MÓDULO 14 - ALGEBRA - CBMERJ

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ÁLGEBRA MÓDULO 14 CBMERJ 
 
 
 
1 
Todas os exercícios da apostila que tiverem essa câmera , estão 
gravados em vídeo para você. Nossos professores resolveram as 
questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
Muitas questões trazem dicas preciosas. Não deixe de assistir aos 
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Determinantes 
 
Definição e cálculo 
 
É o único número real associado a uma matriz quadrada. O 
determinante de uma matriz é indicado com barras simples: I I 
 
1. Primeira ordem 
Para a matriz de primeira ordem, o determinante é igual ao seu único 
elemento. 
Exemplo: I -5 I = - 5 
 
2. Segunda Ordem 
 
 
Exemplo: 
-2 4
= -2 2 - 4 3= -16
3 2
  
 
3. Terceira ordem 
 
3.1. Regra de Sarrus 
Para determinantes de 3ª ordem utilizaremos: 
 
 
 
( ) ( )11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32Det = a a a +a a a +a a a - a a a +a a a +a a a 
 
A melhor maneira de explicar a regra de Sarrus é com um exemplo: 
 
 
 
Det = (- 8 + 12 – 30) + (4 - 9 + 80) = 49 
 
Menor Complementar 
Chama-se menor complementar Dij relativo a um elemento aij, da matriz 
A o determinante, associado à matriz quadrada, obtida em A, e que se 
obtém eliminando de A, a linha e a coluna correspondente ao elemento 
considerado. 
Exemplo: 
 
 
Eliminando-se a terceira linha e a terceira coluna. 
 
Cofator 
Chama-se cofator de um elemento de uma matriz quadrada o número 
obtido pelo produto do menor complementar e (-1)i+j.Dij. 
 
Aij = (-1)i+j.Dij 
Exemplo: 
No exemplo anterior 
 
A33 = (-1)3+3.D33 = -12 
 
Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 é igual à 
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou 
coluna) pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Det A = a11.A11 + a21.A21 + a31.A31 
 
 
 
3.1.0 + 0.(-1).(-18) – 2.1.18 = - 36 
 
Propriedades dos determinantes 
− Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, 
o determinante da matriz é 0 (zero). 
 
 
− Se duas filas paralelas são iguais, então o determinante dessa 
matriz é 0 (zero). 
 
 
− Se duas filas paralelas são proporcionais o determinante é 0 (zero). 
 
 
− Os determinantes de uma matriz e o da sua transposta são iguais. 
− Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número real, o 
determinante fica multiplicado por este número. 
− Seja A uma matriz quadrada de ordem n e k um número real, então: 
det(k.A) = kn.detA 
 
− Quando trocamos duas filas paralelas de lugar, o determinante 
muda de sinal. 
 
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2 
− Quando a matriz for diagonal, seu determinante é o produto dos 
elementos da diagonal principal. 
 
 
− O determinante de um produto é o produto dos determinantes. 
det (A.B) = det A . det B 
 
− O determinante da matriz inversa é igual ao inverso do determinante 
dessa matriz. 
 
Exercícios 
 
1. Observe a matriz a seguir. 
 
 
 
Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado: 
a) 1 
b) sen x 
c) sen2 x 
d) sen3 x 
2. Na matriz 
1 2
3 4
x x
M ,
x x
 
=  
 
 os números reais 1 2 3x , x , x e 4x 
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica crescente cujo 
primeiro termo 1x é maior do que zero. Se q é a razão dessa 
progressão, é correto afirmar que o determinante da matriz M (detM) 
satisfaz a dupla desigualdade 
a) q detM q.−   
b) 0 detM q.  
c) 10 detM x q.   
d) 1 1x detM x q.   
 
3. Considere as matrizes 
1 2
M
3 1
 
=  
 
 e 
p q
N .
u v
 
=  
 
 Se 
M N N M, =  é correto afirmar que o determinante da matriz N é 
igual a 
a) 
2 22p 3q
.
3
−
 
b) 
2 23p 2q
.
3
−
 
c) 
2 23p 2q
.
2
−
 
d) 
2 22p 3q
.
2
−
 
4. Dadas as matrizes 
2 1 1 3
1 4 2 0
A ,
3 2 0 1
1 0 2 1
− 
 
−
 =
 −
 
− 
 
1 3 2
B 4 1 1 ,
2 3 2
− 
 
= −
 
 − 
 
1 2
C
1 4
 
=  
− 
 e D [2]= o valor de 
 
det(A) det(B)
det(C) det(D)


 é igual a: 
a) 0 
b) 15 
c) 20 
d) 10 
e) 25 
 
5. Uma progressão aritmética 1 2 n(a , a , , a ) satisfaz a 
propriedade: para cada n , a soma da progressão é igual a 
22n 5n.+ Nessas condições, o determinante da matriz 
 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
a a a
a a a
a 2 a a
 
 
 
 + 
 é 
a) 96.− 
b) 85.− 
c) 63. 
d) 99. 
e) 115. 
 
6. Uma matriz quadrada A, de ordem 3, é definida por 
ij i j
i j, se i j
a .
( 1) , se i j+
− 
= 
− 
 
Então 1det(A )− é igual a 
a) 4. 
b) 1. 
c) 0. 
d) 
1
.
4
 
e) 
1
.
2
 
 
7. O valor do determinante 
1
3
1
3
1
3 3
3
3 3
0 log 3 log
1 log 27 log 27
0 log 81 log 243
 é 
a) 0 
b) 1 
c) 1− 
d) 3 
e) 
1
3
 
 
 
 
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3 
8. Sabendo que x é um número real, o determinante da matriz abaixo é 
dado por: 
 
1 0 1
A 2 sen x 0
cos x 2 cos x
− 
 
=  
 
 
 
 
a) 2 2det A sen x cos x 4=  + 
b) det A sen 2x 4= − 
c) det A 4 cos 2x= + 
d) 
1
det A sen 2x 2
2
= − 
e) 2det A 2 sen x 2=  + 
 
9. Considere as matrizes ij 2 3A (a ) ,= com ija 2i j,= − 
2
1 2
B 0 1
m 1 2
 
 
= − 
 
− 
 e 
m 0
C ,
3m 6
− 
=  
 
 sendo m um número real. 
Sabendo que C A B,=  então det C é igual a 
a) 0. 
b) 12.− 
c) 8.− 
d) 6. 
e) 4.− 
 
10. Sejam a e b números positivos tais que o determinante da 
matriz 
1 0 0 1
2 a 0 1
1 1 b 1
0 0 0 1
− 
 
 
 −
 
 
 vale 24. 
 
Dessa forma o determinante da matriz 
b 2
3 a
 
 
  
 é igual a 
a) 0 
b) 6 
c) 6− 
d) 6 
 
11. Sejam 
1 0 0
D 0 2 0
0 0 3
 
 
=
 
  
 e 
7 0 2
P 0 1 0 .
2 0 5
 
 
=
 
  
 
 
Considere 1A P DP.−= O valor de 2det(A A)+ é 
a) 144. 
b) 180. 
c) 240. 
d) 324. 
e) 360. 
 
12. Sejam A, B, X e Y matrizes quadradas de ordem 2 tais 
que, 
1 2
A
3 2
 
=  
− 
 e 
0 2
B .
1 4
 
=  
− 
 
 
A soma dos determinantes das matrizes X e Y sabendo que 
2X 2Y A B− =  e rX 2Y A− + = é igual a: 
a) 4− 
b) 72− 
c) 144− 
d) 24− 
e) 102− 
 
13. Dadas as matrizes 
1 2
A
3 4
 
=  
 
 e 
1 2
B ,
1 0
− 
=  
 
 o 
determinante da matriz A B é 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
e) 27 
 
14. No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário 
determinar o número real λ na equação det(M I) 0,λ− = em que M 
é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de 
M, e det representa o determinante da matriz (M I).λ− 
 
Se, em um desses estudos, tem-se 
0 17 2
M 2 0 0 ,
1 0 0
 
 
=
 
  
 o valor positivo de 
λ é igual a 
a) 5. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 6. 
 15. Para a matriz quadrada 
cos17 0 sen17
M 1 1 1
sen28 0 cos28
  
 
=
 
   
 o valor do 
determinante de 10M é 
a) 
1
16
 
b) 
1
32
 
c) 
1
64
 
d) 
1
128
 
e) 
1
256
 
 
16. Considere as funções 
x 0 x
f(x) 1 x 2
2 1 1
= e 
x 11 4
g(x) 10 11 x .
1 2 0
−
= 
Desta forma, pode-se afirmar que o ponto de interseção das funções 
f(x) e g(x), é: 
a) (6, 30) 
b) (9, 90)− 
c) (9, 72) 
d) (6, 42)− 
e) (6, 42) 
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4 
17. Observe a matriz: 
3 t 4
3 t 4
+ − 
 
− 
 
 
Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t 
deve ser igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
18. Considere as matrizes 
k 0 k
A ,
3 2 k
 
=  
− 
 sendo k um número 
real, com k 2, ij 3 2B (b ) ,= com 
2
ijb (i j) ,= − e C A B.=  
Sabendo que detC 12,= o valor de 2k é 
a) 0. 
b) 9. 
c) 4. 
d) 16. 
e) 1. 
 
19. Considere a matriz 
x 1 4 x
A ,
2 x
− − 
=  
− 
 onde x . A 
quantidadede números inteiros que pertencem ao conjunto solução da 
inequação 48 det(A) 116  é igual a: 
a) 13 
b) 22 
c) 8 
d) 10 
e) 6 
 
20. Para quaisquer matrizes quadradas invertíveis A e B de ordem 
n n, é correto afirmar que 
01) ( )
( )
( )
1 det Adet A B .
det B
− = 
02) ( )
2 2 2A B A B . =  
04) ( )
1 1 1A B B .A .
− − − = 
08) ( )
1
1 1A A A A .
−
− −+ = + 
16) ( )
2
1 2 1 2A B A 2A B B .− −+ = +  + 
 
21. Para que o determinante da matriz 
1 1 1
1 0 b
1 2 1
− 
 
 
 
 
 seja 3, o valor de 
b deve ser igual a 
a) 2 
b) 0 
c) 1− 
d) 2− 
 
22. Dadas as funções reais 2f(x) x= e g(x) x 1= − e as matrizes 
A e B tais que ij 2x2A (a )= em que 
1
ij
f(i) g ( j), se i j
a
g(j i), se i j
− + 
= 
− 
 
e ij 2x2B (b )= em i j 1
f g(i j), se i j
b ,
g ( j 2i), se i j−
 
= 
− 
 o determinante da 
matriz A B é: 
a) 174 
b) 1.042 
c) 58 
d) 134 
e) 26 
 
23. O determinante da matriz 
sen(x) 0 1
1 sec(x) 0
0 0 cotg(x)
 
 
 
  
 é 
a) 0 
b) 1 
c) sen(x) 
d) cos(x) 
e) tg(x) 
 
24. Considere a seguinte matriz ij 3X3A (a ) := 
2
2
2 1 log 8
1 2 4
3 log 4 1
 
 
− 
 
 
 
 
Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é 
a) 8. 
b) 9. 
c) 15. 
d) 24. 
 
25. Seja x um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a 
matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos são definidos por 
i ja i j.= − 
Sobre a equação em x definida por ( )det A xI x det A− = + é 
correto afirmar que 
a) as raízes são 0 e 
1
.
2
 
b) todo x real satisfaz a equação. 
c) apresenta apenas raízes inteiras. 
d) uma raiz é nula e a outra negativa. 
e) apresenta apenas raízes negativas. 
 
26. Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M: 
tM é a matriz transposta de M 
1M− é a matriz inversa de M 
det M é o determinante da matriz M 
 
Da equação t 1(X ) A (B C),− =  + em que A e (B C)+ são 
matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se que 
 
I. ( ) ( )
tt 11X A B C
−−  =  +
  
 
II. 
1
det X
det A det (B C)
=
 +
 
III. ( )1 t t tX B C A− = +  
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5 
São corretas 
a) apenas I e II 
b) apenas II e III 
c) apenas I e III 
d) I, II e III 
 
27. Considerando que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e 
inversível, se 2det(3A) det(A ),= então det(A) é igual a: 
a) 9 
b) 0 
c) 3 
d) 6 
e) 27 
 
28. Se TA e 1A− representam, respectivamente, a transposta e a 
inversa da matriz 
2 3
A ,
4 8
 
=  
 
 então o determinante da matriz 
T 1B A 2A−= − é igual a: 
a) 
111
2
−
 
b) 
83
2
−
 
c) 166− 
d) 
97
2
 
e) 62 
 29. Considere a matriz 
1 a 1
M b 1 a ,
1 b 1
 
 
=  
 
 
 onde a e b são números 
reais distintos. Podemos afirmar que 
a) a matriz M não é invertível. 
b) o determinante de M é positivo. 
c) o determinante de M é igual a 2 2a b .− 
d) a matriz M é igual à sua transposta. 
 
30. Uma matriz quadrada P (aij)= é simétrica quando aij aji.= Por 
exemplo, a matriz 
2 3 5
3 7 4
5 4 1
− 
 
−
 
  
 é simétrica. 
Se a matriz 
x y x y xy
M 1 y x 2y
6 x 1 1
+ − 
 
= −
 
 + 
 é simétrica, pode-se afirmar 
corretamente que o determinante de M é igual a 
a) – 1. 
b) – 2. 
c) 1. 
d) 2. 
 
Gabarito: 
 
1. D 
2. A 
3. D 
4. B 
5. A 
6. D 
7. C 
8. B 
9. B 
10. D 
11. A 
12. B 
13. A 
14. E 
15. B 
16. D 
17. A 
18. E 
19. D 
20. 01 + 04 = 05. 
21. B 
22. C 
23. B 
24. C 
25. C 
26. D 
27. E 
28. B 
29. B 
30. B