Cálculo de Taxas Financeiras

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Faculdades Ibmec de Minas Gerais 
Administração 
Disciplina: Mercados e Produtos Financeiros 
Prof: Dr. Eduardo Senra Coutinho 
 
 
Taxas Proporcionais 
 
𝑖1 ∗ 𝑛1 = 𝑖2 ∗ 𝑛2 
 
Determinar a taxa trimestral proporcional à taxa de 21% a.a. 
 
0,21 ∗ 1 = 𝑖𝑎.𝑡. ∗ 4 
 
𝑖𝑎.𝑡. = 0,0525 𝑜𝑢 5,25% 𝑎. 𝑡. 
 
Determinar a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a. 
 
0,36 ∗ 1 = 𝑖𝑎.𝑚. ∗ 12 
 
𝑖𝑎.𝑚. =
0,36
12
= 0,03 𝑜𝑢 3% 𝑎. 𝑚. 
 
Determinar a taxa diária proporcional à taxa de 2,7% a.m. 
 
0,027 ∗ 1 = 𝑖𝑎.𝑑,. ∗ 30 
 
𝑖𝑎.𝑑. =
0,027
30
= 0,0009 𝑜𝑢 0,09% 𝑎. 𝑑. 
 
 
Determinar a taxa anual proporcional à taxa de 0,053% a.d. 
 
𝑖𝑎.𝑎. ∗ 1 = 0,00053 ∗ 360 
 
𝑖𝑎.𝑎. = 0,1908 𝑜𝑢 19,09% 𝑎. 𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxas Equivalentes 
 
 
 
Determinar a taxa trimestral equivalente à taxa de 30% a.a. 
 
(1 + 0,30)1 = (1 + 𝑖𝑎.𝑡.)
4 
 
1 + 𝑖𝑎.𝑡. = (1,30)
1
4⁄ 
 
𝑖𝑎.𝑡. = 1,30
1
4⁄ − 1 = 0,067789972 𝑜𝑢 6,78% 𝑎. 𝑡. 
 
Determinar a taxa anual equivalente à taxa de 2,5% a.m. 
 
(1 + 𝑖𝑎.𝑎.)
1 = (1 + 0,025)12 
 
𝑖𝑎.𝑎. = (1,025)
12 − 1 = 0,344888824 𝑜𝑢 34,49% 𝑎. 𝑎. 
 
Determinar a taxa diária equivalente à taxa de 4% a.m. 
 
(1 + 0,04)1 = (1 + 𝑖𝑎.𝑑.)
30 
 
1 + 𝑖𝑎.𝑑. = (1,04)
1
30⁄ − 1 = 0,001308212 𝑜𝑢 0,1308% 𝑎. 𝑑. 
 
Determinar a taxa por dia útil equivalente à taxa de 5,3% a.m. (mês com 21 dias úteis). 
 
(1 + 0,053)1 = (1 + 𝑖𝑎.𝑑.𝑢.)
21 
 
1 + 𝑖𝑎.𝑑.𝑢. = (1,053)
1
21⁄ 
 
𝑖𝑎.𝑑.𝑢. = (1,053)
1
21⁄ − 1 = 0,002462228 𝑜𝑢 0,2462% 𝑎. 𝑑. 𝑢. 
 
Em um determinado investimento a taxa auferida foi de 18,7% a.p. (período com 67 dias úteis). 
Determinar a taxa por dia útil equivalente. 
 
(1 + 0,187)1 = (1 + 𝑖𝑎.𝑑.𝑢.)
67 
 
1 + 𝑖𝑎.𝑑.𝑢. = (1,187)
1
67⁄ 
 
𝑖𝑎.𝑑.𝑢. = (1,187)
1
67⁄ − 1 = 0,00256192 𝑜𝑢 0,2562% 𝑎. 𝑑. 𝑢. 
 
Dada a taxa de 26% a.a., determinar a taxa equivalente no período de 92 dias corridos (ano 
comercial). 
(1 + 0,26)1 = (1 + 𝑖𝑎.𝑝.)
360
92⁄ 
 
1 + 𝑖𝑎.𝑝. = (1,26)
92
360⁄ 
 
𝑖𝑎.𝑝. = (1,26)
92
360⁄ − 1 = 0,06840888 𝑜𝑢 6,84% 𝑎. 𝑝. 
 
 
Taxas Nominais e Efetivas 
 
𝑖𝑒 = (1 +
𝑖𝑛
𝑘
)
𝑘
− 1 
 
 
Dada a taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente, determinar a taxa efetiva. 
 
𝑖𝑒 = (1 +
0,24
12
)
12
− 1 = 0,268241795 𝑜𝑢 26,82% 𝑎. 𝑎. 
 
E qual seria a taxa efetiva correspondente se a capitalização fosse trimestral? 
 
𝑖𝑒 = (1 +
0,24
4
)
4
− 1 = 0,26247696 𝑜𝑢 26,25% 𝑎. 𝑎. 
 
E qual seria a taxa efetiva correspondente se a capitalização fosse semestral? 
 
𝑖𝑒 = (1 +
0,24
2
)
2
− 1 = 0,2544 𝑜𝑢 25,44% 𝑎. 𝑎. 
 
Dada a taxa nominal de 30% a.a., capitalizada trimestralmente, determinar a taxa efetiva. 
 
𝑖𝑒 = (1 +
0,30
4
)
4
− 1 = 0,335469141 𝑜𝑢 33,55% 𝑎. 𝑎. 
 
Dada a taxa nominal de 3% a.m., capitalizados anualmente, determinar a taxa efetiva. 
 
𝑖𝑒 = 3 ∗ 12 = 36% 𝑎. 𝑎. 
 
A taxa nominal da caderneta de poupança é de 6% a.a., capitalizados mensalmente. 
Determinar a taxa efetiva anual. 
 
𝑖𝑒 = (1 +
0,06
12
)
12
− 1 = 0,061677812 𝑜𝑢 6,17% 𝑎. 𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa Over 
 
𝑖𝑎.𝑎.𝑜. = (1 + 𝑖𝑎.𝑑.𝑢.)
252 − 1 
 
𝑖𝑎.𝑑.𝑢. = (1 + 𝑖𝑎.𝑎.𝑜.)
1
252⁄ − 1 
 
𝑖𝑎.𝑝. = (1 + 𝑖𝑎.𝑎.𝑜.)
𝐷𝑈
252⁄ − 1 
 
𝑖𝑎.𝑝. = (1 + 𝑖𝑎.𝑑.𝑢.)
𝐷𝑈 − 1 
 
O Banco Central divulgou a taxa Selic (taxa básica de juros do Banco Central) para o 
período janeiro-fevereiro de 2001. Sendo a meta Selic igual a 19% a.a.o., calcular a taxa 
equivalente por dia útil. 
 
𝑖𝑎.𝑑.𝑢. = (1 + 0,19)
1
252⁄ − 1 = 0,000690529 𝑜𝑢 0,0690529% 𝑎. 𝑑. 𝑢. 
 
 
Calcule a taxa ao ano over equivalente à taxa efetiva de 0,128% a.d.u. 
 
𝑖𝑎.𝑎.𝑜. = (1 + 0,00128)
252 − 1 = 0,380372979 𝑜𝑢 38,04% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 
 
 
Um indivíduo aplica R$200.000,00 em um ativo financeiro por um período de 61 dias 
corridos, nos quais estão contidos 42 dias úteis. No fim do período o montante é de 
R$215.000,00. Calcular: 
 
a) a taxa efetiva ao período. 
 
𝑖𝑎.𝑝. =
𝐹
𝑃
− 1 =
215.000,00
200.000,00
− 1 = 0,075 𝑜𝑢 7,5% 𝑎. 𝑝. 
 
b) a taxa efetiva por dia corrido. 
 
𝑖𝑎.𝑑. = (1 + 0,075)
1
61⁄ − 1 = 0,001186288 𝑜𝑢 0,1186288% 𝑎. 𝑑. 
 
 
c) taxa efetiva por dia útil e a taxa ao ano over. 
 
𝑖𝑎.𝑑.𝑢. = (1 + 0,075)
1
42⁄ − 1 = 0,001723404 𝑜𝑢 0,1723404% 𝑎. 𝑑. 𝑢. 
 
 
𝑖𝑎.𝑎.𝑜 = (1 + 0,001723404)
252 − 1 = 0543301576 𝑜𝑢 54,33% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 
 
 
 
 
 
 
 
Dada a taxa over de 2,70% a.a., determinar a taxa a.d.u.. 
 
𝑖𝑎.𝑑.𝑢. = (1 + 0,0270)
1
252⁄ − 1 = 0,000105728 𝑜𝑢 0,0105728% 𝑎. 𝑑. 𝑢. 
 
 
Um investidor obtém, em uma dada aplicação, a taxa efetiva de 7,2% a.p. (período com 
37 dias úteis). Determinar a taxa ao ano over equivalente. 
 
𝑖𝑎.𝑎.𝑜. = (1 + 0,072)
252
37⁄ − 1 = 0,605650321 𝑜𝑢 60,5650321%𝑎. 𝑎. 𝑜. 
 
Uma operação financeira é fechada à taxa over de 2,4% a.a. por um período de 47 dias 
úteis. Determinar a taxa efetiva ao período. 
 
𝑖𝑎.𝑝. = (1 + 0,024)
47
252⁄ − 1 = 0,004433118 𝑜𝑢 0,4433118% 𝑎. 𝑝. 
 
 
Taxas Variáveis 
 
𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2) … (1 + 𝑖𝑛) 
 
Uma pessoa investe $50.000,00 no mercado financeiro por 3 meses, obtendo as seguintes 
rentabilidade efetivas mensais: 
 
 
 
𝐹 = 50.000,00(1 + 0,06)(1 + 0,17)(1 + 0,04) = $64.490,40 
 
Uma operação interbancária envolvendo um principal de $500.000,00 é realizada por 4 
dias úteis. As taxas over da operação são as seguintes: 
 
 
 
Calcular o montante. 
 
𝐹 = 500.000,00(1 + 0,0235)
1
252⁄ (1 + 0,0238)
1
252⁄ (1 + 0,0236)
1
252⁄ (1 + 0,024)
1
252⁄ 
 
𝐹 = $500.186,13 
 
Uma aplicação em ações de 𝑅$ 27.000,00 em quatro meses obteve as seguintes 
rentabilidades: −2,50% (1º 𝑚ê𝑠), −1,80% (2º 𝑚ê𝑠), 5,00% (3º 𝑚ê𝑠) e 3,50% (4º. 𝑚ê𝑠). 
Calcule qual foi o montante resgatado? (R: R$28.093,74) 
 
𝐹 = 27.000,00(1 − 0,025)(1 − 0,018)(1 + 0,05)(1 + 0,035) = $28.093,74 
 
 
Taxa Acumulada 
 
𝑖𝐴𝐶 = [(1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2) … (1 + 𝑖𝑛)] − 1 
 
𝑖𝐴𝐶 =
𝐹
𝑃
− 1 
 
Uma aplicação obteve as seguintes rentabilidades: 3,20% (1º 𝑚ê𝑠), −1,50% (2º mê𝑠) e 
4,70% (3º 𝑚ê𝑠). Calcule a taxa acumulada do período. 
 
𝑖𝐴𝐶 = [(1 + 0,032)(1 − 0,015)(1 + 0,047)] − 1 = 0,06429644 𝑜𝑢 6,429644% 𝑎. 𝑝. 
 
Um investidor aplicou $300.000,00 na bolsa de valores durante 5 meses consecutivos, 
nos quais obteve as seguintes rentabilidades mensais: 
 
 
 
Qual foi a taxa acumulada no período? 
 
𝐹 = 300.000,00(1 + 0,065)(1 + 0,032)(1 + 0,057)(1 − 0,048)(1 + 0,108) 
 
𝐹 = 367.622,65 
 
𝑖𝐴𝐶 =
367.622,65
300.000,00
− 1 = 0,225408817 𝑜𝑢 22,5408817% 𝑎. 𝑝. 
 
Uma operação interbancária foi realizada por 3 dias úteis, nos quais vigoraram as 
seguintes taxas ao ano over. 
 
 
Determinar a taxa efetiva no período da operação. 
 
𝑖𝐴𝐶 = [(1 + 0,0245)
1
252⁄ (1 + 0,0248)
1
252⁄ (1 + 0,0251)
1
252⁄ ] − 1 
 
𝑖𝐴𝐶 = 0,000291679 𝑜𝑢 0,0291679% 𝑎. 𝑝. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Mês 5
6,5% 3,2% 5,7% -4,8% 10,8%
Dia 1 Dia 2 Dia 3
2,45% 2,48% 2,51%
Taxa Média 
 
(1 + 𝑖)̅𝑛 = (1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2) … (1 + 𝑖𝑛) 
 
 
Uma pessoa investiu no mercado acionário e obteve as seguintes rentabilidades efetivas 
durante os meses de investimentos: 
 
 
 
Determinar rentabilidade mensal média. 
 
𝑖̅ = [(1 + 0,035)(1 + 0,052)(1 − 0,025)(1 + 0,187)]
1
4⁄ − 1 = 0,059504623 𝑜𝑢 5,9504623% 𝑎. 𝑚. 𝑚é𝑑𝑖𝑎 
 
Uma operação interbancária no mercado monetário é feita por 5 dias úteis às seguintes 
taxas over: 
 
 
 
Determinar a taxa ao ano over média da operação. 
 
𝑖̅ = [(1,0325)
1
252⁄ (1,0321)
1
252⁄ (1,0333)
1
252⁄ (1,034)
1
252⁄ (1,0341)
1
252⁄ ]
252
5⁄
− 1 
 
𝑖̅ = 0,033199694 𝑜𝑢 3,3199694% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 𝑚é𝑑𝑖𝑎 
 
Taxa Real 
 
(1 + 𝑖𝐸) = (1 + 𝜃)(1 + 𝑖𝑅) 
 
Uma pessoa investiu no mercado acionário em um dado período e obteve a rentabilidade 
efetiva de 20% a.p.. No período considerado, a taxa de inflação de30% a.p.. Determinar 
a taxa real propiciada pelo investimento no período considerado. (FONTE: Cálculo 
Financeiro das Tesourarias de J.R. Securato) 
 
𝑖𝑅 =
1 + 0,20
1 + 0,30
− 1 = −0,0769230769 𝑜𝑢 − 7,69230769% 
 
 Capital (rende juros) Preço do produto 
(ajuste pela inflação) 
Quantidade comprada 
Momento 0 $100,00 $2,50 40 unid 
Momento 1 $120,00 $3,25 36,92 unid 
 
 
 
Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4
3,5% 5,2% -2,5% 18,7%
Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5
3,25% 3,21% 3,33% 3,40% 3,41%
Uma aplicação promete rendimento de 3,4% a.a. mais o IPCA do período. Se o IPCA for 
de 3,5% qual deve ser o rendimento efetivo dessa operação? 
 
𝑖𝐸 = [(1 + 0,035)(1 + 0,034)] − 1 = 0,07019 𝑜𝑢 7,019% 𝑎. 𝑝. 
 
 
Um indivíduo aplicou no mercado financeiro, no início de janeiro de um determinado ano 
a quantia de $500.000,00 e resgatou, no final de abril do mesmo ano, o montante de 
$1.200.000,00. As taxas de inflação mensal do período foram as seguintes. 
 
 
 
Determinar: 
 
A taxa efetiva obtida pelo indivíduo no período da aplicação. 
 
𝑖𝐴𝐶 =
1.200.000,00
500.000,00
− 1 = 1,40 𝑜𝑢 140% 
 
A taxa de inflação acumulada no período da aplicação. 
 
𝜃𝐴𝐶 = (1,1651)(1,1796)(1,1601)(1,1928) − 1 = 0,901783274 𝑜𝑢 90,18% 𝑎. 𝑝. 
 
A taxa real de retorno do indivíduo no período da aplicação. 
 
𝑖𝑅 =
1 + 1,40
1 + 0,9018
− 1 = 0,261962351 𝑜𝑢 26,1962351% 𝑎. 𝑝. 
 
 
A taxa real de retorno média ao mês. 
 
𝑖̅ = (1 + 𝑖𝐴𝐶)
1
𝑛⁄ − 1 = (1 + 0,261962351)
1
4⁄ − 1 = 0,059891965 𝑜𝑢 5,9891965% 𝑎. 𝑝. 
 
Jan Fev Mar Abr
16,51% 17,96% 16,01% 19,28%