Aula 2 - FUndamentos de Sistema de Comunicação

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FUNDAMENTOS DE SISTEMAS 
DE COMUNICAÇÃO 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mauro José Kummer 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, você encontrará a definição de sinais e reconhecerá as 
diferentes formas de classificá-los (podem ser separados em dois grupos, os 
periódicos e não periódicos). Compreenderá que um sinal de periódico pode ser 
aproximado pela Série de Fourier e verá como funções pares e ímpares se 
comportam quando analisados pelas séries de Fourier. A análise de sinais no 
domínio do tempo pode ser um desafio bastante complexo, mas, por meio da 
transformada de Fourier, operações complexas podem ser simplificadas quando 
a função é transformada para outro domínio. Você compreenderá melhor estas 
questões quando estudar as propriedades associadas à transformada de 
Fourier, assim como à operação inversa da transformada. O estudo da 
convolução de sinais servirá de base para o aprendizado das aulas seguintes, 
bem como para compreender a densidade espectral dos sinais e seus efeitos. 
TEMA 1 – SINAIS, ESPECTROS DE LINHA E SÉRIES DE FOURIER 
1.1 Introdução 
Antes de iniciar a parte do estudo sobre séries, é preciso efetuar uma 
revisão de números complexos. Número complexo é dado por uma parcela dos 
números reais, acrescido de uma parcela dos números imaginários. Número 
complexo é representado por: 
 
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 
 
Em que a e b correspondem às coordenadas das abscissas e ordenadas 
do plano complexo. 
Figura 1 – Representação do plano dos números complexos 
 
 
 
 
 
 
r 
Reais 
Imaginário 
a 
b 
θ 
z 
 
 
3 
A parte Real de z corresponde à incógnita a e a parte imaginária de z 
corresponde à b no plano cartesiano complexo. Isto pode ser escrito da seguinte 
forma: 
 
𝑎𝑎 = 𝑟𝑟. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒 
𝑗𝑗 = 𝑟𝑟. 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐 
 
Sendo r e θ as coordenadas polares do ponto z. Trabalhando com as 
equações, tem-se: 
 
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑟𝑟. cos𝑐𝑐 + 𝑗𝑗. 𝑟𝑟. 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑐𝑐 = 𝑟𝑟( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐) 
 
Pela fórmula de Euler, tem-se 
 
𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐 
Portanto: 
 
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑒𝑒 
𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 
 
Isso nos leva a compreender um número complexo na fórmula cartesiana 
a ser expresso na forma polar. Os termos de: 
𝑟𝑟 = �𝑎𝑎2 + 𝑗𝑗2 𝑒𝑒 
𝑐𝑐 = 𝑡𝑡𝑡𝑡−1
𝑗𝑗
𝑎𝑎
 
1.2 Conjugado de um número complexo 
 
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 
 
É dado por: 
 
𝑧𝑧∗ = 𝑎𝑎 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐, 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟. 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 
 
No plano complexo: 
 
 
4 
 
𝑟𝑟𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 
 
Isso corresponde à distância do ponto r até a origem do sistema 
cartesiano, inclinado θ graus em relação ao eixo das abscissas (eixo horizontal). 
Figura 2 – Plano complexo 
 
 
 
 
 
1.3 Identidades úteis 
O ponto situado na reta dos números reais igual a –1 situa-se a uma distância 
de dimensão 1 da origem e tem por ângulo θ o valor de π, portanto: 
 
1𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 = −1 
 
Observe que o ângulo π é igual ao ângulo -π e por seus múltiplos inteiros 
ímpares nπ. 
O número 1, por sua vez, pode ser expresso por: 
 
1𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑗𝑗 = 1 
Mais precisamente, o ângulo é 2nπ para qualquer n inteiro. 
O número j tem valor 1 no eixo imaginário e o ângulo formado é de π/2. 
 
𝑒𝑒𝑗𝑗
𝑗𝑗
2 = 𝑗𝑗 
 
De maneira similar: 
 
𝑒𝑒−𝑗𝑗
𝑗𝑗
2 = −𝑗𝑗 
 
Reais 
Imaginário 
a 
b 
θ 
z 
 
 
5 
1.3.1 Tamanho do sinal 
A ideia de tamanho oferece uma dimensão comparativa. Por meio da 
percepção, é possível afirmar que algo é grande ou pequeno sempre quando se 
compara o objeto contra um padrão. Em termos matemáticos, o tamanho de um 
sinal está relacionado à sua amplitude, mas também ao comprimento do sinal. 
Outro sinônimo para tamanho de um sinal é força de um sinal. 
1.3.2 Energia de um sinal 
O conceito de energia do sinal é melhor do que o tamanho do sinal por 
uma questão simples: um sinal pode variar sua amplitude em relação ao valor 
de referência de maneira a adotar valores positivos ou negativos. Dessa forma, 
ao somar o tamanho do sinal, as partes positivas podem ser compensadas pelas 
partes negativas do sinal e o resultado pode indicar um valor pequeno. Uma 
forma de contornar este problema é tomar o quadrado do sinal, assim, todo 
número elevado ao quadrado torna-se positivo e o efeito da compensação 
positivo/negativo é eliminado. 
 
𝐸𝐸𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥2
∞
−∞
(𝑡𝑡). 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐 
 
𝐸𝐸𝑥𝑥 = � |𝑥𝑥|2
∞
−∞
(𝑡𝑡).𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐 
1.3.3 Potência de sinal 
 Matematicamente, o valor de Ex só existirá se a integral convergir para um 
número, ou seja, é preciso que, quando t→∞, o valor de E→0, em outras 
palavras, a energia deve ser finita e a integral converge para um número. Não é 
possível calcular o valor de uma integral que some ∞. A medida mais significativa 
do tamanho de um sinal é chamada potência do sinal, dada pela fórmula: 
 
𝑃𝑃𝑥𝑥 = lim𝑇𝑇→∞
1
𝑇𝑇
� 𝑥𝑥2
𝑇𝑇
2
−𝑇𝑇
2
(𝑡𝑡).𝑑𝑑𝑡𝑡 
Para um sinal complexo: 
 
6 
𝑃𝑃𝑥𝑥 = lim𝑇𝑇→∞
1
𝑇𝑇
� |𝑥𝑥(𝑡𝑡)|2
𝑇𝑇
2
−𝑇𝑇
2
.𝑑𝑑𝑡𝑡 
A figura mostra exemplos de sinais finitos e infinitos. 
Figura 3 – Sinais finitos e infinitos 
Fonte: Lathi, 2008, p. 76. 
O cálculo da integral de Px é o valor médio quadrático da amplitude de x. 
Se retirarmos a raiz quadrada de Px, obtemos o valor rms. 
Deve ser feita uma ressalva quanto aos significados de energia e potência 
aqui apresentados. Em termos práticos, o sinal é representado por uma tensão 
ou uma corrente, então a medida de energia ou de potência é relacionada a um 
resistor de carga de 1 Ohm, e disto decorre que não se pode falar no teorema 
da conservação de energia. Outro aspecto dessa medida é que ela é dada em 
unidades dimensionais de tensão (volt quadrado.segundo) ou de corrente 
(ampère quadrado.segundo), e não de watt. 
1.3.4 Operações úteis com sinais 
São três as operações: deslocamento temporal, escalamento temporal e 
reversão temporal. 
Deslocamento temporal 
Consideram-se dois sinais iguais, mas o segundo sinal é deslocado no 
tempo em relação ao primeiro de T segundos. Essa relação pode ser escrita da 
seguinte forma: 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝜙𝜙(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇) 
E pode ser escrita de forma relativa, como: 
 
 
7 
𝑥𝑥(𝑡𝑡 − 𝑇𝑇) = 𝜙𝜙(𝑡𝑡) 
 
Da mesma maneira, é possível afirmar que um sinal pode estar adiantado 
em relação a outro: 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝜙𝜙(𝑡𝑡 − 𝑇𝑇) 
e 
𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇) = 𝜙𝜙(𝑡𝑡) 
Figura 4 – Sinais 
 
Fonte: Lathi, 2008, p. 81. 
 Logo x(t–T) representa o deslocamento do sinal em T segundos. Se T é 
positivo, o sinal é deslocado para a direita (em atraso), se é negativo, o sinal é 
deslocado para a esquerda (adiantado). 
1.3.5 Escalamento temporal 
 Ocorre quando um sinal é expandido ou comprimido. Para tanto, basta 
acelerar um sinal ou diminuir a sua velocidade. Imagine um espaço de tempo t, 
agora imagine que este sinal possa ser comprimido para a metade de seu tempo 
de duração. É o mesmo sinal, mas apresentado agora em T/2. Da mesma forma, 
imagine um sinal sendo esticado para o dobro de seu tempo, então tem-se o 
sinal ao longo de 2T. A figura representa o escalonamento do sinal. 
 
 
 
8 
Figura 5 – Escalonamento de sinal 
 
Fonte: Lathi, 2008, p. 83. 
Para escalonar um sinal, basta substituir a variável t pela variável at. Se 
a>1 resulta em compreensão do sinal e se a<1 resulta em expansão do sinal. 
1.3.6 Reversão temporal 
Na reversão temporal, o sinal é rotacionado em relação ao eixo da f(x) em 
180° ou π radianos. Vide figura: 
Figura 6 – Reversão de sinal 
 
Fonte: Lathi, 2008, p. 85. 
1.3.7 Classificação de sinais 
 Os sinais podem ser classificados de diversas formas, sinais contínuos ou 
discretos; sinais analógicos ou digitais. Estes já foram estudadosna aula 1. 
Agora, acrescentaremos outras formas de classificá-los. Veremos os sinais 
denominados periódicos e os não periódicos; os sinais de energia e de potência 
e, por fim, os sinais determinísticos e os sinais probabilísticos. 
 
 
 
9 
Sinais periódicos e não periódicos 
Sinais podem ser aproximados por funções. A função seno é exemplo 
típico para a explicação de o que é um sinal periódico, vide a figura: 
Figura 7 – Sinal senoidal 
 
Créditos: Julia Kopacheva/Shutterstock. 
A característica desta função é que ela se repete indefinidamente e, à 
medida que o sinal progride no tempo, ele também se repete, isto é, assume os 
mesmos valores. Isto ocorre em períodos de tempo fixos, por exemplo. 
Começando em zero, cresce até um máximo, decresce até o valor zero e 
continua a decrescer, tornando-se negativa, e atinge o seu valor mínimo. A partir 
daí, a função cresce até atingir o valor zero e isto se repete ciclicamente. Se for 
tomado outro valor em outro ponto, o ciclo se repete até obtermos o mesmo 
valor. O tempo gasto para que o ciclo de repetição ocorra é sempre o mesmo. 
Este tempo gasto é chamado de período da função T. Se tomar o a relação 
inversa do período se encontra a frequência do sinal. 
 
𝑇𝑇 = 
1
𝑓𝑓
 𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑆𝑆. 𝐼𝐼. 
 
e 
 
𝑓𝑓 = 
1
𝑇𝑇
 𝑒𝑒𝑐𝑐 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑧𝑧 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑆𝑆. 𝐼𝐼. 
 
 
10 
 
Sinais que não se repetem no tempo são chamados aperiódicos. Um ruído 
normalmente é não periódico. Pela definição de sinal periódico, necessariamente 
o sinal deve começar em -∞ e se propagar indefinidamente, pois, se um sinal 
começar em um tempo qualquer, então, ele assumirá valores diferentes dos do 
sinal. 
A possibilidade de se obter o mesmo sinal a partir do período T, para tanto, 
basta que: 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇) 
 
A figura representa este enunciado 
Figura 8 
 
Fonte: Haykin, 2011, p. 89. 
Na figura, se pode observar que, para sinais periódicos, o sinal sempre se 
repete, desde que seja tomado em múltiplos do período T. 
Sinais elementares 
Os sinais apresentados a seguir são importantes no estudo dos sinais. 
Sinais senoidais eternos: 
Seja: 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓0𝑡𝑡 + Θ𝑥𝑥) 
 
Em que A é a amplitude do sinal, 2πf é a frequência angular do sinal (em 
Hertz) e Θ é a fase do sinal. O sinal é periódico com período T se: 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇) = 𝐴𝐴 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓0𝑡𝑡 + Θ𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋𝑓𝑓0𝑇𝑇) = 𝐴𝐴 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓0𝑡𝑡 + Θ𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 
 
 
 
11 
Exponencial real 
Seja: 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴. 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 
 
Sendo A e a reais. 
Para valores de a = 0, a função é constante e vale A. para valores de a 
positivos, a função é crescente com o tempo e, para valores de a negativos, a 
função é decrescente. 
Figura 9 – Função exponencial (a) para a>0 e (b) para a<0 
 
Exponencial complexa periódica 
Trata-se de uma classe importante de sinais do tipo: 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑎𝑎 
 
Para 2πf reais. Pela fórmula de Euler: 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑎𝑎 = cos 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 + 𝑗𝑗𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 , 𝑒𝑒 𝑗𝑗 = √−1 
 
A função pode ser representada em um gráfico tridimensional, mostrando 
as partes real e imaginária em função do tempo. 
 
 
 
12 
Figura 10 – Função exponencial em função do tempo 
 
Ou representada em um plano complexo: 
Figura 11 – Função exponencial no plano complexo 
 
 
A magnitude do fasor é sempre 1, pois: 
 
|𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑎𝑎| = �(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐22𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠22𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡) = 1 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 ∀ 𝑡𝑡 
 
E o ângulo é dado: 
 
2𝜋𝜋𝑓𝑓 = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠−1
𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡
cos 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡
 
 
Exponencial complexa 
A exponencial complexa pode ser representada por um caso geral em 
que: 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴. 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝑎𝑎 𝑐𝑐ã𝑐𝑐 𝑠𝑠ú𝑐𝑐𝑒𝑒𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐 
 
 
13 
 
Então, A vale: 
 
𝐴𝐴 = |𝐴𝐴|𝑒𝑒𝑗𝑗ϕ 𝑒𝑒 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟 + 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 
Figura 12 – Exponenciais complexas para r<0 e r>0 
 
 Isto pode ser escrito da seguinte forma: 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = |𝐴𝐴|𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗. 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎. 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑎𝑎 = |𝐴𝐴|. 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎. cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 + 𝜙𝜙) + 𝑗𝑗|𝐴𝐴|𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠 (2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 + 𝜙𝜙) 
 
Para r<0, as partes real e imaginária de x(t) são senoides amortecidas ou 
senoides crescentes para r>0. A parte correspondente a |A|.ert é chamada de 
envoltória. 
Função sinc 
Esta função é definida pela equação: 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐(𝑡𝑡) = 
𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠 𝜋𝜋𝑡𝑡
𝜋𝜋𝑡𝑡
 
 
E seu gráfico é mostrado na figura 13. 
 
 
 
14 
Figura 13 – Sinal sinc. 
 
Função pulso triangular 
A função é definida por: 
 
𝑡𝑡𝑟𝑟𝑠𝑠 �
𝑡𝑡
𝜏𝜏
� = �
1 −
2
𝜏𝜏
|𝑡𝑡| 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 |𝑡𝑡| <
𝜏𝜏
2
 𝑒𝑒
0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 |𝑡𝑡| > 
𝜏𝜏
2
 
 
A figura 14 mostra a função. 
Figura 14 – Função pulso triangular 
 
Função pulso gaussiano de área unitária 
A função pulso gaussiano unitário, ou simplesmente gaussiana, é dada 
pela equação: 
 
(𝑡𝑡) = 
1
𝜎𝜎√2𝜋𝜋
. 𝑒𝑒�−
1
2�
𝑎𝑎
𝜎𝜎�
2
� 
 
 
 
15 
Sendo o desvio padrão σ, sua representação gráfica é mostrada na figura 
15: 
Figura 15 – Pulso gaussiano de área unitária 
 
 
Função sinal 
A expressão da função é dada pela equação: 
 
𝑐𝑐𝑡𝑡𝑠𝑠 (𝑡𝑡) = �
1, 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡 > 0
0, 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 0 𝑒𝑒 
−1 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡 < 0
 
 
E seu gráfico na figura 16. 
Figura 16 – Função sgn(t) 
 
 
Função porta ou sinal retangular 
Esta função tem duração T e amplitude unitária e é representada pela 
equação: 
 
 
16 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡(
𝑡𝑡
𝑇𝑇
) 
 
A figura 17 representa a função rect(t). 
Figura 17 – Função rect(t) 
 
 
A função degrau é bastante simples. Pense no ato de ligar uma chave de 
energia de um equipamento. Estava desligado, portanto, sem energia. Ao ligar o 
equipamento, a energia flui pelos circuitos, causando o seu funcionamento. Um 
sinal degrau é representado na figura 18. 
Figura 18 – Sinal degrau 
 
Fonte: Haykin, 2011, p. 91. 
Como a amplitude do sinal vale 1, a função é chamada também por 
degrau unitário. Matematicamente, a função degrau unitário pode ser escrita da 
seguinte forma: 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = �1 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡 ≥ 00 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡 < 0 
 
 
17 
Uma função pulso quadrado pode ser obtida por meio da diferença de dois 
sinais degrau, defasadas no tempo, vide a figura. 
Figura 19a – Dois degraus unitários 
 
Fonte: Haykin, 2011, p. 91. 
Sendo a expressão: 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠(𝑡𝑡 − 2) − 𝑠𝑠(𝑡𝑡 − 4) 
 
O que resulta em: 
Figura 19b 
 
 
Fonte: Haykin, 2011, p. 91. 
A função impulso tem muitas aplicações em sistemas de comunicações. 
Sua definição matemática é dada pela expressão: 
 
𝛿𝛿(𝑡𝑡) = 0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡 ≠ 0 
� 𝛿𝛿(𝑡𝑡).𝑑𝑑𝑡𝑡 = 1
∞
−∞
 
 
 
 
18 
A figura 20 representa a função impulso. 
Figura 20 – Função impulso 
 
Fonte: Haykin, 2011, p. 94. 
A forma não é característica principal da função impulso, mas sim a 
largura do pulso, que tende a zero. A função degrau e a função exponencial pata, 
em tempos muito pequenos, se aproximam da função impulso. A função impulso 
não pode ser gerada na prática, mas pode ser aproximada. 
Sinais de energia e sinais de potência 
Se um sinal tem energia finita é chamado de sinal de energia. Um sinal 
com potência finita não nula é um sinal de potência. Lembrando que a potência 
é a média da energia ao longo do tempo. Para tempos muito grandes, 
aproximando-se do infinito a um sinal com energia finita, encontramos potência 
igual a zero. Um sinal com potência finita tem energia infinita, portanto um sinal 
não pode ser, simultaneamente, um sinal de energia e um sinal de potência. Os 
casos práticos mostram que os sinais têm energia finita, então são sinaisde 
energia. Assim, é impossível gerar um sinal de potência, pois tal sinal teria 
duração infinita e energia infinita. 
Sinais determinísticos e sinais aleatórios 
Sinais determinísticos são aqueles que podem ser representados por 
funções, portanto podem ser calculados. Sinais aleatórios só podem ser 
representados estatisticamente. Os sinais tratados neste livro serão 
determinísticos. 
 
 
 
19 
1.4 Séries de Fourier 
O matemático francês Jean Baptist Joseph Fourier contribuiu 
significativamente para o desenvolvimento dos estudos matemáticos ao 
trabalhar a resolução dos problemas de transferência de calor. No início da 
Revolução Industrial, com a adoção do vapor em substituição do trabalho animal, 
as indústrias passaram a enfrentar sérias dificuldades em lidar com a forma de 
energia calor. O brilhante trabalho de Fourier trouxe luz sobre este novo campo 
de estudos: a dissipação de calor. Mais tarde, descobriu-se que a equação do 
calor proposta por Fourier também se aplicava em outras áreas do 
conhecimento. 
O estudo inicial de Fourier apontou que o comportamento de certos 
fenômenos seguia o conceito matemático de séries. Especificamente, séries 
trigonométricas, compostas de funções seno e cosseno. 
A equação do calor proposta por Fourier é: 
 
𝜕𝜕𝑠𝑠
𝜕𝜕𝑡𝑡
= 𝑘𝑘.
𝜕𝜕2𝑠𝑠
𝜕𝜕𝑥𝑥2
 
 
Para a compreensão dos chamados sinais, é necessário aprofundar o 
tema. Para tanto, é preciso definir alguns conceitos: 
Sinais unidimensionais são aqueles definidos como funções de valor 
único. Para valor único, podem-se encontrar valores reais, então chamados 
sinais de valor real. Outro valor único são os chamados números complexos, 
chamados sinais de valor complexo. 
Os sinais também podem ser classificados como de tempo contínuo. Para 
que um sinal seja assim classificado, é preciso que ele seja definido em todo 
intervalo de tempo. 
Figura 21 – Representação de sinal de tempo contínuo 
 
 
 
 
 Tempo t 
Amplitude x(t) 
 
 
20 
 
Sinais de tempo discreto são obtidos por meio de um sinal de tempo 
contínuo. Para tanto, basta amostrar o sinal contínuo com uma taxa de 
amostragem constante. 
Sinal de tempo discreto é observado na figura 22. 
Figura 22 – O resultado da amostragem é um sinal discreto 
 
 
 
 
 
 
Os sinais são funções e as funções são classificadas em dois tipos – as 
pares e, consequentemente, as ímpares. Desta forma, teremos sinais pares e 
sinais ímpares. Seguindo a definição matemática, um sinal par é simétrico em 
relação ao eixo das ordenadas. Matematicamente, se x(t) = x(-t), a função é par. 
A figura 23 mostra o gráfico de uma função par. 
Figura 23 – Gráfico de função par 
 
Se escolhermos um valor para x e, a partir deste ponto, encontramos o 
valor para x(t), por exemplo x = 2 | x(2) = 0,6; e o valor para x=–2 conduzirá a 
x(–2) = 0,6. Observa-se que a função cosseno é par. 
Por outro lado, se x(t) = -x(–t) a função é ímpar. A figura 24 mostra uma 
função ímpar. 
 
Tempo t 
Amplitude x(t) 
 
 
21 
Figura 24 – Gráfico de uma função ímpar 
 
Da figura 24, observa-se que, se x = 2; x(2) = 0,8 e se x=-2; x(–2) = –0,8. 
Assim, pode-se afirmar que a função ímpar é simétrica em relação ao ponto de 
origem do sinal (coordenadas (0,0)). A função seno é uma função ímpar. 
TEMA 2 – TRANSFORMADA DE FOURIER 
2.1 Transformada e transformada inversa de Fourier 
Analisar matematicamente um sinal no domínio do tempo pode ocasionar 
dificuldades. Um recurso é transformar o sinal para outro domínio, no qual seja 
mais fácil realizar as operações matemáticas. Um sinal no domínio do tempo 
pode ser convertido em um sinal no domínio da frequência por meio da 
transformada de Fourier. Considerando um sinal g(t) como determinístico e não 
periódico, expresso no domínio do tempo t, a definição matemática da 
transformada deste sinal é dada pela equação: 
 
𝐺𝐺(𝑓𝑓) = � 𝑡𝑡(𝑡𝑡). 𝑒𝑒(−𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑎𝑎). 𝑑𝑑𝑡𝑡
∞
−∞
 
 
Sendo: 
 
𝑗𝑗 = √−1 
 
Na qual a variável f denota a frequência do sinal. Por uma questão de 
facilidade de compreensão, o sinal no domínio da frequência pode ser 
transformado novamente para o domínio do tempo. Isto pode ser feito pela 
transformada inversa de Fourier. A fórmula que expressa esta operação é dada 
por: 
 
 
22 
 
𝑡𝑡(𝑡𝑡) = � 𝐺𝐺(𝑓𝑓). 𝑒𝑒(𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑎𝑎).𝑑𝑑𝑓𝑓
∞
−∞
 
 
Foram utilizadas letras minúsculas para expressar funções no domínio do 
tempo e letras maiúsculas para funções no domínio da frequência. 
A transformada de Fourier, para existir, deve obedecer a algumas 
condições conhecidas por condições de Dirichlet, mas, de forma direta, é 
possível afirmar que, quando g(t) for uma descrição de um sistema físico 
realizável, existirá a transformada de Fourier. De forma semelhante, pode-se 
afirmar que, para sinais de energia finitos, existirá a transformada de Fourier. Isto 
é representado pela equação: 
 
� |𝑡𝑡(𝑡𝑡)|2.𝑑𝑑𝑡𝑡 < ∞
∞
−∞
 
 
É importante frisar que as dimensões para o tempo são o segundo (s) e, 
para a frequência, o Hertz (Hz). A frequência também é expressa em radianos 
por segundo (rad/s), pois se trata de frequência angular (ω). 
O uso do símbolo F também é frequente na representação, desta forma: 
 
𝐺𝐺(𝑓𝑓) = 𝐹𝐹[𝑡𝑡(𝑡𝑡)] 𝑒𝑒 
 
𝑡𝑡(𝑡𝑡) = 𝐹𝐹−1[𝐺𝐺(𝑓𝑓)] 
TEMA 3 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 
3.1 Propriedades 
Ao se trabalhar com estas ferramentas matemáticas, é útil conhecer 
algumas propriedades que facilitarão o cálculo. 
A primeira propriedade é chamada por linearidade (ou por superposição) 
e é dada por: 
 
𝑐𝑐1.𝑡𝑡1(𝑡𝑡) + 𝑐𝑐2.𝑡𝑡2(𝑡𝑡) ⇌ 𝑐𝑐1.𝐺𝐺1(𝑓𝑓) + 𝑐𝑐2.𝐺𝐺2(𝑓𝑓) 
 
 
 
23 
Esta propriedade permite encontrar a transformada de Fourier de um sinal 
g(t) como uma combinação linear de outras funções g(t), cujas transformadas 
são conhecidas. 
O escalonamento (escalamento) temporal é dado por: 
 
𝑡𝑡(𝑎𝑎𝑡𝑡) ⇌
1
|𝑎𝑎|
.𝐺𝐺 �
𝑓𝑓
𝑎𝑎
� 
 
Se a g(t) for comprimida no tempo por um fator a, a G(f) é expandida na 
frequência pelo fator a. Esta é uma propriedade muito útil, pois permite 
compreender que se o tempo é reduzido a frequência, ela é aumentada e vice-
versa. 
A dualidade é dada por: 
 
𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐹𝐹𝑐𝑐𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑒𝑒𝑟𝑟 é 
 
𝐺𝐺(𝑡𝑡) ⇌ 𝑡𝑡(−𝑓𝑓) 
 
O deslocamento no tempo é dado por: 
 
𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓). 𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑎𝑎0 
 
Deslocar uma função no tempo não implica modificar a amplitude da 
transformada, mas sim o seu ponto de início, ou seja, a sua fase é alterada pelo 
fator –2πft0. 
Deslocamento em frequência (modulação): 
𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 
 
𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑐𝑐𝑎𝑎.𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑐𝑐) 
Esta propriedade é chamada teorema da modulação, pois o deslocamento 
de um sinal para outra faixa de frequências é feito por meio da modulação do 
sinal. Deslocamentos no tempo e na frequência são duais. 
Área sob g(t): 
𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 
 
 
 
24 
� 𝑡𝑡(𝑡𝑡).𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐺𝐺(0)
∞
−∞
 
 
A área sob g(t) é igual ao valor da transformada de Fourier em G(f) em 
f=0. 
Área sob G(f): 
𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 
 
𝑡𝑡(0) = � 𝐺𝐺(𝑓𝑓).𝑑𝑑𝑓𝑓
∞
−∞
 
A área sob a transformada de Fourier é o valor da função g(t) em t = 0. 
Diferenciação no domínio do tempo: 
 
𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓) 𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑎𝑎 𝐺𝐺′(𝑓𝑓)𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑡𝑡′(𝑡𝑡) 
 
𝑑𝑑 𝑡𝑡(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
⇌ 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓.𝐺𝐺(𝑓𝑓) 
 
Diferenciar uma função g(t) tem o efeito de multiplicar a sua transformada 
por um fator j2πf. 
Integração no domínio do tempo: 
𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐺𝐺(0) = 0 
 
� 𝑡𝑡(𝜏𝜏).𝑑𝑑𝜏𝜏 ⇌1
𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓
 𝐺𝐺(𝑓𝑓)
𝑎𝑎
−∞
 
 
Integrar uma função no tempo equivale a dividir a sua transformada por 
um fator j2πf, assumindo-se que G(0) assume o valor 0. 
Funções conjugadas: 
𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓),𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑠𝑠çã𝑐𝑐 𝑡𝑡(𝑡𝑡)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐 − 𝑐𝑐𝑒𝑒 
 
𝑡𝑡∗(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺∗(−𝑓𝑓) 
 
O * representa a operação do conjugado complexo, que pode ser descrita 
como: 
 
 
 
25 
𝑡𝑡 ∗ (−𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺 ∗ (𝑓𝑓) 
 
Tabela resumida das propriedades da transformada de Fourier: 
1 − Linearidade 𝑐𝑐1.𝑡𝑡1(𝑡𝑡) + 𝑐𝑐2.𝑡𝑡2(𝑡𝑡) ⇌ 𝑐𝑐1.𝐺𝐺1(𝑓𝑓) + 𝑐𝑐2.𝐺𝐺2(𝑓𝑓) 
2 − 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑡𝑡(𝑎𝑎𝑡𝑡) = 
1
|𝑎𝑎|
.𝐺𝐺 �
𝑓𝑓
𝑎𝑎
� 
3 − 𝐷𝐷𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 𝐺𝐺(𝑡𝑡) ⇌ 𝑡𝑡(−𝑓𝑓) 
4 − 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓). 𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑎𝑎0 
5 −𝐷𝐷𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑒𝑒𝑞𝑞𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑗𝑗𝜋𝜋𝑐𝑐𝑎𝑎.𝑡𝑡(𝑡𝑡)
⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑐𝑐) 
6 − á𝑟𝑟𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑗𝑗 𝑡𝑡(𝑡𝑡) 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 � 𝑡𝑡(𝑡𝑡).𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐺𝐺(0)
∞
−∞
 
7 − à𝑟𝑟𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑗𝑗 𝐺𝐺(𝑓𝑓) 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 𝑡𝑡(0) = � 𝐺𝐺(𝑓𝑓).𝑑𝑑𝑓𝑓
∞
−∞
 
8 − 𝐷𝐷𝑠𝑠𝑓𝑓𝑒𝑒𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑎𝑎çã𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡)
⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓) 𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑎𝑎 𝐺𝐺′(𝑓𝑓) 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑡𝑡′(𝑡𝑡), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 
𝑑𝑑 𝑡𝑡(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓.𝐺𝐺(𝑓𝑓) 
9 − 𝐼𝐼𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎çã𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓) 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐺𝐺(0)
= 0, 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐 − 𝑐𝑐𝑒𝑒 � 𝑡𝑡(𝜏𝜏).𝑑𝑑𝜏𝜏 ⇌ 
1
𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓
 𝐺𝐺(𝑓𝑓)
𝑎𝑎
−∞
 
10 − 𝐹𝐹𝑠𝑠𝑠𝑠çõ𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑗𝑗𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡)
⇌ 𝐺𝐺(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑡𝑡(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒𝑥𝑥𝑐𝑐, 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐 − 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑡𝑡∗(𝑡𝑡)
⇌ 𝐺𝐺∗(−𝑓𝑓) 
 
11 −𝑀𝑀𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡𝑠𝑠𝑝𝑝𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑎𝑎çã𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑗𝑗𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑡𝑡1(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺1(𝑓𝑓) 𝑒𝑒 𝑡𝑡2(𝑡𝑡)
⇌ 𝐺𝐺2(𝑓𝑓), 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 𝑡𝑡1(𝑡𝑡).𝑡𝑡2(𝑡𝑡) ⇌ � 𝐺𝐺1(𝜆𝜆)
∞
−∞
.𝐺𝐺2(𝑓𝑓 − 𝜆𝜆).𝑑𝑑𝜆𝜆 
12 − 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑠𝑠𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠çã𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑗𝑗𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑡𝑡1(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺1(𝑓𝑓) 𝑒𝑒 𝑡𝑡2(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺2(𝑓𝑓),
𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 � 𝑡𝑡1(𝜏𝜏).𝑡𝑡2(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)
∞
−∞
 ⇌ 𝐺𝐺1(𝑓𝑓).𝐺𝐺2(𝑓𝑓) 
13 − 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑐𝑐𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑅𝑅𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ℎ 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑡𝑡(𝑡𝑡)𝑒𝑒𝑐𝑐 ]
−∞,∞[, e que a G(f)𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑒𝑒, 𝐸𝐸
= � |𝑡𝑡(𝑡𝑡)|2.𝑑𝑑𝑡𝑡 < ∞
∞
−∞
, 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡ã𝑐𝑐 � |𝑡𝑡(𝑡𝑡)|2.𝑑𝑑𝑡𝑡 = � |𝐺𝐺(𝑓𝑓)|2.𝑑𝑑𝑓𝑓
∞
−∞
∞
−∞
 
 
Exemplos: 
 
 
26 
Seja a função simétrica (função par) definida por: 
𝑡𝑡(𝑡𝑡) = �
𝑒𝑒(−𝑎𝑎𝑎𝑎) 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡 > 0
1 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 0 𝑒𝑒
𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡 < 0
 
𝑡𝑡(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒(−𝑎𝑎|𝑎𝑎|) 
Mostrada na figura 25. 
Figura 25 
 
Fonte: Haykin, 2011, p. 29. 
A figura pode ser compreendida como a soma de dois pulsos 
exponenciais vide definição da função. Os valores da transformada de Fourier 
podem ser encontrados em tabelas. A transformada de Fourier para cada parte 
é: 
 
𝑡𝑡(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒(−𝑎𝑎𝑎𝑎) ⇌
1
𝑎𝑎 + 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓
 
e 
𝑡𝑡(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒(𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 ) ⇌
1
𝑎𝑎 − 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓
 
 
Aplicando-se a linearidade, resulta que a soma das duas partes vale: 
 
𝐺𝐺(𝑓𝑓) = 
2𝑎𝑎
𝑎𝑎2 + (2𝜋𝜋𝑓𝑓)2
 
 
Então, a função no domínio do tempo e sua transformada no domínio da 
frequência valem: 
 
 
 
27 
𝑒𝑒(−𝑎𝑎|𝑎𝑎|) ⇌ 
2𝑎𝑎
𝑎𝑎2 + (2𝜋𝜋𝑓𝑓)2
 
 
É importante observar que a função g(t) é par e simétrica e que a sua 
transformada não contém partes imaginárias, portanto, também é uma função 
par. 
TEMA 4 – CONVOLUÇÃO 
4.1 Convolução e multiplicação 
O chamado teorema da convolução é composto de duas partes, a primeira 
trata da transformada de Fourier da convolução e a segunda, da multiplicação 
de sinais. As equações representam estas duas partes: 
 
𝑥𝑥1(𝑡𝑡) ⋆ 𝑥𝑥2(𝑡𝑡) ⇌ 𝑋𝑋1(𝑓𝑓).𝑋𝑋2(𝑓𝑓) 𝑒𝑒 
𝑥𝑥1(𝑡𝑡). 𝑥𝑥2(𝑡𝑡) ⇌ 𝑋𝑋1(𝑓𝑓) ⋆ 𝑋𝑋2(𝑓𝑓) 
 
Desta forma, tem-se que a convolução no domínio do tempo se transforma 
na multiplicação no domínio da frequência, e a multiplicação no domínio do 
tempo se transforma na convolução no domínio da frequência. 
Multiplicação no domínio do tempo: 
 
𝑡𝑡1(𝑡𝑡).𝑡𝑡2(𝑡𝑡) ⇌ � 𝐺𝐺1(𝜆𝜆)
∞
−∞
.𝐺𝐺2(𝑓𝑓 − 𝜆𝜆).𝑑𝑑𝜆𝜆 
 
Esta integral é conhecida como integral de convolução. Conclui-se que a 
multiplicação de dois sinais no domínio do tempo é transformada na convolução 
de sua transformadas no domínio da frequência. Isto é conhecido como teorema 
da multiplicação e sua notação corresponde a: 
 
𝑡𝑡1(𝑡𝑡).𝑡𝑡2(𝑡𝑡) ⇌ 𝐺𝐺1(𝑓𝑓) ⋆ 𝐺𝐺2(𝑓𝑓) 
 
 
 
 
28 
Convolução no domínio do tempo: 
 
� 𝑡𝑡1(𝜏𝜏).𝑡𝑡2(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)
∞
−∞
 ⇌ 𝐺𝐺1(𝑓𝑓).𝐺𝐺2(𝑓𝑓) 
 
Utilizando a notação abreviada para a convolução, pode-se escrever: 
 
𝑡𝑡1(𝑡𝑡) ⋆ 𝑡𝑡2( ) ⇌ 𝐺𝐺1(𝑓𝑓).𝐺𝐺2(𝑓𝑓) 
 
TEMA 5 – DENSIDADE ESPECTRAL 
5.1 Densidade espectral de energia de Rayleigh 
Teorema de Rayleigh da energia 
Respeitando as condições de que a função existe em todo intervalo 
simétrico, ]-∞, ∞[; e que a transformada de Fourier existe e se a Energia do sinal 
satisfaz: 
 
𝐸𝐸 = � |𝑡𝑡(𝑡𝑡)|2.𝑑𝑑𝑡𝑡 < ∞
∞
−∞
 
 
Então: 
 
� |𝑡𝑡(𝑡𝑡)|2.𝑑𝑑𝑡𝑡 = � |𝐺𝐺(𝑓𝑓)|2.𝑑𝑑𝑓𝑓
∞
−∞
∞
−∞
 
 
Seja εg(f) o espectro do sinal quadrático do sinal g(t), como na equação: 
 
𝜀𝜀𝑔𝑔(𝑓𝑓) = |𝐺𝐺(𝑓𝑓)|2 
 
É chamado de densidade espectral de energia do sinal g(t). Para 
exemplificar, pode-se imaginar uma fonte tensão conectada a um resistor de 
carga de 1 Ohm, então: 
 
� |𝑡𝑡(𝑡𝑡)|2.𝑑𝑑𝑡𝑡
∞
−∞
 
 
 
29 
Vale o equivalente à energia entregue pela fonte e corresponde à área 
sob a área sob a curva εg(f). A energia é dada em Joules/Hertz. Por ser uma 
função de segundo grau, o espectro é uma função par e simétrico em relação à 
origem. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, você pode estudar os diferentes tipos de sinais, sejam 
periódicos ou não periódicos, sinais do tipo senoidal, pulso retangular, 
exponencial, exponencial complexa, sinc., pulso triangular, pulso gaussiano, 
degrau unitário, sinal e impulso. Compreendeu também como a série de Fourier 
pode ser utilizada para representar tanto sinais contínuos quanto descontínuos. 
Descobriu a importância da transformada de Fourier na análise de sinais e como 
ela pode simplificar as operações com sinais. Pôde compreender as 
propriedades associadas à transformada de Fourier. Ainda, verificou o papel da 
convolução na compreensão dos fenômenos da multiplicação de sinais em um 
dos domínios, o que acontece no outro domínio e, por fim, a densidade espectral 
e sua relação com a energia de um sinal. 
 
 
 
30 
REFERÊNCIAS 
HAYKIN, S. Sistemas de comunicação [recurso eletrônico]. Tradução de Tales 
Argolo Jesus. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares [recursoeletrônico]. Tradução de 
Gustavo Guimarães Parma. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. 
SOARES NETO, V. Sistemas de Comunicação: serviços, modulação e meios 
de transmissão. São Paulo: Érica, 2015. 
 
 
	Conversa inicial
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS