CBMERJ 2020 - GEOMETRIA - MÓDULO 06 - 1 EQ

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GEOMETRIA MÓDULO 06 CBMERJ 
 
 
 
1 
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questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
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Relações Métricas 
 
Relações Métricas em um Triângulo Retângulo 
 
Esse tipo de triângulo apresenta propriedades e características muito 
relevantes. Faremos o estudo das relações entre as medidas dos lados 
do triângulo retângulo. 
 
Todo triângulo retângulo é composto por dois catetos e uma hipotenusa. 
A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo e está oposto ao 
ângulo reto. 
A perpendicular à BC, traçada por A, é a altura h, relativa à hipotenusa do 
triângulo. 
 
 
 
BH = n e CH = m são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
 
 
 
Os três triângulos são semelhantes 
 
ABC  ABH  AHC 
 
Da semelhança de triângulos obtemos as seguintes relações: 
 
c b a
= =
h m b
 
 
Daí segue que: 
 
b2 = am e ah = bc 
 
Temos, também, as seguintes relações: 
 
2
2
a c
= c = an
c n
h m
= h =mn
n h
→
→
 
E a mais famosa das relações métricas no triângulo retângulo: 
 
a2 = b2 + c2 
Que é o teorema de Pitágoras. 
Observe que temos cinco relações métricas no triângulo retângulo: 
1) b2 = am 
2) ah = bc 
3) c2 = na 
4) h2 = mn 
5) a2 = b2 + c2 
 
Consequências do Teorema de Pitágoras 
 
1. A diagonal do quadrado 
A diagonal do quadrado mede o comprimento do seu lado, multiplicado 
por 2 . 
 
 
2 2 2d = l + l 
2 2d = 2l 
d= l 2 
 
 
2. Altura do Triângulo Equilátero 
A altura de um triângulo equilátero mede a metade do comprimento do 
seu lado, multiplicado por 3 . 
 
 
 
 
 
2
2 2Lh + = L
2
 
2
2 Lh = L -
4
 
3
h = L
2
 
 
 
Exercícios 
 
1. Uma pessoa empurrou um carro por uma distância de 26 m, aplicando 
uma força F de mesma direção e sentido do deslocamento desse carro. O 
gráfico abaixo representa a variação da intensidade de F, em newtons, em 
função do deslocamento d, em metros. 
 
 
 
Desprezando o atrito, o trabalho total, em joules, realizado por F, equivale 
a: 
a) 117 b) 130 c) 143 d) 156 
 
2. Na figura a seguir, estão representados o triângulo retângulo 
ABC e os retângulos semelhantes I, II e III, de alturas h1, h2 e h3 
respectivamente proporcionais às bases BC , AC e AB . 
 
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2 
 
 
Se AC 4m= e AB 3m= , a razão 2 3
1
4h + 3h
h
 é igual a: 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 
 
 
3. Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo 
quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel. 
 
 
 
As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha 
utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a 
área total da pipa. 
Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos 
ˆABC e ˆADC são retos. 
Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, 
determine o comprimento total da linha, representada por 
AB BC CD DA.+ + + 
 
4. 
 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus 
de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a 
a) 1,8 m c) 2,0 m e) 2,2 m 
b) 1,9 m d) 2,1 m 
5. Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 m à 
sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, 
entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e 
quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12 
m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio 
do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância 
mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da 
bola será de: 
 
 
 
a) 18,8 m c) 19,6 m e) 20,4 m 
b) 19,2 m d) 20 m 
 
6. Um famoso rei, de um reino bem, bem distante, decide colocar um 
tampo circular para servir de mesa no salão de reunião. A porta de 
entrada do salão tem 1 metro de largura por 2,4 metros de altura. 
Qual o maior diâmetro que pode ter o tampo circular da mesa para passar 
pela porta do salão? (Dica: o círculo pode passar inclinado). 
a) 2,5 m c) 3,0 m e) 2,4 m 
b) 2,8 m d) 2,6 m 
 
7. Calcule o valor de m na figura: 
 
 
 
Onde C é o centro do círculo de raio 10. 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
8. Diante da atual crise de mobilidade pela qual passam os moradores 
de sua cidade, Carlos decidiu ir trabalhar sempre a pé, fazendo a 
trajetória descrita na figura a seguir. 
 
 
 
Ao constatar que caminhava uma distância longa até o trabalho, certo 
dia pensou: 
– Se eu fizesse esse caminho em linha reta, quantos metros a menos 
caminharia? 
 
Assinale a alternativa que responde à pergunta de Carlos 
a) 230 m c) 160 m e) 325 m 
b) 150 m d) 250 m 
 
9. Um triângulo tem lados medindo 1cm, 2cm e 2,5cm. Seja h a medida da 
altura relativa ao maior lado. 
 
O valor de h2 expresso em cm2 é, aproximadamente, igual a 
a) 0,54 c) 0,58 e) 0,62 
b) 0,56 d) 0,60 
 
10. Na figura abaixo, temos um trapézio retângulo cujas bases 
medem 9 cm e 12 cm e cujo lado não perpendicular às bases mede 
5 cm. 
 
 
 
Qual o perímetro, em cm, desse trapézio? 
a) 26 c) 30 e) 48 
b) 29 d) 31 
 
11. Se em um triângulo os lados medem 9, 12 e 15 cm, então a altura 
relativa ao maior lado mede: 
a) 8,0 cm 
b) 7,2 cm 
c) 6,0 cm 
d) 5,6 cm 
e) 4,3 cm 
 
 
 
 
 
12. No triângulo da figura a seguir, o valor de x é: 
 
 
a) 6 c) 8 e) 10 
b) 7 d) 9 
 
13. O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de altura é 18 cm. 
Os lados desse triângulo em cm são: 
a) 7, 7, 4 c) 6, 6, 6 e) 3, 3, 12 
b) 5, 5, 8 d) 4, 4, 10 
 
14. Na figura, o raio da circunferência de centro O é 
25
cm
2
 e a 
corda MP mede 10 cm. 
 
 
 
A medida, em centímetros, do segmento PQ é 
a) 
25
2
 
b) 10 
c) 5 21 
d) 21 
e) 2 21 
 
15. Na figura abaixo, os segmentos de reta AB, BC, CD e DE são tais que 
AB é perpendicular a BC, BC é perpendicular a CD e CD é perpendicular a 
DE. 
 
 
As medidas de AB, BC, CD e DE são respectivamente, 3 m, 4 m, 1 m e 4 
m. 
Determine a medida do segmento AE. 
 
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4 
16. Qual a medida da maior altura de um triângulo de lados 3, 4 e 5? 
a) 
12
5
 c) 4 e) 
20
3
 
b) 3 d) 5 
 
17. Uma formiguinha encontra-se no ponto A de um cubo com 10 cm 
de aresta, conforme a figura abaixo. Ela tem a capacidade de se deslocar 
em qualquer região da superfície externa do cubo e deseja chegar ao 
ponto B. Para isso ela deverá percorrer a diagonal da face superior 
desse cubo, atingir o ponto C e, por fim, caminhar sobre a aresta até 
chegar em B. 
 
 
Qual a distância a ser percorrida por ela, em centímetros, nesse trajeto 
de A até B? 
a) 20 c) 30 e) 10 2 +2 10 
b) 10 +10 2 d) 10 +2 10 
 
18. No retângulo ABCD de lado AB 3 cm, BC 7cm,= = o 
segmento AP é perpendicular à diagonal BD. 
 
 
O segmento BP mede em cm: 
a) 
9
2
 c) 
9
4
 e) 
5
4
 
b) 
7
4
 d) 
3
4
 
 
19. Uma pessoa caminhou 5 km para o norte, 5 km para o leste e 7 km 
para o norte, novamente. A que distância ela está do seu ponto de 
partida? 
a) 5 km c) 20 km 
b) 13 km d) 27 km 
 
20. Num retângulo, o comprimento é 8 cm e a altura é 15 cm. Quanto se 
deve subtrair da altura e do comprimento a fim de diminuir em 4 cm a sua 
diagonal? 
a) 4 cm c) 2 cm e) 3 cm 
b) 5 cm d) 1 cm 
 
21. A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, 
mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 
7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros,iguais a 
a) 10, 15 e 20 d) 16, 21 e 26 
b) 12, 17 e 22 e) 18, 23 e 28 
c) 15, 20 e 25 
 
22. O lado de um quadrado mede 2 cm. Quanto mede sua diagonal? 
a) 2 cm c) 6 cm e) 2 2 cm 
b) 3 cm d) 2 3 cm 
 
23. A figura mostra o polígono ABCDEF, no qual dois lados consecutivos 
quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e a reta 
r. As medidas dos lados AB, BC, EF e FA são, respectivamente, 16 cm, 12 
cm, 6 cm e 8 cm. 
 
 
O perímetro do polígono ABCG, em cm, é 
a) 46 b) 48 c) 50 d) 52 
 
24. No plano cartesiano, está representada a circunferência de 
centro P e raio 2. 
 
 
 
O ponto Q da circunferência, que é o mais distante da origem, tem 
coordenadas iguais a: 
a) 
28 21
,
5 5
 
 
 
 
b) 
31 26
,
5 5
 
 
 
 
c) 
33 29
,
5 5
 
 
 
 
d) 
36 37
,
5 5
 
 
 
 
 
25. Barris de carvalho costumam ser usados para dar sabor a muitos 
tipos de vinho. Considere um desses barris, representado na ilustração 
abaixo. 
 
 
 
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5 
Um dos métodos usados para calcular o volume aproximado V desses 
barris, em litros, consiste em medir com uma vareta a distância interna 
x, em metros, do furo A, na metade da altura do barril, ao ponto C da 
base, situado no lado oposto. Em seguida, aplica-se fórmula 
3V 605 x=  litros. 
 
Admita um barril com as seguintes medidas: 
y 0,7 m; z 0,5 m; h 1,6 m.= = =
 
 
Calcule o volume aproximado, em litros, de vinho que pode ser 
armazenado nesse barril. 
 
26. Convenciona-se que o tamanho dos televisores, de tela plana e 
retangular, é medido pelo comprimento da diagonal da tela, expresso em 
polegadas. Define-se a proporção dessa tela como sendo o quociente do 
lado menor pelo lado maior, também em polegadas. Essas informações 
estão dispostas na figura a seguir. 
 
 
 
Suponha que Eurico e Hermengarda tenham televisores como dado na 
figura e de proporção 3 4. Sabendo que o tamanho do televisor de 
Hermengarda é 5 polegadas maior que o de Eurico, assinale a 
alternativa que apresenta, corretamente, quantas polegadas o lado maior 
da tela do televisor de Hermengarda excede o lado correspondente do 
televisor de Eurico. 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
27. Segundo historiadores da matemática, a análise de padrões 
como os ilustrados a seguir possibilitou a descoberta das triplas 
pitagóricas. 
 
 
 
Observe que os números inteiros 
2 23 , 4 e 
25 , representados 
respectivamente pelas 2ª, 3ª e 4ª figuras, satisfazem ao Teorema de 
Pitágoras. Dessa forma (3, 4, 5) é uma tripla pitagórica. 
Os quadrados representados pelas 4ª, 11ª e nª figuras determinam 
outra tripla pitagórica, sendo o valor de n igual a: 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
 
 
28. Uma peça circular de centro C e raio 12 cm está suspensa por 
uma corda alaranjada, perfeitamente esticada e fixada em P. Os pontos 
T e Q são de tangência dos segmentos retilíneos da corda com a peça, 
e a medida do ângulo agudo ˆTPQ é 60 . 
 
 
 
Desprezando-se as espessuras da corda, da peça circular e do gancho 
que a sustenta, calcule a distância de P até o centro C da peça. 
Adotando 3,1π = e 3 1,7= nas contas finais, calcule o 
comprimento total da corda. 
 
29. Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um 
hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. 
Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: 
a) 8 metros 
b) 10 metros 
c) 12 metros 
d) 14 metros 
e) 16 metros 
 
30. A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi 
construída uma casa. 
 
 
 
Sabe-se do quadrilátero ABEF que: 
• Seus ângulos ˆABE e ˆAFE são retos. 
• AF mede 9 m e BE mede 13 m. 
• o lado EF é 2 m maior que o lado AB . 
 
Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e 
EF? 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: 
Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas 
de madeira. As figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, 
bem como os detalhes das ligações entre as ripas, nos quais os 
parafusos são representados por círculos brancos. Note que cada ripa 
está presa à cerca por dois parafusos em cada extremidade. 
 
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6 
 
 
31. Para construir uma cerca com 300 m de comprimento, são 
necessários 
a) 1201,5 m de ripas. 
b) 1425,0 m de ripas. 
c) 2403,0 m de ripas. 
d) 712,5 m de ripas. 
 
32. Ao meio dia, a formiga A está 3 km a oeste da formiga B. A formiga 
A está se movendo para o oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo 
para o norte com a mesma velocidade. 
Qual a distância entre as duas formigas às 14h? 
a) 17 km 
b) 17 km 
c) 51 km 
d) 117 km 
e) 117 km 
 
33. Observe a figura a seguir, que representa um quadrado ABCD, de 
papel, no qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. Esse 
quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo. 
 
 
O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja 
base seja maior que a altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, 
resolve o problema proposto no jogo. 
 
Calcule a razão
PS
.
PQ
 
 
34. No ano de 1999, o Banco Central Espanhol emitiu uma moeda 
comemorativa de prata de 1.500 pesetas (unidade monetária 
espanhola em 1999), que tinha o formato de um octógono regular com 
1cm de lado. 
 
 
Um colecionador armazenará esta moeda em uma caixa de base 
quadrada. Para isso, precisará determinar a distância entre os vértices 
A e D da representação a seguir. 
 
 
 
Considerando 2 1,4,= a medida do segmento AD, em centímetros, 
que o colecionador precisará calcular é igual, aproximadamente, a 
a) 1,6. 
b) 2,0. 
c) 2,4. 
d) 3,0. 
 
35. (Uece 2019) A medida, em metros, do lado de um quadrado onde o 
comprimento de cada uma das diagonais é 2 m é igual a 
a) 2 2. 
b) 2. 
c) 
2
.
2
 
d) 3 2. 
 
36. Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor de n é 
 
a) 
22
3
 
b) 
16
3
 
c) 22 
d) 16 
 
37. No retângulo ABCD, o lado AB mede 4b e o lado BC mede 
3b. 
 
 
 
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7 
Sabendo-se que a medida do segmento AE é 
1
3
 da medida de AD, 
então, o perímetro do triângulo ACE é 
a) 16b. 
b) 46b. 
c) b(5 4 5).+ 
d) b(6 2 5).+ 
 
38. Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando 
papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = 
papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do 
origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem 
resolveu construir um cisne usando técnica do origami, utilizando uma 
folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a 
folha conforme a figura. 
 
 
 
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é 
a) 2 22 cm. 
b) 6 3 cm. 
c) 12 cm. 
d) 6 5 cm. 
e) 12 2 cm. 
 
39. O mapa abaixo mostra o posicionamento de três cidades – 
nomeadas de A, B e C – e as rodovias que as ligam e se cruzam 
perpendicularmente na cidade A. Em uma rodovia, a 60 km de 
distância de A, encontra-se a cidade B; na outra, a 80 km de A, 
encontra-se a cidade C. Um posto policial deve ser construído na 
rodovia que liga a cidade B até a C, conforme o desenho. 
 
 
 
Qual deve ser a distância do posto policial até a cidade B? 
a) 20 km 
b) 36 km 
c) 40 km 
d) 47 km 
 
40. Considere o quadrado ABCD, cujo lado mede 5 cm, e M um 
ponto sobre o círculo circunscrito a este quadrado, não coincidente com 
os vértices A, B, C e D, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
Qual o valor da soma 
2 2 2 2(MA) (MB) (MC) (MD) ?+ + + 
a) 10 
b) 10 2 
c) 50 
d) 50 2 
e) 100 
 
41. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e um dos 
catetosmede 9 cm. S é a soma dos senos dos ângulos agudos desse 
triângulo. Pode-se afirmar, corretamente, que 
a) 0 S 0,5.  
b) 0,5 S 1,0.  
c) 1,0 S 1,5.  
d) 1,5 S 2,0.  
 
42. Quando a dimensão da tela de uma TV é indicada em polegadas, tal 
valor se refere à medida da diagonal do retângulo que representa a tela. 
Considere uma TV retangular de 16 polegadas e outra de 21 
polegadas. Se as telas das duas TVs são retângulos semelhantes, então, 
a área da maior tela supera a da menor em, aproximadamente, 
a) 36%. 
b) 31%. 
c) 72%. 
d) 76%. 
e) 24%. 
 
43. Se a razão entre as medidas dos catetos de um triângulo 
retângulo é igual a 
1
,
2
 o valor do seno do menor dos ângulos internos 
desse triângulo é 
a) 
3
.
2
 
b) 
3
.
3
 
c) 
2
.
3
 
d) 
2
.
2
 
 
44. 
 
 
 
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8 
Na figura acima, o triângulo ABC é retângulo em C e sua área vale 
6, então o valor do ˆsenB é 
a) 
3
5
 
b) 1 
c) 
4
5
 
d) 
2
5
 
e) 
1
5
 
 
45. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 cm. Determine o 
valor da medida do cateto maior sabendo que o cateto menor mede 
5 cm. 
a) 6 cm. 
b) 8 cm. 
c) 10 cm. 
d) 11cm. 
e) 12 cm. 
 
46. A figura abaixo mostra uma rampa de acesso que foi construída 
adjacente a uma escada existente em uma das entradas de um prédio em 
uma escola. A rampa foi construída dentro das normas que regulam a 
inclinação de rampas para pessoas com necessidades especiais 
(cadeirantes e pessoas com mobilidade limitada). 
 
 
Para que a rampa fique dentro das normas são necessários mais alguns 
ajustes, como por exemplo a sinalização com piso tátil para deficientes 
visuais, em toda a sua extensão até a frente da porta. O custo do piso 
tátil instalado, de 1,20 m de largura, é 150 reais por metro. 
Para sinalizar a rampa, a escola gastará aproximadamente 
a) 1.780 reais. 
b) 1.785 reais. 
c) 1.790 reais. 
d) 1.795 reais. 
e) 1.805 reais. 
 
47. Na figura a seguir, os triângulos ABC e ABD são retângulos em 
A e D, respectivamente. Sabe-se que AC 15 cm,= AD 16 cm= 
e BD 12 cm.= 
 
 
A área do triângulo ABE é de 
a) 
2100 cm . 
b) 
296 cm . 
c) 
275 cm . 
d) 
260 cm . 
 
48. Pedrinho está brincando com duas moedas circulares com 
tamanhos diferentes e uma régua não graduada. Sabe-se que as moedas 
possuem raios iguais a 8 e 18 milímetros, respectivamente. Em certo 
momento ele posicionou as duas moedas tangentes à régua em dois 
pontos (A e B), e tangentes entre si, simultaneamente, conforme a 
figura a seguir: 
 
 
 
Nessas condições, o comprimento de AB seria igual a 
a) 26 mm. 
b) 24 mm. 
c) 22 mm. 
d) 20 mm. 
 
49. A turma de eletrônica está se formando e resolveu construir um 
projetor para utilizar na aula da saudade. Sofia conseguiu um lençol 
branco, cuja largura é equivalente a 8 15 do comprimento, para servir 
de tela, semelhante a uma televisão de 85 polegadas (medida da 
diagonal da tela). 
 
Sobre as dimensões deste lençol, é CORRETO afirmar que 
a) o comprimento é 36 polegadas maior que a largura. 
b) o comprimento é 30 polegadas maior que a largura. 
c) a largura é 45 polegadas menor que o comprimento. 
d) a largura é 32 polegadas maior que o comprimento. 
e) o comprimento é 35 polegadas maior que a largura. 
 
50. Observe o esquema a seguir, que representa certo trecho do Oceano 
Atlântico na costa brasileira. Um navio de pesquisas, situado 
inicialmente no ponto B, deve seguir rumo ao ponto C, em linha reta. 
Sabe-se que a distância BC é igual a 10 km. No ponto A encontra-
se uma ilha e o navio deve parar, na sua trajetória, em um ponto o mais 
próximo possível dessa ilha, para que uma equipe de biólogos siga em 
um barco auxiliar a fim de coletar algumas espécies de plantas nativas 
para análise. 
Considere que a região limitada por AB, AC e BC seja plana e que 
o ângulo BAC meça 90 . 
 
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9 
 
 
Se a distância do navio à ilha, ao iniciar sua trajetória em B, era de 
8 km, podemos afirmar que, nesse percurso, a menor distância do 
navio à ilha será igual a 
a) 5,2 km. 
b) 5,0 km. 
c) 4,8 km. 
d) 3,6 km. 
 
Gabaritos 
 
1. D 
2. A 
3. AB+BC +CD+DA = 2×30+2×40 = 140cm. 
4. D 
5. B 
6. D 
7. B 
8. C 
9. C 
10. C 
11. B 
12. B 
13. B 
14. E 
15. AE = 4 5 m 
16. C 
17. B 
18. C 
19. B 
20. E 
21. C 
22. A 
23. C 
24. A 
25. 605 L 
26. C 
27. B 
28. 20,4 cm/ 90,4 cm 
29. B 
30. 23 cm 
31. A 
32. D 
33. 5 
34. C 
35. B 
36. B 
37. D 
38. D 
39. B 
40. E 
41. C 
42. C 
43. B 
44. A 
45. E 
46. E 
47. C 
48. B 
49. E 
50. C