 
325 - 249 = 76 325 - 200 = 125 
125 - 49 = 76 
 Uma estratégia de decomposição em que ambos os números são decompostos 
com base na estrutura do sistema de numeração decimal e subtraído uns dos 
outros em diferentes partes. 
325 - 249 = 76 325 = 300 + 25 
249 = 200 + 49 
300 – 200 = 100 
100 – 49 = 51 
51 + 25 = 76 
 
Como é que as crianças aprendem a realizar o cálculo mental? 
 
É essencial para a aquisição de competências de cálculo, que haja um 
processo de exploração de números dentro de diferentes domínios, e um 
desenvolvimento de estratégias com as quais as formas básicas vão sendo 
exploradas e ensinadas de forma progressiva: 
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 Começando com uma larga exploração de números tal como: investigar 
estratégias de partição que fluem naturalmente na exploração dos números 
e que as crianças, sob a orientação do professor, podem construir de forma 
autónoma. 
 Estender este processo às estratégias de decomposição (que algumas 
crianças podem já ter descoberto em etapas anteriores) quando as crianças 
já possuem confiança suficiente e, por consequência, a sua compreensão 
sobre os números e relações entre eles tenha aumentado de forma significativa. 
 O processo pode ser estendido às estratégias variadas de compensação 
quando as crianças tiverem suficiente confiança com a estratégia anterior e 
a sua compreensão sobre as operações for aprofundada. 
Isto não significa que a criança não possa usar estratégias variadas muito mais 
cedo, mas sim que a ênfase no ensino deve começar pelas estratégias de partição; 
só quando a criança domina perfeitamente este tipo de estratégia é que se deve dar 
ênfase às estratégias por decomposição e em estádios mais avançados às estratégias 
variadas. Se no processo de aprendizagem não se considera a ordem correta e com 
profundidade suficiente, há o perigo de os alunos com mais dificuldades se perderem 
e não compreenderem os vários tipos de abordagem. 
 
O Cálculo Mental desenvolve-se gradualmente ao longo da 
escolaridade e através da diversidade de experiências vividas 
 
A discussão em coletivo, dos vários tipos de estratégia que as crianças 
constroem, ajudam-nas a apropriar-se de um repertório de estratégias com os seus 
próprios limites e flexibilidade e, ensina-as também, a decidir quais dos seus registos 
são mais adequados e proveitosos. 
Quanto maior for o desenvolvimento nas estratégiasde cálculo mental mais à 
vontade se sentirá a criança no uso de estratégias de cálculo standartizadas como os 
algoritmos. 
Claro que, nem todas as crianças avançam ao mesmo tempo e nem todas 
atingem os objetivos que gostaríamos: nem todas desenvolvem um vasto número de 
estratégias e nem todas conseguem visualizar rapidamente a melhor estratégia para 
chegar a um resultado. É por essa razão, que o uso de registos escritos com passos 
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intermédios ou de estratégias podem ajudar os alunos. A investigação demonstra que 
se se praticar o cálculo mental através de atividades curtas realizadas com 
regularidade, até mesmo os alunos com mais dificuldade podem fazer progressos 
obtendo uma maior destreza de cálculo mental. 
Normalmente, começa-se por explorar e praticar o cálculo mental com “as 
operações até 100”. Quando se trata de explorar números maiores (com resultados 
superiores a 100) as crianças não têm que começar novamente a compreender os 
números nem a adquirir novas estratégias. Compreender que a estrutura dos números 
acima de 100 é uma continuação dos números até 100 permite aos alunos aplicar as 
estratégias de cálculo mental adquiridas. Ser capaz de contar em ordem crescente e 
decrescente de 10 em 10 e de 100 em 100 desempenha um importante papel neste 
processo. 
Geralmente, os alunos têm um primeiro contato com a adição e subtração e 
posteriormente com a multiplicação e divisão. Porém, é de lembrar que muitas 
estratégias de cálculo são desenvolvidas com a relação estabelecida entre as várias 
operações, por exemplo, a multiplicação é o inverso da divisão e também é o resultado 
de adições sucessivas. 
 
As estratégias de Cálculo mental devem ser discutidas na 
turma. 
 
O Cálculo Mental pode usar lápis e papel. 
 
Cálculo mental no 2º ciclo 
 
No 2º ciclo, o estudo dos números inteiros tem como base os “números 
grandes”. 
Paralelamente são exploradas outras abordagens dos números: fracções, 
decimais, percentagens,... Embora não surjam grandes novidades a nível da 
aritmética mental, não significa que o processo esteja concluído. Muito pelo contrário, 
o conhecimento adquirido tem que ser consolidado e aprofundado e necessita ser 
estendido ao novo role de representações dos números que surgem. 
 
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Resolução de Problemas 
INTRODUÇÃO 
A Matemática é uma área do conhecimento que surgiu e tem-se desenvolvido 
a partir dos problemas que o homem encontra. Dessa forma, a essência da 
Matemática é a resolução de problemas. Por este motivo para o seu ensino não basta 
só conhecer, é necessário ter criatividade, fazer com que os alunos participem das 
resoluções. 
“A Resolução de Problemas é um método eficaz para 
desenvolver o raciocínio e para motivar os alunos para o estudo 
da Matemática. O processo ensino e aprendizagem pode ser 
desenvolvido através de desafios, problemas interessantes que 
possam ser explorados e não apenas resolvidos” (Lupinacci e 
Botin, 2004). 
 
Na aprendizagem da matemática, os problemas são fundamentais, pois 
permitem ao aluno colocar-se diante de questionamentos e pensar por si próprio, 
possibilitando o exercício do raciocínio lógico e não apenas o uso padronizado de 
regras. 
No entanto, a abordagem de conceitos, ideias e métodos sob a perspectiva de 
resolução de problemas ainda é bastante desconhecida da grande maioria e, quando 
é incorporada à prática escolar, aparece como um item isolado, desenvolvido 
paralelamente como aplicação da aprendizagem, a partir de listagem de problemas 
cuja resolução depende basicamente da escolha de técnicas ou formas de resolução 
memorizadas pelos alunos (PCN, 1998). 
O ensino e a aprendizagem da Matemática sem a resolução de problemas é 
um dos fatores do insucesso escolar. Com frequência encontramos pessoas que 
manifestam aversão à disciplina e os motivos referem-se à dificuldade para realizar 
desde as atividades mais simples do 
cotidiano e até associadas a atividades profissionais. 
Nas escolas encontramos alunos desinteressados e desmotivados em relação 
à Matemática, apresentando dificuldades em conceitos básicos, falta de hábitos de 
leitura e investigação sem contar com os inadequados métodos de ensino. Um ensino 
sem a resolução de problemas não possibilita o desenvolvimento de atitudes e 
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capacidades intelectuais, pontos fundamentais para despertar a curiosidade dos 
alunos e torná-los capazes de lidar com novas situações. 
A capacidade de resolver problemas é requerida nos mais diversos espaços de 
vivência das pessoas. Por ser considerada uma habilidade fundamental, os 
programas que realizam avaliações para conhecer o nível de conhecimento 
matemático da população, organizam seus testes contemplando a resolução de 
problemas como prioritária na avaliação. 
Três programas que realizam avaliações tendo como foco a resolução de 
problemas são aplicados no Brasil. São eles: 
O Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional-INAF, desenvolvido pelo 
Instituto Paulo Montenegro e pela Organização Não-Governamental Ação Educativa, 
oferece à sociedade brasileira informações atualizadas sobre as habilidades e as 
práticas de leitura e cálculo de jovens e adultos, através de um levantamento das 
habilidades matemáticas da população brasileira, tendo como foco a resolução de 
problemas matemáticos. O INAF constatou que 
29% dos entrevistados encontram muita dificuldade em resolver problemas 
envolvendo cálculos simples que envolvem operações (de adição, subtração, 
multiplicação e divisão) e que apenas 23% da população brasileira é capaz de adotar 
e controlar uma estratégia na resolução de um problema que envolva a execução de 
uma série de operações envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão e 
cálculo proporcional. 
O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica-SAEB é desenvolvido 
pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP, 
órgão do Ministério da Educação. A avaliação que este sistema vem aplicando desde 
1990, através de testes e questionários, avalia os estudantes brasileiros da 4ª e 8ª 
séries do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio. Os dados do SAEB com 
relação à construção de competências e desenvolvimento de habilidades na resolução 
de problemas mostram que os alunos desenvolvem algumas habilidades elementares 
de interpretação de problemas, mas não conseguem transpor o que está sendo pedido 
no enunciado para uma linguagem matemática específica estando, portanto, muito 
aquém do exigido em cada série avaliada. Na 8ª série, por exemplo, os alunos 
resolvem expressões com uma incógnita, mas não interpretam os dados de um 
problema fazendo uso de símbolos matemáticos específicos. 
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E o Programa Internacional de Avaliação de Estudantes-PISA é um programa 
de avaliação comparada cuja principal finalidade é avaliar o desempenho de alunos 
de 15 anos de idade, produzindo indicadores sobre a efetividade dos sistemas 
educacionais em diferentes países. 
Este programa é desenvolvido e coordenado internacionalmente pela 
Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), sendo no 
Brasil coordenado pelo INEP. 
De acordo com o PISA, o aluno apresenta dificuldade em recuperar e 
transformar um dado matemático e a origem desta dificuldade pode estar na leitura e 
transformação da linguagem matemática, portanto, a leitura ultrapassa a 
aprendizagem em língua materna e requer uma sistematização por todos os 
envolvidos no processo de ensino, considerando fundamental trabalhar em sala de 
aula a resolução de problemas para um “resgate” da linguagem matemática. 
O desenvolvimento deste trabalho teve como objetivo mostrar a importância da 
resolução de problemas para o ensino da matemática. A proposta é oferecer aos 
professores do ensino fundamental estratégias didáticas para trabalharem com a 
resolução de problemas, a fim de incentivarem seus alunos a pensarem, 
encaminharema solução do problema, tentarem superar as dificuldades de 
aprendizagem, enfrentarem desafios que exigem grande esforço e dedicação e 
descobrirem por si só a melhor estratégia que deve ser utilizada para o problema ser 
resolvido. 
Esta pesquisa é de cunho bibliográfico sobre a resolução de problemas 
matemáticos como estratégia didática e sua importância para o ensino da matemática. 
As informações foram consultadas em livros, periódicos e documentos oficiais que 
tratam do ensino e da avaliação em matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: SUA IMPORTÂNCIA E 
ESTRATÉGIAS 
DIDÁTICAS 
 
Hoje todos os alunos aprendem a resolver problemas matemáticos. Ao mesmo 
tempo, a resolução de problemas vem contribuindo para o insucesso escolar. De 
modo geral, os problemas trabalhados em sala de aula são exercícios repetitivos para 
fixar os conteúdos que acabaram de ser estudados, motivando o uso de 
procedimentos padronizados para serem utilizados na resolução de problemas 
semelhantes. Essa atividade não desenvolve no aluno, a capacidade de transpor o 
raciocínio utilizado para o estudo de outros assuntos. 
A resolução de problemas é uma importante contribuição para o processo de 
ensino e aprendizagem da Matemática, criando no aluno a capacidade de desenvolver 
o pensamento matemático, não se restringindo a exercícios rotineiros 
desinteressantes que valorizam o aprendizado por reprodução ou imitação. 
A importância da resolução está no fato de “possibilitar aos alunos mobilizarem 
conhecimentos e desenvolverem a capacidade para gerenciar as informações que 
estão a seu alcance dentro e fora da sala de aula. Assim, os alunos terão 
oportunidades de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos 
matemáticos bem como do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança” 
Schoenfeld (apud PCN, 1998). Ainda, segundo Dante (1991), “é possível por meio da 
resolução de problemas desenvolver no aluno iniciativa, espírito explorador, 
criatividade, independência e a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso 
inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções 
às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela”. 
Os alunos ao resolverem problemas podem descobrir fatos novos sendo 
motivados a encontrarem várias outras maneiras de resolverem o mesmo problema, 
despertando a curiosidade e o interesse pelos conhecimentos matemáticos e assim 
desenvolverem a capacidade de solucionar as situações que lhes são propostas. 
Despertar no aluno o gosto pela resolução de problemas não é tarefa fácil, 
muitos são os momentos de dificuldade, obstáculos e erros. Isto acontece porque 
professores e alunos não conseguem distinguir um problema matemático de um 
exercício matemático. 
Podemos distinguir, mais claramente, um problema de um exercício. 
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“Um problema matemático é uma situação que demanda a 
realização de uma seqüência de ações ou operações para obter 
um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, 
mas é possível construí-la” (PCN, 1998). 
Segundo Silveira (2001), “um problema matemático é toda situação que requer 
a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa 
que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado 
matemático dado. 
O fundamental é que o revolvedor conheça o objetivo a chegar, mas só estará 
enfrentando um problema se ele ainda não tem os meios para atingir tal objetivo”. 
Se os alunos conseguem interpretar a proposta do enunciado da questão, 
sabendo estruturar algumas ou todas as situações apresentadas, desenvolvendo 
várias estratégias de resolução incluindo a verificação das mesmas e do resultado, 
tem em mãos um problema matemático, mas se “é uma atividade de treinamento no 
uso de alguma habilidade/conhecimento 
matemático já conhecido pelo revolvedor, como a aplicação de um algoritmo 
conhecido, de uma fórmula conhecida” (Silveira, 2001), os alunos têm em mãos um 
exercício que exige apenas a aplicação de um procedimento sem a necessidade de 
criar estratégias para resolvê-lo. 
Como exemplo de problemas, apresentamos a seguinte situação envolvendo 
uma equação do 2º grau: 
 
Duzentas e quarenta figurinhas devem ser repartidas por um grupo de meninos, mas 
na hora de reparti-las 5 meninos não apareceram para pegar as suas figurinhas. Por 
causa disso, cada menino recebeu 8 figurinhas a mais. Quantos meninos receberam 
figurinhas? 
 
Para resolver este problema será necessário que o aluno traduza o enunciado 
para a linguagem matemática apropriada 240 + 8 = 240, realizando manipulações 
algébricas para chegar à 
x x-5 
 
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expressão 8x2 – 40x – 1200 = 0 (ou x2 – 5x – 150 = 0). Após estes passos, o aluno 
poderá utilizar algum procedimento padronizado para a resolução, como por exemplo, 
a aplicação da fórmula de Bhaskara. 
Como exemplo de um exercício, poderíamos propor ao aluno que resolvesse a 
seguinte equação do 2º grau: 8x2 – 40x – 1200 = 0. Neste caso solicita-se ao aluno a 
aplicação imediata, por exemplo, da fórmula de Bhaskara, não requerendo do mesmo 
outras habilidades matemáticas. 
Segundo Resnick (apud Silveira, 2001), existem diferentes tipos de problemas 
e que cada tipo tem uma função no processo de aprendizagem do aluno. Em forma 
de síntese, apresentamos estes tipos de problemas: 
 sem algoritmização: o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em 
boa parte. 
 complexos: precisam de vários pontos de vista. 
 exigentes: a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o 
caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil. 
 exigem lucidez e paciência: um problema se inicia com uma aparente 
desordem e é necessário observar as regularidades, os padrões que permitirão 
a construção do caminho até a solução. 
 nebulosos: pode ocorrer que nem todas as informações necessárias estejam 
aparentes; por outro lado, pode ocorrer que existam conflitos entre as 
condições estabelecidas pelo problema. 
 não há resposta única: além de normalmente ocorrer de existirem várias 
maneiras de resolver um dado problema, pode ocorrer de não existir uma 
melhor solução e até de não existir solução; ao contrário do que a escola 
ensina: resolver um problema não é o mesmo que achar a resposta. 
Destacamos que a proposição de problemas deve estar vinculada aos objetivos 
didáticos, à realidade escolar e à extra-escolar do aluno. Trata-se, portanto, de 
trabalhá-los em sala de aula através do desejo dos alunos de resolvê-los, pois 
sabemos que muito da Matemática é mesmo resolução de problemas. Deste modo, 
professores e alunos desenvolvem o gosto pela Matemática se os problemas 
desafiarem a curiosidade, estimularem a pesquisa e motivarem a busca por novas 
estratégias que serão utilizadas e se todo esse conhecimento permitir desenvolver 
capacidades, tais como o pensar, raciocinar, questionar, criar estratégias e 
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compartilhar idéias para encontrar uma solução ao problema. Por isso, no contexto de 
educação matemática, professores e pesquisadores do assunto atribuem cada vez 
mais uma maior relevância a esta metodologia. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), “enfatizam que o fato de o aluno 
ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a 
transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a formular problemas 
a partir de determinadas informações, a analisar problemas abertos que admitem 
diferentes respostas em função de certas condições evidencia uma concepção de 
ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via 
da ação refletida que constrói conhecimentos”. 
“Para que o aluno possa construir o conhecimento será necessário que, diante 
do enunciado de um problema, ele conheça cada expressão verbal utilizada. Em 
seguida deverá ser capaz de traduzir cada dado apresentado verbalmente em dadosconcretos do mundo em que ela vive. 
Por último precisará entender as relações lógicas constantes do problema para 
então relacionar os dados entre si e realizar as operações necessárias à solução. 
Tudo isto supõe o desenvolvimento de certas capacidades do aluno as quais poderão 
ou não estar presentes” (Carraher, 1991). 
Um outro fator importante, que deve estar dentro do leque de preocupações de 
um professor durante a resolução de problemas, é se o aluno possui ou não pré-
requisitos para execução do problema proposto. 
“É relativamente recente a atenção ao fato de que o aluno é agente da 
construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu 
conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas” (PCN, 1998). Assim, 
devemos propor situações que os estudantes tenham condições de resolver. Caso 
contrário, poderemos estar nutrindo sentimentos de aversão à matemática. 
O professor deve levar seu aluno a superar os procedimentos padronizados, 
próprios de uma didática desvinculada de situações reais, é possível consolidar essa 
nova relação do aluno com o conhecimento adquirido na resolução de problemas. 
De acordo com Dante (1991), “devemos propor aos estudantes várias 
estratégias de resolução de problemas, mostrando-lhes que não existe uma única 
estratégia, ideal e infalível. Cada problema exige uma determinada estratégia. A 
resolução de problemas não deve se constituir em experiências repetitivas, através 
da aplicação dos mesmos problemas (com outros 
18 
 
 
números) resolvidos pelas mesmas estratégias. O interessante é resolver diferentes 
problemas com uma mesma estratégia e aplicar diferentes estratégias para resolver 
um mesmo problema. 
Isso facilitará a ação futura dos alunos diante de um problema novo”. 
Em sala de aula o professor pode trabalhar com as tentativas e os erros dos alunos, 
observando o caminho usado para chegar à solução do problema. Essa observação 
servirá para compreender o raciocínio dos educandos e preparar as discussões em 
torno da resolução desses problemas, com o intuito de conceber processos de 
resolução diferentes dos já aprendidos. 
“O aluno inexperiente em relação ao processo de resolver problemas, 
invariavelmente se apressa em busca das soluções antes de ocupar-se com definir a 
situação que precisa ser resolvida. Até mesmo pessoas experientes, quando sujeitas 
a pressão social, submetem-se a esta exigência de fazer as coisas às pressas. 
Quando agem assim, muitas soluções são encontradas, mas não necessariamente 
para o problema que se tem à mão” (Gause e 
Weinberg, 1992). 
Segundo Polya (1978), “o professor que deseja desenvolver nos alunos o 
espírito solucionador e a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas 
mentes algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de 
imitar e de praticar. Além disso, quando o professor resolve um problema em aula, 
deve dramatizar um pouco as suas idéias e fazer a si próprio as mesmas indagações 
que utiliza para ajudar os alunos. Por meio desta orientação, o estudante acabará por 
descobrir o uso correto das indagações e sugestões e, ao fazê-lo, adquirirá algo mais 
importante do que o simples conhecimento de um fato matemático qualquer”. 
“Todo professor quando começa a trabalhar com resolução de problemas que 
exijam habilidades matemáticas deve ter objetivos concretos que favoreçam seus 
alunos na produção de determinadas transformações, isto é, que estes adquiram 
certos conhecimentos e capacidades. O ensino, os métodos didáticos empregados, 
devem estar em função destes objetivos” (Vallejo,1979). 
A organização do trabalho pedagógico com a Matemática, fundamentada na 
resolução de problemas deve ser incentivada desde as séries iniciais para que ocorra 
um envolvimento do aluno com a linguagem matemática e esse possa se desenvolver 
plenamente durante o seu processo de escolarização. Neste trabalho, mesmo 
considerando a importância de se usar a resolução de problemas desde o início do 
19 
 
 
Ensino Fundamental, apresentaremos algumas situações que poderão ser 
trabalhadas com alunos da 8ª série do Ensino Fundamental. A escolha deve-se ao 
fato de os conteúdos estudados nesta série envolverem muita álgebra, geometria e 
aritmética, apresentando novos conteúdos e consolidando todo o trabalho 
desenvolvido durante o Ensino Fundamental. Este aspecto nos pareceu importante 
porque além dos alunos estarem acostumados a resolverem problemas, normalmente 
o fazem por meio de procedimentos padronizados e diante de problemas que induzem 
a forma de resolvêlos. 
E o objetivo dessas estratégias didáticas é incentivar os professores a estimular 
o desejo dos alunos em participar da resolução de problemas podendo criar suas 
próprias estratégias para encontrar a solução de um problema, criar competências, 
bem como desenvolver capacidades. 
Antes de passarmos para as estratégias, é importante ressaltar que nenhuma tem o 
papel de fórmula mágica ou regra que deve ser seguida em seqüência de etapas uma 
atrás da outra, sem a necessidade de voltar ao início e o sucesso dessas atividades 
dependerão do trabalho a ser realizado em cada turma considerando a habilidade de 
comunicação e expressão oral e escrita, 
de cálculo e raciocínio lógico, favorecendo o desenvolvimento do pensar, levar o aluno 
a conhecer, questionar, transformar, produzir e compartilhar idéias. 
Assim, teremos como sugestões de estratégias didáticas para o ensino da 
Matemática através da resolução de problemas: 
 
a) Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), consideram que a resolução de 
problemas, como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de 
Matemática, pode ser fundamentada nos seguintes princípios: 
a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. 
No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos 
devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em 
que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; 
 o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma 
quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se 
o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a 
estruturar a situação que lhe é apresentada; 
20 
 
 
 aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver um 
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu 
para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, 
segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da 
Matemática; 
 um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio 
de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o 
aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de 
problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema particular; 
 a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em 
paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a 
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender 
conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. 
 
b) Para se resolver e encaminhar a solução de um problema, segundo Polya (1978) 
um grande matemático e pesquisador do tema, quatro etapas principais podem ser 
empregadas: 
 
 Compreensão do problema 
 
Para compreender um problema é necessário estimular o aluno a fazer 
perguntas: O que é solicitado? Quais são os dados? Quais são as condições? É 
possível satisfazer as condições? 
Elas são suficientes ou não para determinar a solução? Faltam dados? Que 
relações posso estabelecer para encontrar os dados omitidos? Que fórmulas e/ou 
algoritmos posso utilizar? 
Neste processo de compreensão do problema, muitas vezes torna-se 
necessário construir figuras para esquematizar a situação proposta, destacandovalores, correspondências e uso da notação matemática. 
 
 
 
 
21 
 
 
 
Construção de uma estratégia de resolução 
 
É importante estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é 
solicitado, estimulando, também, que pensem em situações similares, a fim de que 
possam estabelecer um plano de resolução, definindo prioridades e, se necessário, 
investigações complementares para resolver o problema. 
 Execução de uma estratégia escolhida 
Esta etapa é o momento de “colocar as mãos na massa”, de executar o plano 
idealizado. Se as etapas anteriores foram bem desenvolvidas, esta será, 
provavelmente a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Para que 
o aluno obtenha sucesso, deve ser estimulado a realizar cada procedimento com 
muita atenção, estando atento a cada ação desenvolvida, verificando cada passo. O 
aluno também deve ser estimulado a mostrar que 
cada procedimento realizado está correto, possibilitando a afirmação de seu 
aprendizado e a comunicação de sua produção. 
 Revisão da solução 
A revisão é um momento muito importante, pois propicia uma depuração e uma 
abstração da solução do problema. A depuração tem por objetivo verificar os 
procedimentos utilizados, procurando simplificá-los ou, buscar outras maneiras de 
resolver o problema de forma mais simples. A abstração tem por finalidade refletir 
sobre o processo realizado procurando descobrir a essência do problema e do método 
empregado para resolvê-lo, de modo a favorecer uma transposição do aprendizado 
adquirido neste trabalho para a resolução de 
outras situações-problema. 
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteúdos, seja em 
atividades que envolvam tabelas, gráficos ou ainda semelhança de triângulos, medida 
de superfícies, equação do 2º grau e etc. 
 
c) Dante (1991), sugere trabalhar com todos os alunos de uma mesma turma, 
apresentando um problema desafiador, real e interessante, e que não seja resolvido 
diretamente por um ou mais algoritmos. O autor recomenda que deve ser dado um 
22 
 
 
tempo razoável para que os alunos leiam e compreendam o problema. Outros 
aspectos recomendados são: 
(a) Facilite a discussão entre eles ou faça perguntas para esclarecer os dados e 
condições do problema e o que nele se pede. 
(b) Procure certificar-se de que o problema está totalmente entendido por todos. 
(c) Lembre-se de que uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um problema 
é ler e compreender o texto. 
(d) Em seguida, dê um bom tempo para os alunos trabalharem no problema, porque 
a resolução não pode se transformar numa competição de velocidade, e elas precisam 
muito mais de tempo para pensar e trabalhar no problema do que de instruções 
específicas para resolvê-lo. 
(e) Procure criar entre os alunos um clima de busca, exploração e descobertas, 
deixando claro que mais importante que obter a resposta correta é pensar e 
trabalhar no problema durante o tempo que for necessário para resolvê-lo. Inventar 
problemas é uma forma de adquirir conhecimento e capacidades, esses problemas 
podem ser simples mais tem que ser interessantes para o aluno. 
Por exemplo: 
Alexandre pensou em um número e verificou que o quadrado desse número é 
igual ao triplo do mesmo número. Em que número Alexandre pensou? 
Represente a situação com uma equação. 
Resolva a equação obtida e encontre o número em que Alexandre pensou. 
Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 
horas a mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse 
tanque isoladamente. 
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio 
de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos 
presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantas pessoas 
estiveram presentes nesse jantar? 
Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos 
seja. 
 
 
 
23 
 
 
Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, 
obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo 
que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18. 
O professor não deve dar respostas a perguntas como: este problema é uma 
equação do primeiro ou do segundo grau? É um problema que envolve soma, 
subtração, multiplicação ou divisão? A resposta é 9? Pois, do contrário, o problema já 
estará resolvido e o aluno não pensará mais nele, passando a executar as contas 
rápida e automaticamente. Algumas possíveis respostas a essas perguntas são: 
vamos pensar juntos, pense um pouco mais, é realmente o que o problema está 
pedindo para fazer, discuta isso um pouco com seu colega, mostre ao seu colega o 
que você fez e peça para que ele também lhe conte como planeja resolver o problema. 
Com essas respostas do professor os alunos continuam envolvidos com o problema 
e pouco a pouco vão perguntando menos e tornando-se independentes. 
Enquanto os alunos trabalham, o professor percorre as carteiras ajudando, 
encorajando, dando idéias, pequenas “dicas” (sem contar como se chega à solução), 
deixando claro quais são os objetivos, os dados do problema, as condições etc. 
Depois que a maioria dos alunos solucionou o problema, o professor pede que 
alguns façam a resolução no quadro-negro (um de cada vez) explicando o que fizeram 
e como fizeram, e por que a sua estratégia funcionou. O professor pode também, ele 
mesmo, ir registrando no quadro as sugestões dos alunos. É comum aparecerem 
maneiras diferentes de resolver o mesmo problema, inclusive algumas erradas, e é 
interessante que todas sejam discutidas e analisadas, pois isso incentiva os alunos a 
sempre tentarem vários métodos. 
Deve-se observar que um problema não está necessariamente resolvido 
quando o aluno encontrou a resposta certa. Para estar necessariamente resolvido, o 
aluno precisa saber o que e como fez, e por que sua ação foi apropriada. E isso deve 
ser parte integrante da resolução do problema, na etapa de revisão da solução. 
 
d) De acordo com Alan Schoenfeld (1985), a compreensão e o ensino da matemática 
devem ser abordados como um domínio de resolução de problemas. Quatro 
categorias de conhecimento/habilidades são necessárias para alguém ser bem-
sucedido na matemática: 
(1) Recursos - conhecimento de procedimentos e questões da matemática, 
24 
 
 
(2) heurísticas - estratégias e técnicas para resolução de problemas, tais como 
trabalhar o que foi ensinado, ou desenhar figuras, 
(3) controle - decisões sobre quando e quais recursos usar, e 
(4) convicções - uma visão matemática do mundo, que determina como alguém 
aborda um problema. 
O professor pode em sala de aula aplicar problemas utilizando essa teoria. Por 
exemplo: 
Dadas duas linhas retas em intersecção e um ponto P marcado em uma delas, mostrar 
como construir um círculo que é tangente a ambas as linhas e tem o ponto P como 
seu ponto de tangência em relação às duas linhas. Exemplos de conhecimento de 
recurso incluem o procedimento para desenhar uma linha perpendicular de ponto P 
até o centro do círculo e o significado desta ação. Uma heurística importante para 
solucionar este problema é construir um diagrama do problema. Uma estratégia de 
controle envolveria a decisão para construir um círculo e segmentos de linha usando 
um compasso e um transferidor. Uma convicção que poderia ser relevante para este 
problema é que as soluções devem ser empíricas (isto é, construídas) em vez de 
derivadas. 
 
e) Segundo Rabelo (1995), a partir da constatação de que no ensino fundamental, os 
alunos apresentam um baixo desempenho na resolução de problemas matemáticos e 
da hipótese de que um dos elementos fundamentais que contribuem para esse 
fracasso é a não construção de uma competência para a interpretação de textos 
relacionados com a matemática, afirma que é 
possível realizar um trabalho de produção e interpretaçãode "textos matemáticos" 
com alunos de 8ª série. 
O importante é buscar construir, na escola, um ambiente no qual o aluno possa 
efetivamente construir sua competência na leitura, interpretação e produção de vários 
tipos de textos. A partir de "Histórias Matemáticas", que serão introduzidas no rol 
desses textos, os alunos passarão a conviver com os "textos matemáticos" de forma 
tão natural quanto natural é para eles ler, interpretar e construir um qualquer outro tipo 
de texto. 
Em vários momentos, textos envolvendo a disciplina, tais como: curiosidades, 
história, pensadores, personalidades da matemática e etc. Mostrarão tanto para 
professores como para alunos, uma nova maneira de encarar a Matemática, seu 
25 
 
 
ensino e sua aprendizagem. Por meio de testes e de diversos instrumentos pôde-se 
concluir que efetivamente os alunos demonstram uma grande competência em 
atividades de resolução de problemas, depois de terem vivido essa experiência com 
textos matemáticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
As considerações feitas ao longo deste trabalho tinham a intenção de destacar 
a importância da resolução de problemas como estratégia didática para um ensino 
que desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, estimula a curiosidade e 
prepara o aluno para lidar com situações novas sendo motivado a pensar, conhecer, 
ousar e solucionar problemas matemáticos dentro e fora da escola. 
Diante da importância de se trabalhar no processo de ensino e aprendizagem 
a resolução de problemas para o desenvolvimento intelectual do aluno, o professor, 
“peça” fundamental no ato de aprender deve propor atividades que despertem o 
entusiasmo dos alunos, desenvolvendo sua capacidade de criar, atuar em conjunto, 
aproximando-os uns dos outros, 
demonstrando a importância de cada um. 
Porém, essa aprendizagem só será possível se os problemas trabalhados 
desempenharem seu verdadeiro papel no processo de ensino, o de desenvolver no 
aluno posicionamento crítico e independência diante de situações novas e 
desafiadoras, pois, a resolução de problemas tem se 
apresentado como uma atividade de reprodução por meio de procedimentos 
padronizados. 
Desenvolver nos alunos a capacidade de resolver problemas e a resolução de 
problemas como ponto de partida fundamental da atividade Matemática são 
finalidades dos Parâmetros Curriculares Nacionais, que visa construir referências 
nacionais comuns ao processo educativo para que os alunos possam ter acesso ao 
conjunto de conhecimentos necessários ao 
exercício da cidadania. 
Destaca-se a importância de se estruturar os cursos de licenciatura em 
matemática sobre o prisma da resolução, pois os futuros professores de Matemática 
ao vivenciarem experiências de resolução de problemas, poderão proporcionar aos 
seus alunos, uma experiência de construção efetiva de conhecimentos. 
Uma limitação deste estudo foi a não realização de uma atividade de campo 
para analisar o contexto da sala de aula e as características que os problemas 
matemáticos assumem neste contexto. Espera-se que esta limitação seja superada 
em estudos futuros. 
 
27 
 
 
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