MÓDULO 16 - GEOMETRIA - CBMERJ - 1 EQ

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GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
1 
Todas os exercícios da apostila que tiverem essa câmera , estão 
gravados em vídeo para você. Nossos professores resolveram as 
questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
Muitas questões trazem dicas preciosas. Não deixe de assistir aos 
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Introdução a Geometria Analítica 
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma 
correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um 
único número real e vice-versa. 
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita 
(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento 
u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos 
determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u: 
 
Medida algébrica de um segmento 
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais 
xA e xB , temos: 
 
A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que 
corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem 
desse segmento. 
 
Plano cartesiano 
A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês 
René Descartes (1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos 
associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um 
par ordenado e vice-versa. 
 
Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa 
correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano 
cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( 
ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), 
podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar 
algebricamente representações gráficas. 
Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
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2 
Distância entre dois pontos 
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, 
temos: 
 
 
Ponto médio de um segmento 
Consideremos num plano cartesiano dois pontos A(xA; yA) e B(xB;yB) 
extremidades do segmento AB cujo ponto médio é M(xM; yM) 
 
Podemos observar que: 
 
 
Baricentro de um triângulo 
 
Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos 
médios dos lados, AB, BC e AC respectivamente. Portanto, AN, BP e CM 
são as medianas desse triângulo: 
 
Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um 
triângulo. 
Da geometria plana, sabemos que o baricentro G de um triângulo é o 
encontro das três medianas e as divide numa razão de 2 para 1, sendo o 
segmento maior o que possui extremidade no vértice do triângulo. Seja 
o triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são respectivamente: 
A(xa , ya), B(xb , yb) e C(xc , yc). Seja o ponto médio referente ao lado BC 
representado por D(xd , yd). Sejam as coordenadas do baricentro 
representado por G(xg , yg). 
 
O ponto médio de um segmento é dado pela semissoma de suas 
coordenadas. Assim, as coordenadas do ponto médio do segmento BC 
são dadas por: 
 
Como o ponto G divide uma mediana numa razão de 2:1, temos a relação 
referente à mediana ao lado BC. 
 
 
 
 
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Considerando as abscissas dos pontos A, G e D e a relação (2), temos 
que: 
 
 
 
 
 
Substituindo a relação (1) em (3), obtemos: 
 
 
 
Analogamente para o cálculo yg. 
 
Reta 
 
Equação da Reta 
Uma reta é uma sucessão de pontos numa mesma direção. A equação 
de uma reta descreve analiticamente esse objeto geométrico. 
 
Equação reduzida da reta 
 
y = mx + n 
 
Coeficiente Linear 
O coeficiente linear n da reta r é definido como o ponto em que a reta 
intercepta o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n). 
 
Coeficiente Angular 
Para isso associamos um número m, que é chamado de coeficiente 
angular da reta, tal que: 
 
m = tg θ 
 
O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se 
dois pontos pertencentes a reta. 
 
 
 
Como m = tg θ, então: 
 
 
 
Equação segmentária da Reta 
 
 
com a e b ≠ 0, onde a é a abscissa do ponto de intersecção da reta com o 
eixo x e b é a ordenada do ponto de intersecção com o eixo y. 
 
Equação geral da Reta 
 
Ax + By + C = 0 
 
Onde 
 
 
 
Posição relativa entre duas Retas 
Existem três posições relativas entre duas retas: 
Paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes 
angulares forem iguais. 
r // s <=> mr = ms 
Coincidentes: duas retas serão iguais se, e somente se, seus 
coeficientes angulares e seus coeficientes lineares forem iguais. 
Concorrentes: duas retas serão concorrentes se seus coeficientes 
angulares forem diferentes. 
 
No caso de elas serem concorrentes, pode ainda acontecer de serem 
perpendiculares. Neste caso: 
ma.mb = –1 
Onde ma é o coeficiente angular da reta a e mb é o coeficiente angular 
da reta b. 
 
Condição de Alinhamento 
Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma 
reta. 
 
 
Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a 
construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas 
coordenadas posicionais. 
Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo 
do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das 
coordenadas. 
 
 
Exemplo 1 
Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão 
alinhados. 
 
 
 
 
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Distância entre Ponto e Reta 
Dadas uma reta r de equação ax+by+c = 0 e um ponto P(x0,y0), a distância 
do ponto P à reta r é dada pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Ângulo entre duas Retas 
Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas 
oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas 
retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo 
α é tal que: 
 
 
 
Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, 
respectivamente. 
 
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α 
formado entre elas é tal que: 
 
 
Exemplo 1: Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y 
= – 2x + 8. 
Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das 
retas dadas. 
Para a reta r, temos: 
y = 3x + 4 
mr = 3 
Para a reta s, temos: 
y = – 2x + 8 
ms = – 2 
 
Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos: 
 
 
Área de polígonos 
A geometria analítica também possui seus artifícios para o cálculo da 
área de um triângulo, nesse caso é necessário que saibamos as 
coordenadas de seus três vértices para que o triângulo possa ser 
representado em um plano cartesiano. 
Considere o triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja a sua 
representação em um plano cartesiano: 
 
 
 
A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de 
um triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado 
pelo determinante dos vértices dividido por dois. 
A = |D|/2 
 
Onde D = . 
 
Exemplos: A área de um triângulo é 25/2 e seus vértices são (0,1), (2,4) 
e (-7,k). Nesse caso qual será o possível valor de k? 
 
Sabemos que a área A = |D|, portanto é preciso que encontremos o valorde D. 
 
D = 
 
D = -7 + 2k + 28 -2 
D = 2k + 19 
 
 
 
 
 
 
 
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Substituindo a fórmula teremos: 
 
A = |D| 
 2 
 
25= 2k + 19 
 2 2 
 
25 = 2k + 19 
25 – 19 = 2k 
6 = 2k 
6:3 = k 
k = 3 
 
Circunferência no R2 
 
Equação reduzida da circunferência 
 
 
Equação geral da circunferência 
 
 
onde xc , yc são as coordenadas do centro da circunferência e R é o raio. 
 
 
 
a) Se d > R, o ponto é exterior à circunferência. 
b) Se d = R, o ponto pertence à circunferência. 
c) Se d < R, o ponto está no interior da circunferência. 
 
 
 
a) Se d > R, a reta é exterior à circunferência. 
b) Se d = R, a reta pertence à circunferência. 
c) Se d < R, a reta está no interior da circunferência. 
 
Observação: 
 
 
a) Se ∆ > O, a reta é secante pois tem 2 soluções. 
b) Se ∆ = O, a reta é tangente pois tem apenas uma solução 
c) Se ∆ < O, a reta é exterior pois não tem nenhuma solução 
 
 
Exercícios 
 
1. No projeto de construção de uma estrada retilínea entre duas vilas, 
foi escolhido um sistema referencial cartesiano em que os centros das 
vilas estão nos pontos A (1,2) e B (11,7). O trecho AB é atravessado por 
um rio que tem seu curso em linha reta, cuja equação, nesse sistema, é x 
+ 3y = 17. Observe abaixo o esboço do projeto. 
 
 
 
Desprezando as larguras da estrada e do rio, determine as coordenadas 
do ponto de interseção I. 
 
2. O gráfico abaixo representa a evolução populacional de Porto Alegre 
entre os anos de 1992 e 2010. 
 
 
 
Considerando as seguintes retas: r, determinada pelos pontos A e B; s, 
pelos pontos B e C; t, pelos pontos C e D; e u, pelos pontos D e E, cujos 
coeficientes angulares são, respectivamente, ar, as, at e au, é correto 
afirmar que 
a) r u t sa a a a   
b) r u s ta a a a   
c) u r t sa a a a   
d) u r s ta a a a   
e) u t r sa a a a   
 
3. Um sítio foi adquirido por R$ 200.000,00 O proprietário verificou que a 
valorização do imóvel, após sua aquisição, cresceu em função do tempo 
conforme o gráfico, e que sua tendência de valorização se manteve nos 
anos seguintes. 
 
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O valor desse sítio, no décimo ano após sua compra, em real, será de 
a) 190.000 
b) 232.000 
c) 272.000 
d) 400.000 
e) 500.000 
 
4. Dois amigos caminham no plano xy, ao longo de retas paralelas, 
cujas equações são 2x + 5y = 7 e 3x + my = 1. Então, o valor de m é 
a) 
11
2
 d) 
17
2
 
b) 
13
2
 e) 
19
2
 
c) 
15
2
 
 
5. Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados 
ficam expostos a riscos de acidentes. Essa região está representada pela 
porção de cor cinza (quadrilátero de área S) na figura. 
 
Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área 
isolada, cartazes informativos serão afixados por toda a fábrica. Para 
confeccioná-los, programador utilizará um software que permite 
desenhar essa região a partir de um conjunto de desigualdades 
algébricas. 
As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o 
desenho da região de isolamento, são 
a) 3y x 0; 2y x 0; y 8; x 9−  −    
b) 3y x 0; 2y x 0; y 9; x 8−  −    
c) 3y x 0; 2y x 0; y 9; x 8−  −    
d) 4y 9x 0; 8y 3x 0; y 8; x 9−  −    
e) 4y 9x 0; 8y 3x 0; y 9; x 8−  −    
 
6. Na figura estão representadas, em um plano cartesiano, duas 
circunferências: C1 (de raio 3 e centro O1), e C2 (de raio 1 e centro O2), 
tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas circunferências nos pontos 
P e Q. 
Nessas condições, a equação da reta t é 
a) y 3x 3 3= − + d) 
2
y x 4
3
= − + 
b) 3y x 3 3
3
= − + e) 
4
y x 4
5
= − + 
c) y x 4= − + 
 
7. Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A = (6,13) 
e C = (12,5). 
 
 
a) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto M (ponto médio 
de AC) e pelo ponto P (1,1),= justificando sua resposta. 
b) Determine a medida do lado do quadrado ABCD, justificando sua 
resposta. 
c) Aumentando em 50 por cento o comprimento dos lados do quadrado 
ABCD em que porcentagem a área da nova figura será aumentada em 
relação à área do quadrado original? Justifique sua resposta. 
 
8. No final do ano de 2005, o número de casos de dengue registrados em 
certa cidade era de 400 e, no final de 2013, esse número passou para 560 
Admitindo-se que o gráfico do número de casos registrados em função 
do tempo seja formado por pontos situados em uma mesma reta, é 
CORRETO afirmar que, no final de 2015, o número de casos de dengue 
registrados será igual a: 
a) 580 
b) 590 
c) 600 
d) 610 
 
9. Sejam r e s as retas de equações y = x – 2 e y = – x/2 + 5/2, 
respectivamente, representadas no gráfico abaixo. Seja A o ponto de 
interseção das retas r e s. Sejam B e C os pontos de interseção de r e s 
com o eixo horizontal, respectivamente. 
 
 
 
A área do triângulo ABC vale: 
a) 1,0 d) 4,5 
b) 1,5 e) 6,0 
c) 3,0 
 
 
 
 
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10. Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilíneo cujos 
pontos são equidistantes dos centros A e B de dois municípios. Em seu 
projeto de construção, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas 
em quilômetros, em que A = (1,2) e B = (7,14). Observe o gráfico: 
 
 
 
Determine, utilizando esse sistema referencial, a equação da reta suporte 
desse trecho retilíneo da ferrovia. 
 
11. O retângulo ABCD tem um lado sobre o eixo x e um lado sobre o 
eixo y como mostra a figura. A área do retângulo ABCD é 15 e a medida 
do lado AB é 5. A equação da reta que passa por D e por B é: 
 
 
 
a) y 5x 3= − + 
b) y 3x 5= + 
c) y 3x 5= − + 
d) 
3x
y 3
5
−
= + 
e) 
3x
y 3
5
= + 
 
12. O retângulo ABCD tem um lado sobre o eixo x e um lado sobre o eixo 
y, como mostra a figura. A área do retângulo ABCD é 15, e a medida do 
lado AB é 5. 
 
A equação da reta que passa por A e por C é: 
a) y 3x= d) 
3
y x
5
= 
b) y 3x= − e) 
5
y x
3
= 
c) y 5x= 
13. O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = (4, 
5), B = (4, 0) e C = (c, 0). 
 
 
 
A equação da reta r que passa pelos vértices A e C é: 
a) x 7= − +y 
b) 
x
5
3
= − +y 
c) 
x
5
2
= − +y 
d) 
x
7
2
= − +y 
e) 
x
7
3
= +y 
 
14. A equação que representa a reta na figura abaixo é _________. 
 
a) y = x 
b) y = – x + 1 
c) y = – x – 1 
d) y = x – 1 
e) y = x + 1 
 
15. Uma família deseja realizar um jantar comemorativo de um casamento e 
dispõe para isso de um salão de festas de um clube, onde a área disponível 
para acomodação das mesas é de 500 m2. As 100 mesas existentes no salão 
encontram-se normalmente agrupadas duas a duas, comportando 6 
cadeiras. A área de cada mesa é de 1 m2 e o espaço necessário em torno 
deste agrupamento, para acomodação das cadeiras e para circulação, é de 6 
m2. As mesas podem ser dispostas de maneira isolada, comportando 4 
pessoas cada. Nessa situação, o espaço necessário para acomodação das 
cadeiras e para circulação é de 4 m2. O número de convidados previsto para 
o evento é de 400 pessoas. Para poder acomodar todos os convidados 
sentados, com as mesas existentes e dentro da área disponível para 
acomodação das mesas e cadeiras, como deverão ser organizadas as 
mesas? 
a) Todas deverão ser separadas. 
b) Todas mantidas no agrupamento original de duas mesas. 
c) Um terço das mesas separadas e dois terços agrupadas duas a duas. 
d) Um quarto das mesas separadas e o restante em agrupamento de 
duas a duas. 
e) Sessenta por cento das mesas separadas e quarenta por cento 
agrupadas duas a duas. 
 
16. Os procedimentos de decolagem e pouso de uma aeronave são os 
momentos mais críticos de operação, necessitando de concentração 
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total da tripulação e da torre de controledos aeroportos. Segundo 
levantamento da Boeing, realizado em 2009, grande parte dos acidentes 
aéreos com vítimas ocorre após iniciar-se a fase de descida da aeronave. 
Desta forma, é essencial para os procedimentos adequados de 
segurança monitorar-se o tempo de descida da aeronave. A tabela 
mostra a altitude y de uma aeronave, registrada pela torre de controle, t 
minutos após o início dos procedimentos de pouso. 
 
tempo t 
(em 
minutos) 
0 5 10 15 20 
altitude y 
(em 
metros) 
10000 8000 6000 4000 2000 
 
 
Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y 
e t é linear. 
Disponível em www.meioaereo.com. 
De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por 
a) y = – 400t 
b) y = – 2000t 
c) y = 8000 – 400t 
d) y = 10000 – 400t 
e) y = 10000 – 2000t 
 
17. A figura abaixo representa a superfície plana de uma mesa retangular 
BFGH na qual estão apoiados os seguintes instrumentos para desenho 
geométrico, ambos de espessuras desprezíveis: 
– um transferidor com a forma de um semicírculo de centro O e diâmetro 
AB; 
– um esquadro CDE, com a forma de um triângulo retângulo isósceles. 
 
 
 
Considere as informações abaixo: 
ED está contido em BF; 
OA está contido em BH; 
AB = 10 cm; 
BD = 13 cm. 
Calcule a medida, em centímetros, do menor segmento que liga a borda 
do transferidor à borda do esquadro. 
 
18. Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de 
que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu 
formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o 
tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A 
expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é 
(5 – x) (3 – y). 
 
 
 
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será 
expressa por: 
a) 2xy 
b) 15 – 3x 
c) 15 – 5y 
d) –5y – 3x 
e) 5y + 3x – xy 
 
19. Sabedoria egípcia 
Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão 
provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de 
vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao 
meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de 
tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até 
perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as 
mais curtas, com dias quentes. 
(Adaptado de Revista "Gal i leu", janeiro de 2001.) 
 
 
Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, 
utilizando uma vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do 
inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. 
Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas 
cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) 
continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a 
vareta e a sombra que ela determinava no chão. 
Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que 
contém o segmento AB: 
a) y = 8 - 4x 
b) x = 6 - 3y 
c) x = 8 - 4y 
d) y = 6 - 3x 
 
20. Sejam os pontos A = (a, 1) e B = (0, a). Sabendo que o ponto médio 
do segmento AB pertence à reta x + y = 7, calcule o valor de a. 
 
21. Considere os pontos A = (0, 6) e B = (12, 0). Tomamos um ponto P 
sobre o segmento de reta AB Considere o retângulo R com um vértice na 
origem, um vértice em P e lados sobre os eixos x e y, conforme a figura 
a seguir. 
 
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a) Encontre a equação da reta r que passa pelos pontos A e B. 
b) Sejam (x, y) as coordenadas do ponto P. Escreva, em função apenas 
de x, uma fórmula para a área do retângulo R. 
c) Qual é a maior área possível para o retângulo R? 
 
22. A representação geométrica das retas r e s encontra-se desenhada 
no sistema de coordenadas cartesianas na imagem a seguir. 
 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o sistema de equações lineares 
que pode representar as retas r e s da imagem acima. 
a) 
2x 3y 4
5x 5y 1
− + =

+ =
 
b) 
x y 2
x y 1
− − =

+ =
 
c) 
x y 4
x y 6
− + =

+ =
 
d) 
x 2y 3
x y 6
− + =

+ =
 
e) 
x y 2
x y 0
− =

+ =
 
 
23. Considere a reta de equação 4x – 7y + 10 = 0. Seja y = mx + h a 
equação da reta obtida ao se fazer a reflexão da reta dada em relação 
ao eixo –x. 
O valor de m + h é: 
a) 10
11
− d) 7− 
b) 10
7
− e) 10− 
c) 2− 
 
 
 
 
24. Os pontos (0, 1),− (1, 2) e (3, k) do plano são colineares. 
O valor de k é igual a 
a) 0 
b) 2 
c) 2− 
d) 8 
e) 8− 
 
25. A equação da reta que passa pelos pontos A e B da figura abaixo 
é dada por: 
 
 
 
a) 2y 7x 11− = 
b) 2x 7y 11− = − 
c) 2x 7y 11− = 
d) 2x 3y 5− = − 
e) 2x 3y 1− = 
 
26. Os pontos A, B, C, D, E e F determinam um hexágono regular 
ABCDEF de lado 1, tal que o ponto A tem coordenadas (1, 0) e o 
ponto D tem coordenadas ( 1, 0),− como na figura abaixo. 
 
A equação da reta que passa pelos pontos B e D é 
a) y 3x.= 
b) 
3 3
y x .
3 3
= + 
c) 
3 3
y x .
2 2
= + 
d) 
3 3
y x .
3 3
= − 
e) 
3 3
y x .
2 2
= − 
 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
 
10 
27. Considere a reta r de equação y 2x 1.= + Qual das retas abaixo é 
perpendicular à reta r e passa pelo ponto P (4, 2)?= 
a) 
1
y x
2
= 
b) y 2x 10= − + 
c) 
1
y x 5
2
= − + 
d) y 2x= − 
e) 
1
y x 4
2
= − + 
 
28. A equação da mediatriz do segmento que une os pontos 
P (1, 2)= − e Q (5, 4)= é 
a) 2x 3y 9 0+ − = 
b) 2x 3y 9 0− + = 
c) 2x 3y 3 0− − = 
d) 3x 2y 7 0− − = 
e) 3x 2y 11 0+ − = 
 
29. Considerando que as três retas no plano xy dadas pelas equações 
y 2 4x,= − x 4y 3 0+ − = e y 2b 3x= − interceptam-se num 
ponto P, pode-se afirmar que o valor de b é 
a) 
2
3
 
b) 
1
6
 
c) 
1
3
 
d) 
5
6
 
e) 
5
3
 
 
30. Sobre a figura abaixo, sabe-se que a equação de r é 2y = x – 3, 
que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo das abscissas; 
que as retas r e s são paralelas; e que t é perpendicular a r. 
 
Nessas condições, a equação da reta t é 
a) y 2x 6= − + 
b) 
1
y x 6
2
= − + 
c) 2y x 6= − + 
d) y 2x 3+ = 
e) 
x 6
y
2
−
= 
31. Considerando as retas y 5x 12= + e y ax 4= + que se 
interceptam no ponto A ( 1, b)− os valores de a e b são 
respectivamente: 
a) 5− e 1− 
b) 3− e 7 
c) 1− e 7 
d) 4 e 8 
 
32. A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0,1) e 
B(6, 8) é dada por 
a) y 7x 1= + 
b) y 6x 1= + 
c) 
7
y x 1
6
= + 
d) 
6
y x 1
7
= + 
 
33. A figura abaixo mostra a planta de um terreno retangular de vértices 
A, B, C e D, representada no plano cartesiano. A altitude h (em 
metros) de cada ponto (x, y) desse terreno, em relação a um plano 
horizontal adotado como referência, pode ser obtida pela função 
(x 2) (40 y)
h .
80
+  −
= 
 
 
A maior altitude que um ponto localizado sobre a diagonal AC poderá ter 
é igual a: 
a) 1,70 m 
b) 1,85 m 
c) 1,90 m 
d) 1,75 m 
e) 1,80 m 
 
34. A reta s que passa por P (1, 6) e é perpendicular a 
2
r : y x 3
3
= + é 
a) 
3
y x
2
= 
b) y x 5= + 
c) 
2 20
y x
3 3
= − + 
d) 
3 15
y x
2 2
= − + 
 
 
 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
11 
35. Qual é a medida da área do triângulo destacado na figura abaixo? 
 
 
a) 
1
2
 d) 
4
5
 
b) 
1
3
 e) 
5
4
 
c) 
3
4
 
 
36. A equação da reta r que passa pelo ponto (16,11) e que não 
intercepta a reta de equação 
x
y 5
2
= − é 
a) 
x
y 8
2
= − 
b) 
x
y 11
2
= + 
c) 
x
y 3
2
= + 
d) y x 8= − 
e) y x 3= + 
 
37. A equação da reta que passa pelos pontos A( 1, 2)− e B(0, 4)− 
pertencentes ao plano cartesiano pode ser representada por 
a) 6x y 4 0.+ += 
b) 6x y 4 0.− − − = 
c) x 6y 4 0.+ + = 
d) 6x y 4 0.+ − = 
e) 6x y 4 0.− + = 
 
38. O polígono ABCD na figura abaixo, indica o trajeto de uma maratona 
realizada em uma cidade, sendo que as coordenadas estão 
representadas no sistema de eixos cartesianos abaixo. A reta que passa 
pelos pontos A e C, vértices desse polígono, possui coeficiente linear 
igual a 
 
 
a) 0 d) 
4
5
 
b) 
2
3
 e) 1 
c) 
3
4
 
 
39. O gráfico abaixo é formado por 3 segmentos de retas consecutivos. 
 
Sabe-se que: 
I. A reta que contém o segmento AB tem coeficiente linear igual a 4. 
II. O coeficiente angular do segmento BC vale metade do coeficiente 
angular do segmento AB. 
III. A ordenada do ponto D é 2/3 da ordenada do ponto C. 
IV. O coeficiente angular do segmento CD é igual a –1. 
Podemos concluir que a abscissa do ponto D vale: 
a) 17 
b) 19 
c) 15 
d) 18 
e) 16 
 
40. A figura mostra a localização no plano cartesiano de uma torre T de 
transmissão de energia. 
 
 
 
Duas outras torres devem ser instaladas em posições diferentes sobre a 
reta 
3
y x 5,
4
= − de modo que a distância entre cada uma dessas torres 
e a torre T seja igual a 200 metros. 
Os pontos de localização dessas torres são iguais a 
a) (20,10) e (160,315). 
b) (0, 5)− e (320,235). 
c) (0, 5)− e (160,315). 
d) ( 40,115)− e (320,235). 
e) ( 40,115)− e (160,315). 
 
 
 
 
41. O ponto simétrico do ponto (1, 5) em relação à reta de equação 2x + 
3y – 4 = 0 é o ponto 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
 
12 
a) ( )3, 1 .− − 
b) ( )1, 2 .− − 
c) ( )4,4 .− 
d) ( )3,8 . 
e) ( )3,2 . 
 
42. Seja f a função que representa a área do triângulo ABC, 
representado na figura. 
 
A expressão da função f(x), para 0 x 4,  é: 
a) 2
3
f(x) x 6x 12
4
= − + 
b) f(x) 3x 12= − + 
c) 3 2f(x) x 3x x 12= − + + + 
d) 3 2f(x) x 5x 4x 12= − + + 
e) 2f(x) x 8x 16= − + − 
 
43. No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intercepta o 
eixo y em um ponto de ordenada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, 
intercepta o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s 
interceptam-se em um ponto de abscissa 6, então 
a) b a.= 
b) b a 9.= − 
c) b a 6.= − 
d) b a 9.= + 
e) b a 6.= + 
 
44. No pentágono representado no sistema de coordenadas cartesianas 
abaixo, os vértices possuem coordenadas inteiras. 
 
As retas suporte dos lados AE e BC interceptam-se no ponto 
a) 
4
5, .
3
 
 
 
 d) 
5
5, .
4
 
 
 
 
b) 
5
5, .
2
 
 
 
 e) 
6
5, .
5
 
 
 
 
c) 
5
5, .
3
 
 
 
 
 
45. No plano cartesiano, a reta de equação 2x – 3y = 12 intercepta os 
eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB 
tem coordenadas 
a) 
4
4, .
3
 
 
 
 
b) (3, 2) 
c) 
4
4, .
3
 
− 
 
 
d) (3, 2).− 
 
46. A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, um quadrilátero com 
vértices situados nos pontos de coordenadas 
A ( 5, 0), B(5, 0), C(4, 3)= − e D ( 3, 4).= − 
 
 
 
a) Determine a área desse quadrilátero. 
b) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A e é 
perpendicular à reta que passa pelos pontos B e C. 
 
47. Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos 
coordenados, pela reta r, que passa por A(0, 4) e B(2, 0), e pela reta 
perpendicular ao eixo x no ponto oP(x ,0), sendo o0 x 2.  
 
 
 
Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices 
C(0, 0), A e B, o valor de ox deve ser igual a: 
a) 2 2− 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
13 
b) 3 2− 
c) 4 2− 
d) 5 2− 
 
48. Os pontos A(0,1), B(1,1), C(1, 0) e D( k, k),− − com k 0, 
formam o quadrilátero convexo ABCD, com eixo de simetria sobre a 
bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
 
 
O valor de k para que o quadrilátero ABCD seja dividido em dois 
polígonos de mesma área pelo eixo y é igual a 
a) 
2 5
.
4
+
 
b) 
3 2
.
4
+
 
c) 
1 2
.
2
+
 
d) 
1 3
.
2
+
 
e) 
1 5
.
2
+
 
 
49. A equação da mediatriz do segmento que une os pontos 
P (1, 2)= − e Q (5, 4)= é 
a) 2x 3y 9 0+ − = 
b) 2x 3y 9 0− + = 
c) 2x 3y 3 0− − = 
d) 3x 2y 7 0− − = 
e) 3x 2y 11 0+ − = 
 
50. Qual é a medida da área do quadrilátero limitado pelas retas 
(r) y 4;= (s) 3x y 2 0;− − = (t) y 1= e 
(u) 3x 2y 20 0?+ − = 
a) 7,5 
b) 9,0 
c) 10,5 
d) 11 
e) 12 
 
51. Os pontos do plano cartesiano que atendem às condições 
0 x 4, 0 y 3    e x y 2+  simultaneamente, formam uma fi-
gura plana cuja área é igual a: 
a) 14 
b) 16 
c) 12 
d) 10 
e) 8 
 
52. Considere a figura abaixo, onde um quadrado está representado no 
primeiro quadrante do plano xy. 
 
 
 
Para que uma reta da forma y x m= + não intercepte qualquer ponto 
do quadrado, devemos ter 
a) m 3 
b) m 0 
c) m 0 
d) m 1 − 
e) m 1 − ou m 1 
 
53. Na região conhecida como Triângulo das Bermudas, localizada no 
oceano Atlântico, é possível formar um triângulo com um vértice sobre a 
cidade porto-riquenha de San Juan, outro sobre a cidade estadunidense 
de Miami e o terceiro sobre as ilhas Bermudas. 
A figura abaixo mostra um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, com os vértices do triângulo devidamente representados. A 
escala utilizada é 1:17.000.000, e cada unidade nos eixos 
cartesianos equivale ao comprimento de 1cm. 
 
 
Calcule, em 
2km , a área do Triângulo das Bermudas, conforme a 
representação plana da figura. 
 
 
 
 
54. Dada a reta r : 2x 3y 5 0− + = e o ponto P(5, 6), a distância 
de P à reta r é 
a) 91 
b) 30 13 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
 
14 
c) 
3 91
91
 
d) 
3 13
13
 
 
55. A região, na figura abaixo, é descrita pelo sistema: 
x y 3
y 2x
2y x
+ 


 
 
 
Quanto vale a área da figura? 
a) 1 
b) 2 
c) 
3
2
 
d) 2 2 
e) 3 
 
56. Considere as desigualdades definidas por | x 5 | 2+  e 
| y 4 | 1−  representadas no mesmo sistema de coordenadas 
cartesianas. 
Qual das regiões sombreadas dos gráficos abaixo melhor representa a 
região do plano cartesiano determinada pela interseção das 
desigualdades? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
57. Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de 
transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de 
um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o 
percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a 
localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por 
P e Q. 
 
 
 
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse 
percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as 
distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os 
pontos T e Q sejam iguais. 
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são 
a) (290; 20). 
b) (410; 0). 
c) (410; 20). 
d) (440; 0). 
e) (440; 20). 
 
58. A figura a seguir ilustra as representações cartesianas das retas r e 
s de equações y x 3= + e y 3x 27,= − + respectivamente, com x 
e y dados em metros. Determine a área, em metros quadrados, do 
quadrilátero destacado. 
 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
15 
 
a) 45,5 
b) 49,5 
c) 52,5 
d) 55,5 
e) 58,5 
 
59. 
 
 
 
No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que 
são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P 
se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se 
desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, 
a abscissa de P é igual à ordenada de Q. 
Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir. 
 
60. Uma pessoaaplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela 
perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% 
do que havia perdido. 
Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3800,00
gerado pela aplicação. 
A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor 
de 
a) R$ 4222,22 . 
b) R$ 4523,80 . 
c) R$ 5.000,00 . 
d) R$ 13.300,00 . 
e) R$ 17.100,00 . 
 
61. A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas 
de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, 
com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus 
de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo 
vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à 
altitude da região. 
 
 
 
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região 
a partir do ponto X (20; 60).= O helicóptero segue o percurso: 
0,8 L 0,5 N 0,2 O 0,1 S 0,4 N 0,3 L →  →  →  →  →  
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja 
altitude é 
a) menor ou igual a 200 m. 
b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. 
c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. 
d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. 
e) maior que 800 m. 
 
62. Assinale o valor da área do quadrado de vértices ( 2, 9),− (4, 6), 
(1, 0) e ( 5, 3).− 
a) 20 
b) 25 
c) 45 
d) 45 
e) 60 
 
63. Dados o ponto 
25
A 4,
6
 
=  
 
 e a reta r : 3x 4y 12 0,+ − = 
considere o triângulo de vértices ABC, cuja base BC está contida em 
r e a medida dos lados AB e AC é igual a 
25
.
6
 Então, a área e o 
perímetro desse triângulo são, respectivamente, iguais a 
a) 
22
3
 e 
40
.
3
 
b) 
23
3
 e 
40
.
3
 
c) 
25
3
 e 
31
.
3
 
d) 
25
3
 e 
35
.
3
 
e) 
25
3
 e 
40
.
3
 
 
64. No plano cartesiano, considere o triângulo de vértices 
( ) ( ) ( )A 1,4 , B 4,5 e C 6,2 . 
A reta suporte da altura relativa ao lado AC intercepta o eixo x no 
ponto de abscissa 
a) 2 
b) 2,2 
c) 2,4 
d) 2,6 
e) 2,8 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
 
16 
65. Considere o triângulo de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 7). Alguns pontos 
de coordenadas inteiras estão nos lados do triângulo como, por exemplo, 
(2, 0); alguns estão no interior como, por exemplo, o ponto (1, 1). Quantos 
pontos de coordenadas inteiras estão no interior do triângulo? 
a) 6 
b) 7 
c) 10 
d) 12 
e) 21 
 
66. O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano 
sejam colineares é: 
a) 8. 
b) 9. 
c) 11. 
d) 10. 
e) 5. 
 
67. Sendo (x + 2, 2y - 4) = (8x, 3y - 10), determine o valor de x e de y. 
 
68. Em um plano, munido do referencial cartesiano usual, seja A o 
ponto de interseção das retas 3x y 4 0+ + = e 2x 5y 14 0.− + = 
Se os pontos B e C são respectivamente as interseções de cada uma 
destas retas com o eixo-x, então, a área do triângulo ABC, é igual 
a) 
13
u.a.
3
 
b) 
14
u.a.
3
 
c) 
16
u.a.
3
 
d) 
17
u.a.
3
 
 
69. Um triângulo é desenhado marcando-se os pontos A(3;5), B(2;– 
6) e C(–4;1) no Plano Cartesiano. O triângulo A’B’C’ é o simétrico do 
triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A’B’C’ é 
a) ( 3 ; 5 ). 
b) ( –2 ; 6 ). 
c) (– 2 ; – 1 ). 
d) ( – 4 ; 5 ). 
e) ( 4 ; 1 ). 
 
70. Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um 
triângulo equilátero, então a distância entre A e C é 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 2 
e) 3 
 
71. Se os pontos (1;4), (3;2) e (7;y) são vértices consecutivos de um 
retângulo, então a sua área, em unidades de superfície, é 
a) 8 
b) 8√2 
c) 16 
d) 16 √2 
e) e) 32 
 
72. O elenco de um filme publicitário é composto por pessoas com 
cabelos louros ou olhos verdes. Sabe-se que esse elenco tem, no 
máximo, vinte pessoas dentre as quais, pelo menos, doze possuem 
cabelos louros e, no máximo, cinco possuem olhos verdes. 
No gráfico a seguir, pretende-se marcar um ponto P(L,V), em que L 
representa o número de pessoas do elenco que têm cabelos louros e V o 
número de pessoas do elenco que têm olhos verdes. 
 
 
O ponto P deverá ser marcado na região indicada por: 
a) R1 
b) R2 
c) R3 
d) R4 
e) R5 
 
73. Na figura a seguir, A é um ponto do plano cartesiano, com 
coordenadas (x, y). Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e 
acima da reta s, tem-se 
 
a) y < 
x
2
e y < -x + 1 
b) y < 
x
2
ou y > -x + 1 
c) 
x
2
< y e y > -x + 1 
d) -x + 1 < y < 
x
2
 
e) 
x
2
< y < -x + 1 
 
74. O gráfico abaixo representa, dentro do sistema de eixos cartesianos 
ortogonais, a trajetória de um táxi, de um bairro A para um bairro B, 
passando pelos bairros X e Y nessa ordem. 
 
 
 
Se os pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação 
3x – 4y 120 0+ = e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B 
são iguais entre si, então, nessas condições, as coordenadas dos pontos 
A e B, são respectivamente: 
 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
17 
a) (–80, –30) e (40, 60) 
b) (–40, –30) e (30, 40) 
c) (–30, –20) e (20, 30) 
d) (–80, –30) e (40, 50) 
e) (–40, –30) e (60, 40) 
 
75. Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com 
ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo 
tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro 
localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas 
em quilômetros. 
 
A reta de equação y x 4= + representa o planejamento do percurso da 
linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da 
cidade. No ponto P ( 5,5)= − , localiza-se um hospital público. A 
comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma 
estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em 
linha reta, não fosse maior que 5 km. 
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou 
corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava 
prevista a construção de uma estação no ponto 
a) ( 5,0)− . 
b) ( 3,1)− . 
c) ( 2,1)− . 
d) (0,4) . 
e) (2,6) . 
 
76. A distância do vértice da parábola y = (x - 2) (x - 6) à reta y = (4/3)x + 
5 é: 
a) 72/25 
b) 29/25 
c) 43 
d) 43/25 
e) 43/5 
 
77. Um polígono do plano é determinado pelas inequações x ≥ 0, y ≥ 0, 
5x + 2y ≤ 20 e x + y ≤ 7. Seus vértices são: 
a) (0, 0), (4, 0), (0, 7) e (2 ,5) 
b) (0, 0), (4, 0) e (0, 7) 
c) (0, 0), (7,0) e (2 ,5) 
d) (0, 0), (7,0), (2 ,5) e (0, 10) 
e) (4, 0), (7, 0), (0, 10) e (0, 7) 
 
78. Seja B ≠ (0, 0) o ponto da reta de equação y = 2x cuja distância ao 
ponto A = (1, 1) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B 
é igual a: 
a) 5/6 
b) 5/7 
c) 6/7 
d) 6/5 
e) 7/5 
 
79. A equação da reta que contém o ponto A (1, 2) e é perpendicular à 
reta y=2x+3 é: 
a) x + 2y - 5 = 0 
b) 2x + y = 0 
c) 2x + y - 4 = 0 
d) x - 2y + 3 = 0 
e) x + 3y - 7 = 0 
 
80. Seja S a região do plano cartesiano representada pelo triângulo ABC 
e seu interior. Determine um sistema de inequações que caracterize os 
pontos (x, y) pertencentes a S. 
 
 
81. Considere, no plano cartesiano, o paralelogramo de vértices (1, 1), (3, 
3), (6, 1) e (8, 3). A maior diagonal desse paralelogramo mede 
a) 5 5 
b) 71 
c) 5 3 
d) 53 
e) 3 5 
 
82. O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A = (-2,4). 
A equação da reta s é 
a) x + 2y = 6 
b) x - 2y + 10 = 0 
c) y + 2x = 0 
d) 2y - x = -10 
e) y + 2x = 6 
 
83. Observe a figura. 
 
 
Nessa figura, M = (a, a) é ponto médio do segmento AC, A = (2, 6), B = 
(0, a) e C = (c, 0). 
A equação da reta BC é 
a) 2y - 3x = 6 
b) 2y + 3x = 6 
c) 3x + 4y = 12 
d) 3x - 4y = 12 
e) 4x + 2y = 9 
 
 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
 
18 
84. A área dotriângulo cujos vértices são os pontos (1,2), (3,5) e (4,-1) 
vale: 
a) 4,5 
b) 6 
c) 7,5 
d) 9 
e) 15 
 
85. Dado um triângulo de vértices (1,1); (3,1); (-1,3) o baricentro (ponto 
de encontro das medianas) é: 
a) (1, 3/2) 
b) (3/2, 1) 
c) (3/2, 3/2) 
d) (1, 5/3) 
e) (0, 3/2) 
 
86. A reta r é perpendicular à reta de equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de 
abscissa -1. 
A equação da reta r é 
a) x - 2y + 7 = 0 
b) 2x + y - 7 = 0 
c) -x + 2y + 7 = 0 
d) 2x + y + 7 = 0 
e) x + 2y - 1 = 0 
 
87. A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a: 
a) 6. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 12. 
 
88. O ponto A', simétrico do ponto A = (1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 
1 = 0 é: 
a) (1, 1) 
b) (1/2, -3/2) 
c) (-1/2, -1/2) 
d) (-1/2, -3/2) 
e) (1/2, 3/2) 
 
89. Num triângulo ABC são conhecidos o vértice A = (3, 5) e as retas y - 
1 = 0 e x + y - 4 = 0, suportes de duas medianas do triângulo. A reta que 
passa pelos vértices B e C tem equação: 
a) 2x + 3y - 2 = 0. 
b) 3x + y - 1 = 0. 
c) x + 2y - 1 = 0. 
d) 2x + y - 1 = 0. 
e) x + 3y - 1 = 0. 
 
90. Observe a figura. 
 
 
Nessa figura, estão representadas duas perpendiculares que são 
gráficos de y=f(x) e y=g(x). 
 
O valor máximo da função h(x) = f(x).g(x) é: 
a) 
5
4
 
b) 
9
4
 
c) 3 
d) 4 
 
Gabarito 
 
1. (5, 4) 
2. C 
3. D 
4. C 
5. E 
6. B 
7. a) y x.= 
 b) 2 10 5 2 u.c.=  = 
 c) 125 % 
 
8. C 
9. B 
10. x + 2y – 20 = 0 
11. D 
12. D 
13. D 
14. E 
15. A 
16. D 
17. (4√2 − 5) cm 
18. E 
19. C 
20. 13/2 
 
21. a) c
2
1
012
60
m −=
−
−
= 
( ) 012y2xx12y20x
2
1
6y =−+−=−−−=− 
b) ( )
2x x 12 x
A x y A(x) A(x) 6x
2 2
 − +
=   =  = − + 
c) 
max
36
A 18
14 a
4
2
Δ
= − = − =
  
 − 
 
 
22. C 
23. C 
24. D 
25. B 
26. B 
27. E 
28. A 
29. D 
30. A 
31. B 
32. C 
33. E 
34. D 
35. E 
36. C 
37. A 
38. E 
39. A 
40. B 
41. A 
42. A 
43. E 
44. C 
45. D 
 
46. a) 30 u.a. 
GEOMETRIA MÓDULO 16 CBMERJ 
 
19 
 b) y = 1/3x + 5/3 
 
1 1 5
y 0 (x ( 5)) y x .
3 3 3
− = −  − −  = +
−
 
 
47. A 
48. E 
49. A 
50. C 
51. D 
52. E 
53. 2S 28900 38,5 1.112.650km .=  = 
54. D 
55. C 
56. E 
57. E 
58. B 
59. máx
1 1
A .
4 a 4 ( 1) 4
Δ
= − = − =
  −
 
60. C 
61. A 
62. D 
63. E 
64. A 
65. A 
66. D 
67. x = 2/7 y = 6 
68. D 
69. E 
70. B 
71. C 
72. D 
73. E 
74. A 
75. B 
76. E 
77. A 
78. D 
79. A 
80. 
3x 2y 4 0
3x 2y 4 0
y 1
+ + 

− − 
 
 
81. D 
82. B 
83. C 
84. C 
85. D 
86. A 
87. A 
88. C 
89. C 
90. B