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Medição e Incertezas
Maria Luiza Possamai Moraes
Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento das Engenharias
Blumenau, Brasil
Resumo—Este trabalho irá apresentar cálculos de incerteza
expandida de uma grandeza encontrada na medição de defor-
mação e do resultado de medição da temperatura utilizando um
dispositivo Pt100. Também apresenta simulações em LTSpice e
Python.
Palavras-chaves—Metrologia, Medição, Incertezas, Deforma-
ção, PT100.
I. MEDIÇÃO DE DEFORMAÇÃO
A primeira parte desse trabalho contém um circuito com
quatro extensômetros (Figura 1) que é utilizado para medir
deformação, onde todos os extensômetros apresentam as mes-
mas características, ou seja, a variação de temperatura não
afeta o valor de V0.
Figura 1: Sistema de medição de deformação.
Serão fabricados diversos circuitos seguindo o esquemático
apresentado na Figura 1. Ainda, sobre esse circuito são apre-
sentados os valores e as respectivas incertezas das grandezas
do circuito:
• Vin = (5,00 ± 0,025) V, com PDF uniforme.
• Ri = R0i (1+Giei), com R0i = (120,00 ± 0,12)Ω e Gi =
2,10 ± 0,10
• Tração de e2 = e3 = 10−3
• Compressão de e1 = e4 = -10−3
• Todas as grandezas (R0i , Gi, Vin) são independentes e
seguem uma PDF uniforme, ou seja, a incerteza padrão
de cada grandeza é ug =Ug/
√
3, com Ug representando a
incerteza expandida da grandeza em questão.
Para encontrar a incerteza expandida de V0, temos que
lembrar que:
V0 = V in(
R2
R1 +R2
− R4
R3 +R4
) (1)
Ainda, deve ficar claro que a incerteza expandida de V0 é
dada por:
U(V 0) = tu(V 0) (2)
onde t é o coeficiente de Student e u(V0) é a incerteza
padrão de V0.
Inicialmente é necessário que sejam calculados os valores
dos resistores R1, R2, R3 e R4 que compõem o circuito da
Figura 1.
Para isso, temos:
Ri = R0i(1 +Giei) (3)
R2 = R3 = (120, 00± 0, 12)(1 + (2, 10± 0, 10)10−3) (4)
R2 = R3 = (120, 252± 0, 000012) (5)
Da mesma forma, encontrou-se R1 e R4:
R1 = R4 = (120, 00±0, 12)(1+(2, 10±0, 10) ·−10−3) (6)
R1 = R4 = (120, 9979± 0, 1199) (7)
Assim, temos, substituindo os valores dos resistores na
equação (1):
V 0 = −0, 015459V (8)
Sabendo que a incerteza padrão de R0i , Gi e Vin é dada
por:
ug =
Ug√
3
(9)
Temos, portanto que:
u(R0i) =
0, 12√
3
= 0, 0693 (10)
u(Gi) =
0, 10√
3
= 0, 0577 (11)
2
u(V in) =
0, 025√
3
= 0, 0144 (12)
Como as incertezas medidas são independentes, temos que
a incerteza padrão de V0 é dada por:
u(V 0) =
√
(
∂V 0
∂R0i
u(R0i))2 + (
∂V 0
∂Gi
u(Gi))2 + (
∂V 0
∂V in
u(V in))2
(13)
onde:
∂V 0
∂R0i
= 0 (14)
∂V 0
∂Gi
= 0 (15)
∂V 0
∂V in
=
R2
R1 +R2
− R4
R3 +R4
= −0, 0030918 (16)
Sendo assim:
u(V 0) = 0, 0000445 (17)
Agora, considerando um número infinito de amostras, temos
que o coeficiente de Student é t = 2, assim, temos:
U(V 0) = tu(V 0) = 2 · 0, 0000445 = 0, 0000890 (18)
Portanto, temos por fim:
V 0 = (−0, 015459± 0, 000089) (19)
Desenvolveu-se uma simulação de Monte Carlo com 1000
realizações utilizando o software LTSpice (Figura 2) como
meio de comprovação da incerteza expandida de V0. A
simulação obtida pode ser vista na Figura 3.
Figura 2: Circuito desenvolvido para Simulação.
Figura 3: Simulação obtida.
Nota-se que os valores obtidos para V0 a partir da simulação
não estão dentro da faixa de incerteza expandida calculada
para a tensão V0. Isso pode ter ocorrido por erros de cálculos
e/ou erros no momento da simulação.
Apesar disso, ainda, desenvolveu-se um histograma dos
valores de V0 - V0nominal para visualizar da melhor forma
o resultado via simulação da incerteza expandida de V0. Para
isso, utilizou-se o software Spyder e a biblioteca Pandas. O
resultado pode ser visto na Figura 4:
Figura 4: Histograma de V0 - V0nominal
Nota-se a partir do histograma que a maioria dos valores es-
tão fora da área de incerteza expandida calculada teoricamente.
Entende-se que não foram encontrados os resultados esperados
e isso pode ser explicado conforme dito anteriormente por
erros de cálculos ou problemas com a simulação.
II. MEDIÇÃO COM PT100
Nessa parte do trabalho é considerado um circuito com
PT100 de 4 fios, que é usado para obter a temperatura de
um processo ao longo de 60 minutos. O circuito usado na
medição é apresentado na Figura 5.
Figura 5: Medição de temperatura com Pt100.
O objetivo aqui é determinar o resultado da medição da
temperatura do processo. Para isso, são feitas algumas consi-
derações:
• valor da fonte de corrente é I = (1 ± 0,05) mA, com PDF
gaussiana;
• Para a faixa de temperatura em questão, pode-se assumir
que RT = R0(1 + αT)Ω, onde T representa a temperatura
em ◦C;
• R0 = (100 ± 0)Ω e α = (3,85 ± 0)·10−3 ºC−1
3
• Foram obtidas 60 medidas de V0 (uma medida por
minuto), as quais são apresentadas em anexo no arquivo
tensao_pt100.csv;
• A resolução do voltímetro é 0,2% do VFE (valor de fundo
de escala), sendo que a faixa de medição do voltímetro
é ± 1 V;
• A temperatura do processo varia ao longo das medições
(mensurando variável);
Utilizando o software Spyder em conjunto com a biblioteca
Pandas, foi obtido, inicialmente os valores médios e a incerteza
padrão (código em anexo), respectivamente:
I = V 0med = 0, 1309V (20)
σ = 0, 0022 (21)
Para encontar o o resultado da medição (RM) da tempera-
tura do processo, antes é preciso que seja obtido o resultado
de base (RB) e a incerteza de medição (IM).
Para o esquemático apresentado na Figura X, V0 é dado
pela Lei de Ohm:
V 0 = RT · I (22)
Sabendo que RT foi especifcado nas considerações, tem-se:
V 0 = R0(1 + αT ) · I (23)
Reorganizando os termos:
T =
V 0−R0I
R0Iα
(24)
Com a equação (5), basta agora que sejam substituídos os
valores nominais, de acordo com o código anexado, obtendo
dessa forma:
T = 80, 2734 (25)
A incerteza combinada para esse caso é dada por:
u(V 0) =
√
u(I)2 + u(Vvolt)
2 (26)
onde u(I) é a repetibilidade do sistema e u(Vvolt) é a
incerteza padrão do voltímetro, que por sua vez é dada por:
u(Vvolt) =
R/2√
3
= 0, 00058 (27)
Assim, a incerteza combinada de V0 é dada por:
u(V 0) = 0, 00229 (28)
Verifica-se que as incertezas medidas são independentes,
então, pode-se calcular a incerteza de V0 da seguinte forma:
u(T ) =
√
(
∂T
∂V0
u(V0))2 + (
∂T
∂I
u(I))2 (29)
onde:
∂T
∂V0
=
1
R0Iα
= 2597, 4026 (30)
∂T
∂I
=
−V0
R0I2α
= −340013, 6585 (31)
A incerteza padrão da corrente é dada por uma PDF
gaussiana e, portanto, é dada por:
u(I) =
0, 05 · 10−3
2
= 2, 5 · 10−5 (32)
Dessa forma, tem-se que a incerteza padrão de T é:
u(T ) = 10, 369429 (33)
É necessário, nesse momento encontrar o grau de liberdade
eficaz, para portanto, verificar a incerteza expandida.
Como V0 e I possuem dimensões diferentes, é necessário
que os valores são corrigidos para valores adimensionais da
seguinte forma:
uR(V0) =
u(V0)
V0
= 0, 017466 (34)
uR(I) =
u(I)
I
= 0, 025 (35)
Assim, com os valores adimensionais definidos, a equação
para obter o grau de liberdade eficaz é dada por:
uR(T )
4
uef
=
uR(V0)
4
uV0
+
uR(I)
4
uI
(36)
A partir da equação (17), obtem-se um grau de liberdade
infinito e portanto, pode-se considerar que a constante de
Student será t = 2.
Assim, a incerteza expandida é dada por:
U(T ) = tu(T ) = 2 · 10, 37 = 20, 74 (37)
Portanto, o resultado de medição da temperatura do processo
é:
T = (80± 21) (38)
Percebe-se que a incerteza expandida da segunda parte desse
trabalho é bem maior que o encontrado na primeira parte, já
que as incertezas padrão também são. Isso deve ocorrer por
conta da própria característica da equação da temperatura, que
ao ser derivada parcialmente resulta em valores altos.