Mecánica - Libro III

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9 7 8 6 0 7 2 0 0 0 9 0 2
ISBN 978-607-2-00090-2
*Edit002060*Pub0125659*
Temas de física
Mecánica
Libro 3
SISTEMAS DINÁMICOS
Mecánica
Libro 3
Fermín Alberto Viniegra Heberlein
SISTEMAS DINÁMICOS
FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM
Mécanica. Libro 3
1a edición, 21 de agosto de 2009
Facultad de Ciencias
Circuito exterior s/n
Ciudad Universitaria, C.P. 04510. México , D.F.
cse@fciencias.unam.mx
ISBN obra completa: 978-970-32-4498-0
ISBN libro 3: 978-607-2-00090-2
Diseño de portada: Laura Uribe
Tipografía y figuras: Mauricio Vargas Díaz
Impreso y hecho en México
D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México
A la memoria de mi madre
Anna Helene Heberlein Lang
(1910-1967)
PREFACIO
Este es el tercer libro de la serie de mecánica que se publica en la Facultad
de Ciencias. Como en los anteriores, para la escritura de éste, unas mo-
destas notas de clase se convirtieron en compilaciones, para finalmente
constituirse en textos serios y formales. Con la publicación de estos tres
libros se han venido a materializar muchos años de experiencia docente
y constituyen la expresión del deseo de contribuir con mi granito de are-
na al mejoramiento de la enseñanza y a la divulgación de la física en la
unam.
Un día, allá por los años setenta del siglo pasado, recibí un recado que
me envió el profesor Juan de Oyarzabal, que a la sazón era coordinador
de la carrera de física en la Facultad de Ciencias de la unam, pidiéndome
que fuera a verle. En cuanto me presenté con él me explicó el motivo de la
entrevista; me dijo, palabras más, palabras menos, que después haber im-
partido durante tanto tiempo el curso de Física Teórica I (mecánica clási-
ca) se sentía cansado, así que estaba pensando en cambiar y ofrecer otros
cursos en la propia Facultad por lo que deseaba que aquella materia fuese
impartida por mí en adelante.
Yo creo que a lo largo de nuestra vida como estudiantes, ha habido al-
gunas personas que de una u otra forma han influido en nosotros y segu-
ramente lo que hemos llegado a ser tiene su marca. Juan de Oyarzabal
fue uno de esos personajes que influyeron muy intensamente en mi for-
mación, tal vez sin que él mismo se hubiera percatado de ello. Su actitud
de permanente curiosidad por la física, su deseo de saber cada vez más, de
explorar nuevos conocimientos, fueron para mí poderosos estímulos, con-
ductas que quise hacer mías para el futuro y llegar a ser, académicamen-
te, un poco como él. La forma de dar sus clases, de preparar ejemplos
atractivos, ingeniosos, didácticos, es algo que he tratado de emular a lo
largo de mi vida como profesor. No me cabe duda que Don Juan, como
le llamábamos con afecto y admiración, ha sido uno de los profesores que
mayor huella dejaron en mi persona.
vii
Por supuesto, cuando mi profesor me ofreció la estafeta para que yo
continuara ofreciendo el curso que había sido de él, acepté de inmediato y
me dediqué a confeccionar uno que tuviese el sello de Juan de Oyarzabal.
Aquella invitación ha representado para mí un honor que siempre habrá
de estar presente en mí y un compromiso de ofrecer a mis estudiantes,
en la medida de lo posible, un cuerpo completo de conocimientos actua-
lizados y de calidad, en el tema de la mecánica clásica.
Nuevos planes de estudio han sido creados para mejorar la enseñanza de
la física; nuevos nombres se han dado a muchas de las materias que hoy
constituyen el currículo de la licenciatura, pero aquellas que se imparten
bajo el gran tema de la mecánica clásica, como la Mecánica Analítica, si-
guen exhibiendo una estructura general que conserva el formato de las cla-
ses que nos dio aquel personaje a los afortunados que pasamos por su aula.
En este tercer volumen presento los dos temas que a mi entender forman
la corona de la mecánica: la formulación de Hamilton y la mecánica analí-
tica de los fluidos. La primera constituye la más profunda concepción del
fenómeno de la dinámica, basada en las ideas de Sir William Rowan Ha-
milton, en el siglo xix, acerca del espacio de las fases, así como de la dinámi-
ca, entendida como un campo físico que permea a todo ese ámbito. Esta par-
te culmina con la formulación de las series de Lie y la llamada ecuación de
Hamilton-Jacobi, así como las soluciones en series de perturbaciones; tan-
to las dependientes del tiempo, como las independientes del tiempo. Por su
parte, la mecánica analítica de los fluidos, si bien comenzó a exponerse en
el libro 2, se presenta aquí como una estructura teórica completa, mas no
cerrada, dentro de la ideología hamiltoniana. Con el material del tercer
libro de la serie Mecánica, puedo decir que el tour que inició con la formu-
lación de Newton y continuó con la de Lagrange, Euler y d’Alembert, ha
concluido, regresando a su punto de partida, mostrando que este tema
es una formidable tautología, estupendamente hilvanada.
Igual como ocurrió con los primeros volúmenes de esta colección, debo
decir que Mecánica. Libro 3 no hubiera podido materializarse sin el concur-
so de una buena cantidad de personas que directa o indirectamente par-
ticiparon en su creación. En primer lugar debo reconocer a los dos o tres mil
estudiantes que han acudido a escuchar mis clases a lo largo de tantos años
que llevo ofreciendo estos cursos; muchos jóvenes brillantes que en ocasio-
nes, con sus preguntas, me han hecho estudiar buscando las respuestas. Sus
nombres se han borrado de mi memoria, pero aún recuerdo sus rostros y
Prefacio
viii
sus comentarios. Debo reconocer también el fatigante trabajo realizado
por colaboradores que se dedicaron a transcribir mis notas a medios elec-
trónicos, como fueron la señorita Rosa de la Cruz Ramírez Rosas, “Rosy” y
el señor Benito Guadalupe Cruz. Debo agradecer muy sinceramente a la
señora Martha Pöhls Padilla, mi gran amiga de toda la vida, su paciencia y
dedicación en la revisión y corrección del trabajo. Muy especialmente debo
dar las gracias por todo el trabajo de hacer y rehacer los tres volúmenes,
con sus comentarios y críticas a la doctora en ciencias Barbarela Dávila Car-
mona. Asimismo, quiero dejar aquí constancia de mi más profundo agra-
decimiento al doctor Ricardo Vera Graziano, actual director del Instituto de
Investigaciones en Materiales de la unam, cuando en su calidad de Coor-
dinador del Posgrado en Ciencias e Ingeniería de los Materiales aportó
una invaluable ayuda material para la publicación de esta colección. No
puedo dejar de reconocer tampoco el apoyo y la ayuda que recibí de la
dirección de la Facultad de ciencias y, sobre todo, estoy muy agradecido
al Programa de Apoyo a Proyectos para la Innovación y el Mejoramiento de
la Enseñanza, papime, que me ha otorgado el financiamiento para la pu-
blicación de esta obra. Y ya para terminar, quiero expresar el agradeci-
miento que debo a mi más joven amiga, la psicóloga Mercedes Perelló Valls,
quien, siempre entusiasta, me ha dado su apoyo y estímulo desde la Coor-
dinación de Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias.
Ciudad Universitaria, Distrito Federal, otoño de 2009
Fermín Alberto Viniegra Heberlein
Prefacio
ix
CONTENIDO
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
9. Formalismo de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 1
9.2. Las ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . 7
9.3. El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos . . . 26
9.4. Las transformaciones canónicas . . . . . . . . . . 56
9.5. Los corchetes de Poisson y las series de Lie . . . . . . 84
9.6. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 107
10. La formulación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . 113
10.1. La ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . 113
10.2. Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo . . 127
10.3. Método de las variables separables . . . . . . . . . 137
10.5. La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo . 164
10.6. Algunas aplicaciones de la teoría de las perturbaciones inde-
pendientes del tiempo . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.6.1. Resolución del problema no perturbado . . . . 179
10.6.2. Resolución del problema perturbado . . . . . 182
10.6.3. Resolución exacta del oscilador perturbado . . . 187
10.7. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 188
11. El formalismo de Hamilton para los fluidos . . . . . 193
11.1. Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos . . . . . 193
11.2. El espacio de las fases de los fluidos perfectos . . . . . 221
11.3. Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Ha-
milton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.3.1 Flujo de un fluido perfecto que fluye sobre una super-
ficie horizontal lisa, en estado estacionario, debido a una pre-
sión aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.4. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 244
xi
Epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Contenido
xii
CAPÍTULO 9
FORMALISMO DE HAMILTON
9.1. Introducción
Con la mecánica analítica dejó de ser un problema plantear las ecuaciones
diferenciales del movimiento. Anteriormente, con el esquema de Newton,
aún los problemas relativamente simples de la mecánica ofrecían dificulta-
des, a veces infranqueables, sobre todo al momento de considerar las fuer-
zas de constricción.
Con la estrategia de la mecánica analítica, por el contrario, plantear cual-
quier problema se reduce a contar el número de grados de libertad que tie-
ne, como la diferencia de las coordenadas menos las constricciones. Luego,
simplemente se construye la función de Lagrange como otra diferencia: la
energía cinética total del sistema, menos la energía potencial y a continua-
ción se sustituye esa lagrangiana en las ecuaciones de Lagrange correspon-
dientes. Aquí acaba el proceso; el problema ha quedado planteado.
Ahora, para llegar finalmente a las soluciones, es necesario integrar las
ecuaciones diferenciales que se plantearon. En esta cuestión muy poco
puede hacer el formalismo de la mecánica analítica. De hecho, descontan-
do el análisis de las variables ignorables, que es fundamental para descubrir
leyes de conservación y con ellas aligerar la carga de las integraciones;
quitando esta ayuda, nada más puede hacer la teoría de Lagrange para
ayudar a la integración. El problema es ahora de talento y de suerte, pues,
en efecto, grandes cantidades de talento se requieren para realizar esos
procesos de inducción que son las integraciones. Se requieren cambios
de variables además de álgebra en cantidades industriales para culminar con
éxito el proceso. Y también suerte, porque de pronto ocurre que una inte-
gral en apariencia amistosa, se torna una verdadera pesadilla y jamás será
posible concluirla. Los matemáticos han avanzado enormidades en el aná-
lisis y han puesto en manos de físicos e ingenieros sus famosos teoremas
1
de existencia y unicidad de soluciones, pero la verdad es que estas herramien-
tas se tienen dentro de gavetas, guardadas, con un vidrio que las protege del
polvo y que lleva un letrero de “rómpase en caso de emergencia”. Solamente
en esas circunstancias se acude a los libros de análisis y, después de mu-
cho pensar, el pobre científico hace una fuerte aspiración, guarda el resue-
llo y se sumerge desesperado, en los océanos de símbolos extraños y concep-
tos fríos y secos que vienen en tales libros. Muchas veces, después de horas
de concentración y de disciplina espartana, llega finalmente al teorema, al
método que parecía el salvador y se lleva la desagradabilísima sorpresa de
que para el problema particular que tiene y por el cual hizo esa agobiante
incursión en el desierto de las matemáticas puras y abstractas, no se tiene si-
quiera una leve luz que alumbre la salida.
En el otro extremo de las cosas, la mecánica clásica de Newton es un
esquema, una estrategia para atacar los problemas de esa parte de la física
que trata del movimiento de los cuerpos materiales. Su importancia ha sido
suficientemente ponderada a lo largo de este libro y no parece ser necesa-
rio abundar más sobre el titánico paso adelante en el conocimiento de la
naturaleza que representó su estructuración y establecimiento. Pero tam-
bién es necesario aclarar, por el bien de la verdad, que la mecánica clásica
de Newton muy poco sirve para la comprensión del fenómeno de la dinámi-
ca. Newton propone que un cuerpo masivo como el Sol, por el solo hecho
de ser una enorme masa, actúa a distancia sobre otros cuerpos: planetas,
asteroides y cometas. Esta es la interacción gravitacional. Posteriormente y
siguiendo la misma línea de pensamiento, Coulomb propone una “explica-
ción” muy parecida a ésta, para el caso de cargas eléctricas que se ponen,
una en presencia de otras. Pero la esencia de las interacciones; esto es, la
explicación acerca de cómo ocurre la propagación del campo gravitacional
al través del espacio y del tiempo, no pudo ser establecida en forma clara
sino hasta mucho tiempo después; hasta cerca de doscientos años más
tarde, cuando se pudo contar con una teoría de los campos físicos; teoría
como la que se expuso en el capítulo 6 del libro 2 de esta serie.
En este sentido se puede decir que la mecánica clásica de Newton, con
todas sus excepcionales virtudes, no estuvo completa desde su estableci-
miento. Así, no permite comprender el fenómeno de la dinámica: la esen-
cia de las fuerzas, su modo de propagación y la forma como provoca en los
cuerpos materiales los cambios de estados de movimiento. Es incapaz de
describir toda una clase de fuerzas: las fuerzas de constricción. Hace, en ge-
Formalismo de Hamilton
2
neral, muy complicado el planteamiento de los problemas y representa un
severo obstáculo para su resolución al no proponer métodos de integración
de las ecuaciones diferenciales de movimiento. Como una teoría inicial,
como una herramienta con la cual el ser humano pudo por primera vez
abordar sistemáticamente un conjunto de problemas y entender en forma
práctica cómo es el Universo, ha mostrado ser formidable, pero al mismo
tiempo ha exhibido una gran cantidad de debilidades y limitaciones.
Lagrange, con su mecánica analítica, dio un primer paso en ambos senti-
dos: en primer lugar, como ya se mencionó, permitió plantear los proble-
mas de la dinámica en forma expedita y clara. También empezó a vislumbrar
que las fuerzas deben tener ciertos mecanismos íntimos de interacción; por
ejemplo, cuando comienza a asociar las simetrías del movimiento con leyes
de conservación. Pero es necesario recalcar que Lagrange tampoco consi-
guió hacer más fácil la integración de las ecuaciones diferenciales de movi-
miento, ni dar más luz sobre la esencia de la dinámica. En este sentido, la
mecánica analítica de Lagrange no fue sino un paso más —muy necesario
por cierto— en la larga jornada de la búsqueda del conocimiento.
De hecho, la aventura no ha terminado aún. Las fuerzas de la naturaleza
han podido ser clasificadas y, según se sabe hoy en día, no hay más de cua-
tro, o tal vez cinco tipos esencialmente distintos de interacciones en todo el
Universo, comenzando con la más débil de todas; la interacción gravitacio-
nal; esa que requiere de cuerpos gigantescos para apenas manifestarse,
siguiendo con la llamada interacción electro débil, que es la que se observa en
el fenómeno de la desintegración beta, cuando el núcleo de algún átomo emi-
te electrones (partículas beta) y neutrinos y se transmuta en otro elemento
de la tabla periódica con un peso atómico mayor. En ese orden, le sigue la
interacción electromagnética, que ocurre por el intercambio de fotones, y lue-
go vienen las interacciones fuertes, que son las que ocurren en los núcleos ató-
micos; son fuerzas de gran intensidad pero de muy corto alcance que son
las responsables de mantener los núcleos delos átomos compactos e imper-
meables al paso de otros cuerpos, oponiéndose a las fuerzas de repulsión
electrostática entre los nucleones. Recientemente se ha sugerido que puede
existir un quinto tipo de interacción que es la llamada bosónica. Esta,
de comprobarse su existencia, permitiría explicar aquellos vínculos que, se
sospecha, ocurren entre ciertas partículas nucleares con espín entero.
Lo cierto es que hasta la fecha aún quedan muchas dudas; muchas pre-
guntas por contestar acerca de las interacciones. ¿Cómo es que, por ejemplo,
Introducción
3
un quantum; una madeja de ondas, adquiere esa cualidad que se llama
“masa” y de qué manera ésta de pronto atrae a otras madejas ondulatorias
que andan por ahí cerca? ¿De qué está hecha, en su más prístina esencia,
eso que se llama carga eléctrica?
Con los modernos, cuanto gigantescos aceleradores de partículas sub-
atómicas; esos toroides magnéticos que se encuentran en las entrañas de
la Tierra, abarcando un área de cientos de kilómetros cuadrados. Tan gran-
des que ocupan parcialmente el subsuelo de dos países: Francia y Suiza, y
en cuyos interiores se aceleran protones a tan altas energías, que sus efec-
tos relativistas, como el aumento de su masa inercial alcanzan valores
enormes; de decenas de kilogramos, cuando en reposo no llegan a 10�27.
Con esos aceleradores se espera provocar colisiones frontales de esas par-
tículas que, literalmente, las desintegren y solamente queden los más
básicos componentes de la materia. Así, buscando en las entrañas de los
protones, después de despanzurrarlos, se espera encontrar aquello que,
cuando forma parte de una de esas partículas subatómicas, le imprime la
característica de tener masa, o carga eléctrica o espín y que al no estar
presente, da como resultado un corpúsculo sin masa, como el fotón, o sin
carga eléctrica, como el neutrino, o sin espín.
Pacientemente, un viejito excéntrico y un tanto misántropo de apellido
Higgs, que hace unos veinte años propuso sus ideas sobre los parámetros
esenciales de la materia; espera al cartero y atisba en su computadora dia-
riamente, allá en las lejanas tierras de Albión, para ver si recibe desde Fran-
cia el deseado mensaje, informándole que su bosón; el mentado bosón de
Higgs; la más escurridiza de todas las partículas, la causante de las propie-
dades básicas de las interacciones entre los cuerpos, al fin fue descubierta
como resultado de una de esas colisiones monumentales.
Inquietos, a unos mil kilómetros de distancia de Dublín, un grupo de
burócratas esperan también esa noticia, para iniciar el proceso que habrá
de culminar con la ceremonia donde el Rey Gustavo de Suecia le dé a
Higgs y a sus colaboradores el Premio Nobel de Física, antes de que el po-
bre viejo pase a mejor vida.
De todos modos, bien sea que se descubra el dichoso bosón de Higgs, o
no, su existencia es, para la mecánica, de muy dudosa importancia. En todo
caso, quienes van a saltar de júbilo cuando se descubra, serán los físicos
nucleares o subnucleares y los militares. Los primeros, porque con ese
hallazgo quizá puedan, ahora sí, proponer un esquema unificador de las
Formalismo de Hamilton
4
interacciones que lleve a colocar las piezas que faltan en el rompecabezas de
la formación del Universo, de la genealogía de las partículas y de la explica-
ción elemental del concepto de energía. ¡Casi nada falta! A los militares,
les ha de dar un gustazo el saber que ya podrán fabricarse nuevas armas,
muchísimo más potentes que las anteriores, que dejen a las bombas de
hidrógeno obsoletas y sea posible matar más eficientemente y a menor
costo a más seres humanos. Imagínese si no va a ser atractivo cargar en la
cabeza de un misil intercontinental, teledirigido, decenas de pequeñas y
livianas ojivas con bombas de bosones de Higgs que conviertan en pomada
otras tantas ciudades atiborradas de millones de indeseables musulmanes,
o comunistas o negros, o tercermundistas.
En todo caso, las interacciones elementales, como es el caso de las fuer-
tes, que ocurren en los núcleos de los átomos, o las electro débiles, que
son responsables por la transmutación de algunos elementos, o bien las
bosónicas —si es que en verdad existen en la naturaleza—, no se observan
a escalas de milímetros o mayores; o bien, no son importantes para alterar
el estado de movimiento de cuerpos materiales macroscópicos. Su alcance
es tan pequeño que no se hacen notables a distancias mayores de unos cuan-
tos centésimos o tal vez milésimos de milímetro. Las otras, como la inter-
acción gravitacional, o la electromagnética, sí son del interés de la mecánica
clásica, porque son fuerzas perceptibles a escalas mucho mayores; incluso
a distancias galácticas; de modo que éstas si hay que tomarlas en cuenta
para describir a las causas de los cambios en los estados de movimiento de
los cuerpos. Sin embargo, no es preciso conocer su esencia última. Así, si
en verdad la interacción entre un electrón y un protón ocurre por la inter-
mediación de un bosón de Higgs, o no, es algo que a la mecánica clásica la
tiene sin cuidado.
Lo que, en cambio, podría interesar a esta teoría, es una explicación
(profunda y convincente), acerca de cómo un cuerpo que posee masa, es
capaz de hacer sensible su presencia a muchos kilómetros de distancia,
modificando de modo muy preciso el movimiento de otros, aún cuando
entre él y los demás cuerpos sólo haya vacío de por medio. Sería muy im-
portante para la dinámica tener un modelo con el cual se comprendiera
ese transporte de información que ocurre al darse un cuerpo generador
de interacciones y otro receptor de ellas. Bueno, ese modelo, si bien rudi-
mentario, es el que se conoce como la teoría clásica de campos; ese tema
que fue desarrollado en el capítulo 6 del Libro 2.
Introducción
5
El 4 de agosto de 1805, nació en Irlanda quien habría de asestar a la
mecánica clásica un empujón colosal que la proyectaría a las alturas. Su
nombre fue William Rowand Hamilton. Ese nombre ya ha sido menciona-
do a lo largo de este trabajo en relación con un postulado básico de la física;
el principio de Hamilton, con el cual ha sido posible sintetizar las ecuacio-
nes de movimiento de los cuerpos materiales macroscópicos, así como las
ecuaciones diferenciales que describen las conductas de los campos físi-
cos al propagar sus efectos por el espacio. Entonces, cuando se tuvo que
invocar al principio de Hamilton, se vio su profundidad y se pudo apreciar
el genio de quien lo postuló.
Pero sería impropio e injusto saber de Hamilton únicamente por su
principio. No es que se quiera minimizar su alcance, ni mucho menos. Por
el contrario, es indispensable en este punto del desarrollo del tema traerlo
a cuento y mencionar todas sus aportaciones a la mecánica. Más bien
resulta aquí oportuno mencionarlo como el genio del siglo xix; el que
penetró más que cualquiera de sus predecesores y que ninguno de los que le
siguieron en esa centuria, en los secretos de las interacciones.
Y quizá la mejor forma de ponderar la genialidad de Hamilton sea re-
visando su trabajo desde un punto de vista crítico. Y tal vez la más sencilla
de abordarlo sea regresando un poco, hasta el capítulo 6, cuando se trató el
asunto de las variables ignorables de la lagrangiana. Como se recordará,
en aquel momento del desarrollo de la mecánica analítica se investigó lo
que ocurre cuando algunas variables; es decir, las coordenadas generaliza-
das de un sistema de N partículas, sujeto a l constricciones holonómicas, no
aparece explícitamente en la función de Lagrange. Se vio entonces que,
asociada a cada coordenada ignorable, aparece una ley de conservación: la
del momento canónicamente conjugado de esa coordenada. En ese momen-
to, cuando se encontró por primera vez una relación directa entre una si-
metría del sistema mecánico al moverse por el espacio y una ley de conser-
vación, en forma casi simultanea se le ocurrió a una gran cantidad de noveles
físicos de la época que si el parámetro tiempo se consideraba una coorde-
nada generalizada más y estavariable, por razones de una simetría temporal
del sistema, resulta ser “ignorable”, en el mismo sentido que lo es una coorde-
nada generalizada; esto es, que no aparece explícitamente en la lagrangiana,
entonces, asociada a ella, debería igualmente aparecer una ley de conser-
vación: la ley de conservación del momento canónicamente conjugado al
tiempo. Y resultó que, en efecto, si el tiempo es ignorable (esto es que el mo-
Formalismo de Hamilton
6
vimiento ocurre en forma estacionaria o permanente), entonces existe; se
da, mejor sea expresado, una ley de conservación. Pero eso que es el momen-
to canónicamente conjugado al tiempo, resultó ser una función bastante
peculiar; la llamada función de Hamilton o hamiltoniana del sistema. Esta
función fue definida en (6.78) y algunas de sus propiedades se estudiaron
entonces. Pero ahora es momento apropiado para terminar con esta ya
larga introducción y comenzar con una nueva sección del libro, justo en el
punto que aquí se ha alcanzado: la hamiltoniana.
9.2. Las ecuaciones de Hamilton
Recordando lo que se vio en el capítulo 6, la hamiltoniana es una función
del estado dinámico que se define, a partir de la lagrangiana L(q,q�,t) como
(9.1)
donde las p´s representan a los momentos canónicos conjugados de las
coordenadas generalizadas q, definidos como
(9.2)
es decir, como las derivadas de la función de Lagrange con respecto a las ve-
locidades generalizadas q� k.
En la fórmula (9.1) se ha adoptado la convención de índices repetidos
para denotar una sumatoria. En este caso la suma “corre” desde el valor uno,
hasta 3N�l, que es el número de grados de libertad que tiene un sistema
de N partículas que se mueven en el espacio de 3D, sujetas a l constriccio-
nes holonómicas.
Si se calcula la diferencial de la hamiltoniana (9.1), se tiene que:*
(9.3)
Las ecuaciones de Hamilton
7
* Aquí, nuevamente, se acepta la convención de Einstein sobre índices repetidos que
se ha utilizado en los libros anteriores.
Pero, por definición de los momentos generalizados, se puede notar
que en (9.3) el primero y el cuarto término del desarrollo se cancelan, así que
lo que sobrevive es lo siguiente:
(9.4)
En (9.4) la función hamiltoniana muestra que no depende de las veloci-
dades generalizadas. Lo que queda en esta fórmula muestra que esta función
depende de las coordenadas generalizadas, de los momentos generalizados
(como también se conoce a los momentos canónicamente conjugados) y del
tiempo; esto es:
(9.5)
ya que al desarrollar su diferencial han aparecido sumas de productos de
ciertos coeficientes, multiplicados por las diferenciales de q´s, de p´s y del
tiempo únicamente. Para que esta dependencia quede absolutamente cla-
ra, se puede desarrollar la diferencial de (9.5), en este caso:
(9.6)
Ahora, identificando término a término de (9.4) y (9.6), se obtiene que:
(9.7)
(9.8)
(9.9)
Las anteriores, son las condiciones diferenciales que debe satisfacer la
función de Hamilton para que 1) sea en verdad función de q´s, p´s y t y,
2) que provenga de la lagrangiana, de acuerdo con la fórmula (9.1).
Formalismo de Hamilton
8
Las ecuaciones de Hamilton
9
Más aún, si la función de Lagrange L(q,q�,t) satisface las ecuaciones dife-
renciales
(9.10)
correspondientes a un sistema de N partículas, sujeto a l constricciones holo-
nómicas y además está sujeto a la acción de fuerzas generalizadas no con-
servadoras Qk, entonces, despejando de (9.10) la derivada de la lagrangiana
con respecto a las coordenadas generalizadas y sustituyendo en (9.7), se
obtiene junto con (9.8) un juego de expresiones muy interesantes:
(9.11 a)
(9.11 b)
Estas son 6N�2l ecuaciones diferenciales ordinarias, acopladas, de pri-
mer orden en las coordenadas generalizadas y en los momentos generaliza-
dos. Dada la hamiltoniana, se calculan sus derivadas con respecto a las coor-
denadas generalizadas y los momentos canónicos conjugados de ellas y cada
una de estas primeras derivadas se igualan a las correspondientes derivadas
de momentos y coordenadas, tal como se indica en (9.11); así se plantean
estas ecuaciones diferenciales ordinarias. Integrándolas lo que se consigue
son las expresiones para las coordenadas y los momentos, como funciones
del tiempo:
(9.12 a)
(9.12 b)
Un ejemplo muy sencillo; casi trivial puede ayudar a comprender las
afirmaciones anteriores. Considérese el caso de un cuerpo con masa m, que
cae desde una cierta altura h debido a la acción de la gravedad. Si se des-
precia la fuerza de fricción del aire, se puede plantear el problema así: su fun-
ción lagrangiana se construye de inmediato para un grado de libertad:
(9.13)
Por lo tanto, el (único) momento canónico conjugado a la coordenada
x es:
(9.14)
Entonces, siguiendo la definición (9.1), se construye la función de Ha-
milton como sigue:
(9.15)
Ahora, calculando las derivadas de la hamiltoniana con respecto a la coor-
denada x y con respecto al momento p, tal como se indica en las fórmulas
(9.11 a) y (9.11 b), para el caso en que la fuerza generalizada no conserva-
dora Qk es igual a cero, se plantean las ecuaciones diferenciales ordinarias
siguientes:
(9.16 a)
(9.16 b)
Si se integra la primera de estas ecuaciones diferenciales; la (9.16 a), se
consigue inmediatamente que:
Así que imponiendo la condición inicial de que en el instante t0 igual a
cero, el momento p0 tenía el valor cero, se tiene una solución:
(9.17)
Formalismo de Hamilton
10
Se puede sustituir ahora el resultado (9.17) en la ecuación diferencial
(9.16 b) y en tales circunstancias se puede integrar
dando como resultado el siguiente:
(9.18)
que, como se recordará, es, en efecto, la expresión matemática que describe
la caída de un cuerpo que parte del reposo a una altura h, actuado por la gra-
vedad terrestre.
Con este sencillo ejemplo se ha mostrado como el sistema de ecuaciones
diferenciales acopladas, de primer orden, como (9.11), permite hallar las
ecuaciones de movimiento de los cuerpos materiales, urgidos por fuerzas,
en el espacio de configuración del sistema.
A las expresiones (9.11) se les conoce como las ecuaciones de Hamilton y
con el ejemplo anterior ha quedado claro que se trata de un sistema de ecua-
ciones diferenciales de movimiento de los cuerpos. Es otra alternativa di-
ferente a las ecuaciones diferenciales de Lagrange.
Como se aprecia, por su estructura, las ecuaciones diferenciales de Hamil-
ton son de primer orden, así que se puede decir que se trata de la linealiza-
ción de las ecuaciones de Lagrange que, como se recordará, son de segundo
orden. Por la misma razón, el número de ecuaciones diferenciales se ha du-
plicado, pues en tanto que para Lagrange hay 3N�l, en el caso de Hamilton
hay 6N�2l ecuaciones diferenciales.
Podría generarse la idea, a partir de las consideraciones anteriores, que las
ecuaciones diferenciales de Hamilton son más sencillas, desde el punto de
vista de su resolución. Como se recordará, existen por allí teoremas de la ma-
temática que aseguran que toda ecuación diferencial ordinaria de primer
orden es integrable, así que, tratándose, como se ve, de un sistema de ecua-
ciones diferenciales de primer orden, que son ordinarias, se podrá inferir que,
en efecto, la formulación de Hamilton ofrece como ventaja sobre la de New-
ton o la de Lagrange, que es más sencilla para su manipulación y resolu-
ción. Esto no es verdad en general. Por el contrario, para la mayoría de los
problemas de la mecánica que se abordan, la integración de las ecuaciones
Las ecuaciones de Hamilton
11
diferenciales de Hamilton es algo que dista mucho de ser fácil. Esto se debe
a que el sistema de ecuaciones diferenciales casi siempre exhibe un gran
acoplamiento; es decir, no es posible resolver una ecuación diferencial de
Hamilton por separado de las demás, porque las variables están, en efecto,
muy estrechamente acopladas entre sí, de manera que la única forma de
resolver el problema, es tratar de integrar al sistema de ecuaciones diferen-
ciales completo; todas a la vez. Esto complica su resolución.Sin embargo,
como se verá más adelante, la formulación de Hamilton es fundamental
para comprender profundamente el fenómeno de la dinámica.
Igualmente se podría llegar a la idea de que para abordar el esquema de
Hamilton de la mecánica se debe pasar forzosamente por las ecuaciones
de Lagrange. Al menos esta fue la estrategia que se utilizó aquí para hacer-
lo. Nuevamente aquí hay un error de apreciación. Es posible llegar a las ecua-
ciones diferenciales de movimiento “a la Hamilton”, a partir del principio
de acción extremal en forma por demás directa. Lo único que es preciso ha-
cer es postular a la acción como la función siguiente:
(9.19)
Claramente, (9.19) es lo mismo que la funcional que se propuso en el
capítulo 6, en (6.14), para el caso en que no hay fuerzas disipadoras actuan-
do sobre el sistema de partículas. Esto se ve de inmediato si se despeja de
(9.1) a la función de Lagrange.
Ahora, imponiendo el principio de acción extremal de Hamilton
sobre la funcional (9.19); esto es, afirmando que en el espacio de con-
figuración, la trayectoria que ha de dibujar el sistema de N particulas,
sujeto a l constricciones, es aquella que corresponde a un valor de la
acción que es un extremo; i.e.: un máximo o un mínimo, se obtiene, si-
guiendo los mismos pasos lógicos que en la formulación lagrangiana, lo
siguiente:
Esto implica que la integral en (9.19), calculada para las variaciones de
las coordenadas y de los momentos, es como sigue:
Formalismo de Hamilton
12
(9.20)
con regla de suma sobre índices repetidos.
Si se integra por partes el primer término de la izquierda en (9.20), se
obtiene, en forma sencilla y directa el resultado que a continuación se ex-
hibe:
(9.21)
Pero si se recuerda bien la argumentación que se dio en el capítulo 6
para obtener las ecuaciones diferenciales de Lagrange, se puede aplicar
también aquí para simplificar la integración en (9.21). En efecto, cabe
recordar que este proceso se ha llevado en el espacio de configuración del
sistema. En él se han establecido dos puntos por los que ciertamente debe
pasar el sistema, tal como se exhibe en la figura 6.2.1. Uno es el punto P, al
que llega el sistema en el instante t1 y el otro es el punto Q, al que llega en
el instante posterior t2.
Sin conocer a priori la trayectoria por la que realmente tendrá que
pasar el sistema, se puede afirmar, sin embargo, que cualquiera sea ésta,
tendrá forzosamente que pasar por esos dos puntos, en los instantes seña-
lados.
Las variaciones que sufre una trayectoria dada a priori son hasta cierto
punto arbitrarias excepto en esos dos puntos; todos los senderos que se tra-
cen deberán pasar por P(t1) y Q(t2). Por lo tanto, la variación de las coorde-
nadas, evaluadas en esos dos instantes, es idénticamente igual a cero.
Este hecho permite apreciar que en (9.21), el término dentro del parén-
tesis rectangular de la derecha en nulo. Por lo tanto el resultado es que:
(9.22)
Si ahora se incorpora este hallazgo en la integral (9.20) y se factoriza, se
obtiene lo siguiente:
Las ecuaciones de Hamilton
13
(9.23)
Pero el segundo paréntesis de la izquierda es nulo debido a la definición
que se hizo de la hamiltoniana, como una transformación de la lagran-
giana, tal como se propuso en (9.1). Esto responde a una propiedad gene-
ral de las funciones continuas de diversas variables y es conveniente detener-
se un poco en este punto para aclarar esto, pues no solamente aquí se ha de
presentar este problema; a lo largo de este capítulo habrá que lidiar con
tales cuestiones.
Supóngase, para tal efecto, que se tiene una función de dos variables, que
sea derivable f (x,y). Se puede construir a partir de ésta, una nueva función
llamada la transformada de Legendre de la siguiente forma:
(9.24)
Formalismo de Hamilton
14
Q (t2)
P (t1)
Figura 9.2.1. En el espacio de configuración de 3N�l dimensiones, el sistema
sigue alguna trayectoria que pasa por el punto p(t1) y por el punto Q(t2) necesa-
riamente.
es decir, la nueva función g se construye como el producto de la derivada
de la función original f con respecto a alguna de sus variables, multiplicada
por esa misma variable, menos la función. A esa derivada se le puede iden-
tificar como una de las pendientes de la función. Para distinguirla, sea
(9.25)
y se le llamará en adelante, genéricamente, el momento conjugado de x, de tal
manera que el producto que aparece en (9.24) es el del momento conjuga-
do, por su variable. A este producto se le conoce como el kernel de la trans-
formación de Legendre y, como se verá, juega un papel esencial en esa regla
de transformación. Así pues, para el ejemplo que aquí se maneja, el kernel
de la transformación es
Si se calcula la diferencial de (9.24) se obtiene lo siguiente:
de acuerdo a la definición (9.25). Pero desarrollando la diferencial de la fun-
ción f que aparece al extremo de la derecha de la expresión anterior, se
tiene que:
(9.26)
debido a la definición (9.25).
Así, por virtud de su estructura, se observa que la nueva función g; la
que se ha definido en (9.24), ya no depende de la variable x. En cambio, tal
como se ve de (9.26) aparece ahora una dependencia en el momento con-
jugado. Así, la transformación de Legendre (9.24) no nada más ha permi-
tido definir una nueva función, sino que ésta tiene una dependencia de una
nueva variable:
(9.27)
Las ecuaciones de Hamilton
15
de tal forma que, si se extrae la diferencial de (9.27), se obtiene que
(9.28)
donde, comparando término a término (9.26) con (9.28), se demuestra que:
(9.29 a)
(9.29 b)
Estas son las ecuaciones diferenciales que debe satisfacer g para que esta
función sea, en verdad, la transformada de Legendre de la función f (x,y)
original.
La idea se puede extender a funciones derivables con cualquier número
de variables. Por ejemplo, una función
de n variables, puede dar lugar a una nueva función; la transformada de Le-
gendre de ésta, definida como:
(9.30)
con
(9.31)
En esta transformación de Legendre, el kernel (núcleo o hueso en ale-
mán), es la sumatoria
Formalismo de Hamilton
16
y de su mera inspección se ve que la nueva función g dependerá de los i mo-
mentos conjugados (9.31); esto es:
(9.32)
así como del resto de las variables x; aquellas que por no aparecer en el
kernel, no sufrieron la transformación. Así, la nueva función depende de mo-
mentos canónicos y de variables originales, tal como se muestra en (9.32).
Esta nueva función, satisface, además, las condiciones diferenciales:
(9.33 a)
(9.33 b)
Por supuesto, y ya para concluir este tema y cerrar el paréntesis sobre
transformaciones de Legendre, kerneles y momentos canónicos, cabe ha-
cer el comentario de que la transformación de la variables por momentos
puede ser total. En tales circunstancias, el kernel debe incluir la suma de pro-
ductos de todas las variables, por sus correspondientes momentos conju-
gados. En este caso, para una función de n variables, como la que se con-
sideró anteriormente, se tiene que:
y las condiciones diferenciales que debe satisfacer esta función para, en ver-
dad, ser la transformada de Legendre de la original, son las siguientes:
(9.34)
Regresando al formalismo de Hamilton, es posible ver ahora desde la
perspectiva que se presentó con las transformaciones anteriores, que la fun-
ción de Hamilton, tal como se ha definido, es, ni más, ni menos, que la
transformada de Legendre de la lagrangiana. Es una transformada parcial
Las ecuaciones de Hamilton
17
que solamente involucra a las velocidades generalizadas, como se puede ver
de su kernel:
Cada una de las velocidades generalizadas es canjeada por su momento
canónico conjugado, de manera que la hamiltoniana depende de las coor-
denadas generalizadas, pero ya no de las velocidades, pues éstas han dado
paso a los momentos:
Además, siendo la hamiltoniana una transformada de Legendre de la
lagrangiana, debe satisfacer las condiciones diferenciales
(9.35 a)
(9.35 b)
Y es aquí donde aparece el ingrediente que se necesitaba para continuar
adelante conel proceso de variación de la acción que condujo hasta la expre-
sión (9.23). Ahora puede verse con toda claridad que en el segundo parénte-
sis de la izquierda de esa expresión, las cantidades que allí aparecen descritas
se cancelan una a una, debido a la condición diferencial que debe satisfacer la
hamiltoniana. De acuerdo con (9.35 b), en efecto, los coeficientes de las varia-
ciones de los momentos canónicos conjugados son todos nulos. Por lo tanto,
lo que resta por considerar para hacer válido el principio de Hamilton es que:
(9.36)
Pero ahora, invocando a la independencia lineal de las variaciones de las
coordenadas generalizadas, así como a la arbitrariedad que tiene la elección
Formalismo de Hamilton
18
de los instantes t1 y t2 asociados a los puntos por los que ciertamente debe pa-
sar el sistema en su evolución en el espacio de configuración de 3N�l di-
mensiones, se ve que los coeficientes de éstas deben ser así mismo nulos;
esto es:
(9.37)
Así, el principio de Hamilton conduce a las ecuaciones de Hamilton
(9.37). Éstas son la mitad del sistema total de ecuaciones diferenciales de
movimiento; la otra mitad está dada a priori por la definición misma de la
hamiltoniana en (9.35 b).
Para el genio de Hamilton no pasó desapercibida esa curiosa disposi-
ción de coeficientes y las variaciones en la expresión (9.23) y su resolución
final en dos juegos de ecuaciones diferenciales de movimiento (9.35 b) y
(9.37). A Hamilton le dio la impresión desde el principio que las coorde-
nadas y los momentos generalizados estaban apareciendo en posiciones y
con características muy paralelas, unos y otros. De hecho, si las coordenadas
generalizadas y los momentos canónicos conjugados se tomaran como un
solo juego de variables linealmente independientes, entonces, invocando
precisamente a la independencia lineal del conjunto completo de ellas, se
sintetizan inmediatamente, a partir de (9.23) los dos juegos de ecuaciones
diferenciales (9.35 b) y (9.37). Pero esto significa, de ser correcta, la sospe-
cha de Hamilton, que hay un espacio de una dimensión mayor que el de
configuración, donde pueden representarse los movimientos de un sistema
de partículas.
Armado de valor, Hamilton propuso el espacio de las fases de un sistema
de N partículas puntuales, sujetas a l constricciones holonómicas como un
espacio métrico con 6N�2l dimensiones. En ese espacio, un punto se
ubica mediante 3N�l valores de otras tantas coordenadas generalizadas
q1,q2,…,q3N�l y 3N�l valores de los momentos canónicos p1,p2,…,p3N�l de
ese sistema. Una línea, entendida como la sucesión de puntos de ese espa-
cio de fases, representa la evolución del conjunto de partículas, si se parame-
triza con el tiempo como el parámetro de orden. Esa línea va dando,
punto a punto, la información sobre las coordenadas y los momentos
generalizados del conjunto, instante a instante. Esas coordenadas y esos
momentos generalizados son, precisamente, las soluciones del sistema de
Las ecuaciones de Hamilton
19
ecuaciones diferenciales de movimiento, de Hamilton, (9.35 b) y (9.37),
calculados para cada valor del tiempo t.
En el espacio de las fases, o espacio fásico, como también se le conoce, la
trayectoria que sigue el sistema, al que en adelante se le denominará sistema
dinámico, es pues, la solución de las ecuaciones de Hamilton.
Siendo ecuaciones diferenciales de primer orden, para que quede el pro-
blema totalmente resuelto, hay que imponer condiciones iniciales, como
bien se sabe y también, como es del dominio público éstas deben referirse
a un solo punto del espacio fásico, por el que ciertamente debe pasar este sis-
tema en un instante predeterminado. Aquí es importante percatarse de
las diferencias que comienzan a aparecer al considerar el espacio de las fa-
ses, con respecto al espacio de configuración de la mecánica analítica de
Lagrange. En este espacio se postulan solamente 3N�l dimensiones; es un
espacio homogéneo y para resolver un problema de la dinámica se precisa
un par de puntos P(t1) y Q(t2), determinado previamente, como condicio-
nes iniciales. En el de las fases, son el doble de dimensiones que en el de
configuración; es un espacio métrico (como se verá más adelante) y sola-
mente es necesario imponer como condición inicial un punto por el que
el sistema dinámico habrá de pasar en un instante t0, previamente estable-
cido. Ese único punto del espacio fásico provee la información completa
que es necesaria para situar al sistema en cierta colocación inicial y conocer
su momento inicial; por lo tanto es equivalente a la designación de los dos
puntos del espacio de configuración de la mecánica analítica de Lagrange.
Dado ese único punto inicial del espacio de las fases, la evolución del siste-
ma dinámico queda totalmente determinada.
Un sistema así, se dirá en adelante que es causal; esto es, que a partir de
un instante inicial t0, se puede conocer su evolución en cualquier tiempo
posterior (o anterior) t. Por lo tanto, si se va a establecer la funcional de
acción para el sistema en el espacio de las fases, ésta debe considerarse
como una integral semi-definida; esto es, con una de sus cotas cerrada y la
otra abierta. Esta funcional, para el caso en que no existan fuerzas no-con-
servadoras debe ser postulada como sigue:
(9.38)
Formalismo de Hamilton
20
Es decir, como una función de las coordenadas generalizadas y de los
parámetros de curva (los mismos que se usaron en la formulación de La-
grage). Además, ahora, debido a su estructura, la acción ya no es más un
número para cada curva tomada a priori en el espacio de fases, como era
el caso de la mecánica de Lagrange. Por su naturaleza, la acción definida en
(9.38) es una función que depende del tiempo. De hecho, su dependencia
temporal puede ser explícita e implícita, a través de las coordenadas gene-
ralizadas del sistema.
El problema de extender la mecánica desde el espacio de configuración
hasta un nuevo espacio: el de fases, con el doble de dimensiones, no es sen-
cillo. Excepto por unos cuantos autores que se han preocupado por hacer
el estudio de la transición con todo el cuidado que se requiere, todos los
demás la han hecho así nomás; al “ahí se va”; con la brutalidad caracte-
rística de muchos; muchísimos físicos del azadón y la pala. El propio H.
Goldstein, en su clásico libro de la mecánica, o los dos inseparables L. D.
Las ecuaciones de Hamilton
21
{pi}
{qi}
R (t0)
Figura 9.2.2. El espacio de las fases se construye con las coordenadas �q1…� y los
momentos �p1…�. La trayectoria que sigue un sistema dinámico se conoce a partir
de un solo punto R(t0).
Landau y E. Lifshitz, incurren en la misma falta de cuidado y pulcritud al
hacer la descripción de este escalamiento al espacio físico.
Hay que irse con mucho cuidado para dar pasos seguros en este espino-
so, cuanto interesante proceso intelectual. Sólo así podrá llegarse a la meta
en forma precisa y clara.
Para comenzar, es necesario recalcar que la acción (9.38) es una función.
En efecto, debido a que ahora la integral que la define ya no está acotada
por sus extremos, sino que es semi-definida, entonces es preciso percatar-
se que, en efecto, esta entidad física llamada la acción, es una función de las
coordenadas generalizadas, del tiempo y de los parámetros de las curvas.
Esto se puede demostrar fácilmente si se toma la diferencial de (9.38).
Haciéndolo se obtiene lo siguiente:
(9.39)
Esta forma diferencial sugiere de inmediato que la acción A; es una fun-
ción de tal conjunto de variables, con las condiciones diferenciales que a con-
tinuación se escriben:
(9.40)
(9.41)
Así, la acción A, constituye en efecto, una familia de funciones de las
coordenadas y del tiempo; una por cada conjunto de valores de los pará-
metros que identifican a las curvas:
(9.42)
Supóngase ahora que se opera sobre la acción (9.38) una variación con
respecto a los parámetros que identifican a las curvas en el espacio de 6N�2l
dimensiones de las fases, donde q´s y p´s constituyen un conjunto, una
colección de variableslinealmente independientes. Como resultado de
esta variación se obtiene lo siguiente (una vez realizada la integración por
partes del primer término):
Formalismo de Hamilton
22
(9.43)
Pero, por definición y de acuerdo con (9.42), la variación de la acción
debe entenderse de la siguiente manera:
(9.44)
con la regla de suma sobre los índices repetidos.
Entonces, sustituyendo el resultado (9.44) en (9.43) y recordando la
condición diferencial (9.40), se obtiene que:
(9.45)
siendo �* A la llamada “variación sustancial” de la acción, definida como:
es decir, como la derivada de la acción con respecto a los parámetros de
curva, por las variaciones de estos parámetros.
¡Ahora sí! Invocando a la independencia lineal de las 6N�2l variables
(3N�l �q´s y 3N�l �p´s) en el espacio de las fases del sistema dinámico
que se estudia, se demuestra de inmediato, de acuerdo con (9.40) y (9.45),
que para el caso de ausencia de fuerzas no-conservadoras, las ecuaciones son
las siguientes:
(9.46 a)
(9.46 b)
Las ecuaciones de Hamilton
23
Estas son, en efecto, las ecuaciones diferenciales de movimiento de Ha-
milton, para un sistema de N partículas puntuales, masivas, que se mueven
en el espacio, actuadas por fuerzas conservadoras y sobre las cuales operan
l constricciones holonómicas.
Las condiciones diferenciales (9.40) y (9.41), por su parte, juegan un
papel de primera importancia en la mecánica. De hecho, estas dos expre-
siones constituyen toda una formulación de este tema, como se verá más
adelante. Sin embargo, por razones didácticas, en este momento no se hará
mayor comentario acerca de ellas.
Y antes de abandonar este asunto de establecer las ecuaciones diferencia-
les de movimiento de Hamilton en el espacio de las fases, para tocar otros
temas importantes, vale la pena hacer un último comentario sobre el pro-
ceso de variación que acaba de utilizarse para obtener todas aquellas.
Si se desea conciliar los métodos que se han empleado para alcanzar las
ecuaciones diferenciales de Hamilton y de Lagrange, es posible proceder
como sigue:
Debe quedar bien claro para el estudioso del tema de la mecánica que
postular un espacio de las fases y una familia de funciones de acción, como
la que se estableció en (9.38), es una estructuración muy fuerte y muy am-
plia en la mecánica, en el sentido que no se necesita un postulado más para
lograrlo. Así, un espacio fásico y una función de acción como la (9.38) es
lo único que se requiere para llegar a las ecuaciones de Hamilton.
Por su parte, el espacio de configuración de la mecánica analítica de
Lagrange, aparece ahora como un subespacio del espacio de las fases.
Para hallar las ecuaciones de Lagrange, viendo las cosas en retrospectiva, se
requiere postular una funcional de acción, como se hizo en el capítulo 6, en
(6.14), definida en dos instantes (dos puntos del espacio de configuración) y
un principio de extremalización de la acción: el de Hamilton. Este princi-
pio fue instrumentado mediante la introducción de una parametrización del
espacio de configuración. Con esta técnica se pudieron calcular las variacio-
nes. En particular, haciendo la variación de la acción igual a cero se consiguió
el juego de ecuaciones diferenciales de movimiento de Lagrange (6.27).
Pero ahora, si las ecuaciones diferenciales de movimiento (9.46) son vá-
lidas (cosa que siempre ocurre en los casos de ausencia de fuerzas no-conser-
vadoras) y adicionalmente se impone el postulado de acción extremal.
Formalismo de Hamilton
24
para cada plano como el que se muestra en la figura 9.2.3, entonces, es im-
portante percatarse que, de acuerdo con (9.43), se debe satisfacer que
En otras palabras, para cada hiperplano �p� � constante, las variaciones
de las coordenadas generalizadas deben ser normales. Este resultado im-
plica dos cosas de gran valor en la teoría: la primera es que el subespacio de
las coordenadas es normal al subespacio de los momentos (y por lo tanto
son topológicamente separables) en el espacio de las fases del sistema, y en
segundo lugar, que solamente hace falta un juego de 3N�l parámetros
geométricos para implementar el principio variacional de la acción; los
mismos parámetros que sirvieron para hallar las ecuaciones de Lagrange.
En la figura 9.2.3 se muestra cómo una trayectoria en el espacio de las fa-
ses se ve variada. En cada plano p � constante y para cada instante, se va-
rían las coordenadas generalizadas de acuerdo con el juego ��1, �2,…, �3N�l�
de parámetros geométricos del espacio de configuración. Este juego es lo
único que se necesita para llevar a cabo el proceso. Por lo tanto, la función
Las ecuaciones de Hamilton
25
{pi}
q1
0 q3N�l
Figura 9.2.3. Se dibuja esquemáticamente una trayectoria y su variación en el
espacio fásico. Las trayectorias atraviesan planos p � constante.
de acción (9.38) depende implícitamente de esta misma colección de pa-
rámetros geométricos; i.e.:
(9.47)
Estos resultados se explotarán ampliamente en adelante; por ejemplo,
cuando se desarrolle el más conspicuo formalismo de la mecánica, conoci-
do como la Teoría de Hamilton-Jacobi.
9.3. El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, se invocará siem-
pre al problema de hallar las soluciones para el movimiento de un sistema
de N partículas puntuales, masivas, que están sujetas a fuerzas aplicadas,
conservadoras, así como a l constricciones holonómicas. En otras palabras,
se soslayará la presencia de fuerzas no-conservadoras y de constricciones
anholonómicas. Así, las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamil-
ton exhiben la estructura mostrada en (9.46). También, en todo lo que
sigue, se considerará como natural para representar al sistema dinámico, el
espacio de las fases, de 6N�2l valores; 3N�l de las coordenadas generali-
zadas y 3N�l de los momentos. En un instante dado, esa colección da idea
del estado dinámico del sistema. Por supuesto, una línea se construye en el
espacio de las fases como una sucesión continua de puntos, así que esta per-
mite representar la trayectoria que sigue el sistema en su evolución a lo lar-
go del tiempo.
En este espacio, las propiedades de simetría de un sistema dinámico tie-
nen una simple interpretación geométrica. Así, si se da el caso de que en la
hamiltoniana no aparecen ciertas coordenadas generalizadas; esto es, que hay
grados de libertad que son ignorables (en el mismo sentido de la palabra
que se usó para designar coordenadas generalizadas ausentes en la formu-
lación de Lagrange), entonces se ve inmediato de (9.46) que hay leyes de
conservación asociadas a ellas.
En efecto, supóngase que alguna coordenada generalizada qi (donde
i es un índice que representa alguno de los valores entre 1,2,…, hasta
3N�l ) no aparece explícitamente en la función de Hamilton. Se dice en-
tonces que esta coordenada es ignorable. Además, al derivar la hamiltonia-
Formalismo de Hamilton
26
na con respecto a qi, se obtiene cero como resultado, entonces, de acuerdo
con (9.46 a) se tiene para este caso que
(9.48)
lo cual significa obviamente que el momento canónico conjugado a esa va-
riable permanece constante a lo largo del movimiento del sistema; esto es,
que
(9.49)
Igual como ocurre en el formalismo de Lagrange, en el de Hamilton
aparece ese vínculo entre simetrías del sistema y leyes de conservación:
por cada coordenada generalizada ignorable, un momento generalizado;
el momento canónico conjugado de ella se conserva. Solo que en el for-
malismo de Hamilton este resultado es inmediato, como se aprecia de
(9.48).
Geométricamente se puede dar interpretación a una coordenada igno-
rable, como la presencia de un plano (el plano pi � const.) a lo largo del cual
ocurre el movimiento. En otras palabras, aunque el espacio de fases del
sistema sigue siendo de 6N�2l dimensiones, el movimiento ocurre en un
subespacio de 6N�2l�1 dimensiones, del espacio original. Una dimensión
de menos por cada coordenada ignorable.
Pero he aquí que lo mismo ocurre con losmomentos generalizados; esto
es, que si uno de ellos no aparece explícitamente en la función hamiltonia-
na, entonces, igualmente, su coordenada generalizada conjugada se con-
serva. En efecto, si por ejemplo, el momento pi es ignorable, entonces la de-
rivada de la hamiltoniana con respecto a él es nula y, de acuerdo con
(9.46 b), se tiene que:
(9.50)
de tal forma que ahora la qi es constante. El sistema se encuentra constre-
ñido a moverse en una dimensión de menos del subespacio de las coor-
denadas generalizadas.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
27
Lo más interesante de estos resultados es que con el formalismo de Hamil-
ton las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados parecen
jugar papeles enteramente semejantes. Es, para decirlo en forma coloquial,
como si entre las coordenadas y los momentos apareciera una especie de
democracia, que permite darles roles equivalentes en el movimiento del sis-
tema. Si una de esas variables es ignorable; bien sea una coordenada o un
momento, su canónico conjugado de inmediato exhibe su conservación.
Así, el juego de la mecánica hamiltoniana se puede conducir en forma uni-
ficada. Si a coordenadas y momentos se les designa genéricamente por la letra
x; esto es; se hace la nueva identificación de estas variables del siguiente modo:
(9.51)
de tal suerte que se elimina la distinción entre coordenadas y sus momentos,
entonces la hamiltoniana es, simplemente, una función de las x´s y las ecua-
ciones de Hamilton se pueden escribir en forma unificada como:
(9.52)
siendo A y B índices que adquieren valores dentro del conjunto extendido,
desde 1 hasta 6N�2l y con la regla de suma sobre índices repetidos. En (9.52)
se ha escrito un tensor métrico fundamental con la siguiente estructura:
Formalismo de Hamilton
28
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
29
(9.53)
esto es, como una matriz de (6N�2l ) � (6N�2l ) cuyos elementos se
hallan dispuestos, tal y como se muestra en (9.53), como arreglos de cua-
tro bloques de (3N�l ) � (3N�l ) donde 0 es la matriz de ceros y 1 es
la matriz unidad:
Por ejemplo, si se trata del movimiento de un cuerpo material con un
solo grado de libertad, entonces sus ecuaciones de Hamilton, escritas con
la notación y con la fórmula (9.52) son las siguientes:
(9.54)
Para describir en forma aún más simple el sistema de ecuaciones diferen-
ciales (9.54) se puede, sencillamente, hacer la identificación siguiente:
(9.55 a)
(9.55 b)
en cuyo caso las ecuaciones de Hamilton adquieren la forma:
Formalismo de Hamilton
30
(9.56 a)
(9.56 b)
Esta es, para un movimiento en una dimensión, la expresión de sus
ecuaciones diferenciales de movimiento. Esta es la forma que identifica a los
sistemas dinámicos.
Aún más específicamente, si el movimiento de un sistema dinámico no
depende explícitamente del tiempo, se dice que el sistema es autónomo. En
este caso las ecuaciones son las siguientes:
(9.57 a)
(9.57 b)
o bien, si �1 no es una función nula:
(9.58)
y de esta forma ya no aparece el tiempo. Esta ecuación diferencial da la fa-
milia de las tangentes a la curva que representa el movimiento del sistema
dinámico en cada punto del espacio de las fases. Si para algún par de valo-
res x1 y x2 específico, la relación (9.58) fuera indeterminada, se dice que esas
coordenadas del espacio fásico corresponden a un punto crítico.
Pero regresando a las ecuaciones diferenciales (9.57), si las funciones �1
y �2 que aparecen a la derecha (las componentes del gradiente de la fun-
ción de Hamilton) son funciones suaves de sus argumentos, entonces ad-
miten un desarrollo en series de potencias del tipo siguiente:
(9.59 a)
(9.59 b)
siendo a01,a11,… etc., coeficientes constantes y las funciones �1 y �2 son a su
vez susceptibles de desarrollarse ulteriormente como series de potencias de
las variables, alrededor de algún punto dado del espacio de las fases.
En primer lugar, cabe la observación de que las ecuaciones diferenciales
(9.59) pueden volverse homogéneas; esto es, eliminar de ellas las constan-
tes a01 y a02 mediante una transformación simple de las variables. Por lo
tanto, para su tratamiento no se le resta generalidad desde un principio se
consideran homogéneas. Así, expresadas vectorialmente, adquieren la for-
ma que a continuación se muestra:
(9.60)
donde a debe entenderse como una matriz y �� como un vector. Aún más,
para asegurar que la ecuación diferencial es bien comportada, se supondrá
que el determinante de la matriz a es distinto de cero.
Se dice que el sistema dinámico es lineal cuando las funciones �� son nu-
las o despreciables. Esto ocurre en aquellos casos en los que el desarrollo en
series de potencias convergen a cero. Si este es el caso, entonces la expresión
(9.60) adquiere una forma aún más simple:
(9.61)
Y como ya se habrá intuido, esta ecuación diferencial vectorial puede in-
tegrarse de inmediato. La solución es la siguiente:
(9.62)
siendo t0 un instante de referencia. La solución debe entenderse como
una serie (la exponencial) que tiene estructura de matriz; esto es que puede
arreglarse en renglones y columnas y esta matriz opera sobre el vector co-
lumna x�0, que es el punto del espacio fásico por el cual pasa el sistema en el
instante de referencia t0.
Sea ahora b una matriz de 2 � 2 no singular con la cual se realiza una
transformación lineal de las variables del sistema:
(9.63)
con la idea de que los elementos de esta matriz sean constantes, de tal
manera que la derivada temporal de (9.63) dé cómo resultado lo si-
guiente:
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
31
Formalismo de Hamilton
32
(9.64)
Por lo tanto, de (9.64) y (9.61) se puede demostrar de inmediato que:
(9.65)
en donde c es una nueva matriz formada con las anteriores como:
(9.66)
La fórmula (9.66) muestra lo que se conoce como una transformación
de semejanza o de similitud de una matriz. Hasta este momento nada se ha
mencionado acerca de la matriz b con la cual se ha hecho esta transforma-
ción, excepto que se trata de una matriz con elementos constantes. Es posi-
ble, pues, en este punto del desarrollo imponer sobre ella una propiedad
razonable, a saber, que como resultado de la transformación de similitud
(9.66), la nueva matriz c tenga una estructura bien definida. Por ejemplo,
que exhiba la estructura de alguna de las formas de Jordan que a continua-
ción se mencionan:
1. Primera forma de Jordan: la matriz c es diagonal y sus elementos son
reales y distintos entre sí; esto es, la matriz no presenta degeneración:
(9.67)
El tipo particular de movimiento a que da lugar esta primera forma
de Jordan va a depender de los signos de los coeficientes en la diago-
nal principal de la matriz (9.67).
2. Segunda forma de Jordan: este caso corresponde a dos coeficientes con va-
lores iguales (aquí se dice que hay una degeneración, o bien, que la matriz
es degenerada). Este caso admite a su vez dos posibilidades:
a. Forma irreducible:
(9.68)
b. Forma reducible:
(9.69)
3. Tercera forma de Jordan: este caso es cuando las raíces; esto es, los elemen-
tos diagonales de la matriz son complejos y uno de ellos es el conjugado
complejo del otro:
(9.70)
En seguida se estudiará el tipo particular de movimiento al que condu-
ce cada una de las anteriores formas de Jordan. Así, para comenzar con el
caso que se consideró primero; esto es, la primera forma de Jordan, en (9.67),
sustituyéndola en (9.65) se obtiene de inmediato que:
(9.71 a)
(9.71 b)
Estas ecuaciones diferenciales pueden ser integradas de inmediato, dan-
do como resultado las siguientes soluciones:
(9.72 a)
(9.72 b)
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
33
A su vez, estas soluciones conducen a dos posibles resultados de interés
en la mecánica: el primero es aquel que corresponde a dos raíces reales,
distintas y que tienen el mismo signo. En este caso se tiene un retrato del
movimiento del cuerpo como el que se exhibe en la figura 9.3.1. En esta
figura se ha considerado que �2 	 �1 	 0.Las líneas confluyen hacia el
origen del sistema. Este punto se dice que es un nodo y como las líneas
tienden hacia el origen, entonces el nodo es estable.
Por otra parte, si los eigenvalores �1 y �2, como también se les conoce, son
positivos; esto es, que por ejemplo, �2 
 �1 
 0, el retrato que se obtiene
es cualitativamente igual al de la figura 9.3.1., excepto por que las líneas no
confluyen hacia el origen, sino que siguen una misma dirección, como se
aprecia en la figura 9.3.2. Dado que ahora las líneas del retrato no conflu-
yen, sino que simplemente pasan por el origen, entonces el nodo en este
punto es inestable.
Si ahora se supone que los eigenvalores son reales, pero con signos opues-
tos; por ejemplo, que �2 	 0, pero �1 
 0, entonces se obtiene un retrato
muy diferente a los anteriores. En este caso se consigue lo que se llama una
Formalismo de Hamilton
34
y2
0
y1
Figura 9.3.1. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la primera
forma de Jordan con �1 � �2, reales y negativas: �2 	 �1 	 0.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
35
silla de montar y el origen es una singularidad inestable. En la figura 9.3.3
se muestra gráficamente un retrato del sistema para este caso.
La segunda forma de Jordan también tiene información interesante so-
bre el movimiento. Así, considerando la segunda forma para el caso irredu-
cible que se propuso en (9.68) y sustituyendo esta expresión en la ecuación
diferencial (9.65), se obtiene ahora lo siguiente:
(9.73 a)
(9.73 b)
Nuevamente, este sistema de ecuaciones diferenciales es muy fácil des-
de el punto de vista de su resolución:
(9.74 a)
(9.74 b)
y2
0
y1
Figura 9.3.2. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la primera
forma de Jordan con �1 � �2, reales y positivos: �2 
 �1 
 0.
donde, al igual que en las soluciones (9.72), y10 y y20 son constantes de inte-
gración, evaluadas para t � 0. Si ahora se toma la relación de (9.74 a) a
(9.74 b); es decir:
(9.75)
y siempre que la constante y10 sea no nula, lo que se obtiene de (9.75) es una
familia de rectas concéntricas; es decir, que convergen en el origen del sis-
tema de coordenadas, tal como se muestra en la figura 9.3.4.
Pasando ahora a la forma irreducible de Jordan (9.69) y nuevamente, sus-
tituyéndola en las ecuaciones (9.65) se obtiene ahora el siguiente sistema:
(9.76 a)
(9.76 b)
Estas ecuaciones diferenciales pueden ser resueltas sin demasiado tra-
bajo. Integrando la segunda de ellas; es decir, la (9.76 b), se consigue lo
siguiente:
Formalismo de Hamilton
36
y2
0
y1
Figura 9.3.3. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la primera
forma de Jordan con �2 	 0 y �1 
 0.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
37
(9.77)
sustituyendo ahora esta solución en la ecuación (9.76 a), se obtiene rápida-
mente el resultado que a continuación se escribe:
(9.78)
Si � es negativo, la gráfica de las trayectorias es como la que se muestra
en la figura 9.3.5, donde se observa que las líneas confluyen al origen. En es-
tas circunstancias se dice que el nodo está en el origen y constituye una sin-
gularidad estable.
En el caso en que � sea positivo, entonces las líneas del retrato fluyen en
una sola dirección; de izquierda a derecha. Por este motivo, la singularidad
en el origen es inestable.
La tercera forma de Jordan; que se muestra en la expresión (9.70) reser-
va, al igual que las anteriores, resultados interesantes. Si los eigenvalores son
complejos y uno es el conjugado del otro, entonces se puede proponer que
(9.79 a)
y2
0
y1
Figura 9.3.4. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la segunda
forma de Jordan (irreducible), con � 	 0. El nodo es estable.
Formalismo de Hamilton
38
siendo i el número imaginario, tal que su cuadrado es igual a menos uno y
� y � son números reales. Por lo tanto,
(9.79 b)
Al sustituir la matriz (9.70) en la ecuación diferencial (9.65), y toman-
do en cuenta (9.79), se obtiene ahora:
(9.80 a)
(9.80 b)
Para volver más simple su manipulación matemática, a continuación se
hace la transformación de las variables:
(9.81)
(9.82)
y2
0
y1
Figura 9.3.5. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la segunda
forma de Jordan (reducible), con � 	 0. El nodo es estable.
Derivando la transformación (9.81) con respecto al tiempo y luego sus-
tituyendo (9.80) en el resultado, se demuestra fácilmente que las ecuacio-
nes diferenciales para las nuevas variables son las siguientes:
(9.83 a)
(9.83 b)
Un nuevo cambio de variable en necesario para llegar a una ecuación
diferencial que permita su integración inmediata. En efecto, haciendo
ahora:
(9.84)
y sustituyendo en (9.84) las expresiones (9.83), se consigue finalmente:
(9.85)
cuya integración es inmediata:
(9.86)
Ahora, recorriendo el camino a la inversa, se puede traducir la solución
(9.86) a las variables intermedias definidas en (9.84) y luego, éstas a las ori-
ginales, de acuerdo con (9.81). Al hacerlo, se obtienen las soluciones para
las ecuaciones diferenciales (9.80) originales:
(9.87 a)
(9.87 b)
Suponiendo que, por ejemplo, el parámetro � es negativo, en tanto que
� es positivo, se obtienen las ecuaciones paramétricas de una espiral logarít-
mica, como las que se muestran en la figura 9.3.6; por otra parte, si se su-
pone que � es igual a cero, en tanto que � es positivo, se obtiene como re-
sultado, la familia de círculos centrados en el origen que se muestra en la
figura 9.3.7.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
39
Formalismo de Hamilton
40
y2
0 y1
Figura 9.3.6. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la tercera
forma de Jordan con � 	 0 y � 
 0.
y2
0 y1
Figura 9.3.7. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la tercera
forma de Jordan con � � 0 y � 
 0.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
41
El oscilador armónico muy bien puede ser ejemplo de un cuerpo con un
movimiento asociado a la tercera forma de Jordan. Si se recuerda un poco,
la función hamiltoniana para este mecanismo se escribe de la siguiente
manera:
(9.88)
siendo, como ya es costumbre, m la masa y k la constante del resorte que
mueve al cuerpo y E la energía total. Se trata, en efecto, de un movimien-
to que se representa en el espacio de las fases de dos dimensiones como
una familia de elipses, como se muestra en la figura 9.3.8, centradas en
el origen y descritas por la fórmula
(9.89)
parametrizadas por la energía total E y donde se ha hecho la redefinición de
las variables como
Figura 9.3.8. Retrato del movimiento del oscilador armónico simple.
y2
0 y1
Observando las ecuaciones de Hamilton para este sistema, de acuerdo
con (9.48) y (9.50) se obtiene que:
(9.90 a)
(9.90 b)
En forma matricial estas ecuaciones presentan el siguiente aspecto:
(9.91)
es decir, una forma semejante a la que se describió en (9.61). Así que diago-
nalizando la matriz que aparece en (9.91), se tiene ahora lo siguiente:
(9.92)
o sea que la ecuación característica es la siguiente:
(9.93)
Sus eigenvalores son las raíces de esta ecuación. Como se ve, se trata de
dos imaginarios puros:
(9.94)
con
(9.95)
siendo �0 la frecuencia angular del oscilador. Entonces, el oscilador armóni-
co, entendido como un sistema dinámico, está descrito mediante un siste-
Formalismo de Hamilton
42
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
43
ma de ecuaciones diferenciales del mismo tipo que se muestra en (9.65), con
una matriz diagonal, que presenta la estructura de la tercera forma de Jor-
dan con
(9.96)
El hecho de que el retrato del sistema sea un conjunto de elipses y no una
familia de círculos carece de importancia, ya que se trata de figuras que
topológicamente son iguales. Las transformaciones de similaridad, como
las que se propusieron en (9.66) no alteran la topología de los retratos; si
acaso, afectan las escalas. Por ello, elipses pueden transformarse en círculos
y viceversa, sin que la esencia física del problema cambie.
Otro ejemplo que vale lapena explorar para mejor entender los resul-
tados anteriores, es el caso de un péndulo simple que oscila con pequeñas
amplitudes y que se encuentra en un medio resistivo como el aire, sujeto,
adicionalmente, a una fuerza disipadora que es proporcional a la velocidad
tangencial con la cual se mueve la lenteja (véase la figura 9.3.9.). La lagrangia-
na para este sistema solamente toma en cuenta a la fuerza conservadora: su
peso. La fuerza disipadora entra a escena como un término inhomogéneo
en la única ecuación de Lagrange, tal como se vio anteriormente. Así, la
lagrangiana de este sistema es
(9.97)
y la ecuación de Lagrange correspondiente tiene el siguiente aspecto:
(9.98)
donde k es una constante que da información sobre la intensidad de la
fuerza de fricción.
El momento canónico a la coordenada generalizada es, por definición, el
siguiente:
(9.99)
Así que la hamiltoniana correspondiente, entendida como la transfor-
mada de Legendre de la lagrangiana (9.97) es:
(9.100)
Por su parte, las ecuaciones de Hamilton que hay que utilizar ahora, son
las (9.11), con un término que identifique a la fuerza no conservadora:
(9.101 a)
(9.101 b)
Para poder continuar con el análisis del movimiento, se puede hacer
ahora la redefinición de las variables
Formalismo de Hamilton
44
y
0
bl2
l
x
m
mg
Figura 9.3.9. Un péndulo, de longitud l y masa m, se mueve bajo la acción de
la gravedad y en un medio disipador.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
45
(9.102 a)
(9.102 b)
en cuyo caso, las ecuaciones diferenciales (9.101) se pueden escribir en
forma matricial, para amplitudes pequeñas como:
(9.103)
Y siguiendo con la misma estrategia, es necesario llevar a la matriz en
(9.103) a su forma diagonal. Para ello se establece su determinante carac-
terístico:
(9.104)
con el cual se obtiene la correspondiente ecuación característica:
(9.105)
siendo
(9.106)
la frecuencia angular fundamental del péndulo y el coeficiente de resisten-
cia del aire, respectivamente. La ecuación (9.105) se resuelve y con ello se
obtienen los eigenvalores o valores propios de la matriz:
(9.107 a)
Formalismo de Hamilton
46
(9.107 b)
Si se supone que la constante c definida en (9.106) es real y positiva, en-
tonces ambos eigenvalores resultan negativos. Esto significa, como se vio,
que en el origen, el sistema posee un punto; esto es, un nodo estable.
Además, si ocurre que
(9.108)
o sea que la parte disipadora es de menor intensidad que la interacción gravi-
tacional que le da su frecuencia angular fundamental al péndulo, entonces
se observa de (9.107) que estos valores propios son complejos; esto es, con
una parte real y otra imaginaria y que uno de ellos es el complejo conjuga-
do del otro. De acuerdo con lo que se ha estudiado y en particular, con los
resultados hallados en (9.87), se tiene que el movimiento en el espacio de
las fases aparece como espiral logarítmica; tal como se ve en la figura 9.3.6.
El retrato se convierte en una familia de círculos o elipses cuando c se vuel-
ve igual a cero.
Un último ejemplo que se estudiará aquí en relación con el tema de
los sistemas dinámicos, es el caso de los sistemas conservadores. Así pues,
considérese un sistema dinámico simple, en una dimensión, que no depen-
de del tiempo; esto es, que es autónomo y que su ecuación de movimiento
está dada a la Newton por
(9.109)
siendo f (x) una fuerza aplicada por unidad de masa, dada por una función
continua. La primera integral de movimiento se obtiene de (9.109) supo-
niendo que existe un escalar llamado el potencial u(x), tal que
(9.110)
Si esta propiedad se cumple, entonces se obtiene de (9.109) más o me-
nos inmediatamente que
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
47
(9.111)
o bien, rescribiendo esto mismo con la perspectiva de Hamilton:
(9.112)
donde nuevamente x1 es la coordenada y x2 el momento canónico conju-
gado. La expresión (9.112) se encuentra ya descrita en el espacio de las
fases de dos dimensiones. Y dado que x1 es simplemente la distancia del
cuerpo al origen, entonces u(x1) es una función simétrica; o sea que da el mis-
mo efecto para x1 positivo o negativo. El retrato de este sistema es una fa-
milia de curvas, cada una para un valor de e (la energía total específica), que
aparecen como curvas de nivel en el plano de las fases.
Para investigar un poco más sobre este asunto, supóngase que el poten-
cial puede ser desarrollado en una serie convergente de potencias de la va-
riable, como
(9.113)
siendo a0,a1,…, etc., constantes, con a0 tal que
(9.114)
Esta es la primera curva de nivel; la primera trayectoria del retrato de este
sistema en el espacio de las fases.
Supóngase que la serie de potencias (9.113) converge rápidamente, de tal
suerte que es posible cortarla y despreciar los términos más adelante del cua-
drático sin afectar de manera sustancial el resultado. En tal caso, el poten-
cial es
(9.115)
Si se dibuja una gráfica de este potencial en un diagrama de u(x1) versus
x1, como el que se muestra en la figura 9.3.10, se obtiene una parábola
cuyos brazos ascienden en la dirección de la ordenada para valores positi-
vos de a0,a1 y a2. Los valores de la energía total específica que se muestran
en esa misma figura son como niveles horizontales que cortan a la curva en
puntos (los llamados puntos de retorno). Entre dos intersecciones, dentro
de la parábola, se establecen los límites físicos del movimiento. Así por
ejemplo, para el caso del nivel e2 que se muestra en la figura 9.3.10, el mo-
vimiento del cuerpo está acotado entre los valores [a,b] de la variable x1. El
cuerpo se mueve, de acuerdo con esta figura, entre dos círculos apsidales;
uno de radio menor a y otro de radio mayor b, alrededor del centro de la
fuerza.
Pero si ahora se pasa al espacio de las fases x1 vs x2, como el que se
muestra en la figura 9.3.11, se observa que el retrato del sistema es una fa-
milia de elipses, centradas en (x0,0), siendo
(9.116)
y con semiejes mayor y menor dados por
(9.117)
respectivamente.
Formalismo de Hamilton
48
0
a x 0 b
x1
e2
e1
e0
u (x1)
Figura 9.3.10. Gráfica de u(x1) vs x1 para el caso cuadrático del potencial. Se
trata de una parábola y los niveles de la energía específica son rectas horizontales
que la cortan.
Comparando los resultados (9.116) y (9.117) y observando la figura
9.3.11, se puede ver de inmediato que el semieje mayor de una de las elip-
ses coincide con la abscisa al centro de la misma para cierto valor de la ener-
gía total específica; esto es: 
en este caso, en efecto:
Como se ve, se tiene ahora nueva información de esta figura: el movi-
miento no nada más está acotado a lo largo de la coordenada generalizada
x1, sino que también lo está a lo largo del momento canónico conjugado x2.
Se trata de una familia de trayectorias, en las cuales el sistema regresa una y
otra vez al punto de partida. A estas trayectorias cerradas en el espacio de las
fases se les llama genéricamente movimientos de libración. Una libración es
pues, aquel movimiento que en el espacio de las fases da como resultado
trayectorias cerradas.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
49
0
x 0
x1
e2
e1
e0
x 2
Figura 9.3.11. Retrato del movimiento del sistema cuadrático.
Formalismo de Hamilton
50
Dentro de este mismo tema, no puede ser olvidado el viejo problema de
Kepler; esto es, un cuerpo masivo, con masa m, que se mueve sobre un
plano, debido a la fuerza central conservadora dada por la célebre expresión
newtoniana
(9.118)
siendo 
 el parámetro gravitacional, mismo que ya fue introducido en el
capítulo 2 del Libro 1. Para el caso del Sistema Solar
r es la distancia desde el centro del Sol, supuesto a su vez en el origen del
sistema de coordenadas y el punto material que se estudia. En (9.118), r̂
representa, como es costumbre, al vector unitario radial; esto es
0
x
m
y
M
z
Figura 9.3.12. Un cuerpo de masa m es atraído gravitacionalmente por otro de
masa M que se encuentra fijo en el origen de un sistemainercial de coordenadas.
La función hamiltoniana para este caso se puede hallar muy simplemen-
te, si se propone primero la lagrangiana
(9.119)
y luego se hace la transformación de Legendre correspondiente:
(9.120)
donde pr y p� son los momentos canónicos conjugados a las coordenadas
generalizadas r y �, respectivamente. Estos momentos se definen como
(9.121 a)
(9.121 b)
Ahora, por simple inspección de (9.120) se aprecia de inmediato que la
variable � es una coordenada ignorable, pues no aparece en la hamiltonia-
na. Este hecho implica que el momento canónico conjugado a ella es una
constante de movimiento; esto es:
(9.122)
Este resultado se obtiene trivialmente de la ecuación de Hamilton
Por lo tanto, la hamiltoniana (9.120) puede considerarse como una fun-
ción de únicamente dos variables: la distancia radial r y su correspondiente
momento canónico pr. Y como no depende explícitamente del tiempo, se tra-
ta de un sistema dinámico autónomo, conservador. La expresión para la hamil-
toniana es, así mismo, numéricamente igual a la energía total del sistema:
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
51
Formalismo de Hamilton
52
(9.123)
siendo e la energía por unidad de masa.
Vale la pena en este punto hacer el siguiente cambio en la notación; sean:
(9.124 a)
(9.124 b)
Nada se ha ganado con ello, excepto que ahora es posible rescribir la
fórmula (9.123) en una forma que será muy sugestiva:
en la cual se ha sumado a ambos miembros una misma constante, con el ob-
jetivo de completar, en el de la izquierda, un trinomio cuadrado perfecto.
Esta expresión adquiere ahora la siguiente forma:
(9.125)
De inmediato se identifica en (9.125) la ecuación de una elipse; o me-
jor sea expresado, la ecuación para una familia de elipses concéntricas,
centradas en el punto
(9.126)
y cuyos semiejes mayores y menores están parametrizados por la energía es-
pecífica total:
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
53
(9.127 a)
(9.127 b)
En la figura 9.3.13 se muestra el retrato de este sistema: una familia de
elipses prolatas. Así, se puede ver ahora que el cuerpo ejecuta un movimien-
to de libración acotado, tanto en la distancia espacial, como en el momento
canónico conjugado a aquella.
Por otra parte, sustituyendo la hamiltoniana (9.120) en las ecuaciones
de Hamilton para sistemas conservadores (9.46) se obtiene, de acuerdo con
la notación de las x´s establecida en (9.124), lo siguiente:
(9.128 a)
2m2
k 2
x10
y2
x2
Figura 9.3.13. Retrato de sistema kepleriano: un cuerpo masivo bajo la acción de
la gravitación newtoniana.
Formalismo de Hamilton
54
(9.128 b)
Para poder llevar las ecuaciones anteriores a una forma matricial suscep-
tible de diagonalizarse se hace ahora la siguiente transformación en el espa-
cio de las fases, sean:
(9.129 a)
(9.129 b)
Se trata como puede apreciarse en la figura 9.3.13, de una traslación del
origen del sistema de coordenadas, hacia la derecha, paralelamente al eje
de las ordenadas. Haciendo esta transformación, las ecuaciones diferencia-
les de movimiento (9.128) adquieren ahora la siguiente expresión matricial:
(9.130)
Para diagonalizar la matriz que aparece en (9.130) se sigue el procedi-
miento que se ha venido explicando a lo largo de esta sección. La ecuación
característica es:
(9.131)
cuyas raíces o eigenvalores son imaginarios puros:
(9.132 a)
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
55
(9.132 b)
Así, el problema de Kepler resulta en una solución como la que se dis-
cutió anteriormente, con una forma de Jordan del tercer tipo, con parte real
nula y parte imaginaria positiva. De este modo, se puede ver por qué el sen-
tido de las trayectorias en el retrato de la figura 9.3.13, es directo. La solu-
ción es, una vez tomada en cuenta la definición (9.129), la siguiente:
(9.133 a)
(9.133 b)
Finalmente si se supone que en (9.133 a) la constante de integración, es
diferente de cero y se toma únicamente la parte real de la solución por care-
cer de sentido físico la parte imaginaria, se obtiene, de acuerdo con la defi-
nición (9.124 a), lo siguiente:
(9.134)
donde la excentricidad � esta dada por
(9.135)
y el semilado recto de la cónica descrita por la ecuación (9.134) se define como:
(9.136)
Y es así como el problema de Kepler ha quedado resuelto dentro del for-
malismo de Hamilton.
9.4. Las transformaciones canónicas
Ciertamente la mecánica acepta varios enfoques. Newton propuso el
suyo; espléndido en verdad, por su ingenio y su potencia. Tanto así que hoy
en día, la ingeniería de todo el orbe sigue valiéndose de este esquema teóri-
co para atacar y resolver una enorme variedad de problemas. Y así como una
simple leva se diseña según los dictados de la mecánica de Newton, así
también se puso a un hombre en la Luna hace más de cuarenta años con
el respaldo de la mecánica newtoniana.
También es verdad que desde su prístina concepción, la mecánica clá-
sica, como también se llama al esquema de Newton, cargó con ciertas
dificultades. Las fuerzas muertas —esas fuerzas de constricción que estudió
el redondo d´Alembert durante tantos años, en un intento fútil de formu-
larlas—, nunca pudieron ser asimiladas de manera satisfactoria en esta
teoría. Sencillamente, sin una buena fórmula para estos agentes físicos,
fue imposible para la mecánica atacar siquiera los problemas donde apa-
recen. Este hecho limitó durante mucho tiempo el desarrollo de la teo-
ría; fue una pequeña pero muy notable falla que no pudo remontarse
satisfactoriamente, hasta el establecimiento de la mecánica analítica por el
propio d´Alembert, con Joseph Louis Lagrange y con Leonhart Euler.
La mecánica analítica significó, en efecto, un gigantesco salto hacia de-
lante en el ataque de los problemas relacionados con el movimiento de los
cuerpos materiales. Las fuerzas de constricción; esos monstruos que asus-
taban a los primeros ingenieros y físicos que se enfrentaron a ellas, se tor-
naron mansos gatitos que ronroneaban en sus manos cuando se propuso
el esquema de las coordenadas generalizadas y los grados de libertad. De
pronto, por virtud de esta poderosa formulación, resultó irónicamente que
aquellas fuerzas que hacían maldecir a los antiguos mecánicos que veían en
ellas, en muchas ocasiones, el fin de su trabajo, se convirtieron en elemen-
tos deseados y bienvenidos, pues ahora, con la formulación de las ecuacio-
nes de Lagrange, por cada fuerza de constricción que se considera, un gra-
do de libertad se pierde y esto implica necesariamente una disminución en
el número de ecuaciones diferenciales de movimiento. ¡Menos trabajo
para el atribulado calculante!
Pero no quedó ahí la mecánica analítica de Lagrange. ¡Nada de eso!
También consiguió otros importantes logros con el asunto de las variables
ignorables. Esas coordenadas que no aparecen en las lagrangianas y que dan
Formalismo de Hamilton
56
lugar a la conservación de los momentos generalizados conjugados a ellas,
reservan sorpresas agradables. Para variar, fue el propio Hamilton quien
se percató de dos cuestiones importantes en relación con las coordenadas
ignorables o cíclicas, como también se les conoce. La primera fue que no
se trata de un evento casual el hecho de que aparezca una coordenada ig-
norable, o mejor sea expresado, que desaparezca una variable del escenario
de las lagrangianas y las ecuaciones diferenciales de movimiento. Por el
contrario, lo que fue quedando más y más claro fue que la existencia de las
mencionadas variables es un mensaje cifrado por el sistema dinámico, en el
sentido de que posee simetrías. Es un mensaje que si bien llega oculto tras
una coordenada que no aparece en la lagrangiana, es fácilmente descifrable
para el que sabe de estas cosas y que ve en esas omisiones la presencia de cier-
tas regularidades del sistema. Y es aquí donde está el segundo hecho impor-
tante: las simetrías que presenta un sistema son siempre de carácter geo-
métrico o temporal. Es decir que se trata, esencialmente del mismo tipo de
las que presentauna esfera, que no importa desde qué ángulo se le observe,
siempre exhibe su misma forma; o de un cilindro, al que se le mira igual,
siempre que esté su eje de simetría en la misma situación relativa al obser-
vador; o el cubo, el cual presenta el mismo aspecto cuando se le somete a
un giro de noventa grados en alguna de las tres direcciones coordenadas.
Así también los sistemas dinámicos tienen variables ignorables porque al
mirarlos desde diferentes perspectivas, exhiben ciertas características geo-
métricas invariantes. Cada una de estas simetrías, corresponde a una va-
riable ignorable y cada variable ignorable da como resultado una ley de con-
servación: la ley de conservación del momento canónico conjugado a esa
variable. Así pues, resulta que cada ley de conservación, esas que tanto
gusto le dan al investigador cuando aparecen en sus cálculos, no es obra de
la casualidad, sino de la geometría.
Fue Emmy Nöther quien halló el camino para descubrir más simetrías
de los sistemas dinámicos. En realidad, lo que encontró Emmy, fue una
súper simetría: la acción. En muchos sistemas —en una gran mayoría de
ellos y para la fortuna de los científicos— la acción queda invariante ante
transformaciones del grupo general continuo de coordenadas del espacio
físico, así que puede considerarse, asimismo, como la expresión de alguna
simetría del sistema. Esta es la esencia del teorema que lleva su nombre.
En la física del micro-microcosmos, la de las partículas elementales —esos
corpúsculos que es imposible observar debido a su extraordinaria peque-
Las transformaciones canónicas
57
ñez— lo único que puede servir, y de hecho así se hace para conocerlas, es
emplear el teorema de Nöther; es decir, buscar las leyes de conservación
que satisfacen e inferir de ellas sus simetrías. Así, las leyes de conservación
van trazando el retrato de cada una de ellas, aunque no se les pueda ver.
¡Claro! No siempre son evidentes las simetrías. Por el contrario, algunas
de ellas se encuentran muy adentro del sistema, en la forma de ciertos ángu-
los o, peor aún, de ciertos parámetros que ni siquiera aparecen explícita-
mente en la descripción del sistema. Son simetrías ocultas. Al proponer
una lagrangiana, esas simetrías pueden aparecer si se usan las coordenadas
adecuadas —aquellas que las reflejen naturalmente— de otro modo perma-
necerán ocultas y sus correspondientes leyes de conservación no aparecerán
tampoco.
Sin ir más lejos, en el problema de Kepler en dos dimensiones, las sime-
trías del sistema se hacen evidentes. El hecho de que el momento angular
h se conserve, se hace evidente en la formulación de Lagrange como una
consecuencia directa del carácter ignorable del ángulo polar �. El sistema
envía al investigador; al astrónomo, un mensaje: un cuerpo que se mueve
bajo la acción de la fuerza gravitacional dada por la fórmula de Newton
puede ser observado desde cualquier ángulo polar sin que se aprecie dife-
rencia alguna en su movimiento; o bien: dos observadores que vean hacia
un sistema como éste desde ángulos polares distintos, no tendrán discre-
pancias en sus observaciones, pues el sistema se les presenta de igual ma-
nera a ambos. Esta es la simetría. El resultado de ella es que se conserva
el momento angular; el mensaje viene cifrado en la coordenada polar �
que no aparece explícitamente en la lagrangiana. Se trata de una trilogía de
propiedades matemáticas de los sistemas dinámicos, que están inextrinca-
blemente vinculadas entre sí:
Formalismo de Hamilton
58
Coordenada
ignorable
Ley de
conservación
Simetría
del sistema
Las transformaciones canónicas
59
Pero hay un detalle importante que es necesario aclarar aquí para poder
continuar adelante con el razonamiento. Un detalle que podría creerse
tonto o trivial, pero que en verdad no es ni lo uno, ni lo otro: hay que sa-
ber buscar las simetrías. La naturaleza tiene un gran pudor y no muestra
con facilidad sus intimidades. La mayoría de las veces, las simetrías de los
sistemas dinámicos están bien escondidas y resguardadas de las miradas
curiosas de los investigadores. Muchas veces ocurre que una de estas re-
gularidades de algún sistema ha sido descubierta tras años de búsqueda,
porque una y otra vez se ha resistido a exhibirla.
La clave para hallar simetrías está en el empleo de un sistema de coor-
denadas adecuado. Así por ejemplo, regresando al sistema dinámico de
Kepler, si éste se plantea usando coordenadas cartesianas, la lagrangiana
para este sistema se verá de la siguiente forma:
(9.137)
siendo x y y la abscisa y la ordenada de la partícula masiva m que experi-
menta la interacción gravitacional, respectivamente.
La lagrangiana (9.137) está bien escrita y el juego de variables constitu-
ye la opción natural; la que cualquier persona estaría inclinada a usar en
primera instancia, dado que la descripción con coordenadas cartesianas es
y ha sido empleada en todos los desarrollos teóricos de la mecánica clásica.
No obstante, para el ojo entrenado es evidente que la lagrangiana (9.137) no
es la mejor elección.
En efecto, la lagrangiana (9.137) es correcta desde el punto de vista de
la teoría general, pero adolece de un detalle importante: las coordenadas car-
tesianas y sus velocidades correspondientes no son adecuadas para exhibir
la simetría del sistema ante rotaciones. De hecho, puesto que en (9.137) apa-
recen todas las variables explícitamente en la lagrangiana, no parece que
haya otra ley de conservación que la energía. Así, la simetría que tiene el
sistema kepleriano ante rotaciones no se manifiesta aquí. No hay coor-
denadas ignorables. Sólo cuando se usan coordenadas polares, la simetría se
vuelve evidente:
(9.138)
Formalismo de Hamilton
60
Ahora sí, en (9.138), la coordenada angular � no aparece. Entonces se
aprecia de inmediato que, además de la energía total, el momento canóni-
co conjugado a la coordenada generalizada � es constante en el tiempo.
Entonces se cae en la cuenta de que, en efecto, para hallar una ley de con-
servación, aunque esto parezca una perogrullada, hay que saber buscarla.
Y en segundo lugar, el asunto está siempre en el sistema de coordenadas ge-
neralizadas que se usa para describir el problema en cuestión. En el caso de
Kepler, las coordenadas cartesianas son inadecuadas para describir estos
movimientos, pero las polares son, por el contrario, las que mejor lo des-
criben y ostentan las simetrías. Pasar de coordenadas cartesianas a polares
y viceversa es algo sumamente simple; todo es cuestión de hacer una trans-
formación como esta:
(9.139)
O sea que la diferencia entre hallar leyes de conservación y no hallarlas
está en una transformación de coordenadas.
En la descripción de Hamilton, al igual que en la de Lagrange, una va-
riable que no aparece en la función de estado, da como resultado una ley
de conservación; la del momento canónico conjugado a esa coordenada
generalizada. Esto ya se estudió. También se vio que ahora, en el ámbito del
formalismo de Hamilton ocurre que un momento que no aparece explíci-
tamente en la hamiltoniana, da como resultado que la coordenada canónica-
mente conjugada a él es una constante de movimiento. La descripción de
la mecánica, en verdad, se ha vuelto más equitativa con las variables que des-
criben los movimientos. Coordenadas generalizadas y momentos aparecen
ahora, a la luz de la descripción hamiltoniana como cumpliendo roles pa-
recidos. Por ello, en los párrafos anteriores se mencionaba que ha habido
un proceso de “democratización” de las variables y el peso que recae sobre
unas y otras, acerca de la descripción de esos movimientos, se ha equili-
brado. También debido a ello es que se decidió cambiar la notación que
se había venido utilizando para designar coordenadas y momentos, por otra
que quita la distinción entre unas y otras y sencillamente las denota por un
mismo símbolo x a todas. Así, si una variable es ignorable, no importa si se
trata de una coordenada o de un momento; ella exhibe una simetría en el
espacio de las fases y esta simetría,a su vez, se expresa a través de una ley
de conservación.
Ahora bien, expresada la hamiltoniana del sistema mediante un cierto
juego de variables (coordenadas y momentos), puede ocurrir que algunas de
ellas resulten ser ignorables. Este hecho va a depender, en gran medida,
de que esas variables correspondan a ciertas simetrías del sistema. Así, si se
hace una transformación de las variables, se puede dar el caso de que nuevas
simetrías se hagan evidentes a través de variables ignorables. Recuérdese que
las simetrías son propiedades geométricas de un sistema, así que median-
te un cambio de descripción, es posible que esas simetrías afloren. Por cada
una de ellas que aparezca, una constante de movimiento podrá ser obteni-
da de inmediato, como resultado de la integración de las ecuaciones de Ha-
milton. Así, mientras mayor sea el número de variables ignorables, me-
nor será la cantidad de ecuaciones diferenciales que habrá de resolver. El
ideal será si todas las variables pueden convertirse en ignorables. En este caso
la integración de las ecuaciones será trivial y se obtendrá un conjunto de
constantes de movimiento. Total, el asunto parece circunscribirse a una
adecuada elección de variables del espacio de las fases. Entonces, si se reali-
za cierta transformación de ellas, a partir de la descripción original, puede
ocurrir que se obtenga un nuevo juego donde todas sean ignorables.
La idea es muy atractiva. Imagínese una transformación de coordenadas
y momentos del espacio de las fases, que lleve a un nuevo juego de varia-
bles; un juego que consista de variables ignorables ¡Todas ellas! Sería for-
midable, pues entonces las ecuaciones de Hamilton serían todas homogé-
neas y su integración trivial. Vale la pena dedicar un poco de pensamiento
a esta cuestión. La idea es simple en verdad y el objetivo muy atractivo: en-
contrar una transformación de las coordenadas y los momentos del espacio
de las fases de un sistema dinámico dado, que dé cómo resultado un nuevo
juego de coordenadas y momentos tal que la función hamiltoniana, trans-
formada por este proceso, no exhiba dependencia alguna en las nuevas
variables, de tal manera que la integración de las ecuaciones de Hamilton
correspondientes, sea inmediata.
Esto sería como hallar un camino, quizá más largo, menos directo, que
el procedimiento de integración, tradicional, pero que parece más sencillo,
Las transformaciones canónicas
61
Formalismo de Hamilton
62
pues en realidad evita el arduo e incierto proceso de integración convencio-
nal. En la figura 9.4.1 se ha esquematizado la idea, así como la estrategia
para alcanzar el objetivo final, que es integrar las ecuaciones diferenciales
de movimiento.
Tradicionalmente lo que se hace es, para ponerlo en términos muy dra-
máticos, emplear la “fuerza bruta”; esto es, se cogen las ecuaciones de Ha-
milton, tal como se establecen con la hamiltoniana del sistema y se pro-
cede a integrarlas, usando de todas las artimañas posibles. El resultado es
lo que se conoce como las ecuaciones de movimiento del sistema
∂
∂
∂
∂
H
q
p
H
p
q
q q t
p p t
( )
( )
∂
∂
∂
∂
K
Q
K
P
0
0
T
q
p
Q
P
: → T
Q
P
q
p
1: →
Q
P
.
.
const
const
∫
∫
Figura 9.4.1. Estrategia alternativa de Hamilton-Jacobi para resolver un proble-
ma de la mecánica.
Las transformaciones canónicas
63
Esta es la idea detrás de las consideraciones matemáticas que se hicieron
en la sección anterior. Este procedimiento corresponde al renglón superior
de la figura 9.4.1.: integrar las ecuaciones de Hamilton originales.
La otra alternativa es la que se muestra en la figura 9.4.1 como la línea
descendente de la izquierda, seguida de la integración y luego, la línea as-
cendente a la derecha de la figura. En la primera parte se ha simbolizado
una transformación de coordenadas y momentos, a nuevas coordenadas y
nuevos momentos, representados con letras mayúsculas:
(9.140)
Este nuevo juego de variables del espacio de las fases es tal, que las ecua-
ciones de Hamilton transformadas
(9.141 a)
(9.141 b)
son todas iguales a cero; esto es, que la hamiltoniana transformada (la que
ha resultado de esta transformación T ), no depende de las variables:
(9.142)
Debido a esto, la integración de las ecuaciones diferenciales es trivial
Una vez encontradas las soluciones, lo que se hace es aplicar a éstas la
transformación inversa a (9.140):
(9.143)
Formalismo de Hamilton
64
Lo que se obtiene son las soluciones del problema. Así, el difícil proce-
so de integración de las ecuaciones diferenciales originales se reduce, por
razón de esta estrategia, a realizar una transformación y luego su inversa.
Un problema de solución difícil de ecuaciones diferenciales acopladas se
ha podido resolver; al menos así lo indica esta proposición, como uno de
álgebra vectorial, con la aplicación de dos transformaciones de coordena-
das y momentos: una transformación directa y luego su inversa.
Quizá pueda tratarse éste de un camino largo; mucho más que el de
integrar de inmediato las ecuaciones diferenciales, sin embargo, debe ser
claro para todos que es un procedimiento factible en principio y que pa-
rece más simple.
¡Claro! Como dice aquella famosa perogrullada: para hacer caldo de
pollo se necesita primero conseguir un pollo. Aquí, si se ha de seguir el
camino propuesto anteriormente, llamado, por cierto, la estrategia de Ha-
milton-Jacobi, es necesario tener a la mano toda la tecnología de las trans-
formaciones de variables en el espacio de las fases; porque algo que debe
quedar claro desde ahora es que, si en este proceso ha sido posible conver-
tir una hamiltoniana (complicada) en un simple escalar, que de acuerdo
con (9.141) ya no depende ni de las coordenadas, ni de los momentos,
entonces la información que originalmente poseía aquella función del es-
tado dinámico del sistema ya no se encuentra contenida en la nueva hamil-
toniana K. Por lo tanto es la propia transformación T la que ahora posee esa
información. No se trata de aplicar a las variables cualquier regla de cambio
de coordenadas y de momentos, sino aquella muy específica que habrá de
resolver el problema. Este es el obstáculo que habrá de remontar ahora.
Para ello es imprescindible adquirir tanta habilidad como sea posible en
el terreno de las transformaciones de coordenadas y de momentos en el es-
pacio de las fases. Este es el tema conocido como la teoría de las transfor-
maciones canónicas.
Una transformación canónica se define como aquel mapeo del espacio
de las fases en él mismo (uno a uno y sobre) que preserva la forma de las
ecuaciones de Hamilton. Si (q,p) son las 6N�2l variables que caracterizan
a un sistema dinámico en el espacio de las fases, una transformación ca-
nónica es un mapeo a nuevas variables (Q,P):
(9.144)
que es reversible (esto es, que el determinante de la transformación sea
distinto de cero) y con una cualidad adicional: que en la nueva descripción,
las ecuaciones diferenciales de movimiento sean
(9.145 a)
(9.145 b)
donde K es la “nueva” función hamiltoniana transformada de la original.
Para obtener los resultados deseados, hay que proceder con gran cuida-
do; por ejemplo, cualquier transformación de coordenadas de un espacio
vectorial se plantea como sigue: si se supone a x1,x2,…,x2n como las varia-
bles originales del espacio de las fases y z1,z2,…,z2n, las variables transfor-
madas por el mapeo T; esto es; que:
(9.146)
Una transformación continua se puede representar, en particular, como
un conjunto de 2n funciones de las “viejas” variables:
(9.147)
y sus elementos diferenciales
(9.148)
En la expresión (9.148) se usa la regla de los índices repetidos, para
representar una sumatoria desde 1 hasta el número de dimensiones del
espacio. En este caso, tratándose de un sistema de N partículas, como ha
sido el discurso a lo largo de todos los capítulos de este libro, y suponien-
do que sobre el sistema obran l constricciones, entonces el espacio de las
fases de éste tiene 6N�2l dimensiones. Sin embargo, para no obstaculizar
Lastransformaciones canónicas
65
los razonamientos que a continuación se harán, por facilidad se escribe
simplemente que la dimensión del espacio de las fases es 2n (siendo n,
obviamente igual a 3N�l ).
De (9.148) se sigue de inmediato la ley contravariante para transformar
componentes de objetos geométricos definidos en este espacio. Así por
ejemplo, las componentes de la “velocidad” se transforma como sigue:
(9.149)
Por el contrario, si se trata de objetos, cuyas componentes son covarian-
tes, como lo es el gradiente de la función (escalar) hamiltoniana, entonces,
de acuerdo con las reglas del cálculo tensorial, se tiene que emplear la ley
covariante:
(9.150)
Por lo tanto, si las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton
preservan su estructura después de una transformación canónica, tal como
se ha establecido al momento de definir a estas últimas, entonces, se tiene
en la nueva descripción que:
(9.151)
Estas son las ecuaciones de Hamilton en el nuevo sistema de variables
del espacio de las fases. Como ya es costumbre, K representa a la “nueva” ha-
miltoniana.
Ahora, de acuerdo con (9.149) y (9.150), sustituyendo en (9.151) se
obtiene que:
(9.152)
y para que las ecuaciones de Hamilton sean de la misma estructura en
ambas representaciones, se infiere de (9.152) que las componentes del ten-
Formalismo de Hamilton
66
sor métrico fundamental de este espacio deben cumplir con la correspon-
diente ley de transformación:
(9.153)
Es decir, que gAB son, en efecto componentes de un tensor contrava-
riante, de segundo orden.
Por supuesto, para obtener (9.153) es necesario suponer que la trans-
formación de las variables del espacio de las fases es invertible; esto es, que
el determinante del jacobiano de la transformación es no singular.
Si se designa por g al determinante del tensor métrico y J al determinan-
te del jacobiano de la transformación, entonces, de acuerdo con (9.153)
se tiene que
(9.154)
Pero, puesto que el determinante es uno de los invariantes de una ma-
triz, entonces el valor de g, antes y después de la transformación es el mismo,
de manera que
(9.155)
Así, el conjunto de todas las transformaciones reversibles del espacio
de las fases en sí mismo tiene dos piezas distintas: la pieza propia, que
contiene a todas aquellas que tienen su determinante igual a �1 y la otra
que consiste de todas las transformaciones con determinante igual a �1.
La primera es la llamada pieza propia, en tanto que la segunda es la pieza
impropia. Son dos conjuntos perfectamente distintos y nunca, mediante
un conjunto de transformaciones propias, cualesquiera éstas sean, se po-
drá alcanzar un mapeo impropio a partir de mapeos propios y mutatis
mutandi. Se dice que las dos piezas de este conjunto de transformaciones
continuas están topológicamente desconectadas debido a esta propiedad.
En este contexto únicamente serán consideradas transformaciones que
pertenecen a la pieza propia. Las otras; las impropias son de escaso valor
teórico para los fines que aquí se persiguen y, por lo tanto, en adelante se-
rán ignoradas.
Las transformaciones canónicas
67
Por otra parte, regresando a la expresión (9.153), si se le adscribe de
nueva cuenta, pero ahora en el lenguaje de las matrices (2n�2n), se pue-
de identificar con la siguiente fórmula:
(9.156)
siendo estas literales, de izquierda a derecha, el tensor métrico transforma-
do, la transpuesta del jacobiano, el tensor métrico original y el jacobiano de
la transformación, respectivamente. Si se toma la inversa a ambos miem-
bros de (9.156) se obtiene:
(9.157)
Pero la métrica del espacio de las fases tiene la estructura que se vio en
(9.52) y que a continuación se reproduce:
(9.158)
así que su determinante es igual a uno y su inversa es igual a la transpuesta
de esta matriz; esto es; que debido, así mismo, a su antisimetría:
(9.159)
Por lo tanto, haciendo uso de esta propiedad (9.159) en (9.157), se ob-
tiene que:
(9.160)
de donde se obtiene como condición suficiente para (9.160) que
(9.161)
es decir, que la inversa y la transpuesta de una matriz de transformación del
espacio de las fases que preserva la forma de las ecuaciones diferenciales
de movimiento de Hamilton, son iguales.
Formalismo de Hamilton
68
Ambas propiedades; la (9.155) y la (9.161), recuerdan aquellas otras que
se estudiaron en relación con las rotaciones de un cuerpo rígido en el espa-
cio euclídeo de tres dimensiones. Se trata, en efecto de transformaciones
rígidas, solamente que ahora están referidas a un espacio diferente: al es-
pacio de las fases de 6N�2l dimensiones y cuya métrica es (9.158).
Otro rasgo importante que se deriva de estas consideraciones se refiere
al conjunto completo de las transformaciones del espacio de las fases que
aquí se ha presentado. Es claro, por ejemplo, que la matriz unidad de
2n�2n es también un ejemplo de este conjunto, pues satisface las con-
diciones (9.155) y (9.161) y de igual modo se puede ver que la sucesión de
dos de estas transformaciones, multiplicadas según la regla para multipli-
cación de matrices, da como resultado una nueva matriz que, al igual que las
anteriores, tiene determinante igual a más, o menos uno y cumple con la
propiedad (9.161).
En pocas palabras, el conjunto de todas las transformaciones canónicas,
forma un grupo. Se le llama el grupo simpléctico y se trata de un grupo
continuo (esto es, de Lie), 2n�1 paramétrico (2n parámetros espaciales,
más el tiempo). Este grupo contiene dos piezas, como ya se vio; una de ellas,
aquella que corresponde a transformaciones canónicas con determinante
igual a �1, forma a su vez un grupo; éste es el llamado grupo simpléctico
propio, en tanto que la otra pieza; aquella cuyas transformaciones poseen
determinante negativo, no forma grupo por carecer de un elemento indis-
pensable para ello: la transformación idéntica. Esta es la llamada pieza
impropia del grupo simpléctico.
Un detalle más, acerca de las transformaciones canónicas del grupo sim-
pléctico propio es el siguiente: como el determinante del jacobiano de la
transformación es igual a la unidad, entonces el elemento de volumen del
espacio de las fases se comporta como un auténtico escalar; esto es, es in-
variante ante transformaciones de este subgrupo. Ello significa que al mo-
mento de realizar uno de estos mapeos, el nuevo elemento de (hiper) volu-
men contiene exactamente el mismo número de puntos que el original. Y
como las caras y las aristas del volumen están constituidas por una infini-
dad compacta de puntos, también éstos; los que constituyen las fronteras
del elemento, continúan contando con exactamente el mismo número de
puntos que aquellas que delimitaban al volumen original; no puede ha-
ber ni menos, ni más de estos puntos geométricos en este subespacio. Por lo
tanto, tampoco pueden salir o entrar puntos en un elemento de volumen
Las transformaciones canónicas
69
del espacio de las fases cuando se realiza una transformación del grupo sim-
pléctico propio. Si esto ocurriera, se daría el caso de que un mismo lugar
del espacio podría estar ocupado por dos sistemas dinámicos en el mismo
instante. El teorema de Liouville asegura que las soluciones de las ecua-
ciones diferenciales de movimiento de Hamilton se pueden representar
por curvas en el espacio de las fases y que estas curvas jamás se cruzan (i.e.
son no alabeadas), de modo que en cada punto de este espacio las solu-
ciones son únicas.
Bueno, las transformaciones canónicas han quedado propiamente defi-
nidas y sus propiedades generales han sido especificadas con toda puntua-
lidad. Sin embargo aún quedan un par de grandes preguntas en el aire. Pre-
guntas que es necesario contestar para realmente tomarle valor y sentido a
estos conceptos. En primer lugar está la pregunta de cómo se construyen
transformaciones canónicas. Qué pasos matemáticos se tienen que dar para
hallar una expresión explícita y detallada de una transformación canónica.
La segunda pregunta es acerca de su utilidad; esto es, para qué sirve una
transformacióncanónica, suponiendo que se tenga a la mano una de ellas.
La respuesta para la primera de las preguntas no es muy halagüeña. La
verdad es que salvo para algunos muy importantes casos de la mecánica, no
hay manera de obtener explícitamente fórmulas para las transformaciones
canónicas. Uno de los casos que se alude es aquel que lleva a la formulación
de Hamilton-Jacobi y que será objeto de un extenso y prolijo estudio en el
capítulo venidero. Salvo por este caso, las transformaciones canónicas se pue-
den definir y detallar hasta cierto límite. Se puede llegar casi al conocimien-
to específico de ellas y muchas de sus características particulares pueden lle-
gar a ser deducidas de razonamientos poderosos y profundos como los que
vienen en seguida. Pero ciertamente, la fórmula final y detallada de estas
transformaciones tendrá que ser un acto de creación, de genialidad, que ha-
brá de propiciarse, como dijo alguna vez Albert Einstein (1879-1955), con
un 90% de estudio y de trabajo arduo y abstruso y con un 10% de suerte.
Para abordar este problema considérese de nueva cuenta la acción de un
sistema de N partículas puntuales, sujetas a l constricciones holonómicas
y sin fuerzas no-conservadoras, expresada en el espacio de las fases.
(9.162)
Formalismo de Hamilton
70
Supóngase ahora que una transformación canónica se hace operar sobre
las coordenadas y los momentos, tal como se vio en la sección anterior. Se
obtiene, por consecuencia de ello, una nueva hamiltoniana K que depende,
en general, de las “nuevas” coordenadas, de los nuevos “momentos” y del
tiempo. Esta función satisface, por definición, las ecuaciones de Hamilton
(9.163 a)
(9.163 b)
siendo Qk y Pk las nuevas coordenadas y los nuevos momentos.
Por supuesto, las ecuaciones diferenciales (9.163) pudieron obtenerse
a partir de una funcional de acción como (9.162) y un proceso de varia-
ción, tal como se hizo anteriormente. Una funcional de acción que debe
ser la misma que se exhibe en (9.162), puesto que es un escalar y se refiere
al mismo sistema dinámico que antes de la transformación canónica. Es de-
cir, que la acción, antes y después de la transformación, debe ser la misma
funcional, excepto tal vez; por alguna función del tiempo que no tendrá re-
percusión alguna en la obtención de las ecuaciones diferenciales de movi-
miento. Así, esta cualidad de la acción del sistema se puede describir ma-
temáticamente como:
(9.164)
donde F es una función indeterminada que dentro de la integral del miem-
bro de la derecha de (9.164) se puede integrar de inmediato, dando como
resultado
es decir, la diferencia de una función del tiempo, menos una constante. Esta
adición en el integrando de la derecha en (9.164) carece de importancia
desde el punto de vista de la obtención de las ecuaciones diferenciales de
Las transformaciones canónicas
71
Hamilton, pues a la hora de deducirlas de la acción mediante un proceso
variacional, como ya se mencionó, la presencia de esa función no aporta-
rá elemento alguno al resultado final, ya que la variación se toma siempre
independiente del tiempo. Además, frente al proceso de variación, esta fun-
ción escalar, por definición, es invariante. Y si bien, en efecto, la adición de
esta misteriosa función F en la parte de la derecha de (9.164) no traerá
mayores consecuencias a las ecuaciones de Hamilton, se podrá ver en se-
guida que su inclusión es fundamental para la teoría de las transformacio-
nes canónicas. Tan importante va a resultar esta función que en adelante será
conocida como la función generadora de transformaciones canónicas.
Hasta ahora no ha tenido que decirse más acerca de la función gene-
radora F, excepto por su insignificancia al desarrollar un proceso varia-
cional sobre la nueva acción. Es tiempo de saber un poco más sobre ella.
Por ejemplo, siendo éste un cálculo que se realiza en el espacio de las fases
del sistema dinámico, tal vez pueda considerarse a F como una función de
las coordenadas, de los momentos y del tiempo. Mas ¿cuáles? Las variables
antiguas p y q, o las nuevas P y Q que se obtienen de la transformación
canónica. Bueno, se pueden ensayar varios casos. En realidad es tan poco lo
que se ha dicho de esta función que a estas alturas del desarrollo, cualquier
cosa puede aceptarse; por ejemplo, se podría suponer que la función ge-
neradora, en un primer intento, dependa de las viejas coordenadas gene-
ralizadas qk, y que sea función de las “nuevas“ coordenadas generalizadas
Qk; es decir:
(9.165)
así, será una función definida en términos de 6N�2l variables.
En adelante, a una función generadora que dependa de viejas y nuevas
coordenadas, se le llamará genéricamente función generadora de clase F1.
Suponiendo una función generadora de clase F1, como la (9.165), si se
toma la variación a cada miembro de (9.164) se van a obtener ciertos re-
sultados interesantes. En el miembro de la izquierda, variando, se llega a la
bien conocida expresión siguiente:
(9.166)
Formalismo de Hamilton
72
El último término de la derecha en (9.166) aparece como resultado de
la integración por partes que hubo de hacerse al producto de los momen-
tos, por la variación de las velocidades generalizadas en el kernel de la trans-
formación de Legendre en el integrando de (9.162).
Por su parte, variando el miembro de la derecha en (9.164) se obtiene
lo siguiente:
(9.167)
donde nuevamente, ha habido una integración por partes del mismo tipo
que en el caso anterior. Por ella es que surge el término Pk�Qk. Adicional-
mente aparecen dos elementos más en (9.168), como resultado de la va-
riación de la función generadora. Como es costumbre, hay que aceptar,
tanto en (9.166) como (9.167), la regla de suma de índices repetidos.
Ahora bien, en (9.166) los coeficientes de las variables de las coordena-
das y los momentos “viejos” son todos nulos, puesto que, por hipótesis, se
cumplen las ecuaciones de Hamilton. Por su parte, el integrando de (9.167)
también es nulo, ya que por hipótesis, las nuevas coordenadas y momentos
son el resultado de una transformación canónica que deja invariante la
forma de las ecuaciones de Hamilton, siendo ahora la nueva hamiltoniana,
la función K.
Por lo tanto, regresando a (9.164) y variando ambos miembros, se con-
sigue lo siguiente:
(9.168)
Agrupando y pasando a un mismo miembro los sumandos, se tiene que:
(9.169)
Las transformaciones canónicas
73
Formalismo de Hamilton
74
Se trata de 6N�2l sumas de productos de coeficientes, por las variacio-
nes de otras tantas variables: 3N�l coordenadas “viejas” y 3N�l coordena-
das “nuevas”. En todo caso, en el espacio de las fases, éste es un conjunto de
variables que pueden ser consideradas linealmente independientes, así que
la condición suficiente para que se cumpla (9.169) es que cada uno de los
coeficientes sea igual a cero. Por lo tanto, se debe tener que:
(9.170 a)
(9.170 b)
Estas son las 6N�2l condiciones diferenciales que debe cumplir la fun-
ción de clase F1 para, en verdad, generar una transformación canónica.
De vuelta, regresando a la expresión (9.164), y desarrollando la deriva-
da temporal de la función generadora, de clase F1, se tiene lo siguiente:
(9.171)
Ahora, agrupando términos con las mismas derivadas temporales y re-
cordando las condiciones diferenciales que debe cumplir toda función de
clase F1, expresadas en (9.170), se obtiene:
(9.172)
Así que, además de las (9.170), la función generadora de clase F1, tal
como se definió en general en (9.165), permite definir a la nueva hamil-
toniana como
(9.173)
Como un ejemplo de los conceptos anteriores, considérese una función
generadora, de clase F1; sea:
(9.174)
con regla de suma sobre los índices mudos i y j. Sometiendo la fórmula
(9.174) a las condiciones diferenciales (9.170) y (9.173), se obtiene lo
siguiente:
(9.175 a)
(9.175 b)
(9.175 c)
De manera que considerando a los coeficientes Aij(t) en (9.174) como
los elementos de una matriz cuadrada de (3N�l )�(3N�l ), no singu-
lar, las expresiones (9.175 a y b) se pueden rescribir como:(9.176)
O bien:
(9.177)
que representa una transformación de q´s y p´s en el espacio de las fases.
Es importante ratificar que, en efecto, la función de clase F1 que se pro-
puso en este ejemplo, genera una transformación canónica. Para ello,
considérese la derivada:
Las transformaciones canónicas
75
Formalismo de Hamilton
76
(9.178)
Pero de acuerdo con las correspondientes ecuaciones de Hamilton, esa
derivada de la nueva hamiltoniana con respecto a las nuevas coordenadas
debe ser igual a:
(9.179)
tal como se deduce de (9.175 a) y (9.175 b). Por lo tanto, igualando (9.178)
y (9.179) se obtiene que:
(9.180)
lo mismo ocurre con las otras ecuaciones de Hamilton.
En efecto, la transformación generada por (9.174) es canónica.
Se puede imaginar el efecto de esta transformación canónica si se sim-
plifica al caso de dos dimensiones únicamente y se supone que la matriz
A es la unidad. En estas circunstancias, la función generadora de clase F1
es sencillamente:
(9.181)
de modo que, según las condiciones diferenciales (9.170), se obtiene la
transformación canónica siguiente:
(9.182 a)
(9.182 b)
Es posible visualizar esta transformación como una rotación de noven-
ta grados en contra de las manecillas del reloj, de los ejes coordenados del
espacio (2-D) de fases (véase la figura 9.4.2).
Otro ejemplo simple de aplicación de la teoría de las transformaciones
canónicas, es el caso del oscilador armónico simple. Como se recordará, este
mecanismo se puede representar muy simplemente por la hamiltoniana:
(9.183)
donde k es la constante de rigidez del resorte y m es la masa del oscilador.
Este sistema dinámico es conservador y la energía total corresponde al va-
lor numérico (constante) de la hamiltoniana; es decir,
(9.184)
Sea �0 el valor (constante) de la frecuencia angular del oscilador, dada por
(9.185)
Este problema muy bien puede tratarse con el método directo de las ecua-
ciones de Hamilton:
Las transformaciones canónicas
77
Figura 9.4.2. La transformación canónica (9.183) es una rotación directa de 90�
en el espacio de las fases, para el caso de un sistema dinámico en una dimensión.
0
P
Qp
q
Formalismo de Hamilton
78
(9.186 a)
(9.186 b)
que se pueden combinar para dar la ecuación diferencial
(9.187)
cuya solución es muy fácil de obtener (si bien ya se procesó, con otro en-
foque en la sección anterior):
(9.188)
donde x0 es la amplitud máxima de oscilación de este mecanismo.
Pero se puede también enfocar este problema desde la perspectiva de las
transformaciones canónicas. Así, si se pudiera hallar una transformación de
la coordenada y el momento que, por ejemplo, diera como resultados los si-
guientes:
(9.189 a)
(9.189 b)
siendo � alguna constante que se evaluará en seguida y �(P) una función
del nuevo momento, aún indeterminada, entonces, sustituyendo (9.189)
en (9.183) se obtiene lo siguiente.
(9.190)
Así que, evaluando el parámetro indeterminado � como
(9.191)
Las transformaciones canónicas
79
la expresión anterior se simplifica notablemente, pues da como resultado
una hamiltoniana que ya no depende de la coordenada; solamente del nue-
vo momento. Por lo tanto, si esta nueva hamiltoniana hubiera sido el resul-
tado de una transformación canónica generada por una función de clase F1
que no depende explícitamente del tiempo, entonces, de acuerdo con
(9.173) se tendría que:
(9.192)
Las ecuaciones diferenciales de Hamilton para la hamiltoniana (9.192)
son extraordinariamente simples debido a su estructura:
(9.193 a)
(9.193 b)
El verdadero problema no ha radicado evidentemente en la solución de
las ecuaciones diferenciales después de haber sometido la hamiltoniana ori-
ginal (9.183) a la transformación canónica. La solución es en efecto trivial,
como puede verse en (9.193). El verdadero problema radica en encontrar
la transformación canónica. Como se mencionó anteriormente, no hay una
receta exacta e infalible para conseguir este objetivo y a pesar de que este
ejemplo es en sí casi trivial, obtener la fórmula para la función generadora
no lo es en absoluto. Si se toma el cociente de (9.189 b) entre (9.189 a),
se obtiene lo siguiente:
(9.194)
en donde se ha sustituido el valor (9.191) para el parámetro indetermi-
nado. Esta expresión (9.194) puede entenderse como el resultado de
derivar a una función de clase F1 con respecto a la coordenada vieja y
aplicar a esta derivada la condición diferencial correspondiente; esto
es:
Formalismo de Hamilton
80
(9.195)
Así que se puede proponer como función generadora, una integral de
(9.195), es decir:
(9.196)
Ahora, tomando como base la función (9.196), la segunda condición di-
ferencial (9.137 b) es la siguiente:
(9.197)
y despejando a x del resultado anterior se consigue:
(9.198)
Comparando (9.198) con (9.189 a) se ve que la función �(P) es:
(9.199)
con lo cual la transformación canónica ha quedado completamente deter-
minada; como puede verse de (9.189 a y b) al sustituir en ellas la función
obtenida en (9.199). También es posible ahora, a partir de estos resulta-
dos, obtener las fórmulas para la transformación inversa, así como determi-
nar totalmente a la hamiltoniana transformada.
Llegados a este punto ya solamente resta evaluar los parámetros con las
condiciones iniciales del problema. La solución ha quedado especificada es
su totalidad. Imponiendo las condiciones iniciales, tal como se menciona,
la solución no es enteramente satisfactoria. Esto se debe a que las nuevas
coordenadas y momentos no tienen desde el principio las dimensiones
adecuadas. Así por ejemplo, la nueva coordenada Q aparece en (9.189)
como una variable que debe ser adimensional para que la igualdad sea co-
rrecta no nada más desde el punto de vista algebraico, sino también, para su
coherencia física. Sin embargo, en (9.182 a) aparece como si fuera una can-
tidad con las mismas unidades que el momento lineal. Esta falta de consis-
tencia se corrige si desde el mero principio del desarrollo, al momento de
proponer la función generadora de clase F1 en (9.181), se multiplica al
miembro de su derecha por un factor constante que contenga las dimen-
siones adecuadas. En todo caso, lo que aquí se ha deseado mostrar es la
técnica para la obtención de soluciones con el método de las transforma-
ciones canónicas. Por ello desde el inicio no se proveyó al problema de nada
que pudiese enturbiar el entendimiento de su esencia. Salvo pequeños
detalles como los que se mencionan, la solución se ha obtenido siguiendo
el camino mostrado en el diagrama de la figura 9.4.1.
Ahora bien, no todas las funciones generadoras son de clase F1. De he-
cho es posible imaginar un infinito de posibilidades para obtener otras cla-
ses de funciones. Sin embargo, en total, parece que solamente son cuatro
las clases físicamente relevantes de funciones generadoras que merecen la
pena ser estudiadas. Las funciones de clase F2, por ejemplo, se definen como
aquellas funciones generadoras de transformaciones canónicas, que depen-
den de las “viejas” coordenadas, los “nuevos” momentos y el tiempo, en gene-
ral. Esto quiere decir que estas funciones son del tipo general siguiente:
(9.200)
Para obtener las condiciones diferenciales que deben ser satisfechas por
funciones generales de clase F2 hay un procedimiento sencillo y rápido, que
parte del conocimiento de las condiciones (9.170) para las funciones de
clase F1 que ya fueron deducidas y una transformación de Legendre. En efec-
to, si se realiza la transformación de Legendre siguiente:
(9.201)
con regla de suma sobre índices repetidos, se obtiene la nueva función que
ya no depende de las nuevas coordenadas y en cambio, debido al kernel
que se ha propuesto en (9.201), depende de los nuevos momentos, así
como de las coordenadas generalizadas originales.
Derivando con respecto al tiempo, miembro a miembro de la transfor-
mación de Legendre (9.201) y haciendo uso de las condiciones diferencia-
les (9.170) para las funciones de clase F1, se obtiene lo siguiente:
Las transformaciones canónicas
81Formalismo de Hamilton
82
(9.202)
Entonces, igualando a ambos miembros de (9.202) los coeficientes de las
derivadas temporales de las 6N�2l�1 variables que aparecen, se tiene que:
(9.203 a)
(9.203 b)
(9.203 c)
en donde se ha hecho uso, adicionalmente, de la igualdad (9.173) y del
hecho de que las derivadas temporales de ambas funciones: F1 y F2, son
iguales.
Estas son las condiciones diferenciales que deben ser satisfechas por
las funciones de clase F2 para que en efecto, generen transformaciones ca-
nónicas.
Las funciones de clase F2 juegan un papel sumamente importante en la
mecánica, como se podrá constatar en adelante. De hecho, toda la teoría de
Hamilton-Jacobi está fundamentada en estas funciones.
Sin ir más lejos, se puede proponer de inmediato una función genera-
dora muy particular, que tiene propiedades interesantes. Sea
(9.204)
Sometiendo esta función a las condiciones diferenciales (9.204), se
obtiene de inmediato lo siguiente:
(9.205 a)
(9.205 b)
Las transformaciones canónicas
83
(9.205 c)
Es decir, que la función generadora (9.204) genera la transformación
idéntica. Este hecho reviste cierta importancia, pues, un grupo de trans-
formaciones requiere la existencia del elemento neutro y este es precisa-
mente el que se genera con la función (9.204). Más adelante se podrá ver
que la función generadora F2 es, en verdad, un elemento fundamental
para el desarrollo ulterior de la teoría.
Por el momento basten estos comentarios acerca de las funciones F2.
Otra generadora que interesa conocer en este punto es la F3. Se trata de una
clase de funciones que tienen la propiedad de depender de los viejos mo-
mentos y las nuevas coordenadas; esto es:
(9.206)
Para hallar sus condiciones diferenciales se puede proceder de la misma
manera que se hizo para sintetizar las condiciones de las funciones de clase F2;
esto es, operar una transformación de Legendre de las funciones F1 del tipo:
(9.207)
Derivando respecto al tiempo, miembro a miembro, de (9.207) y recor-
dando las condiciones diferenciales (9.170) y (9.173), se obtiene para esta
nueva clase de funciones generadoras las siguientes:
(9.208 a)
(9.208 b)
(9.208 c)
Finalmente, siguiendo un procedimiento análogo a éste, se pueden dedu-
cir las condiciones diferenciales para las funciones generadoras de clase F4,
definidas como:
Formalismo de Hamilton
84
(9.209)
estas condiciones resultan ser las siguientes:
(9.210 a)
(9.210 b)
(9.210 c)
Con las funciones generadoras de clase F4 queda completo el cuadro. En
total, las cuatro clases de funciones, generan al grupo simpléctico de trans-
formaciones canónicas. Por supuesto hay aún más funciones generadoras
de este tipo de transformaciones en el espacio de las fases.
Puede imaginarse, por ejemplo, una clase de funciones que dependa par-
cialmente de viejas y nuevas coordenadas y de viejos y nuevos momentos,
con la condición de que el número total de variables de las que dependan
no exceda 6N�2l:
(9.211)
siendo i y j dos valores comprendidos dentro del intervalo de 1 a 3N�l.
Estas funciones también cumplen con el papel de generar transformaciones
canónicas y satisfacen un conjunto de condiciones diferenciales, que pue-
den ser deducidas de manera simple a partir de las funciones generadoras
anteriores. Sin embargo, su utilidad para la teoría es más bien escasa y por
ello no se investigan mayormente.
9.5. Los corchetes de Poisson y las series de Lie
Évariste Galois nació el 25 de octubre de 1811 en Bourg la Reine, Fran-
cia y por una verdadera casualidad del destino es que se menciona aquí,
porque estuvo a un infinitésimo de primer orden de no haber tenido la
más pequeña importancia en la historia del hombre, como tantas dece-
nas de miles de millones de seres humanos que han nacido y muerto sin
haber quedado de ellos un ápice de memoria. Évariste Galois se salvó de
la oscuridad por su brillante inteligencia. Fue un genio de las matemáti-
cas que reprobó dos veces el examen de admisión a la Ecole Polytechnique
de París y por poco, tampoco lo aceptan en la Normal, donde entró en
1830, a la edad de 18 años. Sin embargo, ese mismo año fue expulsado
de allí porque escribió una carta ofensiva contra el director de ese cen-
tro. En 1831, después de haber pronunciado un ardoroso discurso en
contra del rey Luis Felipe, donde lo amenazaba con agredirlo si alguna
vez se ponía en su presencia, Galois fue arrestado por la policía y encar-
celado por seis meses. El 30 de mayo de 1832 se fue de farra con un ami-
go; un tal Auguste Chevalier. Durante esa tarde y noche bebió y escan-
dalizó como solía hacerlo en otras ocasiones y al lado de su amigo y
algunas mujeres de la vida galante bebió, bailó y se divirtió a su mane-
ra, hasta que ya entrada la noche y las copas, otro parroquiano que tuvo
la desgracia de coincidir con Évariste, harto de su conducta ruidosa, lo
enfrentó, exigiéndole se calmara y dejara de escandalizar, también le pi-
dió que dejara en paz a las damas y las tratara con mayor respeto y corte-
sía. Se hicieron de palabras, se dieron unos cuantos empujones y bofetadas
y entonces el ofendido parroquiano lo retó a un duelo a muerte, en algún
lugar de París, para el día siguiente a las ocho de la mañana. Galois aceptó
el reto.
En lo que le quedaba de esa noche, el personaje regresó a casa y se puso
a escribir frenéticamente. Primero le hizo una carta a su amigo, Chevalier,
disculpándose por su conducta y en la cual escribió, entre otras cosas:
“…mañana voy a morir en un duelo insulso, por una cualquiera. Deseo, sin
embargo, decir que el mundo va a perder a uno de sus más brillantes ta-
lentos y como muestra te dejo estos manuscritos. Por favor publícalos para
que se enteren de mi existencia…”.
Muy temprano por la mañana del 31 de mayo, Évariste Galois cum-
plió su compromiso. Se presentó en aquel jardín de París y se batió en due-
lo con florete, contra aquel ofendido ciudadano de la noche anterior (que
por cierto, algunos han llegado a sospechar que se trató de un agente del
gobierno que, encubierto, fue a provocar a Galois). Muy poco duró la lisa,
pues a los pocos minutos de haberse iniciado, el joven Évariste Galois
cayó herido de muerte. Aún no cumplía su mayoría de edad.
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
85
Entre las cartas que escribió a toda velocidad en la víspera de su asesi-
nato, Galois propuso métodos para la integración de funciones algebrai-
cas, introdujo el concepto de grupo y su utilidad para la resolución de
ecuaciones. Se dice que Évariste Galois es el padre de la teoría de los gru-
pos, así como del método de los elementos finitos para la resolución de las
ecuaciones diferenciales.
Como había ocurrido antes y como ha ocurrido después, la muerte no
es un obstáculo para el conocimiento. En cuanto Évariste Galois murió, su
amigo cumplió con el encargo y publicó los trabajos en algunas revistas
del tema. El nombre de Galois se salvó de la oscuridad y del olvido, pues la
teoría de los grupos fue conocida por todo el mundo científico como una
de las herramientas matemáticas de mayor utilidad para una enorme varie-
dad de problemas. La teoría de los grupos quedó desde entonces ligada
inextricablemente al nombre de aquel casi adolescente rebelde y destram-
pado que murió por una francachela y una mujer de la cual jamás se en-
teró de su nombre. Muy pronto, aquí y allá aparecieron talentos brillantes
que continuaron con las investigaciones que la muerte había impedido pro-
seguir a aquel jovencito alocado y pendenciero.
De Noruega y de Alemania fueron los dos atletas del pensamiento lógi-
co que tomaron la estafeta para proseguir con aquella carrera que había em-
pezado en París un tiempo atrás.
En una fría tarde del 17 de diciembre de 1842, nació en el pequeño pue-
blo pesquero de Nordfjordeid, cerca de la ciudad de Bergen, un robusto bebé
a quien sus orgullosos padres dieron su apellido y pusieron por nombre Ma-
rius Sophus Lie. El infante creció (como suelen hacerlo todos) y ya mayor-
cito consideró que uno de sus nombres lesonaba inapropiado para su dig-
na personita, así que decidió omitirlo de ahí en adelante. En la actualidad se
recuerda a este personaje, sencillamente por uno de sus nombres y su ape-
llido: Sophus Lie. Se recibió de físico en la Universidad de Christiania (en
Oslo) y cumplidos sus veintiséis años se fue a Berlín para hacer allá su pos-
grado.
En Alemania conoció a alguien que influyó de manera decisiva en su
vida y que marcó el rumbo que habría de seguir en adelante. Si bien, al lle-
gar a Berlín portaba el título de físico que se había ganado en Noruega y el
deseo de continuar por el rumbo de la mecánica clásica que le había llamado
poderosamente la atención, al llegar a esta ciudad y platicar con Felix Klein,
quien a la sazón era profesor de matemáticas, se sintió poderosamente
Formalismo de Hamilton
86
atraído por el tema de su profesor y tutor y desde entonces se dedicó a cul-
tivar, en su forma más pura y abstracta, la teoría de los grupos de Galois y
las ecuaciones diferenciales. Tanto así fue el encanto del tema, que con fér-
vido afán investigó y publicó en 1893, al cabo de nueve años de intenso
trabajo, una monumental obra sobre los grupos: Teoría de los grupos de trans-
formaciones, en tres volúmenes.
Por cierto, después de haberse doctorado en la Universidad de Berlín, re-
gresó a su país natal, Noruega, para ocupar el puesto de profesor extraor-
dinario en la Universidad de Christiania. Durante un buen número de
años perdió de vista a quien había sido su tutor del posgrado y continuó
con su trabajo de investigación dentro de la teoría de los grupos, en forma
individual y aislado del mundo. Un día, uno de sus colegas y amigos (que
por cierto no eran muchos), habiéndolo escuchado en una conferencia, lo
esperó a la salida del auditorio de la Universidad y lo abordó afablemente
para hacerle un conjunto de preguntas acerca del tema que acababa de ex-
poner. Después de charlar por algún rato, el amigo aquel le dijo a Sophus
que aquello que había mostrado a la comunidad científica era en verdad
estupendo e importante para la resolución de ciertas ecuaciones diferencia-
les, pero la mala noticia era que ese tema ya había sido desarrollado en otra
parte: en Alemania, por un tal Felix Klein, que también llevaba un buen
tiempo en la teoría de los grupos. De buena fe, el colega aquel le hizo un
relato de los temas que Klein había desarrollado y con gran sorpresa de su
parte, después de haber escuchado de Lie sus propias investigaciones, ha-
bía caído en la cuenta que había en el trabajo de ambos una gran semejan-
za e incluso una buena dosis de duplicación; es decir, que temas completos
de la teoría de los grupos habían sido desarrollados, por lo visto, casi simul-
táneamente por ambos.
¡Claro!, en aquellos lejanos tiempos, cuando no había aún la red tele-
fónica, ni radio, ni televisión y mucho menos internet, se daba con cierta
facilidad ese hecho de que dos o más personas, trabajando sobre un mismo
tema general en partes apartadas de la geografía, llegaran a los mismos
resultados de sus investigaciones, más o menos simultáneamente, sin sa-
berlo. Algo parecido había ocurrido un siglo y medio antes cuando Newton
y Leibniz desarrollaron parejamente el cálculo diferencial e integral.
Lo cierto es que Lie le pidió en aquella ocasión a su colega que cuando
volviera a Alemania le llevara a su viejo profesor un afectuoso saludo y le pi-
diera si podrían reunirse en alguna parte; donde aquel lo decidiera, para po-
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
87
der renovar su relación tanto tiempo suspendida por razones puramente
circunstanciales y tuvieran la oportunidad de conversar sobre los temas de
investigación que desarrollaban, a fin de evitar en lo sucesivo la duplicación
de esfuerzos intelectuales y, en cambio, pudieran apoyarse mutuamente
para volverse más eficientes.
El amigo aquel cumplió su encargo y tiempo después, habiendo regre-
sado a Oslo de su viaje por el país de los teutones, localizó a Sophus Lie y
le llevó la nueva de que Felix Klein lo esperaría, en una determinada fecha,
en la pequeña ciudad de Erlangen, para discutir el asunto.
Ese día, a la hora convenida, después de muchos años, se reencontraron
el viejo profesor y el pupilo en un cafetín de Erlangen, Alemania. Allí con-
versaron largamente sobre una gran cantidad de cosas y en particular, abor-
daron el tema de los grupos. Sus sorpresas fueron mayúsculas al ir cayendo
en la cuenta de la cantidad de trabajo que cada uno de ellos había estado rea-
lizando en los últimos tiempos y que era prácticamente idéntico al que su
contraparte había desarrollado en el mismo lapso. Deducciones, teoremas,
casos particulares; en fin, una enorme cantidad de trabajo había sido du-
plicado. Tiempo y esfuerzo desperdiciado. Si desde un principio hubieran
hecho sus respectivos trabajos coordinadamente, en vez de caminar cada uno
por su lado, como vectores linealmente independientes. Este fue uno de los
dramáticos resultados de la falta de comunicación entre científicos.
Porque si bien hoy en día, un joven físico mexicano, por mencionar
un ejemplo, se levanta de la cama tarde; a las once de la mañana, en algún
lugar del mundo donde realiza su posdoctorado y, después de despere-
zarse largo rato y sostener esa cruenta lucha diaria contra la molicie, gana
la pelea y se pone a trabajar, con una taza de café negro, recalentado del
día anterior (para espabilarse un poco), enciende su computadora y busca
a su colega, el sudafricano que acaba de hacer lo mismo que él: desper-
tarse, para iniciar un periodo de plática a través de la computadora, donde
se comunican, no nada más los pormenores de la fiesta de anoche, o el
resultado del encuentro de rugby del día anterior, sino también las ideas,
los desarrollos matemáticos, los descalabros al intentar demostrar tal o cual
teorema y los hallazgos que los tienen sobreexitados y sobreestimulados;
si bien la comunicación es el signo de los tiempos que corren y el distin-
tivo del siglo xxi, también es frecuente encontrar dentro de la dilatada fau-
na de mamíferos bípedos e implumes que hoy por hoy pueblan el planeta
Tierra y que se dedican a la ciencia, a los misántropos y a los solitarios que
Formalismo de Hamilton
88
buscan en su trabajo de investigación el desahogo de sus frustraciones y la
razón de su existencia. A los primeros, muy difícilmente podrá ocurrirles
lo que a Sophus Lie y a Felix Klein, que de pronto encuentran, azorados,
que buena parte de sus noches en vela y de sus dolores de cabeza al desa-
rrollar el trabajo, no ha sido fútil, porque alguien más también pensó en lo
mismo que él y ya lo publicó en alguna revista de circulación internacional.
A los segundos, por supuesto, este tipo de desagradables experiencias debe
constituir el “pan de cada día”.
Total, que regresando a aquella agridulce tardeada en un café de la ciu-
dad de Erlangen, los dos brillantes matemáticos se contaron sus hallazgos.
Decidieron que aquello que ya había sido publicado por uno o por el otro
sería respetado como un legítimo logro, no obstante haber sido obteni-
do por la contraparte. Fue un acto de caballerosidad y nobleza que poco
se veía entonces y casi nunca ahora, cuando de un mendrugo de origina-
lidad, publicado en un revista de quinta categoría, se puede conseguir el
ansiado “punto” que permita un nivel más alto en el sistema de investiga-
dores y unos cuantos billetes devaluados más en la cartera.
También acordaron que en lo sucesivo procurarían un vínculo más es-
trecho, con el objetivo de no repetir las experiencias anteriores y para ter-
minar con todo riesgo de duplicación en sus trabajos futuros, sobre el
mapa de toda la teoría de los grupos, trazaron de común acuerdo una
línea que dividió desde ese instante y para toda la eternidad ese campo
del conocimiento en dos sectores perfectamente distintos. Uno de ellos
para ser explotado por Sophus Lie y el otro para Felix Klein. Este fue el
programa de Erlangen.
Desde aquella tarde, la teoría de los grupos quedó dividida por una
líneaque distinguió, por un lado a todos aquellos grupos que estuvieran
descritos mediante parámetros continuos; esto es, variables y por otro, los
que estuvieran caracterizados por parámetros que reciben valores discre-
tos. A los primeros, se les conoce hasta la actualidad por los grupos de Lie,
en tanto que a los segundos; a los grupos discretos, algunas personas aún
los identifican como los grupos de Klein.
Pues bien, aquellos temas que tanto llamaron la atención del joven físi-
co Sophus Lie, cuando obtuvo el título en la Universidad de Christiania,
fueron ni más ni menos que la formulación de Hamilton, la teoría de las
transformaciones canónicas (que a la sazón se les llamaba transformaciones
de contacto) y la integración de las ecuaciones diferenciales de movimiento.
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
89
En realidad esos fueron los temas que lo indujeron a profundizar más y
más en la teoría de los grupos continuos.
Nunca olvidó aquel leit motiv que lo había llevado a Alemania a estudiar
el tema de los grupos. Siempre agradeció a su profesor haberlo entusiasma-
do por esa rama de la matemática y de vez en cuando regresó a la mecáni-
ca clásica para ensayar alguna de las técnicas que desarrolló dentro de la
teoría de grupos.
En lo que viene se expondrán las ideas de Lie para la integración del gru-
po de transformaciones (continuas) canónicas de la mecánica hamilto-
niana.
Pero antes de comenzar con el tema que ahora ocupará el tiempo y la
mente de aquel que llegue a leer este abultado mamotreto, es necesario
terminar con la historia de este personaje. Como todo principio llega
fatalmente a su fin, así también la vida de aquel estupendo científico ter-
minó el 18 de febrero de 1899.
Siguiendo a Lie en sus deducciones, es interesante percatarse que las
funciones de clase F1,F2,F3 y F4 generan, en efecto, al grupo simpléctico
de transformaciones canónicas en el espacio de las fases del sistema diná-
mico. Es menester darse cuenta, igualmente, que se trata de un grupo de
transformaciones de coordenadas generalizadas y momentos, que depen-
den de un juego de parámetros: las propias coordenadas y los momentos y
que esos parámetros son variables que están definidos, en general, sobre
algún dominio de los números reales. Así pues, las transformaciones
canónicas del grupo simpléctico son continuas. Por lo tanto, se trata de un
grupo de Lie.
Todos los grupos continuos de transformaciones como éste tienen una
importante cualidad, a saber, que admiten como elementos a las transfor-
maciones infinitesimales; esto es, mapeos del espacio en sí mismos, que difie-
ren tan poco como se desee de la transformación idéntica. Además, de acuer-
do con la teoría de los grupos continuos, las transformaciones infinitesimales
tienen la bella cualidad de generar al grupo completo; en otras palabras: bas-
ta con conocer la transformación infinitesimal de un grupo de Lie, para co-
nocer a cualquier elemento de ese grupo; finito o infinitesimal, mediante
la elección adecuada de sus parámetros y la aplicación sucesiva de un cier-
to número de dichas transformaciones infinitesimales.
Por definición, una transformación infinitesimal canónica debe ser
aquella que difiera tan poco como se quiera de la idéntica, tal como se
Formalismo de Hamilton
90
mencionó anteriormente. Por lo tanto, debe ser generada por una función
de la clase F2, ya que éstas, en particular generan a la transformación idén-
tica. Basta con repasar los resultados (9.203) y (9.204) para recordar que,
en efecto, la transformación idéntica se obtiene a partir de una función
F2. Ahora, si se piensa en una función generadora de una transformación
canónica infinitesimal, debe ser claro que debe ser del tipo siguiente:
(9.212)
donde el miembro de la derecha muestra, en primer término, el producto
de viejas coordenadas por nuevos momentos, que es el mismo que en (9.204)
se propuso y condujo a la transformación idéntica. Adicionalmente se ha
escrito en (9.212) el producto de una función G que depende de viejas
coordenadas y nuevos momentos; por un parámetro � que se supone in-
finitesimal de primer orden; esto es, que su valor es suficientemente pe-
queño, tal que los productos de él por sí mismos son despreciables. Al tér-
mino que aparece en el extremo de la derecha de (9.212) se le conoce como
la parte infinitesimal de la función generadora. Como puede apreciarse,
esta parte es, a su vez, una función de clase F2.
Si se somete (9.212) a las condiciones diferenciales (9.203) para las fun-
ciones de clase F2 y se tiene lo siguiente:
(9.213 a)
(9.213 b)
Observando (9.213) se aprecia que se trata de una transformación de
coordenadas y momentos. Despejando de (9.213) las nuevas variables se
puede ver mejor el resultado:
(9.214 a)
(9.214 b)
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
91
Las nuevas coordenadas y los nuevos momentos aparecen en (9.214)
como una traslación a partir de las coordenadas y los momentos originales.
Una traslación que es infinitesimal, dado que es proporcional al parámetro
de pequeñez �. La dirección y sentido en los que se lleva a cabo la trasla-
ción corresponde a aquellos que determina el gradiente de la parte infinite-
simal de la función generadora.
Así, se puede imaginar este proceso como un cierto transporte del
sistema, (representado por un punto en el espacio de las fases). El trans-
porte se lleva a cabo desde el punto original hasta otro punto tan próxi-
mo al primero como se quiera. El sistema sufre esa traslación debido a
la presencia de un campo G(q,P,t) que permea todo el espacio de las
fases y que es el “responsable” de llevar al sistema entre esos dos puntos
extremos. De todas las posibles direcciones que pudiera haber tomado
el sistema para desplazarse por el espacio de las fases, lo ha hecho en la
dirección y con el sentido que le marca el gradiente (en 6N�2l dimen-
siones) del campo G, como se muestra esquemáticamente en la figura
9.5.1. Tal vez la forma más sugestiva de escribir (9.214) nuevamente sea
la siguiente:
(9.215 a)
(9.215 b)
entendiendo a las �´s como las diferencias entre las nuevas y las viejas va-
riables.
Así, una función generadora de clase F2, como la que se propuso en
(9.212) genera, en efecto, una transformación en el espacio de las fases, que
pone en correspondencia puntos con puntos, de acuerdo con las expresio-
nes (9.215), en términos de la parte infinitesimal de la función generadora.
Pero ahora, si se escoge al infinitésimo � en particular, como el lapso que
transcurre entre la posición original que tenía el sistema en el instante t y
la nueva posición, muy próxima a la anterior, en el instante t�dt y, por
otra parte, se identifica a la parte infinitesimal de la función generadora,
precisamente como la hamiltoniana del sistema, entonces, las expresiones
(9.215) se convierten casi milagrosamente en
Formalismo de Hamilton
92
(9.216)
esto es, ¡en las ecuaciones de Hamilton!
Ahora, es posible regresar un poco sobre los pasos andados y reconocer
que la función de Hamilton corresponde, ni más, ni menos que a la parte
infinitesimal de una función generadora, de clase F2, aquella que genera un
transporte diferencial en el espacio de las fases; desde un punto dado, a otro
muy próximo. Pero a diferencia de estas funciones G(q,p,t), como las que se
propusieron en (9.212) y que también generan desplazamientos muy pe-
queños en el espacio de las fases, ésta, la función hamiltoniana, da por
resultado un transporte infinitesimal que es el que “realmente” sigue el
sistema dinámico en este espacio, como resultado de los agentes físicos
(conservadores) que lo urgen.
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
93
Figura 9.5.1. El sistema dinámico experimenta un transporte de un punto (q,p)
del espacio de las fases a otro vecino, siguiendo el gradiente de la función G.
grad B
G (q q, p p)
G (q , p)
Hay que recalcar que la imagen que ahora se tiene de la mecánica se ha
enriquecido enormemente con estos resultados. Ahora, el espacio de las fases
ya no es más unmero espacio matemático que sirve como artilugio para re-
presentar gráficamente ciertas propiedades de los sistemas dinámicos. No,
ahora, el espacio de las fases ha comenzado a manifestarse como un espacio
físico, con existencia verdadera. Este gran escenario no es un recinto vacío e
inerte, sino que está impregnado hasta el último de sus resquicios de infor-
mación. La función de Hamilton es un campo escalar definido en este espa-
cio, que contiene toda esa información dinámica. Así que al situar al sistema
en algún punto de este espacio, en cierto instante, esa información dinámi-
ca, de la cual está impregnado, se activa. El campo hamiltoniano H actúa
entonces sobre el sistema y lo obliga a moverse por el espacio de las fases. Se
trata de un proceso de transferencia de información al sistema que éste reci-
be del espacio y que lo obliga a moverse en consecuencia. La dirección en la
que se mueve está dictada por las 6N�2l componentes del gradiente de H.
El movimiento del sistema, como respuesta al campo hamiltoniano H, en
cierto punto y en cierto instante, lo sitúa en un nuevo punto, muy próximo
espacial y temporalmente del anterior. Pero una vez que el sistema ha alcan-
zado el nuevo punto del espacio de las fases, el proceso se repite: el sistema,
en esta ubicación, recibe nuevas órdenes que lo obligan a continuar su movi-
miento a otro punto, muy cercano al anterior y así sucesivamente. De modo
que el movimiento en gran escala del sistema se puede entender como una
enorme sucesión de pequeños transportes elementales generados por la fun-
ción hamiltoniana, de acuerdo con las ecuaciones de Hamilton (9.216).
Matemáticamente, la sucesión de transportes elementales que sufre un
sistema dinámico para generar su trayectoria total en el espacio de las fases,
debe entenderse como un proceso de iteración, donde, obtenidas las expre-
siones
(9.217 a)
(9.217 b)
siendo �t la diferencia entre el instante final y el inicial del movimiento y
N el número (en general muy grande) de intervalos temporales en los que
Formalismo de Hamilton
94
se divide el movimiento total, se aplica una y otra vez (9.217) para obtener,
después de N lapsos como éste, las coordenadas y los momentos a los que
llegó finalmente el sistema mismo.
Para implementar esta idea, es conveniente detenerse en este punto y
abrir un espacio para introducir una notación que será sumamente útil. Se
trata de los llamados corchetes de Poisson. Dadas dos funciones A y B cuales-
quiera, que están definidas en el espacio de las fases y son derivables, se
define el corchete de Poisson de A y B como:
(9.218)
con regla de suma sobre los índices repetidos.
Tal como se ha hecho esta definición, se puede demostrar casi en forma
inmediata que los corchetes de Poissón satisfacen las siguientes propieda-
des básicas:
i) Antisimetría:
(9.219 a)
(9.219 b)
ii) Elemento neutro:
(9.220)
iii) Distributividad:
(9.221 a)
(9.221 b)
iv) Regla de Jacobi:
(9.222)
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
95
Realmente es muy sencillo comprobar la veracidad de las identidades an-
teriores, de manera que aquí se omitirá este trámite y se deja como un ejer-
cicio sano el hacerlo.
Hay ciertos resultados interesantes que se infieren a partir de las identi-
dades anteriores sobre los corchetes de Poisson. Por ejemplo, considérese
una función A cualquiera, que esté bien definida en el espacio de las fases.
Considérese, además, a la función de Hamilton H, que satisface las ecua-
ciones (9.216). Entonces; por definición del corchete de Poisson:
pero, de acuerdo con las ecuaciones de Hamilton (9.216), se obtiene lo si-
guiente:
Así que, en el caso en que A no depende explícitamente del tiempo, se
consigue del resultado anterior una forma para la derivada total de una fun-
ción del espacio fásico, con respecto al tiempo:
(9.223)
En particular, si se consideran los corchetes de Poisson con coordenadas,
momentos y la hamiltoniana, se obtiene que:
(9.224 a)
(9.224 b)
Una forma alternativa de escribir las ecuaciones de Hamilton, utilizan-
do esta novedosa notación de los corchetes de Poisson, es la siguiente:
(9.225)
Formalismo de Hamilton
96
En donde, nuevamente, se ha utilizado la notación uniforme para coor-
denadas generalizadas y momentos que se introdujo en (9.51). De la mis-
ma manera, de acuerdo con esta notación, una transformación canónica in-
finitesimal, generada por la hamiltoniana, tal como la que se describe
matemáticamente en (9.217 a) y (9.217 b), se puede rescribir en forma
compacta como sigue:
(9.226)
siendo xA las coordenadas y los momentos viejos, en tanto que XA represen-
ta a las nuevas variables. Hay que recalcar que en (9.226), a lo que se in-
voca es a un pequeño transporte en el espacio de las fases; desde un punto
(xA), que ocurre en cierto instante t, hasta otro punto (XA), muy próximo al
anterior, y que ocurre en un pequeño lapso posterior, t��t/N, siendo N un
número grande.
Considérese ahora toda la trayectoria del sistema dinámico en el espacio
de las fases, y supóngase que ésta ha sido construida mediante una enorme
cantidad de pequeñísimos transportes, entre puntos vecinos, tal como se
muestra en la figura 9.5.2. Así, para llegar finalmente al punto (xA(t)),
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
97
Figura 9.5.2. Un sistema dinámico recorre su trayectoria, desde el punto (xA
o(t0))
hasta (xA(t)) en N pequeñas etapas sucesivas.
xa (t )
xa(to )�
habiendo partido de (x0A(t0)), el sistema hubo de recorrer N intervalos
muy pequeños, sucesivamente. En la primera etapa, el sistema pasa del pun-
to inicial en el instante t0, a un siguiente punto, muy próximo (xA´(t��t/N))
de acuerdo con (9.226):
Esta expresión se puede muy bien rescribir en la siguiente forma:
(9.227)
donde el corchete de Poisson de la derecha en (9.227) representa a un ope-
rador diferencial
que debe aplicarse a lo que está situado a su derecha. En este caso, el opera-
dor se aplica a la posición del sistema xA(t), evaluada en el instante t0; es decir,
a xA
0(t0).
Imagínese ahora que el sistema dinámico, habiendo llegado al punto
xA´, prosigue su viaje al siguiente punto de la partición: xA�, llegando a éste
en el instante t0 � 2�t/N. Se puede representar esta nueva etapa del movi-
miento del sistema como la aplicación de la fórmula (9.227) al punto de
partida xA´, tal como se hizo en el caso original; esto es:
(9.228)
Así, el punto al cual se había accedido con el primer transporte, ha ser-
vido ahora como origen del segundo. El proceso matemático se puede repetir
N pasos para, finalmente, llegar a la meta: el punto xA(t), que es el que se mar-
ca en el extremo superior de la figura 9.5.2. Con este proceso matemático se
logra, literalmente, integrar el movimiento global mediante una sucesión de
pequeños saltos infinitesimales, de un punto a otro muy próximo, y luego a
Formalismo de Hamilton
98
otro y a otro, hasta cubrir toda la trayectoria. En cada uno de los saltos, la
hamiltoniana que viene dentro del corchete de Poisson es, como el corazón
de esta maquinaria, que va llevando al sistema por su camino.
Pero regresando a (9.228), si el operador actúa sobre el punto xA´(t0�
2�t/N) y este punto a su vez había sido previamente alcanzado por el sis-
tema mediante la aplicación de (9.227), entonces es posible combinar
ambos resultados; es decir, se puede escribir entonces, lo siguiente:
(9.229)
Así, transportar al sistema desde el origen hasta el segundo punto de su
trayectoria es equivalente a la aplicación sucesiva de dos operadores sobre el
punto de partida.
Llevar al sistema a lo largo de su trayectoria, siguiendo la partición que
se hizo en N etapas minúsculas, es como aplicar al punto inicial una sucesión
de N operadores de transporte; esto es:
(9.230)
Y para garantizar que este proceso de saltos infinitesimales sea absolu-
tamente preciso, se puede suponer que la trayectoria se divide en un núme-
ro cada vez mayor de intervalos. Así, en el límite, se obtendrá:
(9.231)
Pero la expresión de la derecha en(9.231) no es otra cosa que la célebre
fórmula debida a Weierstrass (1815-1897) para la exponencial, así que esta
expresión se puede rescribir como sigue:
(9.232)
La trayectoria completa en el espacio de las fases ha quedado integrada;
el único ingrediente que se requiere para hacerlo es conocer la hamiltonia-
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
99
na. Ninguna integral aparece aquí; únicamente es cosa de desarrollar la
exponencial como una serie de potencias y aplicarla sobre el punto del es-
pacio de las fases que se toma como origen del movimiento (las condicio-
nes iniciales).
Pero en este momento es preciso detenerse momentáneamente para com-
prender a profundidad lo que se ha hecho hasta ahora. Así, regresando a la
expresión (9.229), desarrollando ese producto de dos operadores, lo que se
tiene es lo siguiente:
(9.233)
Es decir, que la aplicación sucesiva de los dos operadores se debe hacer
sobre xA(t) y ésta se debe evaluar para t�t0. Además, al realizar esta opera-
ción, aparece, en el extremo de la derecha, el corchete de Poisson de segun-
do orden de la hamiltoniana, aplicado a la variable. Conviene en este punto
introducir la siguiente notación:
(9.234 a)
(9.234 b)
(9.234 c)
(9.234 d)
(9.234 e)
Formalismo de Hamilton
100
de tal suerte que el desarrollo en (9.233), de acuerdo con esta notación, es
el siguiente:
Se puede ver ahora, recordando el desarrollo en series de potencias de la
función exponencial, que la expresión (9.232) se puede escribir como la serie:
(9.235)
o bien, desarrollándola hasta los primeros órdenes, se obtiene:
(9.236)
Esta es la serie de Lie, con la cual se han integrado las ecuaciones de
Hamilton. El resultado de esta serie son las ecuaciones de la trayectoria en
el espacio de las fases. Recordando que la variable xA se ha utilizado para
designar genéricamente, tanto a las coordenadas como a los momentos, la
serie (9.236) representa en realidad a los 3N�l coordenadas generalizadas
y a los 3N�l momentos canónicamente conjugados:
(9.237 a)
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
101
(9.237 b)
donde
k � 1,2,…,3N�l
Con las fórmulas (9.237), se puede decir, sin lugar a equivocación algu-
na, que el problema de integrar las ecuaciones diferenciales de movimiento
para cualquier sistema de N cuerpos masivos, puntuales, sujetos a l constric-
ciones holonómicas y a las fuerzas conservadoras con condiciones iniciales
definidas, ha quedado resuelto finalmente. ¡Léase bien! ¡N cuerpos! Cuales-
quiera que sean éstos, con la única condición de estar bien ubicados en el
espacio. Las series de Lie han venido a ser como la corona que ciñe la testa
espléndida de la mecánica, pues a excepción de esos problemas verdade-
ramente terribles que de pronto aparecen aquí y allá, con fuerzas disipado-
ras raras y constricciones anholonómicas; excepto por esos fenómenos, todos
los problemas “decentes” de la mecánica pueden ser resueltos, al menos
aproximadamente, con la técnica que aquí se ha desarrollado.
Y para muestra bastan unos cuantos botones, como afirma por allí
aquel dicho popular. Considérese el caso del ya explorado oscilador armó-
nico en una dimensión espacial. La hamiltoniana para este simple sistema
ha sido escrita varias veces a lo largo de este texto y ahora será escrita una
vez más:
(9.238)
Ahora es necesario calcular unos cuantos corchetes de Poisson para esta
función:
(9.239)
Formalismo de Hamilton
102
como puede calcularse directamente de la definición para el corchete de
Poisson dada en (9.218) y usando la hamiltoniana (9.238). Dado este re-
sultado, todos los demás salen sin dificultad:
(9.240)
(9.241)
(9.242 a)
(9.242 b)
(9.242 c)
etc.
¡Así de fácil! Ahora, sustituyendo estos resultados, desde el (9.239) has-
ta el último de los (9.242), en la serie (9.237 a), se obtiene de inmediato lo
siguiente:
Si se evalúa en t0�0, la posición y el momento iniciales como
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
103
la amplitud máxima del oscilador, y
se obtiene lo siguiente:
(9.243)
O bien, como ya se habrá identificado
(9.244)
Sophus Lie hizo su vida profesional bastante alejado del mundo cientí-
fico europeo. Su trabajo lo realizó casi siempre solo, excepto por aquel
breve encuentro con su profesor allá en la pequeña ciudad de Erlangen,
en Alemania. Se inició como físico y su objetivo fue resolver, de una vez por
todas, las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton. Lo consi-
guió sobradamente al proponer este bellísimo método llamado de las series
de Lie. Un método poco conocido, por cierto, y que por ahí, en algún tex-
to de física, dentro del tema de la mecánica cuántica lo han atribuido a
algún otro primate de la familia de los homo, que deambula por algún lu-
gar del mundo practicando la rapiña, como muchos otros. Lo cierto es que
estas series fueron desarrolladas allá en las heladas tierras de Noruega por ese
humilde genio Sophus Lie.
Como una curiosidad científica y un poco aparte del tema de las series
de Lie, hay un tema relacionado con los corchetes de Poisson que da un
resultado interesante. Este teorema es atribuido a otro gigante de la físi-
ca, creador de la mecánica cuántica junto con Schrödinger (1887-1961) y
Heisenberg (1901-1966), de nombre Paul Adrien Maurice Dirac (1902-
1988).
Considérense cuatro funciones A, B, C, D bien definidas en el espacio de
las fases. Supóngase que las funciones son derivables, pero que no nece-
sariamente son conmutativas; esto es, que el producto de una de ellas,
multiplicado por otra, no necesariamente rinde el mismo resultado si se in-
vierte el orden de los factores. Tómese ahora el siguiente corchete de Poisson
con estas cuatro funciones:
Formalismo de Hamilton
104
Este operador se puede desarrollar siguiendo las reglas (9.221 a) y (9.221
b), de acuerdo con dos criterios alternativos: se puede suponer de inicio,
que A y B son dos factores, pero CD es uno solo, así que de acuerdo con
(9.221 a) se tiene como resultado lo siguiente:
si ahora se desarrolla este resultado de acuerdo con la propiedad (9.221 b),
se obtiene que:
(9.245)
en donde se ha tenido el cuidado de respetar el orden en el que aparecen los
operadores, ya que no necesariamente conmutan.
Pero ahora, regresando al punto de partida, se podrían pensar las cosas
en una forma totalmente diferente al resolver este corchete de Poisson. Se
puede suponer que AB es un solo término y que C y D son en efecto dos
funciones, así que, comenzando con la regla (9.221 b), se tiene que
y desarrollando el resultado intermedio con la ayuda de (9.221 c), se consigue:
(9.246)
donde, de nueva cuenta se ha procedido con todo cuidado, respetando el
orden en el que aparecen los factores.
Restanto (9.226) de (9.245) se obtiene:
y naturalmente, si las funciones A, B, C, D conmutaran, la expresión ante-
rior se satisfaría idénticamente. Pero es el caso que estas funciones se han
Los corchetes de Poisson y las series de Lie
105
supuesto no conmutativas. Tal vez pudiera tratarse de cuatro matrices que
al multiplicarse debe cuidarse el orden de su sucesiva multiplicación, por-
que de otro modo el resultado final cambia. En este caso, el resultado al que
se ha llegado, de ningún modo es trivial.
Para resolver la expresión anterior, sea
(9.247)
el llamado conmutador de A, C, y lo mismo se hace para el producto de B
con D. Entonces, se puede rescribir el resultado anterior en términos de
los conmutadores y de los corchetes de Poissón, como:
Esta ecuación se puede resolver si se supone que el corchete de Poissón
es proporcional al conmutador y viceversa. Entonces, si para dos cuales-
quiera funciones definidas en el espacio de las fases, se acepta que
(9.248)
y lo mismo para las otras dos, se resuelve idénticamente la expresión de
arriba. El factor de proporcionalidad � puede ser, naturalmente, igual a
cero, en cuyo caso se trata de una mecánica conmutativa; esto es, una mecá-
nica como la que aquí se ha venido desarrollando, en la cual las funciones
en el espacio de las fases son todas escalares.Pero también puede ser, por
ejemplo, que se trate de una expresión de la mecánica que se haga con ma-
trices, o bien con operadores diferenciales, o con números complejos o aún
con el álgebra de los hipercomplejos. En tales casos se trata de sendas teo-
rías no conmutativas. Una posibilidad muy interesante se da, cuando, por
ejemplo, se postula que
(9.249)
siendo i el número imaginario y h– es la famosa constante de Planck dividi-
da por 2�; esto es:
(9.250)
Formalismo de Hamilton
106
La identidad postulacional (9.249) no es otra cosa que la expresión del
más importante postulado de la formulación semi clásica de la mecánica
cuántica de Schrödinger-Heisenberg, conocido como el principio de corres-
pondencia de Bohr. Así, se puede entender que a través del resultado
(9.248), muchas “mecánicas” pueden ser desarrolladas. Todo es cosa de esco-
ger el factor de proporcionalidad � en el miembro de la derecha. Un caso
particular es la mecánica cuántica de Schrödinger-Heisenberg.
9.6. Problemas del capítulo
9.1. Un cuerpo masivo, con masa m, cae desde cierta altura h, debido a
la acción de la gravedad. Mientras cae, una fuerza disipadora actúa
sobre él. Esta fuerza está determinada por medio de la fórmula:
(9.251)
donde c es una constante y x� es la velocidad instantánea con la que
cae el cuerpo.
i) Escriba la función de Hamilton para este caso y plantee las ecua-
ciones diferenciales de movimiento.
ii) Resuelva el problema. Interprete sus resultados y encuentre la lla-
mada velocidad terminal; esto es, la velocidad límite que alcanza el
cuerpo en su caída.
9.2. Establezca la hamiltoniana y plantee las ecuaciones diferenciales
de movimiento para un péndulo doble. ¿Cómo podría represen-
tarse este movimiento en el espacio de fases, para pequeñas ampli-
tudes?
9.3. Un péndulo simple cuelga del centro de masas de un carrito que es li-
bre de moverse horizontalmente sobre una superficie lisa y sin friccio-
nes, tal como se muestra en la figura 9.6.1. Escriba la hamiltoniana
para este sistema dinámico. Plantee las ecuaciones diferenciales de mo-
vimiento y realice la integración, suponiendo que el péndulo se mueve
con una muy pequeña amplitud.
Problemas del Capítulo
107
9.4. Una partícula de masa m y carga eléctrica e se mueve en la presencia
de un campo magnético constante, determinado por su vector de
inducción magnética B�, cuyas componentes son
La partícula experimenta una fuerza debido a la presencia del cam-
po magnético y a su carga eléctrica, dada por
(9.252)
donde c es la rapidez de la luz en el vacío (constante) y v� es su veloci-
dad. La fórmula anterior se debe a Hendrik Antoon Lorentz (1853-
1928).
i) Construya la hamiltoniana para este problema.
ii) Plantee, resuelva e interprete la solución.
Formalismo de Hamilton
108
M
x
l
m
�
Figura 9.6.1. Un carrito es libre de moverse horizontalmente. Un péndulo cuel-
ga de su centro de masa.
9.5. Considérese la acción de un sistema de N partículas, con masas m1,
m2,…,mN, que se mueven por el espacio debido a las fuerzas que las
urgen. Supóngase que sobre el sistema operan l constantes holonómi-
cas y que las fuerzas que actúan sobre él son conservadoras, pero tam-
bién existen fuerzas generalizadas disipadoras.
i) Establezca la acción del sistema en el espacio de las fases.
ii) Obtenga las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton,
a partir de la formulación variacional que se utilizó para encontrar-
las en el caso de la ausencia de fuerzas disipadoras en (9.46).
9.6. Considérese la siguiente hamiltoniana para una partícula masiva, que
se desplaza en una sola dimensión en el espacio real:
(9.253)
siendo p el momento lineal de ella.
Hallar la forma de Jordan a la que pertenece este caso. Resolver
el sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento y dibujar el
retrato el mismo.
9.7. ¿Se podría responder a la pregunta de cuál es la forma de Jordan a la
que corresponde el caso de la partícula cargada que se mueve en pre-
sencia de un campo magnético uniforme del problema 9.4?
Supóngase para tal efecto, que el movimiento ocurre únicamente
sobre el plano xOy y que el campo de inducción magnética B� es
constante.
9.8. Considérese la siguiente hamiltoniana:
(9.254)
donde p� es el vector de momento canónico conjugado, dado por la
siguiente expresión:
(9.255)
Problemas del Capítulo
109
siendo m la masa de la partícula, x�� es su velocidad, e es la carga eléc-
trica de este cuerpo, c es la magnitud de la velocidad de la luz en el
vacío y A� es el vector potencial magnético, considerado en general
como una función vectorial del punto y del tiempo; esto es:
Encontrar las ecuaciones diferenciales de movimiento, suponien-
do que el vector potencial magnético no depende explícitamente del
tiempo. Interpretar los resultados.
9.9. Encuéntrese la forma de Jordan a la que pertenece el caso del pén-
dulo simple, cuando oscila con muy pequeña amplitud.
9.10. Resolver el problema del péndulo físico por el método de las formas
de Jordan. Un péndulo físico es un cuerpo rígido de forma arbitraria
que oscila debido a la gravedad cuando se le sujeta de uno de sus ex-
tremos y se le saca de su posición de equilibrio, como se muestra
en la figura 9.6.2.
Para resolver este problema supóngase que el momento de inercia
Formalismo de Hamilton
110
Figura 9.6.2. El péndulo físico.
y
Mg
x
0
C.M.
alrededor del eje que pasa por el pivote es I, constante y, además, que
la amplitud de sus oscilaciones es pequeña.
9.11. Demostrar que en el espacio de las fases, la distancia entre dos pun-
tos de una trayectoria del sistema dinámico es igual a cero.
9.12. Demostrar que el espacio de las fases puede ser considerado como un
espacio vectorial.
9.13. Propóngase ejemplos de funciones generadoras de clase F3 y F4.
9.14. Demuéstrese que las funciones F1, F2, F3 y F4 generan un grupo de
transformaciones canónicas.
9.15. ¿La función generadora F2 genera un grupo? Demostrarlo.
9.16. Demostrar las propiedades (9.219 a), (9.219 b), (9.220) y (9.221) a
partir de la definición de los corchetes de Poissón dada en (9.218).
9.17. Demuéstrense las propiedades (9.221 b) así como la regla de Jacobi
(9.222).
9.18. Resuélvase el problema de la caída libre de un cuerpo masivo desde
una altura h debido a la acción de la gravedad, con el método de las
series de Lie. Despréciese la resistencia del aire.
9.19. Considérese el caso de una partícula de masa m que se mueve por el
espacio actuada por una fuerza conservadora dada por la fórmula
(9.256)
siendo f0, a y b constantes. Resolver este problema con el método
de las series de Lie. ¿Cómo podría interpretarse este problema?
9.20. Resolver el problema de Kepler con el método de las series de Lie.
Problemas del Capítulo
111
CAPÍTULO 10
LA FORMULACIÓN DE HAMILTON-JACOBI
10.1. La ecuación de Hamilton-Jacobi
Este paseo por la mecánica ya está por terminar. Queda aún un gran tema
por revisar y éste es la llamada formulación de Hamilton-Jacobi. Tal como
se anunció en el capítulo anterior cuando se trataron las transformaciones
canónicas, aquí se va a considerar esa brillante estrategia que consiste en ha-
llar un camino alterno; no necesariamente un atajo, para integrar las ecua-
ciones diferenciales de movimiento. No es un atajo, porque generalmente
este nuevo método resulta más largo que hacer las cosas directamente, to-
mando las ecuaciones diferenciales de movimiento así como están, sin mayor
maquillaje, e integrarlas. Los atajos, por otra parte, son, de acuerdo con su
definición, caminos más cortos que conducen a un mismo punto. Así que
el método que habrá de utilizarse aquí para resolver problemas de mecáni-
ca, en verdad no puede recibir ese apelativo.
Se trata de un camino alternativo, más largo, en efecto, pero que muchas
veces es lo mejor porque es más simple, o bien sencillamente porque es el
último recurso que se tiene cuando todos los demás han fallado. Es como
esas hachas y esos martillos que se colocan en algunos edificios públicos,
dentro de nichos y cerrados con unapuertecilla de vidrio, a los que se les
pinta el anuncio: rómpase en caso de emergencia. Así es el método de Hamil-
ton-Jacobi.
Pero no es nada más es el herramental para integrar ecuaciones diferen-
ciales difíciles; al igual que otras partes de la mecánica, la formulación de
Hamilton-Jacobi ha dado lugar a otros desarrollos. En el campo de la teoría
de control, las ideas que aquí serán desarrolladas en seguida dieron lugar a
uno de los enfoques más interesantes: la teoría de Pontryagin.
Si bien la formulación se debe casi en su totalidad a Hamilton (¡otra vez
Hamilton!), debido a que en su desarrollo hizo uso prolijo de las propieda-
113
des de las ecuaciones diferenciales de primer orden en derivadas parciales
y que éste fue uno de los temas que publicó Karl Gustav Jacob Jacobi
(1804-1851), es que hasta la fecha esta parte de la mecánica lleva el nom-
bre de los dos personajes.
Para comenzar, supóngase nuevamente el caso de un sistema de N par-
tículas masivas, que se mueven por el espacio físico debido a la acción de
fuerzas conservadoras y sujeto a l constricciones holonómicas. Sea H la
función hamiltoniana de estado dinámico,
que satisface sus ecuaciones diferenciales.
Ahora imagínese una transformación canónica, que tiene la propiedad
de que la nueva hamiltoniana K no depende de las nuevas coordenadas ge-
neralizadas ni de los nuevos momentos; esto es, que tanto nuevas coorde-
nadas, como nuevos momentos, son ignorables. Supóngase que la hamil-
toniana tampoco depende del tiempo. Esto significa que todos, nuevas
coordenadas y nuevos momentos, son constantes de movimiento.
Por su parte, la nueva hamiltoniana, esa función de estado dinámico K,
muy bien puede suponerse igual a cero.
Entonces, lo que se esta proponiendo es una transformación canónica
muy especial:
(10.1)
siendo las �´s y las �´s un conjunto de 6N�2l constantes de movimiento
y, además, con la condición de que la nueva hamiltoniana sea una función
nula; esto es:
K � 0 (10.2)
Una transformación canónica de esta naturaleza ha vuelto trivial el pro-
blema de las ecuaciones de Hamilton. Pero simultáneamente, al convertir
el problema en un asunto trivial, le ha despojado de toda información.
Debe ser claro que si las nuevas coordenadas y los nuevos momentos son
La formulación de Hamilton-Jacobi
114
todos constantes, entonces en el espacio de las fases el sistema no es otra
cosa que un punto inmóvil. Desde el punto de vista de simplificar el proce-
so de integración de las ecuaciones de Hamilton, se ha cumplido con el
objetivo. Pero ahora toda la información se ha perdido para la nueva hamil-
toniana. En alguna parte ha quedado esa información. ¿Y dónde más podría
estar sino en la transformación canónica misma?
En efecto, pensando en la transformación canónica, como la que se re-
presenta esquemáticamente en (10.1), debe quedar claro que se trata de un
proceso donde coordenadas generalizadas y momentos son mapeados en
un punto del espacio de las fases. Entonces es la propia transformación ca-
nónica la que en este proceso se ha quedado con toda la información. Por
lo tanto hay que concentrar todo interés y atención en determinar tan
nítidamente como sea posible esta transformación. Así, en la medida que
se conozca con precisión, se podrá conocer igualmente el movimiento del
sistema dinámico. De hecho, si las �´s y las �´s son conocidas y la trans-
formación canónica está determinada, entonces, en el caso en que ésta sea
invertible, es posible establecer el problema inverso:
(10.3)
En estas condiciones, será posible conocer a las coordenadas y los
momentos en todo instante. El problema habrá quedado, así, totalmente
resuelto sin haber tenido la necesidad de encararse con engorrosas integra-
les. Esta es, ni más ni menos, la estrategia que se planteó en el capítulo 9
de este libro y que se ilustró esquemáticamente en la figura 9.4.1. Este es el
camino que propuso Hamilton al principio del siglo xix y que se conoce
como la formulación de Hamilton-Jacobi.
Para atacar el problema, considérese ahora que esta transformación ca-
nónica tan peculiar, ha sido generada por una función A que pertenece a la
clase F2. Si esto es así, entonces la función generadora debe depender de
las “viejas” coordenadas generalizadas y de los “nuevos” momentos (que
para este caso son todas las constantes �) y del tiempo; esto es:
(10.4)
La ecuación de Hamilton-Jacobi
115
Y siendo una función de clase F2, según se ha postulado, entonces debe
satisfacer las condiciones diferenciales para esta clase de funciones. En
(10.204) se obtuvieron de manera general tales condiciones diferenciales;
para este caso particular se debe satisfacer que:
(10.5 a)
(10.5 b)
siendo las �’s constantes de movimiento.
(10.5 c)
Se conoce a la función generadora A, como la función principal de Hamil-
ton y es ella la que genera, por hipótesis, la transformación canónica (10.1).
Para convencerse de que, en efecto, la función principal de Hamilton
(10.4) genera, a través de las condiciones diferenciales (10.5 a) y (10.5 b),
la transformación canónica buscada, merece la pena estudiar con detalle es-
tas expresiones.
Supóngase por el momento que la función principal de Hamilton es
conocida, imagínese que se trata de una función que depende de las vie-
jas coordenadas, de los nuevos momentos y del tiempo. Ahora piénsese
que esta función es derivada parcialmente, con respecto a cada una de las
viejas coordenadas, tal como se establece en (10.5 a). Lo que se obtiene
al derivar esta función con respecto a cada q es una nueva función (una por
cada derivada) que, en general, se puede entender como dependiente, nueva-
mente, de las viejas coordenadas, de los parámetros � (los nuevos momen-
tos) y del tiempo. Si se designa a cada una de las funciones que resultan
de este proceso de derivación como �k, esto es:
(10.6)
La formulación de Hamilton-Jacobi
116
entonces, de acuerdo con (10.5 a), lo que se ha obtenido es un sistema de
3N�l ecuaciones simultáneas:
(10.7)
El mismo razonamiento es válido para la segunda parte de las condicio-
nes diferenciales (10.5 b); es decir, si A es conocida, entonces al derivarla
con respecto a cada uno de los parámetros �, se va a obtener una función
�k que, en general, debe suponerse como una función de viejas coorde-
nadas, parámetros � y el tiempo:
(10.8)
de tal modo que, de acuerdo con (10.5 b) se ha establecido ahora un siste-
ma de 3N�l ecuaciones simultáneas:
(10.9)
De este último, haciendo únicamente álgebra, es posible imaginar que
cada una de las 3N�l coordenadas generalizadas q1,q2,…,q3N�l , puede ser
despejada en función de los parámetros �,� y el tiempo t; esto es: 
(10.10)
Puede ser que este proceso de despejar a las q´s haya sido fácil, o bien pue-
de ocurrir que su obtención haya sido toda una obra al ingenio y el talento
algebraico, pero en todo caso, es posible imaginar que se puede realizar a
partir de (10.9)
Una vez despejadas las coordenadas, se puede ahora sustituir cada una de
ellas, tal como se ve en (10.10), en las expresiones (10.7). Así, lo que queda
son 3N�l momentos generalizados, en términos de los parámetros
(10.11)
Lo que se ha obtenido son las fórmulas paramétricas de coordenadas y
momentos, en función del tiempo. En otras palabras, se trata de toda una
La ecuación de Hamilton-Jacobi
117
familia de trayectorias en el espacio de las fases, o bien, recordando la nomen-
clatura dada en el capítulo 9 para esto, es el retrato del sistema dinámico.
Una de esas trayectorias es la que en verdad sigue el sistema, de acuerdo
con las condiciones iniciales a las cuales se le haya sometido. Para conocer
cuál de todas las trayectorias del retrato es la que realmente va a seguir, es
necesario procesar un poco más la información de (10.10) y (10.11). Por
ejemplo, si se despeja a los parámetros � y � de estas expresiones (tam-
bién haciendo únicamente álgebra), se obtendrá lo siguiente:
(10.12 a)
(10.12 b)
Estas son las expresiones para una transformación canónica de “viejas”
a “nuevas” coordenadasy momentos; son las que se describen genérica-
mente en (10.1).
Ahora, si se establecen las condiciones iniciales y éstas se inscriben en
(10.12) en la forma de valores de las coordenadas y los momentos corres-
pondientes al instante t0, se tiene que:
(10.13 a)
(10.13 b)
Esto significa que los parámetros � y � (6N�2l constantes) han que-
dado totalmente determinados.
Finalmente, sustituyendo estas funciones de las condiciones iniciales, de
vuelta en (10.10) y (10.11), se obtendrá:
(10.14 a)
(10.14 b)
Estas son las ecuaciones de movimiento del sistema, en términos de
sus condiciones iniciales. El problema ha quedado resuelto. Para llegar a la
solución lo único que hubo necesidad de hacer, fue derivar, para obtener
La formulación de Hamilton-Jacobi
118
(10.10) y (10.11), y luego hacer una manipulación algebraica, a fin de des-
pejar a las coordenadas y los momentos en términos de las condiciones
iniciales del problema. Quizá pueda parecer que este procedimiento es
latoso y cansado, puede que lo sea, sin embargo, nadie puede negar que
derivar y hacer álgebra es algo en general mucho más simple que integrar
las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton.
Bueno, el problema en verdad puede quedar resuelto siguiendo el pro-
cedimiento que se ha descrito, siempre y cuando se cumpla con la hipótesis
original que dio lugar al desarrollo, a saber, que se tenga a la mano la función
principal de Hamilton. Pero aquí es donde surge la pregunta: ¿cómo puede
obtenerse esta función?, porque si no se tiene, nada de lo que se propuso pue-
de realizarse, y para todo fin práctico el problema está como al principio.
Hay, en verdad, una forma de conseguir a la función principal de Hamil-
ton. Para hacerlo es necesario reparar en una condición diferencial que aún
no ha sido explorada: se trata de la (10.5 c). Recordando que la hamiltonia-
na es función de las coordenadas generalizadas y de los momentos canóni-
cos conjugados, se puede volver a escribir esta misma expresión de la si-
guiente manera:
(10.15)
en donde se ha sustituido, en vez de los momentos, las derivadas parciales
de la función principal de Hamilton, con respecto a las coordenadas gene-
ralizadas, tal como lo indican las condiciones diferenciales para esta función,
expresadas en (10.5 a).
Una nueva mirada sobre la expresión (10.15) revela que se trata de una
ecuación diferencial de primer orden, en las derivadas parciales de la función
principal de Hamilton, A. Se trata de la llamada ecuación de Hamilton-
Jacobi. Una siguiente mirada sobre ella descubrirá que resolver esta ecuación
diferencial significa, ni más ni menos, que obtener dicha función. Como
todas las ecuaciones diferenciales se hicieron para ser integradas, y ya que
ésta es una ecuación diferencial, entonces es lo que se estaba buscando
para obtener la función principal de Hamilton.
Este es el eslabón que aún faltaba para tener completa la formulación del
problema: dada la hamiltoniana del sistema, donde aparezcan los momen-
tos, se sustituyen éstos por las derivadas parciales de la función principal de
La ecuación de Hamilton-Jacobi
119
Hamilton con respecto a las correspondientes coordenadas. Luego, se le suma
la derivada parcial de A con respecto al tiempo, tal como lo indica la expre-
sión (10.15) y con esto se ha planteado la ecuación de Hamilton-Jacobi.
Una vez establecida la ecuación diferencial, se integra y con ello se obtiene
la función principal de Hamilton correspondiente al problema que se tra-
ta. Teniendo la función, lo que se debe hacer es el álgebra que se mencionó
anteriormente y ya está, el problema queda resuelto.
Es interesante investigar un poco más acerca de la naturaleza de la fun-
ción principal de Hamilton. Tomando su derivada total respecto del tiem-
po, y de acuerdo con su dependencia funcional, se tiene que
Pero las derivadas con respecto a las coordenadas son los momentos,
según se ve en (10.5 a) y la derivada temporal, de acuerdo con (10.15),
es la hamiltoniana, tal como se deduce de (10.5 c), así que:
(10.16)
por lo tanto, integrando se obtiene que:
(10.17)
¡que es la acción! Así, se puede ver que la función principal de Hamilton
es la acción. Aquí la mecánica ha dado una vuelta completa y ha llegado al
punto de partida.
En términos generales así debe procederse con la formulación de Hamil-
ton-Jacobi. Claro que hay aún muchos detalles que es necesario aclarar
para tener la idea precisa del método que ha de seguirse para resolver los pro-
blemas de la mecánica. Un primer detalle que vale la pena mencionar aho-
ra es el que se refiere al caso conservador. Supóngase para tal efecto que la
hamiltoniana del sistema no depende explícitamente del tiempo; en estas
circunstancias, la ecuación de Hamilton-Jacobi:
La formulación de Hamilton-Jacobi
120
(10.18)
se puede separar en una parte que contenga los términos espaciales y otra
que contenga únicamente la parte temporal. Así, haciendo esta separa-
ción, se puede escribir lo siguiente:
(10.19 a)
(10.19 b)
siendo E una constante. De (10.19 b) se ve que la función principal de Ha-
milton puede aceptar la siguiente expresión:
(10.20)
sustituyendo (10.20) en (10.19 a) se consigue:
(10.21)
A la función W definida en (10.20) se le conoce como función caracte-
rística de Jacobi. En términos de las derivadas de esta función con respecto
a las coordenadas generalizadas queda ahora la ecuación de Hamilton-Ja-
cobi (10.21).
Por ejemplo, si se desea resolver un problema de cuerpo masivo que se
mueve bajo el efecto de una fuerza conservadora central, su hamiltoniana,
como se sabe, es la siguiente:
(10.22)
La ecuación de Hamilton-Jacobi para este caso se construye simplemen-
te sustituyendo en (10.21) una derivada de la función principal de Hamilton
por cada una de las componentes del vector de cantidad de movimiento y
La ecuación de Hamilton-Jacobi
121
luego, sumando la derivada temporal de A al final, tal como se expuso en
los párrafos anteriores; esto es:
(10.23)
Se trata de una ecuación diferencial en derivadas parciales de la función
principal de Hamilton, con respecto a cada una de las coordenadas y con
respecto al tiempo. Es de primer orden, pero de segundo grado en la parte
espacial. En el caso particular que aquí se observa, la hamiltoniana no de-
pende del tiempo, así que la ecuación admite una separación de su varia-
ble temporal como se vio anteriormente. Para ello se construye ahora la fun-
ción característica de Jacobi haciendo:
(10.24)
Con esta separación se satisface la parte temporal de inmediato y la nue-
va ecuación de Hamilton-Jacobi es la siguiente:
(10.25)
Un largo y complicado proceso es el que hay que desarrollar una vez que
se ha planteado la ecuación diferencial (10.25), para culminar, con suerte,
con la solución de la misma. En esta etapa introductoria del capítulo no se
irá más allá que el planteamiento de la ecuación, con la idea de mostrar sim-
plemente la forma en que se debe proceder para establecerla. Cabe aquí aún
una observación más y ésta se refiere a la constante de movimiento E con la
cual se separó la ecuación completa (10.23) y se pudo escribir la (10.25); en
este caso esta constante se debe identificar, indudablemente, con la energía
total. Pero no se crea que esta constante surgió de la nada para llegar a la ecua-
ción (10.25). Ésta se debe identificar como uno de los parámetros �, de los
que depende tanto la función principal A como la función característica de
Jacobi W. Para una sola partícula que se mueve por el espacio físico, como es
el ejemplo que aquí se considera, debe haber un total de tres parámetros �,
La formulación de Hamilton-Jacobi
122
así que la energía total E debe identificarse con uno de ellos. Esto es impor-
tante porque suponiendo que la ecuación (10.25) haya sido resuelta, enton-
ces se tiene la forma explícita de la función de Jacobi. En este momento hay
que pasar a la siguiente etapa del proceso, que consiste en aplicar la función
principal a la que se ha llegado a las condiciones diferenciales;esto es:
(10.26)
(10.27 a)
(10.27 b)
(10.27 c)
en donde se ha designado a los parámetros como �1,�2 y E, y a sus canóni-
cos conjugados como �1,�2 y �0, respectivamente. Con las relaciones dife-
renciales, evaluadas para la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi
(10.25), se obtiene un juego de seis ecuaciones simultáneas que es necesa-
rio manipular algebraicamente, como ya se describió, hasta obtener las si-
guientes soluciones:
(10.28)
Para familiarizarse con todas la etapas de esta formulación, vale la pena
en este punto resolver, completo, un ejemplo ilustrativo. Es preferible resol-
ver un problema muy simple para no perderse en complejidades que pue-
den enturbiar la estrategia de solución, así que se considerará de nueva
cuenta el caso del oscilador armónico simple.
Considérese pues, la hamiltoniana para resolver el oscilador armónico
simple:
La ecuación de Hamilton-Jacobi
123
(10.29)
Se trata de un sistema con un solo grado de libertad, así que la función
principal de Hamilton correspondiente debe concebirse como una que de-
pende de una sola variable x y de un solo parámetro E:
(10.30)
Además, debido a su estructura, se trata de un problema en el que no apa-
rece explícitamente el tiempo, de manera que se puede hacer la separación:
(10.31)
La ecuación de H-J para este caso es entonces la siguiente:
(10.32)
Se ha escrito una derivada parcial de la función característica de Jacobi,
a pesar de que ésta solamente depende de una variable: x, porque no se debe
olvidar que W también depende de un parámetro E que, si bien es una cons-
tante de movimiento, habrá que evaluar más adelante una derivada de ella
con respecto a E.
Despejando la derivada de (10.32) se tiene:
(10.33)
así que integrando se puede obtener la función característica de Jacobi:
(10.34)
de donde la función principal de Hamilton es
La formulación de Hamilton-Jacobi
124
(10.35)
por consecuencia, la segunda condición diferencial se puede calcular aho-
ra de la siguiente manera:
(10.36)
Afortunadamente esta integral se puede realizar fácilmente. El resulta-
do es el siguiente:
(10.37)
en donde se ha escogido el signo negativo y se ha identificado como �0 a la
frecuencia angular del oscilador
(10.38)
La expresión (10.37) a la que se ha llegado después de haber derivado la
función principal de Hamilton con respecto al (único) parámetro E, es
de la misma naturaleza de esas otras que se mencionaron en (10.9); esto es,
una función del parámetro y de la coordenada. Invertir esta función es muy
fácil. Haciéndolo se obtiene ahora una expresión muy sugestiva:
(10.39)
Esta fórmula recuerda la otra que se mencionó en (10.10) donde se propu-
so la inversión de (10.9). Y siguiendo con la misma estrategia, ahora lo que se
debe hacer es sustituir (10.39) en (10.33); lo que se consigue es lo siguiente:
La ecuación de Hamilton-Jacobi
125
(10.40)
Para concluir con el proceso, es necesario imponer las condiciones ini-
ciales del problema. En el caso del oscilador armónico simple, lo que se acos-
tumbra es que comienza a contar el tiempo a partir de que se estira al máxi-
mo el resorte y entonces se suelta al cuerpo para que inicie su movimiento
oscilatorio. Traducido a símbolos matemáticos, esta condición se establece
así:
En t�0 la elongación del resorte es (la máxima) l y su momento inicial
es nulo:
(10.41 a)
(10.41 b)
De (10.41 a) se ve que una posible solución es que el parámetro � ten-
ga el valor cero (o cualquier múltiplo entero de 	):
� � 0 (10.42 a)
sustituyendo este valor inicial en (10.41 b), se obtiene, consecuentemente,
que el valor del otro parámetro es
(10.42 b)
Así, la solución ha quedado especificada en términos de las constantes
que caracterizan al problema particular:
(10.43 a)
(10.43 b)
La formulación de Hamilton-Jacobi
126
10.2. Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo
Muy desafortunadamente, excepto por algunos ejemplos de gran simplici-
dad en la mecánica, aquellos como el oscilador armónico simple que acaba
de ser tratado, la mayoría de los problemas en este tema resultan en una ecua-
ción diferencial tremendamente complicada, cuya solución exacta es impo-
sible de obtener por los métodos tradicionales. Estas complicaciones han
llevado a los desesperados físicos y matemáticos a desarrollar algunos de
los más poderosos procedimientos del cálculo de la física teórica.
Uno de los métodos más antiguos que se desarrollaron para ayudarse
a encontrar soluciones, al menos aproximadas de la ecuación de Hamil-
ton-Jacobi, es la llamada teoría de las perturbaciones dependientes del tiem-
po. En un sentido riguroso, no se trata de una auténtica teoría; más pro-
piamente se le puede ubicar como un procedimiento o un método; sin
embargo, se ha quedado el nombre y ya se ha vuelto una costumbre men-
cionarlo así. Este método se puede aplicar si un cuerpo está sujeto a ciertas
fuerzas que en verdad puedan ser identificadas como perturbaciones; esto
es, agentes físicos que influyen mínimamente sobre un sistema dinámi-
co dado. Se supone, así, que un sistema urgido por alguna perturbación
se comporta en una forma similar a otro idéntico que no la experimen-
ta. Esto significa que la perturbación es un efecto secundario.
Ahora bien, supóngase un sistema dinámico, cuya hamiltoniana no-
perturbadora es H0(q,p,t). Supóngase además que para esta hamiltoniana
se conoce perfectamente la solución y que ésta se ha hallado mediante la
formulación de Hamilton-Jacobi, con una función principal A(q,�,t).
Esta función satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi
(10.44)
así como las condiciones diferenciales
(10.45 a)
Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo
127
(10.45 b)
siendo �´s y �´s parámetros constantes.
Por otra parte, supóngase un sistema dinámico idéntico al anterior, pero
que se encuentra urgido por una hamiltoniana H(q,p,t). Imagínese que esta
hamiltoniana se escribe como
(10.46)
esto es, como la suma de la hamiltoniana no-perturbadora, más otra fun-
ción, a la cual se le llamará en adelante la hamiltoniana de perturbación. Se
supondrá que esta función, en efecto, significa una pequeña perturbación
sobre el movimiento original (no perturbado) del sistema.
La transformación canónica generada por la función principal de Hamil-
ton A puso en correspondencia coordenadas y momentos (q,p) con los
parámetros (�,�). Estos parámetros resultaron todos constantes y la nueva
hamiltoniana no-perturbadora es nula, tal como lo demanda la formula-
ción de Hamilton-Jacobi.
La misma función A puede ser empleada ahora para generar una trans-
formación canónica para el caso perturbado, y las nuevas coordenadas y
momentos pueden designarse nuevamente como �´s y �´s respectiva-
mente. Pero, respecto de la nueva hamiltoniana, estas nuevas �´s y �´s
ya no son necesariamente constantes y la nueva hamiltoniana ya no tiene
por qué ser nula. En este caso, la nueva hamiltoniana es
(10.47)
tal como establece la condición (9.203 c) para funciones de clase F2. Pero
debido a (10.46), sustituyendo en (10.47) se tiene que:
(10.48)
si se toma en cuenta la ecuación de Hamilton-Jacobi (10.44) para el siste-
ma no perturbado, se ve que la expresión (10.48) se reduce a lo siguiente:
La formulación de Hamilton-Jacobi
128
(10.49)
Esto significa que la hamiltoniana que ha resultado de la transformación
canónica generada por A es la misma función que la hamiltoniana de per-
turbación, con las variables (q,p) transformadas a (�,�). Ahora, si la nueva
hamiltoniana satisface sus propias ecuaciones de Hamilton, entonces se
debe tener, por virtud de (10.49), que:
(10.50 a)
(10.50 b)
donde, por supuesto, los parámetros � y � ya no son constantes. Si en
efecto, la hamiltoniana de perturbación h representa una pequeña altera-
ción del movimiento no-perturbado del sistema, entonces a un orden nulo
(cuando la perturbación no existe), la derivada de esa hamiltoniana con
respecto a las �´s o las �´s deber ser igual a cero. Pero si la hamiltoniana de
perturbación es pequeña pero no nula, entonces,a primer orden, sus deri-
vadas son como haber evaluado esas operaciones en los valores no-pertur-
bados (constantes) de los parámetros; esto es, que a primer orden
(10.51)
y lo mismo para las derivadas con respecto a las �´s. Aquí, en (10.51) se han
omitido los índices k por facilidad en la notación, pero debe recordarse
que en el caso general, se trata de 3N�l �´s y 3N�l �´s. Además, en
(10.51) se ha escrito �0 para significar el valor no-perturbado, constante del
parámetro.
Por otra parte, si en verdad se trata de una pequeña perturbación, los pa-
rámetros no deben variar drásticamente y como �0 es constante, enton-
ces
(10.52 a)
Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo
129
(10.52 b)
es decir, que la derivada temporal de los parámetros es, a primer orden de
aproximación, igual a la derivada temporal de esos parámetros evaluados al
primer orden en la perturbación. Por lo tanto, en este orden, de acuerdo con
(10.51) y (10.52) se tiene que:
(10.53 a)
(10.53 b)
El mismo razonamiento se puede hacer para proponer las ecuaciones
diferenciales a un segundo orden de aproximación. Así, a este orden, las de-
rivadas de la hamiltoniana de perturbación se obtienen evaluándolas en
los valores de los parámetros de primer orden. Por lo tanto:
(10.54 a)
(10.54 b)
y en general, al n-ésimo orden de aproximación:
(10.55 a)
(10.55 b)
La formulación de Hamilton-Jacobi
130
Se trata de un proceso iterativo que se debe seguir paso a paso, hasta al-
canzar el orden de aproximación deseado para la solución. Así, resolviendo
las ecuaciones de Hamilton no perturbadoras, se obtiene, por el método de
Hamilton-Jacobi, los valores de los parámetros �0´s y �0´s a orden cero
de la aproximación. Estos valores son los que hay que utilizar para evaluar
las ecuaciones de primer orden (10.53). Con estás se obtienen �1 y �1,
mismos que se usan en (10.54) para alcanzar el segundo orden de apro-
ximación y así sucesivamente.
Nada mejor que un ejemplo simple para ilustrar el procedimiento. Con-
sidérese el caso de un cuerpo masivo, con masa m, que se mueve por el es-
pacio, libre de fuerzas. Este es el caso no perturbado y la correspondiente
hamiltoniana es sencillamente
(10.56)
donde p es el momento lineal en una sola dimensión. La ecuación de Ha-
milton-Jacobi para este cuerpo es
(10.57)
Se puede separar la parte espacial y la parte temporal. Si se supone que
(10.58)
entonces la solución de la ecuación (10.57) es la siguiente:
(10.59)
Por lo tanto, invocando a las condiciones diferenciales (10.5 a y b) se
obtiene que:
(10.60 a)
Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo
131
(10.60 b)
La segunda condición, la (10.60 b), expresa lo que ya se sabía desde el
principio y es que el momento lineal se conserva. La expresión (10.60 a)
se puede despejar para dar el siguiente resultado:
(10.61)
que también es trivial, pues concluye que el cuerpo se mueve en línea recta
y con velocidad constante. Los parámetros � y � son en este caso constan-
tes, con dimensiones de longitud y de cantidad de movimiento, respecti-
vamente.
Pero ahora supóngase que un cuerpo idéntico al anterior se mueve bajo
la acción de una fuerza perturbadora, de tal manera que su hamiltoniana
sea la siguiente:
(10.62)
esto es, que una vez más aparece aquí el oscilador armónico simple. En
esta ocasión, la fuerza debida al resorte se representa como una pertur-
bación de la hamiltoniana libre dada en (10.56) y que tiene la siguiente
forma:
(10.63)
En términos de los parámetros � y � de acuerdo con (10.61), la hamil-
toniana de perturbación es la siguiente:
(10.64)
Entonces, las ecuaciones diferenciales de perturbación (10.50) son, para
este caso:
La formulación de Hamilton-Jacobi
132
(10.65 a)
(10.65 b)
Lo que es necesario hacer ahora es plantear las ecuaciones diferenciales
de perturbación (10.53), (10.54), etc. y resolverlas sucesivamente. Así,
comenzando con la primera de ellas, se tiene que, a primer orden:
(10.66 a)
(10.66 b)
Integrándolas se obtiene lo siguiente:
(10.67 a)
(10.67 b)
Estas son las soluciones a primer orden de perturbación. Para hallar a un
orden superior los resultados para este problema, es necesario regresar a
la fórmula (10.54), o bien sustituir directamente los resultados (10.67)
en las ecuaciones diferenciales (10.65) evaluadas a este orden de aproxi-
mación; esto es:
(10.68 a)
(10.68 b)
Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo
133
por lo tanto, ahora se tiene que, sustituyendo (10.67) en (10.68):
(10.69 a)
(10.69 b)
Integrando de nueva cuenta las ecuaciones diferenciales, se obtiene lo
siguiente:
(10.70 a)
(10.70 b)
Conviene realizar un esfuerzo intelectual más y obtener las soluciones
para un orden superior de aproximación. Así, las nuevas ecuaciones dife-
renciales son:
(10.71 a)
(10.71 b)
Integrando, se obtiene ahora:
(10.72 a)
La formulación de Hamilton-Jacobi
134
(10.72 b)
El procedimiento se puede continuar al orden de aproximación que
se desee. Por supuesto, mientras mayor sea el número de términos que se
evalúen, mejor será esa aproximación y la solución final se acercará más a
su valor exacto. Aquí se dejará el desarrollo únicamente hasta el tercer orden
en la perturbación. El valor de los parámetros � y � será entonces:
(10.73 a)
(10.73 b)
Sustituyendo los valores obtenidos para las integraciones (10.67),
(10.70) y (10.72) en los desarrollos (10.73 a) y (10.73 b) se obtiene, des-
pués de arreglar términos, lo siguiente:
(10.74 a)
(10.74 b)
Ahora, una vez que se han obtenido los valores de los parámetros � y �,
tal como se ve en (10.74 a) y (10.74 b), lo que se debe hacer en seguida es
sustituirlos en (10.61) y (10.60 b) para obtener los valores de la coordena-
da y del momento, respectivamente.
Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo
135
Así, sustituyendo en (10.61), se llega al siguiente resultado:
(10.75 a)
(10.75 b)
De inmediato se reconoce en estas series las funciones circulares que
caracterizan al movimiento del tantas veces citado oscilador armónico
simple:
(10.76 a)
(10.76 b)
y para tener las soluciones finales de este problema solamente faltan las con-
diciones iniciales. Si, por ejemplo, éstas se establecen afirmando que el
instante t � 0 el oscilador se halla a su máxima elongación y en reposo;
esto es,
en t � 0: x (0) � l; p(0) � 0 (10.77)
entonces se obtiene lo siguiente:
(10.78 a)
La formulación de Hamilton-Jacobi
136
Método de las variables separables
137
(10.78 b)
con
(10.79 a)
(10.79 b)
De esta manera ha quedado resuelto el problema. En realidad, hay que
reconocerlo, el problema mismo del oscilador armónico simple tal vez
carezca de importancia en sí mismo, lo interesante es que se trata de un caso
de la mecánica, que por ser tan sencillo, se presta para ensayar métodos de
resolución novedosos como este de las perturbaciones dependientes del
tiempo. Siendo tan conocida su formulación final, se puede contrastar aque-
lla que se ha obtenido con el nuevo procedimiento y ponderar la validez y
utilidad de éste. Así ha ocurrido nuevamente con la teoría de las pertur-
baciones. Además, siguiendo paso a paso esta programación, se podrán
atacar y resolver otros problemas de la mecánica más interesantes y com-
plicados. Finalmente, cabe aclarar que con este método se está a un paso
nada más de abordar los problemas desde una nueva perspectiva, a saber,
la de la computadora. Debe ser claro, a estas alturas, que cada uno de los
pasos matemáticos que se dieron ahora son perfectamente trasladables a
un lenguaje de computación y confeccionar un programa automatizado.
Con ello se podrá llevar este engorroso problema a una máquina que con
enorme rapidez alcanzará el resultado deseado con gran precisión.
10.3. Método de las variables separables
Fuera de los problemas simples, en una sola dimensión, sujetos a una pe-
queña perturbación dependiente del tiempo, en general, la ecuación de Ha-
milton-Jacobi se complica mucho. Entonces, casi el único método que se
puede emplear para tratarde hallar soluciones es el de separación de varia-
bles. Por supuesto, cabe recordar que una ecuación diferencial en derivadas,
parciales, como es la ecuación de Hamilton-Jacobi, bien tiene solución, en
cuyo caso es infinito el número de ellas, o no tiene solución en absoluto.
Este procedimiento, el método de separación de variables, permite obtener
una clase de estas soluciones. Para aplicarlo hay que comenzar por suponer
que la hamiltoniana no depende explícitamente del tiempo; esto es, se tra-
ta de problemas conservadores, con la ecuación de Hamilton-Jacobi de la
forma
(10.80)
Como se recordará de la sección 10.1, en este caso puede hacerse una
primera separación, mediante el procedimiento de expresar a la función
principal de Hamilton como la diferencia de la función característica de
Jacobi y un término lineal en el tiempo:
(10.81)
siendo �0 uno de los 3N�l parámetros con características de momentos ge-
neralizados, que son constantes de movimiento. Con la definición (10.81)
se expresa ahora a la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo:
(10.82)
Es aquí donde cabe proponer el método de separación de variables. Para
ello debe suponerse que la función característica de Jacobi se puede expre-
sar de la siguiente manera:
(10.83)
donde las funciones de Jacobi parciales, W(n)(qn,�), debe imaginarse que
dependen únicamente de una coordenada generalizada, así como de los
(3N�l ) parámetros �1,�2,…,etc., en general. Así por ejemplo, W(1) depen-
de de la coordenada q1,W(2) depende de la coordenada q2, etc. Sustituyendo
esta función de Jacobi se puede separar la ecuación de un conjunto de
La formulación de Hamilton-Jacobi
138
(3N�l ) ecuaciones diferenciales que dependen, cada una, de una sola va-
riable. Entonces es posible intentar su integración.
Supóngase por ejemplo, el problema en 3D de un cuerpo masivo que se
mueve por la acción de una fuerza central conservadora, tal que su función
hamiltoniana sea como la siguiente:
(10.84)
en donde pr,p� y p
 son los momentos canónicos conjugados a la variable
radial r, a la coordenada cenital � y a la coordenada azimutal 
, respectiva-
mente. Asimismo, V(r) representa a la función de energía potencial, que por
hipótesis solamente depende de la distancia radial.
La ecuación de Hamilton-Jacobi se construye sustituyendo por cada
uno de los momentos generalizados, una derivada parcial; aquélla para la
función principal de Hamilton, A, con respecto a la correspondiente coorde-
nada, y luego añadiendo la derivada parcial con respecto al tiempo, de esta
función; es decir:
(10.85)
La función principal de Hamilton debe suponerse que depende de r,
de �, de 
 y de tres parámetros, �0,�1 y �2, además del tiempo; o sea:
(10.86)
La primera separación consiste en aislar la parte temporal, mediante la
introducción de la función característica de Jacobi, tal como se indica en
(10.81):
(10.87)
para obtener la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo:
Método de las variables separables
139
(10.88)
Ahora supóngase que se hace la separación de la función de Jacobi, tal
como se indica en (10.83); esto es:
(10.89)
en donde se escribe simplemente una �, para significar a todo el conjunto
de estos parámetros. Con la separación propuesta en (10.89), la ecuación de
Hamilton-Jacobi adquiere ahora la siguiente expresión:
(10.90)
En (10.90) se sigue utilizando el símbolo de derivada parcial, a pesar de
que la función ya solamente depende de la variable con respecto a la cual
se realiza la derivación, porque no se debe olvidar que también depende de
los parámetros �0,�1 y �2.
Multiplicando a (10.90), miembro a miembro por r2, se puede realizar
ahora una primera separación de sus variables; en efecto, haciendo esta ope-
ración se obtiene que:
(10.91)
De esta forma, la parte radial ha quedado aislada del resto de los térmi-
nos. Es posible ahora proponer que cada una de estas porciones sea, por su
parte, igual a alguno de los parámetros:
La formulación de Hamilton-Jacobi
140
(10.92)
(10.93)
A su vez, siguiendo un procedimiento similar, es posible separar la
ecuación diferencial (10.92), que aún depende de dos variables, en dos ecua-
ciones diferenciales. Para lograrlo basta con multiplicar ahora (10.92) por
el cuadrado de la función seno del ángulo cenital:
(10.94)
Cada una de las partes angulares puede ahora hacerse igual a una cons-
tante; este es el parámetro que aún falta para volver explícito el procedi-
miento:
(10.95)
(10.96)
Así, la ecuación de Hamilton-Jacobi ha quedado totalmente separada en
tres ecuaciones diferenciales; una por cada coordenada generalizada, que
pueden ser llevadas a sendas cuadraturas:
(10.97)
Método de las variables separables
141
(10.98)
(10.99)
Integradas estas cuadraturas, es necesario hacer ahora el viaje de regreso;
es decir, las soluciones se deben sumar de acuerdo con la expresión (10.89)
para obtener la función característica de Jacobi. Con ella se pasa a (10.87),
donde la función principal de Hamilton para este problema queda determi-
nada. Después de esto comienza el álgebra, pues deberán imponerse las
condiciones diferenciales para esta función, de las cuales eventualmente
se conseguirán las soluciones del problema.
No es el caso resolver el problema ahora, si bien las bases han sido echa-
das para ello. Solo faltaría especificar la función energía potencial para rea-
lizar este objetivo y ejecutar las integraciones en (10.97) y (10.98).
Lo que en cambio resulta muy importante en este momento es sacar
ciertas conclusiones de carácter general acerca del procedimiento que se
siguió para el ejemplo del campo central. Por ejemplo, se puede entender
ahora que la hamiltoniana (10.82) se puede escribir en términos de las fun-
ciones de Jacobi parciales (10.83) como
(10.100)
y multiplicando miembro a miembro de (10.100) por alguna función que
en general depende de todas las coordenadas generalizadas, excepto una,
f (q1q2…q3N�l�1), se realiza una primera separación de la ecuación de Ha-
milton-Jacobi:
(10.101)
La formulación de Hamilton-Jacobi
142
en donde el término de la derecha en (10.101) es una parte de la ecuación
de H-J que ha quedado aislada del resto y que ya solamente depende de una
variable, tal como se hizo en (10.91). El segundo sumando es la hamilto-
niana H * que depende de todas las coordenadas, menos qk.
Ahora es posible hacer la primera separación, igualando la hamiltoniana
H(k) a uno de los parámetros; es decir:
(10.102)
en tanto que el otro sumando se ve de la siguiente manera:
(10.103)
Tanto en (10.101) como en (10.103) se ha dibujado la hamiltoniana
H * como una función que depende de las coordenadas q�, significando
con ello que se trata del conjunto de las 3N�l�1 coordenadas restantes,
una vez que se ha separado a la coordenada qk. Asimismo, la sumatoria
debe entenderse que se realiza sobre todos los valores del índice n�, excep-
tuando k.
La ecuación diferencial (10.102) ya solamente depende de una variable:
la coordenada generalizada qk, así que, en principio, es posible llevarla de
inmediato a una cuadratura, tal como se hizo en el ejemplo del campo
central con la parte radial en (10.93) y (10.97).
Por su parte, a la ecuación diferencial (10.103) se le somete ahora a
un proceso idéntico a aquel al que se sujetó la ecuación original; esto es,
se le multiplica por otra función de las coordenadas que aún restan, me-
nos una, para hacer una nueva separación y así sucesivamente, hasta que
todas las partes hayan quedado aisladas, como en el ejemplo anterior. Lo
Método de las variables separables
143
que se obtiene al final es un conjunto de ecuaciones diferenciales de la
forma
(10.104)
que dependen, cada una de ellas, de una variable, y que pueden ser lleva-
das a cuadraturas. Una vez integradas, se obtienen las funciones parcia-
les de Jacobi W(1),W(2),… etc. que, sumadas, dan la función característica,
de acuerdo con (10.83) y ésta, a su vez, la función principal de Hamilton
(10.105)
sujeta a las condiciones diferenciales
(10.106)sin regla de suma sobre los índices repetidos, y
(10.107)
(10.108)
donde los momentos pn son funciones de su respectiva coordenada canóni-
ca y de los parámetros, únicamente.
De esta manera, la ecuación de Hamilton-Jacobi ha sido separada en par-
tes que pueden, en principio, ser integradas, y luego la función principal de
Hamilton puede ser reconstruida, como se indica en (10.105), y sujeta a las
La formulación de Hamilton-Jacobi
144
condiciones diferenciales (10.106), (10.107) y (10.108). En este punto, todo
es cosa de hacer álgebra y despejar las coordenadas y los momentos como
funciones de los parámetros y del tiempo.
10.4. Los parámetros de acción del ángulo
Una vez que la ecuación de Hamilton-Jacobi ha sido completamente
separada en 3N�l ecuaciones diferenciales, es posible resolverlas, tal como
se mencionó en la sección anterior. Lo que se obtiene como resultado de
esas integraciones son las funciones características parciales; 3N�l funcio-
nes de Jacobi dependen, cada una, de una sola coordenada generalizada, así
como de los parámetros �. Como consecuencia de este hecho, a la hora
de calcular las derivadas de la función principal de Hamilton con respecto
a las coordenadas generalizada, se hallan los momentos canónicos conju-
gados a ellas, tal como se muestra en la expresión (10.106). Pero lo real-
mente ineteresante es que cada uno de los momentos generalizados que
resultan de esa operación es una función que depende únicamente de su
correspondiente coordenada generalizada; esto es:
(10.109)
sin regla de suma y parámetros �1�2…�3N�l.
O sea que cada momento es una función de una sola variable: su coor-
denada generalizada. Esto significa que el espacio de las fases del sistema se
puede descomponer en 3N�l subespacios de dos dimensiones cada uno
y la trayectoria del mismo se construye con las 3N�l proyecciones en
cada uno de esos subespacios. Para expresarlo en una forma más simple, se
puede entender este hecho como sigue: se pueden dibujar 3N�l familias
de curvas, una en cada uno de los planos de pn vs qn (n�1,2,… 3N�l ),
parametrizadas por el conjunto (�2, �2…�3N�l). Estas curvas son las pro-
yecciones de una trayectoria del sistema.
A cada uno de los planos (2-D) se les denomina simplemente planos
�n y cada familia de curvas dibujadas en esos planos recibe el nombre ge-
nérico de órbitas.
Por citar un ejemplo, considérese el caso de un péndulo que oscila en tres
dimensiones; esto es, un péndulo esférico, con longitud constante, que se
Los parámetros de acción del ángulo
145
mueve por la acción de la gravedad. Su función hamiltoniana se puede
escribir, en coordenadas caartesianas, de la siguiente manera:
(10.110)
donde a es una constante.
En este caso, el plano-3; se constituye con el tercer momento (pz) y su
correspondiente coordenada (z). Claramente se puede apreciar que las
órbitas en este plano constituyen una familia de parábolas, tal como se
muestra en la figura 10.4.2. Para comprobar esta afirmación basta con
percatarse que la ecuación de Jamilton-Jacobi es la siguiente:
(10.111)
así que la separación de variable se puede hacer así:
La formulación de Hamilton-Jacobi
146
z
0
y
�mg
x
l
�p
Figura 10.4.1. Un péndulo oscila en tres dimensiones debido a la gravedad. La lon-
gitud l es variable.
(10.112)
(10.113)
En efecto, la fórmula (10.113) describe matemáticamente una familia
de parábolas horizontales en el palno pz vs z, parametrizada por �0 y �3.
En el capítulo 9, cuando se vieron los sistemas dinámicos, se pudieron
apreciar los distintos casos de Jordan que dan lugar a diferentes retratos
en el plano p vs q (en ese capítulo, por sencillez, se llamó simplemente x1 y
x2 ó y1 y y2 a las parejas de momento y coordenada). En ese contexto, se vio
cómo cada caso da por resultado una familia de órbitas específicas.
De particular interés son las órbitas que se generan cuando se tiene un
potencial cuadrático; es decir, cuando la hamiltoniana es de la forma
Los parámetros de acción del ángulo
147
z
pz
0
�0
Figura 10.4.2. Plano-3 para el péndulo trdimensional de la figura 10.4.1. La fa-
milia de curvas son las órbitas.
(10.114)
y el potencial u(x) es del tipo
(10.115)
Como se recordará, el retrato de un sistema así es una familia de elipses
en el palno p vs q; se trata de curvas cerradas. Este hecho indica que el sis-
tema es periódico, tanto en su coordenada como en su momento. A un mo-
vimiento de esta naturaleza se le llama genéricamente, una libración. Así
pues, una libración corresponde a órbitas cerradas en el plano �n corres-
pondiente. El oscilador armónico, o el péndulo simple, cuando oscila con
amplitudes pequeñas, corresponden a este caso de libración en el plano �n.
También el problema de Kepler corresponde a libraciones, como puede
verse en la figura 9.13. En la mecánica, muchos son los ejemplos de siste-
mas dinámicos que exhiben este efecto de libración y que dan como resul-
tado órbitas cerradas, al menos en alguno de sus planos �n.
La formulación de Hamilton-Jacobi
148
q
p
�
Figura 10.4.3. Órbitas para un sistema dinámico sujeto a un potencial cuadrá-
tico. En este plano �n, se exhibe el movimiento de libración.
Muy distintas son las órbitas que exhibe, por ejemplo, un péndulo
cuando en vez de oscilar ejecuta vueltas completas alrededor de su pivote.
En este caso se tiene una hamiltoniana del tipo siguiente:
(10.116)
ahora ya no es posible hacer la hipótesis de amplitudes perqueñas, con la
cual la energía potencial queda como una forma cuadrática. Si el péndulo
da vueltas alrededor del pivote, entonces hay que tomar el coseno comple-
to en (10.116) y en tal caso lo que se tiene es una función periódica. En tales
circunstancias, al dibujar una gráfica en el plano (p
�
�), lo que se obtiene es
algo como lo mostrado en la figura 10.4.4.
En este caso se dice que las órbitas corresponden a un movimiento de
rotación. Se trata de curvas múltiplemente valuadas, y aunque están aco-
tadas en p no lo están en el eje de las abscisas.
Si se traza el retrato de un péndulo como éste para todas las posibles
oscilaciones, lo que se ve es algo como lo que muestra en la figura 10.4.5.
Los parámetros de acción del ángulo
149
p
0
/2 /2
Figura 10.4.4. Órbitas periódicas en p
�
� son el retraro de un péndulo que no
oscila, sino que gira. A esta órbita se le llama rotación.
En esta figura se han trazado tanto las curvas que corresponden a amplitu-
des grandes, como a las de amplitudes pequeñas. Como se puede apreciar,
el péndulo exhibe igualemente rotaciones y libraciones.
Muchos sistemas dinámicos exhiben comportamientos periódicos que
corresponden, bien sea a libraciones como a rotaciones. En particular re-
sulta de gran importancia para la formulación de Hamilton-Jacobi, el caso
de las libraciones; esto es, movimientos acotados, tanto en las coordenadas,
como en sus correspondientes momentos, que dan lugar en los planos �n
a figuras cerradas.
En el caso de órbitas cerradas en el plano �n, es posible postular la exis-
tencia de ciertos parámetros interesantes. Se definen, en efecto, los paráme-
tros de acción como sigue:
(10.117)
sin regla de suma sobre los índices repetidos. En efecto, cada una de las J´s
definidas de acuerdo con (10.117) tienen siempre las unidades de acción.
Si un probema de mecánica ha podido plantearse con la ecuación de Ha-
milton-Jacobi, y si ha sido posible descomponer a la función característica
La formulación de Hamilton-Jacobi
150
Figura 10.4.5. Retrato del movimiento de un péndulo mostrando la rotación y
la libración.
de Jacobi por sepración de variables, como se propuso en (10.83), entonces
cada uno de los parámetros de acción se puede reescribir de la siguiente
manera:
(10.118)
de acuerdo con (10.106).
Ahora, dado que cada una de las funciones características parciales W(n)
depende de una sola coordenada, tal como se demostró anteriormente, y de
los parámetros �, entonces, al momento de integrar su derivada, en forma
cíclica, según lo exige (10.118), el resultado ya no dependede las coorde-
nadas generalizadas Así, se puede ver que cada uno de los parámetros de
acción definidos en (10.117) y (10.118), son funciones de los parámetros
�, únicamente; esto es:
(10.119)
Por lo tanto, los parámetros de acción, son al igual que las �´s, constan-
tes de movimiento del sistema.
También se puede interpretar a los parámetros de acción, J, como el re-
sultado de una transformación de las �´s. Así que muy bien puede pensarse
en éstos como “nuevos” momentos en una transformación canónica, que ha
establecido una regla de correspondencia entre las “viejas” �1�2…�3N �l y
los parámetros de acción J1 J 2…J3N �l.
Finalmente, los parámetros de acción son áreas en el plano �n. Son
las áreas de las órbitas cerradas que representan una libración. Así que, sal-
vo por el caso de un área que se ha reducido a un solo punto en el plano �n,
todos los demás son distintos de cero, de manera que siempre se puede
aceptar la existencia de la transformación inversa; esto es, que las �´s se ex-
presan en términos de las J´s:
(10.120)
Por consiguiente, la función característica de Jacobi, W que se constru-
ye con todas las funciones parciales, muy bien puede representarse como una
función que depende de las “viejas” coordenadas y los parámetros de acción:
Los parámetros de acción del ángulo
151
La formulación de Hamilton-Jacobi
152
(10.121)
que satisface las condiciones diferenciales:
(10.122 a)
(10.122 b)
donde las �´s vienen a ser los parámetros conjugados de las J´s. Son
como las “nuevas” coordenadas de la transformación canónica. Ahora, si
las J´s tienen dimensiones de acción, estos nuevos parámetros no tienen
unidades, son adimensionales. Se acostumbra en la literatura llamarlos
parámetros de ángulos.
El esquema ha quedado completo nuevamente: dada una hamiltoniana
H que es función de coordenadas y momentos, pero no depende explícita-
mente del tiempo, se ejecuta una transformación canónica mediante una
función generadora, de clase F2, tal que:
(10.123)
esto es, que establece un mapeo de “viejas” coordenadas y momentos a “nue-
vas” coordenadas y momentos, donde estos últimos son los parámetros de
ángulo y de acción, respectivamente. Esa función generadora es, precisamen-
te, la función característica de Jacobi W, sujeta a las condiciones diferencia-
les (10.122), además de la siguiente:
(10.124)
siendo K la nueva hamiltoniana. Esta nueva función de estado dinámico sa-
tisface las siguientes ecuaciones de Hamilton:
Los parámetros de acción del ángulo
153
(10.125 a)
(10.125 b)
Las ecuaciones (10.125 a) son todas nulas, debido a que los parámetros
de acción son constantes, tal como se mostró anteriormente. Por otra par-
te, las ecuaciones (10.125 b) dan como resultado constantes, ya que se
trata de derivar una función que depende de parámetros, que se deriva con
respecto a esos parámetros. Ninguno de ellos depende del tiempo, así que
el resultado, a su vez, tampoco es una función del tiempo.
Dos implicaciones tienen los resultados anteriores: la primera de ellas se
deduce de inmediato a partir de (10.125 a), y es que la nueva hamilto-
niana en realidad no depende de los parámetros de ángulo; es decir
(10.126)
solamente depende de los parámetros de acción. Esta propiedad se volve-
rá importante más tarde, dentro de este mismo tópico.
La otra implicación que tienen las ecuaciones diferenciales anteriores, y
en particular las (10.125 b), es que los parámetros de ángulo se pueden inte-
grar de inmediato. Así, si
(10.127)
entonces
(10.128)
Regresando a las condiciones diferenciales (10.122), hay otro resultado
que merece un comentario en este momento: Si la función característica de
Jacobi (10.121) depende de las coordenadas y de los parámetros de acción,
entonces, en general, sus derivadas, tales como las (10.122 b), deben enten-
derse nuevamente como funciones de estas variables; esto es, que en general
La formulación de Hamilton-Jacobi
154
(10.129)
así que, integrando (10.128) en un ciclo completo, se debe tener lo si-
guiente:
(10.130)
como puede deducirse fácilmente a partir de las condiciones (10.122 b). Por
lo tanto, de acuerdo con la definición dada en (10.118) para los parámetros
de acción, se obtiene inmediatamente que la integral del parámetro de
ángulo en un período completo es equivalente a lo siguiente:
(10.131)
sin regla de suma sobre los índices repetidos.
Lo anterior significa que al recorrer un ciclo completo, el sistema aumen-
ta por una unidad el valor del parámetro de ángulo sobre el plano �k.
Para aclarar estos conceptos, de nueva cuenta considérese el caso del
oscilador armónico simple, ya tantas veces mencionado en este contexto.
Su hamiltoniana es, como ya es costumbre, la siguiente:
(10.132)
y su correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi en términos de la fun-
ción característica de Jacobi es:
(10.133)
donde E es la energía total del oscilador y juega aquí, simultáneamente, el
papel del único parámetro de tipo momento (�) que interviene en la des-
cripción del movimiento. La función característica W, por su parte, debe
considerarse como la generadora, de clase F2:
Los parámetros de acción del ángulo
155
(10.134)
y satisface las condiciones diferenciales
(10.135 a)
(10.135 b)
Ahora bien, a partir de esta función y de sus condiciones diferenciales
es posible calcular el parámetro de acción correspondiente a este caso. De
acuerdo con la definición dada en (10.118) se tiene que:
(10.136)
de tal manera que, calculando el momento canónico, se tiene que el paráme-
tro de acción es
(10.137)
resolviendo la integral, mediante el cambio de variable adecuado, es fácil en-
contrar el resultado:
(10.138)
es el área de la elipse, en el plano �l, parametrizada por E (véase la figura
10.4.6). Se trata, como puede verse de (10.136) y (10.138), del área de una
figura cerrada.
Esta fórmula para el parámetro de acción se puede invertir, tal como se
prevé en (10.120), de tal manera que ahora la energía total queda ex-
presada en términos de J como
(10.139)
No es difícil convencerse que la expresión anterior, tal como se ve en
(10.133), es la “nueva” hamiltoniana; es decir, la que resulta de la transfor-
mación canónica generada por W, la misma W que se propuso en (10.134),
pero descrita en función del parámetro de acción. Entonces, la hamiltonia-
na (10.139) satisface las ecuaciones de Hamilton
(10.140 a)
ya que E no depende del parámetro angular, y
(10.140 b)
Si se integra la ecuación diferencial (10.140 b) se consigue de inmedia-
to lo siguiente:
La formulación de Hamilton-Jacobi
156
p
x0
Figura 10.4.6. Plano �l del oscilador armónico simple. El área de la elipse es
J y el período T.
Los parámetros de acción del ángulo
157
(10.141)
Integrando el parámetro de ángulo (10.141) a lo largo de un ciclo com-
pleto en el plano �l del oscilador, lo que se encuentra es que:
(10.142)
siendo T el período; esto es, el lapso que requiere el oscilador para ejecutar
un ciclo completo. Y si se recuerda ahora el resultado (10.131) que afirma
que la integral cíclica del parámetro angular debe crecer por una unidad en
cada ciclo completo, entonces se llega a la conclusión, de acuerdo con
(10.142), que el período del oscilador es
(10.143)
Realmente todo lo que se desea saber sobre el oscilador armónico sim-
ple se ha podido obtener aquí sin haber realizado la integración de las
ecuaciones diferenciales de movimiento. Así, el período o la frecuencia
del oscilador pueden obtenerse casi directamente con el método de los
parámetros de acción y de ángulo.
Otro ejemplo de aplicación de esta técnica, que ya no es trivial, es el
caso del problema de Kepler. Como se recordará, se trata de un movi-
miento, que puede ser estudiado en un plano 2-D y con la descripción
de coordenadas polares. La hamiltoniana para este sistema dinámico es
la siguiente:
(10.144)
donde pr y p� representan las componentes radial y tangencial del momen-
to del sistema; r es la distancia radial, desde el origen del campo gravitacio-
La formulación de Hamilton-Jacobi158
nal hasta la posición instantánea del cuerpo, y 
 es la constante gravita-
cional, que para el Sol es
(10.145)
Se trata nuevamente de un problema conservador, donde la hamiltonia-
na no depende explícitamente del tiempo, así que la función principal de
Hamilton admite la separación temporal
(10.146)
siendo �0 el parámetro con propiedades de “nuevo” momento, que se iden-
tifica con la energía total del sistema.
La ecuación de Hamilton-Jacobi queda de la siguiente forma:
(10.147)
después de haber realizado la separación de la función característica de
Jacobi en dos funciones parciales:
(10.148)
Tal como se ve la ecuación de Hamilton-Jacobi en (10.147), puede ha-
cerse ahora la separación en dos partes independientes; una que solamente
depende de la variable radial y la otra que queda en función del ángulo azi-
mutal; estas dos partes definen, además, a las componentes del momento
generalizado, como se ve en seguida:
(10.149)
(10.150)
La condición diferencial (10.150) permite ver que en el plano ��
—aquel que se construye con � y con p
�
— la órbita es una línea recta
horizontal, tal como se ve en la figura 10.4.7. Esta es una figura múlti-
plemente periódica y sugiere una rotación del sistema.
Por otra parte, la expresión (10.149) se puede arreglar de tal manera que
se identifique en ella la ecuación de una familia de elipses, siempre y cuan-
do el parámetro �0 sea negativo. Las órbitas en el plano �r son, por lo
tanto, cerradas y sugieren un movimiento de libración. Para esta parte se
puede implementar la técnica de los parámetros de acción y de ángulo.
Para conseguirlo, en la expresión (10.149) se completa el trinomio den-
tro del radical en el miembro de la derecha:
(10.151)
así que, de acuerdo con la definición dada en (10.118), el parámetro de
acción correspondiente al plano �r es:
Los parámetros de acción del ángulo
159
p
/2 3 /2 20
1
1
Figura 10.4.7. Órbitas de rotación para el plano �� en el problema de Kepler.
El parámetro �1 es positivo.
La formulación de Hamilton-Jacobi
160
(10.152)
Ahora ocurren cosas interesantes con esta integral de aspecto feroz.
Una posibilidad viable para realizar la integración consiste en transformar
a todo ese término que se encuentra en el integrando de (10.152) en una
función trigonométrica. Por ejemplo, se puede hacer el siguiente cambio
de variable:
(10.153)
Con esta definición, el radical en el integrando de (10.152) se convier-
te en una simple función seno, que aparentemente permitirá la integración.
Lo realmente interesante de este cambio de variable es que, despejando a r,
se obtiene de (10.153) el siguiente resultado:
(10.154)
que de inmediato se identifica con la ecuación general para las cónicas, en
coordenadas polares, donde el semi lado recto está representado por
(10.155)
y la excentricidad por
(10.156)
Así, con el cambio de variable propuesto en (10.153) y las definiciones
(10.155) y (10.156), el parámetro de ángulo (10.152) adquiere ahora el
siguiente aspecto:
(10.157)
Esta integral puede descomponerse si se realiza por partes. Observando que
es posible escribirla como:
El primer sumando de la derecha en el desarrollo anterior es igual a cero
al evaluarse entre límites de la integración, en tanto que el segundo térmi-
no puede escribirse de la siguiente forma:
de tal suerte que el parámetro de acción queda como sigue:
Los parámetros de acción del ángulo
161
Buscando en tablas de integrales, es posible hallar la solución para la se-
gunda parte de la derecha en la expresión anterior. El resultado es el siguien-
te:*
de modo que, finalmente, se obtiene el siguiente resultado:
(10.158)
Este es, pues, el parámetro de acción para el problema de Kepler. Como
se recordará, este parámetro solamente tiene sentido si el movimiento está
acotado, tanto en r como en pr; es decir, que se trata de una libración. El sig-
nificado de Jr, numéricamente, es igual al área de la elipse (prolata) que es
la órbita en el plano �r.
Despejando la excentricidad de (10.158) se obtiene lo siguiente:
(10.159)
Recordando la definición que se dio en (10.156) para la excentricidad,
así como la fórmula para el semilado recto l en términos de los parámetros
�, se puede ahora despejar a �0 como sigue:
(10.160)
La formulación de Hamilton-Jacobi
162
* Petit Bois, G., Tables of Indefinite Integrals, Dover Publ. Inc., Nueva York, 1961, p.
121.
Los parámetros de acción del ángulo
163
Es importante recordar que �0 juega el papel de la energía total del sis-
tema, como se vio en la ecuación de Hamilton-Jacobi (10.147); también se
debe observar que es negativo, tal como debe ser para el caso de órbitas
de libración.
Pero �0 es también la nueva hamiltoniana; es decir, aquella que ha re-
sultado de la función generadora W. Por lo tanto, en términos de la varia-
ble de ángulo, se puede escribir ahora, a partir de (10.160) que:
(10.161)
y por lo tanto las ecuaciones de Hamilton, en términos de los parámetros
de acción y de ángulo para el problema de Kepler, son como sigue:
(10.162)
(10.163)
De estas ecuaciones se obtiene que, en efecto, el parámetro de acción es
un constante de movimiento; esto es, que no depende del tiempo y, además,
que el parámetro de ángulo es
(10.164)
Finalmente, si se integra el parámetro de ángulo a un ciclo completo, de
acuerdo con (10.131), se obtiene como resultado la unidad, así que el perío-
do de un planeta, urgido por la fuerza gravitacional del Sol, es tal como se
obtiene de (10.164):
La formulación de Hamilton-Jacobi
164
(10.165)
Esta es la tercera ley de Kepler, que establece que el cuadrado de los
períodos es proporcional al cubo del semi eje mayor del planeta desde el Sol.
Es muy sencillo demostrar, en efecto, que la relación
(10.166)
es a el semieje de la elipse.
Nuevamente ha quedado demostrado cómo, con el método de los pa-
rámetros de acción y ángulo, es posible obtener propiedades características
del movimiento, en el caso de libración.
10.5. La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo
Considérese ahora el caso de un sistema de N� partículas, sujetas a l
constricciones holonómicas, que se mueven bajo el efecto de fuerzas aplica-
das, conservadoras. Supóngase que el sistema se representa mediante una
hamiltoniana H que no depende explícitamente del tiempo.
Imagínese, aún más, que si bien la hamiltoniana se conoce, y se puede
establecer la ecuación de Hamilton-Jacobi para el sistema dinámico, no es
posible hallar soluciones analíticas exactas para el movimiento, porque las
expresiones matemáticas a las que da lugar el problema son sumamente
complicadas para tratarse por los métodos convencionales.
Sin embargo, resulta que este sistema dinámico y su hamiltoniana son
muy parecidos a otro sistema, con el mismo número de partículas y cons-
tricciones holonómicas, cuyas soluciones sí son conocidas y exactas. La
diferencia entre ambos problemas estriba en que la hamiltoniana de aquél,
que no es posible resolver, y la de éste, que tiene soluciones exactas, difieren
por cierto parámetro �, en general pequeño. Así, cuando ��0 se trata de
la hamiltoniana “exacta”
en tanto que cuando ��0, se trata de la que en adelante será conocida
como la hamiltoniana perturbadora
Al parámetro � se le llama parámetro de perturbación.
Muchos son los ejemplos que pueden citarse de esta clase de problemas.
Uno de ellos podría ser el caso del oscilador en un medio disipador. Su
hamiltoniana es
(10.167)
cuando el parámetro de perturbación � es nulo, esta función se convierte
en la bien conocida H0(x,p) del oscilador armónico simple. Se trata, pues,
de un sistema “perturbado”.
Otro caso puede ser el del cuerpo masivo que se mueve bajo la influen-
cia de un campo gravitacional central, pero con una energía potencial un
poco distinta a la kepleriana, tal que su hamiltoniana, en 2-D y coordena-
das polares, es:
(10.168)
Durante mucho tiempo se trató de describir mediante una función ha-
miltoniana, como esta que se exhibe en (10.168), las pequeñas anomalías
(perturbaciones)que se observan en la órbita del planeta Mercurio y que
hacen preceder su perihelio con un arco de aproximadamente 42 segundos
cada cien años terrestres. Una energía potencial como esta que aparece
en (10.168) puede asociarse a una no-esfericidad del Sol (que es cierta) y
representa, en efecto, una pequeña perturbación al movimiento que des-
cribe la hamiltoniana no perturbada (10.144). Así, conociendo la solución
para ésta, se puede resolver la otra, la perturbada (10.168), con el método
de la teoría de las perturbaciones independientes del tiempo, que a conti-
nuación será desarrollado.
Para desarrollar este método adecuadamente, es necesario hacer todavía
algunas suposiciones más. Se debe hacer la hipótesis adicional que ambos
La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo
165
sistemas dinámicos, tanto el perturbado como el no-perturbado, describen
movimientos que son del tipo de libración en sus planos �n, así que en los
dos casos es posible describir las ecuaciones de Hamilton-Jacobi mediante
los parámetros de acción y de ángulo.
Más aún, puesto que la hamiltoniana no-perturbadora admite esta des-
cripción, entonces
(10.169)
donde K0 es la “nueva” hamiltoniana no-perturbadora, función de los pa-
rámetros J0 de acción correspondientes. Esta expresión (10.169) se debe
suponer bien conocida, así que la transformación canónica que mapea
las “viejas” coordenadas y los “viejos” momentos en los parámetros de
acción J0 y de ángulo �0, también se conoce perfectamente. Aquí se ha
denotado con un cero (�0) a estos parámetros, para recalcar el supuesto de
que son los que pertenecen naturalmente a la hamiltoniana no-pertur-
badora.
Las ecuaciones de Hamilton para la nueva hamiltoniana no-perturba-
dora que aparece en el miembro de la derecha de la condición diferencial
(10.169) son:
(10.170 a)
(10.170 b)
en donde, por facilidad, se han omitido los índices k con que tradicional-
mente se describen estas ecuaciones diferenciales. Pero debe entenderse
que en realidad se trata de 6N�2l ecuaciones y que son 3N�l parámetros
no-perturbados de acción y otros tantos de ángulo.
Como se menciona anteriormente, ha de suponerse que las ecuaciones
de Hamilton no perturbadoras (10.170) se resuelven trivialmente y luego,
como se conoce la transformación canónica y su inversa, se puede llegar a
las soluciones exactas.
Desafortunadamente, aunque esta misma estrategia se puede plantear
para el problema perturbado, no es posible resolver la ecuación de Hamilton-
La formulación de Hamilton-Jacobi
166
Jacobi para él, y tampoco se pueden calcular los parámetros de acción y
ángulo correspondientes. Esto significa que, a pesar de tratarse de un sis-
tema conservador, independiente del tiempo, que ejecuta movimientos
de libración, no es conocida la transformación canónica
(10.171)
tal que la “nueva” hamiltoniana perturbadora se relaciona con la “vieja” a
través de la condición diferencial (ecuación de Hamilton-Jacobi)
(10.172)
y satisface las ecuaciones diferenciales de Hamilton:
(10.173 a)
(10.173 b)
Si lo anterior fuera posible, entonces el problema podría resolverse exac-
tamente y en tal caso sería innecesario desarrollar cualquier procedimiento
perturbacional para resolver el problema. En este contexto, pues, se supon-
drá que la transformación (10.171) no se puede hallar, y consecuentemen-
te tampoco las ecuaciones de Hamilton (10.173) y sus soluciones.
Ahora imagínese que la misma transformación canónica que sirvió para
hallar los parámetros de acción y de ángulo para la hamiltoniana no-pertur-
badora se usa en la hamiltoniana perturbadora. Ciertamente no es la trans-
formación idónea, en el sentido que la nueva hamiltoniana ya no depende
más que de los parámetros de acción perturbados, pero al fin y al cabo se tra-
ta de una transformación canónica conocida:
(10.174)
La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo
167
Al someter a la hamiltoniana perturbadora a la transformación canóni-
ca (10.174), la condición diferencial (ecuación de Hamilton-Jacobi) que se
obtiene es, en general, como la siguiente:
(10.175)
donde la “nueva” hamiltoniana K depende ahora tanto de �0´s como de
J0´s. Comparando (10.172) con (10.175) se ve que
(10.176)
Así, en tanto que la nueva hamiltoniana perturbadora E no se puede
conocer, porque la transformación que da lugar a ella no se tiene, es posible,
no obstante, conocer una “nueva” hamiltoniana perturbadora a través de la
transformación canónica (10.174) (que sí se conoce). Esta hamiltoniana y
la función E son equivalentes.
La expresión (10.176) se puede interpretar también en una forma un
poco diferente; se puede pensar en ella como la condición diferencial del
tipo (9.203 c) que satisface cierta función generadora, de clase F2, que es-
tablece una correspondencia entre los parámetros de acción y de ángulo
��0,J0� y los correspondientes a la hamiltoniana perturbadora ��,J �. En otras
palabras, se puede proponer una función generadora S(�0,J,�), de clase F2,
que establece una transformación canónica:
(10.177)
y que satisface las condiciones diferenciales
(10.178 a)
(10.178 b)
(10.178 c)
La formulación de Hamilton-Jacobi
168
Sobre esta función generadora debe imponerse la condición adicional
que cuando el parámetro de perturbación � sea igual a cero, entonces esta
función genera la transformación idéntica; esto es:
(10.179)
Ahora bien, aquí es donde aparece el quid de este asunto: supóngase
aún más, que esta función generadora S depende suavemente del paráme-
tro de perturbación �, de tal suerte que es posible desarrollarla en una serie
de potencias de este parámetro:
(10.180)
donde el primer término del desarrollo es precisamente la generadora de la
transformación idéntica que se describe en (10.179); esto es:
(10.181)
En estas condiciones, la serie de potencias de � se escribe nuevamente
como sigue:
(10.182)
y debe imponérsele el cumplimiento de las condiciones diferenciales
(10.178 a) y (10.178 b); es decir:
(10.183 a)
(10.183 b)
Por su parte, la condición diferencial (10.178 c) también se debe revisar
bajo esta misma perspectiva; es decir, hay que suponer que, al igual que la
La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo
169
función generadora S, la hamiltoniana K y la hamiltoniana E dependen
suavemente del parámetro de perturbación, de tal forma que ambas pueden
desarrollarse también como series de potencias de �. Así por ejemplo,
(10.184)
en donde se ha supuesto que el primer sumando a la derecha del signo de
igualdad en (10.184) solamente depende de los parámetros de acción no
perturbados, puesto que para � igual a cero, lo que se debe recuperar es la
hamiltoniana no perturbadora que aparece en (10.169) y ésta no depende
de los parámetros de ángulo.
Poco a poco ha avanzado este procedimiento. No es fácil, como tampo-
co lo fue para las personas que primero lo desarrollaron: un alemán de ape-
llido von Zeipel y el gigante H. Poincaré (1854-1912). En este punto la
teoría aún no es operativa, pues si se hace un desarrollo paralelo en series
de potencias del parámetro de perturbación, para la hamiltoniana descono-
cida, E, no es posible todavía hacer una equivalencia entre sus elementos y
los de la hamiltoniana (10.184), porque ambas funciones están expresadas
en términos de variables distintas. Así, la función K tiene todos sus elemen-
tos K0,K1,K2… etc. en términos de J0, en tanto que en un desarrollo de la E
sus elementos dependerán siempre de la J (perturbada). En estas condicio-
nes no se puede igualar término a término del desarrollo.
Tratando de remontar este nuevo obstáculo que impone el desarrollo de
la teoría de las perturbaciones, imagínese ahora que la hamiltoniana pertur-
badora K se desarrolla como una serie de Taylor alrededor de J (perturba-
da), de la siguiente forma:
(10.185)
Si las diferencias de J0�J que aparecen en (10.185) se sustituyen, de
acuerdo con (10.183 a), por los términos del desarrollo, entonces se
obtiene lo siguiente:
La formulación de Hamilton-Jacobi170
(10.186)
Además, regresando al desarrollo (10.184) para la hamiltoniana pertur-
badora, si se evalúa en J0�J, se obtiene:
(10.187)
Esta expresión se utiliza ahora en vez del primer término de la derecha,
así como de cada una de las derivadas de órdenes superiores de K en (10.186)
y se rearreglan los otros que aparecen elevados a las sucesivas potencias, para
que también la hamiltoniana perturbadora K pueda ser escrita como una se-
rie de potencias del parámetro de perturbación �. Haciendo esto, se obtie-
ne el siguiente resultado:
(10.188)
La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo
171
Finalmente, recolectando términos de potencias iguales, el desarrollo
hasta la tercera potencia de � queda de la siguiente forma:*
(10.189)
El proceso casi ha terminado. Con el desarrollo anterior ha sido posible
expresar a la hamiltoniana perturbadora K como una serie de potencias del
parámetro de perturbación, donde cada uno de los términos depende del pa-
rámetro de acción perturbado J.
Si ahora se vuelve la mirada a la hamiltoniana perturbadora E, en el
miembro de la derecha de (10.176) y se hace con ella un desarrollo en se-
ries de potencias del parámetro de perturbación, del mismo modo como
se ha hecho con las demás funciones, se consigue lo siguiente:
(10.190)
Aunque esta función es desconocida, ahora se puede tener idea de ella,
pues, de acuerdo con (10.176), si se iguala cada uno de los términos de
(10.190) con el término correspondiente, al mismo orden en �, del desarro-
llo (10.189), se ha alcanzado la meta; esto es:
(10.191 a)
La formulación de Hamilton-Jacobi
172
* El desarrollo es una serie infinita de potencias en �; sin embargo, suponiendo la pron-
ta convergencia de ella y por facilidad, solamente se considera hasta la tercera potencia.
(10.191 b)
(10.191 c)
(10.191 d)
etc.
Ahora sólo es cuestión de pulir un poco los resultados anteriores para te-
ner completo el desarrollo de esta teoría. Lo que aún falta por hacer es utili-
zar las ecuaciones de Hamilton para el sistema no perturbado (10.170 b), e
insertarlas en las equivalencias (10.191). Con ello, los elementos del desarro-
llo de la hamiltoniana perturbadora E (J ) quedan en la siguiente forma:
(10.192 a)
(10.192 b)
(10.192 c)
La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo
173
(10.192 d)
etc.
Lo que se ha conseguido con este proceso es encontrar la función hamil-
toniana del sistema perturbado, en términos de sus parámetros de acción
propios. Para ello se ha hecho uso de la hamiltoniana no perturbadora, así
como de la función generadora de una transformación canónica, S, que sir-
ve de vínculo entre los dos sistemas dinámicos.
Una vez obtenidas las componentes E0,E1, etc., se reconstruye la hamil-
toniana E, de acuerdo con (10.190) y se establecen las ecuaciones de Ha-
milton (10.173); se integran para obtener explícitamente los parámetros
de acción y de ángulo, y se continúa con el procedimiento ya bien cono-
cido para obtener las soluciones; lo demás ya es territorio explorado.
Pero el problema aún no ha quedado del todo resuelto. Si se recapacita
un poco sobre lo que se ha conseguido hasta este momento, se podrá apre-
ciar que aún queda un detalle muy importante por aclarar, un detalle sin el
cual no es posible atacar y resolver con éxito problemas de perturbaciones.
En efecto, las expresiones (10.192), aparentemente resuelven el proble-
ma, pues con ellas se construye cada uno de los elementos del desarrollo
(10.190), con el cual se plantean las ecuaciones de Hamilton perturbadas
en términos de los parámetros de acción y de ángulo. Sin embargo, hay un
elemento en todo este desarrollo que no está definido explícitamente. Se
trata de la transformación canónica generada por la función S(�0,J�), así
como de sus componentes en el desarrollo de potencias del parámetro de
perturbación dado en (10.182).
Lo que se sabe hasta este punto es que la transformación de (q,p) a
(�0,J0) esquematizada en (10.174) es canónica y se conoce perfectamente.
Es la transformación con la cual se resuelve el problema no-perturbado en
términos de los parámetros de acción y de ángulo. Esta transformación es
canónica, independientemente de la hamiltoniana. ¡Claro! si se aplica so-
bre la hamiltoniana no-perturbadora, conduce a un J0 que es constante
La formulación de Hamilton-Jacobi
174
y a un �0 que depende linealmente del tiempo. Pero si esta misma transfor-
mación canónica se aplica a la hamiltoniana perturbadora, se obtendrán
resultados diferentes; es decir, el parámetro de acción J0 y el de ángulo �0
ya no serán tan simples como para el caso no-perturbado.
Si la perturbación es pequeña, entonces el movimiento del sistema di-
námico está determinado por un parámetro de acción J que es constante y
por un parámetro de ángulo � que es una función lineal del tiempo. Estos
son los parámetros “propios” del sistema perturbado. Estos son, también,
los parámetros que es necesario determinar para resolver el problema per-
turbado mediante la función S(�0,J�). Una vez resuelto el problema en
términos de estos parámetros, se emprende el camino de regreso, hasta
hallar a las coordenadas generalizadas y los momentos, (q,p), mediante las
transformaciones inversas.
Ahora bien, hay que recapacitar que tanto las q´s, como las p´s están
acotadas pues se trata de libraciones, de modo que, analíticamente se pue-
de pensar en estas variables como funciones periódicas. Cada vez que �0
experimenta un ciclo completo y aumenta por una unidad, tal como se de-
mostró en (10.131), el sistema dinámico ha ejecutado una vuelta completa
de su trayectoria cerrada. Esto es así estrictamente para el sistema no-pertur-
bado y es muy aproximadamente cierto para el sistema perturbado; tanto
más, cuanto más pequeño sea el valor del parámetro de perturbación. Por lo
tanto, si bien no se conoce a priori la función generadora S, ni sus com-
ponentes en el desarrollo de potencias de � (10.180), se puede aceptar
que son funciones periódicas de �0 que pueden descomponerse a su vez en
series de Fourier del tipo siguiente:
(10.193)
excepto para el valor n � 0 que, según se vio en (10.181) está definido
aparte.
En estas circunstancias, las derivadas de las componentes Sn resultan ser,
nuevamente, funciones periódicas en �0, con el mismo período que la fun-
ción pero que carecen del término constante; esto es, aquel que ocurre para
l � 0, porque su derivada es igual a cero.
Una propiedad interesante de las derivadas de Sn, definida en (10.193)
es la siguiente:
La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo
175
(10.194)
Este resultado es muy simple de obtenerse y será, en cambio, de gran im-
portancia para la teoría.
En adelante, sea f una función que depende de �0, entonces, se define:
(10.195)
De acuerdo con el resultado (10.194) y con la definición (10.195), se
puede ver ahora que, integrando (10.192 a) entre 0 y 1, se obtiene que
pero como ni E0, ni K0 dependen de �0, entonces se restituye la misma
igualdad:
(10.196)
Realizando la misma integración con (10.192 b) las cosas ya son diferen-
tes, pues
(10.197)
o bien
(10.198)
por lo tanto, sustituyendo este resultado de vuelta en (10.192 b), se puede
hacer el despeje:
La formulación de Hamilton-Jacobi
176
(10.199)
Para la expresión (10.192 c), integrando entre 0 y 1:
(10.200)
Ahora, sustituyendo en (10.200) el resultado anterior (10.199), se ob-
tiene lo siguiente:
(10.201)
Nuevamente, sustituyendo (10.201) en (10.192 c), se puede encontrar
el resultado para la derivada de S2 con respecto a �0:
(10.202)
Así sucesivamente, procediendo de la misma manera se encuentran las
expresiones para E3, así como para la derivada de S3 con respecto al paráme-
tro angular no perturbado. Lo interesante de este procedimiento es que al
final de cuentas ya no es necesario conocer a la función S, pues las fórmu-
La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo
177
las (10.196), (10.198), (10.200) y (10.201) permiten calcular directamen-
te las componentesde la hamiltoniana perturbada E(J). Ahora sí, el proble-
ma ha quedado resuelto en teoría.
10.6. Algunas aplicaciones de la teoría
de las perturbaciones independientes del tiempo
El procedimiento para resolver los problemas de perturbaciones indepen-
dientes del tiempo es preciso, general y compacto. Sin embargo, dista mu-
cho de ser simple. En esta sección es importante aclarar los detalles del pro-
cedimiento para, llegado el caso, poder aplicar la teoría a otros problemas
de la mecánica que se presten a ello. Nuevamente, con el fin de hacer ese
procedimiento lo más claro y simple que sea posible, se atacará ahora, por
enésima vez, el caso de un oscilador simple. La hamiltoniana no perturba-
da es, como ya es costumbre:
(10.203)
en tanto que la hamiltoniana perturbada, correspondiente a ese sistema pa-
recido al anterior, pero que no es posible resolver de manera exacta, es:
(10.204)
Ambos sistemas, tanto el no perturbado como el perturbado, son
conservadores; no dependen explícitamente del tiempo y, debido a su
esencia, ejecutan movimientos de libración en el (único) plano p vs x.
Por lo tanto, en los dos casos se puede implementar la técnica de los
parámetros de acción y de ángulo. Por la misma razón, la teoría de pertur-
baciones independientes del tiempo se puede aplicar a este ejemplo direc-
tamente.
Bueno, la verdad debe decirse; tanto el problema no perturbado como
el perturbado que aquí se plantean, pueden ser resueltos exactamente con
alguno de los métodos que ya se desarrollaron anteriormente, pero aquí se
trata de mostrar el manejo de la teoría de perturbaciones independientes
La formulación de Hamilton-Jacobi
178
del tiempo, así que se pretenderá que no es posible resolver el problema per-
turbado, a menos que esta tecnología teórica se aplique.
La estrategia que se seguirá, será la de resolver primero (nuevamente) el
problema no perturbado. A continuación se aplicará toda la maquinaria
de la matemática desarrollada en la sección anterior para resolver el pro-
blema perturbado, hasta el tercer orden de aproximación; finalmente, se
resolverá en forma exacta este mismo problema a fin de comparar los re-
sultados obtenidos, y con ello cobrar confianza en la teoría.
10.6.1. Resolución del problema no perturbado
La ecuación de Hamilton-Jacobi para este caso es:
(10.205)
siendo W(x,K0) la función característica de Jacobi, donde K0 es el pará-
metro conjugado a la “nueva” coordenada, que además es la energía total
del oscilador y debe reconocerse como la “nueva” hamiltoniana no per-
turbada. La función W es también generadora de una transformación
canónica que pertenece a la clase F2 y por lo tanto satisface la condición di-
ferencial
(10.206)
Como la órbita de este movimiento es cerrada, se trata de una libra-
ción, así que es posible obtener el parámetro de acción a partir de (10.206)
como:
(10.207 a)
integrando (10.207 a) se obtiene fácilmente lo siguiente:
Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones
179
(10.207 b)
Invirtiendo ahora la fórmula (10.207 b), se expresa a la “nueva” hamil-
toniana en función del parámetro de acción
(10.208)
De esta manera las ecuaciones de Hamilton se plantean y se resuelven
trivialmente:
(10.209 a)
(10.209 b)
donde �0 es el parámetro de ángulo no perturbado. De (10.209 a) se apre-
cia de inmediato que J0 es una constante de movimiento y, resolviendo
(10.209 b) para la hamiltoniana (10.208), se obtiene de inmediato que
(10.210)
que es el inverso del período del oscilador. El resultado (10.210) ratifica que
�0 es, en efecto, otra constante de movimiento.
Comparando (10.208) con (10.210) se ve que la “nueva” hamiltoniana
no perturbadora es igual a
(10.211)
La segunda condición diferencial sobre la función característica de Ja-
cobi, W, es la que permite resolver el problema, una vez que se han obteni-
La formulación de Hamilton-Jacobi
180
do los resultados anteriores. En efecto, recordando de las funciones gene-
radoras de clase F2:
(10.212)
pero como W es la integral de (10.206) con respecto a x, entonces:
(10.213)
donde se ha sustituido el valor (10.211) para la hamiltoniana no pertur-
badora. Derivando dentro de la integral con respecto a J0 e integrando
luego el resultado, se obtiene (tomando únicamente el signo menos en la
integral anterior):
(10.214)
o bien, despejando a x y tomando en cuenta el resultado (10.200), se obtie-
ne finalmente:
(10.215)
y sustituyendo (10.215) en (10.206), con la fórmula (10.211) para la hamilto-
niana no perturbadora, se obtiene, asimismo, la solución para el momento p:
(10.216)
Las fórmulas (10.215) y (10.216) poseen dos cualidades: la primera de
ellas es que son las soluciones analíticas, exactas para el oscilador armónico
simple (no-perturbado). Recordando que �0 es, a su vez:
Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones
181
(10.217)
donde 
0 es algún factor de fase y t es el tiempo, las expresiones anterio-
res describen, en efecto, el carácter oscilatorio de este sistema dinámico.
Solamente falta imponer la condición inicial para evaluar la amplitud y el
momento máximo del oscilador. Esto no se hará aquí.
La segunda cualidad que exhiben las fórmulas (10.215) y (10.216) es
que se pueden interpretar, asimismo, como la transformación canónica con
la cual se establece la correspondencia entre los parámetros de acción J0 y
de ángulo �0, con las variables canónicas originales x y p.
Por supuesto, la transformación canónica inversa también existe y se
puede obtener inmediatamente a partir de (10.205) y (10.216):
(10.218 a)
(10.218 b)
Finalmente, la hamiltoniana no perturbadora se puede identificar per-
fectamente en esta descripción como:
(10.219)
10.6.2. Resolución del problema perturbado
Considérese ahora la hamiltoniana perturbadora:
(10.220)
Se trata nuevamente de un sistema conservador, independiente del tiem-
po y que ejecuta movimientos de libración, de modo que es posible im-
La formulación de Hamilton-Jacobi
182
plementar la descripción de los parámetros de acción y de ángulo. Sean J
y � esos parámetros y aquí se supondrá que no es posible resolver el proble-
ma en forma exacta; es decir, que en forma directa no es posible encontrar
la hamiltoniana E(J ) que resuelve el problema.
Sin embargo, la solución para el problema no perturbado ya se conoce,
como puede comprobarse en (10.215) y (10.216). Entonces, siguiendo la
estrategia que se indicó en la sección anterior, hay que sustituir las expresiones
de transformación no-perturbadas en esta hamiltoniana (10.220), con esta sus-
titución se encuentra la hamiltoniana perturbadora. En efecto, sustituyen-
do en (10.220) los resultados (10.215) y (10.216) se obtiene lo siguiente:
(10.221)
o bien:
(10.222)
Por su parte, la hamiltoniana (10.220) permite escribir la ecuación de
Hamilton-Jacobi para el sistema perturbado:
(10.223)
Así que los parámetros de acción y ángulo se obtendrían de esta ecua-
ción (si fuera posible realizar la integración), como siempre, a partir de la
definición:
(10.224)
(por supuesto que esta integración se puede realizar, pero aquí se supondrá
que esto no es posible). En todo caso, se puede proponer que como resulta-
Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones
183
do de la integración anterior, se obtiene una fórmula parecida a las del osci-
lador armónico simple; esta es:
o bien su inversa:
(10.225)
siendo � el inverso del período del oscilador perturbado, función del pa-
rámetro de perturbación y tal que cuando este parámetro adquiere el valor
cero, se obtiene el valor no perturbado. Observando este valor en (10.210),
se puede ver que para el caso perturbado lo único que hay que hacer es su-
mar, dentro del radical, el parámetro de perturbación, de donde
(10.226)
Por lo tanto, igualando entre sí a las hamiltonianas perturbadoras
(10.222) y (10.225) con la fórmula para el inverso del período (10.226), se
obtiene que:
(10.227)
Desarrollando estos binomios, agrupando los términos que resultan y
tomando en cuenta solamente hastaaquéllos de grado tres, se obtiene aho-
ra lo siguiente:
(10.228)
La formulación de Hamilton-Jacobi
184
de donde:
(10.229)
Comparando el desarrollo (10.218 a) con aquel que se muestra en
(10.183 a) para la función generadora, de clase F2, encargada de establecer
la regla de correspondencia entre las dos hamiltonianas perturbadas, se ve
que:
(10.230 a)
(10.230 b)
(10.230 c)
(10.230 d)
etc.
En efecto, el primer término muestra que se trata de una función de cla-
se F2 que, al hacerse cero el parámetro de perturbación, se reduce a la gene-
radora de la transformación canónica idéntica.
Por su parte, la hamiltoniana perturbada (10.222) también se puede es-
cribir como un desarrollo en potencias de �, solamente que después del tér-
mino de orden uno, todos los demás son nulos; esto es:
Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones
185
donde:
(10.231 a)
(10.231 b)
(10.231 c)
Con estos resultados se tienen ya todos los ingredientes para describir
explícitamente todos los términos de la hamiltoniana perturbada E(J ).
En efecto, recordando los resultados teóricos (10.192) de la sección ante-
rior, se pueden escribir ahora éstos para el oscilador perturbado:
(10.232 a)
(10.232 b)
(10.232 c)
(10.232 d)
etc.
En donde solamente se han escrito los resultados finales de la aplicación
de las fórmulas (10.192) a este caso. Colectando los términos, de acuerdo
con el desarrollo (10.190), se obtiene que:
(10.233)
Pero ahora se puede constatar que, en efecto, este desarrollo es precisa-
mente el de la raíz cuadrada, es decir:
La formulación de Hamilton-Jacobi
186
(10.234)
donde � está dada por (10.226).
Una vez alcanzado este punto, lo que sigue es solamente rutina. Lo que
es necesario hacer es esencialmente lo mismo que en el caso no perturba-
do: plantear la integral para la condición diferencial de la función carac-
terística de Jacobi del caso perturbado:
(10.235)
e integrar para encontrar a x y a p en función de � y J. El procedimiento
es esencialmente el mismo:
(10.236)
para encontrar las expresiones en x y en p en términos de J y � que resuel-
ven el problema.
10.6.3. Resolución exacta del oscilador perturbado
En efecto, realizando la integración de la ecuación de Hamilton-Jacobi para
el caso perturbado, cuya hamiltoniana es la siguiente:
(10.237)
se obtiene por integración directa el parámetro de acción para este problema:
(10.238)
de donde se deduce que
Algunas aplicaciones de la teoría de las Perturbaciones
187
(10.239)
siendo
(10.240)
tal y como se había pronosticado en (10.226).
El parámetro de ángulo, por su parte, se encuentra derivando a (10.238)
con respecto a J, así que
(10.241)
o bien, invirtiendo esta fórmula,
(10.242 a)
Sustituyendo (10.242 a) en (10.237) se encuentra de inmediato la otra
parte:
(10.242 b)
con lo cual ha quedado resuelto el problema.
10.7. Problemas del capítulo
10.1. La función principal de Hamilton
La formulación de Hamilton-Jacobi
188
(10.243)
es supuestamente la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi
para una partícula que se mueve en una dimensión. El único pará-
metro � es constante. Encontrar las ecuaciones de movimiento de
la partícula. La letra k representa una constante.
10.2. Un cuerpo puntual, de masa m, cae desde cierta altura, debido a la
acción de la gravedad. Escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi para
esta situación. Despreciar la resistencia del aire.
10.3. ¿Cuál debe ser la ecuación de Hamilton-Jacobi que describe el mo-
vimiento conocido como el tiro parabólico? Despreciar la resisten-
cia del aire. Escribir la ecuación en términos de la función caracte-
rística de Jacobi.
10.4. Resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula de masa
m que se mueve por el espacio libremente.
10.5. Un satélite artificial se mueve en el espacio, en una órbita baja, don-
de la resistencia del aire tiene un efecto sobre el cuerpo que reduce
su velocidad paulatinamente. Si se observa el movimiento durante
un lapso breve, se puede establecer el problema de determinar su
trayectoria en una dimensión, en coordenadas cartesianas como
una fuerza del tipo
(10.244)
Establecer la ecuación de Hamilton-Jacobi. Encontrar la función
principal de Hamilton y establecer sus condiciones diferenciales.
Hallar la solución con este método.
10.6. Escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi para el problema de Kepler;
esto es, una partícula de masa m que se mueve bajo la acción de un
campo central
Establecer este problema en dos dimensiones y usando coorde-
nadas polares.
Problemas del Capítulo
189
10.7. Plantear la ecuación de Hamilton-Jacobi para el problema de un
péndulo doble que oscila en un plano.
10.8. Un cuerpo se mueve en una dimensión, en un medio resistivo que
actúa sobre él con una fuerza del tipo
(10.245)
donde � es una constante. Establecer la ecuación de Hamilton-
Jacobi e integrarla para hallar la solución al problema.
10.9. Resolver el problema anterior usando el método de la teoría de las
perturbaciones dependientes del tiempo. Suponga para ello que la
fuerza (10.245) es una perturbación sobre el movimiento libre del
cuerpo.
10.10. Una partícula con masa m y carga eléctrica e, se mueve en un cam-
po magnético uniforme dado por la fuerza de Lorentz
(10.246)
siendo c la constante que representa la velocidad de la luz en el va-
cío y B� es el vector de inducción magnética, que aquí se supone cons-
tante y en la dirección Oz; esto es:
(10.247)
Plantear la ecuación de Hamilton-Jacobi para este caso, recor-
dando que esta fuerza se puede describir en términos de una ener-
gía potencial generalizada
(10.248)
en función del potencial magnético A� , tal que
(10.249)
La formulación de Hamilton-Jacobi
190
Separar la ecuación de Hamilton-Jacobi, usando para ello el mé-
todo de separación de la función característica W. Usar para este
caso coordenadas cilíndricas.
10.11. Usando el método de separación de variables de la sección 10.3,
resuelva el problema del oscilador armónico en 2-D dado por la
hamiltoniana
(10.250)
10.12. En el problema anterior, encontrar los parámetros de acción y el
ángulo correspondientes. Resolver el problema y hallar los períodos.
10.13. Resolver el problema del péndulo esférico con el método de los pa-
rámetros de acción y de ángulo. Suponer que el péndulo oscila con
amplitudes muy pequeñas.
10.14. Utilizando la hamiltoniana (10.114), con la energía potencial
(10.115), encontrar el parámetro de acción y de ángulo correspon-
diente y resolver el problema.
10.15. Usando el método de los parámetros de acción y de ángulo, encon-
trar la solución para el problema de Kepler en 2-D.
10.16. Demostrar que, en efecto, las integrales (10.194) son iguales a cero
para funciones Sn como las que se proponen en (10.193).
10.17. Encontrar la expresión para E3(J ) en términos de las integrales
(10.194) y (10.195). Una vez hallada esta expresión, obtener la
fórmula para
10.18. Calcular E1, E2, E3;�S1/��0,�S2/��0, y �S3/��0 para el oscilador
armónico perturbado (10.220) y encuentre la solución con estos
valores.
10.19. Resuelva el problema de Kepler perturbado, en 2-D. Considere para
ello la hamiltoniana no-perturbadora
(10.251)
Problemas del Capítulo
191
y la hamiltoniana perturbadora
(10.252)
Use la teoría de las perturbaciones independientes del tiempo,
considerando que � es un parámetro con un valor pequeño.
Al añadir al potencial newtoniano un término adicional del
orden 1/r2 como el que se escribe en el extremo de la derecha de
(10.252), se pudo explicar empíricamente el corrimiento del peri-
helio del planeta Mercurio. Como se sabe, este cuerpo, el más cer-
cano al Sol y con una órbita muy excéntrica, en comparación con
los demás planetas del sistema solar, no cierra exactamente sus órbi-
tas después de cada ciclo completo, sino que adelanta por una
pequeñísima fracción cada vez. A lo largo de 100 años terrestres, el
corrimiento (descontado el efecto de los demás planetas) es de 42
segundo de arco.
Demuestre que con el potencial adicional en (10.252)se puede
explicar ese efecto, en forma aproximada. La demostración final
de este fenómeno quedó completa en 1919, después del eclipse total
de Sobral en Brasil, cuando A. Einstein propuso la teoría general de
la relatividad.
El problema con el potencial (10.252) es que no da el valor nu-
mérico esperado y, además, corresponde a un armónico gravitacio-
nal dipolar que, según se vio, no puede darse en la naturaleza.
La formulación de Hamilton-Jacobi
192
CAPÍTULO 11
EL FORMALISMO HAMILTONIANO
DE LOS FLUIDOS
11.1. Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
Para todo fin práctico, con el capítulo 10 se dio por terminado el mate-
rial para un curso de buen nivel de mecánica analítica (excepto por el
capítulo 8, que trató sobre la dinámica de los fluidos, desde la perspectiva
lagrangiana, y que a lo más puede considerarse como aplicación del for-
malismo de Lagrange por un estudiante de mecánica a nivel posgrado). No
quiere decir esto que con la teoría de las perturbaciones se haya agotado el
tema. ¡Ni mucho menos! La mecánica no ha dejado de progresar. Cada día
nuevas aplicaciones, nuevos métodos y sobre todo, más ideas aparecen
por todo el mundo, que enriquecen aún más este espléndido tema y le
dan nuevas proyecciones. Pero si se trata de dar a un estudiante de física,
de astronomía o de ingeniería un curso que pueda decirse completo, so-
bre este tópico, con las últimas palabras del capítulo 10 el objetivo se ha
cumplido.
Éste, el capítulo 11, es con el cual se cierra otro tema: el del formalismo
analítico para los fluidos. Como expuse en el capítulo 8, nada se había
conseguido hasta ahora en relación con la descripción de estos sistemas
dinámicos llamados fluidos, desde la perspectiva de Lagrange. Más aún,
los más doctos y conspicuos teóricos de esta rama de la ciencia habían
apostado su reputación como tales al, aserto de que es imposible obtener
ecuaciones diferenciales de flujo a partir de un formalismo lagrangiano.
Perdieron. Las ecuaciones para cualquier fluido, junto con las ecuaciones
constitutivas, pude deducirlas a partir de una funcional de acción y un
principio de invarianza, con la ayuda del cálculo variacional. Así pues, el
campo de velocidades de los fluidos ha quedado bien establecido como
un campo físico más, y las ecuaciones diferenciales de flujo como un juego
adicional de ecuaciones de campo.
193
Pero una pregunta que se contesta en la ciencia, lleva a otra que es ne-
cesario contestar también. Así es; así ha sido la ciencia desde aquellos remo-
tos días cuando un hombre dotado de un genio brillante aprendió a hacer
operaciones aritméticas con números muy grandes, en forma mental, y lue-
go entendió la dinámica de las palancas y las levas, de las poleas y los poli-
pastos, allá en la isla de Sicilia de hace más de dos mil doscientos años
[Arquímedes de Siracusa (287-212 a. c.)].
En 1990 conseguí finalmente, tras treinta años de intentarlo, estructu-
rar un esquema cerrado para la mecánica de los fluidos, dentro de la filoso-
fía general de las teorías clásicas de campos. Realmente, los resultados su-
peraron mis expectativas, pues lo que quedó al fin de ese intento fue una
estructura teórica no-dual; esto es, que contiene tanto a las ecuaciones de
flujo como a las ecuaciones constitutivas.
Pero en efecto, cada pregunta respondida me ha llevado una y otra vez a
nuevas preguntas. En este caso la pregunta que surgió, una vez que el for-
malismo de Lagrange quedó completo, fue: ¿qué se puede decir acerca de
la formulación hamiltoniana para los fluidos? Si la mecánica clásica nos ha
mostrado el camino y nos ha enseñado que, después de mirar con los ojos de
un d´Alembert y un Lagrange, aún se puede sacar enormes cantidades
de conocimiento acerca del fenómeno de la dinámica, haciendo ese estu-
pendo cambio de enfoque, y contemplar las cosas desde el escenario del
espacio de las fases y las transformaciones del grupo simpléctico, por qué no
intentar esa misma táctica con los fluidos y tal vez siguiendo ese camino sea
posible entender más profundamente esos sistemas, y algunas de esas ecua-
ciones diferenciales que han resistido hasta la fecha todo intento de reso-
lución pueden caer ante el embate de un nuevo enfoque.
Con este capítulo quiero dar por concluida la etapa estructural del mo-
delo de la mecánica analítica de los fluidos que desarrollé en el capítulo 8.
Quiero presentarte la formulación hamiltoniana comenzado por las ecua-
ciones de Hamilton para los fluidos; con sus ecuaciones constitutivas quiero
mostrarte qué son y cómo funcionan. Deseo hacer ver cuán profundo es el
contenido físico que encierran estas ecuaciones y cómo, de su conocimien-
to, podemos cambiar la imagen que tenemos del mundo. Tengo mucha ilu-
sión de mover tu entusiasmo y tu gusto por este tema, hasta el punto de
(literalmente) “engancharte” en él, para que tú mismo decidas incursionar
en estos tópicos y buscar por tu propia cuenta más detalles sobre el tema.
Como decía, te voy a mostrar en este capítulo las ecuaciones de Hamilton
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
194
para los fluidos, pero no voy a darme por satisfecho nada más con ello. Mi
intención es llevarte por la teoría de las transformaciones canónicas. Esto es
para mí lo que cierra, en efecto, la etapa estructural de la teoría, pero tu
podrías percatarte que de ningún modo cierra el conocimiento. La cantidad
de implicaciones que puede tener este modelo es enorme, tanto desde el
punto de vista de la nueva herramienta que permite el cálculo de una clase
amplia de problemas de flujos, como desde ese otro que puede llevarte a
considerar fluidos ionizados a altísimas temperaturas, como son los plas-
mas; o bien, fluidos relativistas, expresados en el ámbito de un espacio tiem-
po tetradimensional y otros más. La teoría se extenderá ante tu vista y tu
ingenio, ofreciéndote muchas posibilidades.
El formalismo de Hamilton para los fluidos hay que desarrollarlo de la
misma manera como se hizo en los capítulos precedentes para las partícu-
las, es decir, a partir de la funcional de acción, en cuyo integrando se ha
operado una transformación de Legendre. Veamos: si se había postulado
en (8.67) que la acción para los fluidos es la siguiente:
(11.1)
donde, como es costumbre, se ha denotado por � a la densidad de masa,
entendida ésta como un campo pseudo escalar, con peso menos uno; � es
la función lagrangiana específica del fluido, a la cual se supone como una
función suave de sus argumentos: la posición instantánea de cada punto
del fluido x�(t), el campo de velocidades del mismo, el gradiente del cam-
po de velocidades, la densidad de masa �(x�,t), la entropía específica del flui-
do, entendida como un campo escalar �(x� ,t) y el tiempo; esto es:
(11.2)
Las integraciones en (11.1) son temporales, definidas sobre un lapso
determinado a priori por las condiciones iniciales del problema y la inte-
gral de volumen, que debe realizarse, teóricamente, sobre todo el espacio
ocupado instantáneamente por el fluido.
La función W debe entenderse como el trabajo desarrollado por todas
las fuerzas disipadoras que actúan sobre el fluido. En este desarrollo su-
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
195
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
196
pondré que, en ausencia de otros agentes físicos, no-conservadores, las úni-
cas fuerzas de esta naturaleza que se considerarán son las de superficie;
esto es, aquellas de tipo van der Waals que operan a muy cortos alcances,
sobre cualquier superficie del fluido. Estas fuerzas son llamadas tracción en
todos los textos sobre el tema de los fluidos. Se denotan por t� y son tales
que el trabajo desarrollado por ellas entre dos puntos, 1 y 2, es el siguiente:
(11.3)
siendo S el área de la frontera del fluido �V
Como lo mencioné, para desarrollar el formalismo hamiltoniano de los
fluidos, debo escribir a la funcional de acción (11.1) de tal modo que aparez-
ca en ella la función de Hamilton. Ésta la puedo definir, igual que para la
lagrangiana específica se hizo, como una función suavede sus argumentos
(11.4)
que se obtiene de la lagrangiana específica misma, mediante la transforma-
ción de Legendre
(11.5)
siendo p� el momento canónico conjugado, definido, como es costumbre,
de la siguiente manera:
(11.6)
Para que la hamiltoniana específica H sea, en efecto, la transformada de
Legendre de la lagrangiana específica �, debe satisfacer, adicionalmente, la
condición diferencial siguiente:*
* Veáse pp. 14–15 de este libro.
(11.7)
Por lo tanto, de acuerdo con (11.1) y (11.5), la acción de un fluido
cualquiera se puede postular como:
(11.8)
El postulado fundamental de la teoría, después de la funcional de ac-
ción, es el que afirma que el flujo de un fluido cualquiera corresponde a un
valor invariante de la acción. Así que si lo que busco es encontrar las ecua-
ciones diferenciales de movimiento de los fluidos en el espacio euclideo de
tres dimensiones, entonces debo proponer una transformación continua
de coordenadas en este escenario, e imponer la condición de que ante tal
transformación, la funcional de acción (11.8) permanezca invariante.
En particular, me basta con considerar transformaciones infinitesimales
de coordenadas, pues a lo largo de este contexto, una y otra vez he recalcado
que cualquier transformación continua puede generarse a partir de una su-
cesión de transformaciones infinitesimales. Así pues, considero ahora la ley
de correspondencia siguiente:
(11.9)
donde �x� es un infinitésimo de primer grado.
Ante una transformación como la (11.9), todas las funciones de campo
se ven en general afectadas, de manera que la acción (11.8) varía según
la siguiente expresión:
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
197
(11.10)
Desarrollando la expresión anterior y conservando únicamente los
términos hasta la primera potencia en las variaciones, se consigue ahora
lo siguiente:
(11.11)
Una forma rápida de cerciorarse de la validez del resultado anterior es per-
catarse de que en (11.8), el producto de la densidad de masa por el elemen-
to diferencial de volumen es un escalar dm, el elemento diferencial de masa,
y éste es un invariante. La otra forma es recordar que la densidad de masa �
es un campo pseudo escalar, con peso menos uno, de modo que satisface la
forma variacional de la ecuación de balance de masa vista en (8.73):
(11.12)
Por otra parte, el elemento de volumen dV tampoco es un auténtico es-
calar; se trata de un pseudo escalar, con peso más uno, de suerte que su va-
riación es, en efecto
(11.13)
Por lo tanto, al multiplicar (11.12) por (11.13), conservando soamente
términos de primer orden en las variciones, se obtiene lo siguiente:
(11.14)
es decir, que el producto de la densidad de masa por el elemento de volu-
men es invariante ante variaciones. Con esta simplificación se llega de
inmediato a la fórmula (11.11).
Pero recordando la dependencia de la hamiltoniana específica H, dada
en (11.4), y tomando en cuenta que la variación de esta función, por ser
infinitesimal, puede considerarse como un elemento diferencial, entonces,
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
198
de acuerdo con el cálculo diferencial, puede ser desarrollada como se exhi-
be a continuación:
(11.15)
en donde la regla de los índices repetidos opera. En (11.15) el término de en
medio representa las derivadas de la función H con respecto a los gradien-
tes del campo de velocidades, multiplicadas por las variaciones de estos mis-
mos entes. Hay que recordar la notación empleada anteriormente, que
consiste en dibujar una coma después del índice de la componente de v
para representar la derivada de ésta con respecto a las coordenadas; esto es,
(11.16)
En el desarrollo de la variación de la hamiltoniana específica (11.15), el
último término de la derecha es igual a cero, puesto que la entropía especí-
fica es un auténtico escalar y por consiguiente es invariante ante las transfor-
maciones de coordenadas. Realmente el único término que causa un poco
de molestia en ese desarrollo es el que representa a las derivadas de los gra-
dientes de la velocidad. Pero para mi gran ventura (y la tuya también, atri-
bulado lector, que has llegado hasta aquí sin haber enviado este libro a la
pira), en el capítulo 8 hice con todo detalle el desarrollo de un término muy
semejante al que aquí se presenta, de manera que solamente te pido que re-
greses momentáneamente al capítulo referido y repases la lectura de las
fórmulas, desde la (8.87), hasta la (8.97), para que refresques la memoria.
Si así lo has hecho, estarás de acuerdo conmigo que la variación de los gra-
dientes de la velocidad se puede escribir como sigue:
(11.17)
Asimismo, sustituyendo esta fórmula en (11.15) y realizando la integra-
ción de ese término, se obtiene lo que a continuación te presento:
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
199
(11.18)
En (11.18) lo que se ha hecho, es despejar a las variaciones de las coor-
denadas, para dejarlas como los términos linealmente independientes.
Para hacerlo, se usó la integración por partes y el teorema de la divergencia
de Gauss. Debido a este teorema es que la última integración es sobre la
frontera instantánea del fluido.
La otra integración que debo procesar para obtener una expresión que
ya se pueda sintetizar, independientemente de las variaciones, es la que in-
volucra a la densidad de masa. Nuevamente, te pido que consultes el capí-
tulo 8 de este libro y, en particular, recuerdes la fórmula (8.81) a la cual se
llegó en relación con las variaciones de esta entidad del campo. El resulta-
do se puede traducir sin mayor problema a la variación de la hamiltoniana
específica que aquí te muestro en (11.15) y luego se puede integrar por
partes, tal como se hizo en aquel momento con la densidad específica. El
resultado es el siguiente:
(11.19)
en donde hice uso del hecho que la densidad de masa es un pseudo escalar
con peso menos uno y satisface la expresión (11.12).
Ahora, recogiendo todos los términos del desarrollo, puedo mostrarte
el siguiente resultado:
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
200
(11.20)
siendo
(11.21)
el tensor de esfuerzos, generalizado, en términos de la densidad, y los gra-
dientes de la velocidad (11.21) es la expresión generalizada de las ecua-
ciones constitutivas del fluido.
—o—
Nuevamente, igual que en el capítulo 8, cuando se dedujeron las ecuacio-
nes diferenciales de Lagrange para los fluidos, aquí también ocurren simpli-
ficaciones en las integrales para la variación de la acción. En primer lugar, el
coeficiente de la variación del momento generalizado en (11.20) es idénti-
camente nulo, si en verdad la hamiltoniana específica es la transformada
de Legendre de la lagrangiana específica, tal como se propuso en (11.7). Así,
todos los coeficientes de las variaciones de los momentos, en efecto, son
nulos.
—o—
Por otra parte, el tensor de esfuerzos generalizado, tal como se ha definido
en (11.21) y tal como aparece en (11.20), va a simplificarse con la integral
para el trabajo no conservador. Para demostrar este aserto hay que recor-
dar la ley de Cauchy, que establece un vínculo entre el tensor de esfuerzos
de un fluido y su campo de vectores de tracción, responsable de las fuerzas
superficiales de corto alcance. En efecto, de acuerdo con la ley de Cauchy
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
201
(11.22)
donde ti son las componentes del vector de tracción y nk son las del vector
unitario, normal en cada punto de la superficie del fluido y en cada ins-
tante. Tomando en cuenta esta expresión, se tiene que:
(11.23)
en donde se ha hecho uso del hecho de que el elemento vectorial de su-
perficie se puede descomponer en el producto
(11.24)
se ha utilizado en todo momento la regla de suma sobre los índices repe-
tidos.
Ahora el producto escalar del vector de tracción, por el desplazamiento
�x� integrado sobre toda la superficie frontera instantánea del fluido, se
puede identificar sin mayores remilgos, como el trabajo desarrollado por las
fuerzas (no-conservadoras) de superficie, que actúan sobreél durante un des-
plazamiento infinitesimal (es decir, durante un flujo infinitesimal). Por lo
tanto, de acuerdo con (11.23), ahora puedo escribir lo siguiente:
(11.25)
Así, las dos integrales, al extremo de la derecha de (11.20), también se
cancelan. Lo único que sobrevive a esta masacre matemática es entonces la
integral
(11.26)
Pero si la acción ha de permanecer invariante, tal como lo exige el postu-
lado que establecí anteriormente, entonces también esta integral debe ser
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
202
igual a cero. Solamente que ahora, para que esta afirmación se cumpla, se
puede invocar a la independencia lineal de las tres componentes de la varia-
ción de la posición en (11.26). Como consecuencia de ella, se consigue
finalmente el resultado deseado:
(11.27)
Estas expresiones, junto con las condiciones diferenciales sobre H, para
garantizar que sea en verdad la transformada de Legendre de la lagrangiana
(11.28)
constituyen un sistema de seis ecuaciones diferenciales, las llamadas ecua-
ciones de Hamilton de los fluidos. Estas ecuaciones diferenciales son una
forma alternativa que ahora se nos presenta para atacar y resolver proble-
mas relativos al flujo de fluidos.
La estrategia es la misma que para la mecánica analítica de fluidos es-
tudiada en el capítulo 8: debemos proponer una función hamiltoniana que
represente al fluido que estudiamos. Se trata de una función escalar que es
necesario establecer para echar a andar la maquinaria hamiltoniana. Una vez
en posesión de tal función, lo demás es, como se dice comúnmente “cues-
ta abajo”, porque lo que hay que hacer en seguida es, por una parte, calcu-
lar el tensor de esfuerzos para esta función, de acuerdo con (11.21); por la
otra, sustituyendo la hamiltoniana específica en las fórmulas (11.27) y
(11.28), se establece un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, tres
para las derivadas de la posición y tres para las derivadas de las componen-
tes del momento del fluido. Estas son las ecuaciones diferenciales de flujo
del fluido. Como resultado de su integración se encuentran, después de
haber establecido las condiciones iniciales y de frontera pertinentes, los si-
guientes resultados:
(11.29 a)
(11.29 b)
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
203
que son las ecuaciones de movimiento para todos y cada uno de los puntos
del fluido, en la descripción de Lagrange. Si se desea pasar a la de Euler, lo
único que es necesario hacer es recordar la equivalencia que se estableció en
(8.15) entre el campo de velocidades del fluido y la velocidad instantánea
de cada punto material del mismo con esta equivalencia puedo muy bien
reescribir a las ecuaciones de Hamilton como sigue:
(11.30 a)
(11.30 b)
Una vez que se integra el sistema (11.30) y se imponen las condiciones
iniciales y de frontera pertinentes, se obtienen las tres componentes del
campo de momentos del fluido. Llegar a este punto significa haber resuel-
to el problema de flujo.
Para ensayar un poco sobre el manejo de esta formulación, considero
ahora el caso del fluido perfecto. Este es, como ya viste en el capítulo 8,
un fluido que no existe en verdad en la naturaleza, pero para nuestra fortu-
na, casi todos los fluidos del mundo se comportan, al menos aproximada-
mente, como si fueran perfectos. Quiero decir con esto que sus términos
líderes, cuando se representan sus flujos, son los del fluido perfecto. Por lo
tanto, no tiene nada de ocioso estudiar este ejemplo, aunque sea un caso
ideal.
Tal vez para mostrarte toda la secuencia de consideraciones que es nece-
sario hacer para resolver este problema quizá sea conveniente comenzar
con la formulación lagrangiana, que seguramente estudiaste en el capítu-
lo 8. Allí, en la fórmula (8.119) pudiste ver cómo la lagrangiana específica
para el fluido perfecto se escribe de la siguiente manera:
(11.31)
donde �(x�) representa la función potencial debida a las fuerzas conser-
vadoras que actúan sobre el fluido y e debes entenderla como la energía
interna específica del mismo. Esta función depende únicamente de la den-
sidad de masa � y de la entropía específica �. En el caso de sistemas multi-
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
204
componentes esta función debe considerar a las especies químicas que con-
stituyen el fluido.
Ahora, el momento generalizado, canónicamente conjugado a las coor-
denadas (cartesianas) de este fluido, se obtiene con la derivada de la lagran-
giana específica (11.31), con respecto a las componentes de la velocidad;
esto es
(11.32)
El resultado (11.32) nos indica que momentos y velocidades son la mis-
ma cosa, lo cual era de esperarse, pues no debes olvidar que hemos maneja-
do únicamente funciones específicas, donde las masas han sido excluidas.
Así, en esta descripción, la velocidad y los momentos son iguales. Con esta
definición, haciendo una transformación de Legendre, se encuentra ahora
la función hamiltoniana específica, de acuerdo con la expresión (11.5):
(11.33)
Siguiendo el esquema teórico que he propuesto en este capítulo, es el
momento de obtener dos productos de esta función. En primer lugar, po-
demos calcular con ella el tensor de esfuerzos para los fluidos perfectos;
para hacerlo, debemos sustituir (11.33) en la fórmula general (11.21). Se
trata de una cuestión sumamente sencilla, puesto que la hamiltoniana es-
pecífica (11.33) no depende de los gradientes del campo de velocidades;
entonces,
(11.34)
Pero en el mismo capítulo 8 se demostró en (8.114 b) que al derivar la
función energía específica e con respecto a la función densidad de masa,
tal como se ha obtenido en (11.34), lo que se obtiene es la función presión;
esto es,
(11.35)
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
205
de modo que en este caso, de acuerdo con (11.34) y la definición (11.35)
para la función presión del fluido, se obtiene lo siguiente:
(11.36)
Este es un primer resultado importante, pues ha aparecido que, en efec-
to, las ecuaciones constitutivas para un fluido perfecto, tal como se sabe de
los tratados elementales, son las que se expresan en (11.36).
El segundo producto al que se llega de inmediato, a partir de la función
(11.33), así como del resultado (11.36), se obtiene sustituyendo estas
expresiones en las ecuaciones de Hamilton (11.27) y (11.28):
(11.37)
(11.38)
De éstas, las expresiones (11.38) nos indican que, en la descripción de
Lagrange, la velocidad instantánea de las partículas del fluido es equivalen-
te al momento generalizado. Esta fórmula es la alternativa, en la formula-
ción hamiltoniana, de aquella que se obtuvo cuando te demostré la teoría
de las representaciones de los fluidos, en (8.15).
Las ecuaciones (11.37), por su parte, ya son viejas conocidas de nosotros,
pues habrás identificado en ellas, de inmediato, a las expresiones diferencia-
les de Euler para los fluidos perfectos
(11.39)
cuando la fuerza de cuerpo que urge al fluido es conservadora.
Ahora, pasando a la descripción de Euler para las ecuaciones diferencia-
les de flujo, en el formalismo de Hamilton se obtiene:
(11.40)
de donde se llega de inmediato a una de las más famosas ecuaciones de la
mecánica de los fluidos: la ecuación o ley de Bernoulli:
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
206
(11.41)
No hay que confundir en (11.40) y (11.41) el módulo cuadrado del
vector momento con el campo de presiones. Se usa la misma literal para
ambos, pero en el primer caso tiene el signo de vector.
En general, las ecuaciones de Hamilton para los fluidos sin viscosidades
se pueden escribir como sigue:
(11.42)
con las condiciones,
(11.43)
(11.44)
En este punto podemos establecer una nueva definición que puede ser
de utilidad más adelante. Si recordamos que la hamiltoniana específica tie-
ne como uno de sus elementos a la función de energía interna específica, y,
por hipótesis, ésta a su vez depende de la densidad de masa y de la entropía
específica, entonces se puede proponer, y así lo haremos aquí, un paráme-
tro, al que llamaremos la temperatura del fluido,que se define como:
(11.45)
En los párrafos previos a este tema, para mostrarte cómo funciona esta
“maquinaria” matemática del formalismo de Hamilton para los fluidos,
propuse, primero, una función lagrangiana específica en (10.31) y de ella,
haciendo la transformación de Legendre pertinente, encontré la hamil-
toniana específica para el fluido perfecto. Establecer una función de estado
dinámico, bien sea la función de Lagrange o la de Hamilton, es lo que a
muchas personas les desagrada de los formalismos lagrangianos y hamilto-
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
207
nianos en general. Estas personas arguyen, y no sin razón, que ese acto de
imponer funciones de estado es contrario al método científico, ya que no
está fundamentado en otra razón que la imposibilidad de hallar, dentro del
propio modelo teórico que se trata, un criterio, un procedimiento para pro-
poner, de manera lógica, estos entes que son indispensables.
Bueno, frente esta opinión hay básicamente dos posiciones: la primera
es la de comparar, por así mencionarlo, dos males y defender uno contra el
otro, aduciendo a que es menor. Es decir, si nos dicen que es malo imponer
una lagrangiana o una hamiltoniana por la fuerza, y sin otra razón que
“porque si”, así como papá nos dijo alguna vez que hizo tal o cual cosa “por-
que soy tu padre”, entonces podemos afirmar que lo mismo se hace en la
mecánica clásica de Newton con las fórmulas para la fuerza.
En efecto, las llamadas ecuaciones constitutivas en general se imponen,
y su única razón de ser es que funcionan. No hay otra cosa que las respal-
de que no sean argumentos heurísticos o razones a posteriori ¡exactamente
igual que con las lagrangianas o las hamiltonianas! Lo que pasa es que du-
rante tantos años hemos trabajado con la mecánica de Newton, y tanto
nos han llevado y traído las fórmulas para la fuerza del resorte, o para la in-
teracción gravitacional, que ya hemos llegado a sentir (no pensar, sino
sentir), que son absolutamente naturales y obvias.
Por el otro lado, la mecánica analítica de Lagrange o la de Hamilton son
aún novedosas y poco tienen en común con la de Newton, a excepción, ¡cla-
ro está!, que conducen a resultados equivalentes. Por ello aún no nos acos-
tumbramos a su estructura y nos resulta de pronto muy chocante que
para echar a andar esta maquinaria teórica debamos buscar, hurgar en nues-
tro criterio y nuestro sentido común, alguna expresión que nos ayude a re-
presentar correctamente un determinado sistema dinámico.
La segunda posición que se puede tomar ante esta situación, consiste en
disminuir tanto como sea posible el ingrediente de “irracionalidad” o de
“brutalidad”, si se quiere llamar de alguna manera al acto de imponer una
expresión para estas funciones de estado y buscar dentro de la propia es-
tructura argumentos para la construcción de ellas. Así, si la teoría nos per-
mite acercarnos a las funciones lagrangianas o hamiltonianas a tal punto
que su forma general y algunos de sus detalles más importantes puedan
ser conocidos a priori, el asunto de imponer con todas menudencias, con
todas sus letras, sus constantes, sus potencias y sus signos, será un mero trá-
mite menor; sobre todo si el “retrato” hablado de la función ya quedó esta-
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
208
blecido a partir de la propia teoría. Esto es lo que hemos venido haciendo
en la mecánica de los fluidos.
Hemos visto que las ecuaciones constitutivas, esas expresiones tensoria-
les que son funciones de otras variables escalares, vectoriales y tensoriales
que forman la base de la mecánica de fluidos, y sin las cuales simplemente
nada se puede hacer, ya no es necesario confeccionarlas empíricamente so-
bre la base de la experiencia o el sentido común; o aún peor, ateniéndonos
a nuestra buena suerte e implorando al Altísimo que nos ilumine y guíe
nuestra pluma para escribirla acertadamente; esas expresiones ya no más
serán dolores de cabeza, pues ahora, con esta formulación, basta con una
función escalar, una sola para cada caso, para que tanto las expresiones
para el tensor de esfuerzos como las ecuaciones diferenciales de flujo se
puedan establecer de una sola vez.
A lo que quiero llevarte con este relato, es que dentro del modelo que aquí
te he venido descubriendo también hay un conjunto de razonamientos for-
males que nos permiten, en efecto, acercarnos muchísimo a la función ha-
miltoniana, de modo que el acto final de escribirla sea una consecuencia
inmediata, directa y lógica de las deducciones que llevaron a su proposición.
Para continuar en esta dirección, considera ahora las definiciones (11.44)
y (11.45). Son, ni más ni menos que eso: dos definiciones; una para esa en-
tidad a la que ya desde el capítulo 8 la había definido como la presión y la
otra es para la temperatura. Tal vez puedas pensar que estoy forzando las co-
sas demasiado al llamar a una “presión” y a la otra “temperatura”. Si así te
parece, no tomes en cuenta estos nombres y simplemente acompáñame en
el siguiente razonamiento: la expresión (11.44) se puede procesar algebrai-
camente como sigue:
(11.46)
Pero hay un sencillo teorema del álgebra y el cálculo que nos permite es-
cribir lo que aparece en el miembro de la derecha de (11.46) en una forma
diferente:*
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
209
* Si tenemos una expresión de la forma
(11.47)
así que con la ayuda de este resultado puedo escribir nuevamente la expre-
sión (11.50) de la siguiente forma:
(11.48)
Este resultado implica que
(11.49)
es decir, que la hamiltoniana específica se puede descomponer en una fun-
ción H1 que ya no depende de la densidad, y una integral como la que apa-
rece en el extremo de la derecha de (11.49).
Ahora, considerando la definición (11.45) y realizando un procedimien-
to muy parecido al que seguí con (11.44), puedo demostrar que
(11.50)
en donde he hecho uso, nuevamente, del mismo teorema al que hice men-
ción anteriormente. Por lo tanto, en estas circunstancias estarás de acuerdo
conmigo que se puede escribir que
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
210
también se puede escribir en otra forma, equivalente a la anterior:
así que igualando miembro a miembro se demuestra que
(11.51)
siendo H2 una función desconocida que, al menos puedo afirmar, no de-
pende de la entropía específica.
Comparando (11.49) y (11.51) se ve ahora que la hamiltoniana especí-
fica es una función que puede descomponerse como sigue:
(11.52)
donde e(�,�) está dada por
(11.53)
o bien en forma diferencial:
(11.54)
Así, la hamiltoniana específica de un fluido sin viscosidades se puede des-
componer en dos partes bien distintas. La primera, una hamiltoniana de un
sistema de partículas que se mueven individualmente, ajenas a las demás,
bajo la acción de los agentes físicos externos y tal vez debido también a los
choques que sufren unas con otras. Esta función recibe el nombre de hamil-
toniana incoherente, y no es porque la información que posee no sea ordena-
da o sensata, sino porque describe un sistema dinámico sin coherencia inter-
na. Esta es la función que ha sido escrita en (11.52) como H0.
La segunda parte en que ha sido partida la hamiltoniana específica, según
se puede observar en (11.52), es una función e que, al igual que las demás en
esa expresión, posee unidades de energía por unidad de masa. Esta función
tiene una estructura muy familiar para todos nosotros, se trata de la energía
interna específica del fluido. Su forma diferencial en (11.54) nos sugiere la
ecuación fundamental de la termodinámica para un sistema homogéneo y
con una sola componente, que se halla en equilibrio químico.*
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
211
* Véase, por ejemplo, Callen, H. B., Thermodynamics, John Wiley, 1960, p. 32.
Como la hamiltoniana específica de un sistema de partículas se conoce
muy bien de la mecánica de Hamilton, entonces, a partir del razonamien-
to anterior, se conoce la forma que debe tener nuestra función para un flui-
do sin viscosidades:
(11.55)que es, ni más ni menos, la función (11.33) que se utilizó para mostrar el
ejemplo del fluido perfecto.
Pero si la hamiltoniana específica puede separarse en dos partes, tal como
demostré en (11.52), entonces, de (11.37), las ecuaciones de Hamilton
son de la siguiente forma:
(11.56)
sujetas a las condiciones diferenciales
(11.57 a)
(11.57 b)
No es difícil percatarse ahora que las ecuaciones (11.56) pueden a su
vez ser separadas, de modo que por una parte tengamos las expresiones
que se refieran al sistema incoherente de partículas, en tanto que por la otra
parte expresemos las correspondientes ecuaciones de la parte puramente
termodinámica del fluido que aquí comienza a aparecer. Así, las ecuaciones
(11.56) se separan en dos partes:
(11.58)
que, con la otra terna de ecuaciones diferenciales (11.38)
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
212
(11.59)
forman el sistema de ecuaciones de Hamilton para un sistema de partícu-
las que se mueven sin cohesión interna, debido a las fuerzas conservado-
ras y no conservadoras que los urgen. Estas últimas están representadas
por Qi que, como sabemos, cumple el rol de una fuerza generalizada disi-
padora.
Por lo tanto la otra parte, la de naturaleza termodinámica de los fluidos
no-viscosos, se manifiesta a través de las ecuaciones (11.57 a) y (11.57 b),
así como por las ecuaciones siguientes:
(11.60)
Si se utiliza ahora el resultado que obtuve en (11.53) o (11.54); donde
se observa que la energía interna específica del fluido depende de la densi-
dad y de la entropía específica únicamente, entonces puedo demostrar sin
dificultad que
(11.61)
donde podemos percatarnos que la dependencia en las coordenadas sola-
mente se da en la energía interna específica, a través de los dos paráme-
tros mencionados. Pero, de acuerdo con (11.57)
(11.62)
Del mismo modo puedo desarrollar el término en el gradiente de la pre-
sión que aparece en el miembro de la derecha de (11.60):
(11.63)
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
213
Para tener completo este desarrollo, permíteme por favor una licencia,
dame la ocasión de expresar a la fuerza generalizada disipadora de la siguiente
forma:
(11.64)
siendo � alguna función, aún desconocida, a la cual voy a suponer con-
tinua y con derivadas continuas de las coordenadas, a través de los dos
parámetros termodinámicos; esto es:*
(11.65)
de tal suerte que
(11.66)
Ahora sí, con estas consideraciones puedo regresar a las ecuaciones
(11.60). Sustituyendo en ellas los desarrollos (11.62), (11.63) y (11.66), y
agrupando, obtengo de inmediato que
(11.67)
De manera que, invocando ahora a la independencia lineal de los
parámetros termodinámicos, obtengo dos expresiones diferenciales que
deben ser satisfechas por esa misteriosa función propuesta en (11.65):
(11.68)
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
214
* En este desarrollo voy a suponer que el fluido sin viscosidades que estudio, fluye en es-
tado estacionario. La razón de esta hipótesis es que con la introducción del tiempo no deseo
hacer las demostraciones más complicadas.
(11.69)
De (11.68) obtengo sin mayor fatiga que
(11.70)
pero sustituyendo en el miembro de la izquierda de (11.69) el resultado
(11.70) que obtuve de la integración en �, consigo ahora lo siguiente:
(11.71)
simplificando, puedo ahora integrar
(11.72)
Finalmente, si en efecto el miembro de la izquierda y el miembro de la
derecha de (11.72) son compatibles, entonces la temperatura del fluido es
un campo que debe tener una estructura general como la siguiente:
(11.73)
siendo 	(�) alguna función, por el momento desconocida, de la entropía
específica.
La ecuación diferencial (11.69), por su parte, me ofrece un poco más di-
ficultad. Sin embargo, este obstáculo también lo puedo remontar rápida-
mente si acudo a la idea de que la energía interna específica e es una función
que debe satisfacer la condición de integración de Cauchy:
(11.74)
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
215
De esta forma, recordando (11.57 a y b), encuentro de manera expedi-
ta que
(11.75)
Este resultado no es otra cosa que la primera relación de Maxwell de la
termodinámica. Con él, sustituyendo (11.75) en (11.69), obtengo una
ecuación mucho más sencilla y sugestiva:
(11.76)
Por lo tanto, sustituyendo (11.73) en (11.76) se encuentra que
(11.77)
o integrando (11.77) se infiere que
(11.78)
Así, aquella función que se introdujo en (11.65) ha quedado parcial-
mente definida en términos de funciones simples.
Si se compara este resultado (11.78) con aquel otro obtenido en (11.70),
y con la ayuda de (11.72) y (11.73), se ve que la función general para la
presión, para un fluido sin viscosidades como el que aquí he tratado, que
fluye en estado estacionario, es la siguiente:
(11.79)
Y una vez obtenidas las expresiones (11.73) y (11.76), para la tempera-
tura y la presión del fluido sin viscosidades, puedo expresar igualmente
la función energía interna específica, dada en (11.53), como dos integrales
en términos de la función 	(�):
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
216
(11.80)
Conocidas esas dos funciones, el problema de la termodinámica de los
fluidos sin viscosidades queda totalmente definida.
En la década de 1940, Albert Einstein (1879-1955) viajó en varias oca-
siones a Cuba para visitar a un antiguo amigo, un médico cubano, cuyo
nombre ya se ha borrado de mi memoria. En uno de esos viajes, al descen-
der del avión que lo traía de Princeton, E.U.A., una multitud de reporte-
ros y fotógrafos se lanzó hacia tan ilustre visitante para hacerle preguntas y
cubrir con sus repuestas la nota de ciencia de sus respectivos periódicos.
La mayoría de las preguntas que allí, al pie de la escalerilla del avión, le dis-
pararon al genio eran insulsas y meramente formales: que cuánto tiempo
permanecería en la bella isla caribeña, o quién era la persona con la que se
entrevistaría y cuáles serían los trabajos científicos que realizarían. Hubo
también preguntas capciosas e impertinentes, como aquella que una jo-
ven reportera que trabajaba para una revista cubana de chismes sociales le
espetó: ¿por qué no usa usted calcetines?, ¿tampoco se los puso para la cere-
monia del premio Nobel?, ¿nunca se peina porque tiene caspa?, a todas ellas
contestó el viejo con su sonrisa afable y su faz bonachona. Pero hubo allí un
reportero que hizo algunas preguntas muy agudas y que denotaban un co-
nocimiento fuera de lo común en asuntos de ciencia. De entre aquella mu-
chedumbre que como un enjambre atosigó al físico durante interminables
minutos, mientras él se dirigía sudoroso y apresurado a la sala del aeropuer-
to de La Habana, ese hombre de tez morena y mirada inteligente se hizo es-
cuchar, elevando la intensidad de su voz por encima de las demás y le lan-
zó como un dardo la cuestión: “Profesor Einstein, ¿no le parece a usted muy
extraño que, siendo todas las teorías físicas existentes de carácter dualista,
la que usted propuso, la teoría de la relatividad generalizada, sea, por el
contrario, no-dualista? ¿No cree usted que ese signo tan singular sea un ele-
mento de debilidad de su teoría frente a todas las demás? Einstein detuvo
su marcha, dejó su equipaje en el suelo y se volvió sobre sus talones para en-
frentar a aquella persona que lo había cuestionado. Lo miró directamente
a los ojos con esos sus ojillos brillantes y traviesos, y le contestó algo como
lo siguiente: “mi teoría, jovencito, la teoría generalizada de la relatividad, es,
en efecto, un modelo no-dualista, como usted muy acertadamente me lo
señala. Sin embargo no es la única que exhibe este rasgo. La más bella de to-
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
217
das las teorías físicas que genio alguno ha desarrollado hasta nuestros días,
es también no-dualista. Me refiero, por supuesto, y probablemente usted
ya lo había olvidado, a la termodinámica clásica; ese estupendo modelo
desarrollado por Gibbs y otros en la segunda mitad del siglo xix, hace
cerca de un siglo”. El reportero anotó cada palabra del anciano ydesapare-
ció entre la multitud. Esa semana apareció el reportaje que le dio la vuelta
al mundo en unas cuantas horas.
Déjame ahora explicarte aquello que ocurrió en el aeropuerto de La
Habana, Cuba, hace ya muchos años. Para comenzar tengo que aclararte
que las teorías científicas, todas las teorías, para su construcción y estruc-
turación necesitan, como las casas, de cimientos. Estos son un conjunto
de postulados básicos sobre los cuales inductivamente se levanta el edifi-
cio teórico. Como ya sabes muy bien, los postulados tienen dos caracte-
rísticas importantísimas: por una parte, son indispensables; ninguna teoría
puede construirse sin postulados. Por la otra, no es posible demostrarlos;
esto debe ser claro para ti. Si un postulado o un conjunto de ellos pudiera
ser demostrado, significaría que esos axiomas, a su vez, pueden explicarse
en términos de otras afirmaciones o negaciones aun más profundas, más
fundamentales; en tal caso ya no serían aquéllos en verdad los postulados,
sino esos otros, los realmente básicos, los que soportan a toda la estruc-
tura teórica. La ciencia está, pues, construida, toda ella, sobre asertos que
no es posible demostrar. Por su propia naturaleza los postulados de una
teoría, bien sea que se acepten sin remilgos, en cuyo caso se accede a la teo-
ría en su totalidad, para bien o para mal; o bien se rechazan, con lo cual
se rechaza a todo el modelo que de ellos se sigue. Esta es la gran libertad
que te da la ciencia: la tomas o la dejas, es tu soberana opción.
Pues bien, resulta que las teorías físicas, para su construcción y opera-
ción, en general requieren no de un juego de postulados, sino de dos. En
efecto, casi todas, a excepción de la relatividad generalizada, son dualis-
tas. Un juego de axiomas se destina a proponer las ecuaciones diferenciales
fundamentales del modelo y otro se impone para hacerlo funcionar, bajo
el rubro de ecuaciones constitutivas.
Como vimos al principio de esta obra, para construir la mecánica clási-
ca, Newton estableció sus leyes, las cuales conducen a las ecuaciones básicas
de la teoría:
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
218
Pero también te hice ver que todas estas expresiones son inútiles a
menos que las alimentes con ecuaciones constitutivas, que en el caso de
la gravitación newtoniana, por ejemplo, son las siguientes:
Las ecuaciones de Newton y las ecuaciones constitutivas son dos juegos
de postulados. Esto significa que para proponer, por ejemplo, la fórmula de
la gravitación universal, no es necesario tomar en cuenta los axiomas de la
mecánica, como tampoco es preciso tener en cuenta la gravitación a la hora
de establecer la ley de torcas y momento angular. Es cierto que una vez des-
plegado el modelo no va a ser posible volverlo operativo sin la concurren-
cia de ambos juegos de reglas básicas, pero a la hora de construirlo ambas se
postulan de manera independiente. Estas son las teorías dualistas a las que
hizo alusión aquel joven reportero cubano cuando entrevistó a Einstein en
el aeropuerto de La Habana.
En efecto, no sólo la mecánica clásica es dualista, como puedes ver en
este momento. También la teoría electromagnética de Maxwell es dualista,
pues una cosa es establecer el juego de ecuaciones que llevan el nombre de
este ilustre científico británico y otra muy distinta es hacerlo funcionar con
proposiciones matemáticas acerca de las distribuciones de cargas y corrien-
tes eléctricas en el espacio. Aquéllas no pueden operar sin éstas; ambos
conjuntos de proposiciones son independientes, pero indispensables, para
plantear y resolver problemas de ese ámbito de la ciencia. 
La teoría de la relatividad generalizada, por el contrario, requiere de un
solo juego de postulados. Con él se establecen tanto las ecuaciones del campo
Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos
219
gravitacional como las ecuaciones de las trayectorias de los cuerpos en dicho
campo. Se trata de una tautología, un juego que se juega comenzando en cual-
quier parte de la teoría y se concluye en el punto de partida. No me pidas, por
favor, que te explique esta teoría, pues ello nos llevaría muy lejos del objetivo
que me he propuesto, así que permíteme simplemente llegar hasta aquí.
Debo confesarte que por muchos años pensé que la termodinámica
clásica, al igual que la mecánica o el electromagnetismo, era una teoría
dualista. De hecho, todos los libros de texto y de consulta acerca del tema
así lo implican. En todos ellos se explica que una cosa es la ley cero, o la
primera o segunda ley de la termodinámica, con las cuales se estructura
y se construye este formidable edificio, y otra muy diferente es la propo-
sición que se hace de las ecuaciones de estado de las sustancias que expe-
rimentan procesos termodinámicos.
Si cualquier mortal me hubiera dicho de pronto que la termodinámica
clásica es una teoría no-dualista, que contiene, por lo tanto, todos los ele-
mentos necesarios para su conformación y su funcionamiento, en un solo
juego de postulados básicos, sin mayor trámite lo hubiera mandado a
paseo con una palmada en la espalda y el consejo de abrir algún buen libro
de termodinámica, desempolvarlo y repasar lo que ahí esta escrito para re-
frescar la memoria y aclarar el pensamiento.
Pero da la casualidad que quien afirmó aquello no es un simple mamífe-
ro bípedo implume y con la cabeza más o menos en alto, sino quien ha sido
el pensador señero de la física del siglo xx, así que no hay que tomar a la lige-
ra ese comentario que se hizo hace ya muchos ayeres, en el aeropuerto de La
Habana, ante un espabilado reportero de una perdida columna de ciencia
y tecnología, de un ignoto diario cubano.
Pensando un momento acerca del resultado (11.80) que acabo de mos-
trarte, hay dos conclusiones de gran importancia que se deducen de él in-
mediatamente. La primera que quiero mostrarte, tiene que ver con el hecho
de que
(11.81)
viene a ser la transformada de Legendre de la energía interna específica
cuando el kernel es el producto que aparece en el extremo de la izquierda
de (11.81). Por una parte, este kernel en realidad viene a ser lo siguiente:
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
220
El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos
221
(11.82)
como puedes ver de la definición (11.57 a). Por otra parte, la función que
aparece en el miembro de la derecha de (11.81), es la llamada entalpía
específica del fluido. Pues bien, de la definición (11.81), de acuerdo con
(11.82), es que para el caso de un fluido perfecto la entalpía específica
siempre es nula. Si recuerdas que la entalpía es una medida de la cantidad
de calor que es aprovechable en un proceso termodinámico, entonces debo
concluir que un fluido perfecto, al fluir, no genera calor aprovechable.
Pero esto no es todo, sustituyendo (11.73) en (11.79) se puede reescribir
la ecuación de estado general para un fluido perfecto de la siguiente manera:
(11.83)
así que todo depende de la función 	(�), definida en (11.73), para escribir
explícitamente esta ecuación de estado. Por ejemplo, si se propone que
(11.84)
se obtiene de inmediato en la integración de (11.83) que
(11.85)
siendo p0 alguna presión de referencia y R la constante del gas ideal del
fluido que se trata. Así, la tautología en verdad se da con la termodiná-
mica, tal como lo mencionó aquella vez el viejito de la pipa y el cabello
alborotado.
11.2. El espacio de las fases de los fluidos perfectos
Bueno, creo que con todo este discurso, a estas alturas más bien por tedio o
por cansancio, debes estar ya suficientemente reblandecido con tus escrúpu-
los científicos y tal vez tu actitud ya sea la de decir que sí a todo lo que yo
afirme, así nomás, sin mayor análisis… o tal vez ya tu disgusto haya llega-
do al extremo de lanzar este libro por la ventana y no volverlo a ver. Ojalá
no sea verdad ninguna de las dos cosas. Lo que ocurre es que no podía de-
jar pasar la ocasión de mostrarte cómo es que la termodinámica surge de las
mismas ideas motoras que me han impulsado a investigar acerca de los flui-dos, desde la perspectiva de la mecánica analítica de Lagrange y Hamilton.
Y no sólo esto, sino que, en efecto, todo parece apuntar en la dirección de
una tautología; esto es, un modelo teórico completo a partir de un solo
juego básico de postulados.
Pero tengo que terminar con todo este material que traigo en mi cabeza
para ti. Si me has seguido hasta este punto, creo que estarás de acuerdo
conmigo que es el momento de explorar de nueva cuenta a los fluidos, pero
ahora desde el enfoque del espacio de las fases.
Debemos pisar con cuidado, pues ahora nos encontraremos con un te-
rritorio totalmente virgen, cuya orografía desconocemos por completo.
Debemos ser cautos y no dar un paso sin haber recorrido con nuestra mira-
da todos los alrededores, so pena de caer de bruces.
Para comenzar, vamos a restringir nuestra búsqueda a los fluidos perfec-
tos. Sería demasiado que así, de entrada, nos lanzáramos a esta excursión
cargando todo el equipaje. Hay que aligerar un poco para hacer la marcha
más ágil y segura.
Así que nuestro punto de partida deben ser las ecuaciones de Hamilton
para un fluido sin viscosidades:
(11.86 a)
(11.86 b)
con las definiciones adicionales
(11.87 a)
(11.87 b)
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
222
para la presión y la temperatura, respectivamente.
En alguna de las secciones anteriores de este mismo capítulo te hice
ver cómo es que este juego de ecuaciones puede servirnos para estudiar a
los fluidos perfectos, tanto desde el punto de vista de la descripción de
Euler, considerando a los momentos pi como campos físicos, como des-
de la imagen de Lagrange, donde pensamos en puntos materiales que se
mueven en el espacio físico tridimensional, bajo la acción de los agentes
que los urgen. Pues bien, así, de entrada, debo decirte que si estamos den-
tro de la descripción de Euler del fluido, no podemos considerar espacio de
fases alguno para este sistema. La razón es obvia: si los momentos o las
velocidades son campos físicos, entonces dependen de la posición (y del
tiempo), de manera que, momentos y coordenadas NO forman un conjun-
to de variables linealmente independientes. Por el contrario, los momentos
dependen de las coordenadas, haciendo que el único espacio en el cual se
puede hacer la descripción del fluido es ese: el espacio euclídeo de tres di-
mensiones, ni más ni menos.
Entonces, si estamos interesados en describir la conducta de los fluidos
desde el espacio de las fases, como entrada tenemos que considerarlos en
la descripción de Lagrange. Dentro de este escenario, coordenadas y mo-
mentos son un conjunto de seis variables linealmente independientes. En
esta descripción las ecuaciones de Hamilton (11.86) forman un sistema
de seis ecuaciones diferenciales ordinarias, acopladas de primer orden,
inhomogéneas.
Lo primero que debemos hacer, después de adoptar la visión lagrangia-
na de los fluidos, es homogeneizar las ecuaciones (11.86) antes de proseguir
adelante. Para hacerlo, introduzco aquí, para tu consideración, una nueva
función a la que llamaré en adelante la función hidrodinámica generaliza-
da; sea ésta lo siguiente:
(11.88)
Con esta función, las ecuaciones diferenciales (11.86) se pueden rees-
cribir, en efecto, en una forma mucho más compacta, como puedes
constatarlo, si sustituyes la definición (11.88) en aquéllas; lo que obtie-
nes es:
El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos
223
(11.89 a)
(11.89 b)
Estas son, empero, las ecuaciones de Hamilton para partículas que se
mueven por el espacio bajo la acción de agentes conservadores. Su forma
es exactamente la misma que se usa en la mecánica de partículas. La única
excepción aquí, es que se trata de una función de estado que no coincide
totalmente con la hamiltoniana clásica.
De ahora en adelante desarrollaré la mecánica del fluido sin viscosida-
des, en la descripción de Lagrange y dentro del formalismo de Hamilton,
enteramente en términos de la función hidrodinámica generalizada.
Partiendo de la funcional de acción propuesta en (11.8), con la singu-
laridad de que ahora imaginaremos desde un principio que estamos en el
espacio de las fases del fluido, podemos proponer que
(11.90)
En este espacio recordarás que basta con establecer un punto como con-
dición inicial. Por ello, ahora las integrales temporales están semi definidas,
en un instante t0 inicial, pero las he dejado abiertas en el otro extremo, asig-
nando algún instante t que debo considerar como un parámetro variable.
Supón ahora que ocurre una transformación continua de coordenadas,
me refiero a algún mapeo en el espacio fásico de seis dimensiones. En par-
ticular puedo considerar una transformación infinitesimal
(11.91)
Todas las funciones que describen el estado dinámico del fluido cambian
por virtud de esta transformación, así que comparando la acción antes, con
la acción después de esta transformación del espacio de fases del fluido, tene-
mos que
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
224
(11.92)
Ahora integrando por partes el segundo término de la derecha en
(11.92), así como desarrollando la variación de la hamiltoniana específica
en términos de sus argumentos, obtenemos lo siguiente:
(11.93)
en donde he hecho uso del teorema de Gauss, de la divergencia, para aislar
a la presión, entendida, como es costumbre, como la definición (11.87 a).
El último término a la derecha en (11.93) es lo que ha quedado de la inte-
gración por partes de la variación de la velocidad.
Ahora bien, si se adopta en este punto la definición de la función hi-
drodinámica dada en (11.88), por una parte y por la otra, y se identifica
a la integral cerrada de superficie como
(11.94)
tal como se hizo anteriormente, entonces:
(11.95)
El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos
225
Para avanzar un poco más en este desarrollo, es el momento de hacer
una hipótesis básica, fundamental, que nos permita este paso:
La acción A de un fluido es una propiedad del sistema dinámico mismo.
Se trata de cierta cualidad, cierta entidad física, con realidad objetiva y que,
en efecto, pertenece a este cuerpo, igual que pertenece a un sistema de par-
tículas o a un cuerpo rígido, o incluso a un campo. Es, como ya te mostré
en el capítulo acerca del formalismo de Hamilton, un invariante fundamen-
tal, un objeto que permanece inmutable ante transformaciones de coor-
denadas y momentos en el espacio de las fases.
Como recordarás, la acción es una función del tipo general
(11.96)
por lo tanto, podemos pensar en este punto que la acción del fluido es el
resultado de las contribuciones de todos sus elementos. Así, imaginando un
pequeño elemento diferencial de masa del fluido, éste contribuye a la acción
total con una pequeña fracción
adm,
siendo a(x� ,
� ,t), por supuesto, la acción por unidad de masa de esa pe-
queña porción del cuerpo. Entonces, la acción total A debemos entenderla
como la integral de todas las partes; esto es,
(11.97)
La acción específica a es, a su vez, una función generadora, de clase
F2, que depende de las coordenadas, de los parámetros (de curva) y del
tiempo:
Siendo una función generadora de una transformación canónica,
satisface las condiciones diferenciales
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
226
(11.98 a)
(11.98 b)
Pero si la acción, en efecto, se puede descomponer en la forma que in-
dico en (11.97), y si en verdad la acción específica del fluido satisface las
condiciones diferenciales, entonces, sustituyendo (11.97) y (11.90) y va-
riándola, se obtiene que
(11.99)
Pero la variación de la acción específica se puede desglosar, de acuerdo
con su dependencia, en las coordenadas y los parámetros de curva, como se
indica a continuación:
siendo
Entonces, de (11.95) y (11.99), tomando en cuenta el desarrollo de
la variación de la acción específica visto arriba, se tiene que:
(11.100)
El primer término en el extremo izquierdo de (11.100) se hace igual
a cero debido a la condición diferencial. Si la acción ha de ser invariante,
entonces, ante un cambio infinitesimal de los parámetrosgeométricos, se
El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos
227
debe cumplir que la “variación sustancial” de la acción específica es igual a
cero; esto es
(11.101)
Finalmente, invocando a la independencia lineal de las coordenadas y
los momentos en el espacio de las fases, se obtiene, como resultado del pos-
tulado de invarianza de la acción, lo siguiente:
(11.102)
(11.103)
Por lo tanto, al menos para el fluido perfecto, he podido deducir las
ecuaciones diferenciales de Hamilton, las mismas que se obtuvieron para
el espacio euclídeo tridimensional en (11.89), pero ahora lo he hecho des-
de el principio en el espacio de las fases del sistema dinámico.
Por otra parte, si regresamos a la definición que acabo de proponer en
(11.97) y calculo ahora la derivada temporal de la acción, tenemos que:
(11.104)
donde se ha hecho uso del teorema de Reynolds para derivar dentro del
signo de integración.
Pero de acuerdo con la igualdad (11.90), la derivada temporal de la ac-
ción es igual a
(11.105)
De esta suerte, igualando los miembros de la derecha de (11.103) y
(11.104), puedo escribir lo siguiente:
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
228
(11.106)
Pero el coeficiente de la velocidad en (11.105) es nulo para todos los
valores del índice i. Esto se debe a la condición diferencial que toda fun-
ción generadora, de clase F2, debe satisfacer, tal como se propuso en
(11.98 a). Por lo tanto, lo que resulta es lo siguiente:
(11.107)
El primer término en el miembro de la izquierda de (11.106) no es
otra cosa que la derivada parcial de la acción A con respecto al tiempo, así
que este resultado lo puedo escribir de la siguiente forma:
(11.108)
donde la hache historiada que he escrito en la fórmula anterior debes reco-
nocerla como la función de Hamilton neta para todo el fluido, definida como:
(11.109)
En todo caso, (11.108) representa la ecuación de Hamilton-Jacobi para
el fluido sin viscosidades, como seguramente habrás identificado desde
que la viste escrita hace un instante.
Claro que si el trabajo W se escribe como
(11.110)
tal como lo exige en general la termodinámica, entonces es posible escribir
la ecuación de Hamilton-Jacobi del fluido sin viscosidades, en términos
de las cantidades específicas, como sigue:
El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos
229
(11.111)
o bien, recordando la definición de la función hidrodinámica generaliza-
da que te planteé en (11.81), podemos escribir ahora que
(11.112)
donde � sería la entalpía específica, generalizada, definida como:
(11.113)
Así, he podido encontrar con facilidad la expresión para la ecuación de
Hamilton-Jacobi, homogénea y en términos de las cantidades específicas
del fluido.
Recordando que la hamiltoniana específica de un fluido sin viscosida-
des es la que se propuso en (11.33), y recordando asimismo que la energía
interna específica en la que se dedujo en (11.53), se ve entonces que la ecua-
ción de Hamilton-Jacobi para estos fluidos es, de acuerdo con (11.112),
la siguiente:
(11.114)
donde la literal Q del miembro de la derecha en (11.114) no es otra cosa que
el calor radiado o absorbido por el fluido, debido a la fuerza disipadora.
(11.115)
Pero la ecuación diferencial (11.114) que tan laboriosamente he obte-
nido aquí no es nueva. Se trata de la bien conocida ecuación de Bernoulli
del segundo tipo. Esta ecuación se deduce para el caso de fluidos irrota-
cionales a partir de las ecuaciones de Euler. ¿Para qué se ha tenido que dar
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
230
tantas vueltas, si al final se ha llegado a un resultado bien conocido y fácil
de deducir de la teoría clásica de fluidos? La respuesta que debo darte va
en varias direcciones. En primer lugar, vuelve a aparecer aquí este hecho
tan interesante de que las diversas formulaciones de la mecánica de los
fluidos, al igual que ocurrió en la mecánica clásica, constituyen, todas, una
hermosa tautología; es decir, una enorme vuelta en redondo que termina
en el mismo punto donde se partió. Al haber arribado a la ecuación de
Bernoulli hemos terminado, en efecto, en el principio mismo de la mecáni-
ca de fluidos. Esto nunca se había hecho antes en este tema.
Pero lo que realmente constituye el clímax de este desarrollo es el hecho
de que, contemplada desde la perspectiva de la ecuación de Hamilton-
Jacobi, la expresión de Bernoulli (11.114) tiene una implicación inme-
diata, a saber: que para hallar las ecuaciones de trayectoria de los puntos
materiales del fluido puede ser integrada dentro de la descripción lagran-
giana del mismo.
En efecto, dado que (11.114) es la ecuación de Hamilton-Jacobi en
términos de la función de clase F2, a(x�,
� ,t), adicionalmente satisface esta
generadora las condiciones diferenciales (11.98). Con ellas, y la ecuación de
Bernoulli (11.114), el problema puede ser integrado, en principio. Esto se
verá en la siguiente sección, al abordar un simple problema de flujo de un
fluido perfecto.
El otro punto, que es tal vez tanto o más interesante que el anterior, a
favor de este enfoque, es que ahora sí puedo dar por primera vez una ex-
plicación elemental del término inhomogéneo Q, de la ecuación (11.114),
como el calor disipado debido a las fuerzas que lo conducen. Bernoulli
nunca pudo hacer esta identificación por la sencilla razón de que no tenía
a la mano la termodinámica. Pero en los tratados posteriores del tema
tampoco se molestaron mayormente sus autores en profundizar más en
esto. Hoy, a la luz de este desarrollo, puedo afirmar con toda seguridad
lo anterior. Si el flujo es adiabático, entonces este término es nulo, y la
ecuación de Bernoulli es homogénea. Pero ¡ojo!, no hay razón a priori
para afirmar que los fluidos perfectos fluyan adiabáticamente. No es lo
mismo un flujo isentálpico, que no “contiene” calor aprovechable, a uno
isoentrópico, que no cede ni recibe calor alguno.
Para terminar, puede decirse que si se trata de un fluido viscoso, en-
tonces también puedo establecer la ecuación de Hamilton-Jacobi para él. O
en otras palabras, es posible pensar en cierto proceso intelectual de in-
El espacio de las Fases de los Fluidos perfectos
231
ducción que me permita generalizar los desarrollos anteriores y proponer
una ecuación “ de Bernoulli” para un fluido viscoso. Esto ya no lo haré en
este contexto.
11.3. Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación
de Hamilton
11.3.1 Flujo de un fluido perfecto que fluye sobre una superficie
horizontal lisa, en estado estacionario, debido a una
presión aplicada
Considérese, en efecto, un flujo de cierto fluido perfecto, que se desplaza
en estado estacionario sobre una superficie rígida, lisa, horizontal, debido
a la fuerza acarreadora de una presión aplicada que se ejerce desde la remo-
ta izquierda.
La fuerza de cuerpo que actúa sobre cada uno de los elementos de vo-
lumen del fluido es:
(11.116)
siendo nuevamente � la densidad de masa del fluido y g la constante de la
aceleración de la gravedad.
En el elemento de volumen del fluido existe un estado de esfuerzos dado
por:
(11.117)
donde p(x) es la presión acarreadora, evaluada en el elemento de volumen.
Asimismo, a lo largo de la vertical, la presión que recibe el elemento de vo-
lumen es la superposición de la presión atmosférica y la boyancia del fluido.
Con este tensor de esfuerzos se puede calcular ahora la divergencia, tal
como lo demanda la expresión para el balance de momento:
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
232
el resultado de esta operación es:
(11.118)
Por lo tanto, sumando las fuerzas que actúan sobre cada elemento de
volumen del fluido instantáneamente, se obtienen ahora:
(11.119)
es decir, que para este flujo la fuerza de gravedad que ejerce la tierra sobre
cada elemento de volumen del fluido se cancela, punto a punto con la bo-
yancia del cuerpo, de modo que esta última es una fuerza de constricción
que limita los grados de libertad del movimiento.
Si este problema se ataca desde el enfoque newtoniano de la mecánica
de fluidos de Stokes, hay queplantear completas las ecuaciones de flujo de
Euler:
(11.120)
Después de cierto manipuleo algebraico por demás conocido, se pue-
de transformar la expresión (11.120) en la bien conocida fórmula de Ber-
noulli:
(11.121)
siendo �0 un parámetro constante que se puede identificar como la ener-
gía por unidad de masa de cada elemento de volumen del fluido. La ecua-
Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton
233
ción (11.121) representa también la primera integral de movimiento de
las ecuaciones de balance de momento... y generalmente la última, pues
no es posible continuar adelante dentro del contexto de la mecánica de
los fluidos ortodoxa, la de Stokes, excepto si se imponen adicionalmente
condiciones limitantes como la de irrotacionalidad o la de incompresi-
bilidad del fluido.
Si ahora se adopta el punto de vista de la mecánica analítica de fluidos
es posible hacer progresos adicionales en la comprensión de este fenómeno.
Así, tomando en cuenta las constricciones, la lagrangiana específica para
este caso de flujo de un fluido perfecto, se escribe simplemente como:
(11.122)
siendo e la energía interna específica, a la cual se le considerará como una
función de la densidad de masa únicamente, siendo ésta, a su vez, función
de la coordenada cartesiana x. Por lo tanto, los momentos canónicos son:
(11.123 a)
(11.123 b)
De igual manera se obtienen las ecuaciones diferenciales de flujo de
Lagrange, de acuerdo con la fórmula general
(11.124)
Para este caso, adquieren la siguiente forma:
(11.125 a)
(11.125 b)
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
234
siendo p la presión, definida como:
(11.126)
Así, inmediatamente aparece aquí, en (11.125 b), que la componente
de la velocidad en la dirección de la ordenada (la vertical) es una constante,
que muy bien puede suponerse igual a cero, y el flujo se desarrolla entera-
mente en la dirección del (único) grado de libertad x. En estas condiciones,
la ecuación de flujo se puede llevar de inmediato a la siguiente forma:
(11.127 a)
con
vy � 0 (11.127 b)
lo cual evidentemente representa un avance sobre el conocimiento anterior,
en la descripción newtoniana de Stokes.
¡Por supuesto! El problema aún no puede ser llevado a resultados analí-
ticos cerrados que permitan evaluar numéricamente un flujo como el que
aquí se propuso. Para ello habrá que dar una formulación precisa de la ener-
gía interna específica e. Por ejemplo, si se supone adicionalmente que
(11.128)
siendo k alguna constante real, entonces, evidentemente
(11.129)
y en estas condiciones el resultado (11.127 a) es
(11.130)
Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton
235
En estas circunstancias se tiene, derivando (11.130) con respecto a x,
que
(11.131)
En este punto es preciso obtener la ecuación de balance de masa. Para el
caso que aquí ocupa la atención, esta ecuación es la siguiente:
(11.132)
o bien:
(11.133)
Por lo tanto, comparando (11.131) con (11.133), se obtiene de inme-
diato el resultado final:
(11.134)
¡Era de esperarse! Un flujo así, desde el planteamiento sugería muy
fuertemente que la velocidad se debe conservar. Pero tuvo que contemplar-
se bajo la luz de la mecánica analítica de los fluidos para ratificar este resul-
tado que la intuición sugería.
Enfocando el mismo problema desde la perspectiva de Hamilton, se pue-
de partir de la lagrangiana específica (11.122) y las expresiones (11.123) para
los momentos canónicos (que son, ni más ni menos las componentes de la
velocidad) para construir la hamiltoniana específica del fluido, como la trans-
formada de Legendre de aquélla; esto es, como
(11.135)
Las ecuaciones de Hamilton
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
236
(11.136 a)
(11.136 b)
(11.136 c)
(11.136 d)
dan como resultados las mismas ecuaciones diferenciales que se habían
obtenido de Lagrange en (11.125):
de manera que no vale la pena abundar mayormente en este terreno sobre
el procedimiento para integrarlas; es el mismo que se siguió anteriormen-
te, y por supuesto el resultado final coincide con (11.134).
Antes de abandonar este tema y pasar a un nuevo enfoque del mismo
problema, que será el de Hamilton-Jacobi, es interesante llamar la aten-
ción sobre dos resultados colaterales que se siguen inmediatamente del
anterior (11.134): el primero es que un fluido como el que aquí se ha
estudiado, que fluye con una fuerza acarreadora así, no cambia la presión
con la que se ve impelido. Como puede verse de (11.132) al sustituir el
resultado (11.134), la densidad permanece constante y este hecho a su
vez implica en (11.129) que la presión también queda constante. Esto
último lleva a pensar que la presión ejercida en el seno de un fluido perfec-
to (como este que aquí se trata) se transmite íntegramente, con igual intensi-
dad y en todo punto del mismo, a lo largo de su trayecto. Esto podría tomar-
se muy bien como la expresión matemática del célebre teorema de Pascal
[Blaise Pascal (1623-1662)].
Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton
237
Pero lo que realmente va a abrir las puertas para la investigación de los
fluidos de hoy en adelante es el tema que ahora, de una manera natural, se
pone enfrente para su resolución. Con tan largo camino recorrido, toda la
maquinaria teórica, todo el herramental, está listo y lubricado para resolver
el problema de los fluidos reales. Tan solo falta el detalle de dar una resolu-
ción completa y final al tema abordado aquí, en esta sección, con la des-
cripción de Hamilton-Jacobi.
Así pues, considérese ahora el mismo problema: un fluido que fluye en
estado estacionario, horizontalmente, debido al acarreo que la presión le da.
Por supuesto, hay que aprovechar todo lo que se ha desarrollado en esa di-
rección hasta el momento. Por ejemplo, dada la hamiltoniana específica
(11.135), y recordando la teoría de Hamilton-Jacobi, se puede establecer
la correspondiente ecuación diferencial como:
(11.137)
siendo a la función principal de Hamilton para los fluidos. Se trata, como
se recordará, de una función generadora de transformaciones canónicas
que pertenece a la clase F2 y que cumple con las condiciones diferenciales
siguientes:
(11.138 a)
(11.138 b)
(11.138 c)
(11.138 d)
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
238
donde 
0 y 
1 son dos parámetros constantes de movimiento y que
son conjugados de los otros dos: 
0 y 
1, de los cuales depende la fun-
ción a.
Lo primero que hay que hacer es eliminar de (11.137) la dependencia
temporal. Para ello se propone una primera separación, definiendo la fun-
ción característica de Jacobi como
(11.139)
Con esta definición se puede ahora reescribir la ecuación de Hamilton-
Jacobi para el fluido como sigue a continuación: 
(11.140)
Una nueva separación de variables se requiere para poder continuar
adelante. Siguiendo los pasos que ya se aprendieron, cabe en este punto
proponer que
(11.141)
de tal modo que, usando esta estructura propuesta en (11.141) para la fun-
ción característica de Jacobi en la ecuación (11.140), se tiene una expresión
que puede ser separada en dos partes:
(11.142)
Como el miembro de la izquierda en (10.142) solamente depende de x,
en tanto que el miembro de la derecha sólo depende de y, entonces se pue-
de proponer que
(11.143 a)
Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton
239
(11.143 b)
siendo 
1 el segundo parámetro.
Estas expresiones pueden ser llevadas a una cuadratura de inmediato.
De hecho, la segunda de ellas puede ser integrada. Los resultados son los
siguientes:
(11.144 a)
(11.144 b)
Una vez alcanzado este punto es necesario emprender el camino de re-
greso; es decir, sustituir los resultados (11.144) de vuelta en (11.141) y lue-
go en (11.139) para expresar a la función principal de Hamilton y así poder
someterla a las condiciones diferenciales (11.138):
(11.145)
De acuerdo con (11.138 c) y (11.138 d) se obtiene de (11.145) lo si-
guiente:
(11.146 a)
(11.146 b)
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
240Una y otra vez, a lo largo de este estudio, se ha hecho claro que el pro-
blema que se trata en realidad no exhibe dos sino un solo grado de liber-
tad. Desde el principio se vio cómo el único agente físico que opera sobre
el fluido es una presión a lo largo del eje de las abscisas. La gravedad, por
lo visto, carece de importancia para el flujo. Cuando se vio el problema
a lo Lagrange, de inmediato se volvió evidente que la coordenada y es
ignorable; tanto más, cuanto que asociada a ella el momento canónico se
conserva. Así pues, el estudio de la ecuación de Hamilton-Jacobi para
este flujo muy bien pudo haberse planteado desde su inicio con una sola
componente.
Este es el momento para enderezar el entuerto y poner las cosas en el
lugar que les corresponde. Así, si de acuerdo con (11.143 b), nuevamente,
la componente en y del momento es una constante y por lo tanto esta coor-
denada es ignorable, qué tal que de una vez por todas sea eliminada del aná-
lisis y simplemente se escriba la ecuación de Hamilton-Jacobi como se
muestra a continuación: 
(11.147)
Así que se puede separar la parte temporal mediante la definición de la
función característica de Jacobi:
(11.148)
de tal forma que la ecuación diferencial (11.147) se simplifica como:
(11.149)
siendo �0 un parámetro constante en el tiempo, que hace el papel del “nue-
vo” momento generalizado en la transformación canónica generada por a.
La ecuación (11.149) implica de inmediato que
Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton
241
(11.150)
que es un resultado obtenido ya en (11.130). Adicionalmente, es posible
llevar rápidamente esa ecuación diferencial a una cuadratura:
(11.151)
Así, la solución puede escribirse, de acuerdo con (11.151) y (11.148),
como se muestra en seguida:
(11.152)
Ahora, imponiendo la condición diferencial sobre la función principal
de Hamilton (11.152), se consigue:
(11.153)
=
No es posible continuar adelante sin una expresión explícita de la ener-
gía interna específica e(�(x)). Para dar el paso decisivo que aún falta para al-
canzar el objetivo de hallar las ecuaciones de flujo de este fluido, es necesa-
rio en este punto voltear la atención hacia una ecuación que aún no ha sido
explorada: claramente, se trata de la ecuación de balance de masa. Para este
caso, esta expresión tiene la forma
(11.154)
o bien
El formalismo hamiltoniano de los fluidos
242
(11.155)
Extrayendo la derivada con respecto a x de la velocidad en (11.150), se
obtiene en seguida que
(11.156)
de manera que comparando (11.155) con (11.156) se obtiene lo siguiente:
(11.157)
Así el problema ha quedado resuelto.
11.4. Problemas del capítulo
11.1. Tomando como punto de partida la expresión (11.11) para la varia-
ción de la acción de un fluido, obtener la expresión final (11.20).
Para ello hay que hacer uso de la integración por partes, así como
del teorema de Gauss.
11.2. Si se postula como hamiltoniana específica de un fluido la función:
demostrar que ésta conduce a las ecuaciones de Navier-Stokes.
11.3. Obtener la fórmula de Bernoulli (11.40). Para ello considérense las
ecuaciones de Hamilton en la descripción de Lagrange, para un flui-
do sin viscosidades.
11.4. Demostrar el resultado (11.93) para la variación de la acción en el es-
pacio, de fases de un fluido perfecto.
Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Hamilton
243
EPÍLOGO
Oda a la segunda ley de Newton
Juan B. de Oyarzábal y Fermín Viniegra Heberlein
La fuerza, la masa, la aceleración
son tres magnitudes sin nada en común,
son tres magnitudes que, así al buen tuntún
no tienen ninguna interrelación.
Y tal vez parezca exageración,
mas hubo una suerte tan mala y perversa,
que nunca se pudo tener a la fuerza
ligada a la masa y la aceleración.
Así lo intentaron con férvido afán
mil sabios y genios en toda ocasión,
aunque entre los genios no están los que son;
aunque entre los sabios no son los que están.
Y así trabajaron con dedicación,
mas siempre fallaron, pues no sé que pasa,
que nunca se pudo tener a la masa
ligada a la fuerza y aceleración
Siempre fracasaron, hasta que por fin,
allá entre las nieblas lejanas de Albión,
nació un nuevo genio llamado Newton,
que todo lo hacía con mucho magín.
245
Y así pudo, al cabo, con firme tesón
y genio y talento pa’ parar un tren,
ligar en la fórmula que aquí ustedes ven,
la fuerza, la masa y aceleración.
La fuerza es la que fuerza ¡Vaya observación!,
es etérea y vaga y viene de allende;
en forma cabal nadie bien la entiende,
si bien se percibe en toda ocasión.
La masa de un cuerpo; ¡que gran diferencia!
es algo tan simple que hasta un infante
apenas ya habla, cuando en un instante,
nos dicta de ella docta conferencia.
Mas no fue sencillo, como tú lo ves,
tras tantos milenios de equivocación,
mostrar que en esencia, la aceleración,
es el cambio en el tiempo de la rapidez.
Tampoco fue fácil, ni clara la cosa,
decir que en la Tierra y en el Universo
un cuerpo en reposo se mueve si ejerzo
sobre él una fuerza leve… o poderosa.
Si ejerzo una fuerza ¡que bello portento!
No importa de dónde, ni cuál su natura,
el cuerpo responde con toda premura,
cambiando el estado de su movimiento.
El cambio de estado de su movimiento,
es cosa que así, a primera intención,
de un cuerpo el producto de su aceleración
por su masa, al punto conozco al momento.
F � ma
Epílogo
246
A
Acción, 12, 22
Acción específica, 226
Arquímedes de Siracusa, 194
B
Boyancia del fluido, 233
C
Calor disipado, 231
Campo magnético constante, 108
Carga eléctrica, 110
Círculos apsidales, 48
Condición(es)
de integración de Cauchy, 215
diferenciales, 17, 74, 226
iniciales del problema, 80
Cónica, 55
Conmutador, 106
Constante
de Planck, 106
del resorte, 41
Constricciones holonómicas, 7, 9
Convención de índices repetidos, 7
Coordenada ignorable, 26, 51
Corchetes de Poisson, 95, 96
Corrimiento del perihelio del plane-
ta Mercurio, 192
Curvas de nivel, 47
D
D´Alembert, 56, 194
Degeneración, 32
Densidad de masa, 195
Derivada temporal de la acción, 228
Descripción
de Euler, 204
de Lagrange, 204
del tensor métrico, 67
Determinante del jacobiano, 67
no singular, 67
Dirac, P., 104
E
Ecuación (es)
de Bernoulli del segundo tipo, 230
de Hamilton-Jacobi, 119, 138, 179
del fluido sin viscosidades, 229
independiente del tiempo, 139
para el sistema perturbado, 183,
187
general para las cónicas, 160
o ley de Bernoulli, 206
de Hamilton, 7, 11, 63, 167
de los fluidos, 203
de Navier-Stokes, 244
247
Índice analítico
diferenciales, 31
homogéneas, 31
paramétricas, 39
Eigenvalores, 34
Einstein, A., 70, 192, 210
Elipse prolata, 53, 162
Energía
interna específica del fluido, 211,
213
potencial generalizada, 190
Entalpía
específica, 215, 230
específica del fluido, 221
Entropía específica del fluido, 195
Espacio
de configuración, 13
de fases del fluido, 224
de las fases, 19
fásico, 20, 24
de seis dimensiones, 224
Espiral logarítmica, 39
Estado dinámico, 7
Euler, L. 56
Excentricidad, 55, 161
Exponencial, 99
F
Fluido perfecto, 204
Flujo adiabático, 231
Forma
de Jordan, 32
irreducible, 33
reducible, 33
Formalismo de Hamilton para los
fluidos, 195
Formulación de Hamilton-Jacobi,
113, 115
Fuerza(s)
acarreadora, 232
central conservadora, 139
de fricción, 43
de Lorentz, 190
disipadora, 93
generalizadas no conservadoras,
9
Función(es)
característica de Jacobi, 121, 138,
139
de clase F1, 81
de clase F2, 82
de Jacobi parciales, 138, 142
de Lagrange, 9
de presión, 205
del fluido, 206
generadora, 91, 170
de clase F, 1741
de clase F2, 83, 152, 181
de clase F3, 83
de clase F4, 84
de transformaciones canónicas,
72
hamiltoniana, 8
hidrodinámica generalizada, 223,
230
periódicas, 175
principal de Hamilton, 116, 139,
188
Funcional de acción, 20
G
Galois, E.
Gradiente del campo de velocida-
des, 195
Grados de libertad, 7
Índice analítico
248
Grupo(s), 86
continuo, 69
de Klein, 89
de Lie, 89, 90
simpléctico, 69, 84, 90
simpléctico propio, 69
H
Hamiltoniana
de perturbación, 128
específica, 196
no-perturbadora,127, 166
incoherente, 211
perturbadora, 165
Heisenberg, 104
J
Jacobi, K., 114
Jordan (de)
primera, segunda y tercera forma,
32, 33
K
Kernel, 15, 18, 81, 220
Klein, F., 86
L
Lagrange, 56, 194
Lagrangiana, 7
específica, 204
Ley
contravariante, 66
de Cauchy, 201
de conservación, 57
Libración, 49, 148, 149, 175
Lie, M., 86, 104
Lorentz, H., 108
M
Maxwell
primera relación de la termodi-
námica, 216
Mecánica
analítica, 56
clásica, 56
cuántica de Schrödinger-Heisen-
berg, 217
Modelo no-dualista
Momento(s)
canónico conjugado, 7, 15, 51,
139
generalizado, 205
N
Nodo, 35
estable, 34, 46
O
Órbitas, 145
Oscilador armónico, 40, 126
Oyarzabal, J., 245
P
Parámetro(s)
de acción, 150, 151, 153, 155
de ángulo(s), 152, 153, 188
para el problema de Kepler, 163
de perturbación, 165
gravitacional, 50
Pascal, B., 238
Período del oscilador, 180
Perturbaciones, 117
Pieza
impropia, 67, 69
propia, 67
Índice analítico
249
Plano(s)
�1, 155, 156
�3, 146
�k, 154
�n, 145
�r, 162
�q, 158, 159
Poincaré, H., 170
Pontryagin, Lev Semyonovich, 113
Postulado de acción extremal, 24
Potencial, 46
Magnético, 110
Presión atmosférica, 233
Principio
de acción extremal, 12
de correspondencia de Bohr,
107
Problema de Kepler, 50, 55, 157
Programa de Erlangen, 89
Pseudo escalar, 200
Punto crítico, 30
R
Retrato
del movimiento, 34
del sistema dinámico, 117
Rotación, 149
Rotaciones y libraciones, 150
S
Schrödinger, 104
Semi lado recto, 160
Separación de variables, 137
Serie
de Taylor, 170
de Lie, 101, 102
Silla de montar, 35
Simetrías, 57
Singularidad
estable, 37
inestable, 35, 37
Sistema(s)
autónomo, 30
causal, 20
conservadores, 46
dinámico, 20, 57
dinámico lineal, 31
incoherente de partículas, 212
perturbado, 165
Súper simetría, 57
T
Temperatura del fluido en fluido,
207
Tensor contravariante, 67
de esfuerzos generalizado, 201
métrico fundamental, 28
métrico transformado, 68
Teorema
de Gauss, 225
de la divergencia de Gauss, 200
de Liouville, 70
de Nöther, 58
de Pascal, 238
Teoría
de Hamilton-Jacobi, 26
de la relatividad generalizada, 217,
218
de las perturbaciones dependien-
tes del tiempo, 127
de los grupos, 86
Tercera ley de Kepler, 164
Termodinámica de los fluidos no-
viscosos, 213
Índice analítico
250
Trabajo desarrollado por las fuer-
zas (no-conservadoras) de super-
ficie, 202
Tracción, 201
Transformación
Canónica, 64, 69, 71, 90, 114,
152, 167, 168
canónica infinitesimal, 90, 91
de contacto, 89
de Legendre, 14, 16, 81, 201,
203, 205
de semejanza o de similitud, 32
idéntica, 83, 169
rígidas, 69
Transformada de Legendre, 14, 201,
220, 236
Transporte
del sistema, 92
infinitesimal, 93
V
Variables ignorables, 57
Variación sustancial, 23, 228
Vector de inducción magnética, 190
Velocidad
de la luz en el vacío, 190
terminal, 107
von Zeipel, 170
W
Weierstrass, 99
Índice analítico
251
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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Mécanica. Libro 3. Sistemas dinámicos
se terminó de imprimir en noviembre de 2009
en los talleres de Publidisa Mexicana, S. A. de C. V.
Calzada de Chabacano 69, planta alta. Col. Obrera.
México 06850, D. F.
El tiro fue de 500 ejemplares
La edición estuvo al cuidado de
Mercedes Perelló
En su composición se emplearon tipos
Adobe Garamond, Castellar, Frutiger y MathematicalPi
de 13:13, 11:13 y 10:12 puntos de pica.
Está impreso en papel cultural de 90 gramos