matematica 5

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16/07/2021 TEC Concursos - Questões para concursos, provas, editais, simulados.
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matematica( https://www.tecconcursos.com.br/s/Q1fKLD )
Matemática
Questão 801: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Equipamentos Júnior/Elétrica/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Sendo definida por , o limite 
 
PORQUE
 
Ao se considerar sobre as retas , obtém-se , .
 
Analisando-se as afirmações acima, conclui-se que
 a) as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
 b) as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
 c) a primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
 d) a primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
 e) as duas afirmações são falsas.
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Questão 802: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
 
Dada uma função diferenciável, a função , definida por , pode não ser diferenciável em alguns pontos de seu domínio. Por
exemplo, se considerarmos , cujo gráfico é parcialmente representado na figura acima, então a função 
 NÃO será diferenciável em, exatamente,
 a) 1 ponto
 b) 2 pontos
 c) 3 pontos
 d) 4 pontos
 e) 5 pontos
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Questão 803: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Qual é o valor da integral ?
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 804: CESGRANRIO - Quim (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
f : → RR2 f(x, y) = x
2
+ −xx2 y2
lim(x,y)→(0,0)
(x,Y ) → (0, 0) y = a.x(a ∈ R) = 0limx→0
x2
+(ax −xx2 )2
∀a ∈ R
f : R → g : R → R g(x) = |f(x)|
f(x) = ⋅ ( + − 8 − 12x)1
8
x4 x3 x2
g(x) = |f(x)|
− dx∫ 3−3 9 − x
2− −−−−√
−18π
−6π
− 9π
2
−18
0
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A figura acima mostra, parcialmente, o gráfico da função , definida por .
 
Qual é a área da região A, limitada pelo gráfico da função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = a e x = b, em destaque na figura?
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 805: CESGRANRIO - Quim (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Uma função , infinitamente diferenciável, é tal que , .
 
Acerca da função f, analise as afirmações a seguir.
 
I - Tem-se , 
 
II - Tem-se .
 
III - O limite existe.
 
É correto APENAS o que se afirma em
 a) I
 b) II
 c) III
 d) I e II
 e) II e III
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Questão 806: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Equipamentos Júnior/Elétrica/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Seja T uma transformação linear de em tal que T(u) = (–1, 2) e T(v) = (0,3), onde u e v são vetores de . Sendo a e b reais não nulos, tem-se que T(au +
bv) é igual a
 a) (– a, 2a+3b)
 b) (– a+2b, 3b)
 c) (– b, 2b+3a)
 d) (– b+2a, 3a)
 e) (– a, 5b)
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Questão 807: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Equipamentos Júnior/Elétrica/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Considere a função real de variável real , na qual e é o logaritmo neperiano de x.
 
A função derivada é
 a) 
 b) 
f : → RR∗+ f(x) =
2
x
2 In(b − a)
In( − )b2 a2
( )log2
b
a
In( )2b
a
In( )b
2
a2
f : R → R |f(x)| ≤ x4 ∀x ∈ R
| (x)| ≤ 4f ′ x3 ∀x ∈ R
f(0) = (0) = (0) = 0f ′ f ′′
limx→∞
f(x)
x4
R
2
R
2
R
2
y = . In(x)ex x > 0 In(x)
dy
dx
ex
x
+ex 1
x
1
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 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 808: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Equipamentos Júnior/Elétrica/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
A figura apresenta os gráficos das funções e .
 
 
A área da região compreendida entre os dois gráficos é
 a) 4
 b) 8
 c) 16
 d) 24
 e) 32
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Questão 809: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Equipamentos Júnior/Elétrica/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Uma solução da equação diferencial é
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 810: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Equipamentos Júnior/Terminais e Dutos/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Um pesquisador utilizou um método numérico para o cálculo de uma raiz de uma determinada equação. Tal método consiste em calcular a interseção, com o eixo x, da
tangente à curva da função associada à equação. Essa tangente deve passar por um ponto suficientemente próximo da raiz procurada e a abcissa da interseção é
considerada como sendo uma nova aproximação. Repetindo-se esse procedimento, os valores calculados devem convergir para a raiz da equação até atingir a precisão
desejada. Tal procedimento corresponde ao método denominado
 a) bisseção.
 b) Newton-Raphson.
 c) falsa posição.
 d) iteração linear.
 e) semi-intervalo.
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Questão 811: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Equipamentos Júnior/Terminais e Dutos/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Considere a equação diferencial . Se y(0) = 8, então y(1) é igual a
 a) 9
 b) 12
 c) 16
 d) 18
 e) 27
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Questão 812: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Equipamentos Júnior/Terminais e Dutos/2011
+ In(x) +ex 1
x
(In(x) + )ex 1
x
+ In(x)e
x
x
y = − + 4x2 y = 2 − 8x2
= 3xy − 2y
dy
dx
y = 3x − 2
y = e −2x+1
3x2
2
y = e +2x−1
3x2
2
y = e3 +4xx
2
y = e3 −4xx
2
− 3 = 0y′ y
2
3
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Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Seja D o operador diferencial tal que . O operador diferencial linear equivalente ao produto (xD + 3)(2xD + 1) é
 a) 2x2D2 + 9xD + 3
 b) 2x2D2 + 7xD + 3
 c) 2x2D2 + 3xD + 3
 d) 2x2D2 + 5xD + 3
 e) 2x2D2 + 3
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Questão 813: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Equipamentos Júnior/Terminais e Dutos/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Uma solução da equação diferencial é
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 814: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Seja T uma transformação linear de em tal que T(u) = (–1, 2) e T(v) = (0,3), onde u e v são vetores de . Sendo a e b reais não nulos, tem-se que T(au +
bv) é igual a
 a) (–a , 2a+3b)
 b) (–a+2b , 3b)
 c) (–b , 2b+3a)
 d) (–b+2a , 3a)
 e) (–a , 5b)
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Questão 815: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática(ensino superior)
O valor de é
 a) 0
 b) –1
 c) –3
 d) – 4
 e) – 5
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Questão 816: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Considere a transformação linear tal que T(1, 0) = (–1, 1) e T(0, 1) = (3, 2). Sendo e os autovalores de T, e reais e ,
tem-se que
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 817: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Sejam f(x), g(x) e h(x) funções reais de variáveis reais, deriváveis em todo o conjunto dos números reais e tais que h(x) = f(g(x)), para todo x real. Considere, ainda, a
tabela de valores a seguir, onde e são as derivadas das funções f(x) e g(x), respectivamente.
 
x 0 1 2 3
f(x) 0 2 -1 -2
f'(x) 1 -4 3 -1
Dy =
dy
dx
= 3xy − 2y
dy
dx
y = 3x − 2
y = − 2x + 1e
3x2
2
y = + 2x − 1e
3x2
2
y = e3 +4xx
2
y = e3 −4xx
2
R
2
R
2
R
2
limx→−1
−3x−4x2
+3x+2x2
T : →R2 R2 λ1 λ2 λ1 λ2 >λ1 λ2
+ = −1λ1 λ2
+ = −5λ1 λ2
− =λ1 λ2 21
−−√
= 5λ1λ2
= 11 +
λ1
λ2
21
−−√
(x)f ′ (x)g ′
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g(x) 3 2 1 0
g'(x) -1 -3 4 1
 
O valor de é é
 a) –23
 b) –17
 c) –1
 d) 3
 e) 22
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Questão 818: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
A função real F de variável real é tal que e . Outra forma de apresentar a função F é
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 819: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Considere a transformação linear tal que T(1, 0) = (–1, 1) e T(0, 1) = (3, 2). Sendo e os autovaloresde T, e reais e ,
tem-se que
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 820: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Sejam f(x), g(x) e h(x) funções reais de variáveis reais, deriváveis em todo o conjunto dos números reais e tais que h(x) = f(g(x)), para todo x real. Considere, ainda, a
tabela de valores a seguir, onde f´(x) e g´(x) são as derivadas das funções f(x) e g(x), respectivamente.
 
x 0 1 2 3
f(x) 0 2 -1 -2
f´(x) 1 -4 3 -1
g(x) 3 2 1 0
g´(x) -1 -3 4 1
 
O valor de h´(0)+h´(1)+h´(2)+h´(3) é
 a) –23
 b) –17
 c) –1
 d) 3
 e) 22
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Questão 821: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
A figura apresenta os gráficos das funções e .
 
(0) + (1) + (2) + (3)h′ h′ h′ h′
F(x) = ∫ dxe3x+1 F(0) = e
F(x) = 2 − ee3x+1
F(x) = 3 − 2ee3x+1
F(x) = ( + 2)e
3
e3x
F(x) = ( + )3e
5
e3x
2
3
F(x) = e3x+1
T : →R2 R2 λ1 λ2 λ1 λ2 >λ1 λ2
+ = −1λ1 λ2
+ = −5λ1 λ2
− =λ1 λ2 21
−−√
= 5λ1λ2
= 11 +
λ1
λ2
21
−−√
y = − + 4x2 y = 2 − 8x2
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A área da região compreendida entre os dois gráficos é
 a) 4
 b) 8
 c) 16
 d) 24
 e) 32
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Questão 822: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
O polinômio de Taylor de 2o grau, centrado em , que aproxima a função é
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 823: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Uma solução da equação diferencial é
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 824: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
A derivada da função no ponto (-1,2) na direção do vetor v=(1,-1) é
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 825: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Seja um campo vetorial em . Analise as declarações a seguir sobre o divergente e o rotacional de F:
 
I) rot F = (–y, 3x, 0)
II) div F = 2z
III) rot(div F) = 0
a = π
2
f(x) = sin(x)
1 + (x − )−π
2
1
2
(x − )π
2
2
1 + (x − )+π
2
1
2
(x − )π
2
2
1 − (x − )−π
2
1
2
(x − )π
2
2
1 − 1
2
(x − )π
2
2
1 + 1
2
(x − )π
2
2
= 3xy − 2y
dy
dx
y = 3x − 2
y = e −2x+1
3x2
2
y = e +2x−1
3x2
2
y = e3 +4xx
2
y = e3 −4xx
2
f(x, y) = 2x − 3 yy3 x2
55
2
–√
55
1
1
2
–√
−1
F = (xz, yz, − )x2 R3
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Está correto o que se declara em
 a) I, apenas.
 b) I e II, apenas.
 c) I e III, apenas.
 d) II e III, apenas.
 e) I, II e III.
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Questão 826: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Sendo a função delta de Dirac, o valor de é
 a) 0
 b) 1
 c) 2
 d) e
 e) 3
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Questão 827: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
A expansão em série de Fourier da função real , , para todo , , é 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 828: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Considere a função , onde c é uma constante real positiva.
 
A transformada de Fourier de f(t), definida por , é 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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Questão 829: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior Física/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
Analise as afirmativas a seguir sobre a transformada de Fourier, Tf(w), de uma função f(t) absolutamente integrável, real e de variável real.
 
I – Se f(t) for uma função par, a sua transformada Tf(w) será uma função real de variável real.
II – Se f(t) for uma função ímpar, a sua transformada Tf(w) será uma função real de variável real.
III – Se f(t) é uma função diferenciável tal que sua derivada é uma função absolutamente integrável, então Tf´(w)=wTf(w).
 
Está correto o que se afirma em
 a) I, apenas.
δ(t) 3 δ(t − 2)dt∫ ∞−∞ e
−t+2
f(x) = {
0,
,1
2
−π < x < 0
0 < x < π
f(x + 2π) = f(x) x ≠ kπ k ∈ Z
+ [sin(x) + + + +. . .]1
2
2
π
cos(3x)
3
sin(5x)
5
cos(7x)
7
+ [sin(x) − + + +. . .]1
2
2
π
sin(3x)
3
sin(5x)
5
sin(7x)
7
+ [cos(x) − + − +. . .]1
2
1
π
cos(3x)
3
cos(5x)
5
cos(7x)
7
+ [cos(x) + + + +. . .]1
4
1
π
cos(3x)
3
cos(5x)
5
cos(7x)
7
+ [sin(x) + + + +. . .]1
4
1
π
sin(3x)
3
sin(5x)
5
sin(7x)
7
f(t) = { ,
1
c
0,
−c ≤ t ≤ c
caso contrário
Tf(w) = f(t)dt1
2π
−−
√
lima→∞ ∫
a
−a e
−iwt
1
2π
−−
√
cos(wc)
w
1
2π
−−
√
sin(wc)
w
2
π
−−
√ cos(wc)
wc
2
π−−
√ sin(wc)
wc
1
π
−−
√ cos(wc)
2w
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https://www.tecconcursos.com.br/questoes/cadernos/experimental/24625979/imprimir 8/18
 b) I e II, apenas.
 c) I e III, apenas.
 d) II e III, apenas.
 e) I, II e III.
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Questão 830: CESGRANRIO - Quim (PETRO)/PETROBRAS/Petróleo Júnior/2011
Assunto: Tópicos de matemática (ensino superior)
A figura apresenta os gráficos das funções e .
 
 
A área da região compreendida entre os dois gráficos é
 a) 4
 b) 8
 c) 16
 d) 24
 e) 32
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Questão 831: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Petróleo/Abastecimento/2014
Assunto: Programação linear
Uma empresa planeja produzir dois tipos especiais de óleo que utilizam três tipos de matéria-prima de alto custo. A Tabela abaixo mostra a quantidade de matéria-prima
consumida na produção de cada tipo de óleo e a disponibilidade total de cada matéria-prima na semana prevista para a produção.
Considerando que tudo que é produzido é vendido, o lucro unitário por litro de óleo pesado é de R$ 5,00 e o do litro de óleo leve é de R$ 3,50.
 
Matéria-prima
Quantidade de matéria-prima utilizada na
produção de um litro de óleo (gramas) Matéria-prima disponível na
semana de produção (kg)
x1 x2
P 10 8 8
Q 8 16 12
R - 15 10
 
Considerando o objetivo de maximizar o lucro, o modelo de programação linear adequado, apresentado na forma canônica, no qual x1 e x2 referem-se, respectivamente,
aos óleos leve e pesado, é: 
 a) max Z = 3,5x 1 + 5x 2 
 10x 1 + 8x 2 ≤ 8000 
 8x 1 + 16x 2 ≤ 12000 
 15x 2 ≤ 10000 
 x 1,x 2 ≥ 0 
 b) max Z = 3,5x 1 + 5x 2 
 10x 1 + 8x 2 ≥ 8000 
 8x 1 + 16x 2 ≥ 12000 
 15x 2 ≥ 10000 
 x 1,x 2 > 0 
 c) max Z = 3500x 1 + 5000x 2 
 10x 1 + 8x 2 = 8 
 8x 1 + 16x 2 = 12 
 15x 2 = 10 
 x 1,x 2 > 0 
 d) max Z = 5x 1 + 3,5x 2 
 10x 1 + 8x 2 = 8 
 8x 1 + 16x 2 = 12 
 15x 2 = 10 
 x 1,x 2 ≥ 0 
 e) max Z = 35x 1 + 50x 2 
 10x 1 + 8x 2 ≥ 8 
 8x 1 + 16x 2 ≥ 12 
y = − + 4x2 y = 2 − 8x2
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 15x 2 ≥ 10 
 x 1,x 2 ≥ 0
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Questão 832: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Petróleo/Abastecimento/2014
Assunto: Programação linear
Considere o problema de programação linear abaixo com solução gráfica no plano x 1x 2
Max z = 3x 1 + 4x 2 
Sujeito a 
15x 1 + 12x 2 ≤ 360 
12x 1 + 24x 2 ≤ 528 
x 1 , x 2 ≥ 0
 
Qual é o intervalo no qual pode variar o coeficiente angular da equação da função objetivo sem alterar os valores das variáveis de decisão da solução ótima? 
 a) [-0,8 ; -0,5] 
 b) [-1,25 ; -0,5] 
 c) [-0,75; 0,75] 
 d) [ 0,5 ; 1,25] 
 e) [1,25 ; 0,5]
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Questão 833: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Petróleo/Abastecimento/2014
Assunto: Programação linear
Observe a formulação a seguir:
 
Max 
 
Sujeito a:
 
Qual é a formulação original (primal) do problema de programação linear que possui a formulação dual apresentada acima?
 a) 
 
.
 
 b) 
 
.
 
 c) 
Min Z = 56x 1 -15x 2 + 36x 3 
Sujeito a 
3x 1 -2x 2 ≥ 25 
6x 1 +3x 2 ≥ 18 
x 1,x 2 ≥ 0
 
 d) 
 
Min Z = 25x 1 + 18x 2 
Sujeito a 
3x1 + 6x2 ≥ 56 
-2x 1 +3x 2 ≥ -15 
3x 1 + x2 ≥ 36 
x 1,x 2 ≥ 0
 
 e) 
 
Min Z = 25x 1 + 18x 2 
Sujeito a 
3x 1 + 6x 2 ≤ 56 
2x 1 + 3x 2 ≤ 15 
3x 1 + x 2 ≤ 36 
x 1,x 2 ≥ 0
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W = [ ]y1y2y3
⎡
⎣
⎢
56
−15
36
⎤
⎦
⎥
[ ] ≤ [ ]; [ ] ≥ [0 0 0]y1y2y3
⎡
⎣
⎢
3 6
−2 3
3 1
⎤
⎦
⎥ 25
18
y1y2y3
MinZ = [ ] Sujeito a : [ ] ≥ [ ]; [ ] ≥ [0 0 0]y1y2y3
⎡
⎣
⎢
56
−15
36
⎤
⎦
⎥ y1y2y3
⎡
⎣
⎢
3 6
−2 3
3 1
⎤
⎦
⎥ 25
18
y1y2y3
MinZ = [ ] Sujeito a : [ ] ≤ [ ]; [ ] ≥ [0 0 0]y1y2y3
⎡
⎣
⎢
56
15
36
⎤
⎦
⎥ y1y2y3
⎡
⎣
⎢
3 6
−2 3
3 1
⎤
⎦
⎥ 25
18
y1y2y3
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Questão 834: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Petróleo/Abastecimento/2014
Assunto: Programação linear
Analise as Tabelas que se seguem e que resultam de iterações intermediárias de um problema de programação linear (maximização) resolvido pelo método simplex na
forma tabular. Nas sucessivas iterações foi usado o método de eliminação de Gauss-Jordan, e na seleção das variáveis de entrada e saída da base foram utilizadas as
regras de condição de otimalidade e de viabilidade, respectivamente. As variáveis de decisão são x1 e x2.
Tabela n-2
 
 x1 x2 x3 x4 x5 solução
x3 10 0 1 0 -8/15 160
x4 8 0 0 1 -16/15 80
x2 0 1 0 0 1/15 40
z -30 0 0 0 8/3 1600
 
Tabela n-1
 
 x1 x2 x3 x4 x5 solução
x3 0 0 1 -5/4 4/5 60
x1 1 0 0 1/8 -2/15 10
x2 0 1 0 0 1/15 40
z 0 0 0 15/4 -4/3 1900
 
Sabendo-se que as Tabelas acima são as que precedem a que apresenta a solução ótima (Tabela n), os valores das variáveis de decisão, x1 e x2, e o da função de
otimização da solução ótima correspondente são, respectivamente, 
 a) 4 ; 40 e 2000 
 b) 10 ; 40 e 1900 
 c) 18 ; 36 e 1980 
 d) 18 ; 36 e 2080 
 e) 20 ; 35 e 2000
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Questão 835: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Petróleo/Abastecimento/2014
Assunto: Programação linear
Uma empresa de transporte de carga foi contratada para transportar tonéis de determinada matéria-prima. O caminhão adequado tem uma capacidade de transportar
até T toneladas. Os tonéis têm pesos e valores diferentes de tal forma que o tonel i pesa pi quilos e vale r i reais. A empresa deseja maximizar o valor da carga do
caminhão.
Considerando o problema como aplicação de programação linear inteira, e definindo X k (k = 1,2,3...,m) como uma variável binária para o embarque ou não do k-ésimo
tonel, qual é a formulação correta?
 a) 
 
Max r k.x k , para k = 1,2,3...,m
Sujeito a p k .x k T , para k = 1,2,3...,m
{0,1},para K=1,2,3...,m
 
 b) 
 
{0,1}, para K=1,2,3...,m
p e r, inteiros
 
 c) 
 
p e r, inteiros
 
 d) 
 
p e r, inteiros.
≤
EXk
Max .∑K=mK=0 rK XK
Sujeito a .∑K=mK=0 pK XK
EXK
Max .∑K=mK=1 rK Xk
Sujeito a . ≤ T∑K=mK=1 pK XK
= {XK 0, se oK − ésimo tonel não embarca1, se oK − ésimo tonel embarca
Max .∑K=mK=1 pK Xk
Sujeito a . = T∑K=mK=1 rK Xk
= {XK 0, se oK − ésimo tonel não embarca
1, se oK − ésimo tonel embarca
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 e) 
 
{0,1}, para K=1,2,3...,m
p e r, inteiros.
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Questão 836: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Planejamento da Geração de Energia/2014
Assunto: Programação linear
Considere as informações a seguir para responder à questão.
Um feirante possui uma Kombi para transportar caixas de frutas. Em uma viagem, ele consegue transportar no veículo 200 caixas de laranjas - caso transporte apenas
laranjas - ou 300 caixas de tangerinas - caso transporte apenas tangerinas. O lucro por caixa de frutas é o seguinte: 20 unidades monetárias pelas laranjas, 30 unidades
monetárias pelas tangerinas e 35 unidades monetárias pelas maçãs. De acordo com sua estimativa de vendas, o feirante decide transportar pelo menos 100 unidades de
maçãs. Considere a variável X1 como a quantidade vendida de caixas de maçãs, X2 a de caixas de laranjas e X3 a de caixas de tangerinas.
 
A(s) inequação(ões) que representa(m) a(s) restrição (ões) de capacidade máxima de volume de transporte da Kombi é(são): 
 a) X2 + X3 ≤ 5 
 b) 3X2 + 2X3≤ 6 
 c) X1 ≥ 100, X2 ≤ 200, X3 ≤ 300 
 d) X2 ≤ 200, X3 ≤ 300 
 e) X1 ≤ 200, X2 ≤ 300
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Questão 837: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Planejamento da Geração de Energia/2014
Assunto: Programação linear
Considere as informações a seguir para responder à questão.
Um feirante possui uma Kombi para transportar caixas de frutas. Em uma viagem, ele consegue transportar no veículo 200 caixas de laranjas - caso transporte apenas
laranjas - ou 300 caixas de tangerinas - caso transporte apenas tangerinas. O lucro por caixa de frutas é o seguinte: 20 unidades monetárias pelas laranjas, 30 unidades
monetárias pelas tangerinas e 35 unidades monetárias pelas maçãs. De acordo com sua estimativa de vendas, o feirante decide transportar pelo menos 100 unidades de
maçãs. Considere a variável X1 como a quantidade vendida de caixas de maçãs, X2 a de caixas de laranjas e X3 a de caixas de tangerinas.
 
Um método utilizado para resolver esse tipo de problema de programação linear inteira é o 
 a) simplex 
 b) algoritmo de plano de corte 
 c) gradiente conjugado 
 d) de otimização recursiva 
 e) das duas fases
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Questão 838: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Planejamento da Geração de Energia/2014
Assunto: Programação linear
Considere as informações a seguir para responder à questão.
Considere o problema abaixo de Programação Linear:
Maximize: Z = 5*X1+ 4*X2 
Sujeito a: 
X1 ≥ 0 
X2 ≥ 0 
6* X1+ 4*X2 ≤ 
* X1+ 2*X2 ≤ 6
 
Considerando-se que , para qual valor de o problema apresenta soluções múltiplas? 
 a) -5/2 
 b) 0 
 c) 5/4 
 d) 5/2 
 e) 1
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Questão 839: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Planejamento da Geração de Energia/2014
Assunto: Programação linear
Considere as informações a seguir para responder à questão.
Considere o problema abaixo de Programação Linear:
Maximize: Z = 5*X1+ 4*X2 
Sujeito a: 
X1 ≥ 0 
Max .∑K=mK=1 pK rk
Sujeito a = T∑K=mK=1 rK
EXK
α
β
α = 24 β
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X2 ≥ 0 
6* X1+ 4*X2 ≤ 
* X1+ 2*X2 ≤ 6
 
Sendo e , o valor ótimo da função objetivo é: 
 a) 15 
 b) 20 
 c) 21 
 d) 24 
 e) 32
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Questão 840: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Planejamento da Geração de Energia/2014
Assunto: Programação linear
Considere as informações a seguir para responder à questão.
Considere o problema abaixo de Programação Linear:
Maximize: Z = 5*X1+ 4*X2 
Sujeito a: 
X1 ≥ 0 
X2 ≥ 0 
6* X1+ 4*X2 ≤ 
* X1+ 2*X2 ≤ 6
 
Considere que .
Qual é o valor máximo que pode assumir para que a base ótima para o problema de programação linear apresentado permaneça a mesma encontrada quando 
? 
 a) 24 
 b) 30 
 c) 36 
 d) 40 
 e) 44
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Questão 841: CESGRANRIO - APE (EPE)/EPE/Planejamento da Geração de Energia/2014
Assunto: Programação linear
Considere as informações a seguir para responder à questão.
Considere o problema abaixo de Programação Linear:
Maximize: Z = 5*X1+ 4*X2 
Sujeito a: 
X1 ≥ 0 
X2 ≥ 0 
6* X1+ 4*X2 ≤ 
* X1+ 2*X2 ≤ 6
 
Considere que .
Qual o valor mínimo que pode assumir para que a base ótima para o problema de programação linear apresentado permaneça a mesma encontrada quando 
? 
 a) 12 
 b) 14 
 c) 18 
 d) 20 
 e) 24
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Questão 842: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
Assunto: Programação linear
Considere o problema de Programação Linear a seguir.
Maximize: Z = x1+ 2x2
Sujeito a
3x1 + 4x2 ≤ 40 
2x1 + x2 ≤ 18 
5x1 + 7x2 ≤ 72 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
O valor ótimo da função objetivo é 
α
β
α = 24 β = 1
α
β
β = 1
α
α = 24
α
β
β = 1
α
α = 24
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 a) 8 
 b) 10 
 c) 18 
 d) 20 
 e) 40
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Questão 843: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
Assunto: Programação linear
Um problema de programação dinâmica pode ser dividido em estágios, sendo que uma decisão sobre a política a ser adotada é necessária a cada estágio.
A respeito das características de problemas de programação dinâmica, considere as afirmativas abaixo.
I - O número de estados associados a cada estágio de um problema de programação dinâmica pode ser finito ou infinito.
II - O princípio da otimalidade para a programação dinâmica enuncia que, dado o estado atual, uma política ótima para os estágios restantes é independente das
decisões adotadas nos estágios anteriores.
III - Um problema que não tenha a propriedade markoviana pode ser formulado como um problema de programação dinâmica.
É correto o que se afirma em 
 a) I, apenas. 
 b) III, apenas. 
 c) I e II, apenas. 
 d) II e III, apenas. 
 e) I, II e III.
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Questão 844: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
Assunto: Programação linear
As funções côncavas e convexas desempenham um papel importante na programação não linear.
Se todos os determinantes dos menores principais da matriz hessiana são não negativos para todas as possíveis n-uplas do domínio, isto é, a matriz hessiana é positiva
semidefinida, então a função f(x1,x2,x3,....xn) pode ser classificada como 
 a) convexa 
 b) estritamente convexa 
 c) côncava 
 d) estritamente côncava 
 e) côncava e convexa, simultaneamente
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Questão 845: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
Assunto: Programação linear
Considere o seguinte problema de Programação Linear:
Maximize: Z = 2x1 + 3x2 - 4x3
Sujeito a
x1 + x2 + 3x3 ≤ 15 
x1 + 2x2 - x3 ≤ 20 
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x3 ≥ 0
Foi acrescentada uma variável x4 ao problema, que passou a ser modelado da seguinte forma:
Maximize: Z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + k. x4
Sujeito a
x1 + x2 + 3x3 - x4 ≤ 15 
x1 + 2x2 - x3 + 2x4 ≤ 20 
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x3 ≥ 0
O valor máximo que o parâmetro k pode assumir sem alterar o valor ótimo da função objetivo encontrado para o problema original é 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 e) 5
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Questão 846: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
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Assunto: Programação linear
Considere o problema de Programação Linear a seguir.
Maximize: Z = 2x1 + 1,5x2
Sujeito a
x1 + 3x2 ≤ 8 
x1 + Kx2 ≤ 6 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Para que esse problema tenha múltiplas soluções ótimas, o valor do parâmetro K deve ser igual a 
 a) − 0,50 
 b) 0 
 c) 0,50 
 d) 0,75 
 e) 1,5
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Questão 847: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
Assunto: Programação linear
Determinada fábrica de móveis produz mesas, escrivaninhas e cadeiras de madeira. Esses três produtos passam pelo setor de carpintaria. Se o setor de carpintaria se
dedicasse apenas à fabricação de mesas, 1000 unidades seriam produzidas por dia; se o setor se dedicasse apenas à fabricação de escrivaninhas, 500 unidades seriam
produzidas por dia; se o setor decarpintaria se dedicasse à fabricação de apenas cadeiras, seriam produzidas 1500 cadeiras por dia. Cada cadeira contribui em R$ 100,00
para o lucro da empresa, cada escrivaninha contribui em R$ 400,00 e cada mesa contribui em R$ 500,00 para o lucro da fábrica de móveis.
Considere as seguintes variáveis inteiras como variáveis de decisão:
X1= quantidade de mesas produzidas 
X2= quantidade de cadeiras produzidas 
X3= quantidade de escrivaninhas produzidas
A(s) inequação(ões) que representa(m) a restrição de capacidade do setor de carpintaria é(são): 
 a) X1 ≤ 1000 
 X2 ≤ 1500 
 X3 ≤ 500 
 b) 500 X1 ≤ 1000 
 100 X2 ≤ 1500 
 400 X3 ≤ 500 
 c) X1 + X2 + X3 ≤ 3000 
 d) 3X1 + 6X2 + 2X3 ≤ 3000 
 e) 3X1 + 2X2 + 6X3 ≤ 3000
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Questão 848: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
Assunto: Programação linear
Considere o seguinte problema de Programação Linear:
Maximize: Z = x1 + 2x2
Sujeito a
x1 + 2x2 ≤ 8 
-x1 + x2 ≤ 16 
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
O dual desse problema é 
 a) Max Z = 8y1 + 16y2 
 Sujeito a 
 y1 - y2 ≥ 1 
 2y1 + y2 ≥ 2 
 y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0 
 b) Max Z = y1 + 2y2 
 Sujeito a 
 y1 - y2 ≥ 8 
 2y1 + y2 ≥ 16 
 y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0 
 c) Min Z = 8y1 + 16y2 
 Sujeito a 
 y1 - y2 ≥ 1 
 2y1 + y2 ≥ 2 
 y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0 
 d) Min Z = y1 + 2y2 
 Sujeito a 
 y1 - y2 ≥ 8 
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 2y1 + y2 ≥ 16 
 y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0 
 e) Min Z = y1 + 2y2 
 Sujeito a 
 y1 - y2 ≤ 8 
 2y1 + y2 ≤ 16 
 y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0
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Questão 849: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
Assunto: Programação linear
A Heurística de Erkut é utilizada para solução de problemas k-dispersão.
 
Considere as afirmativas abaixo a respeito desse tipo de problema.
I - A distribuição de depósitos de lixo é considerada um problema de k-dispersão.
II - Entre os problemas de k-dispersão encontra-se a localização de reservatórios de combustível.
 
III - Experimentos estatísticos constituem um dos problemas de k-dispersão.
É correto o que se afirma em 
 a) I, apenas. 
 b) I e II, apenas. 
 c) I e III, apenas. 
 d) II e III, apenas. 
 e) I, II e III.
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Questão 850: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
Assunto: Programação linear
Para a resolução de problemas de roteamento de veículos (PRV) podem ser utilizadas algumas heurísticas, que compreendem diferentes procedimentos.
O procedimento de Economia e Inserção é utilizado na heurística de: 
 a) Clark e Wright 
 b) Kaplan e Norton 
 c) Guillet e Miller 
 d) Tsubakitani e Deckro 
 e) Kurtulus e Davis
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Questão 851: CESGRANRIO - Ana (PETRO)/PETROBRAS/Pesquisa Operacional Júnior/2012
Assunto: Programação linear
Em sistemas de produção de petróleo offshore, é possível o uso de ferramentas heurísticas para a otimização de sistemas de risers em configuração lazy-wave. Há alguns
anos, os métodos heurísticos eram específicos para solucionar determinados problemas. Mas, devido à sua utilização restrita, surgiram métodos mais abrangentes que
podem ser aplicados a vários problemas. Esses métodos são chamados Meta-heurísticos. Existe uma técnica que guia a busca local de modo a permitir que ela escape do
ótimo local encontrado. Durante a execução do algoritmo, é mantida uma lista, usualmente de tamanho fixo, com os melhores indivíduos encontrados. Dessa forma,
preservando os melhores indivíduos, tem-se que o espaço de busca é otimizado. Após a aplicação de alguma heurística, é verificado se o indivíduo encontrado é uma boa
solução. Se for, ele é adicionado à lista e, automaticamente, um indivíduo existente na lista, que atingiu seu nível de expiração, é removido. Observe que o problema
desse algoritmo está no tamanho da lista e no tempo de expiração de cada indivíduo, pois esses devem ser calibrados de tal forma que o algoritmo apresente uma
solução de boa qualidade em menor tempo.
O método Meta-heurístico descrito acima é o 
 a) Algoritmo Genético 
 b) Busca Tabu 
 c) Método Simplex 
 d) Programação Linear Inteira 
 e) Simulated Annealing
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Questão 852: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Produção Júnior/2012
Assunto: Programação linear
Considere o seguinte problema de programação linear:
Maximize: Z = 3x1 + 7x2 + 5x3 
Sujeito a
x1 + x2 + x3≤5 
2x1 + 3x2 + x3≤10 
x1≥0 
x2≥0 
x3≥0
Qual o valor máximo que o coeficiente da função objetivo para a variável X1 pode assumir, sem alterar a solução ótima do problema de programação linear apresentado? 
 a) 3 
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 b) 4 
 c) 6 
 d) 7 
 e) 8
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Questão 853: CESGRANRIO - Eng (PETRO)/PETROBRAS/Produção Júnior/2012
Assunto: Programação linear
Considere o seguinte problema de programação linear:
Maximize: Z = x1 + 4x2 
Sujeito a
2x1 + 4x2≤20 
−x1 + 2x2≤8 
x1 + x2≤5 
x1≥0 
x2≥0
Verifica-se que o valor ótimo da função objetivo é 
 a) 0 
 b) 9 
 c) 17 
 d) 18 
 e) 20
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Questão 854: CESGRANRIO - Tec (PETRO)/PETROBRAS/Suprimento de Bens e Serviços Júnior/Administração/2012
Assunto: Outras questões de matemática
 
Considerando a estrutura de produto de um motor (X) representada na figura acima, o número de porcas (representadas por F) necessário para a produção de 100
motores é 
 a) 600 
 b) 1.000 
 c) 1.200 
 d) 1.800 
 e) 2.200
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Questão 855: CESGRANRIO - Geof (PETRO)/PETROBRAS/Júnior/Física/2012
Assunto: Outras questões de matemática
 
A figura acima destaca a região limitada pelos gráficos das funções f: → definidas por f(x) = −2x −1 e g(x) = x2 − 4.
Qual é a área da região hachurada em destaque?
R R
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 a) 
 
 b) 
 
 c) 
 
 d) 
 
 e) 
 
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Questão 856: CESGRANRIO - Tec Arq (BNDES)/BNDES/2011
Assunto: Outras questões de matemática
Numa turma de 35 alunos, 3 alunos faltaram à prova. Sem a nota desses alunos, a média dos 32 alunos foi x. Os 3 alunos fizeram a segunda chamada da prova, e suas
notas foram x, x + 1 e x – 1. O professor recalculou a média da turma, agora com 35 alunos, e encontrou o resultado y. 
Qual o valor da diferença y – x? 
 a) – 3 
 b) – 2 
 c) 0 
 d) 2 
 e) 3
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Questão 857: CESGRANRIO - Tec Arq (BNDES)/BNDES/2011
Assunto: Outras questões de matemática
Os Estados Lothar e Blink estão constantemente em guerra. Na última guerra, o Estado Lothar conseguiu tomar parte do território de Blink, uma região montanhosa
conhecida como Trafalgar. Antes dessa última guerra, o governo de Lothar havia feito um censo que revelou que a população de Lothar possuía idade média de 35 anos.
Com a inclusão da região de Trafalgar, o governo de Lothar fez um censo na nova região que revelou que a população de Trafalgar possuía idademédia de 50 anos e
que, com a inclusão de Trafalgar, a nova idade média geral, ou seja, a idade média de Lothar com Trafalgar juntos, passou a ser 40 anos. 
A razão entre o número de habitantes de Lothar e o número de habitantes de Trafalgar é 
 a) 0,5 
 b) 0,8 
 c) 1,5 
 d) 2 
 e) 2,125
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u.a.86
3
u.a.32
3
9u.a.
u.a.22
3
u.a.20
3
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Gabarito
801) D 802) B 803) C 804) E 805) B 806) A 807) D
808) E 809) B 810) B 811) E 812) A 813) B 814) A
815) E 816) C 817) A 818) C 819) C 820) A 821) E
822) D 823) B 824) A 825) B 826) E 827) E 828) D
829) A 830) E 831) A 832) B 833) D 834) E 835) C
836) B 837) B 838) D 839) C 840) C 841) A 842) D
843) C 844) A 845) B 846) D 847) E 848) C 849) E
850) A 851) B 852) C 853) D 854) E 855) B 856) C
857) D