matemática (polinomios)

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multiplicação
Método da chave
Consiste em realizar a divisão entre polinômios seguindo
a mesma ideia da divisão entre dois números, o
chamado algoritmo da divisão. 
Veja o exemplo a seguir:
Novamente vamos considerar os polinômios 
P (x) = 4x3 – x2 + 2 e D (x) = x2 + 1, 
e agora vamos dividi-los utilizando o método da chave.
Passo 1 - Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro
termo do divisor e, em seguida, multiplicar o quociente por
todo divisor. 
Veja:
polinômio por polinômio
Veja o exemplo:
P1:(x – 1); P2:(x2 + 2x - 6)
P1xP2
x2 (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos
semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6
Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios
aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.
Considere os polinômios P1: –2x² + 5x – 2 e P2: –3x³ + 2x -1
adição (P1+P2)
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses
realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos
semelhantes–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma
decrescente de acordo com a potência
–3x³ – 2x² + 7x – 3
 Método Briot-Ruffini
Utilizado para dividir polinômios por binômios.
Vamos considerar os polinômios: 
P(x) = 5x3 – 2x2 + 3x – 1 e Q(x) = x – 2
Esse método consiste em desenhar dois segmentos, um
horizontal e outro vertical, e nesses segmentos colocamos o
coeficiente do dividendo e a raiz do polinômio divisor, além
disso, repete-se o primeiro coeficiente. 
Veja:
x +
Subtração (p1-p2)
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses
realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de
acordo com a potência
3x³ – 2x² + 3x – 1
polinômio por monômio
observe o exemplo:
P1: (3x²); P2:(5x³ + 8x² – x)
P1xP2
(3x²) * (5x³ + 8x² – x) → aplicar a propriedade distributiva da
multiplicação
15x⁵ + 24x⁴ – 3x³
POLINÔMIOS
Ao dividir um polinômio P (x) por um polinômio D
(x) não nulo, em que o grau de P é maior que D
(P > D), quer dizer que devemos encontrar um
polinômio Q (x) e R (x),
 de modo que:
Passo 2 - Dividir o resto do passo 2 pelo quociente e repetir
esse processo até que o grau do resto seja menor que o grau
do quociente.
polinômios
adição e subtração
divisão
Note que esse processo é equivalente a escrever:
P (x) → dividendo
D (x) → divisor
Q (x) → quociente
R (x) → resto
quando o resto da divisão entre P (x) e D (x) é igual a zero,
dizemos que P (x) é divisível por D (x).
Logo, Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x +3.
raiz:
Q(x) = 0
x – 2 = 0
x= 2
 Agora nós multiplicamos o 5 por 2 e somamos o resultado com o
segundo coeficiente de P(x), o número – 2, isto é, fazemos 5.2 + (– 2) = 8.
O resultado 8 deve ser escrito embaixo do coeficiente – 2.
Repetimos o processo, multiplicamos 8 por 2 e somamos com o terceiro
coeficiente de P(x), o número 3. O cálculo é dado por 8.2 + 3 = 19.
Escrevemos o resultado embaixo do coeficiente 3.
Repetimos o procedimento pela última vez. Agora multiplicamos o 19 por 2
e somamos o resultado com – 1, ou seja, nós fazemos 19.2 + (– 1) = 37. O
resultado 37 é colocado embaixo de –1 e é o resto de nossa divisão.
=R(x)
@hwurricane
O polinômio resultante dessa divisão é determinado pelos
números 5, 8 e 19. Estes são coeficientes desse polinômio. Como
fora dito anteriormente, o último número (19) é acompanhado
de x0, o 8 é acompanhado de x1, e o 5 é acompanhado de x2.
Portanto, o polinômio resultante da divisão é 5x2 + 8x + 19, e o
resto da divisão é r = 37.
 teorema de d'alembert
é uma consequência imediata do teorema do resto, que são
voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. 
O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um
binômio x – a terá resto R igual a P(a), para x = a. 
O matemático francês D’Alembert provou, levando em
consideração o teorema citado acima, que um polinômio
qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da
divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.
Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por
binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a
divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.
Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x² + 3x – 10) : (x – 3).
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão
será igual a:
P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.
Exemplo 2
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por
2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8
raiz:
Q(x) = 0
x – 3 = 0
x= 3
@hwurricane