aula 3 - Condução bidimensional

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AULA 3
CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL
AULA 3 – CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL
Métodos utilizados:
- Analítico exato;
- Gráfico;
- Numérico.
Para as seguintes hipóteses a equação do calor fica:
- Condução bidimensional;
- Regime estacionário;
- Sem geração de calor;
- Propriedades constantes.
∇2𝑇 = 0
➢ Assim como no caso unidimensional, com T(x,y) conseguimos, nesse caso, determinar o fluxo de calor
nas duas direções.
➢ O método analítico mais usado é a separação de variáveis.
➢ Considerando a placa retangular:
Três lados a T1 e um lado a T2
Para simplificar, utiliza-se
T(x,y)
𝑇2, 𝜃 = 1
x
y
L
w
𝑇1, 𝜃 = 0
𝑇1, 𝜃 = 0 𝑇1, 𝜃 = 0
𝜃 =
𝑇 − 𝑇1
𝑇2 − 𝑇1
∇2𝑇 = 0֜∇2𝜃 = 0
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SOLUÇÃO ANALÍTICA
➢ A equação assume a forma de segunda ordem em x e em y.
➢ Duas condições de contorno para cada direção 𝜽 𝟎, 𝒚 = 𝜽 𝑳, 𝒚 = 𝜽 𝒙, 𝟎 = 𝟎 e 𝜽 𝒙,𝒘 = 𝟏
➢ Resolvendo por separação de variáveis obtém-se uma série convergente, na qual a temperatura pode
ser determinada para qualquer x e y:
➢ Soluções exatas para diversas geometrias:
Livro: P.J. Schnider – Conduction heat transfer
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∇2𝑇 = 0֜∇2𝜃 = 0
𝜃(𝑥, 𝑦) =
2
𝜋
෍
−1 𝑛+1 + 1
𝑛
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑠𝑒𝑛ℎ
𝑛𝜋𝑦
𝐿
𝑠𝑒𝑛ℎ
𝑛𝜋𝑤
𝐿
FATOR DE FORMA PARA A CONDUÇÃO
➢ Na maioria dos casos, problemas de condução bi e tridimensional podem ser resolvidos utilizando
soluções existentes da equação da difusão de calor
➢ Estas soluções são expressas em termos de um fator de forma S
➢ A taxa de calor é representada por:
𝒒 = 𝑺 ∙ 𝑲 ∙ ∆𝑻𝟏−𝟐
Em que ∆𝑻𝟏−𝟐 é a diferença de temperatura entre contornos
A representação bidimensional tem a forma
𝑹𝒄𝒐𝒏𝒅 =
𝟏
𝑺𝑲
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Tabela 4.1 – Fator de forma para os casos mais comuns (INCROPERA, 1998)
➢ Para os casos que envolvem meio infinito, resultados úteis podem ser obtidos com o comprimento
característico Lc
𝑳𝑪 =
𝑨𝑺
𝟒𝝅
ൗ𝟏 𝟐
➢ Taxas de transferência de calor em meio infinito podem, então, ser apresentados em teros de uma taxa
de calor adimensional
𝒒∗ =
𝒒𝑳𝑪
𝑲𝑨𝑺(𝑻𝟏 − 𝑻𝟐)
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SOLUÇÃO NUMÉRICA – DIFERENÇAS FINITAS
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SOLUÇÃO NUMÉRICA
Para as condições de contorno temos:
Convecção: Um nó (à direita) se situa sobre a superfície ou no contorno do meio.
Ver tabela 4.2 do incropera para outras condições de contorno
e geometrias
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SOLUÇÃO NUMÉRICA
Exemplo: Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Determine a
distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que:
h = 200 W/m².°C
k = 10 W/m.°C
Δx = Δy=10 cm
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SOLUÇÃO GRÁFICA
O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de contorno
adiabáticas ou isotérmicas.
O objetivo é construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante.
Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície interna é mantida a
T1 e a externa T2.
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SOLUÇÃO GRÁFICA
1. O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema tais linhas são
determinadas pela geometria e condição simétricas.
2. As linhas de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção perpendicular a elas.
Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor constante.
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SOLUÇÃO GRÁFICA
3. Traças algumas linhas de temperatura constante. Lembre-se que elas são perpendiculares às linhas de
fluxo constante.
4. As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados curvilíneos. Isto é feito
fazendo com que as linhas de fluxo cruzem as linhas de temperatura constantes em ângulo reto e
impondo que todos os quadrados tenham aproximadamente, o mesmo comprimento
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SOLUÇÃO GRÁFICA
5. Quando houver um “canto isotérmico”, a linha de fluxo constante deve dividir o ângulo formado pelas
duas superfícies ao meio