Material escrito da semana 5

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Produto vetorial
Se −→v = (v1, v2, v3) e −→w = (w1, w2, w3) são vetores no espaço tridimensional, então de�-
nimos o produto vetorial −→v ×−→w como sendo
I o vetor nulo
−→
0 se −→v = −→0 ou −→w = −→0 ,
I o vetor do espaço tridimensional que satisfaz as três condições a seguir se −→v 6= −→0 e −→w 6= −→0 :
(1) −→v ×−→w tem comprimento ||−→v ×−→w || = ||−→v || ||−→w ||sen θ, onde θ é o ângulo entre −→v e −→w .
(2) O vetor −→v ×−→w é simultaneamente perpendicular a −→v e a −→w (com isso de�nimos a direção
de −→v ×−→w ).
(3) O sentido do vetor −→v ×−→w é dado pela regra a mão direita descrita a seguir.
Regra da mão direita: Posicione sua mão direita reta, com o polegar perpendilar aos
outros 4 dedos, de forma que esses 4 dedos �quem no sentido do vetor −→v de como na �gura
abaixo. Se θ é o ângulo entre os vetores −→v e −→w (lembrando que este é o menor ângulo entre
os vetores), arraste os 4 dedos que estão direcionados no sentido do vetor −→v pelo ângulo θ
(com a palma da mão virada para o ângulo θ) até atingir o sentido do vetor −→w . O sentido
do vetor −→v ×−→w é o sentido no qual o polegar da sua mão direita aponta à medida que esse
movimento de arraste é realizado.
Atenção: Você precisa utilizar a mão direita. Nunca use a mão equerda para determinar
o sentido. Se você for canhoto, tome cuidado com isso.
Como um vetor é completamente identi�cado pelo seu comprimento, sua direção e seu sentido,
então o vetor −→v ×−→w está bem de�nido.
θ
−→v
−→w
−→v ×−→w
θ
Observação 1. O produto vetorial só está de�nido para vetores do espaço tridimensional.
Portanto, não existe produto vetorial entre vetores do plano.
Observação 2. O resultado do produto vetorial é um vetor do espaço tridimencional, enquanto
o resultado do produto escalar é um escalar (ou seja, um número real). Por isso, os produtos
recebem esses nomes.
Se −→u , −→v e −→w são vetores do espaço tridimencional e α um escalar, então as propriedades
a seguir são satisfeitas.
1
(1) −→v ×−→w = −(−→w ×−→v )
Ou seja, os vetores −→v ×−→w e −→w ×−→v são vetores simétricos um do outro. Essa propriedade
é chamada de anti-comutatividade.
De fato, os vetores −→v ×−→w e −→w ×−→v tem mesmo comprimento (||−→v || ||−→w ||sen θ) e mesma
direção (que é a direção perpendicular a −→v e a −→w ), mas eles possuem sentidos opostos, pois
(utilizando a regra da mão direita) ao arrastarmos os dedos no sentido do vetor −→v por θ até
obter o sentido do vetor −→w , o polegar aponta no sentido oposto ao obtido ao arrastarmos
os dedos no sentido do vetor −→w por θ até obter o sentido do vetor −→v .
−→w
−→v
−→v ×−→w
−→w ×−→v
(2) (−→v ×−→w ) • −→v = 0 e (−→v ×−→w ) • −→w = 0
De fato, como o vetor −→v × −→w é perpendicular a −→v , então (−→v × −→w ) • −→v = 0. Da mesma
forma, como o vetor −→v ×−→w é perpendicular a −→w , então (−→v ×−→w ) • −→w = 0.
(3) α(−→v ×−→w ) = (α−→v )×−→w = −→v × (α−→w )
(4) −→v × (−→w +−→u ) = (−→v ×−→w ) + (−→v ×−→u ) e (−→w +−→u )×−→v = (−→w ×−→v ) + (−→u ×−→v )
Ou seja, vale a distributividade do produto vetorial com relação à soma.
Observação 3. Tome cuidade com a ordem do produto vetorial ao fazer uma distributivi-
dade com relação à soma, pois o produto vetorial não é comutativo.
(5) −→v ×−→w = −→0 se, e somente se, −→v = α−→w ou −→w = α−→v .
De fato, temos que −→v × −→w = −→0 se, e somente se, ||−→v × −→w || = 0. Mas isto acontece
se, e somente se, ou −→v = −→0 , ou −→w = −→0 ou sen θ = 0 (o que ocorre apenas quando θ = 0
ou θ = π e, portanto, quando os vetores são paralelos). Como o vetor nulo é múltiplo esca-
lar de qualquer vetor e dois vetores não-nulos são paralelos se, e somente se, um é múltiplo
escalar do outro, então concluímos que −→v × −→w = −→0 se, e somente se, ou −→v é múltiplo
escalar de −→w ou −→w é múltiplo escalar de −→v .
2
O produto vetorial em termos das componentes dos vetores
Vamos obter uma fórmula para o produto vetorial de dois vetores em termos das compo-
nentes destes vetores, utilizando o produto vetorial entre os vetores canônicos.
Observe que o produto vetorial entre dois vetores canônicos distintos possui comprimento 1,
pois os vetores canônicos tem norma 1 e são perpendiculares entre si (o que implica que o ângulo
entre eles é θ =
π
2
e , portanto, sen θ = 1), tem a direção do outro vetor canônico diferente
deles (pois o produto vetorial tem direção simultaneamente perpendicular aos dois vetores) e
tem sentido dado pela regra da mão direita. Concluímos assim, que o produto vetorial entre
dois vetores canônicos distintos ou é o vetor canônico restante ou é o simétrico dele.
(1) O produto vetorial
−→
i × −→j é o vetor unitário que tem mesma direção do vetor
−→
k e sen-
tido igual ao de
−→
k (pela regra da mão direita). Portanto,
−→
i ×−→j =
−→
k . Pela anti-
comutatividde do produto vetorial,
−→
j ×−→i = −
−→
k .
(2) O produto vetorial
−→
j ×
−→
k é o vetor unitário que tem mesma direção do vetor
−→
i e sen-
tido igual ao de
−→
i (pela regra da mão direita). Portanto,
−→
j ×
−→
k =
−→
i . Pela anti-
comutatividde do produto vetorial,
−→
k ×−→j = −−→i .
(3) O produto vetorial
−→
i ×
−→
k é o vetor unitário que tem mesma direção do vetor
−→
j e sen-
tido oposto ao de
−→
j (pela regra da mão direita). Portanto,
−→
i ×
−→
k = −−→j . Pela anti-
comutatividade do produto vetorial,
−→
k ×−→i = −→j .
Por outro lado, como um vetor é paralelo a ele mesmo, então
−→
i ×−→i = −→0 , −→j ×−→j = −→0
e
−→
k ×
−→
k =
−→
0 .
Na prática, para lembrar de forma mais fácil os produtos vetoriais entre os vetores canônicos,
podemos pensar que: se �zermos uma roda com os vetores
−→
i ,
−→
j e
−→
k posicionados no sentido
horário, então:
(i) O produto vetorial de um vetor canônico com ele mesmo é o vetor nulo.
(ii) O produto vetorial de dois vetores canônicos distintos selecionados no sentido horário na
roda é o simétrico do vetor canônico restante.
(iii) O produto vetorial de dois vetores canônicos distintos selecionados no sentido anti-horário
na roda é o simétrico do vetor canônico restante.
−→
i ×−→j =
−→
k
−→
j ×−→i = −
−→
k
−→
j ×
−→
k =
−→
i
−→
k ×−→j = −−→i
−→
k ×−→i = −→j −→i ×
−→
k = −−→j
3
Observação 4. Não é verdade, em geral, que −→u × (−→v ×−→w ) = (−→u ×−→v )×−→w . Por exemplo,
−→
i × (−→j ×−→j ) = −→i ×−→0 = −→0 , mas (−→i ×−→j )×−→j =
−→
k ×−→j = −−→i . Logo, −→i × (−→j ×−→j ) 6=
(
−→
i ×−→j )×−→j .
Sejam −→v = (v1, v2, v3) e −→w = (w1, w2, w3) dois vetores do espaço tridimensional. Temos que
−→v = v1
−→
i + v2
−→
j + v3
−→
k e −→w = w1
−→
i +w2
−→
j +w3
−→
k . Pela distributividade do produto vetorial
com relação à soma, temos que
−→v ×−→w = (v1
−→
i + v2
−→
j + v3
−→
k )× (w1
−→
i + w2
−→
j + w3
−→
k )
= v1w1(
−→
i ×−→i ) + v1w2(
−→
i ×−→j ) + v1w3(
−→
i ×
−→
k ) + v2w1(
−→
j ×−→i ) + v2w2(
−→
j ×−→j )
+ v2w3(
−→
j ×
−→
k ) + v3w1(
−→
k ×−→i ) + v3w2(
−→
k ×−→j ) + v3w3(
−→
k ×
−→
k )
= v1w1
−→
0 + v1w2
−→
k + v1w3(−
−→
j ) + v2w1(−
−→
k ) + v2w2
−→
0 + v2w3
−→
i
+ v3w1
−→
j + v3w2(−
−→
i ) + v3w3
−→
0
= v1w2
−→
k − v1w3
−→
j − v2w1
−→
k + v2w3
−→
i + v3w1
−→
j − v3w2
−→
i
= (v2w3 − v3w2)
−→
i + (v3w1 − v1w3)
−→
j + (v1w2 − v2w1)
−→
k
= (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1).
Concluímos assim, o seguinte resultado:
Teorema 1. Sejam −→v = (v1, v2, v3) e −→w = (w1, w2, w3) vetores do espaço tridimensional. O
produto vetorial −→v ×−→w é dado por −→v ×−→w = (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1) .
Considere a matriz 2× 3 cuja primeira linha é constituída das coordenadas de −→v e cuja se-
gunda linha é constituída das coordenadas de−→w , ou seja, considere a matriz A =
[
v1 v2 v3
w1 w2 w3
]
.
Para calcular o produto vetorial −→v × −→w de forma prática, basta observar que a primeira co-
ordenada do produto vetorial é o determinante da matriz 2 × 2 obtida ao excluir a primeira
coluna de A, a segunda coordenada do produto vetorial é o negativo do determinante da matriz
2× 2 obtida ao excluir a segunda coluna de A e a terceira coordenada do produto vetorial é o
determinante da matriz 2× 2 obtida ao excluira terceira coluna de A. Ou seja,
−→v ×−→w =
(
det
[
v2 v3
w2 w3
]
,− det
[
v1 v3
w1 w3
]
, det
[
v1 v2
w1 w2
])
.
Observação 5. Ao utilizar essa forma de calcular o produto vetorial, não se esqueça do sinal
negativo da segunda coordenada do vetor.
Exemplo 1. Em cada caso, calcule o produto vetorial −→v ×−→w para os vetores −→v e −→w dados.
(a) −→v = (2, 2,−2) e −→w = (−1, 4, 1).
(b) −→v = (1, 0, 7) e −→w = (−7, 0, 1).
(c) −→v = (2,−1, 3) e −→w = (1, 4, 5).
Resolução:
(a) A =
[
2 2 −2
−1 4 1
]
e
−→v ×−→w =
(
det
[
2 −2
4 1
]
,−det
[
2 −2
−1 1
]
,det
[
2 2
−1 4
])
= (2 + 8,−(2− 2), 8 + 2) = (10, 0, 10).
4
(b) A =
[
1 0 7
−7 0 1
]
e
−→v ×−→w =
(
det
[
0 7
0 1
]
,−det
[
1 7
−7 1
]
,det
[
1 0
−7 0
])
= (0− 0,−(1 + 49), 0− 0) = (0,−50, 0).
(c) A =
[
2 −1 3
1 4 5
]
e
−→v ×−→w =
(
det
[
−1 3
4 5
]
,− det
[
2 3
1 5
]
, det
[
2 −1
1 4
])
= (−5− 12,−(10− 3), 8 + 1) = (−17,−13, 9).
Utilizando o produto vetorial para calcular áreas
Observe que se −→v e −→w não forem paralelos, então podemos considerar o paralelogramo cujos
lados possuem direção e comprimento determinados pelos vetores −→v e −→w . Se considerarmos a
base do paralelogramo como sendo um dos lados paralelos ao vetor −→w , então podemos obter
pelo triângulo destacado na �gura abaixo
−→w
−→v
−→w
−→vh
θ
h||
−→v ||
||proj−→w−→v ||
θ
que se θ é o ângulo entre −→v e −→w , então sen θ = h
||−→v ||
⇒ h = ||−→v ||sen θ. Logo, a área do
paralelogramo é
Área = base · h = ||−→w || · ||−→v ||sen θ = ||−→v ×−→w ||.
Concluímos assim que a norma do vetor −→v ×−→w é numericamente igual à área do paralelo-
gramo determinado por −→v e por −→w .
Exemplo 2. Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores −→v = (1, 2, 3) e
−→w = (4, 5, 6).
−→v ×−→w =
(
det
[
2 3
5 6
]
,− det
[
1 3
4 6
]
, det
[
1 2
4 5
])
= (12− 15,−(6− 12), 5− 8) = (−3, 6,−3).
‖−→v ×−→w ‖ =
√
(−3)2 + 62 + (−3)2 =
√
9 + 36 + 9 =
√
54 = 3
√
6.
Logo, a área do paralelogramo é 3
√
6 unidades de área.
Exemplo 3. Determine a área do paralelogramo ABCD de vértices A = (1, 0, 1), B = (3, 1, 4),
C = (0, 5, 7) e D = (−2, 4, 4).
5
x y
z
-3
-2
-1
1
2
3
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
A
B
D
C
O que fazemos nesse caso é considerar um dos vértices do paralelogramo e construir dois vetores
com ponto inicial nesse vértice: um cujo ponto �nal é o vértice seguinte do paralelogramo e um
cujo ponto �nal é o vértice anterior do paralelogramo. Por exemplo, se considerarmos o vértice
A, o vértice seguinte à ele é o vértice B e o vértice anterior a ele é o vértice D. Nesse caso,
vamos considerar os vetores
−→
AB e
−−→
AD. Vamos obter as coordenadas destes vetores.
−→
AB =
−−→
OB −
−→
OA = (3, 1, 4)− (1, 0, 1) = (3− 1, 1− 0, 4− 1) = (2, 1, 3).
−−→
AD =
−−→
OD −
−→
OA = (−2, 4, 4)− (1, 0, 1) = (−2− 1, 4− 0, 4− 1) = (−3, 4, 3).
Observe que o paralelogramo ABCD é equivalente ao paralelogramo gerado pelos vetores
−→
AB e−−→
AD. Logo, a área do paralelogramo será ‖
−→
AB ×
−−→
AD‖. Vamos calcular essa norma.
−→
AB ×
−−→
AD =
(
det
[
1 3
4 3
]
,− det
[
2 3
−3 3
]
, det
[
2 1
−3 4
])
= (3− 12,−(6 + 9), 8 + 3) = (−9,−15, 11).
‖
−→
AB ×
−−→
AD‖ =
√
(−9)2 + (−15)2 + 112 =
√
81 + 225 + 121 =
√
427.
Logo, a área do paralelogramo é
√
427 unidades de área.
Observe que podemos utilizar o produto vetorial para calcular áreas de triângulos também,
uma vez que a área de todo triângulo corresponde a metade da área de um paralelogramo.
A
B C
D
6
Exemplo 4. Determine a área do triângulo ABC, onde A = (3, 2, 0), B = (0, 4, 3) e C =
(1, 0, 2).
A área do triângulo é metade da área do paralelogramo gerado pelos vetores
−→
AB e
−−→
BC e,
portanto, a área do triângulo é
||
−→
AB ×
−−→
BC||
2
. Vamos determinar os vetores
−→
AB e
−−→
BC, calcular
o produto vetorial deles e a norma desse produto vetorial.
−→
AB =
−−→
OB −
−→
OA = (0, 4, 3)− (3, 2, 0) = (0− 3, 4− 2, 3− 0) = (−3, 2, 3).
−→
AC =
−→
OC −
−−→
OB = (1, 0, 2)− (0, 4, 3) = (1− 0, 0− 4, 2− 3) = (1,−4,−1).
−→
AB ×
−−→
BC =
(
det
[
2 3
−4 −1
]
,− det
[
−3 3
1 −1
]
, det
[
−3 2
1 −4
])
= (−2 + 12,−(3− 3), 12− 2) = (10, 0, 10).
‖
−→
AB ×
−−→
BC‖ = ||(10, 0, 10)|| =
√
102 + 02 + 102 =
√
200 = 10
√
2.
Logo, a área do triângulo ABC é
||
−→
AB ×
−−→
BC||
2
=
10
√
2
2
= 5
√
2 unidades de área.
Exemplo 5. Determine a área do triângulo ABC de vértices A = (2, 4, 4), B = (1, 2, 1) e
C = (3, 3, 3).
x y
z
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
4
B
A
C
A área do triângulo é metade da área do paralelogramo gerado pelos vetores
−→
AB e
−−→
BC e,
portanto, a área do triângulo é
||
−→
AB ×
−−→
BC||
2
. Vamos determinar os vetores
−→
AB e
−−→
BC, calcular
o produto vetorial deles e a norma desse produto vetorial.
−→
AB =
−−→
OB −
−→
OA = (1, 2, 1)− (2, 4, 4) = (1− 2, 2− 4, 1− 4) = (−1,−2,−3).
−→
AC =
−→
OC −
−−→
OB = (3, 3, 3)− (1, 2, 1) = (3− 1, 3− 2, 3− 1) = (2, 1, 2).
−→
AB ×
−−→
BC =
(
det
[
−2 −3
1 2
]
,− det
[
−1 −3
2 2
]
, det
[
−1 −2
2 1
])
= (−4 + 3,−(−2 + 6),−1 + 4) = (−1,−4, 3).
‖
−→
AB ×
−−→
BC‖ = ||(−1,−4, 3)|| =
√
(−1)2 + (−4)2 + 32 =
√
26.
7
Logo, a área do triângulo ABC é
||
−→
AB ×
−−→
BC||
2
=
√
26
2
unidades de área.
Produto misto
Sejam −→u , −→v e −→w vetores do espaço tridimensional. De�nimos o produto misto de −→u , −→v
e −→w como sendo o produto −→u • (−→v ×−→w ) .
Observação 6. Como o produto escalar de dois vetores é um escalar, então o resultado do
produto misto é um número real (uma vez que ele é o produto escalar do vetor −→u com o vetor
−→v ×−→w ).
Pela fórmula do produto vetorial, temos que
−→u • (−→v ×−→w ) = (u1, u2, u3) • (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1)
= u1(v2w3 − v3w2) + u2(v3w1 − v1w3) + u3(v1w2 − v2w1)
= u1 det
[
v2 v3
w2 w3
]
− u2 det
[
v1 v3
w1 w3
]
+ u3 det
[
v1 v2
w1 w2
]
.
Considere a matriz A, 3 × 3, cuja primeira linha é constituída das coordenadas do vetor
−→u , segunda linha é constituída das coordenadas do vetor −→v e terceira linha é constituída das
coordenadas do vetor −→w . Ou seja, considere a matriz
A =
u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
 .
Se utilizarmos a expansão em cofatores pela primeira linha da matriz A, obtemos
detA = u1 · (−1)1+1 · det
[
v2 v3
w2 w3
]
+ u2 · (−1)1+2 · det
[
v1 v3
w1 w3
]
+ u3 · (−1)1+3 · det
[
v1 v2
w1 w2
]
= u1 det
[
v2 v3
w2 w3
]
− u2 det
[
v1 v3
w1 w3
]
+ u3 det
[
v1 v2
w1 w2
]
= −→u • (−→v ×−→w )
O que mostramos foi o seguinte teorema, que nos diz como obter o produto misto em termos
das coordenadas dos vetores. Isto nos auxiliará a fazer as contas.
Teorema 2. Se −→u = (u1, u2, u3), −→v = (v1, v2, v3) e −→w = (w1, w2, w3), então
−→u • (−→v ×−→w ) = det
u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
 .
Exemplo 6. Calcule o produto misto entre os vetores −→u = (1, 0, 3), −→v = (5,−1, 4) e −→w =
(0, 2,−1).
−→u • (−→v ×−→w ) = det
1 0 35 −1 4
0 2 −1
 = 23.
Se −→u , −→v , −→w e −→r são vetores do espaço tridimensional e α é um escalar, então as seguintes
propriedades são válidas:
8
1. −→u • (−→v ×−→w ) = −→v • (−→w ×−→u ) = −→w • (−→u ×−→v )
De fato, devido à comutatividade dos números reais, temos
−→u • (−→v ×−→w ) = u1(v2w3 − v3w2) + u2(v3w1 − v1w3) + u3(v1w2 − v2w1)
= u1v2w3 − u1v3w2 + u2v3w1 − u2v1w3 + u3v1w2 − u3v2w1
= v1(w2u3 − w3u2) + v2(w3u1 − w1u3) + v3(w1u2 − w2u1)
= −→v • (−→w ×−→u ).
De forma análoga,
−→u • (−→v ×−→w ) = u1(v2w3 − v3w2) + u2(v3w1 − v1w3) + u3(v1w2 − v2w1)
= u1v2w3 − u1v3w2 + u2v3w1 − u2v1w3 + u3v1w2 − u3v2w1
= w1(u2v3 − u3v2) + w2(u3v1 − u1v3) + w3(u1v2 − u2v1)
= −→w • (−→u ×−→v ).
2. −→u • (−→v ×−→w ) = −−→u • (−→w ×−→v )
Essa propriedade decorre diretamente da anti-comutatividade do produto vetorial.
3. −→u • (−→v × (−→w +−→r )) = −→u • (−→v ×−→w ) +−→u • (−→v ×−→r )
De fato, pela distributividade do produto vetorial e do produto escalar com relação a
soma: −→u • (−→v × (−→w +−→r )) = −→u • [(−→v ×−→w ) + (−→v ×−→r )] = −→u • (−→v ×−→w )+−→u • (−→v ×−→r ).
4. α [−→u • (−→v ×−→w )] = (α−→u ) • (−→v ×−→w ) = −→u • ((α−→v )×−→w ) = −→u • (−→v × (α−→w ))
5. −→u • (−→v ×−→w) = (−→v ×−→w ) • −→u
Esta propriedade é uma consequência direta da comutatividade do produto escalar.
Vetores colineares e vetores coplanares
Dizemos que dois vetores não-nulos −→v e −→w do espaço tridimensional são colineares se −→v e
−→w são paralelos. Pelas propriedades de produto vetorial, podemos concluir o seguinte teorema:
Teorema 3. Se −→v e −→w são dois vetores não-nulos do espaço tridimensional, então −→v e −→w
são colineares se, e somente se, −→v × −→w = 0 (ou seja, se, e somente se, ambos os vetores são
paralelos a alguma reta do espaço tridimensional).
Observe que se −→v e −→w forem colineares, existe uma reta passando pela origem do espaço
tridimensional que contém simultaneamente os representantes de −→v e de −→w que tem ponto
inicial na origem (por isso o nome colineares). De fato, basta tomar essa reta como sendo a
reta passando pela origem do sistema de coordenadas e tem a mesma direção dos dois vetores.
Dizemos que os vetores −→u , −→v e −→w do espaço tridimensional são coplanares se o produto
misto deles é nulo, ou seja, se −→u • (−→v ×−→w ) = 0. Observe que isto ocorre apenas nas seguintes
situações: se algum dos três vetores −→u , −→v e −→w for o vetor nulo, se os vetores −→v e −→w forem
paralelos (pois, nesse caso, teremos −→v × −→w = 0) ou se o vetor −→u for perpendicular ao vetor
−→v ×−→w .
Note que, em qualquer uma das três situações, existe um plano contendo simultaneamente
os representantes dos vetores −→u , −→v e −→w com ponto inicial na origem. De fato, se algum dos
9
três vetores for o vetor nulo, então o plano determinado pelos outros dois vetores contém os
vetores (uma vez que um representante do vetor nulo é apenas um ponto). Se os vetores −→v e
−→w forem paralelos, então o vetor −→w está contido no plano determinado pelos representantes de
−→v e −→u . Por �m, se o vetor −→u for perpendicular ao vetor −→v ×−→w , então os três vetores −→u , −→v
e −→w são perpendiculares ao vetor −→v ×−→w , e portanto, seus representantes com ponto inicial na
origem estão contidos em um mesmo plano.
Concluímos assim o seguinte resultado:
Teorema 4. Se −→u , −→v e −→w são três vetores do espaço tridimensional, então −→u • (−→v ×−→w ) = 0
se, e somente se, existe um plano contendo simultaneamente os representantes destes vetores
com ponto inicial na origem (ou seja, se, e somente se, estes vetores são todos paralelos a algum
plano do espaço tridimensional).
−→u −→v
−→w
Exemplo 7. Em cada caso, determine se existe ou não algum plano do espaço tridimensional
que é simultaneamente paralelo aos vetores −→u , −→v e −→w .
(a) −→u = (1, 2, 3), −→v = (2,−1, 4) e −→w = (5, 0,−2).
(b) −→u = (1,−2, 3), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (1, 0, 2).
(c) −→u = (1, 2,−1), −→v = (1, 0, 1) e −→w = (0, 1, 0).
(d) −→u = (1, 2,−1), −→v = (1, 2,−3) e −→w = (2, 4,−6).
Resolução:
(a) Como −→u • (−→v × −→w ) = det
1 2 32 −1 4
5 0 −2
 = 65 6= 0, então os vetores −→u , −→v e −→w não são
coplanares e, portanto, não existe nenhum plano do espaço tridimensional que seja paralelo
simultaneamente a esses três vetores.
(b) Como −→u • (−→v ×−→w ) = det
1 −2 31 2 1
1 0 2
 = 0, então os vetores −→u , −→v e −→w são coplanares e,
portanto, existe um plano do espaço tridimensional que é paralelo simultaneamente a esses
três vetores.
(c) Como −→u • (−→v × −→w ) = det
1 2 −11 0 1
0 1 0
 = −2 6= 0, então os vetores −→u , −→v e −→w não são
coplanares e, portanto, não existe nenhum plano do espaço tridimensional que seja paralelo
simultaneamente a esses três vetores.
10
(d) Como −→u • (−→v ×−→w ) = det
1 2 −11 2 −3
2 4 −6
 = 0, então os vetores −→u , −→v e −→w são coplanares e,
portanto, existe um plano do espaço tridimensional que é paralelo simultaneamente a esses
três vetores.
Exemplo 8. Determine todos os valores de α para os quais os vetores −→u = (2, 1,−4), −→v =
(−1, α, 0) e −→w = (1,−1, 2) são coplanares.
Como −→u • (−→v × −→w ) = det
 2 1 −4−1 α 0
1 −1 2
 = 8α − 2, então os vetores são coplanares ape-
nas quando 8α− 2 = 0 e, portanto, quando α = 2
8
=
1
4
.
Exemplo 9. Determine se existe algum plano do espaço tridimensional que contém simulta-
neamente os pontos A = (1, 1, 0), B = (2, 3,−1), C = (1, 2,−2) e D = (2, 2, 1).
Observe que os pontos A,B,C e D pertencem à um mesmo plano se, e somente se, os ve-
tores
−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD são coplanares. Como
−→
AB = (2− 1, 3− 1,−1− 0) = (1, 2,−1),
−→
AC = (1− 1, 2− 1,−2− 0) = (0, 1,−2),
−−→
AD = (2− 1, 2− 1, 1, 0) = (1, 1, 1) e
−→
AB • (
−→
AC ×
−−→
AD) = det
1 2 −10 1 −2
1 1 1
 = 0,
então os vetores
−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD são coplanares e, portanto, existe um plano do espaço tridi-
mensional que contém simultaneamente os pontos A,B,C e D.
Interpretação geométrica do produto misto
Sejam −→u , −→v e −→w vetores não-nulos que não são coplanares. Considere o paralelepípedo
determinado por −→u , −→v e −→w de base −→v e −→w .
−→w
−→v
−→u
Lembramos que o volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área de sua base pela
sua altura. Como a base do nosso paralelelepípedo é o paralelogramo formado pelos vetores −→v
e −→w , então a área da base é numericamente igual a ||−→v ×−→w ||.
11
−→v ×−→w
−→w
−→v
−→uproj−→v ×−→w−→u
Observe que a altura do paralelepípedo é
h = ||proj−→v ×−→w−→u || =
∥∥∥∥−→u • (−→v ×−→w )||−→v ×−→w ||2 −→v ×−→w
∥∥∥∥ = |−→u • (−→v ×−→w )|||−→v ×−→w ||2 ||−→v ×−→w || = |−→u • (−→v ×−→w )|||−→v ×−→w || .
Logo, o volume do paralelepípedo é
Volume = (área da base) · h = ||−→v ×−→w || · |
−→u • (−→v ×−→w )|
||−→v ×−→w ||
= |−→u • (−→v ×−→w )|.
O que mostramos foi o seguinte teorema:
Teorema 5. Dados três vetores não-coplanares do espaço tridimensional −→u , −→v e −→w , o módulo
do produto misto de −→u , −→v e −→w , isto é, |−→u • (−→v × −→w )| é numericamente igual ao volume do
paralelepípedo determinado por −→u , −→v e −→w .
Exemplo 10. Considere os vetores −→u = (1, 2, 3), −→v = (5, 4, 1) e −→w = (0, 2, 6). Como
−→u • (−→v ×−→w ) = det
1 2 35 4 1
0 2 6
 = −8 6= 0,
então os vetores −→u , −→v e −→w não são coplanares e o volume do paralelepípedo gerado por estes
vetores é |−→u • (−→v ×−→w )| = | − 8| = 8 unidades de volume.
Exemplo 11. O volume do paralelepípedo gerado pelos vetores −→u = (1, 2,−1), −→v = (1, 0, 1) e
−→w = (0, 1, 0) é |−→u • (−→v ×−→w )| = | − 2| = 2 unidades de volume.
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Volume de um tetraedro
O produto misto também pode ser usado para calcular o volume de um tetraedro gerado
por três vetores não coplanares −→u , −→v e −→w .
D
C
B
−→w
−→v
−→u
A
Para tanto usamos que o volume do tetraedro é exatamente
1
6
do volume do paralelepípedo
gerado pelos vetores −→u , −→v e −→w e, portanto,
Volume do tetraedro =
1
6
|−→u • (−→v ×−→w )| .
Exemplo 12. Calcule o volume do tetraedro de vértices A = (0, 0, 1), B = (1, 2, 0), C = (1, 0, 2)
e D = (0, 1, 1).
Observe que esse tetraedro é o tetraedro gerado pelos vetores
−→
AB = (1, 2,−1),
−→
AC = (1, 0, 1) e
−−→
AD = (0, 1, 0). Como |
−→
AB • (
−→
AC ×
−−→
AD)| = | − 2| = 2, então o volume do tetraedro é 2
6
=
1
3
unidades de volume.
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