MÓDULO 14 - GEOMETRIA - CBMERJ - 1º EQ

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GEOMETRIA MÓDULO 14 CBMERJ 
 
 
 
1 
Todas os exercícios da apostila que tiverem essa câmera , estão 
gravados em vídeo para você. Nossos professores resolveram as 
questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
Muitas questões trazem dicas preciosas. Não deixe de assistir aos 
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Poliedros 
 
1. Definição 
 
Poliedro é a região do espaço delimitado por polígonos fechados, que 
são chamados de faces. O encontro das faces, duas a duas, é chamado 
de aresta e o encontro dessas arestas é chamado de vértice. 
 
 
 
2. Relação de Euler 
 
Todo poliedro convexo satisfaz a seguinte relação: 
 
V + F = A + 2 
 
Onde V é o número de vértices, F é o número de faces e A é o número de 
arestas. 
Vamos usar a figura anterior como exemplo: V = 9, F = 9 e A = 16 
 
 
 
OBS: A definição de convexidade para poliedros é a mesma definição 
para os polígonos, isto é, um poliedro é convexo se, ao escolhermos dois 
pontos sobre duas faces distintas, o segmento de reta que os une passa 
inteiramente pela região interna do poliedro. 
 
3.Cálculo das Arestas 
 
Podemos calcular as arestas sabendo algumas informações sobre os vértices 
e as faces. Considere as informações a seguir: 
 
Podemos dividir os vértices de qualquer poliedro em: 
− V3 = vértices triédricos (vértices que reúnem 3 arestas) 
− V4 = vértices tetraédricos (vértices que reúnem 4 arestas) 
− V5 = vértices pentaédricos (vértices que reúnem 5 arestas) 
 
Temos então que V = V3 + V4 + V5 + ... 
 
Podemos dividir as faces de qualquer poliedro em: 
− F3 = faces triangulares 
− F4 = faces quadrangulares 
− F5 = faces pentagonais 
 
Temos então que F = F3 + F4 + F5 + ... 
Podemos calcular o número de arestas usando essas duas fórmulas: 
 
2A = 3V3 + 4V4 + 5V5 + ... 
2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + ... 
 
OBS: Devemos multiplicar por 2 o número de arestas nas fórmulas acima 
porque, no caso dos vértices, cada aresta possui 2 vértices e, no caso 
das faces, cada aresta é compartilhada por 2 faces. 
 
4.Cálculo das Diagonais 
 
Podemos calcular o número de diagonais da seguinte forma: 
 
V,2 fD= C - A - d 
 
Onde  fd representa a soma das quantidades de diagonais que cada 
face possui. 
 
5.Soma dos Ângulos das Faces 
 
Podemos calcular a soma dos ângulos das faces através da fórmula: 
 
Si = 360(V – 2) 
 
OBS: Se soubermos todas as faces do poliedro também podemos 
calcular essa soma fazendo a soma dos ângulos de cada face. 
 
6. Poliedros de Platão 
 
Um poliedro é chamado de Poliedro de Platão, ou poliedro regular, 
quando satisfaz às duas propriedades abaixo: 
− faces sendo polígonos regulares e congruentes 
− em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas 
 
 
Os poliedros que atendem a essas propriedades são: 
 
 
 
 
 
Poliedro A V F 
Tetraedro 6 4 4 
Hexaedro 12 8 6 
Octaedro 12 6 8 
Dodecaedro 30 20 12 
Icosaedro 30 12 20 
 
 
 
 
 
 
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2 
ESFERA 
 
Definição 
 
Podemos definir esfera como um sólido resultante da rotação de um 
semicírculo em torno do seu diâmetro. 
 
 
 
Volume 
 
Seja uma esfera de raio R, calculamos seu volume pela expressão: 
 
34V= πR
3
 
 
Superfície Esférica 
 
A área da superfície esférica de raio R é dada por: 
 
S = 4R2 
 
 
Secções de uma esfera 
 
Esfera é o lugar geométrico dos pontos no espaço que estão a uma 
mesma distância, chamada de raio de um ponto dado, chamado de 
centro. 
 
 
 
R2 = r2 + d2 
 
 
Volume da Cunha Esférica 
 
Cunha esférica é a parte da esfera determinada por dois semiplanos que 
partem de um mesmo diâmetro da esfera. 
 
 
 
34 αV= πR
3 360º
 
 
 
Área do Fuso Esférico 
 
Fuso esférico é a região da superfície esférica delimitada pela cunha 
esférica. 
 
 
 
2 αV=4πR
360º
 
 
Exercícios 
 
1. O tetra-hexaedro é um sólido convexo limitado por 4 faces 
triangulares e 6 hexagonais, todas regulares. 
O número de arestas e vértices desse sólido é: 
a) A = 21 V = 13 b) A = 24 V = 16 
c) A = 48 V = 40 d) A = 32 V = 24 
e) A = 34 V = 24 
 
2. Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de 
rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 
faces triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a: 
a) 35 c) 33 e) 31 
b) 34 d) 32 
 
 
3. Um poliedro convexo é formado por faces quadrangulares e 4 
faces triangulares. A soma dos ângulos de todas as faces é igual a 12 
retos. 
Qual o número de arestas desse poliedro? 
a) 8 c) 4 e) 1 
b) 6 d) 2 
 
4. Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco 
quadrangulares. O número de vértices deste poliedro é 
a) 4 c) 8 e) 10 
b) 6 d) 9 
 
 
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5. Um poliedro convexo tem 7 faces. De um dos seus vértices partem 6 
arestas e de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. 
Quantas arestas tem esse poliedro? 
a) 8 c) 12 e) 16 
b) 10 d) 14 
 
6. Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em 
que o número de vértices é 3/5 do número de faces? 
a) 60 c) 25 e) 15 
b) 30 d) 20 
 
7. Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma 
de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por 
uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro 
côncavo, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse 
poliedro côncavo. 
A soma V + F + A é igual a: 
a) 102 b) 106 c) 110 d) 112 
 
8. Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais 
retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas 
pirâmides são iguais a 
1
3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo 
de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras. 
 
 
 
Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo 
poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para 
unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. 
Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento 
de linha igual a: 
a) 7,0 m c) 4,9 m 
b) 6,3 m d) 2,1 m 
 
9. O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para 
descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e 
forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 
30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo 
ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos 
correspondentes às faces. 
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, 
então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo 
ilustrativo desse cristal é igual a 
a) 10 c) 25 e) 50 
b) 12 d) 42 
 
10. Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para 
trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, 
conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de 
formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem 
a pequenas pirâmides, nos vértices 
P, Q, R
 e S, ao longo dos 
segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2. 
 
 
 
Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra 
maior, uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, 
respectivamente, iguais a 
a) 9, 20 e 13 d) 10, 16 e 5 
b) 3, 24 e 13 e) 11, 16 e 5 
c) 7, 15 e 12 
 
11. Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas 
congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo 
número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas 
duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das 
formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. 
Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação 
de Euler V A F 2,− + = em que 
V, A
 e F são os números de 
vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente. 
 
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro dePlatão de faces 
triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de 
faces? 
a) 2V – 4F = 4 d) 2V + F = 4 
b) 2V – 2F = 4 e) 2V + 5F = 4 
c) 2V – F = 4 
 
12. Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a 
partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada 
um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas 
menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, 
então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. 
Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão 
utilizadas na pintura das faces do troféu? 
a) 6 c) 14 e) 30 
b) 8 d) 24 
 
13. Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares 
e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces 
triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma 
progressão aritmética. O número de arestas é: 
a) 10 c) 20 e) 23 
b) 17 d) 22 
 
14. Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares 
e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente 
escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas 
faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que 
o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do 
original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de 
vértices do poliedro original, então: 
a) m = 9, n = 7 d) m = 10, n = 8 
b) m = n = 9 e) m = 7, n = 9 
c) m = 8, n = 10 
 
15. No cubo da figura, o ângulo entre AD e AF vale: 
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4 
 
 
 
a) 15o c) 45o e) 90o 
b) 30o d) 60o 
 
16. Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces 
quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro 
é de: 
a) 6 c) 8 e) 10 
b) 7 d) 9 
 
17. Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices 
concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos 
demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro 
é igual a: 
a) 16 c) 24 e) 44 
b) 18 d) 30 
 
18. Sobre as sentenças: 
I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. 
II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. 
III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. 
 
é correto afirmar que APENAS 
a) I é verdadeira. 
b) II é verdadeira. 
c) III é verdadeira. 
d) I e II são verdadeiras. 
e) II e III são verdadeiras. 
 
19. Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e 
cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do 
poliedro é, respectivamente, 
a) 34 e 10 
b) 19 e 10 
c) 34 e 20 
d) 12 e 10 
e) 19 e 12 
 
20. Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, 
pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de 
faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces 
pentagonais é, em radianos, igual a 
a) 3  c) 36  e) 108  
b) 12  d) 64  
 
21. O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, 
então, afirmar que esta pirâmide possui 
a) 33 vértices e 22 arestas. 
b) 12 vértices e 11 arestas. 
c) 22 vértices e 11 arestas. 
d) 11 vértices e 22 arestas. 
e) 12 vértices e 22 arestas. 
 
22. Um poliedro convexo de nove vértices possui quatro ângulos 
triédricos e cinco ângulos tetraédricos. Então o número de faces deste 
poliedro é: 
a) 12 c) 10 e) 8 
b) 11 d) 9 
23. Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se 
ele tem 20 arestas e 10 vértices, então, o número de faces triangulares é: 
a) 12 c) 10 e) 8 
b) 11 d) 9 
 
24. A figura a seguir representa a planificação de um poliedro 
convexo. 
 
 
 
O número de vértices deste poliedro é: 
a) 12 c) 16 e) 22 
b) 14 d) 20 
 
25. O número de faces de um poliedro convexo com 20 vértices e com 
todas as faces triangulares é igual a: 
a) 28 c) 32 e) 36 
b) 30 d) 34 
 
26. Considere o icosaedro a seguir (Fig.1), construído em plástico 
inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão 
marcados. 
A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes 
foram formados em cada face do icosaedro. 
Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados 
fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos 
tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado na figura 2. 
Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, 
obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, 
denominada geodésica. (Fig. 3) 
 
 
 
O número de arestas dessa estrutura é igual a: 
a) 90 b) 120 c) 150 d) 180 
 
27. Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas triangulares. 
Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o número esperado 
de vértices para este será 
a) 10 c) 8 e) 6 
b) 9 d) 7 
 
28. De cada vértice de um prisma hexagonal regular foi retirado um 
tetraedro, como exemplificado para um dos vértices do prisma 
desenhado a seguir. 
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5 
 
 
 
O plano que definiu cada corte feito para retirar os tetraedros passa pelos 
pontos médios das três arestas que concorrem num mesmo vértice do 
prisma. O número de faces do poliedro obtido depois de terem sido 
retirados todos os tetraedros é 
a) 24 c) 18 e) 12 
b) 20 d) 16 
 
29. Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 
pentágonos. O número de vértices deste polígono 
a) 90 c) 60 
b) 72 d) 56 
 
30. A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e, atualmente, é um 
icosaedro truncado, formado por 32 peças, denominadas de gomos e, 
geometricamente, de faces. Nessa bola, 12 faces são pentágonos 
regulares, e as outras, hexágonos, também regulares. Os lados dos 
pentágonos e dos hexágonos são iguais e costurados. Ao unirem-se os 
dois lados costurados das faces, formam-se as arestas. O encontro das 
arestas formam os vértices. Quando cheio, o poliedro é similar a uma 
esfera. 
 
 
 
O número de arestas e o número de vértices existentes nessa bola de 
futebol são, respectivamente, 
 
Pode ser utilizado o Teorema de Descartes-Euler, A 2 V F+ = + 
a) 80 e 60 c) 70 e 40 e) 90 e 50 
b) 80 e 50 d) 90 e 60 
 
31. Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces 
triangulares. O número de arestas deste poliedro é 
a) 100 b) 120 c) 90 d) 80 
 
32. Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a 
seguir, obteremos três modelos de figuras espaciais cujos nomes são: 
 
a) tetraedro, octaedro e hexaedro. 
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro. 
c) octaedro, prisma e hexaedro. 
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. 
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. 
 
33. Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com 
quatro lados e 1 face com dez lados. Determine o número de vértices 
deste poliedro. 
 
34. A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos 
planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O 
objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um 
material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, 
que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente 
lançada. 
 
A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma 
cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 
5 cm,
 que tenha ficado encostada no bolim, de raio 
2 cm,
 conforme 
ilustra a Figura 2. 
 
 
 
 
 
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o 
centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o 
bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre 
A e B é igual a d. 
 
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim? 
a) 1 
b) 
2 10
5 
c) 
10
2 
d) 2 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
35. Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas. 
 
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6 
 
 
Quandoduas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de 
contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema: 
 
 
 
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de 
tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A 
parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte 
medida: 
a) 
Rπ 2
2 
b) 
23
2
Rπ
 
c) 
23
4
Rπ
 
d) 
24
3
Rπ
 
 
36. Na fazenda de sua família, Michely colheu uma laranja e verificou 
que ela tinha a forma de uma esfera. Michely, então, foi à cozinha, pegou 
uma faca e fez um corte na laranja a uma distância de 
3 cm
 do seu 
centro, conforme figura a seguir. 
 
 
 
Sabendo que o raio da circunferência gerada no plano do corte é de 4 cm 
determine o volume da laranja inteira. 
a) 
364 cm
3
π
 
b) 
3256 cm
3
π
 
c) 
3108 cm
3
π
 
d) 
3125 cm
3
π
 
e) 
3500 cm
3
π
 
 
37. Em uma palestra, um cientista ilustrou comparativamente o tamanho 
dos planetas do sistema solar com auxílio da foto a seguir. 
 
 
 
No entanto, o cientista disse que essa foto dificulta a percepção correta 
da diferença de tamanho entre os planetas. Para ilustrar o que dizia, ele 
pediu para a plateia considerar que todos os planetas são esféricos e que 
o tamanho do raio do planeta Júpiter é 11 vezes o tamanho do raio do 
planeta Terra. Em seguida, lançou a seguinte pergunta: se associarmos 
o planeta Terra a uma bola de futebol, o planeta Júpiter deverá ser 
associado, aproximadamente, a quantas dessas bolas? 
 
A resposta correta para a pergunta do palestrante é 
a) 2.048. 
b) 121. 
c) 33. 
d) 22. 
e) 1.331. 
38. Fundindo três esferas idênticas e maciças de diâmetro 
2 cm,
 
obtém-se uma única esfera maciça de raio 
a) 
3 3. 
b) 
3 4. 
c) 
3 6. 
d) 3. 
e) 6. 
 
39. A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela 
inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o enchimento de um 
pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. Considerando 
que, num procedimento de angioplastia, o raio inicial do balão seja 
desprezível e aumente a uma taxa constante de 0,5 mm/s até que o 
volume seja igual a 500 mm3 então o tempo, em segundos, que o balão 
leva para atingir esse volume é 
 
a) 10 
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7 
b) 
3
5
10 .
π 
c) 
3
2
10 .
π 
d) 
310 .π
 
e) 
3
3
10 .
π 
 
40. Observe a figura da representação dos pontos M e N sobre a 
superfície da Terra. 
 
 
 
Considerando a Terra uma esfera de raio 
6.400 km
 e adotando 
= 3,π para ir do ponto M ao ponto N, pela superfície da Terra e no 
sentido indicado pelas setas vermelhas, a distância percorrida sobre o 
paralelo 60 Norte será igual a 
a) 
2.100 km.
 
b) 
1.600 km.
 
c) 
2.700 km.
 
d) 
1.800 km.
 
e) 
1.200 km.
 
 
41. Um escultor irá pintar completamente a superfície de uma esfera de 
6 m
 de diâmetro, utilizando uma tinta que, para essa superfície, rende 
23 m
 por litro. Para essa tarefa, o escultor gastará, no mínimo, _____ 
litros de tinta. (Considere 
3)π
 
a) 18 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
 
42. Maria Carolina resolveu sair um pouco do seu regime e foi 
saborear uma deliciosa sobremesa composta por três bolas de sorvete e 
27 uvas, conforme a imagem abaixo. Suponha que as bolas de sorvete 
e as uvas tenham formatos esféricos e que Maria Carolina comeu toda a 
sua sobremesa. 
 
 
 
Usando 3,π = sabendo que os raios de cada bola de sorvete têm 
4 cm
 e, de cada uva, 
1cm,
 podemos afirmar que ela consumiu, nessa 
sobremesa, em centímetros cúbicos, um total de 
a) 108. 
b) 768. 
c) 876. 
d) 260. 
e) 900. 
 
43. Duas esferas que se tangenciam estão em repouso sobre um plano 
horizontal. Os volumes das esferas são respectivamente 
32304 mπ
e 
336 m .π
 A distância, em metros, entre os pontos de contato das 
esferas com o plano é igual a 
a) 9. 
b) 12. 
c) 15. 
d) 10. 
 
44. Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a 
figura. 
 
 
Sabendo-se que o volume da bola é 
32304 cm ,π então a área da 
superfície de cada faixa é de: 
a) 
220 cmπ 
b) 
224 cmπ 
c) 
228 cmπ 
d) 
227 cmπ 
e) 
225 cmπ 
 
 
 
 
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8 
45. Um círculo de raio R gira em torno de seu diâmetro, gerando uma 
esfera de volume V. Se o raio do círculo é aumentado em 50%, então o 
volume da esfera é aumentado em 
a) 100,0 %. 
b) 125,0 %. 
c) 215,0 %. 
d) 237,5 %. 
 
Gabarito: 
 
1. B 
2. D 
3. A 
4. E 
5. C 
6. B 
7. D 
8. B 
9. B 
10. A 
11. C 
12. C 
13. C 
14. B 
15. E 
16. C 
17. A 
18. E 
19. B 
20. E 
21. E 
22. D 
23. E 
24. A 
25. E 
26. B 
27. E 
28. B 
29. C 
30. D 
31. C 
32. E 
33. 21 
34. E 
35. C 
36. E 
37. E 
38. A 
39. E 
40. B 
41. C 
42. C 
43. B 
44. B 
45. D