Apostila de MTRM

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MECÂNICA TÉCNICA E 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Curso Técnico de Mecânica – IFC / Campus Blumenau 
Luciano Sena 
luciano.sena@ifc.edu.br 
Resumo 
Física aplicada, dilatação, solicitações mecânicas (tração, compressão, cisalhamento, flexão, 
torção, flambagem), cálculos de reações, diagrama de equilíbrio de força, centro de 
gravidade de figuras simples e compostas, diagrama tensão x deformação. 
 
Versão 27102021. 
1 
 
Sumário 
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 3 
2. Termologia .......................................................................................................................... 4 
2.1. Temperatura ............................................................................................................... 4 
2.2. Escalas termométricas ................................................................................................ 4 
2.3. Calor ............................................................................................................................ 5 
2.3.1. Calor específico ..................................................................................................... 5 
2.3.2. Considerações sobre o calor específico ................................................................ 5 
2.3.3. Capacidade térmica ............................................................................................... 6 
2.3.4. Mapa mental ......................................................................................................... 6 
2.4. O calor sensível e o calor latente ................................................................................ 6 
2.5. Dilatação térmica ........................................................................................................ 7 
2.6. Exercícios exemplo de termologia .............................................................................. 8 
2.7. Exercícios ..................................................................................................................... 8 
3. Trigonometria ..................................................................................................................... 9 
3.1.1. O que é a trigonometria? .................................................................................... 10 
3.1.2. Trigonometria no triângulo retângulo ................................................................ 10 
3.1.3. Círculo trigonométrico ........................................................................................ 11 
3.1.4. Funções trigonométricas..................................................................................... 12 
3.1.5. Identidades trigonométricas ............................................................................... 12 
3.1.6. Funções reversas ................................................................................................. 13 
3.1.7. Usos da trigonometria ........................................................................................ 13 
3.1.8. Exercícios ............................................................................................................. 14 
4. CLASSES DE SOLICITAÇÕES ................................................................................................ 17 
5. Cálculo de reações ............................................................................................................ 20 
5.1. Forças ........................................................................................................................ 20 
5.2. Momento Estático ..................................................................................................... 22 
5.3. Equilíbrio ................................................................................................................... 22 
5.4. Alavancas .................................................................................................................. 23 
5.5. Exercícios ................................................................................................................... 23 
6. FLEXÃO .............................................................................................................................. 26 
6.1. Compreensão do conceito ........................................................................................ 26 
6.2. Vigas .......................................................................................................................... 27 
6.3. Apoios ....................................................................................................................... 28 
6.3.1. Classificação ........................................................................................................ 28 
6.4. Cargas – concentradas e distribuídas ....................................................................... 28 
6.5. Momento Fletor ........................................................................................................ 31 
7. Diagrama momento fletor e esforço cortante .................................................................. 31 
7.1. Exercícios ................................................................................................................... 41 
ANEXO A – PROPRIEDADES MECÂNICAS .................................................................................. 43 
 
 
2 
 
 
3 
 
1. INTRODUÇÃO 
A Física aplicada é a Física entendida como suporte para uma tecnologia ou uso prático 
particular, como por exemplo em engenharia, ao contrário da investigação básica. Esta aproximação 
é semelhante à dada à matemática aplicada. A Física aplicada está enraizada nas verdades 
fundamentais e nos conceitos básicos das ciências físicas, mas está relacionada com uso de princípios 
científicos em aparelhos e sistemas práticos. 
A Física aplicada pode ser dividida em diversas áreas, dentre as quais, a termologia e a 
mecânica apresentam grande importância. A termologia é uma importante área de estudo da Física 
responsável por analisar os fenômenos relacionados ao calor e à temperatura. Dentro desta área, o 
estudo das dilatações térmicas é de relevante importância para a formação do técnico em mecânica, 
assunto que será visto na primeira parte deste curso. 
A mecânica é a área da física que estuda os corpos macroscópicos em movimento. Ela pode 
ser dividida em três sub áreas: a cinemática, a estática e a dinâmica. Neste curso, será feita uma análise 
introdutória aos conceitos de estática e suas aplicações. Esta será a segunda parte deste curso. 
Os cientistas da antiga Grécia já tinham o conhecimento do fundamento da estática, porém 
poucos sabiam do problema de deformações. O desenvolvimento da resistência dos materiais seguiu-
se ao desenvolvimento das leis da estática. Galileu (1564-1642) foi o primeiro a tentar uma explicação 
para o comportamento de alguns membros submetidos a carregamentos e suas propriedades e 
aplicou este estudo, na época, para os materiais utilizados nas vigas dos cascos de navios para marinha 
italiana. Podemos definir que a estática considera os efeitos externos das forças que atuam num corpo 
e a resistência dos materiais, por sua vez, fornece uma explicação mais satisfatória, do 
comportamento dos sólidos submetidos à esforços externos, considerando o efeito interno. Na 
construção mecânica, as peças componentes de uma determinada estrutura devem ter dimensões e 
proporções adequadas para suportar esforços impostos sobre elas – Figura 1.1: 
 
 
Figura 1.1 -- a) O eixo de transmissão de uma máquina deve ter dimensões adequadas para resistir ao torque a 
ser aplicado; b) A asa de um avião deve suportar às cargas aerodinâmicas que aparecem durante o vôo; c) As 
paredes de um reservatório de pressão deve ter resistência apropriada para suportar a pressão interna, etc. 
O comportamento de um membro submetido as forças, não depende somente destas, mas 
também dascaracterísticas mecânicas dos materiais de fabricação dos membros. Estas informações 
provêm do laboratório de materiais onde estes são sujeitos a ação de forças conhecidas e então 
observados fenômenos como ruptura, deformação etc. 
4 
 
2. Termologia 
A Termologia é o estudo científico dos fenômenos relacionados ao calor e à temperatura, 
como transferência de calor, equilíbrio térmico, transformações sofridas por gases, mudanças de 
estado físico, etc. 
2.1. Temperatura 
Temperatura é a medida do grau de agitação das partículas que constituem uma porção e 
matéria. A temperatura de um corpo é diretamente proporcional à velocidade com que seus átomos 
e moléculas vibram, rotacionam ou, até mesmo, transladam. 
A temperatura é uma das grandezas fundamentais da natureza, juntamente com o metro e 
com o segundo, por exemplo. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade utilizada para a 
medida da temperatura é o Kelvin (K). Essa escala de temperatura é considerada absoluta, pois não 
admite valores negativos e pode ser determinada diretamente pela vibração térmica dos átomos. Por 
isso, dizemos que a menor temperatura possível é o 0 K, também conhecido como zero absoluto. 
Apesar da existência do Kelvin, outras escalas usuais, baseadas em outras substâncias, como 
Celsius e Fahrenheit, continuam sendo usadas no mundo. A figura abaixo mostra três termômetros 
graduados nas escalas mais comuns existentes: Celsius, Kelvin e Fahrenheit: 
 
2.2. Escalas termométricas 
As escalas termométricas são usadas para medir a temperatura a partir de alguma referência. 
Geralmente, tomam-se dois pontos fixos para os quais o corpo ou a substância de referência 
apresentaria as mesmas propriedades, como volume, densidade, condutividade ou resistência 
elétrica, comprimento, etc. 
A escala Celsius é a termométrica mais usada no mundo. Trata-se de uma escala centígrada, 
isto é, apresenta 100 divisões de igual tamanho entre seus pontos fixos, 0 oC e 100 oC, chamados de 
graus. Por ser uma escala usual, admite temperaturas negativas: seu zero absoluto tem valor de 
aproximadamente -273,5 oC. 
A escala Fahrenheit, por sua vez, é usada em poucos países, como Estados Unidos e Inglaterra. 
Foi desenvolvida para que o ponto de fusão da água seja igual a 32 oF. Assim, mesmo atingindo baixas 
temperaturas, é improvável que se observem temperaturas negativas em países que utilizam essa 
escala. A temperatura de ebulição da água em Fahrenheit é de 212 oF. 
A escala Kelvin foi baseada na agitação térmica de átomos de hélio de forma que, ao atingirem 
o repouso total, atribui-se a esses átomos a temperatura de 0 K. Hoje em dia, sabemos que essa 
baixíssima temperatura é, na verdade, inalcançável. 
Para convertermos valores de temperatura expressos em uma das escalas citadas acima, 
podemos utilizar as seguintes equações: 
5 
 
 
Onde: 
 TK – temperatura em Kelvin 
 TF – temperatura em Fahrenheit 
 TC – temperatura em Celsius 
2.3. Calor 
Dizemos que calor é a energia térmica transferida entre corpos que se encontram em 
temperaturas diferentes, sendo, portanto, uma forma de energia. Além disso, o calor sempre transita 
do corpo de maior temperatura para os corpos de menor temperatura, até que se estabeleça o 
equilíbrio térmico. 
O calor pode ser transmitido por meio de três processos: 
 Condução: transmissão de calor mediante o contato de superfícies; 
 Convecção: transmissão de calor em razão da formação de correntes convectivas em 
um fluido. Note que um fluido pode estar no estado gasoso ou no líquido; 
 Radiação: transmissão de calor por ondas eletromagnéticas. 
2.3.1. Calor específico 
Para que se compreenda com maior contundência a fenomenologia da dilatação térmica, 
deve-se introduzir o conceito de calor específico. Trata-se da quantidade de calor necessária para que 
cada grama de uma substância sofra variação de temperatura de 1°C ou de 1 K. 
Calor específico é a quantidade de calor necessária para que cada grama de uma substância 
sofra uma variação de temperatura correspondente a 1°C. Essa grandeza é uma característica de cada 
substância e indica o comportamento do material quando exposto a uma fonte de calor. 
A tabela a seguir indica o calor específico de algumas substâncias. 
 
Substância Calor Específico (cal/g.oC) 
Água 1 
Álcool Etílico 0,58 
Alumínio 0,22 
Ar 0,24 
Areia 0,2 
Carbono 0,12 
Chumbo 0,03 
Cobre 0,09 
Ferro 0,11 
Gelo 0,50 
Hidrogênio 3,4 
Madeira 0,42 
Nitrogênio 0,25 
Oxigênio 0,22 
Vidro 0,16 
2.3.2. Considerações sobre o calor específico 
No estudo da Calorimetria, o calor específico está presente na definição matemática do calor 
sensível e da capacidade térmica de um material. Alguns fenômenos cotidianos podem ser mais bem 
compreendidos a partir da definição de calor específico. 
Observe na tabela anterior que o calor específico da areia é cinco vezes menor que o da água. 
Enquanto cada grama de areia precisa de apenas 0,2 cal para variar a sua temperatura em 1°C, a água 
6 
 
precisa de 1 cal para executar a mesma tarefa. Compreendemos aqui a razão pela qual durante o dia 
a areia da praia apresenta-se em uma temperatura superior à da água. 
2.3.3. Capacidade térmica 
Capacidade térmica é uma grandeza física utilizada para definir a quantidade de calor que um 
corpo deve receber, ou ceder, para que a sua temperatura varie em 1,0 ºC ou 1,0 K. Diferentemente 
do calor específico, essa grandeza está relacionada com o corpo como um todo, e não somente com 
cada grama de sua composição. Por essa razão, dizemos que calor específico é uma propriedade da 
substância, enquanto a capacidade térmica é uma propriedade do corpo em si. 
As duas fórmulas que podem ser utilizadas para calcular a capacidade térmica de um corpo 
são representadas a seguir: 
𝐶 =
𝑄
∆𝑡
 𝑜𝑢 𝐶 = 𝑚 ∗ 𝑐 
Onde: 
C – Capacidade térmica (cal/g ou J/kg) 
 
Quando algum corpo apresenta uma grande capacidade térmica, ele é chamado de 
reservatório térmico. Todo reservatório térmico precisa absorver ou ceder grandes quantidades de 
calor para ter a sua temperatura alterada. Um bom exemplo de reservatório térmico para a Terra são 
os mares, que são compostos majoritariamente por água, uma substância de alto calor específico. 
Essa característica torna os mares os grandes reguladores da temperatura global. 
2.3.4. Mapa mental 
O mapa mental a seguir ajuda na sua compreensão dos conceitos vistos anteriormente. 
 
2.4. O calor sensível e o calor latente 
O calor é a energia térmica em transito entre dois corpos que estejam a temperaturas 
diferentes. Neste troca de energia, o calor pode se manifestar através de duas possíveis formas: o 
calor sensível e o calor latente. Elas se diferenciam de acordo com o efeito que produzem, conforme 
detalhado a seguir: 
7 
 
 Calor sensível: é a forma de calor responsável pela mudança de temperatura em um 
corpo. Quando um corpo recebe calor sensível, sua temperatura aumenta; quando o 
mesmo corpo cede calor sensível, sua temperatura cai. O efeito do calor sensível é, 
portanto, a variação da temperatura. Ele pode ser calculado pelo seguinte modelo 
matemático: 
𝑄 = 𝑚 ∗ 𝑐 ∗ ∆𝑇 
Onde: 
Q – calor sensível 
m – massa 
c – calor específico 
ΔT – variação de temperatura 
 
 Calor latente: é a quantidade de calor que deve ser transferida para que um corpo ou 
uma substância mude de estado físico. Quando um corpo encontra-se na temperatura 
de ebulição ou de fusão, por exemplo, sua temperatura não varia, mesmo que ele 
continue exposto a uma fonte de calor. Não há mudanças de calor quando um corpo 
troca calor latente, apenas mudanças de estados físicos. Por isso, dizemos que ele 
recebe calor latente. O efeito do calor latente é, portanto, uma mudança de estado 
físico num corpo ou numa substância. O calor latente pode ser calculado pelo através 
do seguinte modelo matemático: 
𝑄 = 𝑚 ∗ 𝐿 
Onde: 
𝑸𝑳 – calor latente 
m – massa 
L – calor latente 
2.5. Dilatação térmica 
A dilatação térmica ocorre quando um corporecebe ou cede uma quantidade de calor. Além 
da mudança de temperatura ou de uma variação do seu estado de agregação (estado físico), a 
passagem de calor para um corpo ocasiona mudanças em suas dimensões. O grau de dilatação térmica 
depende da variação de temperatura sofrida pelo corpo e do seu coeficiente de dilatação linear, 
superficial e volumétrico. 
De acordo com o formato do corpo, pode-se determinar qual de suas dimensões é mais 
favorecida. Por exemplo, uma agulha tem formato alongado, por isso, a dilatação mais importante, 
nesse caso, é a linear. Ao todo, existem três formas de dilatação térmica: 
 Dilatação linear: mudança no comprimento de um corpo. Depende do seu coeficiente 
de dilatação linear (α). Matematicamente, pode ser estimada através do seguinte 
modelo: 
𝐿 = 𝐿 + 𝐿 ∗ 𝛼 ∗ ∆ 
L – comprimento final 
L0 – comprimento inicial 
ΔT – variação de temperatura 
 – coeficiente de dilatação linear 
8 
 
 Dilatação superficial: mudança sofrida pela área de um corpo. Depende do coeficiente 
de dilatação superficial (β). Matematicamente, pode ser estimada através do seguinte 
modelo: 
𝑆 = 𝑆 + 𝑆 ∗ 𝛽 ∗ ∆ 
S – área final 
S0 – área inicial 
ΔT – variação de temperatura 
 – coeficiente de dilatação linear 
 Dilatação volumétrica: mudança ocorrida no volume de um corpo. Depende do 
coeficiente de dilatação volumétrica (γ). Matematicamente, pode ser estimada 
através do seguinte modelo: 
𝑉 = 𝑉 + 𝑉 ∗ 𝛾 ∗ ∆ 
V – volume final 
V0 – volume inicial 
ΔT – variação de temperatura 
 – coeficiente de dilatação linear 
2.6. Exercícios exemplo de termologia 
1) Um termômetro calibrado na escala Fahrenheit indica uma temperatura de 68oF. 
a. Qual é o valor dessa temperatura na escala Celsius? (Resposta: 20oC) 
b. E na escala absoluta? 
c. Em qual temperatura as escalas Celsius e Fahrenheit marcam o mesmo valor. 
2) Um corpo de 10 g de calor específico igual a 1,2 cal/goC é submetido a uma variação de 
temperatura de 25oC. Determine a quantidade de calor transferida para esse corpo 
durante o processo. (Resposta: 300 cal) 
3) Em um processo termodinâmico, são necessárias 500 cal para fundir um corpo de massa 
igual a 10 g, que se encontra no estado sólido, em sua temperatura de fusão. Determine 
o calor latente de fusão desse corpo. (Resposta: L = 50 cal/g) 
4) Assinale a alternativa que apresenta o nome do processo de transmissão de calor por 
ondas eletromagnéticas: 
a. Condução 
b. Convecção 
c. Transmissão 
d. Radiação 
e. Dilatação 
5) Uma barra metálica homogênea de comprimento igual a 1,5 m é aquecida até que sua 
temperatura de 25oC atinja 150oC. Considerando que o coeficiente de dilatação linear 
dessa barra é de 1,2.10-5 oC-¹, determine o comprimento final da barra após o 
aquecimento. (Resposta: L=1,50225 m) 
2.7. Exercícios 
1. Um corpo se encontra à temperatura de 27oC. Determine o valor dessa temperatura na escala 
Kelvin. 
2. Um doente está com febre de 42oC. Qual sua temperatura expressa na escala Kelvin? 
9 
 
3. Uma pessoa tirou sua temperatura com um termômetro graduado na escala Kelvin e encontrou 
312 K. Qual o valor de sua temperatura na escala Celsius? 
4. Um gás solidifica-se na temperatura de 25 K. Qual o valor desse ponto de solidificação na escala 
Celsius? 
5. Um cano de cobre de 4 m a 20oC é aquecido até 80oC. Dado  do cobre igual a 17.10-6 oC-1 , de 
quanto aumentou o comprimento do cano? 
6. O comprimento de um fio de alumínio é de 30 m, a 20oC. Sabendo-se que o fio é aquecido até 60 
oC e que o coeficiente de dilatação linear do alumínio é de 24.10-6 oC-1 , determine a variação no 
comprimento do fio. 
7. Uma chapa de zinco tem área de 8 cm2 a 20oC. Calcule a sua área a 120oC. Dado: zinco = 52. 10-6 
oC-1. 
8. Uma chapa de chumbo tem área de 900 cm2 a 10oC. Determine a área de sua superfície a 6oC. O 
coeficiente de dilatação superficial do chumbo vale 54. 10-6 oC 
9. (MACK SP/2010) Uma chapa metálica de área 1 m2 , ao sofrer certo aquecimento, dilata de 0,36 
mm2 Com a mesma variação de temperatura, um cubo de mesmo material, com volume inicial de 
1 dm3 , dilatará 
a. 0,72 mm3 
b. 0,54 mm3 
c. 0,36 mm3 
d. 0,27 mm3 
e. 0,18 mm3 
10. (MACK SP/2010) Uma placa de alumínio (coeficiente de dilatação linear do alumínio = 2.10–5 oC–1), 
com 2,4 m2 de área à temperatura de – 20oC , foi aquecido à 176oF. O aumento de área da placa 
foi de: 
a. 24 cm2 
b. 48 cm2 
c. 96 cm2 
d. 120 cm2 
e. 144 cm2 
 
3. Trigonometria 
A trigonometria é a área da matemática que estuda a relação entre a medida dos lados de um 
triângulo e seus ângulos. Temos como principais razões trigonométricas o seno, o cosseno e a 
tangente, estudados também nos ciclos trigonométricos. 
 
Figura 3.1 - Razões trigonométricas no triângulo retângulo e ângulos notáveis. 
10 
 
Há as identidades trigonométricas, que relacionam as razões trigonométricas entre si. O 
estudo da trigonometria, quando feito de forma mais aprofundada, ocorre com base nas funções 
trigonométricas. 
3.1.1. O que é a trigonometria? 
Ainda que o triângulo seja o polígono mais simples, ele é amplamente estudado. A 
trigonometria é a área da matemática que estuda e analisa a relação entre os lados dos triângulos e 
os seus ângulos. 
A trigonometria é comumente usada para encontrar valores desconhecidos de um triângulo 
retângulo, sendo aplicável em problemas no cotidiano. 
3.1.2. Trigonometria no triângulo retângulo 
A trigonometria teve seus primeiros estudos relacionados ao triângulo retângulo, e só 
posteriormente foi estudada no círculo trigonométrico e aplicada em outras situações. As razões 
trigonométricas no triângulo retângulo são conhecidas como cosseno, seno e tangente, sendo que 
cada uma deve ser aplicada em determinada situação, relacionando os lados do triângulo retângulo. 
 
Na trigonometria é essencial lembrar que os lados do triângulo são nomeados, o lado de frente 
ao ângulo de 90º é sempre a hipotenusa, ou seja, o maior lado do triângulo. 
 
Note que, na imagem, a hipotenusa é o lado c. 
Já os lados a e b são conhecidos como catetos, quando analisamos as posições desses lados 
em relação aos ângulos β e α, eles recebem nomes especiais. Quando um lado está em frente ao 
ângulo, ele é conhecido como cateto oposto, na imagem, o lado b é cateto oposto em relação ao 
ângulo β, e o lado a é oposto ao ângulo α, então, ser oposto ou não depende do ângulo que estamos 
estudando. 
O cateto que, junto à hipotenusa, forma o ângulo é conhecido como cateto adjacente. Note 
que o ângulo α é formado pela hipotenusa e pelo cateto b, logo, b é cateto adjacente ao ângulo α. 
Analogamente, o lado a é cateto adjacente do ângulo β. 
Conhecendo cada um dos lados do triângulo, as razões trigonométricas são: 
 
 
 
11 
 
Assim, para resolver problemas envolvendo a trigonometria, é necessário sempre identificar 
qual das razões deve ser aplicada naquele contexto, para isso, basta analisar quais são os dois lados 
envolvidos em relação ao ângulo. 
Durante o estudo dessas razões trigonométricas, surge o que chamamos de ângulos notáveis. 
Os ângulos notáveis são ângulos comuns em problemas matemáticos, e os valores do seno, cosseno 
e tangente devem ser conhecidos. 
 
É preciso entender que os lados de um triângulo retângulo sempre serão proporcionais aos 
valores da tabela quando trabalhamos com ângulos notáveis. Quando o problema envolve um ângulo 
que não seja um dos três ângulos notáveis, podemos consultar a tabela trigonométrica para resolvê-
lo. 
3.1.3. Círculo trigonométrico 
Utilizamos o plano para representar os valores de seno e cosseno para determinados ângulos. 
O círculo ou ciclo trigonométrico auxilia no trabalho com ângulos maiores que 90º. O desenvolvimento 
da trigonometria no ciclo permitiu perceber que existem ângulos simétricos aos ângulos do primeiro 
quadrante, o que alavancou os estudos da área, e, inclusive, a análise de uma função trigonométrica 
só é possível por conta da trigonometria no círculo. 
Para construir-se o círculo trigonométrico,basta um círculo de raio 1. No eixo horizontal, 
temos os valores do cosseno do ângulo, já no eixo vertical, temos os valores do seno do ângulo. 
 
Note então que os valores do seno e do cosseno para os ângulos notáveis e os ângulos 
simétricos a eles são representados como um par ordenado (cosseno, seno). 
12 
 
3.1.4. Funções trigonométricas 
Temos como principais funções trigonométricas: seno e cosseno. Elas são conhecidas como 
funções periódicas porque, de período em período, o gráfico comporta-se de forma simétrica. 
Quando construímos o ciclo trigonométrico, é possível, para todo valor de x no intervalo [0, 
2π], encontrar um ponto que represente esse valor. Sendo assim, cada número é associado a um 
ponto no plano trigonométrico. 
Função seno 
Dado um número x pertencente ao conjunto dos números reais e A como o ponto que 
representa sua imagem no ciclo trigonométrico, definimos como função seno a função descrita pela 
lei de formação f(x) = sen (x), com domínio e contradomínio em R. 
O valor de x é o ângulo, podendo ser trabalhado em radianos ou em graus. O gráfico da função 
seno é conhecido como senoide. 
 
Analisando o gráfico, note que a imagem da função está sempre contida no intervalo [-1,1], já 
que o valor do seno nunca ultrapassa 1. Isso se deve ao fato da construção do círculo trigonométrico 
ter raio 1. Note que, após 2π, o gráfico volta ao mesmo comportamento. 
Função cosseno 
A função cosseno está definida nos mesmos parâmetros que a função seno, é uma função de 
R em R, cuja lei de formação é f (x) = cos (x). A diferença está somente nas imagens para os valores de 
x, e, ainda, a função cosseno tem um comportamento cíclico muito parecido com a função seno, com 
imagem limitada ao intervalo [-1, 1]. Seu gráfico é conhecido como cossenoide. 
 
3.1.5. Identidades trigonométricas 
As identidades trigonométricas são fórmulas que relacionam as razões trigonométricas. Essas 
identidades são utilizadas para resolução de problemas envolvendo trigonometria. 
Relação fundamental da trigonometria 
Relaciona os valores do seno e do cosseno dado um mesmo ângulo, com base no teorema de 
Pitágoras. 
sen²x + cos² x = 1 
13 
 
Funções inversas 
São conhecidas, respectivamente, como cossecante, secante e cotangente e são identidades 
importantes da trigonometria. 
 
Identidades associadas à simetria 
Devido à simetria das funções, temos que: 
 sen ( -x) = -sen (x) 
 cos (-x) = cos (x) 
 tan (-x) = -tan (x) 
3.1.6. Funções reversas 
São as funções que permitem o cálculo do ângulo correspondente ao valor de uma função 
trigonométrica. Exemplos: 
sin 1/2 = 30 
 
Estas funções permitem os cálculos dos ângulos correspondentes aos valores das razões entre 
os lados do triângulo retângulo. 
3.1.7. Usos da trigonometria 
A trigonometria pode ser aplicada em qualquer situação que envolva triângulos, retângulos 
ou não. Nos triângulos não retângulos, utilizamos o que conhecemos como lei dos senos e lei dos 
cossenos. Há aplicações em diversas situações de cálculo de distâncias inacessíveis, e aplicações para 
o estudo de ondas utilizando-se as funções seno e cosseno. 
Ao longo da história, as primeiras aplicações da trigonometria que se destacam foram nas 
navegações e também na astronomia. Hoje existem aplicações dela nas engenharias, arquitetura, 
programação, no estudo de movimentos na física (como movimento inclinado, força de atrito, e 
qualquer situação que envolva vetores), entre outras áreas. 
Na física, a trigonometria é essencial para o estabelecimento de diversos modelos 
matemáticos. 
14 
 
3.1.8. Exercícios 
 
15 
 
 
16 
 
 
17 
 
 
 
4. CLASSES DE SOLICITAÇÕES 
Quando um sistema de forças atua sobre um corpo, o efeito produzido é diferente segundo a 
direção e sentido e ponto de aplicação destas forças. Os efeitos provocados neste corpo podem ser 
classificados em esforços normais ou axiais, que atuam no sentido do eixo de um corpo, e em esforços 
transversais, atuam na direção perpendicular ao eixo de um corpo. Entre os esforços axiais temos a 
tração, a compressão e a flexão, e entre os transversais, o cisalhamento e a torção. Quando as forças 
agem para fora do corpo, tendendo a alongá-lo no sentido da sua linha de aplicação, a solicitação é 
chamada de TRAÇÃO; se as forças agem para dentro, tendendo a encurtá-lo no sentido da carga 
aplicada, a solicitação é chamada de COMPRESSÃO - Figura 4.1. 
 
18 
 
 
Figura 4.1- a) Pés da mesa estão submetidos à compressão; b) Cabo de sustentação submetido à tração. 
A FLAMBAGEM é um fenômeno que ocorre quando um corpo considerado esbeldo é sujeito 
a um esforço de compressão. A flambagem acontece quando a peça sofre flexão transversalmente 
devido à compressão axial. A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode 
perder sua estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento. 
 
A FLEXÃO é uma solicitação transversal em que o corpo sofre uma deformação que tende a 
modificar seu eixo longitudinal – Figura 4.2 . 
 
 
Figura 4.2 - - Viga submetida à flexão. 
A solicitação de CISALHAMENTO é aquela que ocorre quando um corpo tende a resistir a ação 
de duas forças agindo próxima e paralelamente, mas em sentidos contrários – Figura 4.3. 
19 
 
 
Figura 4.3 - Rebite submetido ao cisalhamento. 
A TORÇÃO é um tipo de solicitação que tende a girar as seções de um corpo, uma em relação 
à outra – Figura 4.4 . 
 
 
Figura 4.4- Ponta de eixo submetida à torção. 
Um corpo é submetido a SOLICITAÇÕES COMPOSTAS quando atuam sobre eles duas ou mais 
solicitações simples – Figura 4.5 . 
 
 
Figura 4.5- Árvore de transmissão: Flexão-torção. 
20 
 
5. Cálculo de reações 
A determinação do comportamento de sistemas mecânicos que estejam sob a ação de 
esforços mecânicos depende da determinação das reações a estes esforços, observadas nos apoios 
do sistema. Esta parte do curso trata deste procedimento. Para tanto, será primeiramente realizada 
uma revisão dos conceitos chave, necessários para o bom entendimento dos procedimentos 
adotados. 
5.1. Forças 
O conceito de força é introduzido na mecânica em geral. As forças mais conhecidas são os 
pesos, que tem sempre sentido vertical para baixo, como por exemplo, o peso próprio de uma viga, 
ou o peso de uma laje sobre esta mesma viga. 
As forças podem ser classificadas em concentradas e distribuídas. Na realidade todas as forças 
encontradas são distribuídas, ou seja, forças que atuam ao longo de um trecho, como os exemplos 
citados anteriormente e ainda em barragens, comportas, tanques, hélices etc. Quando um 
carregamento distribuído atua numa região de área desprezível, é chamado de força concentrada. A 
força concentrada, tratada como um vetor, é uma idealização, que em inúmeros casos nos traz 
resultados com precisão satisfatória. No estudo de tipos de carregamentos, mais a diante, 
retornaremos a este assunto. 
No sistema internacional (SI) as forças concentradas são expressas em Newton [N]. As forças 
distribuídas ao longo de um comprimento são expressas com as unidades de força pelo comprimento 
[N/m], [N/cm], [N/mm] etc. 
A força é uma grandeza vetorial que necessita para sua definição, além da intensidade, da 
direção, do sentido e da indicação do ponto de aplicação – Figura 5.1. 
 
Figura 5.1 – Representação de uma força 
Duas ou mais forças constituem um sistema de forças, sendo que cada uma delas é chamada 
de componente. Todo sistema de forças pode ser substituído por uma única força chamada resultante, 
que produz o mesmo efeito das componentes. 
Quando as forças agem numa mesma linha de ação são chamadas de coincidentes. A 
resultante destas forças terá a mesma linha de ação das componentes, com intensidade e sentido 
igual à soma algébrica das componentes. 
Exemplo 3.1 
Calcular a resultante das forças F1 = 50N, F2 = 80 N e F3 = 70 N aplicadas no bloco da figura 
abaixo 
 
21 
 
Sendo dada uma força F num plano “xy”, é possível decompô-laem duas outras forças Fx e Fy, 
como no exemplo abaixo: 
 
Da trigonometria sabemos que: 
 
então, para o exemplo acima, temos: 
 
portanto: 
 
Exemplo 3.2 
Calcular as componentes horizontal e vertical da força de 200N aplicada na viga conforme 
figura abaixo. 
 
22 
 
Analisando-se a figura acima, pode-se notar que a força F pode ser decomposta em duas 
componentes, aqui denominadas Fx e Fy, as quais, se somadas vetorialmente, resultarão na própria 
força F. 
Este caminho de decomposição de uma força em componentes pode ser feito com qualquer 
valor de inclinação em relação a uma dada direção de referência. No caso acima, a direção de 
referência é a horizontal, mas poderia ser a vertical ou outra qualquer. Ainda com relação ao dado 
exemplo, a inclinação é o próprio ângulo de 60o. Para concluir a análise, cita-se ainda que o processo 
de decomposição pode ser invertido, isto é, conhecendo-se as componentes, pode-se chegar ao 
módulo, direção, sentido e ponto de aplicação de uma determinada resultante. 
Este tipo de análise é válido para toda e qualquer grandeza vetorial e está intimamente ao uso 
da trigonometria. Daí a grande importância do domínio desta ferramenta matemática. 
5.2. Momento Estático 
Seja F uma força constante aplicada em um corpo, d a distância entre o ponto de aplicação 
desta força e um ponto qualquer P. Por definição, o momento “M” realizado pela força F em relação 
ao ponto P é dado pelo seguinte produto vetorial: 
 
Exemplo 3.3 
Calcular o momento provocado na alavanca da morsa, durante a fixação da peça conforme 
indicado na figura abaixo: 
 
5.3. Equilíbrio 
Para que um corpo esteja em equilíbrio é necessário que o somatório das forças atuantes e o 
somatório dos momentos em relação a um ponto qualquer sejam nulos. 
 
Exemplo 3.4 
23 
 
Calcular a carga nos cabos que sustentam o peso de 4 kN, como indicado nas figuras: 
 
 
 
5.4. Alavancas 
De acordo com a posição do apoio, aplicação da força motriz (FM) e da força resistente 
(FR), as alavancas podem ser classificadas como: 
 
A relação entre estas forças e os braços (motriz e resistente) das alavancas apresentadas, de 
acordo com a terceira equação de equilíbrio apresentada no item anterior é: 
 
5.5. Exercícios 
1. Calcular a carga nos cabos que sustentam os pesos nas figuras abaixo: 
 
A – 
24 
 
 
B – 
 
C – 
 
D – 
 
2. A ilustração abaixo mostra um sistema configurado para erguer dutos de grande porte, 
sabendo que cada duto pesa em média F Kg e o ângulo θ mede aproximadamente 45º, 
calcule a força nos cabos BA e CA. 
 
3. Calcule as reações nos apoios A e B mostrados no esquema abaixo, sabendo que o 
corpo está em equilíbrio. 
25 
 
 
4. A figura abaixo mostra uma junta rebitada, composta por dois rebites do mesmo 
diâmetro. Determine as forças horizontais e verticais atuantes nos rebites. 
 
5. Classifique o tipo de alavanca e calcule a força necessária para mantê-las em equilíbrio. 
 
A – 
 
B – 
 
C – 
 
D – 
26 
 
 
6. Determine as cargas axiais atuantes nas barras das construções apresentadas a seguir. 
Carga P=30kN. Calcule também as componentes vertical e horizontal das reações nos 
pontos A e B. 
a. 
 
 
b. 
 
6. FLEXÃO 
A flexão é uma combinação de esforços de tração e compressão, que envolve o conceito de 
linha ou plano neutro. Seu conceito é visto a seguir. 
6.1. Compreensão do conceito 
Definimos como flexão a solicitação que provoca, ou tende a provocar, curvatura nas peças. 
O esforço solicitante responsável por este comportamento é chamado de momento fletor, podendo 
ou não ser acompanhado de esforço cortante e força normal – Figura 6.1. 
 
Figura 6.1 – Viga em flexão. 
A flexão é provavelmente o tipo mais comum de solicitação produzida em componentes de 
máquinas, os quais atuam como vigas quando, em funcionamento, transmitem ou recebem esforços. 
27 
 
6.2. Vigas 
Estrutura linear que trabalha em posição horizontal ou inclinada, assentada em um ou mais 
apoios e que tem a função de suportar os carregamentos normais à sua direção (se a direção da viga 
é horizontal, os carregamentos são verticais). 
Muitos problemas envolvendo componentes sujeitos à flexão podem ser resolvidos 
aproximando-os de um modelo de viga, como mostra o exemplo abaixo – Figura 6.2: 
 
Figura 6.2- (a) Talha transportadora; (b) o problema representado por um modelo de viga. 
A Figura 6.2 mostra que um modelo de viga apresenta elementos que a definem, tais como os 
apoios e carregamento suportado. Estes elementos podem variar a cada modelo, e por isso são 
classificados quanto: 
 Posição , 
 Formato e 
 Seção transversal 
 
Figura 6.3 – Vigas na posição (a) horizontal, (b) inclinada e (c) vertical 
 
Figura 6.4 – Vigas (a) reta, (b) angular e (c) curva. 
28 
 
 
 
Figura 6.5 – Perfis estruturais: (a) perfil T, tubular, perfil C ou U e perfil L ou cantoneira; (b) Perfil I ou duplo T, 
retangular e quadrado vazado. Em (c) perfil composto e em (d) treliça. 
6.3. Apoios 
São componentes ou partes de uma mesma peça que impedem movimento em uma ou mais 
direções. Existem três possibilidades de movimento: lateral, vertical e rotação. E as reações nos apoios 
vão depender justamente do grau de liberdade que cada apoio oferece. Veja tabela abaixo com a 
classificação dos apoios: 
6.3.1. Classificação 
Os apoios são classificados em: móvel, fixo ou engaste. A ilustra a simbologia, os gráus de 
liberdade e as reações associadas. 
 
Figura 6.6 – Tipos de apoio, simbologia e graus de liberdade associados. 
6.4. Cargas – concentradas e distribuídas 
Podem existir carregamentos concentrados ou distribuídos. No primeiro caso, a força aplicada 
a uma parcela desprezível é idealizada e se considera um carregamento concentrado num dado ponto. 
No segundo caso, a força é aplicada sobre uma porção considerável da viga (ex.: mercadorias 
empilhadas sobre uma viga). Para fins de cálculo de reações, um carregamento distribuído pode ser 
29 
 
substituído por uma força concentrada equivalente, doravante chamada “resultante”. A carga 
distribuída pode ser associada a uma área representativa. O valor desta área equivale à magnitude da 
força concentrada equivalente e essa resultante atua no Centro de Gravidade da referida área. 
O centro de gravidade ou baricentro de um corpo é o ponto sobre o qual age a força de 
gravidade de todo o corpo formado por um conjunto de partículas. Para corpos que formam figuras 
simétricas e uniformes, coincide com o centro geométrico, podendo estar dentro ou fora da massa do 
corpo. É muito importante em operações de içamento, por exemplo, nas quais o cabo ou apoio deve 
agir numa direção que contenha o C.G., não necessariamente agindo sobre o mesmo, de forma direta. 
A Figura 6.7 ilustra auxilia na localização do centro de gravidade para as principais figuras 
planas. As coordenadas (xg, yg) correspondem a localização do centro de gravidade em relação ao 
sistema de coordenadas mostrado. 
 
Figura 6.7 – Centro de gravidade de figuras conhecidas. 
 
 
No exemplo a seguir – Figura 6.8 – é mostrada uma carga distribuída de valor constante e igual 
a q. Esta carga atua ao longo de um comprimento l. Logo, de acordo com o que foi aqui colocado, esta 
carga distribuída pode ser substituída por uma carga concentrada equivalente, que atuará no centro 
de gravidade de figura. 
 
Figura 6.8 – Carregamento distribuído. 
Na Figura 6.9, é mostrado que o valor da intensidade será, portanto, o produto q*l e o ponto 
de aplicação, estará em l/2. Por análise simples desta figura, pode-se verificar que a resultante terá 
direção vertical e sentido para baixo. Note que, à direita, é mostrada a convenção de sinais, a qual não 
precisa ser necessariamente representada, neste momento. Esta figura é chamada Diagrama de Corpo 
Livre – DCL – e é de grande importância para a resolução dos problemas relacionados à resistência dos 
materiais. 
30 
 
 
Figura 6.9 – Resultante e cálculo das reações nos apoios.Na Figura 6.9 são também mostradas as reações nos apoios, que podem ser facilmente 
calculadas com a aplicação das leis do equilíbrio, como mostrado a seguir: 
 
O mesmo raciocínio pode ser seguido para analisar a Figura 6.10. Neste caso, a área 
representativa tem seu valor equivalente à metade do retângulo, isto é, q*l/2. 
 
Figura 6.10 – Carga distribuída não uniforme. 
Note-se que, agora, a posição do ponto de aplicação se dá numa posição que difere do centro, 
como no exemplo anterior, que apresentava carga distribuída de modo uniforme. A posição do centro 
de gravidade, neste caso, é de 1/3 do comprimento l, da direita para a esquerda – Figura 6.9. Note-se 
que estes valores do centro de gravidade, são bem conhecidos - Figura 6.7. 
Da mesma forma que no exemplo anterior, pode=se agora calcular as reações – Figura 6.11 
 
Figura 6.11 – Reações nos apoios com carga distribuída não uniforme. 
Da mesma maneira que no exemplo anterior, as resultantes podem ser finalmente calculadas, 
empregando-se as equações de equilíbrio, como mostrado a seguir: 
31 
 
 
6.5. Momento Fletor 
O momento é definido como o produto vetorial da força aplicada em um sistema rotacional 
pela distância até o eixo de rotação. Imagine uma linha reta e paralela a força considerada e que passe 
pelo centro de giro do sistema - Figura 6.12. Agora, imagine uma outra linha reta, que contenha o 
vetor força considerado. A distância a ser levada em consideração no cálculo da intensidade do 
momento é ortogonal a estas duas linhas retas. Note, além disto, que estas linhas apresentam a 
mesma direção. 
 
Figura 6.12 – F1 e F2 são forças que causam um momento resultante M. 
Note-se que M é o resultante dos momentos M1, causado por F1 com M2, causado por M2. 
Se for possível a rotação, o sistema descrito rotacionará ao redor do eixo de giro. Caso não 
seja, qual será o efeito? 
A resposta é a flexão, isto é a formação de uma “barriga”, que deve sumir se cessados os 
esforços. O momento fletor é um tipo de momento que causa a flexão em sistemas rígidos. A deflexão 
é o nome da deformação causada. O deslocamento vertical causado é chamado de flecha. A flecha, 
por sua vez, aumenta de zero, nos locais de apoio, para os valores máximos, normalmente distantes 
dos pontos de apoio. No caso da Figura 6.13, uma viga simétrica bi apoiada, os valores da flecha variam 
de zero, nas bordas, para o valor máximo, no centro 
 
 
Figura 6.13 – A deflexao em viga bi apoiada. 
7. Diagrama momento fletor e esforço cortante 
Os diagramas de esforço cortante e de momento fletor são utilizados para identificação da 
seção crítica, numa barra. Uma ver conhecida esta seção, pode-se partir para o dimensionamento da 
mesma. É um método simples, porém trabalhoso e repetitivo. Por isto, deve ser analisado e treinado 
com atenção. 
Veja o exemplo abaixo 
32 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
39 
 
 
40 
 
 
 
41 
 
 
7.1. Exercícios 
 
1) Determinar as reações na viga a seguir 
a) 
 
42 
 
b) 
 
c) 
d) 
2) Determinar os esforços solicitantes M e V para a viga. 
 
 
 
 
43 
 
ANEXO A – PROPRIEDADES MECÂNICAS 
 
 
44