Vibrações Mecânicas em Engenharia

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Fernando Ribeiro da Silva 
 
Setembro 2011 
 
 
 2
 
ÍNDICE 
 
 
CAPÍTULO I INTRODUÇÃO 4 
 
1.1 POSICIONAMENTO 4 
 
1.2 DESENVOLVIMENTO 4 
 
1.3 PERSPECTIVAS 5 
 
 
CAPÍTULO II CONCEITOS BÁSICOS EM VIBRAÇÕES 6 
 
2.1 INTRODUÇÃO 6 
 
2.2 VIBRAÇÕES LIVRES 6 
 
2.2.1 Relações Constitutivas 6 
2.2.2 Sistemas Equivalentes 7 
2.2.3 Equações Diferenciais de Movimento 8 
2.2.4 Decremento Logarítmico 10 
 
2.3 VIBRAÇÕES FORÇADAS 11 
 
2.3.1 Excitações Harmônicas 11 
2.3.2 Coeficiente de Transmissibilidade 13 
2.3.3 Movimento de Base 13 
2.3.4 Excitações Periódicas 15 
2.3.5 Impulso 17 
2.3.6 Degrau 18 
2.3.7 Pulso 19 
 
2.4 PROBLEMAS 20 
 
 
CAPÍTULO III SISTEMAS COM MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE 27 
 
3.1 INTRODUÇÃO 27 
 
3.2 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO 27 
 
3.3 VIBRAÇÕES LIVRES - MODOS DE VIBRAR 28 
 
3.4 ORTOGONALIDADE DOS MODOS 31 
 
3.5 BATIMENTO 32 
 
3.6 EXCITAÇÕES HARMÔNICAS 33 
 
3.7 SISTEMAS COM AMORTECIMENTO PROPORCIONAL 35 
 
3.8 REDUÇÃO DE ORDEM EM MODELOS LINEARES 36 
 3
 
3.9 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LAGRANGE PARA 
SISTEMAS CONTÍNUOS 37 
 
3.9.1 Elemento Estrutural de Barra 38 
3.9.2 Elemento Estrutural de Viga Plana 39 
 
3.10 PROBLEMAS 42 
 
 
CAPÍTULO IV SISTEMAS CONTÍNUOS 52 
 
4.1 INTRODUÇÃO 52 
 
4.2 CABOS 52 
 
4.3 VIGAS EM FLEXÃO 54 
 
4.4 PROBLEMAS 57 
 
 
CAPÍTULO V PROBLEMAS PRÁTICOS EM VIBRAÇÕES DE ESTRUTURA 58 
 
5.1 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR PESSOAS 58 
 
5.1.1 Critérios de Análise 58 
5.1.2 Efeitos Sobre o Ser Humano 59 
5.1.3 Sensitividade do Ser Humano à Vibrações 60 
 
5.2 PISOS SOB EFEITO DO CAMINHAR DE PESSOAS 63 
 
5.3 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR MÁQUINAS 64 
 
5.3.1 Características Estruturais 65 
5.3.2 Valores Toleráveis 66 
 
5.4 VIBRAÇÕES INDUZIDAS EM PRÉDIOS PELA AÇÃO DO VENTO 66 
 
5.4.1 Características Estruturais 67 
5.4.2 Valores Toleráveis 68 
 
5.5 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR TRÁFEGO DE VEÍCULOS 68 
 
5.5.1 Características Estruturais 69 
5.5.2 Valores Toleráveis 69 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 70 
 
 
APÊNDICE A PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL 72 
 4
 
CAPÍTULO I 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
1.1 POSICIONAMENTO 
 
 Os problemas de Vibrações Mecânicas pertencem, rigorosamente a uma área maior 
denominada Dinâmica de Sistemas. Sendo uma matéria que trata basicamente de movimentos 
de corpos sujeitos a efeitos externos dependentes do tempo, existe uma preocupação em 
verificar-se sob que circunstâncias este movimento torna-se indesejável, gerando amplitudes de 
alguma forma prejudiciais ao bom funcionamento do sistema. 
 
 Outra preocupação inerente a este tema é a influência dos movimentos de sistema sobre 
o Ser Humano, gerando desconforto ou insegurança que venha a interferir no desempenho de 
suas atividades. 
 
 Devido a grande diversidade de problemas, muitas das vezes é difícil definir-se normas 
para o bom funcionamento de um sistema, entretanto sob certa ótica do problema existem 
padrões recomendados para seu funcionamento, o que pode nortear as decisões dos projetos 
estruturais de seus componentes. 
 
 A análise dinâmica de estruturas faz parte do problema de Vibrações Mecânicas, onde os 
conceitos da dinâmica de sistemas são utilizados para abordar problemas onde a principal 
preocupação está na determinação de amplitudes de deslocamentos, velocidades e acelerações 
que possam ser danosas ao seu comportamento. 
 
 O completo entendimento do comportamento de sistemas tem sido realizado nas últimas 
duas década através de técnicas generalizadas que permitem a modelagem de sistemas 
multidisciplinares, tendo em vista ser esta a natureza dos sistemas mais complexos. Estes 
procedimentos ainda apresentam certas dificuldades nos casos de sistemas onde meios 
contínuos estejam presentes, pois, isoladamente técnicas como a dos Elementos Finitos já 
permitem uma modelagem bastante precisa e representativa destes meios Entretanto ao acoplar-
se sistemas discretos e contínuos estas técnicas ainda apresentam dificuldades de utilização. 
 
 Vale destacar como técnica generalizada modular e operacional, a técnica dos Grafos de 
Ligação, onde os subsistemas são modelados isoladamente para uma posterior justaposição 
formando o sistema completo. Os fundamentos e procedimentos desta técnica são descritos por 
Karnopp, Margolis e Rosenberg (1990). Um exemplo de modelagem utilizando esta técnica ao 
problema de cargas móveis sobre estruturas é apresentado no trabalho de Margolis (1976). O 
desenvolvimento de uma sistemática para a representação, modelagem e simulação de sistemas 
mecânicos discretos interagindo com uma estrutura previamente discretizada pelo Método dos 
Elementos Finitos é apresentada por Da Silva (1994). Exemplos de aplicação deste procedimento 
podem ser obtidos em Andrade (1995), Alvarez (1995) e Rocha (1998). 
 
 
1.2 DESENVOLVIMENTO 
 
 Estas notas pretendem nortear seus leitores ao estudo de vibrações mecânicas, 
culminando com algumas considerações sobre problemas de cunho prático onde algumas 
normas sinalizam ao analista da dinâmica de estruturas com orientações no sentido de garantir 
um funcionamento satisfatório de seu projeto. 
 5
 
 Os conceitos básicos de Vibrações Mecânicas são apresentados no segundo capítulo 
onde são apresentados os elementos necessários para compreensão dos fenômenos ocorrentes 
na dinâmica de sistemas em vibrações. 
 
 O terceiro capítulo amplia os conceitos relacionados aos sistemas de um grau de 
liberdade para sistemas com múltiplos graus de liberdade, incluindo os relacionados à 
modelagem de sistemas estruturais, onde um meio contínuo é previamente discretizado em um 
número finito de graus de liberdade. 
 
 O quarto capítulo apresenta a modelagem de sistemas contínuos através de suas 
equações de governo e mostra a dificuldade de obter-se soluções analíticas quando a estrutura é 
relativamente complexa. 
 
 O quinto capítulo discute em linhas bastante gerais os problemas de vibrações induzidas 
por pessoas, induzidas por máquinas, pela ação do vento e por tráfego de veículos. 
 
 
1.3 PERSPECTIVAS 
 
 Não é difícil perceber que a tendência de evolução das análises dos problemas de 
vibrações caminha no sentido de abordagens gerais e unificadas de sistemas multidisciplinares, 
onde elementos elétricos, mecânicos, hidráulicos e térmicos, dentre outros estejam interagindo 
dinamicamente. 
 
 Procedimentos de abordagem que permitam a modelagem de componentes utilizando 
várias técnicas específicas já consagradas devem ser definidos no sentido de aliar-se suas boas 
características isoladas com a operacionalidade necessária para a análise de problemas 
complexos. 
 
 6
CAPÍTULO II 
 
CONCEITOS BÁSICOS EM VIBRAÇÕES 
 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
 
 O problema básico de vibrações consiste na determinação do comportamento dinâmico 
de um sistema mecânico, quando submetido a forçamentos impostos ao sistema na forma de 
energias (potencial e/ou cinética), ou na forma de excitações externas das mais variadas formas. 
 
 No primeiro caso, caracteriza-se um problema de valor inicial, onde a partir de condições 
iniciais de deslocamentos e velocidades, obtém-se, a solução das equações de equilíbrio 
dinâmico, sujeito a vibração livre. No segundo caso, submete-se o sistema a excitações que 
podem ser determinísticas (harmônicas ou não harmônicas) ou aleatórias. 
 
 As excitações harmônicas são de grande interesse tendo em vista que a resposta do 
sistema é função de suas características intrínsecas, como por exemplo, suas freqüências 
naturais e frações de amortecimento. As excitações aleatórias formam um item a parte tendo em 
vista seu caráter estatístico, e as excitaçõesditas não harmônicas são importantes para a 
caracterização do sistema quanto a entradas que podem identificar o sistema quanto a suas 
propriedades dinâmicas, como, tempo de resposta, tipo de respostas, etc. 
 
 Neste capítulo apresenta-se as respostas do sistema de um grau de liberdade para 
entradas na forma de energia e forçamentos do tipo harmônico e não harmônico, procurando 
mostrar que esse sistema pode ser representativo de um sistema equivalente com vários 
elementos mecânicos. 
 
 É apresentada também a resposta no domínio da freqüência onde mostra-se a 
importância em conhecer-se o espectro de freqüências do sistema para assim poder-se 
identificar efeitos como ressonância, que podem ser extremamente danosos. 
 
 
2.2 VIBRAÇÕES LIVRES 
 
 Analisando-se o comportamento de um sistema nas condições de uma entrada 
energética na forma de condições iniciais, pode-se determinar suas características dinâmicas em 
função de seus parâmetros. Assim, este problema torna-se importante na medida em que 
permite caracterizar-se o sistema em função de suas respostas. 
 
 
2.2.1 Relações Constitutivas 
 
 Dentre as etapas de caracterização de um sistema está a determinação das relações 
constitutivas de seus elementos constituintes. Assim, é necessário caracterizar-se a natureza de 
seus elementos armazenadores e dissipadores de energia, isto é, determinar as relações entre 
entrada e saída dos elementos flexíveis, dissipadores e inerciais. 
 
 Considerando-se os elementos com comportamento linear pode-se definir estas relações 
entre entrada e saída para os elementos discretos mola, amortecedor e inércia conforme as 
relações indicadas na Fig. 2.1. 
 
 
 7
2.2.2 Sistemas Equivalentes 
 
 Embora rigorosamente os sistemas mecânicos possuam movimentos tridimensionais, em 
um grande número de problemas interessa apenas seu movimento em relação a uma das 
dimensões. Também boa parte dos sistemas se comporta como tendo apenas um grau de 
liberdade de importância na análise, o que torna o problema de vibrações bastante simplificado. 
Assim, torna-se necessária a determinação de um sistema massa-mola-amortecedor 
equivalente, cuja análise será feita posteriormente. 
 
 
 
Figura 2.1 Elementos Mecânicos Básicos. 
 
 Para os conjuntos de molas e amortecedores calcula-se a constante equivalente 
considerando sua substituição por um único elemento que naquela posição produzirá o mesmo 
efeito que o sistema combinado. A inércia equivalente pode ser calculada a partir de uma 
compatibilidade de deslocamentos existente no sistema. Dentre esses sistemas equivalentes 
destacam-se as situações apresentadas na Tabela 1.1. 
 
Tabela 1.1 Sistemas Equivalentes 
 
Sistema Modelo Físico Elemento 
Equivalente 
 
 
Molas em Paralelo 
 
 
 
 
 
k k keq = +1 2 
 
 
Molas em Série 
 
 
 
k
k k
k k
eq = +
1 2
1 2
 
 
 
Viga Engastada 
 
 
 
 
k
EI
L
eq =
3
3
 
 
Viga Biapoiada 
 
 
 
k
EI
L
eq =
48
3
 
 
 
2.2.3 Equações Diferenciais de Movimento 
 
 No estudo de vibrações em sistemas, a configuração de equilíbrio estático é 
normalmente considerada como referência, assim, no caso dos dimensionamentos ou 
 8
verificações de deslocamentos absolutos dos elementos, deve-se superpor a resposta a 
deslocamentos estáticos, como por exemplo o efeito do peso próprio das inércias dos elementos 
do sistema. 
 
 Basicamente pode-se representar o sistema massa-mola-amortecedor conforme 
ilustrado na Fig. 2.2, onde o deslocamento dinâmico ocorre em relação a uma configuração de 
equilíbrio estático. 
 
 
 
Figura 2.2 Sistema Massa-Mola-Amortecedor Clássico. 
 
 Aplicando-se a segunda lei de Newton ao sistema obtém-se sua equação dinâmica. 
 
 m x b x kx F t
•• •
+ + = ( ) (2.1) 
 
cuja solução, x(t), é a resposta do deslocamento da massa no domínio do tempo a um dado 
forçamento F(t). 
 
 O problema de Vibração Livre considera que o forçamento é nulo e que o movimento da 
massa é obtido pela imposição de condições iniciais impostas ao sistema. A resposta, neste caso 
é determinada a partir da equação diferencial homogênea, 
 
m x b x kx
•• •
+ + = 0 (2.2) 
 
 A solução desta equação depende fortemente dos parâmetros m, b e k do sistema, 
podendo apresentar um movimento oscilatório ou não. Reescrevendo a Eq. 2.2 como 
 
x x xn n
•• •
+ + =2 02ζω ω (2.3) 
 
onde os parâmetros podem ser definidos por: 
 
ζ = b
bcr
 (fração de amortecimento) 
e ω n
k
m
= (freqüência natural não amortecida), 
 
sua solução pode ser obtida assumindo-se uma solução do tipo exponencial com a forma: 
 
x t Ae st( ) = (2.4) 
 
 9
 Dependendo do valor de s a solução pode apresentar a forma oscilatória ou não. 
Substituindo a Eq. 2.4 em 2.3, obtém-se os seguintes valores para s: 
 
( )s n= − ± −ζ ζ ω2 1 (2.5) 
 
o que caracteriza as seguintes soluções: 
 
1) Para ζ < 1 tem-se s complexo conjugado o que resulta em um movimento oscilatório 
(subcrítico) da forma: 
 
x t Ae tnt d( ) cos( )= −
−ζω ω φ (2.6) 
 
2) Para ζ = 1 tem-se um único valor real negativo de s o que caracteriza o chamado movimento 
crítico e a solução tem a forma: 
 
x t A A t e nt( ) ( )= + −1 2
ω (2.7) 
 
3) Para ζ > 1 tem-se o movimento não oscilatório (supercrítico) onde s assume dois valores reais 
negativos e a solução pode ser expressa por: 
 
x t A e A e
n nt t
( ) = +
− − −


 − + −



1
1
2
12 2ζ ζ ω ζ ζ ω
 (2.8) 
 
 Nos três casos, as constantes A, φ, A1 e A2 dependem de condições iniciais impostas ao 
sistema e ωd é a freqüência natural amortecida, definida por: 
 
ω ω ζd n= −1
2 (2.9) 
 
 A Fig. 2.3 mostra as respostas típicas referentes às Eqs. 2.6, 2.7 e 2.8, respectivamente. 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
 
Figura 2.3 Vibrações Livres para sistema Massa-Mola-Amortecedor. 
Condições Iniciais: x0 > 0, x
•
 > 0. a) ζ < 1, b) ζ = 1 e c) ζ > 1. 
 
 Observa-se pela Fig. 2.3a e pela Eq. 2.6, que quando ζ → 0, a resposta tende a uma 
harmônica com amplitude constante, caracterizando o oscilador simples. 
 
 
 
 
 
 10
2.2.4 Decremento Logarítmico 
 
 Um dos grandes problemas na identificação de parâmetros de um sistema é a 
determinação da constante de amortecimento. Dentre os vários procedimentos para determiná-la 
pode-se citar a avaliação experimental do Decremento Logarítmico, que consiste na análise da 
resposta de um sistema subamortecido. 
 
 O Decremento Logarítmico é definido pelo logaritmo da relação entre duas amplitudes 
sucessivas na resposta de um sistema em vibrações livres. Assim, seja o sinal de resposta do 
sistema da Fig. 2.4. 
 
 
 
Figura 2.4 Resposta de um Sistema subamortecido. 
 
 Pela definição o decremento logarítmico é expresso por: 
 
δ = ln
x
x
1
2
 (2.10) 
 
 Substituindo-se os valores de x1 e x2 para um tempo qualquer na Eq. 2.6 pode-se chegar 
à relação entre δ e ζ, que pode ser expressa por: 
 
δ πζ
ζ
=
−
2
1 2
 (2.11) 
 
 Assim, ao determinar-se δ experimentalmente, substitui-se na Eq. 2.11 e calcula-se a 
fração de amortecimento ζ. 
 
 Como em geral a obtenção gráfica da resposta do sistema (Fig. 2.4) não é precisa, 
sugere-se a determinação de δ a partir da relação entre o primeiro pico e o de ordem n+1, o que 
resulta na expressão: 
 
δ =
+
1 1
1n
x
xn
ln (2.12) 
 
onde n é o número de ciclos do sinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11
2.3 VIBRAÇÕES FORÇADAS 
 
 As excitações externas sobre um sistema podem ser de duas naturezas distintas: um 
forçamento (forças inerciais, ações aerodinâmicas, etc.) e/ou deslocamentos prescritos 
(excitações de base - como terremotos, ação das irregularidades de pista sobre um veículo, etc.). 
 
 Os resultados mais importantes no problema de vibrações forçadas são aqueles que 
caracterizam um efeito permanente sobre o sistema, e que por esta razão são associados ao 
chamado Regime Permanente do sistema. 
 
 
2.3.1 Excitações Harmônicas 
 
 Dentre as várias solicitações sobre o sistema, uma das mais importantes respostas é a 
que indicaa relação entre entrada e saída quando a entrada é uma força harmônica. Este tipo de 
forçamento é de grande importância devido ao comportamento dinâmico de sistemas que, sob 
certas situações, geram efeitos danosos como ressonâncias mecânicas. 
 
 Considerando a equação dinâmica do problema, Eq. 2.1, pode-se expressar um 
forçamento harmônico na forma complexa por: 
 
F t F e i t( ) = 0
ω (2.13) 
 
caracterizado por uma força com amplitude constante F0 e freqüência de excitação ω em 
radianos por segundo. 
 
 Procurando-se a resposta permanente para o sistema, pode-se ensaiar uma solução na 
forma: 
 
x t X i e i t( ) ( )= ω ω (2.14) 
 
onde X(iω) é a sua amplitude que depende da freqüência de excitação. 
 
 Substituindo-se as Eqs.2.14 e 2.13 na 2.1 obtém-se o valor de X(iω) expresso por: 
 
X i
x
i
ext
n n
( )ω
ζ ω
ω
ω
ω
=
+ −





1 2
2
 (2.15) 
 
permitindo que a resposta x(t) seja colocada na forma: 
 
x t x G i eest
i t( ) ( ) ( )= −ω ω φ (2.16) 
 
 
onde xext é o deslocamento estático correspondente ao forçamento (xext = F0/k), 
 
G i
n n
( )ω
ω
ω
ζ ω
ω
=
−














+






1
1 2
2 2 2
 (2.17) 
 
 12
 é o Fator de Amplificação e 
 φ é o ângulo de fase entre entrada e saída. 
 
 A Eq. 2.17 mostra que existe uma dependência da amplitude de saída com a freqüência 
de entrada, o que pode ser um complicador para o sistema, tendo em vista a possibilidade de 
ocorrerem altos deslocamentos para baixas amplitudes das excitações. A Fig. 2.5 ilustra esta 
dependência, apresentando várias curvas da função G(iω) em função da relação ω/ωn 
considerando vários valores para a fração de amortecimento. 
 
 
 
 
Figura 2.5 Fator de Amplificação para vários valores da Fração de amortecimento. 
 
 
 O ângulo de fase φ pode ser obtido pela Eq. 2.18 cuja representação gráfica é mostrada 
na Fig. 2.6, onde pode-se observar que as respostas em fase com as entradas ocorrem 
prioritariamente para baixas relações entre freqüência de excitação e freqüência natural e baixos 
valores da fração de amortecimento. 
tg n
n
( )φ
ζ ω
ω
ω
ω
=
−






2
1
2
 (2.18) 
 
 
 
Figura 2.6 Ângulo de Fase. 
 13
 
 
2.3.2 Coeficiente de Transmissibilidade 
 
 Uma das importantes informações oriundas desse sistema é o conhecimento dos 
esforços transmitidos para os elementos de sustentação do sistema. Estes esforços são 
provenientes dos elementos mola e amortecedor e podem ser calculados pela soma direta das 
forças atuantes nesses elementos. 
 
F F Ftr mola amort= + (2.19) 
 
 Considerando a resposta x(t) expressa pela Eq. 2.16, pode-se obter a relação entre as 
amplitudes das forças transmitida e aplicada. Essa relação caracteriza um fator denominado 
Fator de Transmissibilidade, e pode ser expresso por: 
 
FT
F
F
G itr
n
= = +













0
2 1 2
1 2ζ ω
ω
ω
/
( (2.20) 
 
 O gráfico representativo do Fator de Transmissibilidade é mostrado na Fig. 2.7, onde se 
observa que para valores altos da fração de amortecimento a força transmitida aos elementos de 
apoio do sistema (fundações), é igual ou inferior (para altas freqüências) ao módulo do 
forçamento dinâmico. 
 
 O ângulo de fase para a força transmitida é também expresso pela Eq. 2.18. 
 
 
 
Figura 2.7 Fator de Transmissibilidade. 
 
 
2.3.3 Movimento de Base 
 
 Dentre os problemas típicos relacionados à entradas na forma de deslocamentos 
prescritos sobre o sistema, destaca-se o movimento de base que, na realidade fundamenta todo 
o princípio de funcionamento dos transdutores para medidas de vibrações. Neste caso o sistema 
sofre a influência de um deslocamento harmônico y(t) conforme ilustrado na Fig. 2.8. 
 
 14
 
 
Figura 2.8 Excitação de Base. 
 
 A equação diferencial de movimento é obtida a partir da segunda lei de Newton que após 
manipulações matemáticas conduz a: 
 
x x x y yn n n n
•• • •
+ + = +2 22 2ζω ω ζω ω (2.21) 
 
Considerando uma excitação de base harmônica do tipo 
 
y t Y e i t( ) = 0
ω (2.22) 
 
pode-se determinar a relação entre amplitudes de entrada (Y0) e saída (X0 = X(iω)) que será 
também expressa pela Eq. 2.20. 
 
 Nos transdutores de medidas de vibrações é importante a determinação do movimento 
relativo entre a saída e a entrada do sistema, assim, pode-se reescrever a Eq. 2.21 em função do 
movimento relativo. 
 
z z z yn n
•• • ••
+ + =2 2ζω ω (2.23) 
 
Nesta equação z(t) = x(t) - y(t), é o movimento relativo da massa em relação à excitação de base. 
 
 Considerando uma entrada harmônica expressa pela Eq. 2.22 e uma saída na forma: 
 
z t Z i ei t( ) ( ) ( )= −0 ω
ω φ (2.24) 
 
pode-se obter a relação entre amplitudes de saída e entrada em função da freqüência da 
excitação de base, que pode ser expressa por: 
 
)(
2
0
0 ω
ω
ω
iG
Y
Z
n






= (2.25) 
 
 O gráfico do ganho do sistema é apresentado na Fig. 2.9 para alguns valores da fração 
de amortecimento. 
 
 15
 
 
Figura 2.9 Ganho do Medidor de Vibrações. 
 
 A Eq. 2.25 e o gráfico da Fig. 2.9 permitem analisar-se sob que condições a resposta de 
um medidor de vibrações representa com fidelidade uma variável do sistema. 
 
 Na condição em que ω << ωn , a amplitude da resposta do sistema tende a 
 
Z Y
n
0 2 0
21=
ω
ω 
Isto é, na medida em que Z0 reflete o nível de aceleração da entrada a menos de um ganho de 
1/ω n
2 , este sistema funciona como um Acelerômetro. 
 
 Na condição em que ω >>ωn o ganho do sistema tende a 1, logo 
 
Z Y0 0= 
 
indicando que o sistema seria um bom medidor de deslocamentos. 
 
 Percebe-se, assim, que os sistemas de medições têm um comportamento dinâmico e 
que por isto devem ser utilizados dentro de certas faixas de freqüências, caso contrário, os 
valores obtidos nas medidas não refletirão o comportamento do sistema a ser analisado. 
 
 
2.3.4 Excitações Periódicas 
 
 A dificuldade natural de modelar-se um sistema também está presente na modelagem de 
seu carregamento. Da boa modelagem do carregamento depende a boa interpretação dos 
resultados oriundos da análise. 
 
 Em alguns sistemas a excitação não pode ser representada por uma simples função 
harmônica mas sim um conjunto de harmônicos que caracterizem o carregamento no domínio do 
tempo. Assim, torna-se necessária uma manipulação matemática do sinal no sentido de 
representa-lo por um conjunto de funções harmônicas simples, cuja superposição aproxime 
adequadamente a função real. Para isto, pode-se utilizar as séries de Fourier que é, a ferramenta 
mais adequada para obter-se os principais harmônicos presentes em um sinal representativo do 
forçamento. 
 
 16
 Pela série de Fourier, um forçamento periódico qualquer, como o mostrado na Fig. 2.10, 
pode ser representado pela função aproximada: 
 
 
 
Figura 2.10 Função Periódica. 
 
F t a a n t b n tn
n
N
n( ) ( cos sen )= + +
=
∑
1
2 0 01
0ω ω (2.26) 
 
 
onde F(t) é a função forçamento, 
 a0, an e bn são os coeficientes de Fourier, 
 N é o número de harmônicos participantes da função e 
 ω0 = 2π/T é a freqüência associada ao maior período (T) do sinal. 
 
 Os coeficientes de Fourier podem ser definidos por: 
 
 a
T
F t dt
T
0 0
2
= ∫ ( ) 
 
 a
T
F t n t dtn
T
= ∫
2
00
( ) cos ω (2.27) 
 
 b
T
F t n t dtn
T
= ∫
2
00
( ) sen ω 
 
 Conhecendo-se a função forçamento e determinando-se o número de harmônicos 
necessários para uma adequada representação da função pode-se avaliar a resposta do sistema 
para cada harmônico, isoladamente, e em seguida superpor-se as soluções, encontrando-se 
assim, o comportamento do sistema. 
 
 Assim, um sistema básico poderia ser solicitado por uma força periódica representada 
por 
 
F(t) = Fnc(t) + Fnx(t), 
 
onde Fnc(t) seriam as n componentes em coseno do forçamento e 
 Fnx(t) seriam as n componentes em seno do forçamento. 
 
 Cada harmônico contribuirá com uma parcela na resposta do sistema que poderiaser 
expressa por: 
 
 17
k
tnsenbtnainGatx nn
N
n
nnn
1
))()(cos()(
2
1
)( 0
1
000 





−+−+= ∑
=
φωφωω 
 
onde os ganhos e os ângulos de fase são dados respectivamente por: 
 
G in
n n
n
n n
( )ω
ω
ω
ζ
ω
ω
0
0
2 2
0
2
1
1 2
=
−














+






 (2.28) 
 
tg
n
n
n
n
n
( )φ
ζ
ω
ω
ω
ω
=
−






2
1
0
0
2
 (2.29) 
 
 
2.3.5 Impulso 
 
 A função Impulso é utilizada em sistemas mecânicos para a determinação de suas 
propriedades intrínsecas, como freqüência natural e fração de amortecimento, gerando uma 
curva de resposta onde possa ser determinado, por exemplo, o decremento logarítmico. 
 
 A definição do Impulso pode ser expressa por: 
 
δ
δ
( ) /
( )
t a p t a
t a dt
− = =
− =
−∞
+∞
∫
0
1
 (2.30) 
 
 Graficamente esta função pode ser representada conforme indicado na Fig. 2.11. 
 
 
 
Figura 2.11 Função Impulso Unitário. 
 
 Considerando-se a equação diferencial referente a um pulso unitário ocorrendo no tempo 
t=0, tem-se: 
 
m g b g kg t
•• •
+ + = δ ( ) (2.31) 
 
 18
 Pode-se mostrar, procedendo-se à operação limite para ε→0 que o forçamento por um 
impulso eqüivale a uma condição inicial de velocidade dada por: 
 
g
m
•
=0
1
 
 
o que torna a resposta do sistema igual à do sistema sob vibração livre com condição inicial de 
velocidade, isto é, 
 
g t
m
e t
d
t
d
n( ) sen= −
1
ω
ωζω (2.32) 
 
 
2.3.6 Degrau 
 
 A aplicação de uma Função Degrau ao sistema propicia uma análise do seu transiente ao 
ser aplicada uma carga constante. Nos sistemas subamortecidos esta resposta também propicia 
uma curva que permite determinar-se o decremento logaritmo, entretanto, o mais importante 
deste tipo de carregamento está na identificação de sobrecargas sobre o sistema no chamado 
Regime Transiente. 
 
 A definição do Degrau pode ser expressa matematicamente por: 
 
u t a
p t a
p t a
( )
/
/
− =
<
>



0
1
 (2.33) 
 
 Sua representação gráfica é mostrada na Fig. 2.12. 
 
 
 
Figura 2.12 Função Degrau Unitário. 
 
 Pode-se também mostrar que a resposta a essa solicitação corresponde à integral da 
resposta ao impulso, isto é, 
 
s t g d
k
e t t
t
t
d
n
d
d
d( ) ( ) cos sen= = − +












−∞
−
∫ ξ ξ ω
ζω
ω
ωζω1 1 (2.34) 
 
 Um gráfico característico desta resposta é mostrado na Fig. 2.13. 
 
 19
 
 
Figura 2.13 Resposta do Sistema Massa-Mola-Amortecedor a uma Função Degrau. 
 
 
2.3.7 Pulso 
 
 A função pulso é empregada em situações onde o sistema sofre um carregamento 
brusco, do tipo choque, onde a força é alta e ocorre em um tempo pequeno. Em muitos 
problemas práticos a hipótese de uma função em meia senóide é satisfatória para caracterizar 
esse carregamento. 
 
 Um exemplo de modelagem dessa carga é mostrado na Fig. 2.14 e a correspondente 
resposta de um sistema sujeito àquela carga é ilustrada na Fig. 2.15. 
 
 
 
Figura 2.14 Pulso 
 
 
 
Figura 2.15 Resposta a um carregamento na forma de pulso. 
 
 O equacionamento da resposta do sistema para uma função pulso pode ser facilmente 
obtido considerando-se que durante o pulso o carregamento é senoidal e após o pulso a resposta 
é de um sistema em vibração livre com condições iniciais que podem ser determinadas a partir 
da equação referida ao trecho com forçamento. 
 
 É também importante observar pela Fig. 2.15 que o pulso faz com que o sistema 
responda com altas amplitudes durante o seu tempo de duração, o que pode ser danoso para os 
componentes do sistema. Obviamente esta resposta depende tanto da duração e da amplitude 
do pulso, como também da freqüência natural e da fração de amortecimento do sistema. 
 20
2.4 PROBLEMAS 
 
 
2-1 Deseja-se reduzir a freqüência natural do sistema mostrado na figura em 40%. Para isto foi 
proposta a mudança do apoio O da barra rígida. Determine a nova posição deste apoio. 
Considere a = 1,0 m. 
 
 
Probl. 2-1 
 
2-2 Deseja-se reduzir a freqüência natural do sistema mostrado na figura em 40%. Para isto 
foram propostas duas alternativas: 
 
1) Alteração no diâmetro do eixo. 
2) Modificação do comprimento da barra rígida. 
 
Determine as novas dimensões para os dois casos. Considere d = 2,0 cm e L'= 40 cm. 
 
 
Probl. 2-2 
 
2-3 Deseja-se reduzir a freqüência natural do sistema mostrado na figura em 20%. Um 
engenheiro propôs modificar o sistema alterando a posição da mola da direita. Considerando que 
a barra seja rígida, determine a nova posição desta mola. A barra tem uma massa total m e as 
molas são iguais com constante elástica k. 
 
Probl. 2-3 
 
 21
2.4 Determine a freqüência natural em Hertz para um carro de passeio. 
 
2.5 Um nadador prepara-se para mergulhar em uma piscina. Para isto ele impulsiona seu corpo 
através de um trampolim gerando um movimento harmônico. Estime a freqüência natural do 
movimento de seu corpo em Hertz (Hz). 
 
2.6 Deseja-se reduzir a freqüência natural do sistema mostrado na figura. Para isto foi proposto 
um deslocamento de 20 cm do apoio O da barra rígida. Ao alterar esta posição, o operador ficou 
na dúvida e acabou colocando o apoio à direita do ponto original. Sua decisão foi correta? Qual a 
redução percentual esperada na freqüência natural? 
 
 
Probl. 2-6 
 
2-7 Um container de 10.000 kg é suspenso por um guindaste a uma velocidade de 1,0 m/s 
quando repentinamente o motor de acionamento pára. Considere que o cabo de sustentação 
seja elástico com uma rigidez de 500 kN/m. 
 
a) Determine a amplitude máxima do deslocamento vibratório do container a partir do instante 
em que o movimento do motor de acionamento é interrompido. 
b) Construa o gráfico da aceleração vibratória em função do tempo e calcule seu valor máximo 
e o período de vibração do container. 
 
2-8 Um container de 10.000 kg é suspenso por um guindaste a uma velocidade de 1,0 m/s 
quando repentinamente o motor de acionamento pára. Considere que o cabo de sustentação 
seja elástico com uma rigidez de 500 kN/m e que o sistema possua uma fração de 
amortecimento de 1%. 
 
a) Determine a amplitude máxima do deslocamento vibratório do container a partir do 
instante em que o movimento do motor de acionamento é interrompido. 
b) Calcule a força máxima a ser suportada pelo cabo considerando que o amortecimento do 
sistema seja desprezível. 
 
 
Probl. 2-7/2-8 
 
Dados: 
Dimensão a = 1,0 m 
Massa m = 20 kg 
Massa da barra rígida mb = 15 kg 
Rigidez da mola k = 1,2 kN/m 
 
 22
2-9 O teste de impacto de um veículo (crash test) consiste de uma situação onde um veículo com 
massa de 800 kg atinge um anteparo rígido a uma velocidade de 60 km/h. Com o objetivo de 
quantificar-se o valor da força de impacto, considerou-se um modelo onde o veículo é 
representado por uma única massa e sua rigidez frontal é representada por uma única mola com 
uma rigidez k=2.000N/cm. Baseado neste modelo, calcule a força máxima de impacto e a 
aceleração máxima que o veículo sofrerá durante o impacto. Despreze qualquer efeito 
dissipativo. 
 
 
 
Probl. 2-9 
 
2-10. O sistema mecânico da figura apresenta uma amplitude de resposta de 0,8 cm quando 
excitado com uma força F(t)=10 sen (6t) (N). Deseja-se reduzir esta amplitude para 0,5cm e para 
isto foram adotadas duas soluções: (a) Retirar o amortecedor e alterar a constante elástica da 
mola e (b) Alterar a constante de amortecimento. Determine estas novas constantes. 
 
Probl. 2-10 
 
2-11 Uma viga de aço engastada com 1,50 m de comprimento sustenta em sua extremidade livre 
um motor elétrico de 75 kg que opera na faixa de 800 a 1.200 rpm.. A força desbalanceadora foi 
obtida experimentalmente e pode ser expressa por Fo = 0,01 ω
2, onde Fo está em newtons e ω 
em rad/s. Determine o momento de inércia da seção reta da viga considerando que a amplitude 
do deslocamento vibratório do motor não deve ultrapassar a 1,0 mm. Considere que a viga seja 
de aço com E = 200 GPa. 
 
2-12 O sistema mecânico mostrado da figura apresenta uma amplitudede resposta de 0,8 cm 
quando excitado com uma força F(t)=10 sen(6t) (N). Deseja-se reduzir esta amplitude para 0,5 
cm e para isto foram propostas duas soluções: (a) Retirar o amortecedor e alterar a constante 
elástica da mola e (b) Alterar a constante de amortecimento. Determine estas novas constantes. 
 
Probl. 2-12 
 23
 
2-13. Um motor de 200 kg deve ser instalado sobre uma fundação elástica representada por uma 
viga biapopiada. Considerando que o desbalanceamento interno do motor gere uma força 
excitadora constante de 100 N, determine as dimensões da seção reta quadrada da viga de 
forma que a amplitude do movimento vibratório não ultrapasse a 4,0 mm. Considere o módulo de 
elasticidade do material E= 70 GPa e a rotação do motor em 200rpm.. Despreze os efeitos de 
amortecimento da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
Probl. 2-13 
 
2.14 Um motor de velocidade variável com massa de 40 kg possui um desbalanceamento que 
pode ser representado por uma massa de 5 kg com uma excentricidade de 4,0 cm. Procurando-
se manter a amplitude de seu deslocamento abaixo de 0,5 cm, assentou-se o motor em um 
isolante de borracha com rigidez de 100.000 N/m e fração de amortecimento de 2%. Determine a 
maior velocidade do motor, em rpm, para atender às condições acima. 
 
 
Probl. 2-14 
 
2-15 Uma viga de aço engastada com 5 m de comprimento sustenta um motor elétrico de 75 kg e 
1.200 rpm em sua extremidade livre. A força desbalanceadora Fo=5.000N. Determine as 
dimensões da seção reta da viga considerando que sua amplitude não deve ultrapassar a 0,5 cm. 
Considere E=200 GPa. 
 
2-16 O motor mostrado na figura tem um giro de 100 rpm e é montado sobre uma fundação 
elástica conforme indicado. Considerando os dados fornecidos determine: (a) A amplitude da 
aceleração do motor e (b) uma nova constante elástica para as molas de modo a reduzir-se essa 
amplitude para 80% da original. 
 
 
Probl. 2-16 
 
 
 
50 cm 50 cm 
m 100 kg 
k 40.000 N/m 
L 1,0 m 
I 6,75 cm4 
E 200 GPa 
 
 24
2-17 O motor do sistema mecânico mostrado na figura é acoplado a um redutor através de um 
eixo de aço flexível com diâmetro de 2,0 cm. Considerando os demais eixos como rígidos e as 
inércias mostradas na figura, determine a equação de movimento angular θ3(t) para uma variação 
angular de saída do motor expressa por θ(t)=0,04 sen(20t) rad. 
 
Probl. 2-17 
 
2-18 O motor do sistema mecânico mostrado na figura é acoplado a um par de engrenagens 
através de um eixo de aço flexível. Considerando as inércias das engrenagens, determine o 
diâmetro do eixo flexível que propiciará um deslocamento angular vibratório de 1o na 
engrenagem 2. A variação angular de saída do motor pode ser expressa por θ(t) = 0,01 sen (20t) 
rad. 
 
 
Probl. 2-18 
 
2-19 O motor do sistema mecânico mostrado na figura é acoplado a um redutor através de um 
eixo de aço flexível com diâmetro de 2,0 cm. Considerando os demais eixos como rígidos e as 
inércias mostradas na figura, determine a equação de movimento angular θ5(t) para uma variação 
angular de saída do motor expressa por θ(t)=0,04 sen(20t) rad. 
 
 
Probl. 2-19 
 
2-20 O sistema mostrado na figura representa uma polia acoplada a um eixo apoiado sobre 
mancais flexíveis. Apresente dois modelos matemáticos (equações diferenciais de governo) que 
representem os efeitos de vibrações ocorrentes no sistema. Um modelo considerando o eixo 
como rígido e outro como flexível. Considerar apenas o efeito de vibrações na direção vertical. 
 
 
 
Probl. 2-20 
Gaço 70 GPa r1 5,0 cm 
t 0,8 cm r2 2,0 cm 
ρρρρ 7.850kg/m3 r3 5,0 cm 
 
Gaço 70 GPa r2 2,0 cm 
t 0,8 cm r3 5,0 cm 
ρρρρ 7.850kg/m3 r4 2,0 cm 
r1 5,0 cm r5 8,0 cm 
 
Dados: 
 
Eixo: L, d, ρ e E 
Polia: r, t e ρ 
Mancais: k 
Gaço 70 GPa r1 5,0 cm 
t 0,8 cm r2 2,0 cm 
ρρρρ 7.850kg/m3 
 
 25
 
2-21 Um veículo trafega por uma pista senoidal com as características mostradas na figura. 
Considerando apenas seu movimento de translação vertical (“bounce”), determine a aceleração 
vertical máxima do veículo ao trafegar com velocidade constante de 10 km/h e 50 km/h. 
Dados: m=800 kg, b=20.000 N/m/s, k=80.000 N/m. 
 
 
Probl. 2-21 
 
2-22 O projeto de um sistema de suspensão veicular depende da força máxima atuante nos 
elementos da suspensão. Considere o modelo simplificado de um grau de liberdade para 
representar um veículo leve com massa de 1.000 kg e rigidez equivalente de 48.000 N/m. 
Determine esta força máxima quando o veículo trafega a 20 km/h sobre uma pista senoidal com 
comprimento de onda de 4,0 m e amplitude de 8,0 cm. Despreze os efeitos dissipativos no 
sistema. 
 
 
Probl. 2-22 
 
2-23 O motor elétrico de 22 kg mostrado na figura é montado no meio de uma viga biapoiada de 
aço com seção reta retangular com comprimento de 1,0 m, largura de 0,2 m e altura de 10 mm. 
A amplitude da força vertical harmônica desbalanceadora é de 55 N a 58 Hz. Deseja-se reduzir a 
amplitude da aceleração do motor em 20% pela introdução de um amortecedor. Determine a 
fração de amortecimento resultante do sistema. 
 
 
Probl. 2-23 
 
2-24 Um dos eixos de uma máquina suporta um esforço torcional que é transmitido através de 
uma polia conforme indicado na figura. O eixo é fabricado de aço (G=70 GPa), tem um diâmetro 
de 2,0 cm e um comprimento de 80 cm. Desejando-se diminuir em 20% o nível de vibração 
torcional (deslocamento angular), foi sugerida a alteração do diâmetro do eixo. Determine esse 
novo diâmetro considerando que o eixo apresente um amortecimento estrutural de 5% de seu 
amortecimento crítico. Considere que a polia tenha uma massa de 2,0 kg e um raio de12 cm. 
 
 26
 
Probl. 2-24 
 27
CAPÍTULO III 
 
SISTEMAS COM MÚLTIPLOS 
GRAUS DE LIBERDADE 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
 
 
 Os sistemas mecânicos constituídos por vários elementos armazenadores e 
dissipadores de energia possuem em geral vários graus de liberdade, isto é, para cada 
elemento inercial do sistema pode-se atribuir uma liberdade de movimento e 
consequentemente o equacionamento é determinado em função desse movimento. 
 
 Relativamente às análises, o sistema com múltiplos graus de liberdade pode ser 
considerado como uma extensão do sistema com um grau de liberdade, isto é, deve-se realizar 
um estudo do seu comportamento no domínio do tempo e da freqüência. Tendo em vista a 
possibilidade de acoplamentos entre os vários movimentos referidos aos elementos inerciais, 
aparece naturalmente um acoplamento entre os graus de liberdade, o que sugere um tratamento 
matricial para os casos de sistemas lineares. 
 
 As análises no domínio do tempo devem ser realizadas de forma a determinar-se os 
deslocamentos, velocidades e/ou acelerações referidas a cada grau de liberdade do sistema. 
Entretanto, para sistemas com elevado número de graus de liberdade, recorre-se a 
aproximações onde realiza-se uma análise prévia dos chamados modos de vibrar do sistema, 
para posteriormente determinar-se a resposta no tempo em função dos modos selecionados para 
compor a solução. Este procedimento é denominado Método de Superposição Modal. 
 
 As análises no domínio da freqüência são em alguns casos mais importantes do que a 
resposta no tempo, tendo em vista as informações sobre o comportamento do sistema 
relativamente às freqüências de excitação do sistema. 
 
 Conforme apresentado no Capítulo II, as respostas no domínio da freqüência envolvem a 
determinação das relações entre entradas e saídas do sistema. Assim, para um sistema com 
múltiplos graus de liberdade tem se uma relação saída/entrada para cada grau de liberdade, 
associado a cada entrada. 
 
 Estes conceitos serão abordados nos próximos itens onde procura-se apresentar o 
tratamento a ser utilizado posteriormente nas análises de meios contínuos discretizados através 
de procedimentos computacionais da análise estrutural como o Método dos Elementos Finitos. 
 
 
3.2 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO 
 
 
 Os sistemas com múltiplos graus de liberdade apresentam a característica de 
acoplamento dos movimentos a serem considerados. Esses acoplamentosficam representados 
pelos termos cruzados das matrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema. Assim, seja 
o sistema de duas massas mostrado na Figura 3.1. 
 
 28
 
 
Figura 3.1 Sistema com Dois Graus de Liberdade. 
 
 Utilizando a segunda lei de Newton para cada uma das inércias pode-se chegar à 
equação diferencial matricial representativa do sistema. 
 
M x B x Kx F
•• •
+ + = (3.1) 
 
 Nesta equação M, B e K são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, x é o vetor 
deslocamento das massas e F o vetor forçamento. A Equação (3.1) é uma equação geral da 
dinâmica onde as matrizes e os vetores têm a ordem correspondente ao número de graus de 
liberdade do sistema. 
 
 Em relação ao sistema mostrado na Figura 3.1, as matrizes M, B e K e os vetores x e F 
seriam definidos por: 
 
 M
m
m
=






1
2
0
0
; B
b b b
b b b
=
+ −
− +






1 2 2
2 2 3
; K
k b k
k k k
=
+ −
− +






1 2 2
2 2 3
 
 
 (3.2) 
 x
x
x
=






1
2
; F
F
F
=






1
2
 
 
 Em sua forma mais geral as matrizes da Equação (3.1) apresentam as seguintes 
características: 
 
1) A matriz de massa não é necessariamente diagonal; 
 
2) A matriz de rigidez é quase sempre simétrica apresentando termos na diagonal 
incondicionalmente positivos. 
 
3) Neste exemplo a matriz de amortecimento apresenta a mesma topologia da matriz de rigidez, 
embora isto não seja uma regra geral. 
 
 
3.3 VIBRAÇÕES LIVRES - MODOS DE VIBRAR 
 
 
 A solução da Equação (3.1) pode ser obtida de várias formas, dependendo do tipo de 
forçamento. Nem sempre existe uma solução fechada para o problema, e, neste caso adotaria-se 
um procedimento computacional para a integração das referidas equações. 
 
 Outra forma de obter-se a solução do sistema de Equações (3.1) seria a partir da 
decomposição modal, que consiste em obter-se a resposta do sistema em função de seus 
 29
modos de vibrar. Na grande maioria dos problemas estruturais, esses modos são obtidos com a 
solução do problema de vibração livre, considerando amortecimento nulo, tendo em vista o baixo 
amortecimento estrutural. Nos casos onde o amortecimento não possa ser desprezado, recorre-
se à definição da matriz de amortecimento como proporcional às matrizes de massa e rigidez, o 
que também permite obter-se a solução a partir dos modos da estrutura. 
 
 Assim, nos casos de amortecimento nulo e sistema sem forçamento, a equação 
diferencial de governo fica: 
 
M x Kx
••
+ = 0 (3.3) 
 
Sua solução é obtida a partir da consideração de uma resposta do tipo: 
 
x t ue t( ) = λ (3.4) 
 
onde o vetor u representa uma relação de amplitudes entre x1 e x2 e λ é igual ao quadrado da 
frequência associada ao vetor u. 
 
 Substituindo a Equação (3.4) em (3.3) chega-se a: 
 
( )K M u+ =λ2 0 (3.5) 
 
 Este é um problema típico de autovalores e autovetores onde o vetor λ é um autovalor 
correspondente a uma freqüência natural e u é um autovetor cujas componentes representam 
uma relação entre x1 e x2. 
 
 A solução da Equação (3.5) é obtida fazendo-se: 
 
( )det K M+ =λ2 0 (3.6) 
 
que resultará em um polinômio chamado Polinômio Característico ou Equação Característica, 
cujo resultado no caso do exemplo, conduzirá a duas raízes imaginárias puras, o que caracteriza 
uma oscilação harmônica. Estas raízes são exatamente as duas freqüências naturais do sistema. 
 
 Para cada uma das freqüências naturais obtém-se um autovetor correspondente pela 
substituição de seu valor na Equação (3.5). É importante observar que o resultado desta 
substituição é um sistema de duas equações linearmente dependentes, o que mostra que na 
realidade obtém-se uma relação entre x1 e x2.e não seus valores explícitos. 
 
 Particularmente nos problemas onde o amortecimento é nulo, o autovalor será sempre 
um imaginário puro com a forma λ = iω, assim, costuma-se representar a Equação (3.5) como: 
 
( )K M u− =ω 2 0 (3.7) 
 
 A determinação dos autovalores seria assim, obtida pela imposição: 
 
( )det K M− =ω 2 0 (3.8) 
 
 Para o exemplo de duas massas da Figura 3.1 a Equação (3.8) fornece as duas 
frequências naturais do sistema, que podem ser expressas por: 
 
 30
ω 1 2
1 22 2 11
1 2
1 22 2 11
1 2
2
11 22 12
1 2
1
2
4, =
+
±
+




 −
−m k m k
m m
m k m k
m m
k k k
m m
 (3.9) 
 
 Os dois modos de vibrar podem ser determinados por: 
 
u
x
x
k
k m1
1
2 1
12
22 1
2
2
1
=





 =
−
−








ω e u
x
x
k
k m2
1
2 2
12
22 2
2
2
1
=





 =
−
−








ω (3.10) 
 
 Estes autovetores formam uma base para a solução do problema de vibração livre, que 
pode ser representada por: 
 
x t C u t C u t( ) cos( ) cos( )= − + −1 1 1 2 2 2 2 2ω φ ω φ (3.11) 
 
onde as constantes C1, φ1, C2 e φ2 são constantes a serem determinadas a partir das condições 
iniciais de movimento das massas 1 e 2. 
 
 
Exemplo: 
 
 Supondo no exemplo que m1 = m, m2 = 2m, k1 = k2 = k e k3 = 2k (Figura 3.2), tem-se 
as seguintes freqüências naturais: 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 Determinação de modos e freqüências naturais do exemplo da Figura 3.1. 
 
 
ω ω1 2 1 5811= =
k
m
e
k
m
, 
 
 Os modos de vibrar podem ser definidos dentro das seguintes proporções para x1 e x2: 
 
 31
u e u1 2
1
1
1
05
=





 = −





.
 
 
A interpretação física desses modos também é mostrada na Figura 3.2. 
 
 
3.4 ORTOGONALIDADE DOS MODOS 
 
 
 O conceito de ortogonalidade nos problemas de vibrações é adequado às soluções que 
se deseja para o problema. Assim, a ortogonalidade entre dois vetores representativos dos 
modos será obtida em relação à matriz de massa, isto é, dois autovetores serão considerados 
ortogonais em relação à matriz de massa se: 
 
u Mu p i j
u Mu m p i j
i
T
j
i
T
j i
= ≠
= =
0 /
/
 (3.12) 
 
 
 A conseqüência das condições (3.12) é que um autovetor ortogonal à matriz de massa 
será também ortogonal em relação à matriz de rigidez. 
 
 Esta condição permitirá o desacoplamento do sistema de equações a partir da definição 
de um novo sistema de coordenadas (graus de liberdade generalizados) descrito por: 
 
x Uq= (3.13) 
 
onde U é a chamada Matriz Modal, e é obtida pela colocação dos autovetores em colunas, isto é, 
 
[ ]U u u un= 1 2 L (3.14) 
 
 Substituindo-se a relação (3.13) na Equação (3.3) e pré-multiplicando-se por UT, obtém-
se: 
 
M q K q
_ _••
+ = 0 (3.15) 
 
onde 
 
M U MU e K U KUT T
−
= =
_
 (3.16) 
 
 Tendo em vista a ortogonalidade dos autovetores, a Equação (3.15) fica desacoplada e a 
solução para o vetor q(t) pode ser obtida facilmente, pois cada equação do sistema (3.15) 
representa um oscilador simples. Obtidos os q(t), pode-se calcular x(t) pela Equação (3.13), que 
resultará na Equação (3.11), considerando tantos modos quantos forem os graus de liberdade do 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
 32
3.5 BATIMENTO 
 
 Dependendo da proximidade entre freqüências naturais, o sistema pode apresentar o 
fenômeno de Batimento que caracteriza uma “sintonia” de movimentos associados a dois ou 
mais graus de liberdade, para os quais as energias potencial e cinética se alternam. 
 
 Um exemplo deste fenômeno pode ser observado no problema de dois pêndulos 
interligados por um elemento flexível, conforme ilustrado na Figura 3.3. 
 
 
 
Figura 3.3 Pêndulos acoplados por um elemento flexível. 
 
 As equações diferenciais deste sistema podem ser colocadas na forma matricial como: 
 
ml
ml
mgl ka ka
ka mgl ka
2
2
1
2
2 2
2 2
1
2
0
0
0
0














+
+ −
− +











 =






••
••
θ
θ
θ
θ
 (3.17) 
 
 A solução analítica desse sistema de equações, considerando-se uma condições inicial 
θ1 = θ0 e as demais condições nulas, pode ser representada por: 
 
θ θ
ω ω ω ω
θ θ
ω ω ω ω
1 0
2 1 2 1
2 0
2 1 2 1
2 2
2 2
( ) cos cos
( ) sen sen
t t t
t t t
=
−





+




=
−





+





 (3.18) 
 
onde ω1 e ω2 são as freqüências naturais do sistema expressas por: 
 
ω ω1 2
2
2
2= = +
g
l
e
g
l
ka
ml
 (3.19) 
 
A resposta desse sistema é apresentada graficamente na Figura 3.4, onde percebe-se a 
alternância entre energia potencial e cinética entre os dois pêndulos. 
 
 33
 
 
Figura 3.4 Resposta do Sistema da Figura 3.3. 
 
 
3.6 EXCITAÇÕES HARMÔNICAS 
 
 
 A resposta permanente de sistemas com múltiplos graus de liberdade na presença de 
excitações harmônicas pode ser obtida analiticamente para uma grande parte de sistemas 
mecânicos. Entretanto quando o número de graus de liberdade é elevado é inevitável o uso de 
procedimentos computacionais, onde o sistema é aproximado de forma a facilitar a integração 
das equações diferenciais. 
 
 Utilizando novamente a Equação (3.1) para um sistema com dois graus de liberdade, 
pode-se considerar o forçamento F(t) expresso por uma harmônica e considerar as relações de 
saída/entrada para analisar-se sua resposta em função da freqüência de excitação. 
 
M x B x Kx F t
•• •
+ + = ( ) (3.20) 
 
 Considerando-se o vetor forçamento com componentes de mesma freqüência pode-se 
escrever: 
 
F t F e
F t F e
i t
i t
1 1
2 2
( )
( )
=
=
ω
ω
 (3.21) 
 
 Buscando-se uma resposta no regime permanente, pode ensaiar a solução: 
 
x t X i e
x t X i e
i t
i t
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
=
=
ω
ω
ω
ω
 (3.22) 
 
Substituindo-se as Equações (3.21) e (3.22) na (3.20), tem-se as relações entre saída e entrada 
do sistema que, neste caso caracterizam quatro ganhos determinados por: 
 
X
X Z Z Z
Z Z
Z Z
F
F
1
2 11 22 12
22 12
12 11
1
2
1




 = −
−
−











 (3.23) 
 
 34
 A Equação (3.23) mostra de, a princípio deve-se analisar todas as possíveis relações 
saída/entrada no sistema, de forma a caracterizar-se realmente se em algum ponto do sistema 
existem efeitos que o danifiquem. 
 
 
Exemplo: 
 
 Considere, por exemplo, o sistema da Figura (3.1) sem amortecimento e apenas com 
uma força F1(t) e com os seguintes parâmetros: m1 = m, m2 = 2m, k1 = k2 = k e k3 = 2k. Neste 
caso as amplitudes dos deslocamentos das massas 1 e 2 podem ser expressas por: 
 
X
k m F
k m k m k
X
k F
k m k m k
1
22
2
2 1
11
2
1 22
2
2 12
2
2
12 1
11
2
1 22
2
2 12
2
=
−
− − −
=
−
− − −
( )
( )( )
( )( )
ω
ω ω
ω ω
 
 
 Estas respostas são mostradas graficamente na Figura (3.5) 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 Resposta do sistema com dois graus de liberdade. 
 
 35
 Pela figura 3.5 pode-se observar na resposta de X1 que existe uma freqüência 
correspondente a uma saída nula para o sistema. Esta característica mostra o conceito utilizado 
em absorvedores mecânicos, onde por introdução de um subsistema massa-mola a um sistema 
que opere com grandes amplitudes de vibração pode-se minimizar seus efeitos. Esta condição é 
conseguida através da escolha de parâmetros tais que, a freqüência de operação do sistema 
seja relacionada com as propriedades do subsistema de forma a atender a Equação: 
 
ω op
k
m
= 22
2
 (3.24) 
 
 Esta freqüência é chamada de freqüência do absorvedor. Também nesta freqüência o 
segundo gráfico da Figura 3.5 mostra que X2 (deslocamento do absorvedor) será diferente de 
zero, porém não muito alta, o que torna o projeto do absorvedor viável. 
 
 
3.7 SISTEMAS COM AMORTECIMENTO PROPORCIONAL 
 
 
 Em muitos sistemas o efeito de amortecimento não pode ser desprezado e deve ser 
considerado como elemento modificador da resposta do sistema. Entretanto em alguns sistemas 
mecânicos, principalmente nos sistemas estruturais onde o amortecimento é baixo, é possível 
considerar-se a matriz de amortecimento como proporcional às matrizes de massa e rigidez, isto 
é, 
 
B M K= +α β (3.25) 
 
onde α e β são fatores de proporcionalidade baseados em experimentos. 
 
 Nesta situação pode-se utilizar a decomposição modal do sistema utilizando-se a 
transformação de coordenadas expressa pela Equação (3.13), o que conduzirá ao 
desacoplamento do sistema. 
 
M x B x Kx F t
•• •
+ + = ( ) (3.26) 
 
 Utilizando-se a Equação (3.13) e pré-multiplicando-se toda a equação por UT chega-se a: 
 
M q B q K q Q t
_ _ _
( )
•• •
+ + = (3.27) 
 
onde 
 
M U M U B M K K U KU e Q U F tT T T
− −
= = + = =; ; ( )
_ _ _
α β (3.28) 
 
 O sistema de Equações (3.27) é desacoplado e pode ser resolvido a partir de soluções 
de sistemas com um grau de liberdade. Em seguida utilizando a Equação (3.13) pode-se 
recuperar os valores das coordenadas físicas. 
 
 
 
 
 
 
 36
3.8 REDUÇÃO DE ORDEM EM MODELOS LINEARES 
 
 
 Outra possibilidade de solução de um sistema de equações dinâmicas para modelos 
lineares é a chamada Redução de Ordem, onde a partir de algumas considerações iniciais sobre 
os efeitos inerciais, pode-se reduzir drasticamente o número de equações do sistema. 
 
 A idéia básica é a de determinar-se uma transformação sobre as matrizes características 
do modelo no sentido de reduzir-se sua ordem, sem prejuízo no cálculo de seu comportamento. 
 
 Esta transformação seria expressa a partir de uma seleção de efeitos inerciais pouco 
influentes no modelo. Esta sistemática é válida para sistemas estruturais onde as inércias 
referidas a alguns graus de liberdade são de valores significativamente menores do que para 
outros, podendo assim ser eliminadas ou aglutinadas a outros graus de liberdade. 
 
 Seja um modelo estrutural sem dissipação representado pelas matrizes de massa e 
rigidez oriundas de uma metodologia como a do Método dos Elementos Finitos. Sua equação 
diferencial de governo é classicamente colocada na forma: 
 
M x Kx F t
••
+ = ( ) (3.29) 
 
Seja também uma transformação sobre o vetor x no sentido de reduzir-se sua ordem e que 
possa ser expressa por: 
 
x T x=
−
 (3.30) 
 
 Substituindo-se a Equação (3.30) em (3.29) e pré-multiplicando-se toda a equação por 
T
T, obtém-se: 
 
M x K x F t
_ _ _ _ _
( )
••
+ = (3.31) 
 
onde 
 
M T MT K T KT e F t T F tT T T
_ _ _
; ( ) ( )= = = (3.32) 
 
 A Equação (3.31) representará, assim, um sistema reduzido se a transformação T for tal 
que “selecione” os graus de liberdade com inércias significantes e transforme as matrizes M e K 
de forma a incorporarem esses efeitos nos elementos referentes aos graus de liberdade 
remanescentes. 
 
 Duas possibilidades podem ocorrer: 
 
1) O modelo possui graus de liberdade sem massa. 
 
 Neste caso pode-se proceder a uma manipulação das matrizes de massa e rigidez de 
forma a expressar-se os graus de liberdade sem massa em função dos com massa e assim, o 
sistema fica “idealmente reduzido”, sem qualquer prejuízo na solução. 
 
 Matricialmente, pode-se escrever: 
 37
M x
x
K K
K K
x
x
F
F
11 1
2
11 12
21 22
1
2
1
2
0
0 0














+











 =






••
•• (3.33) 
 
A segunda equação matricial é estática, de forma que pode-se expressar x2 em função de x1. 
 
x K F K K x2 22
1
2 22
1
21 1= −
− − (3.34) 
 
 Substituindo-se a Equação (3.34) na primeira equação matricial tem-se: 
 
M x K x F t
_ _ _ _ _
( )
••
+ = (3.35) 
 
onde 
 
M M K K K K K F F K K F e x x
_ _ _ _
; ;= = − = − =− −11 11 12 22
1
21 1 12 22
1
2 1 (3.36) 
 
As operações acima correspondem a uma matriz transformação T expressa por: 
 
T
I
K K
=
−





−
22
1
21
 (3.37) 
 
 
2) O modelo possui graus de liberdade com massa desprezível 
 
 
 Neste caso considera-se como válidas as transformações da Equação (3.32), obtendo-se 
a mesma matriz de rigidez transformada do caso anterior e a matriz de massa fica: 
 
M M M K K K K M K K M K KT T
_
= − − +− − − −11 12 22
1
21 21 22
1
21 21 22
1
22 22
1
21 (3.38) 
 
 A utilização desta redução será tão precisa quanto menor os valores das inércias 
referidas aos graus de liberdade condensados. É importante observarque, com esta 
transformação viola-se uma condição de equilíbrio dinâmico. 
 
 
3.9 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS CONTÍNUOS 
 
 
 A determinação das equações de governo em sistemas com parâmetros concentrados 
apresenta uma crescente dificuldade na medida em que os corpos possuam forças interativas 
entre si. Um procedimento que minimiza esta dificuldade é proposto por Lagrange, que apresenta 
uma formulação energética onde as condições de equilíbrio dinâmico dos corpos são atendidas 
desde que seja possível formular as expressões energéticas envolvidas no problema. 
 
 Assim, ao se determinar as energias cinética e potencial em relação às coordenadas 
generalizadas do sistema, pode-se obter as equações de governo utilizando a Equação de 
Lagrange, que pode ser expressa por (Craig, 1981): 
 
 38
d
dt
T
q
T
q
V
q
Q
i
i i
i
∂
∂
∂
∂
∂
∂•








− + = (3.39) 
 
onde T é a Energia Cinética do Sistema (Expressa em função das coordenadas 
generalizadas q, 
 V é a Energia Potencial Elástica e 
 Q são as forças generalizadas. 
 
 A aplicação dessa equação a sistemas contínuos é bastante conveniente tendo em vista 
a facilidade de equacionamento, principalmente quando se trata de um sistema estrutural. A 
determinação da Energia Potencial em termos das coordenadas generalizadas do sistema 
conduzirá à obtenção da sua matriz de rigidez, enquanto que a Energia Cinética conduzirá à 
obtenção da matriz de massa consistente. O vetor representativo das forças generalizadas será 
obtido pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. 
 
 
3.9.1 Elemento Estrutural de Barra 
 
 Considere inicialmente um elemento prismático com movimento uniaxial e propriedades 
físicas e geométricas conhecidas. 
 
 
 
Figura 3.6 Elemento prismático com deslocamentos uniaxiais. 
 
 A energia de deformação elástica associada ao deslocamento u(x,t), pode ser expressa 
por: 
 
V EA
u
x
dx
L
= 




∫
1
2
2∂
∂
 (3.40) 
 
 Considerando-se o campo de deslocamentos u(x,t) representado por um somatório de 
produtos de duas funções, uma função exclusiva de x e outra em função exclusiva do tempo, 
tem-se: 
 
u x t x u ti i
i
n
( , ) ( ) ( )=
=
∑ψ
1
 (3.41) 
 
 Substituindo-se a Equação (3.41) em (3.40), obtém-se uma expressão que permite 
determinar-se um elemento kij correspondente à forma discretizada da energia potencial elástica, 
isto é, 
 
V k u u
i
ij i j
j
= ∑ ∑
1
2
 (3.42) 
 
onde kij será o termo ij de uma matriz de rigidez representativa do meio contínuo e definido por: 
 39
 
k EA
x x
dxij
i j
L
= ∫
∂ψ
∂
∂ψ
∂
 (3.43) 
 
 As funções ψi são em geral polinômios que devem atender às condições de contorno do 
domínio. 
 
 A energia cinética da barra pode ser determinada a partir da expressão: 
 
T A
u
t
dx
L
=





∫
1
2
2
ρ
∂
∂
 (3.44) 
 
 Analogamente, substituindo-se a aproximação de u(x,t) na Equação (3.44) chega-se a: 
 
 
T m u u
i
ij i j
j
= ∑ ∑
• •1
2
 (3.45) 
 
onde mij é um elemento genérico da matriz de massa consistente e definido por: 
 
m A dxij i j
L
= ∫ ρ ψ ψ (3.46) 
 
 O vetor com as forças generalizadas pode ser definido a partir do Princípio dos Trabalhos 
Virtuais e será expresso por: 
 
Q p x t dxi i
L
= ∫ ( , )ψ (3.47) 
 
 
Exemplo: 
 
 Seja determinar-se o modelo dinâmico de uma barra com três graus de liberdade, 
conforme indicado na Figura 3.7. 
 
 
 
Figura 3.7 Barra com Três graus de liberdade. 
 
 
 As condições de contorno do domínio são tais que: 
 
p/x=0 → u(0,t) = u1 → ψ1 = 1, ψ2 = 0 e ψ3 = 0 
p/x=L → u(L,t) = u2 → ψ1 = 0, ψ2 = 1 e ψ3 = 0 
p/x=2L → u(2L,t) = u3 → ψ1 = 0, ψ2 = 0 e ψ3 = 1 
 40
 Com três condições de contorno a serem atendidas por cada uma das funções ψi, pode-
se definir polinômios de 2a ordem. Determinam-se assim os seguintes polinômios: 
 
ψ
ψ
ψ
1
2
2
2
3
2
1
3
2
1
2
2
1
2
1
2
( )
( )
( )
x
x
L
x
L
x
x
L
x
L
x
x
L
x
L
= − 




 +






= 




 −






= − 




 +






 
 
 A solução para o campo u(x,t) será expressa por: 
 
u x t x u t x u t x u ti i( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + +ψ ψ ψ2 2 3 3 
 
 Substituindo-se os polinômios nas Equações (3.43) e (3.46) obtém-se as matrizes de 
massa e rigidez do sistema, que no caso de vibração livre gera o seguinte modelo: 
 










=










+












••
••
••
0
0
0
3
2
1
3
2
1
u
u
u
u
u
u
KKKKMMMM 
 
 O modelo dinâmico acima deve ser integrado considerando as condições iniciais do 
sistema. Com a resposta para os deslocamentos nodais u’s, pode-se substituir na expressão do 
campo u(x,t) e obter o deslocamento de quaisquer pontos do meio contínuo. 
 
 
3.9.2 Elemento Estrutural de Viga Plana 
 
 O elemento de viga plana possui deslocamentos transversais e rotações no plano da 
viga. As características inerciais mij e o vetor de carregamento generalizado Qi são calculados da 
mesma forma que o elemento de barra, ou seja utilizando-se as Equações (3.46). e (3.47). A 
matriz de rigidez será determinada a partir de desenvolvimento similar ao anterior, porém 
utilizando-se a energia potencial elástica de uma viga, que pode ser expressa por: 
 
V EI
u
x
dx
L
=





∫
1
2
2
2
2
∂
∂
 (3.48) 
 
 Utilizando-se o mesmo desenvolvimento anterior chega-se à determinação dos 
elementos da matriz de rigidez kij. 
 
k EI
x x
dxij
i j
L
= ∫
∂ ψ
∂
∂ ψ
∂
2
2
2
2
 (3.49) 
 
 Considerando um elemento típico de viga plana com quatro graus de liberdade, conforme 
ilustrado na Figura 3.8, pode-se determinar os polinômios de terceira ordem relacionados a este 
elemento. 
 41
 
 
 
Figura 3.8 Elemento de Viga Plana. 
 
 
32
4
32
3
32
2
32
1
)(
23)(
2)(
231)(





+




−=





−




=





+




−=





+




−=
L
x
L
L
x
Lx
L
x
L
x
x
L
x
L
L
x
Lxx
L
x
L
x
x
ψ
ψ
ψ
ψ
 (3.50) 
 
 Substituindo-se esses polinômios nas Equações (3.43) e (3.46) obtém-se as matrizes de 
rigidez e massa relacionadas a este elemento. 
 
K
EI
L
L L
L L L L
L L
L L L L
=
−
−
− − −
−












3
2 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
 (3.51) 
 
 
m
AL
L L
L L L L
L L
L L L L
=
−
−
−
− − −












ρ
420
156 22 54 13
22 4 13 3
54 13 156 22
13 3 22 4
2 2
2 2
 
 
 
 42
3.10 PROBLEMAS 
 
3-1. Determine as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema abaixo. 
 
 
 
Probl. 3-1 
 
3-2. Determine as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema mostrado na figura. 
 
 
 
Probl. 3-2 
 
3-3. Discretizando o sistema abaixo com dois elementos de viga plana, determine: 
a) As equações diferenciais de movimento; 
b) Suas freqüências e modos naturais; 
c) As equações diferenciais em coordenadas generalizadas desacopladas. 
 
Dados: E=70GPa; L=1,0m; I=2 x 10-8 m4; ρ=7850kg/m3; A=2 x 10-4 m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probl. 3-3 
 
L L 
 43
3-4. Determine as freqüências e modos naturais do sistema da figura, assumindo que o cabo 
passa sobre a roldana sem deslizar. 
 
Dados: m = mo = 1,0 kg; k1 = k2 = 1 N/m e r = 0,5 m. 
 
 
Probl. 3-4 
 
3.5 Para o sistema mostrado na figura determine: 
 
a) Suas equações diferenciais de movimento, 
b) O conjunto de autovetores que ortonormaliza sua matriz de massa e 
c) As equações de movimento na forma ortonormalizada. 
 
 
Probl. 3-5 
 
3.6 Determinar as freqüências e modos naturais do sistema mecânico ilustrado na figura. 
 
 
Probl. 3-6 
 
3-7. Para o sistema de parâmetros concentrados ilustrado na figura determine: 
a) Suas equações diferenciais de movimento; 
b) As freqüências e modos naturais do sistema, representando-os. 
 
 44
 
Probl. 3-7 
 
3-8 Apresente as equações com as quais podemos determinar os modos de vibrar e as 
freqüênciasnaturais do motor apoiado sobre elementos flexíveis mostrado na figura abaixo. 
Determine numericamente as matrizes de massa e rigidez do sistema. 
 
 
 
Probl. 3-8 
 
3-9 Determine as freqüências naturais e os modos de vibrar do sistema constituído por dois eixos 
e quatro engrenagens mostrado na figura. Considere r3=2r2. 
 
 
Probl. 3-9 
 
3-10 Um motor é instalado conforme ilustrado na figura abaixo. Considerando que o material de 
apoio do motor sobre a barra rígida tenha uma rigidez de 2000 N/m e que o amortecedor viscoso 
colocado na extremidade valha 1000 Ns/m, Obtenha as equações de movimento do sistema. 
Considere que as massas do motor e da barra valem 50 kg e 10 kg., respectivamente. A força 
desbalanceadora do motor é de 50 N a 40 Hz. 
 
3-11 Substituindo-se o amortecedor da extremidade da barra do sistema do problema 3-10 por 
uma mola com 1000 N/m de rigidez, mantendo-se todos os demais componentes, determine as 
freqüências e modos naturais do sistema. 
 
Dados: 
 
Coordenadas. do cg 
 G(10,10,10) 
m=10 kg 
k=10000 N/m 
Dados: 
 
J1 0,2 x 10
-2 kgm2 
J2 0,1 x 10
-2 kgm2 
J3 0,2 x 10
-2 kgm2 
J4 0,4 x 10
-2 kgm2 
k1 4000 Nm/rad 
k2 2000 Nm/rad 
 
 45
 
Probls. 3-10/3-11 
 
3-12 Determine as freqüências e os modos naturais do sistema mostrado na figura pelo efeito da 
torção dos eixos. Considere: k1 = 2 Nm/rad, k2 = 0,5 Nm/rad, J1 = 1 kgm
2, J2 = 1,2 kgm
2 e J3 = 1,5 
kgm2. 
 
 
Probl. 3-12 
 
3-13 O sistema mecânico mostrado na figura é constituído por duas barras rígidas iguais com 
massa de 10 kg e quatro molas também iguais com rigidez de 1000 N/m. Determine as 
freqüências e os modos naturais de vibração do sistema. 
 
 
 
Probl. 3-13 
 
*3-14 Para o sistema estrutural mostrado na figura determine: 
 
a) Os modos e freqüências naturais, 
b) A resposta do sistema para os forçamentos constante e harmônico. 
 
Observações: 
1) Considere um modelo discretizado com pelo menos dois elementos para cada trecho da 
estrutura. 
2) Faça simulações do sistema com e sem amortecimento estrutural. 
3) Considere freqüências próximas e distantes da freqüência do 2o modo de vibração da 
estrutura. 
4) Compare a resposta para forçamento constante com os resultados fornecidos pela 
resistência dos materiais. 
 46
 
 
 
Probl. 3-14 
 
*3-15 Considerando a estrutura apresentada na figura, desenvolva um modelo matemático 
utilizando os elementos estruturais de viga, barra e eixo. Utilize aproximadamente 8 graus de 
liberdade e faça as seguintes análises: 
 
a) Determinação do sistema de equações diferenciais de governo, 
b) Análise de freqüências e modos de vibrar; 
c) Resposta no domínio do tempo para forçamento constante [F(t)=F0] e senoidal 
[F(t)=F0sen(ωt)]; 
d) Faça uma redução de ordem do modelo condensando os graus de liberdade de rotação na 
flexão; 
e) Determine as freqüências naturais do modelo reduzido e compare com as obtidas no item b e 
f) Introduza um amortecimento modal global no modelo reduzido e no modelo original e 
compare os resultados obtidos para um carregamento constante. Compare os resultados com 
os preconizados pela Resistência dos Materiais. 
 
Observações: 
Para efeito de simulação, considere freqüências próximas e afastadas da freqüência do 2o 
modo de vibração da estrutura. 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
(c) (d) 
 
 
 47
 
(e) (f) 
 
Probl. 3-15 
 
 
 
*3-16 Para os sistemas mecânicos indicados na figura, faça as seguintes análises: 
 
 • Modos e Freqüências Naturais. 
 • Simulação no domínio do tempo para várias condições de Entrada 
 • Respostas em função da variação dos parâmetros 
 
 
 
 
 
(a) Veículo com suspensões independentes. 
 
 
(b) Motocicleta plana. 
 
 48
 
 
(c) Motor a combustão de quatro tempos sobre coxins. 
 
 
(d) Motor de velocidade variável sobre fundação elástica. 
 
 
 
(e)Veículo Plano com Reboque. 
 
Probl. 3-16 
 
Os problemas 3-17 até 3-24 devem apresentar: 
 
1) Desenvolvimento detalhado do modelo matemático. 
2) Relação com os valores numéricos adotados para os parâmetros. 
3) Simulação com as respostas de algumas das variáveis do sistema. 
4) Análise das freqüências e modos naturais de vibração. 
 
 
 
*3-17 Analisar o comportamento de um absorvedor mecânico de vibrações através da simulação 
e analise de seu modelo matemático. 
 
 
 49
 
Probl. 3-17 
 
*3-18 Analisar o comportamento de um veículo através da simulação e analise de seu modelo 
matemático, considerando o movimento como plano e com dois graus de liberdade. 
 
 
Probl. 3-18 
 
*3-19 Analisar o comportamento do redutor de velocidades mostrado na figura através da 
simulação e analise de seu modelo matemático. Considere que a rotação do motor gere uma 
perturbação no ângulo de saída expressa por θ(t) = θ0 sen(ωt). 
 
 
 
Probl. 3-19 
 
*3-20 Analisar o comportamento do sistema mecânico com eixo e polias mostrado na figura 
através da simulação e analise de seu modelo matemático. Considere que a rotação do motor 
gere uma perturbação no ângulo de saída expressa por θ(t) = θ0 sen(ωt). 
 
 
Probl. 3-20 
 
*3-21 Veículo plano com quatro graus de liberdade (bounce, pitch e movimento independente das 
rodas dianteira e traseira) passando por obstáculo. 
 
 50
 
Probl. 3-21 
 
*3-22 Vibrações estruturais de prédios (shear building). Analisar as respostas devido a excitação 
de base e forçamentos decorrentes de desbalanceamentos de máquinas. 
 
 
 
Probl. 3-22 
 
*3-23 Vibrações em eixos rotativos. 
 
 
 
Probl. 3-23 
 
 
 
 51
*3-24 Veículo blindado plano com 5 rodas passando por obstáculo. 
 
 
 
Probl. 3-24 
 
* Problemas que requerem solução numérica. 
 
 52
CAPÍTULO IV 
 
SISTEMAS CONTÍNUOS 
 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
 
 O estudo analítico de sistemas contínuos é restrito a elementos estruturais simples, 
onde a partir de sua equação diferencial parcial de governo consegue-se uma solução 
fechada. Esta solução torna-se mais complexa na medida em que as condições de 
contorno dificultem a obtenção da equação característica do sistema. 
 
 O procedimento apresentado na literatura limita-se aos casos de cabos, barras, vigas e 
eixos como elementos isolados. O equacionamento dos elementos de cabos, barras e eixos são 
similares, resultando em uma equação diferencial parcial de segunda ordem no tempo e no 
espaço, enquanto para vigas, dadas as relações entre deslocamentos e solicitações, a equação 
diferencial parcial é de quarta ordem no espaço e segunda no tempo. 
 
 
4.2 CABOS 
 
 
 O cabo é um elemento resistente apenas a cargas trativas pelo efeito de solicitações 
transversais. Assim, seja o cabo biapoiado solicitado transversalmente por uma carga distribuída 
conforme ilustrado na Figura 4.1. 
 
 
 
Figura 4.1 Cabo carregado transversalmente. 
 
 Aplicando as equações de equilíbrio dinâmico a um pequeno elemento do cabo, obtém-
se a equação diferencial parcial de governo: 
 
∂
∂
∂
∂
ρ ∂
∂x
T
y
x
f x t
y
t





 + =( , )
2
2
 (4.1) 
 
válida para todo o domínio do cabo. E sujeita às seguintes condições de contorno: 
 
p/x = 0 → y(o,t) = 0 
p/x = L → y(L,t) = 0 
 
 A equação (4.1) está também sujeita a duas condições iniciais, para caracterizar o início 
de seu movimento. 
 53
 Considerando uma solução por separação de variáveis, pode-se proceder à solução de 
duas equações independentes, uma no domínio do tempo e outra no domínio do espaço. Seja 
y(x,t) expresso por: 
 
y x t Y x F t( , ) ( ) ( )= (4.2) 
 
 Substituindo-se esta equação em (4.1) pode-se escrever duas equações diferenciais 
ordinárias. 
 
d F
dt
F
2
2
2 0+ =ω (4.3) 
e 
 
d
dx
T
dY
dx
Y





 + =ω ρ2 0 (4.4) 
 
 A Equação (4.3) é conhecida do problema básico de vibrações de um oscilador simples, 
apresentando como resultado uma função harmônica que pode ser expressa por: 
 
F t C t( ) cos( )= −ω φ (4.5) 
 
onde as constantes C e φ dependem de condições iniciais. 
 
 A solução da Equação (4.4) depende dos elementos variantes coma posição, quais 
sejam a tração T do cabo e a densidade ρ. Como a equação de governo considera apenas os 
casos onde o cabo apresenta pequenos deslocamentos y(x,t), é razoável a hipótese de tração 
constante (cabo tenso) e densidade constante, o que conduz à uma equação diferencial na forma 
 
d Y
dx
Y
2
2
2 0+ =β (4.6) 
 
onde β é uma constante definida por: 
 
β ω ρ2
2
=
T
 (4.7) 
 
 A solução da Equação (4.6) é portanto uma harmônica sujeita às condições de contorno 
de apoio nas extremidades. 
 
Y x A x B x( ) sen cos= +β β (4.8) 
 
 Substituindo-se as condições de contorno tem-se a equação característica do problema, 
qual seja, 
 
sen βx = 0 (4.9) 
 
Esta equação conduz às freqüências naturais do cabo que podem ser expressas por: 
 
 
 
 54
ω π
ρn
n
T
L
=
2
 (4.10) 
 
 Assim, as autofunções do problema ficam definidas pela Equação (4.8) como: 
 
Y x A xn n n( ) sen= β (4.11) 
 
 Também aqui a amplitude A não está definida, mas sim a forma dos deslocamentos do 
cabo para os diversos modos de vibrar. 
 
 Uma informação regular na literatura é a das autofunções normalizadas, que consiste na 
definição das amplitudes An obedecendo ao processo de normalização, qual seja, 
 
ρY dxn
L
2 1=∫ (4.12) 
 
que, após a substituição de Yn(x) dado pela Equação (4.11) permite calcular-se o valor dos An e 
as autofunções podem ser expressas por: 
 
Y x
L
xn n( ) sen=
2
ρ
β (4.13) 
 
 A Figura 4.2 ilustra os três primeiros modos do cabo com suas freqüências naturais. 
 
 
 
 ω π
ρ1 2
=
T
L
 ω π
ρ2 2
2=
T
L
 ω π
ρ3 2
3=
T
L
 
 
Figura 4.2 Modos e Freqüências naturais de um cabo biapoiado. 
 
 
4.3 VIGAS EM FLEXÃO 
 
 
 No problema de vigas em flexão onde o efeito preponderante é o momento fletor, e 
considerando-se as hipóteses de Benouille-Euler, pode-se determinar sua equação de governo 
considerando os esforços atuantes em uma parte elementar da viga. 
 
 55
Figura 4.3 Viga em Flexão. 
 
−





 + =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
x
EI x
y x t
x
f x t m x
y x t
t
( )
( , )
( , ) ( )
( , )
 (4.14) 
 
 A Equação (4.14) está sujeita a quatro condições de contorno e duas condições iniciais. 
Uma manipulação desta equação, considerando o deslocamento transversal y(x,t) expresso pela 
Equação (4.2), permite uma separação de variáveis para o problema de vibrações livres, onde a 
função dependente do tempo é idêntica à Equação (4.3). e a função do espaço pode ser 
colocada como: 
 
d
dx
EI x
d Y
dx
m x Y
2
2
2
2
2( ) ( )





 = ω (4.15) 
 
 Esta equação pode ser resolvida considerando a rigidez EI e a massa por unidade de 
comprimento m constantes, escrevendo: 
 
d Y
dx
Y
4
4
4 0− =β (4.16) 
 
onde 
β ω4
2
=
m
EI
 (4.17) 
 
 A solução geral da Equação (4.16) tem a forma: 
 
Y X C x C x C x C x( ) sen cos senh cosh= + + +1 2 3 4β β β β (4.18) 
 
onde as constantes C’s serão determinadas a partir de condições de contorno. 
 
 
Exemplo: 
 
 Considerando o caso de uma viga biapoiada tem-se as seguintes condições de contorno 
a serem atendidas: 
 
Y Y L
d Y
dx
e
d Y
dx
L
( ) ; ( ) ;
( ) ( )
0 0 0
0 0 0
2
2
2
2
= =
= =
 (4.18) 
 
 Neste caso as constantes C’s levam às seguintes condições: 
 
C2 = 0; C4 = 0; C3 = 0 e C1senβx = 0 
 
assim, da última condição obtém-se a equação característica do problema. 
 
sen βx = 0 (4.19) 
 
 56
que é idêntica à condição obtida para o cabo. 
 
 As freqüências naturais, portanto, podem ser obtidas a partir da Equação (4.17) e 
expressas por: 
 
ω πn n
EI
mL
= ( )2
4
 (4.20) 
 
e as autofunções normalizadas ficam: 
 
Y x
mL
n x
L
n ( ) sen=
2 π
 (4.21) 
 
 A forma dos modos são similares aos apresentados na Figura 4.2. 
 
 
 57
4.4 PROBLEMAS 
 
4-1. Determine os modos de vibrar e as freqüências naturais de uma viga biapoiada utilizando um 
único elemento de viga plana. Compare os resultados com os preconizados pelas formulações 
analíticas. Considere E = 80 GPa, I = 1,5 x 10-5 m4 e L = 2,0 m. 
 
4-2 Determine os modos de vibrar e as freqüências naturais de uma viga rotulada-livre sob flexão 
considerando uma discretização com um único elemento de viga. Compare os resultados obtidos 
com os preconizados pela solução analítica. 
Dados: E = 70 GPa, A = 2x10-2 m2, ρ=7850 kg/m3, L = 2,0 m e I = 4x10-4 m4. 
 
4-3 Determine as freqüências e modos naturais para as duas vigas mostradas na figura 
considerando uma discretização do meio contínuo com um único elemento de viga. Compare as 
freqüências obtidas com as preconizadas pela solução analítica. 
 
 
Probl. 4-3 
 
 
 
 58
CAPÍTULO V 
 
PROBLEMAS PRÁTICOS EM VIBRAÇÕES DE ESTRUTURAS 
 
 
5.1 VIBRACÕES INDUZIDAS POR PESSOAS 
 
 As análises de vibrações induzidas por pessoas referem-se em geral aos seguintes tipos 
de solicitações: caminhadas, corridas, saltos e danças. 
 
 As estruturas afetadas por este tipo de excitação são predominantemente pontes de 
pedestres, entretanto, existem problemas similares associados com escadas, embora 
estruturalmente sejam bem mais rígidas, possuindo freqüências naturais bem acima das 
relacionadas às excitações. 
 
 Grande parte dos problemas desta natureza é proveniente da vibração forçada induzida 
pelas freqüências das passadas dos pedestres. O valor médio da freqüência dessas passadas é 
de 2 Hz com um desvio padrão de 0,175 Hz. Isto significa que 50% dos pedestres caminham a 
uma freqüência entre 1,9 e 2,1 Hz, ou que 95% dos pedestres caminham entre 1,65 e 2,35 Hz. 
Dependendo do vão da ponte, somente um número finito de passos age sobre a ponte, o que 
caracteriza um problema transiente para a ponte, sem maiores conseqüências, em termos de 
seu comportamento, entretanto, algumas pontes devem comportar a passagem de corredores 
cuja freqüência de excitação pode estar acima de 3,5 Hz. A freqüência do segundo e terceiro 
harmônicos de uma caminhada normal, entre 4 e 6 Hz pode ser importante, particularmente para 
estruturas com freqüências naturais próximas. 
 
 A tabela abaixo apresenta uma média de valores para freqüências de excitação induzidas 
por pessoas em estruturas. 
 
Tabela 5.1 Faixas de Freqüências induzidas por pessoas. 
 
Tipos de Atividades Tipos de Estrutura 
Designação Faixa de 
Freqüências 
 
Caminhada 1,6 - 2,4 Pontes, Escadas, Pisos de Escritório 
Corrida 2,0 - 3.5 Pontes de Pedestres 
Saltos 1,8 - 4,3 Ginásio de Esportes 
Danças 1,5 - 30 Salões de Dança, Salas de Concertos 
 
 
5.1.1 Critérios de Análise 
 
Frequências Naturais 
 
 A principal condição a ser evitada é a coincidência da freqüência média da caminhada 
com a freqüência natural da estrutura. A Figura 5.1 mostra um conjunto de dados referentes a 67 
pontes para pedestres e a banda de freqüências de caminhadas de 95% das pessoas. 
 
 
 
 
 
 59
 
Figura 5.1 Freqüências naturais em função do Vão livre. 
 
 Fazendo-se uma média dos dados, pode-se obter uma relação aproximada relacionando-
se a freqüência fundamental f1 em Hz e o vão livre L em m. 
 
f L1
0 73336= −. , (5.1) 
 
Esta relação apresenta uma razoável concordância com os dados da Figura 5.1. Relações mais 
específicas podem ser obtidas para materiais como concreto e aço. 
 
Concreto f L
Aco f L
1
0 77
1
0 73
39
35
=
=
−
−
,
,
 (5.2) 
 
 Deve ser lembrado que pontes com pequenos vãos apresentando freqüências 
fundamentais como múltiplo da freqüência da caminhada pode apresentar problemas por 
excitarem modos superiores da estrutura. 
 
 A Tabela 5.1 mostra os resultados de dados experimentais obtidos para a fração de 
amortecimento desse tipo de estrutura. 
 
Tabela 5.1 Valores da fração de amortecimento para pontes de pedestres. 
 
Tipo de Construção Mínimo Médio Máximo 
 Concreto Reforçado 0,008 0,013 0,020 
Concreto Pré-Tensionado 0,005 0,010 0,017 
Materiais Compositos 0,003 0,006 - 
Aço 0,002 0,004 - 
 
Rigidez 
 
 A rigidez de pontes para pedestres (força dividida pelo deslocamento no ponto médio do