Atividade A2 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS

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Pergunta 1)
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
Resposta: Uma curva de nível é um subconjunto do espaço image0025e2f17d9_20211112220350.gif.
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto de pontos do espaçoimage0295e2f17d9_20211112220348.gif, para poder visualizar uma representação geométrica da função no planoimage0305e2f17d9_20211112220349.gif recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do planoimage0315e2f17d9_20211112220349.gif. Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do planoimage0315e2f17d9_20211112220349.gif
Pergunta 2)
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função image0375e2f17d9_20211112220404.gif o vetor gradiente é o vetor image1295e2f17d9_20211112220404.gif. Dado um ponto image1305e2f17d9_20211112220405.gif, o vetor gradiente da função image0395e2f17d9_20211112220405.gif no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão image1315e2f17d9_20211112220405.gif.
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função image1325e2f17d9_20211112220405.gif no ponto image1335e2f17d9_20211112220405.gif.
Resposta: 
image1415e2f17d9_20211112220409.gif
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função:
- Derivada deimage1125e2f17d9_20211112220406.gif em relação aimage0405e2f17d9_20211112220406.gif (a variávelimage0415e2f17d9_20211112220406.gif é vista como constante):image1345e2f17d9_20211112220406.gif
- Derivada deimage1125e2f17d9_20211112220406.gif em relação aimage0415e2f17d9_20211112220407.gif (a variávelimage0405e2f17d9_20211112220407.gif é vista como constante): image1355e2f17d9_20211112220407.gif.
Calculando as derivadas parciais no pontoimage1365e2f17d9_20211112220407.gif, temosimage1375e2f17d9_20211112220407.gif eimage1385e2f17d9_20211112220408.gif. Logo, o vetor gradiente éimage1395e2f17d9_20211112220408.gif.
Pergunta 3)
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço image0015e2f17d9_20211112220358.gif, enquanto que o seu domínio é uma região do plano image0025e2f17d9_20211112220358.gif. Para determinar o domínio da função de duas variáveis image0035e2f17d9_20211112220358.gif, precisamos verificar se não há restrições para os valores que image0045e2f17d9_20211112220359.gif e image0055e2f17d9_20211112220359.gif podem assumir.
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função image0065e2f17d9_20211112220359.gif corresponde à região a seguir.
image0075e2f17d9_20211112220359.jpg
 
II. O domínio da função image0085e2f17d9_20211112220359.gif corresponde à região a seguir.
image0095e2f17d9_20211112220400.jpg
 
III. O domínio da função image0105e2f17d9_20211112220400.gif corresponde à região a seguir.
image0115e2f17d9_20211112220400.jpg
 
IV. O domínio da função image0125e2f17d9_20211112220400.gif corresponde à região a seguir.
image0135e2f17d9_20211112220400.jpg
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
Resposta: I, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois:
Afirmativa I: Correta. A funçãoimage0145e2f17d9_20211112220401.gif tem as seguintes restriçõesimage0155e2f17d9_20211112220401.gif eimage0165e2f17d9_20211112220401.gif, portanto, o domínio da função é o conjuntoimage0175e2f17d9_20211112220401.gif, que corresponde à região dada na afirmativa.
Pergunta 4)
As derivadas parciais com relação a image0045e2f17d9_20211112220305.gif e a image0055e2f17d9_20211112220306.gif fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis image0035e2f17d9_20211112220306.gif quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função image0035e2f17d9_20211112220306.gif com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário.
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por image1465e2f17d9_20211112220306.gif. Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função image1475e2f17d9_20211112220306.gif no ponto image1485e2f17d9_20211112220307.gif na direção do vetor image1495e2f17d9_20211112220307.gif.
Resposta: 
image1605e2f17d9_20211112220310.gif
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da funçãoimage1125e2f17d9_20211112220307.gif são:image1505e2f17d9_20211112220307.gif eimage1515e2f17d9_20211112220307.gif, que implicam que o vetor gradiente sejaimage1525e2f17d9_20211112220307.gif. Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos queimage1535e2f17d9_20211112220308.gif. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tomeimage1545e2f17d9_20211112220308.gif. Logo, a derivada direcional procurada éimage1555e2f17d9_20211112220308.gif.
Pergunta 5)
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto image2105e2f17d9_20211112220350.gif do espaço tridimensional é expresso pela função image2115e2f17d9_20211112220351.gif.
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico image2125e2f17d9_20211112220351.gif no ponto image2135e2f17d9_20211112220351.gif.
Resposta: image2235e2f17d9_20211112220353.gif
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é,image2145e2f17d9_20211112220351.gifDado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) éimage2155e2f17d9_20211112220351.gif e sua norma éimage2165e2f17d9_20211112220352.gif, temos que a direção procurada éimage2175e2f17d9_20211112220352.gif
Pergunta 6)
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função image3335e2f17d9_20211112220257.gif, onde image3345e2f17d9_20211112220257.gif é uma constante dada, considere um gás com o volume de image3355e2f17d9_20211112220258.gif sob uma pressão de image3365e2f17d9_20211112220258.gif. O volume está aumentando a uma taxa de image3375e2f17d9_20211112220258.gif e a pressão está decrescendo a uma taxa de image3385e2f17d9_20211112220258.gif por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use image3395e2f17d9_20211112220258.gif).
 
Resposta: 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de image3545e2f17d9_20211112220304.gif por segundo no instante dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideaisimage3405e2f17d9_20211112220259.gif, ondeimage3415e2f17d9_20211112220259.gif, temosimage3425e2f17d9_20211112220259.gif. Pelas informações do enunciado, temosimage3435e2f17d9_20211112220300.gif,image3445e2f17d9_20211112220300.gif,image3455e2f17d9_20211112220300.gif eimage3465e2f17d9_20211112220300.gif. Derivando a funçãoimage3475e2f17d9_20211112220300.gif com relação ao tempoimage3315e2f17d9_20211112220301.gif, pela regra da cadeia, temos:image3485e2f17d9_20211112220301.gif, ondeimage3495e2f17d9_20211112220301.gif eimage3505e2f17d9_20211112220301.gif. Assim,image3515e2f17d9_20211112220301.gif. Portanto, a temperatura está diminuindoa uma taxa deimage3525e2f17d9_20211112220302.gif por segundo no instante dado.
Pergunta 7)
Chamamos de curva de nível da função image0035e2f17d9_20211112220310.gif o conjunto de todos os pares image0385e2f17d9_20211112220310.gif pertencentes ao domínio de image0395e2f17d9_20211112220311.gif tais que image0675e2f17d9_20211112220311.gif, onde image0685e2f17d9_20211112220311.gif é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis.
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta.
Resposta: A equação image0845e2f17d9_20211112220315.gif é uma curva de nível para a função image0855e2f17d9_20211112220315.gif para image0865e2f17d9_20211112220315.gif.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição de curva de nível, temos queimage0335e2f17d9_20211112220311.gif. Assim, igualando a função ao valor deimage0345e2f17d9_20211112220311.gif, temos queimage0695e2f17d9_20211112220311.gif. Portanto, a curva de nível da funçãoimage0705e2f17d9_20211112220312.gif paraimage0715e2f17d9_20211112220312.gif é dada pela equaçãoimage0725e2f17d9_20211112220312.gif
Pergunta 8)
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente.
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função image1905e2f17d9_20211112220243.gif no ponto P(-1,1).
Resposta: image1995e2f17d9_20211112220245.gif
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são:image1915e2f17d9_20211112220243.gif,image1925e2f17d9_20211112220244.gif eimage1935e2f17d9_20211112220244.gif. Logo,image1945e2f17d9_20211112220244.gif. Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado éimage1955e2f17d9_20211112220244.gif
Pergunta 9)
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever image0365e2f17d9_20211112220341.gif. Se image3265e2f17d9_20211112220341.gif e image3275e2f17d9_20211112220341.gif e image3285e2f17d9_20211112220342.gif.
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta.
 
Resposta: As variáveis image3005e2f17d9_20211112220347.gif e image2775e2f17d9_20211112220347.gif são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variávelimage3295e2f17d9_20211112220342.gif depende das variáveisimage0405e2f17d9_20211112220342.gif eimage0415e2f17d9_20211112220342.gif, poisimage3305e2f17d9_20211112220342.gif. No entanto, as variáveisimage0405e2f17d9_20211112220343.gif eimage0415e2f17d9_20211112220343.gif dependem das variáveisimage3105e2f17d9_20211112220343.gif eimage3315e2f17d9_20211112220343.gif e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que as variáveisimage3105e2f17d9_20211112220343.gif eimage3315e2f17d9_20211112220344.gif são as variáveis independentes.
Pergunta 10)
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador.
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função image0985e2f17d9_20211112220354.gif é o conjunto image0995e2f17d9_20211112220355.gif.
II - O domínio da função image1005e2f17d9_20211112220355.gif é o conjunto image1015e2f17d9_20211112220355.gif.
III - O domínio da função image1025e2f17d9_20211112220355.gif é o conjunto image1035e2f17d9_20211112220355.gif.
IV - O domínio da função image1045e2f17d9_20211112220356.gif é o conjunto image0625e2f17d9_20211112220356.gif.
Resposta: 
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que:
Afirmativa I: Correta. O domínio da funçãoimage1055e2f17d9_20211112220356.gif é o conjuntoimage1065e2f17d9_20211112220357.gif.
Afirmativa IV: Correta. O domínio da funçãoimage1075e2f17d9_20211112220357.gif é o conjuntoimage0535e2f17d9_20211112220357.gif