A regressão simples_1 parte

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José Guilherme Chaves Alberto 
Regressão linear simples – 1a parte 
Conceitos iniciais 
Segundo Guajarati (2000) a análise de regressão ocupa-se 
do estudo da dependência de uma variável (dependente) 
em relação a uma ou mais variáveis (independentes), com 
o objetivo de estimar e/ou prever a média ou o valor 
médio da dependente em termos dos valores conhecidos 
ou fixos das independentes. 
“ 
” 
 
Apesar da regressão lidar com a 
dependência de uma variável 
em relação a outras variáveis, 
não implica necessariamente 
em causação. 
 
De corte (cross-section): dados de uma ou mais 
variável coletados no mesmo ponto do tempo; 
Série temporal: conjunto de valores que uma 
variável assume em diferentes momentos; e 
Combinados: a elementos tanto de séries 
temporais como de dados de corte (GUJARATI, 
2000). 
Tipos de dados 
Outros termos utilizados para a variável 
dependente são: explicada, predito, regredido, 
resposta e endógena. 
 
Outros termos utilizados para a variável 
independente são: explicativa, preditor, regressor, 
estímulo e exógena. 
 
 
 
Importantes termos 
 
 
Variáveis X (ROE) 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 
Y 
 -1 4 7 10 12 13 10 20 25 25 
Retorno (%) 
3 6 6 11 11 11 18 21 27 30 
-1,5 0 4 8 12 15 20 22 18 25 
4 2 5 9 10 10 18 20 17 31 
1 5 7 12 14 15 19 25 26 32 
8 11 11 12 19 25 29 
4 21 32 
 
Média 1,10 4,17 5,80 9,29 11,67 12,67 17,00 21,14 23,00 29,14 
 
 
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 10 20 30 40 50 60 70
REGRESSÃO LINEAR 
 
A função de regressão populacional (FRP) 
 𝐸 𝑌\𝑋𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 (1) 
Sendo 𝛽0 = intercepto; 𝛽1 = coeficiente angular. 
 
Pela Equação 1, tem-se que: 
𝑌𝑖 = 𝐸 𝑌\𝑋𝑖 + ϵ𝑖 (2) 
Sendo Yi = valor individual; ϵ𝑖 = termo de erro 
estocástico. 
 
“ 
” 
 
Como, normalmente, 
trabalhasse com a amostra, é 
necessário estimar os 
coeficientes populacionais do 
modelo de regressão. 
𝒀 𝒊 = 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝑿𝒊 (3) 
Sendo: 𝑌 𝑖 = estimador de 𝐸 𝑌\𝑋𝑖 ; 𝑏0 = estimador de 𝛽0; e 
𝑏1 = estimador de 𝛽1. 
 
𝒀𝒊 = 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝑿𝒊 + 𝒆𝒊 (4) 
Sendo: 𝑒𝑖 = estimador de ϵ𝑖. 
Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
𝑏1 = 
𝑛 . 𝑋 .𝑌− 𝑋 . 𝑌
𝑛 . 𝑋2− ( 𝑋)
2 (5) 
 ou 
𝑏1 = 
 𝑋𝑖− 𝑋 𝑌𝑖− 𝑌 
𝑛
𝑖=1
 𝑋𝑖− 𝑋 
2𝑛
𝑖=1
 (6) 
 
Sendo: 𝑏1 = estimador de 𝛽1. 
 
Fórmulas para estimar os coeficientes do modelo de regressão 
𝑏0 =
( 𝑌−𝑏1. 𝑋)
𝑛
 (7) 
 
ou 
 
𝑏0 = 𝑌 − 𝑏1𝑋 (8) 
 
 
Sendo: 𝑏0 = estimador de 𝛽0. 
 
 
O coeficiente de determinação expressa o quanto 
da variação em relação à média é explicada pelo 
modelo linear construído. Os valores de r2 pode 
variar entre 0 e 1 (BRUNI, 2011). 
 
Coeficiente de determinação (r2) 
 
 
 
Fonte: Gujarati (2000) 
Matematicamente tem-se: 
 
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑆𝑄𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 + 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 (9) 
 
𝑟2 =
𝑆𝑄𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 (10) 
 
 
𝑟2 = 
 
 𝑋 .𝑌 
𝑛
 − 
 𝑋 
𝑛
.
 𝑌 
𝑛
2
 𝑋2
𝑛
− 
 𝑋
𝑛
2
 . 
 𝑌2
𝑛
− 
 𝑌
𝑛
2 (11) 
 
Sendo: 𝑟2= coeficiente de determinação. 
 
Fórmula para calcular o coeficiente de determinação 
“ 
” 
A raiz quadrada do 
coeficiente de 
determinação é o 
coeficiente de correlação. 
Estime o coeficiente de correlação, o modelo 
de regressão e o coeficiente de determinação. 
 
 
 
Exemplo: 
Nº 
Variável 
independente (x) 
Variável 
dependente (y) 
1 10 38 
2 7 48 
3 20 30 
4 32 26 
5 40 20 
6 45 12 
7 16 30 
8 28 35 
Capítulo 12 – itens 12.2, 12.3 e 12.4 - do livro 
DOANE, David P.; SEWARD, LORI E. Estatística 
aplicada à administração e economia. 4 ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2014. (Livro Eletrônico). 
Leitura recomendada 
Referências bibliográficas 
BRUNI, Adriano Leal. Estatística Aplicada à 
Gestão Empresarial. 3 ed. São Paulo: Atlas, 
2011. 
DOANE, David P.; SEWARD, LORI E. Estatística 
aplicada à administração e economia. 4 ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2014. 
 
Referências bibliográficas - continuação 
GUJARATI, Damodar N. Econometria básica. 3 
ed. Porto Alegre, RS: AMGH, 2000. 
GUJARATI, Damodar N.; PORTER, Dawn C. 
Econometria básica. 5 ed. Porto Alegre, RS: 
AMGH, 2011.