Relatório de Oscilador Massa Mola na Horizontal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE ENSINO
Oscilador Massa Mola na Horizontal
Discentes: Sarah Roberta Sarmento Rosa Siqueira e Nathalia Ketilly dos
Santos Moraes
Roteiro de Física Experimental 1
Experimento 8
Maceió
2022
Sumário
1 Determinação da constante elástica para o oscilador massa mola na horizontal I 2
1.1 Introdução 2
1.2 Objetivo 3
1.3 Material 3
1.4 Procedimento 4
1.5 Discussão 5
2 Determinação da constante elástica para o oscilador massa mola na horizontal II 7
2.1 Introdução 7
2.2 Objetivo 8
2.3 Material 8
2.4 Procedimento 10
2.5 Discussão 11
3 Conclusão 14
4 Referências Bibliográficas 15
1
1 Determinação da constante elástica para o oscilador
massa mola na horizontal I
1.1 Introdução
Um oscilador massa-mola ideal é um modelo físico composto por uma mola sem
massa que possa ser deformada sem perder suas propriedades elásticas, chamada mola
de Hooke, e um corpo de massa m que não se deforme sob ação de qualquer força.
Este sistema é fisicamente impossível já que uma mola, por mais leve que seja, jamais
será considerada um corpo sem massa e após determinada deformação perderá sua
elasticidade. Mesmo assim, para as condições que desejamos calcular, este é um sistema
muito eficiente e sob determinadas condições, é possível obtermos, com muita
proximidade, um oscilador massa-mola. Assim podemos descrever dois sistemas
massa-mola básicos que são: o oscilador massa-mola horizontal e o vertical. No caso
presente, estudaremos o comportamento do oscilador horizontal.
No oscilador massa-mola horizontal temos uma mola com constante elástica K de
massa desprezível e um bloco de massa m, postos sobre uma superfície sem atrito,
conforme mostra a figura abaixo:
Figura 1: Oscilador massa-mola sobre uma superfície horizontal sem atrito.
Como a mola não está deformada, diz-se que o bloco encontra-se em posição de
equilíbrio. Ao modificar-se a posição do bloco para um ponto em x, este sofrerá a ação de
uma força restauradora, regida pela lei de Hooke, ou seja:
(1)𝐹𝑒𝑡 =− 𝐾𝑥
Como a superfície não tem atrito, esta é a única força que atua sobre o bloco na
direção horizontal, logo é a força resultante, caracterizando um movimento harmônico
simples (MHS).
Ao considerar a superfície sem atrito, o sistema passará a oscilar com amplitude igual
à posição em que o bloco foi abandonado em x, como demonstra a figura 2.
2
Figura 2: Sistema oscilando em torno da posição de equilíbrio.
Em situações realistas sempre existe alguma dissipação de energia devido ao atrito
entre a massa e a superfície, e neste caso o oscilador é dito amortecido. Em nossa
análise este aspecto não será levado em conta, e consideraremos um oscilador sem
atrito.
1.2 Objetivo
Determinar a constante elástica de uma mola e investigar a validade da lei de
Hooke.
1.3 Material
Descrição Quantidade
Trilho 120 cm 1
Cronômetro digital multifunção com fonte DC 12 V 1
Sensores fotoelétricos com suporte fixador (S1 e S2) 2
Fixador de eletroímã com manípulos 1
Y de final de curso com roldana raiada 1
3
Suporte para massas aferidas – 9 g 1
Massa aferida 10 g com furo central de Ø2,5 mm 1
Massas aferidas 20 g com furo central de Ø2,5 mm 2
Massas aferidas 10 g com furo central de Ø5 mm 2
Massas aferidas 20 g com furo central de Ø5 mm 4
Massas aferidas 50 g com furo central de Ø5 mm 2
Cabo de ligação conjugado 1
Unidade de fluxo de ar 1
Cabo de força tripolar 1,5 m 1
Mangueira aspirador Ø1,5” 1
Pino para carrinho para fixá-lo no eletroímã 1
Carrinho para trilho cor azul 1
Pino para carrinho para interrupção de sensor 1
Porcas borboletas 3
Arruelas lisas 7
Manípulos de latão 13 mm 4
Pino para carrinho com gancho 1
Mola 1
1.4 Procedimento
1. Montar o equipamento conforme esquema da figura 3.
Figura 3: Montagem experimental para determinação da constante elástica.
2. Ligar o fluxo de ar para que o carrinho fique suspenso.
3. Pendurar na ponta da linha uma massa de 59 g para provocar na mola uma
4
pequena deformação (obs.: a massa de 59 g corresponde a “uma massa de 50 g”
+ “9 g do suporte”).
4. Medir o comprimento da mola e anotar na tabela 1 o valor L0 (em metros). A
medida deverá ser tomada utilizando o pino central do carrinho como referência.
5. Acrescentar um peso de 0,200 N na extremidade do barbante e meça o novo
comprimento da mola, LF (m). Anotar o valor na tabela 1.
6. Acrescentar novos pesos repetindo os procedimentos anteriores para completar as
colunas de L0 e LF da tabela 1 abaixo.
Força (N) L0 (m) LF (m) ΔL (m) K (N/m)
0,200 0,398 0,450 0,052 3,8461
0,400 0,398 0,496 0,098 4,0816
0,600 0,398 0,546 0,148 4,0540
0,800 0,398 0,596 0,198 4,0404
1,000 0,398 0,642 0,244 4,0983
1,200 0,398 0,690 0,292 4,1096
Média: 4,0383
Tabela 1
7. Calcular a deformação da mola ΔL (m).
8. Calcular a constante elástica da mola K (N/m).
𝐾 = 𝐹∆𝐿
9. Construir o gráfico F = f(ΔL) (força em função da deformação). Qual é a sua
forma?
10.Determinar o coeficiente angular.
1.5 Discussão
Inicialmente, foram tomados os dados e anotados na Tabela 1. Em seguida, a
deformação da mola foi calculada por:
Δ𝐿 = 𝐿𝑓 − 𝐿0
Em continuidade, todos os valores encontrados para ΔL foram inseridos na tabela.
Após isso, os valores referentes às constantes elásticas em todos os momentos
propostos na tabela foram encontradas utilizando-se da seguinte equação:
𝐾 = 𝐹∆𝐿
5
Após calcular e tomar nota em tabela desses valores, foi dada continuidade ao
experimento construindo um gráfico contendo F = f(ΔL), para melhor visualização dos
dados propostos e o que eles representam. Veja:
Gráfico 1: F (N) x ΔL(m)
Após uma minuciosa análise gráfica, algumas informações são percebidas:
➢ A representação do movimento é dada por uma reta. Fica fácil comprovar isso
analisando simultaneamente ao gráfico, a equação da constante elástica:
𝐾 = 𝐹∆𝐿 ⇒ 𝐹 = 𝐾. ∆𝐿
➢ Comprovadamente trata-se de uma reta, visto que a função que relaciona essas duas
grandezas, trata-se de uma equação de primeiro grau.
➢ As grandezas se relacionam de forma diretamente proporcional.
Dispostos todos esses dados, fica fácil escrever quem são os coeficientes linear e
angular dessa relação comparando a equação do movimento com a equação genérica da
função de 1º grau:
f(x) = ax + b⇒ F = KΔL + 0
a = K = coeficiente angular
b = 0 = coeficiente linear da reta
Ainda assim, podemos perceber que no caso desse movimento específico,
6
utilizando-se dos dados propostos na tabela 1, encontramos a equação do movimento:
F = 4,0383ΔL , sendo 4,0383 o coeficiente angular.
2 Determinação da constante elástica para o oscilador
massa mola na horizontal II
2.1 Introdução
Seja um sistema em situação de equilíbrio estável. Quando esse sistema é
levemente afastado dessa situação e liberado, passa a executar um movimento periódico
ou oscilatório, em torno da posição de equilíbrio, chamado de movimento Harmônico
Simples (MHS), se não existirem forças dissipativas.
O oscilador massa-mola é constituído de um corpo de massa m ligado a uma mola
de constante elástica K, presa a um ponto fixo. O corpo executa MHS sobre uma
superfície horizontal sem atrito. Quando a mola é comprimida (ou esticada) e liberada, o
corpo passa a executar um movimento unidimensional de vai-e-vem, dirigido pela força
restauradora exercida pela mola:
(1)𝐹𝑒𝑡 =− 𝐾𝑥
Onde x é a deformação unidimensional da mola. O sinal negativo indica que a força
é sempre contrária à deformação, isto é: se x > 0, então, F < 0; e se x < 0, então, F > 0.
Daí o nome de força restauradora, aquela que age no sentido de restaurar o estado de
equilíbrio estável original. A equação (1) é válida apenas para pequenas deformações da
mola (Lei de Hooke) [2].
Figura 4: Oscilador massa-mola sobre uma superfície horizontal sem atrito. O corpo executa Movimento
Harmônico Simples. A força restauradora atua na direção do movimento, porém no sentido de levar ocorpo
de massa m para a posição de equilíbrio (x0). (a) Mola esticada (Δx > 0), força para a esquerda (F < 0). (b)
Mola comprimida (Δx < 0), força para a direita (F > 0). Em geral, pode-se escrever a seguinte expressão
para a força: F = - k (x – x0), ou seja, x > x0 → F < 0 e x < x0 → F > 0.
Fonte: referência [2]
Uma partícula que executa um MHS desloca-se segundo a expressão:
(2)𝑥 𝑡( ) = 𝑥𝑚 𝑐𝑜𝑠 ω𝑡 + ϕ( )
7
Na equação 2, xm é o deslocamento máximo do movimento, ou a amplitude, e aω
frequência angular.
Sendo o oscilador harmônico isolado de forças externas, a única força em ação é a
força elástica da mola, dada pela lei de Hooke (eq. 1).
Da segunda lei de Newton sabemos que toda força aplicada a um corpo de massa
m, na ausência de forças dissipativas, produz uma aceleração.
(3)𝐹 = 𝑚𝑎
Tomando a segunda derivada da equação do deslocamento (2) para um oscilador
harmônico simples, obteremos para a aceleração o seguinte resultado:
(4)𝑎 𝑡( ) = 𝑑²𝑥 𝑡( )𝑑𝑡² =
𝑑²
𝑑𝑡² 𝑥𝑚 𝑐𝑜𝑠 ω𝑡 + ϕ( )[ ]
(5)𝑎 𝑡( ) =− ω 𝑥𝑚 𝑐𝑜𝑠 ω𝑡 + ϕ( )
Combinado este resultado com a equação (2) obtemos:
(6)𝑎 𝑡( ) = ω²𝑥𝑡
Uma vez conhecida com a aceleração da partícula varia com o tempo, podemos usar a
2ª lei de Newton para descobrir qual é a força que deve agir sobre a partícula para que
ela adquira essa aceleração. Por fim, combinando as equações (1), (3) e (6) podemos
escrever para o período do oscilador harmônico:
(7)𝑇 = 2𝜋 𝑚𝐾
2.2 Objetivo
● Medir o período de oscilação de um sistema massa-mola e compará-lo ao valor
teórico;
● Determinar a constante elástica do oscilador;
● Verificar experimentalmente as leis do movimento harmônico simples com o
oscilador massa-mola.
2.3 Material
Descrição Quantidade
Trilho 120 cm 1
Cronômetro digital multifunção com fonte DC 12 V 1
Sensores fotoelétricos com suporte fixador (S1 e S2) 2
Fixador de eletroímã com manípulos 1
8
Y de final de curso com roldana raiada 1
Suporte para massas aferidas – 9 g 1
Massa aferida 10 g com furo central de Ø2,5 mm 1
Massas aferidas 20 g com furo central de Ø2,5 mm 2
Massas aferidas 10 g com furo central de Ø5 mm 2
Massas aferidas 20 g com furo central de Ø5 mm 4
Massas aferidas 50 g com furo central de Ø5 mm 2
Cabo de ligação conjugado 1
Unidade de fluxo de ar 1
Cabo de força tripolar 1,5 m 1
Mangueira aspirador Ø1,5” 1
Pino para carrinho para fixá-lo no eletroímã 1
Carrinho para trilho cor azul 1
Pino para carrinho para interrupção de sensor 1
Porcas borboletas 3
Arruelas lisas 7
Manípulos de latão 13 mm 4
Pino para carrinho com gancho 1
Mola 1
Balança 1
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2.4 Procedimento
1. Montar o equipamento conforme o esquema da figura 5.
Figura 5: Montagem experimental para determinação do período para oscilador massa-mola na
horizontal.
2. Ligar o fluxo de ar para que o carrinho fique suspenso.
3. Pendurar na ponta da linha um peso de 0.690 N (massa suspensa).
4. Determinar a massa do conjunto oscilador (carrinho completo e massa suspensa).
Ms = ________ kg.
5. Colocar o sensor na posição de equilíbrio do carrinho.
6. Ligar o cronômetro e selecione a função F5.
7. Afastar o carrinho da posição de equilíbrio de máximo 10 cm (amplitude A).
8. Liberar o sistema e meça o intervalo de tempo para uma oscilação completa
(período T). Anotar o valor medido na tabela 2.
9. Repetir o passo anterior três vezes e em seguida calcule o valor médio do período
(Texp). Calcular também os valores para Texp² (s²)
10.Acrescentar 40 g de carga no carrinho (20 g de cada lado) e repita os
procedimentos anteriores.
11. Acrescente, sucessivamente, massas ao carrinho até completar a tabela 2.
Massa
oscilante M
(kg)
Período Período
Experimental
Texp (s)
Texp² (s²)
t1 (s) t2 (s) t3 (s)
0,28447 1,638 1,641 1,639 1,6393 2,687
0,32447 1,751 1,751 — 1,7510 3,066
0,36447 1,854 1,858 1,855 1,8556 3,443
0,40447 1,953 1,954 1,953 1,9533 3,815
0,44447 2,046 2,046 2,048 2,0466 4,188
0,48447 2,138 2,137 2,137 2,1373 4,568
Tabela 2
12.Construir o gráfico Texp = f(m) (período experimental em função da massa).
13.Construir o gráfico Texp² = f(m) (período experimental ao quadrado e m função da
massa).
14.Calcular o coeficiente angular do gráfico anterior.
10
15.Calcular o valor numérico: __________4𝜋²𝑘 =
Obs.: Utilizar o valor para constante K encontrado no experimento anterior.
16.Considerando a margem de erro adotada pelo fabricante 5%, pode-se afirmar que
a amplitude vale ?𝐴 = 4𝜋²𝑘
17.Escrever a fórmula que permita calcular o período de oscilação: Tcal =
18.Calcular o período de oscilação Tcal.
Massa oscilante m (kg) Constante de elasticidade
k (N/m)
Período Calculado Tcal (s)
0,28447 3,8461 1,7087
0,32447 4,0816 1,7715
0,36447 4,0540 1,8839
0,40447 4,0404 1,9879
0,44447 4,0983 2,0691
0,48447 4,1096 2,1573
Tabela 3
19.Considerando uma tolerância de erro de 5%, pode-se afirmar que o período de
oscilação medido é igual ao período de oscilação calculado?
2.5 Discussão
Inicialmente, os dados necessários foram anotados em tabela (Tabela 2). Em
seguida, foi o construído um gráfico contendo Texp = f(m) e outro Texp² = f(m), para
melhor visualização dos dados propostos e o que eles representam. Veja:
11
Gráfico 2: Período Experimental Texp (s) x Massa Oscilante M (kg)
Gráfico 3: Período Experimental Texp² (s²) x Massa Oscilante M (kg)
12
Após uma minuciosa análise gráfica, algumas informações são percebidas:
➢ A representação do movimento comprovadamente trata-se de uma reta.
➢ As grandezas se relacionam de forma diretamente proporcional.
Em continuidade, calcularemos o valor de :𝐴 = 4𝜋²𝑘
𝐴 = 4𝜋²4,0383 ⇒ 𝐴 =
157,91367
4,0383 ⇒ 𝐴 = 39, 104𝑠
Logo após isso, foi determinada a margem de erro da amplitude A proposta pelo
fabricante. Primeiramente, calcularemos a amplitude de todos os momentos do
experimento:
𝐴1 = 4𝜋²𝑘 ⇒ 𝐴1 =
4𝜋²
3,8461 ⇒ 𝐴1 = 2, 566
𝐴2 = 4𝜋²𝑘 ⇒ 𝐴2 =
4𝜋²
4,0816 ⇒ 𝐴2 = 2, 418
𝐴3 = 4𝜋²𝑘 ⇒ 𝐴3 =
4𝜋²
4,0540 ⇒ 𝐴3 = 2, 434
𝐴4 = 4𝜋²𝑘 ⇒ 𝐴4 =
4𝜋²
4,0404 ⇒ 𝐴4 = 2, 443
𝐴5 = 4𝜋²𝑘 ⇒ 𝐴5 =
4𝜋²
4,0983 ⇒ 𝐴5 = 2, 409
𝐴6 = 4𝜋²𝑘 ⇒ 𝐴6 =
4𝜋²
4,1096 ⇒ 𝐴6 = 2, 401
Sendo Am = 2,445, teremos:
→ Para calcular o desvio:
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 = |𝐴𝑚−𝐴1|+|𝐴𝑚−𝐴2|+|𝐴𝑚−𝐴3|+|𝐴𝑚−𝐴4|+|𝐴𝑚−𝐴5|+|+|𝐴𝑚−𝐴6|6
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 = |2,445−2,566|+|2,445−2,418|+|2,445−2,434|+|2,445−2,443|+|2,445−2,409|+|2,445−2,401|6
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 = 0,121+0,027+0,011+0,002+0,036+0,0446
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 = 0, 0402
→ Para calcular o erro percentual:
𝐸𝑟𝑟𝑜(%) = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 × 100
𝐸𝑟𝑟𝑜(%) = 0, 0402 × 100
𝐸𝑟𝑟𝑜(%) = 4, 02%
Com esses cálculos, é possível afirmar que o valor da amplitude deve ser aceita,
visto que está dentro da margem de erro proposta pelo fabricante.
Dando prosseguimento, buscamos encontrar uma equação que nos permita
13
calcular o período de oscilação Tcal, sabendo que , faremos:𝐹𝑒𝑙 =− 𝑘𝑥 𝑡( )
𝐹𝑒𝑙 = 𝑚𝑎 𝑡( ) =− 𝑘𝑥 𝑡( ) ⇒ 𝑚 𝑑𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡( ) =− 𝑘𝑥 𝑡( ) ⇒ 𝑚 𝑑²𝑥 𝑡( )𝑑𝑡² =− 𝑘𝑥 
𝑚 𝑑²𝑥 𝑡( )𝑑𝑡² + 𝑘𝑥 = 0
Lembrando que , teremos:𝑥 𝑡( ) = 𝑥𝑚 𝑐𝑜𝑠 ω𝑡( )
𝑑𝑥 𝑡( )
𝑑𝑡 =− 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 ω𝑡( ) ⇒ 
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑡( )
𝑑𝑡( ) =− 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 ω𝑡( ) =− ω²𝑡
Logo,
− ω²𝑥 𝑡( ) + 𝑘𝑚 𝑥 𝑡( ) = 0 ⇒ ω =
𝑘
𝑚
Então,
𝑇𝑚𝑐𝑢 = 𝑇𝑚ℎ𝑠 = 2πω
Assim,
𝑇𝑚ℎ𝑠 = 2π 𝑚𝑘
Portanto, aproveitando os dados da tabela 3, calcularemos os respectivos períodos
em cada momento do experimento, assim:
𝑇𝑚ℎ𝑠1 = 2π 0,284473,8461 = 1, 7087
𝑇𝑚ℎ𝑠2 = 2π 0,324474,0816 = 1, 7715
𝑇𝑚ℎ𝑠3 = 2π 0,364474,0540 = 1, 8839
𝑇𝑚ℎ𝑠4 = 2π 0,404474,0404 = 1, 9879
𝑇𝑚ℎ𝑠5 = 2π 0,444474,0983 = 2, 0691
𝑇𝑚ℎ𝑠6 = 2π 0,484474,1096 = 2, 1573
3 Conclusão
Propostas todas essas informações, fica provada a Lei de Hooke, já que foi descrito
um comportamento estático da mola com pequenas deformações, sendo o período de
oscilação (Tmhs) indepedente da amplitude (A).
14
Referências Bibliográficas
● Universidade Federal de Alagoas, Instituto de Física, Manual de instruções e guia
de experimentos Azeheb, Trilho de ar linear, 2013.
● UNIVERSIDADEDO ESTADO DE SANTA CATARINA, Centro de Ciências
Tecnológicas, Garcia, Victor Hugo - Oscilador massa-mola. Disponível em:
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/vitor/materiais/Roteiro_6_I.pdf.
Acesso em: 16 de ago. 2013.
● Halliday, David - Fundamentos de Física Vol.2: Gravitação, Ondas e
Termodinamica, 8a ed. Rio de Janierio, LTC, 2009.
● Material complementar elaborado pelo Prof. Noelio Oliveira Dantas.
15
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/vitor/materiais/Roteiro_6_I.pdf