LISTA_03_MHS

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Universidade Federal do Ceará – UFC 
Centro de tecnologia – CT 
Dep. de Integração Acadêmica – DIATEC 
Lista de Exercícios – MHS 
Prof. Luís Gonzaga 
 
1. A equação horária da posição do MHS é dada por: X(t) = 
XM cos (ωt + ϕ), onde XM é a amplitude, ω a frequência 
angular e ϕ a constante de fase. Mostre que as 
constantes XM e ϕ, para um dado MHS, são 
determinadas pelas condições iniciais X(0) e V(0), ou 
seja, mostre que: 𝑋𝑀 = √𝑋(0)
2 + 𝑉(0)
2
𝜔2
 e 𝜑 =
tan−1 (−
𝑉(0)
𝜔𝑋(0)
), onde X(0) e V(0) são, respectivamente, 
a posição e velocidade no instante t = 0. 
2. A figura 2 mostra um sistema bloco – mola, de 
constante k = 100 N/m e massa m = 4,00 Kg. O bloco 
encontra – se inicialmente em repouso em sua posição 
de equilíbrio. Encontre as equações da posição e 
velocidade do MHS nos seguintes casos. (a) Você puxa o 
bloco para a direita, esticando a mola de 2,00 m e em 
seguida o abandona. (b) Você puxa o bloco para a 
direita, esticando a mola de 2,00 m e em seguida o 
empurra para a esquerda com uma velocidade inicial de 
10,0 m/s. (c) Você empurra o bloco para a direita a 
partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade 
inicial de 12,0 m/s. 
 
3. (a) Com a hipótese de não – deslizamento determine a 
massa m do bloco que deve ser colocado sobre o 
carrinho de 6,00 kg de modo que o período do sistema 
seja de 0,75 s, figura 03. (b) Qual é o coeficiente de 
atrito estático mínimo µ para o qual o bloco não 
deslizará em relação ao carrinho se este é deslocado de 
50,0 mm em relação à sua posição de equilíbrio? 
 
4. Uma pequena partícula de massa m é fixa a dois cabos 
tensos, conforme mostra a figura 04. Determine a 
frequência angular do sistema para pequenas oscilações 
verticais se a tração T atuante em ambos os cabos for 
considerada constante. 
 
5. Um pequeno bloco de 0,10 kg executa um MHS na 
extremidade de uma mola horizontal de constante k = 
300 N/m. Quando o bloco está a uma distância de 0,012 
m da posição de equilíbrio verifica – se que ele possui 
uma velocidade de 0,300 m/s. Qual é (a) a energia 
mecânica do sistema? (b) a amplitude do movimento? 
(c) a velocidade máxima atingida pelo bloco? 
6. Um balde de massa igual a 2,0 Kg contendo 10,0 Kg de 
água está pendurado em uma mola vertical ideal de 
constante 125 N/m e oscilando verticalmente com uma 
amplitude igual a 3,00 cm. De repente, surge um 
vazamento no fundo do balde de tal modo que a água 
escoa à taxa constante de 2,0 g/s. Quando o balde 
estiver cheio até a metade, ache (a) o período de 
oscilação e (b) a taxa em que o período está variando 
em relação ao tempo. (c) Qual é o período mais curto 
que esse sistema pode ter? 
7. Uma expressão aproximada para a energia potencial de 
uma molécula de KCl é 𝑈 = 𝐴[(𝑅0
7/8𝑟8) − 1/𝑟], onde 
R0 = 2,67 x 10 - 10 m e A = 2,31 x 10 – 28 J∙m. Usando essa 
aproximação: (a) mostre que o componente radial da 
força sobre cada átomo é dado por 𝐹𝑟 = 𝐴[𝑅0
7/𝑟9 −
1/𝑟2]. (b) Mostre que R0 é a separação de equilíbrio. (c) 
Ache a energia potencial mínima. (d) Faça r = R0 + x e 
use os dois primeiros termos do teorema binomial (vê 
apêndice E/Resnick/8ª edição) para demonstrar que 
𝐹𝑟 = −𝑘𝑥, onde 𝑘 = 7𝐴 𝑅0
3⁄ é a constante de força. 
8. Um bloco de massa M = 5,4 kg, em repouso sobre uma 
mesa horizontal sem atrito, está ligado a um suporte 
rígido através de uma mola de constante k = 600 N/m, 
figura 08. Uma bala de massa m = 9,5 g e velocidade de 
módulo v = 630 m/s atinge o bloco e fica retido nele. 
Supondo que a compressão da mola é desprezível até a 
bala se alojar no bloco, determine (a) a velocidade do 
bloco imediatamente após a colisão e (b) a amplitude 
mo MHS resultante. 
 
9. Um bloco de 4,00 kg está suspenso por uma mola com k 
= 500 N/m. Uma bala de 50,0 g é disparada 
verticalmente contra o bloco, de baixo para cima, com 
uma velocidade de 150 m/s, e fica alojada no bloco. (a) 
determine a amplitude do MHS resultante. (b) Que 
porcentagem da energia cinética original da bala é 
transferida para a energia mecânica da oscilação? 
10. Na vista superior da figura 10 uma barra longa e 
uniforme de massa 0,600 Kg está livre para girar em um 
plano horizontal em torno de um eixo vertical que passa 
pelo seu centro. Uma mola de constante elástica k = 
1850 N/m é ligada horizontalmente entre uma das 
extremidades da barra e uma parede fixa. Quando a 
barra está em equilíbrio fica paralela à parede. Qual é o 
período das pequenas oscilações que acontecem 
quando a barra é girada ligeiramente e depois liberada? 
 
11. Uma barra de comprimento L = 2,00 m oscila como um 
pêndulo físico, figura 11. (a) Que valor da distância x 
entre o centro de massa da barra e o ponto de 
suspensão O corresponde ao menor período? (b) Qual é 
esse período? 
 
 
 
12. Uma roda pode girar livremente em torno do seu eixo 
fixo. Uma mola é presa a um dos raios a uma distância r 
do eixo, conforme mostra a figura 12. Supondo que a 
roda é um aro de massa m e raio R, qual é a freqüência 
angular das pequenas oscilações desse sistema em 
termos de m, R e r e da constante elástica k da mola? (b) 
Qual o valor da freqüência para r = R e r = 0? 
 
13. Uma placa retangular uniforme é posta a girar em um 
plano vertical em torno de um de seus vértices, 
conforme mostra a figura 13. Determine a freqüência 
angular para pequenas oscilações. 
 
14. Determine a expressão para a freqüência natural f para 
pequenas oscilações em torno do mancal O. A mola 
possui constante elástica k e seu comprimento é 
ajustado de modo que o braço esteja em equilíbrio na 
posição horizontal mostrada, figura 14. Despreze a 
massa da mola e a do braço quando comparada com a 
massa m. 
 
15. Na figura 15 um cilindro maciço preso a uma mola 
horizontal (k = 3,00 N/m) rola sem deslizar em uma 
superfície horizontal. Se o sistema é liberado a partir do 
repouso quando a mola está distendida de 0,250 m, 
determine (a) a energia cinética de translação e (b) a 
energia cinética de rotação do cilindro quando ele passa 
pela posição de equilíbrio. (c) mostre que, nessas 
condições, o centro de massa do cilindro executa um 
MHS de período 𝑇 = 2𝜋√3𝑀 2𝑘⁄ , onde M é a massa o 
cilindro. Sugestão: Calcule a derivada em relação ao 
tempo da energia mecânica total. 
 
16. Na figura 16 um cubo de 3,00 Kg tem aresta L = 6,00 cm 
e está montado em um eixo que passa pelo seu centro. 
Uma mola, de constante elástica k = 1200 N/m, liga o 
vértice superior do cubo a uma parede rígida. 
Inicialmente a mola está relaxada. (a) Se o cubo é girado 
de 3o e liberado, qual é o período do MHS resultante? 
(b) Quais os valores máximos da velocidade e aceleração 
angular do MHS resultante? 
 
17. Na figura 17 o bloco possui uma massa de 1,50 kg e a 
constante elástica é 8,00 N/m. A força de 
amortecimento é dado por 𝐹 = −𝑏𝑣, onde b = 0,230 
Kg/s. O bloco é puxado 12,0 cm para baixo e liberado. 
(a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das 
oscilações diminua para um terço do valor inicial. (b) 
Qual a energia perdida nesse intervalo de tempo? (c) 
Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de 
tempo? Considere o amortecimento pequeno. 
 
18. O sistema de suspensão de um automóvel de massa 2 
000 Kg “cede” 10,0 cm quando o chassi é colocado no 
lugar. Além disso, a amplitude das oscilações diminui de 
50% a cada ciclo. (a) Qual o valor da constante elástica 
k? (b) Encontre uma expressão para a constante de 
amortecimento b do sistema mola – amortecedor de 
uma das rodas em termos do período, da constante k e 
da massa m que cada roda sustenta. (c) Qual o valor da 
constante de amortecimento b? (d) Calcule b fazendo a 
seguinte aproximação: 𝜔′ ≅ 𝜔0, onde 𝜔0 = √𝑘 𝑚⁄ . 
19. Na figura abaixo três vagões de minério de 10 000 Kg 
cada um, são mantidos em repouso sobre os trilhos de 
uma mina por um cabo paralelo aos trilhos, que 
possuem uma inclinaçãoθ = 30o em relação à horizontal. 
O cabo sofre um alongamento de 15,0 cm 
imediatamente antes do engate entre os dois vagões de 
baixo se romper, liberando um deles. Supondo que o 
cabo obedece à lei de Hooke, determine para os vagões 
restantes (a) a frequência das oscilações e (b) a 
velocidade máxima do movimento dos dois vagões 
restantes. 
 
 
20. Na figura 20 o pêndulo é formado por um disco 
uniforme de raio r = 10,0 cm e 500 g de massa preso a 
uma barra uniforme de comprimento L = 50, 0 cm e 270 
g de massa. (a) calcule o momento de inércia em relação 
ao ponto de suspensão. (b) Qual é a distância entre o 
ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo? 
(c) Qual o período de oscilação? 
 
 
 GABARITO 
 
1. TEÓRICA 
2. 𝑥 = 2 cos(5𝑡) , 𝑣 = −10 sin(5𝑡); 𝑥 =
2√2 cos(5𝑡 + 𝜋 4⁄ ) , 𝑣 = −10√2 sin(5𝑡 + 𝜋 4⁄ ); 
𝑥 = 2,4 cos(5𝑡 + 3𝜋 2⁄ ) , 𝑣 = −12 sin(5𝑡 +
3𝜋 2⁄ ). 
3. 2,55 Kg; 0,358. 
4. 𝜔 = √
2𝑇
𝑚𝐿
. 
5. 0,0261J; 13,2 mm; 0,722J. 
6. 1,49s; 2,12 x 10 – 4 s/s; 0,795s. 
7. – 7,57 x 10 – 19 J. 
8. 1,1 m/s; 0,. 104m 
9. 0,166m; 1,23%. 
10. 0,0653s. 
11. 𝐿/√12; 2,16s. 
12. 𝜔 = √
𝑘𝑟2
𝑀𝑅2
; 𝜔 = √
𝐾
𝑀
; ZERO. 
13. 𝜔 =
√3𝑔/2
√𝑎2+𝑏2
4 . 
14. 𝑓 =
𝑏
2𝜋𝐿
√
𝑘
𝑚
. 
15. 0,0625J; 0,0312J. 
16. 0,18s. 
17. 14,3 s; 5,27 
18. 4,9 x 102 N/cm; 1086 Kg/s; 1,1 x 103 Kg/s. 
19. 1,1 Hz, Vmax = Xmax ω 
20. 0,205 Kg m2; 47,7 cm; 1,50s.