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Vibrações - 2 Graus de Liberdade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
LABORATÓRIO 2
SISTEMA VIBRATÓRIO DE UM GRAU DE LIBERDADE
PROFESSOR: FRANCISCO PAULO LÉPORE NETO
ALUNO: PEDRO HENRIQUE DEMÉTRIO ABRÃO
MATRÍCULA: 12122EMC011
UBERLÂNDIA
2021
1. INTRODUÇÃO
Vibração mecânica é o movimento de uma partícula ou de um corpo que oscila em torno de uma posição de equilíbrio. Uma vibração mecânica surge geralmente quando um sistema é deslocado da sua posição de equilíbrio estável, e são provocados por excitações externas ao sistema como forças e momentos.
Um sistema vibratório é formado por componentes físicos que são utilizados como aproximações do sistema real, o chamado sistema massa-mola-amortecedor. A função de cada um dos componentes é:
i. Massa/Inércia – Responsável por armazenar energia cinética; 
ii. Mola/Rigidez – Responsável por armazenar energia potencial elástica;
iii. Amortecedor – Dissipa energia mecânica.
Figura 1.0 - Sistama massa-mola-amortecedor.
Os movimentos desses componentes ocorrem preferencialmente em algumas direções que determinam os graus de liberdade do sistema. Sistemas que possuem apenas um grau de liberdade tem movimento predominante em apenas uma direção, como pode ser visto na figura anterior.
2. OBJETIVOS
O principal objetivo deste laboratório é estudar o comportamento dinâmico do sistema vibratório e identificar suas propriedades físicas, massa, rigidez e amortecimento. Para isso, é preciso estudar o movimento do sistema para diferentes tipos de excitação.
i. Movimento livre do sistema;
ii. Movimento provocado por excitação harmônica com diferentes frequências;
iii. Movimento provocado por excitações aleatórias e impulsivas;
iv. Comparar a eficiência dos diferentes métodos de ensaio utilizados (FRF’s);
v. Estudar o comportamento do sistema vibratório na região da ressonância.
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1. MODELO FÍSICO DO SISTEMA
O modelo físico do sistema pode ser visualizado a seguir. Dela, pode-se observar que o modelo físico da estrutura vibratória é formado por quatro lâminas paralelas entre si, de aço inoxidável, que são responsáveis por sustentar uma placa, sendo essa tratada como rígida.
Figura 3.1 – Esquemático da mesa vibratória.
As lâminas podem ser tratadas como molas, sua rigidez depende do material do qual são feitos e de suas propriedades geométricas, além disso sua massa, por ser pequena comparada a massa da placa rígida, é desconsiderada. As quatro lâminas em paralelo representam a rigidez do sistema a inércia do sistema é representada pela placa rígida e o amortecimento se resume à iteração da estrutura com o ar.
Adotando o referencial para o modelo proposto, o sistema deve ter 6 graus de liberdade, as translações nos eixos e as rotações . Entretanto, uma análise feita no sistema comprova que apenas a translação no eixo x é relevante, ou seja, o sistema possui apenas um grau de liberdade. 
A análise dos graus de liberdade efetivos será demonstrada a seguir. Assumindo as hastes flexíveis como sendo engastada-livre.
L
b
h
Figura 3.2 – Haste engastada-livre.
Atribuindo valores arbitrários para as propriedades geométricas e físicas da viga , podemos calcular a rigidez nas três direções:
Dessa forma a rigidez na direção é menor que nas demais direções. Considerando o regime elástico das hastes flexíveis, a lei de Hooke pode ser aplicado para avaliar o comportamento de toda a estrutura. Logo, visto que as diferentes rigidezes apresentam uma significativa diferença entre si, para uma mesma força, os deslocamentos obtidos nas direções são praticamente nulas se comparadas com a direção 
3.2. MODELO MATEMÁTICO DO SISTEMA
Considerando que o sistema vibratório apresenta um grau de liberdade, sendo este associado à translação da placa rígida na direção do eixo , do sistema de coordenadas. Com isso, para efeitos de cálculos, o modelo físico pode ser simplificado como o apresentado na Fig. 4.2.1., onde representa a rigidez equivalente, associada as quatro lâminas flexíveis, representa o coeficiente de amortecimento viscoso devido à interação com o ar, denota a massa associada à placa rígida e , um esforço externo aplicado sobre o sistema.
 
Figura 3.3 – Modelo simplificado do sistema vibratório.
A equação que representa o modelo matemático do comportamento do sistema pode ser obtida através do emprego da segunda lei de Newton. Para isso é necessário analisar o diagrama de corpo livre da estrutura em estudo, como visto na Fig. 4.2.2.
Figura 3.4 – Diagrama de corpo livre do sistema.
	 Aplicando a segunda lei de newton na direção :
	Logo, 
Onde, é o deslocamento da estrutura, logo denota sua velocidade e a aceleração.
3.2.1. MOVIMENTO LIVRE SEM AMORTECIMENTO 
Assumindo que excitações externas e a forças de amortecimento são nulos, assim a equação do movimento toma a seguinte forma:
Dessa forma a equação do movimento é caracterizada como uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem. Admitindo uma solução harmônica do tipo: 
 
Onde, 
Substituindo a equação da aceleração na equação do movimento, temos:
Assim,
Sabendo que para qualquer , o não é zero, caso contrário não existiria movimento. 
A vibração livre, na ausência de amortecimento, só se torna possível quando ocorre em uma frequência natural dada por . A solução harmônica completa pode ser expressa, da seguinte forma:
Onde A e B são constantes dependentes das condições iniciais. 
Para as condições iniciais quando 
E,
Assim, a solução da equação do movimento livre, sem amortecimento, é dada:
3.2.2. MOVIMENTO LIVRE COM AMORTECIMENTO 
Assumindo que apenas as forças de excitação externa sejam nulas. A equação do movimento descrita anteriormente passa a ser da seguinte forma: 
Assim como para o caso anterior, a equação para o movimento livre com amortecimento é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Admitindo uma solução harmônica do tipo: 
Onde,
Substituindo as equações da velocidade e aceleração na equação do movimento, temos:
Dessa forma, não se trata de um movimento harmônico. Logo, a solução é do tipo: 
Onde,
Substituindo na equação do movimento:
Logo, para que exista movimento:
Calculando as raízes do polinômio de grau dois, temos:
Dependendo do valor de Δ, as raízes podem assumir valores reais e distintos (Δ > 0), valores reais e idênticos (Δ = 0) e valores complexos conjugados (Δ < 0). 
Se Δ = 0, é possível obter uma relação adimensional que define o amortecimento do sistema, denominado coeficiente de amortecimento (ζ). Dado por:
Quando = 1 o sistema se situa no limite entre um movimento oscilatório e um movimento não oscilatório, daí o movimento é dito com amortecimento crítico. Caso > 1 o movimento é dito superamortecido. E caso < 1 o movimento é dito sub-amortecido.
Escrevendo as equações em termos de , para verificar a influência das propriedades na vibração do sistema. Tomando como o coeficiente de amortecimento do ar, caso exista um amortecedor viscoso instalado na estrutura o coeficiente passará a ser representado por que é o amortecimento resultante entre a iteração fluido-estrutura e o amortecimento viscoso.
Logo,
Onde,
Portanto:
Para , a solução pode ser reescrita da seguinte maneira:
Aplicando as condições iniciais tem-se que:
Já para o caso a solução é:
Aplicando as condições iniciais:
Por fim, se , a solução pode ser reescrita como:
Onde, 
Aplicando as condições iniciais:
3.2.3. EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Quando existe uma excitação externa aplicada ao sistema, equação do movimento ou modelo matemático do sistema é dada da seguinte forma:
Caso a excitação externa aplicada for do tipo harmônica, a força de excitação é expressa da seguinte forma:
Dessa forma,
Em termos de :
Sendo a excitação um harmônico com ω de argumento, x(t) também será harmônica. Assim a solução da EDO é uma função do tipo 
Onde,
Substituindo a função e suas derivadas na equação do movimento,

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