Aula 5 Capacitores

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Capacitores - Aula 5
Prof. Giovanni Cordeiro Barroso
7 de dezembro de 2020
Resumo
Capacitância e dielétricos, capacitores de placas paralelas, capaci-
tores ciĺındricos, capacitores esféricos, capacitores ligados em série e
em paralelo.
1 Capacitância e Dielétricos
Considere dois condutores, como mostrado na Figura 1. A combinação de
dois condutores é chamada de capacitor. Os condutores são denominados
de placas. Se os condutores estão carregados com cargas de igual magnitude
e sinais opostos, existe entre eles uma diferença de potencial ∆V .
Figura 1: Um capacitor é for-
mado por duas placas condutoras.
1
Experimentos mostram que a quantidade de carga Q em um capacitor é
linearmente proporcional à diferença de potencial entre suas placas, isto é:
Q∝ ∆V
A constante de proporcionalidade depende da forma e da distância entre
as placas. Esta relação pode ser escrita como:
Q = C∆V
Em que C é a capacitância do capacitor e é definida como a razão entre a
carga em cada condutor e a diferença de potencial entre os mesmos, ou seja:
C ≡ Q
∆V
(Coulomb
V olt
≡ Farad(F ))
Por definição, a capacitância é sempre uma grandeza
positiva. Da mesma forma, a carga Q e a diferença de
potencial ∆V são expressas na equação como grandezas
positivas.
O Farad é uma unidade de capacitância muito grande. Na prática, os ca-
pacitores trazem valores da ordem de microfarads (µF −10−6 F ) a picofarads
(pF − 10−12 F )
Seja um capacitor formado por duas placas paralelas, que está inicial-
mente descarregado e é, então, ligado aos terminais de uma bateria, con-
forme Figura 2. Depois de algum tempo, a placa ligada ao terminal positivo
da bateria terá a mesma carga positiva desse terminal. O mesmo ocorre com
a placa ligada ao terminal negativo da bateria.
Nesta configuração final, a diferença de potencial entre as placas do ca-
pacitor será a mesma da bateria.
2
Figura 2: Um capacitor de placas
paralelas consiste de duas placas
condutoras paralelas, cada uma
de área A, separadas por uma
distância d.
2 Capacitores de Placas Paralelas
Duas placas condutoras paralelas, de áreaA, estão separadas por uma distância
d, como mostrado na Figura 2. Uma das placas possui carga +Q e a outra
possui carga –Q.
Se as placas estão muito próximas uma da outra, em comparação com seu
comprimento e largura, podemos dizer que o campo elétrico entre as placas
é uniforme e igual a:
E = Q
�0A
Como o campo elétrico entre as placas é uniforme então a diferença de
potencial entre as placas é:
∆V = Ed = Qd
�0A
3
Substituindo este resultado na equação da capacitância (C = Q/∆V ),
temos:
Q
C
= Qd
�0A
⇒ C = �0
A
d
Isto quer dizer que a capacitância de um capacitor de placas paralelas é
proporcional à área das placas e inversamente proporcional à distância entre
as mesmas.
3 Capacitores Ciĺındricos
Devido à simetria ciĺındrica do capacitor (veja Figura 3) podemos usar re-
sultados de estudos anteriores para encontrar sua capacitância.
Figura 3: (a) Um capacitor
ciĺındrico consiste de um condu-
tor sólido ciĺındrico de raio a e
comprimento l, cercada por uma
casca ciĺındrica coaxial de raio
b. (b) Visão superior. As li-
nhas de campo elétrico são radi-
ais. a linha tracejada representa a
superf́ıcie gaussiana ciĺındrica de
raio r e comprimento l.
Sejam l o comprimento do capacitor e a e b os raios interno e externo,
respectivamente, do mesmo. Neste caso, o campo elétrico é radial e perpen-
dicular ao eixo do cilindro e está confinado entre as placas do mesmo.
A diferença de potencial entre as placas do capacitor ciĺındrico é:
4
VB − VA = −∫
B
A
E⃗.ds⃗ = −∫
B
A
E.dr
= −2Keλ∫
B
A
dr
r
= −2Keλ ln(
b
a
)
Como λ = Q/l, então:
C = Q
∆V
= Q(2keQ/l) ln(b/a)
⇒ C = l
2ke ln(b/a)
4 Capacitores Esféricos
O capacitor esférico consiste de uma casca esférica condutora, de raio b e
carga −Q concêntrica com uma pequena esfera condutora de raio a e carga
+Q (Veja Figura 4).
Figura 4: Um capacitor esférico
consiste de uma esfera interior de
raio a, circundado por uma casca
esférica concêntrica de raio b. O
campo elétrico entre as esferas é
direcionado para fora quando a
esfera interior é carregada positi-
vamente.
5
Devido à simetria do sistema, podemos usar estudos anteriores de sistemas
esféricos para encontrar a capacitância.
Como mostrado em aulas anteriores, a direção do campo elétrico fora de
uma esfera carregada uniformemente é radial e sua magnitude é dada por:
E = ke
Q
r2
Neste caso, este resultado se aplica ao campo entre as esferas, ou seja:
a < r < b
Assim, a expressão para a diferença de potencial entre as duas esferas é:
Vb − Va = −∫
b
a
E⃗.ds⃗
Aplicando este resultado para o campo elétrico entre as duas esferas,
temos:
Vb − Va = −keQ∫
b
a
Q
r2
= keQ [
1
r
]
b
a
⇒ Vb − Va = −keQ
a − b
ab
= keQ
b − a
ab
Assim, a capacitância de um capacitor esférico é dada por:
6
C = Q
∆V
= Q∣Vb − Va∣
⇒ C = ab
ke(b − a)
5 Combinação de Capacitores
Ao estudar os circuitos elétricos, usamos śımbolos para representar os ele-
mentos do circuito. Os respectivos śımbolos do capacitor, da bateria e de
uma chave são mostrados na Figura 5.
Figura 5: Śımbolos de capacitores
(em azul), baterias (em verde) e
chaves (em vermelho). A chave
fechada permite a passagem de
corrente, enquanto a chave aberta
não permite.
5.1 Capacitores Ligados em Paralelo
Dois capacitores ligados em paralelo são mostrados na Figura 6.
Nesta ligação, os mesmos se encontram sob a mesma diferença de poten-
cial, que neste caso é a tensão da bateria, ou seja:
∆V1 = ∆V2 = ∆V
7
Em que ∆V é a tensão entre os terminais da bateria.
Figura 6: Dois capacitores ligados em paralelo e ligados a uma bateria
Pouco tempo após a ligação dos capacitores à bateria, os mesmos al-
cançam a sua carga máxima Q1 e Q2, respectivamente.
A carga total armazenada pelos dois capacitores é a soma das cargas de
cada um, ou seja:
Qtot = Q1 +Q2
Suponha que você deseja substituir estes dois capacitores por um capaci-
tor equivalente, cuja carga é a soma das cargas dos dois capacitores.
O capacitor equivalente armazenará, então, a carga total (Qtot = Q1+Q2)
quando conectado à bateria. Desta forma, temos:
Qtot = Ceq∆V
8
→ Ceq∆V = Q1 +Q2 = C1∆V +C2∆V
→ Ceq∆V = (C1 +C2)∆V
→ Ceq = C1 +C2
Se este tratamento é estendido para três ou mais capacitores em paralelo,
temos:
Ceq = C1 +C2 +⋯ +Cn (1)
5.2 Capacitores Ligados em Série
Dois capacitores ligados em série são apresentados na Figura 7.
Figura 7: Dois capacitores em série ligados a uma bateria.
9
Dois capacitores conectados conforme apresentado na Figura 7, bem como
seu circuito equivalente são conhecidos como uma combinação em série de
capacitores. A placa esquerda do capacitor C1 e a placa direita do capacitor
C2 estão conectadas aos terminais da bateria. As outras duas placas são
conectadas uma na outra. Assim, eles formam um sistema isolado que está
inicialmente descarregado. Quando a bateria é conectada, elétrons são trans-
feridos da placa esquerda de C1 para o polo positivo da bateria e elétrons são
transferidos do polo negativo da bateria para a placa direita de C2. Quando
esta carga negativa se acumula na placa direita de C2, uma mesma quanti-
dade de carga negativa deixa a placa esquerda de C2, ficando a mesma com
excesso de carga positiva. A carga negativa que deixa a placa esquerda de C2
se acumula na placa direita de C1. Como resultado, ambas as placa direitas
ficam carregadas com uma carga +Q e ambas as placas esquerdas ficam car-
regadas com uma carga −Q. Desta forma, todos os capacitores conectados
em série possuem a mesma carga Q:
Q1 = Q2 = Q
em que Q é a carga acumulada em uma das placas externas de um dos
capacitores.
Como os capacitores estão ligados em série, é posśıvel visualizar na Figura
7 que a tensão total sobre eles é a soma de suas tensões individuais, ou seja:
∆V = ∆V1 +∆V2 =
Q
C1
+ Q
C2Como
∆V = Q
Ceq
então:
10
Q
Ceq
= Q
C1
+ Q
C2
= Q( 1
C1
+ 1
C2
)
⇒ 1
Ceq
= 1
C1
+ 1
C2
Quando esta análise é aplicada a três ou mais capacitores, temos:
⇒ 1
Ceq
= 1
C1
+ 1
C2
+⋯ + 1
Cn
(2)
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Exemplo 1. Encontre a capacitância equivalente entre os pontos a e b para
a combinação de capacitores apresentada na Figura 8. Todos os capacitores
estão em microfarads (µF ).
Figura 8: Para encontrar a capacitância equivalente dos capacitores em (a),
reduz-se as várias combinações passo a passo, como indicado em (b), (c), e
(d), usando as regras para ligações em série e em paralelo, respectivamente.
R – Estude o circuito apresentado na Figura 8 cuidadosamente e tenha cer-
teza que você entendeu como os capacitores estão conectados.
A figura mostra que o circuito contém tanto capacitores ligados em
série, como capacitores ligados em paralelo. Desta forma, podemos
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usar as regras para as combinações em série e em paralelo discutidas
acima.
Usando as Equações 1 e 2, podemos reduzir as combinações passo a
passo, como indicado na figura.
Os capacitores de 1 µF e 3 µF (circulados em vermelho na Figura
8a) estão em paralelo. Usa-se, então a Equação 1 para se achar a
capacitância equivalente destes dois capacitores:
Ceq = 1 + 3 = 4 µF
Os capacitores de 2 µF e 6 µF (circulados também em vermelho na
Figura 8a) estão também em paralelo.
Ceq = 6 + 2 = 8 µF
Após estas duas operações, o circuito equivalente é então apresentado
na Figura 8b. Nessa figura, os dois capacitores de 4 µF (circulados em
verde na figura) estão em série. A capacitância equivalente dos mesmos
é encontrada usando-se a Equação 2:
1
Ceq
= 1
4
+ 1
4
= 1
2
⇒ Ceq = 2 µF
Os dois capacitores de 8 µF (circulados também em verde na Figura 8b)
estão também em série. Assim, a capacitância equivalente dos mesmos
é:
1
Ceq
= 1
8
+ 1
8
= 1
4
⇒ Ceq = 4 µF
Após estas duas operações, o circuito equivalente é então apresentado
na Figura 8c, onde os capacitores de 2 µF e 4 µF estão em paralelo,
assim:
Ceq = 2 + 4 = 6 µF
conforme apresentado na Figura 8d.
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12
6 Lista de Exerćıcios
1. Seja um capacitor com capacitância C = 4 µF :
(a) Qual a carga em cada placa desse capacitor quando ele é conectado
a uma bateria de 12 V ?
(b) Se esse mesmo capacitor é conectado a uma bateria de 1,5 V , qual
a carga armazenada?
2. Quando uma bateria é conectada a um capacitor de 3 µF , ele armazena
uma carga de 27 µC.
(a) Qual a voltagem da bateria?
(b) Se o mesmo capacitor é conectado a outra bateria e armazena uma
carga de 36 µC, qual a voltagem da bateria?
3. Um cabo coaxial de comprimento igual a 50 m é formado por um
condutor interno de diâmetro igual a 2,58 mm, com uma carga de
8,1 µC. O condutor externo possui diâmetro igual a 7,27 mm e carga
de −8,1 µC.
(a) Qual a capacitância do cabo?
(b) Qual a diferença de potencial entre os dois condutores?
4. Quando uma diferença de potencial de 150 V é aplicada às placas de
um capacitor paralelo, as mesmas ficam com uma densidade de carga
superficial de 30 nC/cm2. Qual é a distância entre as placas?
5. Dois capacitores, C1 = 5 µF e C2 = 12 µF são conectados em paralelo e
a combinação resultante é conectada a uma bateria de 9 V . Encontre:
(a) A capacitância equivalente;
(b) A diferença de potencial em cada capacitor;
(c) A carga armazenada em cada um deles.
6. Para o sistema com quatro capacitores apresentado na Figura 9, en-
contre:
(a) A capacitância equivalente do sistema;
(b) A carga em cada capacitor;
(c) A diferença de potencial em cada um deles.
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Figura 9: Figura relativa ao problema 6
7. Dois capacitores C1 e C2 possuem uma capacitância equivalente de 9 pF
quando conectados em paralelo e de 2 pF quando conectados em série.
Qual a capacitância de cada um deles?
8. Quatro capacitores são conectados como mostrado na Figura 10 .
Figura 10: Figura relativa ao problema 8
(a) Encontre a capacitância equivalente entre os pontos a e b;
(b) Calcule a carga em cada capacitor, sabendo que a diferença de
potencial entre os pontos a e b é de 15 V .
9. Um grupo de capacitores idênticos é conectado primeiro em série e
depois em paralelo. A capacitância equivalente em paralelo é 100 vezes
maior que a capacitância equivalente em série. Quantos capacitores
formam o grupo?
10. Encontre a capacitância equivalente entre os pontos a e b do circuito
apresentado na Figura 11 .
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Figura 11: Figura relativa ao problema 10
7 Respostas aos exerćıcios
1. (a) Q = 48 µC;
(b) Q = 6 µC.
2. (a) V = 9 V ;
(b) V = 12 V ;
3. (a) C = 2,69 nF ;
(b) V = 3,02 kV ;
4. d = 4,43 µm;
5. (a) Ceq = 17 µF ;
(b) VC1 = VC2 = 9 V ;
(c) QC1 = 45 µC e QC2 = 108 µC.
6. (a) Ceq = 3,33 µF ;
(b) Q3µF = Q6µF = 180 µC; Q2µF = Q4µF = 120 µC;
(c) V3µF = V2µF = 60 V ; V6µF = V4µF = 30 V .
7. C1 = 6 pF e C2 = 3 pF ;
8. (a) Ceq = 5,96 µF ;
(b) Q20µF = 89,5µC; Q6µF = 63,2 µC; Q15µF = Q3µF = 26,3 µC;
9. n = 10;
10. Ce = 12,9 µF .
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