Lista_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA - DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
DCC008 CÁLCULO NUMÉRICO - Lista 1 - Turma A 2019/1
MATRICULA: ALUNO(A):
1 Polinômio de Taylor
1) Encontre os polinômios de Taylor linear e quadrático em torno do ponto a para as seguintes funções:
a) f(x) =
√
x, a = 1
b) f(x) = sinx, a = π/4
c) f(x) = cosx, a = 0
d) f(x) = ecos x, a = 0
2) Utilizando a expansão em série de Taylor em torno do ponto x0 = 0, mostre que:
a) ex =
∞∑
n=0
xn
n!
b) cosx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
3) Seja f(x) = e3x e a = 0. Determine n para que o erro ao se aproximar f(x) por um polinômio de Taylor de grau
n seja menor do que 10−4 no intervalo [0, 1].
4) Você estava observando o movimento do voo de uma pomba no sitio de um amigo, e anotou o tempo e a altura
que a ave estava. Lembrando que a velocidade é v(t) = d(h(t))dt , calcule a velocidade, nos instantes de tempo
anotados, da maneira mais precisa posśıvel. Além disso, em quais pontos é posśıvel fazer o cálculo de modo mais
preciso e por quê?
t h(t) v(t)
0,0 1,001 ?
0,1 1,353 ?
0,2 1,821 ?
0,3 2,465 ?
0,4 3,318 ?
2 Representação de Números e Noções de Erro
1) Uma das avaliações que você fez para ser selecionado para um programa de trainee, consiste em planejar um
sistema de geolocalização e é sugerido o sistema de ponto flutuante F (10, 4,−5, 5) normalizado utilizando arre-
dondamento. Assim, foi solicitado mais detalhes sobre o sistema de ponto flutuante respondendo as seguintes
perguntas:
a) Qual o maior e o menor número em módulo que é posśıvel representar neste sistema numérico de ponto
flutuante?
b) Quantos números são posśıveis representar neste sistema de ponto flutuante?
c) Em uma segunda etapa de testes, ocorreu uma falha em uma das contas realizadas pelo sistema, devido
a uma resposta inesperada. As duas últimas contas realizadas antes da falha foram x + y e y − z, onde
x = 0, 1 × 10−4, y = 0, 8345 × 101 e z = 0, 2 × 10−2 em qual das contas ocorreu um resultado inesperado e
por quê? O que pode ser modificado para resolver o problema deste cálculo?
2) Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro d́ıgitos na mantissa, base decimal e que usa o
arredondamento. Dados os números:
x = 0.9370× 104 y = 0.1272× 102
efetue as operações: x+ y e x× y.
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3) Sejam os seguintes números x = 0.5289, y = 0.8012 e z = 0.6024, e considere um sistema de ponto flutuante
com mantissa de 4 d́ıgitos e base decimal. Mostre que:
a) x(y + z) 6= x× y + x× z
b) (x+ y) + z 6= x+ (y + z)
4) Tente evitar perda de d́ıgitos significativos no cálculo das seguintes funções:
a) 1−cos(x)x2 , para x próximo de 0
b) sen(a+ x)− sen(a), para x próximo de 0
c) log(1 + x)− log(x), para x grande
3 Resolução de Equações Não-Lineares
1) Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no seguinte
intervalo [0.5, 1].
a) x2 + ln(x) = 0
b) xex − 1 = 0
Determine essas ráızes com até 2 casas decimais corretas (i.e. com � ≤ 10−2), usando o método da bisseção.
2) A equação x3 − 2x − 17 = 0 tem apenas uma raiz real. Determine seu valor correto até duas casas decimais
usando o método de Newton e pelo método das secantes
3) Considere o problema de encontrar o zero da função f(x) = x+ ln(x) no intervalo [0.5, 0.6] usando um método
de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
a) ϕ(x) = −ln(x)
b) ϕ(x) = e−x
Aproxime a raiz dessa função pelo Método Ponto Fixo, com erro � ≤ 10−2, tomando a opção que convergente
dentre as funções acima e utilize x0 = 0.55 .
4) Você estava tentando fazer alguns cálculos para salvar sua famı́lia de um eminente perigo e é necessário aproximar
o valor de
√
5 com � = 10−4. Recordando de suas aulas de Calculo Numérico você lembrou que havia aprendido o
Método de Newton e teve uma brilhante ideia para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer utilizando
este método. Explique como método de newton pode ser utilizado para aproximar a raiz quadrada de um número
qualquer e mostre os cálculos para aproximar
√
5 na precisão necessária.
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	Polinômio de Taylor
	Representação de Números e Noções de Erro
	Resolução de Equações Não-Lineares