LISTA 20 - CONE

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TEOREMA MILITAR 
LISTA 20 – CONE 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2009) Em um cone, a medida da altura é o 
triplo da medida do raio da base. Se o volume do cone 
é 8𝜋 dm³, a medida do raio da base, em dm, é: 
 
a) 0,5 
b) 1,5 
c) 2 
d) 3 
 
2. (EEAR 2014) Um filtro com a forma de cone circular 
reto, tem volume de 200 cm3 e raio da base de 5 cm. 
Usando 𝜋 = 3, pode-se determinar que sua altura, em 
cm, é igual a 
 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 6. 
 
3. (ESA 2014) Dobrando o raio da base de um cone e 
reduzindo sua altura à metade, seu volume 
 
a) dobra. 
b) quadruplica. 
c) não se altera. 
d) reduz-se à metade do volume original. 
e) reduz-se a um quarto do volume original. 
 
4. (EEAR 2019) Uma “casquinha de sorvete” tem a 
forma de um cone circular reto cujas medidas internas 
são 12 cm de altura e 5 cm de diâmetro da base. O 
volume de sorvete que enche completamente essa 
casquinha é _________ 𝜋 cm³. 
 
a) 30 
b) 25 
c) 20 
d) 15 
 
5. (ESA 2017) A geratriz de um cone circular reto de 
altura 8 cm é 10 cm; então a área da base desse cone 
é: 
 
a) 25 𝜋 cm2 
b) 16 𝜋 cm2 
c) 9 𝜋 cm2 
d) 64 𝜋 cm2 
e) 36 𝜋 cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (EEAR 2007) Um chapéu de festa, feito de cartolina, 
tem a forma de um cone de 1 dm de raio e 5 dm de 
geratriz. Para fazer 20 chapéus, são necessários, no 
mínimo, _______ dm2 de cartolina. 
Considere 𝜋 = 3,14 
 
a) 157 
b) 225 
c) 314 
d) 426 
 
7. (EEAR 2009) Um triângulo equilátero, de 6 dm de 
lado, gira em torno de um de seus lados. O volume do 
sólido gerado, em dm³, é: 
 
a) 24 𝜋 
b) 36 𝜋 
c) 48 𝜋 
d) 54 𝜋 
 
8. (EEAR 2017) O setor circular da figura representa a 
superfície lateral de um cone circular reto. Considerando 
𝜋 = 3, a geratriz e o raio da base do cone medem, em 
cm, respectivamente, 
 
 
 
a) 5 e 2 
b) 5 e 3 
c) 3 e 5 
d) 4 e 5 
 
9. (EEAR 2018) A superfície lateral de um cone, ao ser 
planificada, gera um setor circular cujo raio mede 10 cm 
e cujo comprimento do arco mede 10𝜋 cm. O raio da 
base do cone, em cm, mede: 
 
a) 5 
b) 10 
c) 5 𝜋 
d) 10 𝜋 
 
 
 
 
 
 
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10. (EEAR 2015) Se um cone equilátero tem 50𝜋 cm² de 
área lateral, então a soma das medidas de sua geratriz 
e do raio de sua base, em cm, é igual a: 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
 
11. (EEAR 2011) O raio da base de um cone equilátero 
mede 2√3 cm. O volume desse cone, em 
cm³, é: 
 
a) 42√3 𝜋 
b) 38√3 𝜋 
c) 24 𝜋 
d) 18 𝜋 
 
12. (EEAR – 2006) A base de um cone circular reto está 
inscrita num triângulo equilátero de área 9√3cm².Se as 
alturas do cone e do triângulo são congruentes, então o 
volume do cone, em cm³, é: 
 
a) 3𝜋√6 
b) 3𝜋√3 
c) 6𝜋√3 
d) 6𝜋√6 
 
13. (EEAR – 2007) Um cilindro equilátero é equivalente 
a um cone, também equilátero. Se o raio da base do 
cone mede √3 cm, o raio da base do cilindro mede, em 
cm, 
 
3
3
) 3
12
)
2
6
)
2
) 6
a
b
c
d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. (EEAR 2010) Um cone e um cilindro, ambos 
equiláteros, têm bases de raios congruentes. A razão 
entre as áreas das secções meridianas do cone e do 
cilindro é: 
 
4 3
)
2
3
)
4
1
)
3
1
)
2
a
b
c
d
 
 
15. (ESA 2011) Um tanque subterrâneo tem a forma 
de um cone invertido. Esse tanque está completamente 
cheio com 8 dm³ de água e 56 dm³ de petróleo. 
Petróleo e água não se misturam, ficando o petróleo na 
parte superior do tanque e a água na parte inferior. 
Sabendo que o tanque tem 12 m de profundidade, a 
altura da camada de petróleo é: 
 
a) 10m 
b) 9m 
c) 8m 
d) 7m 
e) 6m 
 
16. (ESA 2010) Um cone reto, de altura 𝐻 e área da 
base B, é seccionado por um plano paralelo à base. 
Consequentemente, um novo cone com altura 𝐻/3 é 
formado. Qual a razão entre os volumes do maior e o 
do menor cone, o de altura 𝐻 e o de altura 𝐻/3? 
 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 18 
e) 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NÍVEL 2 – OFICIALATO 
 
1. (EsPCEx 2021) Dado o triângulo equilátero MNP de 
lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela 
ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação 
desse triângulo em torno da reta r é igual a 
 
a) 
3x
3
π
 
b) 3xπ 
c) 
3x
2
π
 
d) 
33 x
4
π
 
e) 32 xπ 
 
2. (EsPCEx 2018) O valor da altura de um cilindro reto 
de raio R, cujo volume é a soma dos volumes dos 
sólidos 1 e 2 é 
 
 
 
a) 
13
a.
12
 
b) 
7
a.
6
 
c) 
5
a.
4
 
d) 
4
a.
3
 
e) 
17
a.
12
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (EsPCEx 2015) Um cone de revolução tem altura 
4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1cm. O 
volume desse cone (em 3cm ) é igual a 
a) 
1
.
3
π 
b) 
2
.
3
π 
c) 
4
.
3
π 
d) 
8
.
3
π 
e) 3 .π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. (AFA 2020) Um sistema de irrigação para plantas é 
composto por uma caixa d’água, em formato de cone 
circular reto, interligada a 30 esferas, idênticas. 
 
O conteúdo da caixa d’água chega até as esferas por 
encanamentos cuja capacidade de armazenamento é 
desprezível. 
 
O desenho a seguir ilustra a ligação entre a caixa d’água 
e uma das 30 esferas, cujo raio interno mede 
1
3r dm.π
−
= 
 
 
 
Se a caixa d’água está cheia e as esferas, bem como os 
encanamentos, estão vazios, então, no momento em 
que todas as 30 esferas ficarem cheias, restará, no 
cone, apenas a metade de sua capacidade total. 
 
Assim, a área lateral de um cone equilátero cujo raio da 
base é congruente ao da caixa d’água, em 2dm , é igual 
a 
 
a) 80 
b) 40 
c) 20 
d) 10 
 
 
 
 
 
 
5. (AFA 2016) Considere a região E do plano 
cartesiano dada por 
 
y x
1
3 3
y x 1E
x 0
y 0

+ 

+ = 
 


 
 
O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação 
de 270 em torno do eixo Ox em unidades de volume, 
é igual a 
 
a) 
26
3
π
 
b) 26π 
c) 
13
2
π
 
d) 
13
3
π
 
 
 
GABARITO NÍVEL 1 
 
1. C 
2. C 
3. A 
4. B 
5. E 
6. C 
7. D 
8. A 
9. A 
10. B 
11. C 
12. B 
13. B 
14. B 
15. E 
16. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
A figura formada seria equivalente a um cilindro menos 
dois cones como na figura abaixo: 
 
 
 
Raio da base do cilindro (igual a altura do triângulo 
equilátero): 
x 3
R
2
= 
 
Sendo assim, o volume do sólido gerado é dado por: 
2 2
3 3
3
x 3 1 x 3 x
V x 2
2 3 2 2
3 x x
V
4 4
x
V
2
π π
π π
π
   
=  −         
   
= −
 =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
1V : volume do sólido 1 
2V : volume do sólido 2 
 
2 2
1
2
1
2 2
2
2
2
a 1 a
V R R
2 2 2
3
V R a
4
a 1 a
V R R
2 3 2
2
V R a
3
π π
π
π π
π
=  +  
=
=  + 
=
 
 
Sendo h a medida da altura do cilindro reto de raio R 
e volume 1 2V V ,+ temos: 
2 2 2
2 2
3 2
R h R a R a
4 3
17
R h R a
12
17
h a
12
π π π
π π
= +
=
=
 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Considerando O o centro da esfera, temos: 
 
 
 
No triângulo AOD, temos: 
2 2 2AD 1 3 AD 8cm+ =  = 
8 1 4
ADO ABC r cm
4 r 8
Δ Δ−  =  = 
 
Portanto, o volume V do cone será dado por: 
2
2 31 1 4 8V R h 4 cm
3 3 38
π
π π
  
=    =    = 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Calculando, inicialmente, o volume total das trinta 
esferas. 
( )
3
3
1
3
4
V 30 r
3
4
V 30
3
V 40 dm
π
π π−
=   
=   
=
 
 
Como 340 dm é o volume de metade do cone, 
concluímos que o volume do cone é 380 dm . 
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Vamos, então, determinar a medida do raiodeste 
cone. 
2 21 40r 6 80 r
3
π
π
   =  = 
 
Calculando, agora, a área do cone equilátero sugerido, 
temos: 
LA r gπ=   
 
Como o cone é equilátero, devemos considerar g 2r.= 
2 2
L L L L
40
A r 2 r A 2 r A 2 A 80 dmπ π π
π
=     =    =    = 
 
Resposta: [A] 280 dm 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Reescrevendo as duas primeiras inequações como 
equações, tem-se: 
y x y x
1 1 y 3 x
3 3 3 3
y x 1 y x 1 y 1 x
+  → + = → = −
+  → +  → = −
 
 
Tendo estas duas equações de retas e sabendo que 
x 0 e y 0, pode-se construir o gráfico a seguir, 
que apresenta a região E (em rosa) indicada no 
enunciado: 
 
 
 
Rotacionando a área E (em rosa) em 360 em torno 
do eixo x teremos um cone “oco” de altura e raio 3, 
com uma concavidade também em formato de cone, 
de altura e raio igual a 1 (região indicada em azul). 
Assim, para se conseguir o volume somente do sólido 
gerado pela rotação da área rosa E, podemos calcular 
o volume total do cone de altura e raio 3 (que 
chamaremos de V) e subtrair dele o volume do cone 
gerado pela rotação da área representada em azul 
(que chamaremos de azulV . Assim, o volume do sólido 
gerado pela rotação da área E E(V ) será: 
E azulV V V= − 
Sendo o volume de um cone de revolução dado pela 
fórmula 2cone
1
V R h,
3
π=   temos que: 
2 2
E E
1 1 26
V 3 3 1 1 9 V
3 3 3 3
π π
π π π
   
=    −    = − → =   
   
 
 
Porém, o solicitado no enunciado não é uma rotação 
de 360 em torno do eixo x, mas sim uma rotação de 
270 . Nesse caso, o volume final 
'
EV será 
correspondente a E
3 V .
4
 Ou seja: 
' '
E E E
3 26 78 133V V V
4 4 3 12 2
π π π
= =  = → =