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LUIZ ROBERTO DANTE • Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP • Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática, pela PUC – São Paulo • Mestre em Matemática pela USP • Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP • Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo • Autor de vários livros, entre os quais: Didática da resolução de problemas de Matemática; Didática da Matemática na pré-escola; Coleção Aprendendo Sempre (1º- ao 5º- ano); Tudo é Matemática (6º- ao 9º- ano); Matemática Contexto & Aplicações (Volume único), por esta editora. 1a edição 1a impressão 2013 – São Paulo Vo lu m e2Volume Matemática Ensino Médio Manual do Professor 2 Gerente Editorial: Margarete Gomes Editora: Cármen Matricardi Edição de texto: Sônia Scoss Nicolai Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.) Kátia Scaff Marques (coord.) Ivana Alves Costa Maurício Baptista Vieira Patrícia Travanca Assessoria didática: Eloy Ferraz Machado Neto Sofia Isabel Machado Lucas Pesquisa iconográfica e cartográfica: Sílvio Kligin (superv.) Cláudia Bertolazzi (iconografia) Márcio Santos de Souza (cartografia) Edição de arte: Rosimeire Tada (coord.) Programação visual: Catherine Saori Ishihara Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda. Maria Alice Silvestre Guimarães Loide Edelweiss Iizuka Ilustrações e gráficos: Formato Comunicação Ltda. Capa: Estúdio Sintonia Foto da capa: Peter Dazeley/Photographer’s Choice/ Getty Images Título original da obra: Matemática – Contexto & Aplicações – Volume 2 © Editora Ática S.A. 2013 Todos os direitos reservados pela Editora Ática S.A. Av. Otaviano Alves de Lima, 4400 5º- andar e andar intermediário Ala A Freguesia do Ó – CEP 02909-900 São Paulo – SP Tel.: 0800 115152 – Fax: 0(XX)11 3990-1616 www.atica.com.br editora@atica.com.br ISBN 978 85 08 12911-9 (aluno) ISBN 978 85 08 12912-6 (professor) 3 ApresentAção A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos. Aristóteles Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real. Lobachevsky Ao elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as ideias que abrem esta apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar condições para que o aluno possa compreender as ideias básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de saber aplicá-las na resolução de problemas do mundo real. Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de maneira intuitiva e compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém mantivemos o rigor coerente com o nível para o qual a coleção está sendo proposta. Na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais sobre o assunto que será discutido, para preparar o aluno e despertar nele o interesse sobre o tema. Antes de resolver os exercícios propostos, é absolutamente necessário que o aluno estude a teoria e refaça os exemplos. Na seção Tim-tim por tim-tim, com exemplos comentados, explicitamos as fases da resolução de um problema. A seção A Matemática e as práticas sociais foi criada para formular, resolver e interpretar si- tuações-problema que exigem a participação consciente do cidadão na sociedade. Cada capítulo contém ainda uma seção de Atividades adicionais com questões de vestibulares de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os conteúdos estudados. No fim de cada volume foram incluídas questões do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente trabalhados no Ensino Médio, além de auxiliar o aluno em sua preparação para os processos seletivos de ingresso nos cursos de Educação Superior. Esperamos poder contribuir para o trabalho do professor em sala de aula e para o processo de aprendizagem dos alunos, consolidando e aprofundando o que eles aprenderam no Ensino Fundamental. As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre bem- -vindas. O autor Capítulo 1 trigonometria: resolução de triângulos quaisquer .................................. 8 1. Introdução .......................................................................... 10 2. Revisão sobre resolução de triângulos retângulos ................................................... 10 3. Seno e cosseno de ângulos obtusos ...................................................... 11 4. Lei dos senos ..................................................................... 12 5. Lei dos cossenos ............................................................. 16 A Matemática e as práticas sociais ............................... 22 Atividades adicionais ........................................................... 24 Tabela de razões trigonométricas .................................. 27 Capítulo 2 Conceitos trigonométricos básicos ................................. 28 1. Introdução ....................................................................... 30 2. Arcos e ângulos ............................................................ 30 3. Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos) .................................... 31 4. Circunferência trigonométrica ............................. 34 5. Arcos côngruos (ou congruentes) .......................................................... 35 6. Arcos trigonométricos (leitura optativa) ............................................................ 39 A Matemática e as práticas sociais ................................. 40 Atividades adicionais ............................................................. 42 Capítulo 3 seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica .................. 44 1. Introdução ......................................................................... 46 2. A ideia de seno, cosseno e tangente de um número real ...................................................... 46 3. Valores notáveis do seno e do cosseno .................................................................... 47 4. A ideia geométrica de tangente ......................... 50 Atividades adicionais .............................................................. 54 Capítulo 4 relações trigonométricas ............................. 56 1. Relações fundamentais ............................................ 58 2. Relações decorrentes das fundamentais ........................................................ 59 3. Identidades trigonométricas ................................. 60 4. Equações trigonométricas ...................................... 61 Atividades adicionais .............................................................. 66 4 Matemática sumário CL AU d Io L AR AN g EI RA /E d It o RA A bR IL 5 Capítulo 5 transformações trigonométricas ......... 68 1. Fórmulas de adição .................................................... 70 2. Fórmulas do arco duplo e do arco metade ........................................................ 72 3. Fórmulas de transformação em produto ................................... 75 Atividades adicionais ............................................................ 77 Capítulo 6 As funções trigonométricas ........................................................... 78 1. Introdução ....................................................................... 80 2. Estudo da função seno ............................................. 80 3. Estudo da função cosseno ..................................... 82 4. Senoides ............................................................................ 84 Atividades adicionais ............................................................ 93 Capítulo 7 matrizes ................................................................................. 961. Introdução ...................................................................... 98 2. definição ........................................................................... 98 3. Representação genérica de uma matriz .............................................................. 99 4. Matriz quadrada ......................................................... 100 5. Matriz triangular ......................................................... 101 6. Matriz diagonal ........................................................... 101 7. Matriz identidade ....................................................... 101 8. Matriz nula ...................................................................... 102 9. Igualdade de matrizes ........................................... 102 10. Adição de matrizes ................................................... 103 11. Subtração de matrizes ............................................ 105 12. Multiplicação de um número real por uma matriz ........................................................... 105 13. Matriz transposta de uma matriz dada ........................................................ 106 14. Multiplicação de matrizes .................................... 106 15. Matriz inversa de uma matriz dada ........................................................ 111 16. Equações matriciais .................................................. 112 17. Aplicações de matrizes .......................................... 113 A Matemática e as práticas sociais .............................. 116 Atividades adicionais .......................................................... 118 Capítulo 8 Determinantes .............................................................120 1. Introdução ......................................................................122 2. determinante de matriz quadrada de ordem 1 ....................................................................122 3. determinante de matriz quadrada de ordem 2 .....................................................................122 4. determinante de matriz quadrada de ordem 3 ....................................................................122 5. Propriedades dos determinantes .............................................................125 6. Regra de Chió ...............................................................130 7. Vetores (leitura optativa) ..........................................................133 Atividades adicionais ...........................................................139 Leitura ..........................................................................................141 5Sumário RE PR o d U çã o /C LU bE N AV AL d o R Io d E jA N EI Ro Capítulo 9 sistemas lineares ..................................................... 142 1. Introdução ......................................................................... 144 2. Equações lineares ....................................................... 144 3. Sistemas de equações lineares ....................................................... 145 4. Sistemas lineares 2 3 2 ........................................... 147 5. Sistemas lineares 3 3 3 ........................................... 151 6. Escalonamento de sistemas lineares ................................................... 155 7. Sistemas lineares equivalentes ................................................ 157 8. discussão de um sistema linear ........................................................ 161 9. Sistemas lineares homogêneos ......................... 163 10. Aplicações ....................................................................... 164 11. Introdução à programação linear.................................................... 166 A Matemática e as práticas sociais ................................ 170 Atividades adicionais ............................................................ 172 Capítulo 10 Geometria espacial de posição – uma introdução intuitiva .................................. 174 1. Introdução ........................................................................ 176 2. Posições relativas: ponto e reta; ponto e plano................................................................. 178 3. Posições relativas de pontos no espaço ................................................. 178 4. Posições relativas de duas retas no espaço .................................................179 5. determinação de um plano ..................................181 6. Posições relativas de dois planos no espaço ..............................................182 7. Posições relativas de uma reta e um plano .................................................184 8. Paralelismo no espaço .............................................. 185 9. Perpendicularismo no espaço .......................... 187 10. Projeção ortogonal .................................................. 195 11. distâncias ....................................................................... 197 12. o método dedutivo: algumas demonstrações (leitura optativa) .................... 200 Atividades adicionais .......................................................... 202 Capítulo 11 poliedros: prismas e pirâmides ............. 204 1. Introdução ..................................................................... 206 2. A noção do poliedro ............................................... 206 3. Poliedro convexo e poliedro não convexo ........................................ 207 4. A relação de Euler ..................................................... 208 5. Poliedros regulares ................................................... 210 6. Prismas ............................................................................. 212 7. A ideia intuitiva de volume ................................. 219 8. Princípio de Cavalieri ............................................... 223 9. Volume do prisma .................................................... 224 10. Pirâmides ........................................................................ 227 Atividades adicionais .......................................................... 239 Leitura .......................................................................................... 243 6 Matemática PR IV At E Co LL EC tI o N /A RC h IV ES C h AR M Et /t h E bR Id g EM AN A Rt L Ib RA Ry 7 Capítulo 12 Corpos redondos: cilindro, cone e esfera ..................................... 244 1. Introdução ...................................................................... 246 2. o cilindro ......................................................................... 246 3. o cone .............................................................................. 254 4. A esfera ............................................................................. 262 A Matemática e as práticas sociais .............................. 267 Atividades adicionais ........................................................... 269 Leituras ........................................................................................ 273 Capítulo 13 Análise combinatória ......................................... 274 1. Introdução ...................................................................... 276 2. Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem ................................. 276 3. Permutações simples e fatorial de um número ............................................................ 278 4. Arranjos simples ......................................................... 280 5. Combinações simples ............................................. 286 6. Permutações com repetição ............................... 292 7. Problemasque envolvem os vários tipos de agrupamento ......................................................... 293 8. Números binomiais .................................................. 295 9. binômio de Newton ................................................. 296 10. o triângulo de Pascal ............................................... 299 Atividades adicionais ........................................................... 302 Leitura .......................................................................................... 305 Capítulo 14 probabilidade ............................................................... 306 1. Introdução ...................................................................... 308 2. Espaço amostral e evento .................................... 308 3. Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos .................................... 310 4. Cálculo de probabilidades ................................... 310 5. definição teórica de probabilidade e consequências ......................................................... 314 6. outras aplicações ....................................................... 324 7. o método binomial .................................................. 326 8. Aplicações de probabilidade à genética ...................................... 331 A Matemática e as práticas sociais ............................... 335 Atividades adicionais ........................................................... 337 Leitura .......................................................................................... 340 Questões do enem .................................................. 341 Glossário ............................................................................ 351 sugestões de leituras complementares ...................................................... 357 significado das siglas de vestibulares ......................................................... 358 referências bibliográficas .......................... 359 respostas ......................................................................... 360 7Sumário h EL y d EM U tt I/A CE RV o d o F o tó g RA Fo Matemática Frequentemente vemos plantas de terrenos sem que nos ocorra pensar em como elas teriam sido elaboradas. Alguns terrenos são irregulares, outros, mais compli cados, são atravessados por córregos e, en tão, podemos nos perguntar: “Como um engenheiro pôde chegar à sua represen tação?”. Topografia é a área da Engenha ria que tra ta de questões como essa: me dições que determinam a forma e a posi ção de ele mentos de um terreno. Para isso, utiliza-se um teo dolito. Esse instrumento, além de medir dis tâncias, permite a deter mi na ção de “ângulos de visada” a par tir de dois pontos marcados no local em que ele se encontra, cuja distância possa ser medida. Obtém-se assim um triân gulo do qual se conhecem dois ângulos e o lado que contém seus vértices. As rela ções trigono mé tri cas que envolvem as medidas dos lados e dos ângulos de um triân gulo qualquer permi tirão ao topó grafo determinar as medidas dos ele mentos restantes do triân gulo. TrigonomeTria: resolução de Triângulos quaisquer capítulo 1 8 Aluna do curso de Engenharia utilizando um teodolito durante aula prática. G eo G ph o to s/ a la m y/ o th er im a G es 9capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer Há inúmeras aplicações das relações trigonométricas em triângulos quais quer — na Física, por exemplo, para determinar a intensidade da força à qual fica sujeito um fio que suspende um objeto em equilíbrio. Até a descoberta dessas relações, problemas que envolvessem triângulos eram geralmente resolvidos com o que se sabia das relações no triângulo retângulo, mas a prática mostrou que isso era insuficiente ou tornava os cálculos muito trabalhosos. A determinação das medidas dos ângulos e dos comprimentos dos lados de um triângulo qualquer, sem recorrer aos triângulos retângulos, foi possível com a evolução da Trigonometria. As novas relações, chamadas lei dos senos e lei dos cossenos, trariam ferramentas fundamentais para os problemas que envolviam esses triângulos. Vamos estudá-las neste capítulo. 1. Observe a foto abaixo: Esse obelisco é um monumento construído na cidade de Washington em homenagem a George Washing- ton, primeiro presidente dos Estados Unidos. Na fi- gura seguinte você vê sua representação: 60° 20 m A 30° B Bi ll B rO O ks /A lA m y/ O TH Er im AG Es No ponto A coloca-se um teodolito a 20 m de dis- tância do pé do obelisco, que acusa um “ângulo de visada" de 60°. a) Quantos metros o teodolito deve ser afastado do ponto A para que acuse um “ângulo de visada" de 30°? b) Qual é a distância do topo do obelisco ao ponto B em que o teodolito se posicionou ao ser afas- tado de A? 2. Faça o que se pede em cada item: a) Construa, com régua e compasso, um triângulo ABC, sendo BA 5 45° e BB 5 75° (escolha um valor para a medida do lado tAB). b) Calcule a medida do terceiro ângulo desse triân- gulo. c) meça com régua os comprimentos dos lados tAC. e tBC.. d) Procure na tabela trigonométrica da página 27 os valores dos senos dos ângulos desse triângulo. e) Divida a medida de cada lado pelo valor do seno do ângulo oposto a ele. Compare os resultados obtidos. f ) Neste capítulo você verá que essa relação é ver- dadeira para qualquer triângulo. Crie um enun- ciado para ela. >atividades ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO. FO rm AT O C O m U N iC Aç ãO / Ar Q U iV O D A ED iT O rA 10 Matemática 1. Introdução No volume 1 estudamos a resolução de triângulos retângulos. agora, após uma breve revisão por meio de exercícios e problemas, iniciaremos o estudo da resolução de triângulos quaisquer. e, para isso, estudaremos duas propriedades importantes da trigonometria, conhecidas por lei dos senos e lei dos cossenos. 2. Revisão sobre resolução de triângulos retângulos resolva os exercícios a seguir. Quando necessário use a tabela da página 27 ou uma calculadora científica. Observação: Usaremos taB. ora para designar segmento de reta aB, ora para designar medida do segmento de reta aB. pelo contexto da situação saberemos quando estaremos usando um significado e quando estaremos usando o outro. Exercícios propostos 1. Nesta figura, as retas paralelas r e r’ representam as margens de um rio. 30° A � r’ rC B 30 m Determine a largura , desse rio. 2. encontre os valores das medidas x, y e z: a) x 30° 30 c) z 60° 20 b) y 45° 16 3. Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 2 m de comprimento e 30° de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir, sobre a rampa, 8 degraus de mesma altura. encontre a altura de cada degrau. 30° 2 m 4. No instante em que o ângulo de elevação do sol acima do horizonte é de 60°, a sombra de um poste mede 3 m, como mostra a figura ao lado. Qual é a altura desse poste? 5. Um poste na posição vertical tem sua sombra proje- tada numa rua horizontal. a sombra tem 12 m. se a altura do poste é de 4 3 ,m então qual é a inclina- ção dos raios solares em relação à rua horizontal? 6. observe a figura: v x= v y= v = � y x Dizemos que vx- e vy- são as componentes retangulares do vetor v -. Considerando o módulo de v - igual a 10 cm e o ângulo a de 30°, determine os módulos de vx- e vy- . 7. Determine o valor de tCDu na figura abaixo. tCDu é a projeção ortogonal de taBu sobre um eixo. 4 cm A B C D 15° 60° 3 m ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO. 11capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 3. Seno e cosseno de ângulos obtusos Neste capítulo precisaremos, em alguns momentos, obter os valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi estudado — não existem ângulos obtusos nos triângulos retângulos —, aprende- remos nestemomento apenas como lidar com eles na prática, e deixaremos a parte teórica, que fundamenta o que estudaremos agora, para o próximo capítulo. inicialmente, é necessário saber que: • sen 90° 5 1 e cos 90° 5 0 • senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos desses ângulos: sen x 5 sen (180° 2 x) • cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos: cos x 5 2cos (180° 2 x) Exemplo: Vamos obter o valor de: a) sen 120° o suplemento de 120° é 60°, portanto: sen 120° 5 sen 60° 5 3 2 b) cos 120° cos 120° 5 2cos 60° 5 2 1 2 8. Determine a área da região triangular abaixo. h 7 cm 4 cm C 20° A B 9. Um observador, no ponto B da figura ao lado, vê um pré- dio de modo que o ângulo aBC é de 105°. se esse obser- vador está situado a uma distância de 8 m do prédio e a uma altura de 8 m, qual é a altura do prédio? 8 m 8 m B A C 10. Calcule a medida x indicada na figura abaixo. 30° A C B 60° x 100 11. Na figura abaixo, encontre o valor de x, y e z. x z12 30° y Exercícios propostos 12. obtenha o valor de: a) sen 135° c) sen 150° b) cos 135° d) cos 150° 13. obtenha o valor de x em: a) x 5 sen 20° 2 sen 160° 1 cos 44° 1 cos 136° b) x 5 sen 10° ? cos 50° 1 cos 130° ? sen 170° 12 Matemática 4. Lei dos senos Vamos analisar a seguinte situação-problema: Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica numa fazenda, precisou colocar dois postes em lados opostos de um lago para permitir a passagem da fiação. Com isso surgiu um pequeno problema: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, e a presença do lago impedia a me- dição direta dessa distância. Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles. Com um aparelho apropriado, ele mediu o ângulo entre a linha de visão dele e os postes, obtendo 120°. Um auxiliar mediu a distância entre o engenheiro e o poste mais afastado e obteve 100 m; outro auxiliar mediu o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha entre os postes, obtendo 45°. Com essas infor- mações, o engenheiro sorriu. ele já conseguiria calcular a distância entre os postes... Vejamos como: Realidade Modelo matemático 120° O B d 100 A 45° o triângulo aoB é obtusângulo e a resolução desse problema consiste em determinar a medida do lado taBu. para resolvê-lo, vamos estudar a lei dos senos, cujo enunciado vem a seguir: em qualquer triângulo aBC, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja: a sen A b sen B c sen C B B B5 5 Veja a seguir a demonstração da lei dos senos, para um triângulo acutângulo. Consideremos o naBC acutângulo e duas de suas alturas: tah1u e tBh2u. B c A b CaH1 H2 h1 h2 • No naCh1, retângulo em H1, temos: sen BC 5 h1 b ⇒ h1 5 b ? sen BC • No naBh1, retângulo em H1, temos: sen BB 5 h1 c ⇒ h1 5 c ? sen BB FO rm AT O C O m U N iC Aç ãO /A rQ U iV O D A ED iT O rA 13capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer Comparando, temos: b ? sen BC 5 c ? sen BB ⇒ b sen BB 5 c sen BC i • No nBCh2, retângulo em H2, temos: sen BC 5 h2 a ⇒ h2 5 a ? sen BC • No naBh2, retângulo em H2, temos: sen Ba 5 h2 c ⇒ h2 5 c ? sen Ba Comparando, temos: a ? sen BC 5 c ? sen Ba ⇒ a sen Ba 5 c sen BC ii De i e ii concluímos que: a sen Ba 5 b sen BB 5 c sen BC Observações: 1·) pode-se provar que a razão medida do ladoseno do ângulo oposto é constante e igual a 2r, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo considerado. B Ca A c b R a sen Ba 5 b sen BB 5 c sen BC 5 2r 2·) Quando o enunciado de uma questão se refere a um triângulo aBC, temos de colocar o lado a oposto ao ângulo A, o lado b oposto ao ângulo B, e o lado c oposto ao ângulo C, como na figura abaixo: B b A aC c Exemplos: 1‚) estamos em condições, agora, de resolver a situação-problema apresentada na página 12: Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica numa fazenda, precisou colocar dois postes em lados opostos de um lago para permitir a passagem da fiação. Com isso surgiu um pequeno problema: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, e a presença do lago impedia a medição direta dessa distância. Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles. Com um aparelho apropriado, ele mediu o ângulo entre a linha de visão dele e os postes, obtendo 120°. Um auxiliar mediu a distância entre o engenheiro e o poste mais afastado e obteve 100 m; outro auxiliar mediu o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha entre os postes, obtendo 45°. Com essas informações, o engenheiro sorriu. ele já conseguiria calcular a distância entre os postes... Para refletir Verifique que a demonstração vale também para o nABC obtusângulo e para o triângulo retângulo. H1 H2h1 h2 A B Ca bc b c a BA C [Lembre-se: sen a 5 sen (180° 2 a).] 14 Matemática Vejamos como: Realidade Modelo matemático 120° O B d 100 A 45° pela lei dos senos, temos: 100 45 120 100 2 2 3 2 sen d sen d ° ° 5 5⇒ ⇒ 2 100 3 100 3 2 d d 5 5 5⇒ 100 3 2 2 2 100 6 2 50 6 122 47 , ? ? 5 5 � m 5 100 3 2 2 2 100 6 2 50 6 122 47 , ? ? 5 5 � m então, a distância entre os postes é de aproximadamente 122,47 m. 2‚) em um triângulo isósceles, a base mede 6 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. Vamos calcular a medida dos lados congruentes do triângulo. 30° 120° 30° x 6 Para refletir Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base é também mediana e bissetriz. Use esse fato e resolva o 2‚ exemplo de outra forma. pela lei dos senos, temos: 6 120 30sen x sen ° ° 5 ⇒ 6 3 2 1 2 5 x ⇒ 3 6x 5 ⇒ x 5 6 3 6 3 3 3 5 ? 5 5 6 3 3 2 3 Cada um dos lados congruentes mede 2 3 .cm 3‚) em um triângulo aBC, temos tBCu 5 5 cm, Ba 5 48° e BB 5 25°. Vamos calcular a medida aproximada do lado taBu (use a tabela da página 27 ou uma calculadora científica). pela lei dos senos, BC sen A AC sen B AB sen C , B B B 5 5 sendo BC 5 180° 2 (48° 1 25°) 5 107°. substituindo: 5 48 107sen AB sen ° ° 5 ⇒ 5 0 743 0 956, , 5 AB ⇒ AB , , ,5 5 0 956 0 743 6 43 ? � portanto, a medida aproximada do lado taB é 6,43 cm. Para refletir Com a tabela calcula- mos sen 107° 5 0,956, procurando sen 73°. FO rm AT O C O m U N iC Aç ãO /A rQ U iV O D A ED iT O rA 15capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer Exercícios propostos 14. Na figura abaixo, calcule o valor da medida x. 105° 45° x 100 15. No triângulo abaixo, determine as medidas x e y. Dado: sen 15° 6 2 4 .� � 135° 15° y x 2 16. No triângulo da figura abaixo, calcule as medidas b e c. Dado: sen 75 ° 6 2 4 .� � 60° 45° c b√2 17. Num triângulo aBC, são dados Ba 5 45°, BB 5 30° e a 1 b 5 2 1 1. Calcule o valor de a. 18. Use a tabela da página 27 ou uma calculadora científi- ca e determine os valores de x (aproximadamente): a) 76° 32° 5 x b) 30° 27° x 10 c) 70° x 3 4 19. a figura abaixo nos mostra um triângulo isósceles de base tBCu. Calcule a medida da base tBCu, admitindo co- nhecidos m, a e b. A B C � � m 20. Numa fazenda o galpão fica 50 m distante da casa. se- jam x e y, respectivamente, as distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme a figura abaixo. Calcule o valor de x 1 y em função de a e b. 50 y x α β 21. Na figura abaixo, calcule a medida do segmento aB em função de m e a. 45° 45° � B m C A D FO rm AT O CO m U N iC Aç ãO /A rQ U iV O D A ED iT O rA 16 Matemática 5. Lei dos cossenos Voltemos ao nosso engenheiro e seu problema em medir a distância entre os postes, sugerido no início do item 4. se tivesse encontrado alguma dificuldade para obter o ângulo de 45°, ou mesmo que não quisesse obtê-lo, o engenheiro poderia ter pedido ao seu segundo auxiliar que medisse a distância do local onde ele estava até o poste mais próximo. assim, além do valor do ângulo (120°) que o engenheiro já havia medido e a distância (100 m) entre o poste mais afastado e ele, o engenheiro teria obtido a nova distância, de 36,60 m, entre o poste mais próximo e ele. essas informações também permitiriam calcular a distância desejada. Vejamos essas repre- sentações novamente. Realidade Modelo matemático 120° O B d 100 36,60 A pelo desenho, observamos que o nosso problema consiste em determinar a medida de um lado de um triângu- lo, quando conhecemos as medidas dos outros dois, e do ângulo oposto ao lado cuja medida queremos encontrar. para resolvê-lo, precisamos estudar a lei dos cossenos, enunciada a seguir: em qualquer triângulo aBC, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam, ou seja: • a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? cos Ba • b2 5 a2 1 c2 2 2ac ? cos BB • c2 5 a2 1 b2 2 2ab ? cos BC A a c b B C Vamos provar apenas a primeira das relações acima, considerando o ângulo A agudo; a demonstração das outras relações é análoga. o ângulo agudo A pode estar em um triângulo acutângulo, retângulo ou obtusângulo. HC A B a c b h a � h c b B AC � H B H C h a c b A Vamos demonstrar a lei dos cossenos usando o triângulo acutângulo. traçando a altura tBhu, obtemos os triângulos retângulos aBh e CBh. FO rm AT O C O m U N iC Aç ãO /A rQ U iV O D A ED iT O rA 17capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer • No naBh, temos: cos cos B BA AH c AH c A c h AH � � � � ⇒ ? 2 2 2 ( cos ) ⇒ ⇒ ⇒h c AH h c c A2 2 2 2 2 2� � � � ? B cos ⇒ = h c c A2 2 2 2� ? B • No nCBh, temos: a2 5 h2 1 CH2 ⇒ a2 5 h2 1 (b 2 tahu)2 ⇒ h2 5 a2 2 (b 2 c ? cos Ba)2 ⇒ h2 5 a2 2 b2 1 2bc ? cos Ba 2 c2 ? cos2 Ba ii • De i e ii temos: a2 2 b2 1 2bc ? cos Ba 2 c c cA A2 2 2 2 2cos cos� �B B� − ⇒ a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? cos Ba Exemplos: 1‚) agora, estamos em condições de resolver a situação-problema colocada no início deste item: Voltemos ao nosso engenheiro e seu problema em medir a distância entre os postes (…). se tivesse encontrado alguma dificuldade para obter o ângulo de 45°, ou mesmo que não quisesse obtê-lo, o engenheiro poderia ter pedido ao seu segundo auxiliar que medisse a distância do local onde ele estava até o poste mais próximo. assim, além do valor do ângulo (120°) que o engenheiro já havia medido e a distância (100 m) entre o poste mais afastado e ele, o engenheiro teria obtido a nova distância, de 36,60 m, entre o poste mais próximo e ele. essas informações também permitiriam calcular a distância desejada. Vamos calcular essa distância. Realidade Modelo matemático 120° O B d 100 36,60 A pela lei dos cossenos, temos: d2 5 1002 1 (36,6)2 2 2 ? 100 ? 36,6 ? cos 120° ⇒ d2 5 15 000 ⇒ d m ,5 515 000 50 6 122 47� observe que esse valor é o mesmo encontrado no primeiro exemplo do item anterior (página 14). 2‚) o ângulo agudo de um losango mede 20° e seus lados medem 5 cm. Vamos calcular as medidas das diagonais menor e maior do losango. • diagonal menor 20° x 55 x 5 5 2 5 5 = 252 2 2 cos 20° � � � �? ? ? 225 50 50 47 3 x 3 1,70,94� � � � �? ⇒ � cm i usando a tabela da página 27 ou uma calculadora científica Para refletir Como foi determinado o ângulo de 160°? Para refletir • Verifique que a relação vale para BA agudo no triângulo retângulo e no triângulo obtusângulo. • Podemos considerar o teorema de Pitágoras (a2 5 b2 1 c2) como um caso particular da lei dos cossenos. FO rm AT O C O m U N iC Aç ãO /A rQ U iV O D A ED iT O rA 18 Matemática • diagonal maior 160° y 5 5 y 5 5 2 5 5 50 52 2 2 cos 160° � � � � �? ? ? 00 50 47 97 y 97 9,8 cm( 0,94)? � � � � � ⇒ � * 3‚) (Uel-pr) entre os povos indígenas do Brasil contemporâneo, encontram-se os yanomami. estimados em cerca de 9 000 indivíduos, vivem muito isolados nos estados de roraima e amazonas, predomi- nantemente na serra do parima. o espaço de floresta usado por cada aldeia yanomami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três círculos concêntricos: o primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária familiar; e o terceiro, com raio de 20 km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas. Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia localizada no centro dos círculos, percorra 8 km em linha reta até um local de caça individual e a seguir percorra mais 8 km em linha reta na direção que forma 120° com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça antiga, a distância do ponto de partida até este local é: a) 8 3 . b) 8 3 3 . c) 3 8 . d) 8 2 . e) 2 8 . 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dada a descrição do espaço da floresta usado por cada aldeia (uma série de três círculos con- cêntricos: o primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária familiar; e o terceiro, com raio de 20 km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas). também é dado o trajeto percorrido pelo indivíduo (ele sai de sua aldeia localizada no centro dos círculos, percorre 8 km em linha reta até um local de caça individual e a seguir percorre mais 8 km em linha reta na direção que forma 120° com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça antiga). b) O que se pede? pede-se a distância que um indivíduo estará do local de partida após caminhar seguindo as indicações do enunciado. 2. Planejando a solução Devemos interpretar o texto montando o trajeto percorrido pelo indivíduo. assim podemos escolher a melhor maneira de obter a distância dele ao ponto de partida. De acordo com o texto, montamos o esquema abaixo: 120° A Área de uso imediato da comunidade Área de caça individual e coleta diária familiar Área de caça e coleta coletivas e roças 8 8 B 120° A 8 8 x B cos 160 5 2cos 20 ti m -t im p o r ti m -t im 19capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer analisando o esquema anterior, percebemos a necessidade de se obter o lado taB do triângulo resultante das informações do enunciado. assim, a estratégia se resume a obter o lado taB do triângulo, usando a lei dos cossenos. 3. Executando o que foi planejado Chamando a medida do lado taB de x, usaremos a lei dos cossenos para obtê-lo: lei dos cossenos: x2 5 82 1 82 2 2 ? 8 ? 8 ? cos 120° Como visto no início deste capítulo, o cosseno de 120° equivale ao oposto do cosseno de 60° (ou seja, cos 120° 5 2cos 60°). x2 5 64 1 64 2 2 ? 8 ? 8 ? (–cos 60°) x2 5 64 1 64 1 128 ? cos 60° x2 5 128 1 128 ? 1 2 x2 5 192 ⇒ x 5 8 3 assim, o indivíduo em questão estará a 8 3 km do local de origem (aproximadamente 13,6 km). 4. Emitindo a resposta a resposta é a alternativa a. 5. Ampliando o problema a) se o indivíduo em questão desejar retornar à área de caça individual, qual é a distância mínima que ele irá percorrer? b) Calcule a área, em km2, de cada um dos três locais descritos no texto: a área de uso imediato da comunidade;a área de caça individual e da coleta diária familiar e a área das expedições de caça e coleta coletivas. c) Discussão em equipe o artigo 231 da Constituição Federal do Brasil, de 1988, reconhece “aos índios sua organização social, costumes, línguas, crenças e tradições, e os direitos originários sobre as terras que tradicionalmente ocupam, competindo à União demarcá-las, proteger e fazer respeitar todos os seus bens”. os yano- mami tiveram suas terras demarcadas em 1992. porém, cada nova demarcação de terras indígenas gera muita discussão e processos judiciais, principalmente por causa da retirada dos indivíduos não indígenas que residem nessas áreas. troque ideias com seus colegas sobre a situação dos índios no Brasil. Discutam sobre estas questões: • É importante a preservação da cultura indígena? • os povos indígenas no Brasil são respeitados como deveriam? • os índios devem ter direito a essas áreas exclusivas para viver (as tais áreas demarcadas)? d) Pesquisa • além do Brasil, em que outro país vivem os yanomami? • o que significa a palavra yanomami? • o que significa a sigla Funai? Observação: No capítulo 11 do primeiro volume e neste primeiro capítulo sobre trigonometria estudamos a trigonome- tria do triângulo. Neste caso, as funções seno e cosseno têm como domínio o conjunto A de todos os ângulos do plano, menores do que ou iguais a dois ângulos retos. tais funções são independentes da forma de como se medem os ângulos. logo, dispensam a consideração de arcos de círculo, radianos, etc. isso merecerá atenção especial quando estudarmos, no capítulo 6, sen x e cos x como funções reais de uma variável real. 20 Matemática Exercícios propostos 22. No triângulo da figura abaixo, calcule a medida x. 60° 1 3 x 23. No triângulo da figura abaixo, são dados: a 5 4, b 5 3 2 e BC 5 45°. Calcule a medida c. A c B a C b 24. No triângulo da figura abaixo, taCu 5 3, tBCu 5 4, taBu 5 3 e BBaC 5 a. Determine o valor de cos a. A B C � 25. Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e formam entre si um ângulo de 120°. Calcule a medida do terceiro lado. 26. Num triângulo aBC são dados: Ba 5 45°, b 5 8 2 e c 5 10. Calcule a medida do terceiro lado do triângulo. 27. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 14 cm e 10 cm e formam um ângulo de 60°. Calcule as medidas de suas diagonais. 28. seja um triângulo aBC, no qual a 5 5 cm, b 5 2 cm e c 5 17 .cm Calcule a medida do ângulo C. 29. Duas forças de intensidade F1 5 8 N e F2 5 12 N for- mam entre si um ângulo de 60°. Qual é a intensidade R resultante dessas duas forças? 60° R F 1 F 2 30. (FCmsCsp) Considerando a figura abaixo, qual o valor de sen a? �O r r 3r 2 31. Considere uma circunferência de raio r e , a medida do lado de um decágono regular inscrito nessa cir- cunferência. Determine , em função de r. [a 5 360 º n ] 32. resolva o triângulo abaixo. Use sua calculadora se precisar. 5 50° 68° 33. Medida da distância de um ponto A (onde está o obser- vador) a um ponto P inacessível Vamos supor que um observador esteja no ponto A e queira saber a distância entre A e P, que é o ponto onde se localiza uma árvore do outro lado de um rio, conforme representado na figura a seguir. � � O r r 21capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 36. Uberaba, Uberlândia e araguari são cidades do triân- gulo mineiro localizadas conforme a figura a seguir. a partir dos dados fornecidos, determine a distância aproximada de Uberaba a Uberlândia. (Dados: sen 36º 5 0,59; cos 36º 5 0,81; sen 132º 5 0,74 e cos 132º 5 20,67.) 132° 36° Araguari Uberlândia 140 km Uberaba 37. Na figura abaixo, calcule x. 120° x x – 1 x + 1 38. Um paralelogramo tem lados medindo 6 cm e 8 cm. sabendo que a diagonal menor mede 52 ,cm cal- cule a medida da diagonal maior. Desafio em equipe Um corredor A está sobre uma reta r e corre sobre ela no sentido aX. Um corredor B não está em r e, correndo em linha reta, pretende alcançar A. sendo a partida simultâ- nea, que direção deve tomar B se as velocidades de ambos são conhecidas? B ? A Xr Considerem BBaX 5 110°, velocidade de A igual a 8 m/s e velocidade de B igual a 9 m/s. Determinem o ângulo que a trajetória de B deve fazer com a reta Ba para que o encontro seja possível.* A P o observador se locomove de A para B, de onde pode ver também o ponto P. A B P Qual é a distância de A a P sabendo que a distância de A a B é 2 km, a medida do ângulo B Bap é igual a 120° e a medida do ângulo a BBp é igual a 45°? 34. Medida da distância entre dois pontos inacessíveis De um lado de um rio é possível ver duas árvores, A e B. Na margem em que está, um observador marca dois pontos, P e Q, distantes 500 m um do outro. Usando ins- trumentos apropriados, ele mede os ângulos aBpB 5 30°, BBpQ 5 50°, aBQp 5 65° e a BQB 5 35°. Qual é a dis tância entre A e B? A B Q P 30° 35°65° 50° 500 35. Dois vetores oa- e oB- têm módulos de 4 m e 10 m e formam um ângulo de 60º. Calcule o módulo do vetor resultante (soma dos vetores). * extraído de , elon lages e outros. Temas e problemas. rio de Janeiro, sBm, 2001. p. 69. (Coleção do professor de matemática.) FO rm AT O C O m U N iC Aç ãO / Ar Q U iV O D A ED iT O rA FO rm AT O C O m U N iC Aç ãO / Ar Q U iV O D A ED iT O rA FO rm AT O C O m U N iC Aç ãO /A rQ U iV O D A ED iT O rA 22 Matemática A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS O mundo na palma das mãos Durante séculos, os astros e a Matemática foram os instrumentos que permitiram aos homens desenhar mapas para se localizarem no planeta. Hoje, quando o planeta é visto de cima pelos satélites, seus contornos não têm mais segredo. Durante séculos, porém, os astros e a Matemática foram os instrumentos que permitiram aos homens desenhar mapas para se localizarem no planeta. Antes mesmo de começar a escrever, é provável que os homens das primeiras civilizações rabiscassem representações gráficas dos lugares por onde passavam. Segundo o professor D. R. F. Taylor, presidente da Associação Cartográfica Internacional, “em- bora não seja possível dizer quando surgiu o primeiro mapa, eles começaram a ser feitos há mais de 4 000 anos por culturas antigas da Mesopotâmia, China, Egito e Grécia”. Por mais de vinte séculos, os homens olharam para o céu para calcular distâncias e representá-las nos mapas. Hoje fazem o inverso: vão para o espaço e de lá conseguem imagens do planeta com uma precisão inalcançável para quem tem os pés na Terra. No Egito, essa prática começou cedo. Os egípcios já conheciam a triangulação, uma técnica para determi- nar distâncias baseada na Matemática, que seria depois usada por muitos outros povos. A triangulação utiliza um princípio da trigonometria: se um lado e dois ângulos de um triângulo são conhecidos, é possível calcular o terceiro ângulo e os outros dois lados. Determinava-se, então, uma base para se chegar às distâncias desejadas. A medição de terras era quase vital para os faraós e sacerdotes, já que seus incontáveis gastos eram garantidos basicamente pelos impostos cobrados sobre a terra, pagos em cereais. Demarcando a terra, os faraós tinham certeza de que nenhum grão ficava de fora. Mas quem achou o mapa do tesouro da cartografia foram os gregos. “Eles foram o primeiro povo a ter uma base científica de observação”, conta a cartógrafa Regina Vasconcelos, professora da Universidade de São Paulo e membro da Associação Cartográfica Internacional. “A princípio, os gregos acreditavam ser a Terra um disco achatado”. Seus primeiros mapas-múndi, como o de Anaximandro de Mileto (610 a.C.-546 a.C.), eram represen- tados por um círculo onde um oceano circundava os três continentes conhecidos: Europa, Ásia e África. jU Pi TE ri m AG Es /A G EN CE F rA N CE -P rE ss E Ainda no século VI a.C., a escola de Pitágoras apresentou uma Terra esférica.Essa suposição tinha base em observações práticas, como a sombra projetada por um eclipse, e considerações filosóficas, como o fato de a esfera ser a forma geométrica mais perfeita. Coube ao filósofo e astrônomo Eratóstenes (276 a.C.-194 a.C.) a tarefa de medir a circunferência da Terra. Também conhecedor de Matemática, Eratóstenes usou a trigonometria em seus cálculos. Ele observou que nos dias 20 e 21 de junho o ângulo que os raios do Sol faziam com a superfície da Terra na cidade de Siena (hoje Assuã) era de 90°. Nos mesmos dias, esse ângulo era de 7° para a cidade de Alexandria. Por meio de mapa da terra baseado nos mitos e conhecimentos dos antigos gregos na época de homero (1‚ e 2‚ milênio antes de Cristo). sH Ei lA T Er ry /s Ci EN CE P H O TO l iB rA ry /l AT iN sT O Ck 23capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO 1. Nos séculos antes do nascimento de Cristo não exis- tiam instrumentos de medição precisos; por isso era- tóstenes cometeu um erro ao calcular que a circun- ferência da terra era de 45 000 km. Considerando que a circunferência da terra é de 40 000 km, qual foi o percentual de erro de eratóstenes? 2. Um caminhoneiro parte de um depósito localizado em A, viaja até um mercado localizado em B e retorna ao depósito. Depois de reabastecer seu caminhão, viaja para um aeroporto localizado em C. lá descobre que esqueceu seu celular no mercado e vai buscá-lo. Con- sidere as distâncias e o ângulo indicados na figura. A 20 km B C x 30 km60° Qual é o valor da distância x, que liga o aeroporto até o mercado? a) 400 km d) 700 km b) 500 km e) 800 km c) 600 km 3. Com o intuito de ir até uma ilha, um navegador deveria viajar 2 milhas rumo ao nordeste. por um pro- blema de orientação, o navegador seguiu erradamente 2 milhas rumo ao norte. ao perceber o erro, ele corrigiu a rota e viajou diretamente até a ilha. No instante da identificação do erro, qual era a distância do navegador até a ilha? PESQUISANDO E DISCUTINDO 4. pesquise a importância da Cartografia e troque ideias com seus colegas. em um mapa da sua cidade, loca- lizem diversos pontos importantes como escolas, universidades, hospitais. Comparem na internet com o Google maps ou com outro equivalente. 5. (UtFpr/adaptado) Numa feira de ciências, dois alunos, pedro e marcelo, construíram um teodolito elementar usando 20 cm de cano de pVC 40, duas luvas de re- dução 50 3 40, cola de cano, policarbonato 3 mm, policarbonato 1 mm, fio de náilon, peso, transferidor, cintas de pVC e quatro tarraxas fixadoras, conforme mostra a foto abaixo. em equipe, construa um teodolito elementar e, com as informações vistas no capítulo, use-o para medir a altura de construções, árvores, monumentos. ini- cialmente, teste seu procedimento descobrindo com o teodolito a altura de um colega. VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO procure mais informações em jornais, revistas e nos sites www.cartografia.org.br/, www.suapesquisa.com/grandes- navegacoes/ e www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteu- do_producoes/docs_27/equador.pdf. relatos de viajantes, Eratóstenes sabia que a distância entre as duas cidades era de cerca de 5 000 estádios, ou 206 250 metros. Mais uma vez usando trigonometria, ele foi capaz de calcular a circunferência da Terra. Chegou ao resultado de 45 000 quilômetros. Uma precisão razoável, já que o valor real é de 40 076 quilômetros. Posidônio (135 a.C.-51 a.C.), um século mais tarde, utilizou a distância entre Rodes e Alexandria e a altura da estrela Canopus para fazer o mesmo cálculo, chegando ao resultado de 29 000 quilômetros. Provavelmente, foi esse o cálculo adotado por Cristóvão Colombo, quinze séculos mais tarde, fazendo-o acreditar, pelo tempo de viagem, que havia chegado às Índias. O sistema de coordenadas geográficas latitude e longitude também é um legado dos gregos, graças, mais uma vez, à Matemática, e também às observações de fenômenos celestes. Adaptado de: Ivonete D. Lucírio & Gisela Heymann. Revista Superinteressante. http://super.abril.com.br/superarquivo/1992/ conteudo_113048.shtml. Acesso em 4/9/2009. rE Pr O D U çã O /U N iV Er si D AD E TE CN O ló G iC A FE D Er Al D O P Ar AN á, 2 00 8 24 Matemática A seguir, separadas por regiões geográficas, relaciona- mos algumas questões de vestibular que envolvem o con- teúdo deste capítulo. Região Norte 1. (Uepa) Três cidades A, B e C precisam ser interligadas para que seus moradores possam comercializar os pro- dutos por eles produzidos. Já existem duas estradas, em linha reta, que ligam as cidades A à B e B à C, sendo que as prefeituras das cidades A e C desejam construir uma nova estrada para ligá-las. A figura abaixo mostra um levantamento topográfico feito por uma empresa de engenharia. A B C Sabendo-se que as medidas determinadas pela empre- sa de engenharia foram: AB 5 100 km; m(ABBC) 5 60° e m(BBAC) 5 75°, a distância entre as cidades A e C que deve ser considerada para construção de uma estrada, em linha reta, para ligar estas cidades é: a) 100 6 .km d) 50 3 .km b) 100 3 .km e) 50 6 .km c) 75 3 .km Região Nordeste 2. (UFS-SE) Se os raios solares formam um ângulo a com o solo, qual é, aproximadamente, o comprimento da sombra de um edifício com 10 m de altura? [Dado: sen a 5 35 .] a) 16,6 m b) 15,5 m c) 14,4 m d) 13,3 m e) 12,2 m 3. (UFPE) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA 5 57° e ACB 5 59°. Sabendo que BC me- de 30 m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen 59° < 0,87 e sen 64° < 0,90.) A 57° 59° B C 4. (Unifor-CE) Em um paralelogramo ABCD, os lados tAB e tAD medem, respectivamente, 4 cm e 7 cm, e u é o ângulo agudo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede 93 cm, então o ângulo u é tal que: a) tg u 5 2. d) sen u 5 2 2 . b) tg u 5 1. e) cos u 5 3 2 . c) cos u 5 1 2 . 5. (Unifor-CE) No triângulo da figura abaixo vale a fór- mula a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? cos a, conhecida como lei dos cossenos. b a � c Num triângulo com lados medindo 6 cm, 8 cm e 2 37 ,cm qual é a medida do ângulo oposto ao maior lado? a) 30° b) 45° c) 60° d) 120° e) 150° 6. (UFC-CE) Um octógono regular está inscrito em uma circunferência de raio 1. Os vértices A, D e E do octó- gono são tais que AE é um diâmetro de sua circunfe- rência circunscrita e D e E são adjacentes. Determine o comprimento da diagonal AD. Região Centro-Oeste 7. (UnB-DF) Um observador, situado no ponto A, distan- te 30 m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo de 30°, conforme a figura a seguir. >Atividades adicionais ATENÇÃO! AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC., NÃO ESCREVA NO LIVRO. TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO. 25Capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer A B C D 30° 75° 60° Baseado nos dados da figura, determine a altura do edifício em metros e divida o resultado por 2 . (Dados: AB 5 30 m; med(CBAD) 5 30°; med(CBAB) 5 75°; med(ABBC) 5 60°; med(D BCA) 5 90°.) a) 10 m c) 12 m e) 15 m b) 11 m d) 14 m 8. (UFG-GO) O mostrador do relógio de uma torre é di- vidido em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos? A O B 9. (UFMS) Um radar localiza objetos utilizando círculos concêntricos espaçados regularmente de R quilôme- tros, sendo R o raio do menor círculo. Os objetos A, B, C e D foram detectados nesse radar de tal forma que a reta que contém o segmento AO forma um ângulode 30° com o eixo Ox; a reta que contém os pontos B e O forma um ângulo agudo de 60° com o eixo Ox; C se encontra no eixo Oy e D se encontra no eixo Ox, como na figura a seguir. B A O C D y x Se d(A, B), d(A, C), d(A, D), d(B, C), d(B, D) e d(C, D) são as distâncias reais entre os objetos (A e B), (A e C), (A e D), (B e C), (B e D) e (C e D), respectivamente, então é incorreto afirmar que: (Se necessário use: 2 1 4 3 1 7 , ; , .5 5 ) a) d(A, B) , d(B, C). d) d(A, D) . d(B, C). b) d(C, D) . d(A, C). e) d(B, D) , d(A, D). c) d(A, B) , d(A, C). 10. (Unemat-MT) A figura abaixo mostra um rio e três ár- vores A, B e C. Um engenheiro pretende medir a dis- tância entre as árvores A e B, situadas em margens opostas do rio. Para isso ele escolheu uma árvore C que está situada na mesma margem que A, e mediu os ângulos ACB e CAB, encontrando, respectivamente, 45° e 60°. (Dados: sen 75° 5 0,9659; cos 75° 5 0,2588; cos 60° 5 0,50; sen 60° 5 0,8660; sen 45° 5 0,7071; cos 45° 5 0,7071.) A C rio B rio Se a distância entre as árvores A e C é igual a 27 m, então a distância entre as árvores A e B será aproxi- madamente igual a: a) 40 m. b) 30 m. c) 93 m. d) 78 m. e) 19 m. Região Sudeste 11. (Vunesp) Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afas- ta-se 20 m da margem, na direção da reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos DBCB e BBDC medem, respectivamente, cerca de 15° e 120°, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação 6 . 2,4? A C B D 26 Matemática 12. (PUC-MG) Uma porta retangular de 2 m de altura por 1 m de largura gira 30°, conforme a figura ao lado. A distância entre os pontos A e B, em metros, é: a) 5 . b) 3 . c) 2 3 .1 d) 4 3 .1 e) 6 3 .2 13. (Fuvest-SP) Em uma semicircunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo ABCB intercepta a semicircunferência. C A D B O comprimento da corda tAD é: a) R 2 3 .� d) R 3 1 .2 b) R 3 2 .� e) R 3 2 .� c) R 2 1 .2 14. (PUCC-SP) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando a bicicle- ta em estacionamentos próprios. Considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as medidas indicadas estão em centíme- tros. (Dado: cos 53° 5 0,6.) 48 B A 53° 40 D 62 53 C O perímetro do triângulo BCD, em centímetros, é igual a: a) 148. b) 152. c) 155. d) 160. e) 172. 15. (Ufes) Duas viaturas policiais A e B perseguem um carro suspeito C numa grande cidade. A viatura A possui um radar que informa ao Comando Central que a distância dela até B é de 8 km e a distância dela até C é de 6 km. A viatura B possui um aparelho que informa ao Comando que, nesse instante, o ân- gulo A BBC é de 45°. Sabendo que o carro C está mais próximo de A do que de B, calcule a distância, em km, entre B e C. A resposta é: a) 2 3 41 . d) 3 2 31 . b) 4 2 21 . e) 2 2 41 . c) 3 2 21 . Região Sul 16. (UFPR) Em um triângulo ABE, a medida do lado AE é 3, a do ângulo E é 75°, e a do ângulo A é 45°. Dois pontos, C e D, pertencem ao lado AB. Sabe-se que a distância AC é 2 e que o segmento ED é perpendi- cular a AB. Nessas condições, é correto afirmar: 01) A medida do ângulo B é igual a 60°. 02) AD . ED 04) EB5 6 08) EC5 5 Soma () 17. (UFTPR) Um turista se encontra em um ponto A no Parque Barigui e vê o Mirante da Torre de Telecomu- nicações no bairro Mercês, representado por um pon- to P. De um ponto B, distante 1 km do ponto A, tam- bém é possível ver o mesmo mirante. A B P Barigui Mercês Se os ângulos BAP 5 30° e ABP 5 135°, então, pode-se afirmar que a distância entre o turista (ponto A) e a torre (ponto P) é de, aproximadamente: (Considere: 2 1 41 3 1 735 5, , .e ) a) 1,41 km. b) 3,58 km. c) 2,73 km. d) 4,41 km. e) 5,12 km. 30°A B 27Capítulo 1 | Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer Tabela de razões TrigonoméTricas Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg 1° 2° 3° 4° 5° 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 1,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 46° 47° 48° 49° 50° 0,719 0,731 0,743 0,755 0,766 0,695 0,682 0,669 0,656 0,643 1,036 1,072 1,111 1,150 1,192 6° 7° 8° 9° 10° 0,105 0,122 0,139 0,156 0,174 0,995 0,993 0,990 0,988 0,985 0,105 0,123 0,141 0,158 0,176 51° 52° 53° 54° 55° 0,777 0,788 0,799 0,809 0,819 0,629 0,616 0,602 0,588 0,574 1,235 1,280 1,327 1,376 1,428 11° 12° 13° 14° 15° 0,191 0,208 0,225 0,242 0,259 0,982 0,978 0,974 0,970 0,966 0,194 0,213 0,231 0,249 0,268 56° 57° 58° 59° 60° 0,829 0,839 0,848 0,857 0,866 0,559 0,545 0,530 0,515 0,500 1,483 1,540 1,600 1,664 1,732 16° 17° 18° 19° 20° 0,276 0,292 0,309 0,326 0,342 0,961 0,956 0,951 0,946 0,940 0,287 0,306 0,325 0,344 0,364 61° 62° 63° 64° 65° 0,875 0,883 0,891 0,899 0,906 0,485 0,469 0,454 0,438 0,423 1,804 1,881 1,963 2,050 2,145 21° 22° 23° 24° 25° 0,358 0,375 0,391 0,407 0,423 0,934 0,927 0,921 0,914 0,906 0,384 0,404 0,424 0,445 0,466 66° 67° 68° 69° 70° 0,914 0,921 0,927 0,934 0,940 0,407 0,391 0,375 0,358 0,342 2,246 2,356 2,475 2,605 2,747 26° 27° 28° 29° 30° 0,438 0,454 0,469 0,485 0,500 0,899 0,891 0,883 0,875 0,866 0,488 0,510 0,532 0,554 0,577 71° 72° 73° 74° 75° 0,946 0,951 0,956 0,961 0,966 0,326 0,309 0,292 0,276 0,259 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 31° 32° 33° 34° 35° 0,515 0,530 0,545 0,559 0,574 0,857 0,848 0,839 0,829 0,819 0,601 0,625 0,649 0,675 0,700 76° 77° 78° 79° 80° 0,970 0,974 0,978 0,982 0,985 0,242 0,225 0,208 0,191 0,174 4,011 4,332 4,705 5,145 5,671 36° 37° 38° 39° 40° 0,588 0,602 0,616 0,629 0,643 0,809 0,799 0,788 0,777 0,766 0,727 0,754 0,781 0,810 0,839 81° 82° 83° 84° 85° 0,988 0,990 0,993 0,995 0,996 0,156 0,139 0,122 0,105 0,087 6,314 7,115 8,144 9,514 11,430 41° 42° 43° 44° 45° 0,656 0,669 0,682 0,695 0,707 0,755 0,743 0,731 0,719 0,707 0,869 0,900 0,933 0,966 1,000 86° 87° 88° 89° 0,998 0,999 0,999 1,000 0,070 0,052 0,035 0,017 14,301 19,081 28,636 57,290 capítulo 2 ConCeitos trigonométriCos básiCos Matemática Stonehenge, Inglaterra. propriedades dos ângulos centrais de uma circunferência eram conhe cidas desde o tempo de Eudoxo — astrônomo, matemático e filósofo grego que viveu no século IV a.C. —, que teria usado medidas de ângulos em diversos cálculos, como a de terminação das dimensões da Terra e da distância relativa entre o Sol e a Terra. Acredita-se que os sumérios e os aca- dianos, antigos povos habitantes da Mesopo- tâmia (3500 a.C.), já sabiam medir ângulos — é atribuída aos sumérios a criação da escrita cuneiforme, a mais antiga de que se tem notícia. Feita com o auxílio de uma cunha, a escrita cuneiforme era composta de traços verticais, hori zontais e oblíquos. Outro indício do conhecimento do conceito de ângulo é a construção do monumento Stonehenge , entre 2500 e 2000 a.C., na Inglaterra. Stonehenge é um monumento me- galítico da Idade do Bronze. É o mais conhecido dos círculos de pedras britâ- nicos e parece ter sido projetado para a observação de fenômenos astronômicos, como os solstícios de verão e de inverno e os eclipses. capítulo 2 ClAudIO lArA ngEIrA/EdITO rA ABrIl 28 O céu sempre atraiu cientistas e estudiosos. repleto de astros e estre las, chamados corpos celestes, o céu levou o homem a construir enge- nhosas fer ramentas que possibilitassem a obser- vação desses corpos, pois acreditava-se que a vida na Terra recebia sua influência direta. Assim nasceu a Astronomia, que significa ‘lei das estrelas’. O movimento dos planetas foi determinante na descoberta de que eles giravam em torno do Sol. nessecontexto, acredita-se que essa ciência deve ter sido a primeira a considerar o conceito de ângulo tal como o encontramos na Matemática. Os ângulos aparecem nos registros da grécia antiga associados ao estudo dos ele mentos de um círculo, relacionados com ar cos e cordas. As >atividades b) nessa roda é possível que haja dois alunos for- mando 90°? 4. “Em Astronomia, solstício é o momento em que o Sol, durante seu movimento aparente na esfera ce- leste, atinge o seu maior afastamento, em latitude, do equador. (...) Por causa do sols tício, existem os trópicos de Câncer e de Capricórnio. no solstí cio de verão no hemisfério sul, os raios solares incidem per- pendicularmente à Terra na linha do trópico de Ca- pricórnio. no solstício de inverno, ocorre a mesma coisa no trópico de Câncer.” (Fonte: http://pt.wikipe- dia.org/wiki/Solsticio. Acesso em 29/6/2009.) • O trópico de Capricórnio é o paralelo situado 23,4° ao sul do equador terrestre (23°27’ de latitude sul), que delimita a zona tropical sul e corresponde à declinação mais meridional da elíptica do Sol sobre o equador celeste. • O trópico de Câncer é o paralelo situado 23,4° ao norte do equador terrestre (23°27’ de latitude norte), que delimita a zona tropical norte e cor- responde à declinação mais setentrional da elíptica solar para o equador celeste. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tropico. Acesso em 29/6/2009.) de acordo com o texto, qual é a posição do trópico de Capricórnio em relação ao trópico de Câncer? 29capítulo 2 | Conceitos trigonométricos básicos A divisão do círculo em partes iguais, obtida por meio de ângulos cen trais congruentes, aparece bem mais tar de. Hipsicles (século III a.C.) foi um dos primeiros astrônomos gregos a dividir o círculo em 360 partes iguais, mas não há evidência científica da escolha desse número. O que pode tê-la influen- ciado é o fato de já se saber que o movimento de translação da Terra em torno do Sol se realizava em um período de aproximadamente 360 dias. Mas a hipótese mais provável é ter havido a influência do sistema de nu meração de base sexagesimal (base 60), utilizado na Babilônia, justificando tam bém as subdivisões das medidas dos ân gulos, que seguem essa base. A Trigonometria, como seu nome sugere, é o estudo das medidas envol vidas no triângulo. Seu propósito inicial é, portanto, a resolução de triângulos. Você já conhece as relações entre os ân gulos e os lados de um triângulo retân gulo, as razões trigonométricas. Agora vamos estender esses conceitos a ângulos maiores do que 180°, e para isso conta remos com o apoio de uma circun ferência, chamada circunferência trigo nométrica, na qual serão considerados os ângulos centrais. 1. Construa uma circunferência de centro O e raio r qualquer (escolha um valor para r). Marque um pon- to A na circunferência e transfira a medida de r, a partir de A, encontrando um ponto B na circunfe- rência. una os pontos A e B ao ponto O. Você é capaz de responder qual é a medida do ângulo ABOB? Essa medida depende do valor escolhido para r? 2. repita o procedimento da atividade anterior, com uma pequena modificação: Transfira sobre a circun- ferência a medida r, isto é, AB não será corda, mas arco de circunferência. neste caso, para obter o ponto B você terá que usar algum artifício (por exemplo, um barbante), para que a medida r seja colocada ao longo da curva. Então, repita o proce- dimento da atividade 1: una A e B ao centro O e meça (agora você vai precisar do transferidor) o ângulo A BOB. Em seguida, repita esta atividade para outro valor de r e compare os resultados. 3. Em uma aula de Matemática, o professor colocou 30 alunos numa roda. Supondo que ele tenha fica- do no centro (equidistante, portanto, de todos os alunos) e que os alunos tenham sido bem distribuí- dos ao longo da roda, responda: a) Qual é o menor ângulo formado pelos alunos de números 1 e 14? ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO. Matemática30 1. Introdução No capítulo 11 do volume1 e no capítulo anterior estudamos a Trigonometria tal qual ela apareceu há milhares de anos, com o objetivo de resolver triângulos. Nos próximos capítulos vamos fazer um estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, uma necessidade mais recente da Matemática. Nesse novo contexto, o triângulo retân- gulo é insuficiente para as definições necessárias e precisamos estabelecer um novo “ambiente” para a Trigonometria: a circunferência trigonométrica. Neste capítulo veremos conceitos necessários para esse novo estudo. 2. Arcos e ângulos Vamos recordar alguns conceitos já conhecidos da Geometria plana: • Arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, incluindo-os. Se os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta. O A B ← arco AB O A � B • Medida e comprimento de um arco: considere um ponto A sobre uma circunferência de raio R e centro O. Deslocando-se o ponto A sobre a circunferência, ele percorre uma distância ao mesmo tempo que gira um ângulo a em torno do centro O. Esse movimento do ponto A descreve um arco de circunferência de medida a e comprimento . • Unidades: para a medida a usam-se geralmente unidades como o “grau” e o “radiano”. Para o comprimento usam-se em geral unidades como “metro”, centímetro”, “quilô- me tro”, etc. • Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem a mesma medida do ângulo central que o subtende. O B � A Arco: )AB medida de )AB: a Ângulo central: ABOB medida de A BOB: a Para refletir Considere cinco circunferências con- cêntricas de raios diferentes e um mesmo ângulo central subtendendo arcos em todas elas. Os cinco arcos terão a mesma medida? E terão o mesmo comprimento? • Comprimento de uma circunferência de raio r: C 2πr. • Medida de uma circunferência em graus: 360°. • Relação entre o comprimento e a medida a (em graus) do arco: a 360 2πr, pois 2 360 πr .� � Com a em radianos temos ar, pois r 1 .� � Para refletir O comprimento depende do raio da circunferência, mas a medida a não. 31capítulo 2 | Conceitos trigonométricos básicos 3. Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos) As unidades mais usadas para medir arcos de circunferência (ou ângulos) são o grau e o radiano. • Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um grau (1°). Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário: O AB O A B O A � B O A B arco AB de 90° arco AB de 180° arco AB de 270° arco AB de 360° ou 0° (um quarto de volta) (meia volta) (três quartos de volta) (uma volta ou nulo) • Radiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência. Isso deve ser interpretado da seguinte forma: se temos um ângulo central de medida 1 radiano, então ele subtende um arco de medida 1 radiano (lembre que a medida do arco é igual à medida do ângulo central) e comprimento de 1 raio. Se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele subtende um arco de medida 2 radianos e comprimento de 2 raios. Se temos um ângulo central de medida a radianos, então ele subtende um arco de medida a radianos e comprimento de a raios. Assim, se a medida a do arco for dada em radianos, teremos ar . O A B r comprimento do arco AB comprimento de tOAu (r) ou m()AB) 1 rad Relação entre as unidades para medir arcos Sabemos que o comprimento C da circunferência de raio r é igual a C 2πr, em que π 3,141592... Como cada raio r corresponde a 1 rad, podemos afirmar que o arco correspondente à circunferência mede 2πr 2π ? 1 rad 2π rad. a) A � B )AB: arco de 360° ou arco de 2π rad c) AB b) A B d) A B Para refletir “Esticando” o arco AB, a me- dida do segmento obtido será igual à do raio. Use o transferidor e verifique, aproximadamente, a quantos graus corresponde1 radiano. Para refletir Observe que é mais simples responder à pergunta “Qual é o comprimento de um arco de 2 radianos numa circun- ferência de raio 10 cm?” do que à pergunta “Qual é o comprimento de um arco de 30° numa circunferência de raio 10 cm?”. )AB: arco de 180° 360 2 ° ou arco de π rad 2 2 π rad )AB: arco de 90° 360 4 ° ou arco de π 2 rad 2 4 π rad )AB: arco de 270° 3 4 360 de ° ou arco de 3 2 π rad 3 4 2 de radπ 32 Matemática Observação: Considerando que um arco de 180° mede π rad , podemos fazer a conversão de unidades usando uma regra de três simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer as conversões entre grau e radiano mentalmente, sem recorrer à regra de três. Esse procedimento é muito simples se observarmos que: • 90° é 1 2 de 180°; logo, é 1 2 de π rad → 90° π 2 rad • 60° é 1 3 de 180°; logo, é 1 3 de π rad → 60° π 3 rad • 30° é 1 6 de 180°; logo, é 1 6 de π rad → 30° π 6 rad • 45° é 1 4 de 180°; logo, é 1 4 de π rad → 45° π 4 rad Você pode (e deve) memorizar essas relações para agilizar as conversões. Veja mais uma: 120° é o dobro de 60°; logo, 120° 2 π 3 rad 2 3 π .rad Exemplos: 1‚) Vamos converter 30° em radianos. grau radiano 180 30 π x ⇒ 180 30 6 1 π x ⇒ 6x π ⇒ x π 6 rad Portanto, 30° π 6 rad . 2‚) Vamos escrever 3 4 rad π em graus. grau radiano 180 x π 3 4 π ⇒ 180 x π π3 4 ⇒ 180 x 4 3 ⇒ 4x 540 ⇒ x 135° Logo, 3 4 rad π 135°. 3‚) Vamos transformar 18°30 em radianos. Transformamos em minutos os graus dados: 1° 60 18°30 18 60 1 30 1 080 1 30 1 110 180° 180 60 10 800 minuto radiano 10 800 1110 π x ⇒ 10 800 1 110 π x ⇒ 360 37 π x ⇒ 360x 37π ⇒ x 37 360 π Logo, 18°30 37 360 rad. π 4‚) Vamos transformar: a) 1 rad em graus 180 x π 1 ⇒ πx 180 ⇒ x 180 π 180 3,14 57,3° ou 57°18 Portanto, 1 rad 57°18. b) 1 grau em radianos 180 1 π x ⇒ 180x π ⇒ x π 180 3,14 180 0,017 rad Logo, 1° 0,017 rad. Para refletir Outro modo de resolver: 30° 180° 6 π rad 6 π 6 rad Para refletir Outra resolução: 3π 4 rad 3 180° 4 540° 4 135° Para refletir Como 2π rad 360°, os valores que aparecem arredondados são: 1 rad [ 180π ] ° 57°17’44,8” 1° π 180 rad 0,01745 rad 33capítulo 2 | Conceitos trigonométricos básicos 5‚) Vamos transformar em radianos ou em graus sem usar regra de três: a) 330° 330° 11 30° 11 π 6 11 6 π b) 225° 225° 5 45° 5 π 4 5 4 π c) 15° 15° 1 2 30° 1 2 π 6 π 12 d) 7 6 π 7 6 π 7 30° 210° e) 7 4 π 7 4 π 7 45° 315° f ) 4 3 π 4 3 π 4 60° 240° g) 5 9 π 5 9 π 5 180 9 ° 5 20° 100° h) 2 3 π 2 3 π 2 60° 120° 6‚) Qual é a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento contido numa circunferência de raio 8 cm? 20 cm; r 8 cm a r 20 8 2,5 rad ou 8 cm 1 rad 20 cm radxx ⇒ x 20 8 2,5 rad 7‚) Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60° contido numa circunferência de raio 1 cm? Vamos converter 60° em rad: 60° 180° 3 π 3 rad Dados a π 3 e r 1, temos: a r ⇒ a r π 3 1 π 3 cm ou 1 cm 1 rad x cm 3 radπ ⇒ x π 3 cm Portanto, o comprimento do arco é π 3 cm, ou seja, aproximadamente 1,05 cm. 8‚) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10 cm. Qual é a distância que sua extremidade percorre em 30 minutos? Em 30 minutos, o ponteiro percorre 1 2 da circunferência, isto é, 180°. Logo, a 180° π rad. Como o percurso é dado por a r, temos: 10π 10 3,14 31,4 cm Então, a distância percorrida é de aproximadamente 31,4 cm. Para refletir Quando a unidade não for indicada, subentende-se que é o radiano. Por exemplo: 7π 6 significa 7π 6 rad. 12 6 39 8 7 4 5 10 2 11 1 34 Matemática Exercícios propostos 1. Converta em radianos: a) 60° c) 210° e) 67°30’ b) 45° d) 300° f ) 41°15’ 2. Expresse em graus: a) π 6 rad c) π 4 rad e) 3 8 π rad b) π 5 rad d) 5 6 π rad f) π 16 rad 3. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 15 cm contido numa circunferência de raio 3 cm. 4. Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 45° contido numa circunferên- cia de raio 2 cm? 5. O ponteiro dos minutos de um relógio de parede me- de 12 cm. Quantos centímetros sua extremidade per- corre durante 25 minutos? 6. Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ân- gulo de 60°. Qual é o comprimento do arco que a extremidade do pêndulo descreve? 4. Circunferência trigonométrica Denomina-se circunferência trigonométrica a circunferência orientada cujo raio tem 1 unidade de comprimento e na qual o sentido positivo é o anti-horário. 1 sentido positivo sentido negativo À circunferência trigonométrica de centro O vamos associar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, fixando o ponto A de coordenadas (1, 0) como origem dos arcos (conforme figura abaixo). 1 (1, 0) A� A B� B y x O Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de A, no sentido positivo. A’ A B’ B y x 90° 180° 270° 360°O 0° 2‚ 1‚ 3‚ 4‚ A� A B� B y x O 2‚ 1‚ 3‚ 4‚ π 2 3π 2 π 2π 0 Para refletir Por que dizemos circun- ferência orientada? Para refletir Os pontos B, A' e B' correspondem a quais pares ordenados? Para refletir • Os pontos A, B, A' e B' são pontos dos eixos e por isso não são considerados pontos dos quadrantes. • Para todo ponto (x, y) pertencente à circun- ferência trigonométri- ca, temos 1 x 1 e 1 y 1. ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO. 35capítulo 2 | Conceitos trigonométricos básicos 5. Arcos côngruos (ou congruentes) Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para dois arcos diferentes (por exemplo, 0 e 2π), chamamos esses arcos de arcos côngruos ou congruentes. É conveniente notar que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 2π, que é o comprimento de cada volta. B A B A B A Ao número π 3 está associado o ponto B. Ao número π 3 + 2π também está associado o ponto B. Ao número π 3 + 2 2π está associado o mesmo ponto B. Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, teríamos o seguinte: Na primeira figura, o ponto deslocou-se π 3 ou 60° de A até B. Na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira (2π ou 360°) e mais π 3 ou 60°; ou seja, deslocou-se 7 3 π ou 420°. Na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (2 2π ou 2 360°) e mais π 3 ou 60°; ou seja, 13 3 π ou 780°. Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremi- dade B do arco AB seria escrito assim: π 3 + k 2π ou 60° + k 360°, com k Ω Podemos então definir: Dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas diferem de um múltiplo de 2π rad ou 360°. Exemplos: 1‚) 30° e 30° 1 360° ou π 6 e π 6 1 2π são côngruos. 2‚) 45° e 45° 1 2 360° ou π 4 e π 4 1 2 2π são côngruos. 3‚) 60° e 60° 3 360° ou π 3 e π 3 3 2π são côngruos. Nesse último exemplo, o sinal negativo significa que as três voltas completas foram dadas no sentido horário. Dizemos, nesse caso, que 60° 3 360° 1 020° ou − 17 3 π são arcos negativos. De modo geral: • Se um arco mede a°,