Transferência de Calor

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DESCRIÇÃO
Conceitos e mecanismos de transferência de calor; Lei de Fourier, Equação da Difusão e
solução de problemas unidimensionais; Lei do Resfriamento de Newton; método da capacidade
concentrada e correlações empíricas para o coeficiente de transferência térmica; resistência
térmica; noções de trocadores de calor; radiação de calor em corpo negro, corpo cinza e troca
de calor entre superfícies.
PROPÓSITO
Compreender os mecanismos de transferência de calor e as soluções para os principais tipos
de problemas encontrados na engenharia.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta, aplicativo de planilha eletrônica e
uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu smartphone ou computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Classificar os mecanismos de transferência
MÓDULO 2
Resolver problemas de condução de calor
MÓDULO 3
Resolver problemas de convecção de calor
MÓDULO 4
Resolver problemas de radiação de calor
APLICAÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE
CALOR
MÓDULO 1
 Classificar os mecanismos de transferência
VÍDEO COM AVALIAÇÃO
INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE
CALOR
A transferência de calor tem grande influência em diversos fenômenos que são de interesse da
engenharia. Desse modo, é fundamental que o engenheiro saiba classificar os seus
mecanismos, avaliando quais são os mais significativos e como calculá-los.
O termo calor se refere à energia térmica – agitação molecular – de uma quantidade de
matéria e se divide em dois tipos:
Calor latente
Corresponde à quantidade de energia necessária para provocar mudança de fase.

Calor sensível
Se traduz em variação de temperatura.
A transferência de calor é definida pela troca de calor de um corpo para outro, ou fluxo ao
longo do interior de um domínio – região de interesse, em que o fenômeno será analisado
QUANDO OCORRE A TRANSFERÊNCIA DE CALOR? É MAIS
FÁCIL RESPONDER O CONTRÁRIO, OU SEJA, QUANDO NÃO
OCORRE
Vejamos as duas condições:
SISTEMA ISOTÉRMICO
Todo domínio na mesma temperatura.
SISTEMA ADIABÁTICO
Sem troca de calor com o meio externo.
Essas duas condições são muito raras na natureza, portanto, quase sempre há alguma forma
de transferência de calor nos fenômenos que estudamos.
COMO CONSEQUÊNCIA, O ENGENHEIRO DEVE PERGUNTAR:
QUANDO A TRANSFERÊNCIA DE CALOR É RELEVANTE PARA
O MEU PROJETO E COMO DEVO CONSIDERÁ-LA?
Para responder a essa pergunta, é necessário mais conhecimento sobre transferência de calor,
o que veremos adiante.
CONSEQUÊNCIAS DA PRIMEIRA LEI DA
TERMODINÂMICA
Em decorrência da 1ª Lei da Termodinâmica, a relação entre o calor sensível
Q
javascript:void(0)
javascript:void(0)
absorvido e a variação de temperatura
provocada em materiais incompressíveis é dada por:
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é a massa analisada
(no S.I. (Sistema Internacional de Unidades) , J/kg.K) é o calor específico do respectivo
material.
Derivando os dois lados da Equação (1) em relação ao tempo, temos:
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é a taxa de transferência de calor (no S.I., em W/m²).
Em Fentran – Fenômenos de Transportes –, substituímos a massa por em que 
é a massa específica e é o volume:
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ΔT
Q = mcΔT
m
c
Q̇ = mc
dT
dt
Q̇ = dQ/dt
m = ρ V , ρ
( ρ = m / v ) V
Q̇ = ρ V  c dT
dt
FLUXO DE CALOR
Outra grandeza abordada neste tema é o fluxo de calor
, definido por
, sendo
o vetor unitário do sentido do calor e A a área atravessada. Observa-se que
é um escalar, e
é um vetor, cujo módulo é obtido por
.
 ATENÇÃO
A Equação (3), apesar da sua relevância, é insuficiente para resolver os problemas de
transferência de calor, quando não sabemos
nem
no interior de um domínio. Em outras palavras, temos duas incógnitas e apenas uma equação.
Para tornar o sistema do problema determinável, precisaremos de mais uma equação. Para
isso, é preciso conhecer o tipo de transferência de calor – condução, convecção ou radiação.
q̇
q̇ = →n
Q̇
A
→n
Q̇
q̇
q̇ = Q/A
Q̇
T
Vejamos, a seguir, como encontrar a solução para esse problema:
 EXEMPLO
QUAL É A POTÊNCIA NECESSÁRIA PARA UM
CHUVEIRO ELÉTRICO COM VAZÃO DE 0,15 L/S
AQUECER A ÁGUA DE 25 °C PARA 35 °C?
SOLUÇÃO:
Em 1 segundo, escoará 0,15L de água, o que corresponde a m = 0,15kg. De acordo com a 1ª
Lei da Termodinâmica:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O calor específico c da água, no S.I., é c = 4190 J/kg.K, de modo que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, no cálculo de variação de temperatura
, a variação de temperatura em °C (graus Celsius) é igual à variação em K (Kelvin).
O calor calculado corresponde a 1 segundo, de forma que a potência
será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Q = mcΔT
Q = 0, 15 ⋅ 4190 ⋅ (35 − 25) = 6, 3 kJ
(ΔT )
Ẇ
Ẇ = = = 6, 3 ⋅ 103 = 6300 W
Q
Δt
6, 3 ⋅ 103J
1 s
J
s
MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE
CALOR
CONDUÇÃO
A vibração das moléculas é transmitida para as moléculas vizinhas pelas forças de interação
intermoleculares. Para que ocorra a transferência de calor por esse processo, é necessário que
as moléculas estejam próximas e haja diferença de temperatura (vibração) entre elas.
Na figura abaixo, vemos o que acontece quando uma fonte quente é colocada próxima a um
grupo de moléculas.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento.
 Figura 1 - Condução de calor
O mecanismo pelo qual ocorre o transporte de uma grandeza quando há variação da
intensidade dela ao longo do espaço (gradiente) é chamado de difusão. No caso em estudo, a
grandeza é a temperatura, e o transporte de calor ocorre porque pontos vizinhos tem valores
diferentes de temperatura.
Condução é o processo de transferência de calor que ocorre apenas devido à difusão. Após
uma panela ficar muito tempo numa boca acesa de fogão, a haste também aquecerá, devido à
condução de calor ao longo dela.
CONVECÇÃO
O transporte de uma grandeza devido ao movimento macroscópico do meio é um mecanismo
denominado advecção. Isso significa que o calor – energia térmica – é transportado porque o
meio que o contém está se movendo, o que é comum em fluidos.
Convecção é o resultado do efeito combinado de advecção e difusão. Desse modo, o meio se
move, transportando consigo o calor, mas também ocorre transferência pela diferença de
temperatura entre pontos próximos. Um exemplo típico é o que ocorre em uma chaleira.
 
Imagem: Shutterstock.com
 Figura 2 - Convecção em uma chaleira
A convecção é natural nesse caso, pois o movimento do fluido se dá apenas pela diferença de
massa específica no meio, causada pelo aumento de temperatura (mais quente
menos denso).
Também existe a convecção forçada, quando um agente externo – por exemplo, um ventilador
– causa o movimento do fluido. A convecção forçada é mais eficaz do que a natural, já que o
aumento da velocidade intensifica a troca de calor. Por esse motivo, ao ligar um ventilador,
sentimos uma temperatura mais baixa.
RADIAÇÃO
→
Quando não há sólido nem fluido entre uma fonte quente e uma fonte fria, não é possível a
transferência de calor por condução nem por convecção. No entanto, o calor também pode ser
transportado pela radiação de ondas eletromagnéticas, que são emitidas pelos corpos.
Quanto mais quente o corpo estiver, mais intensa é essa radiação. Veremos, no Módulo 4, que
a emissão de calor de um corpo é proporcional
. Portanto, apesar de corpos em temperatura ambiente emitirem pouco calor, isso muda
bastante com o aumento da temperatura.
Recebemos toda a energia necessária para a vida na Terra por meio da radiação emitida pelo
Sol.
 
Imagem: Shutterstock.com
 Figura 3 - Radiação do Sol para a Terra
A radiação também é responsável pelo frio que sentimos na pele do rosto, ao nos
aproximarmos deum congelador aberto, e pela temperatura elevada, ao nos aproximarmos de
uma churrasqueira.
 RESUMINDO
Resumo
Condução – ocorre em um meio sólido, havendo apenas difusão.
T 4
Convecção – ocorre em um meio fluido, havendo difusão e advecção.
Radiação – ocorre entre dois corpos, em um meio em que as ondas eletromagnéticas
podem se propagar.
MECANISMOS COMBINADOS E EXEMPLOS
DE APLICAÇÃO
Definimos cada um dos tipos de transferência de calor, isoladamente. No entanto, é comum
que mais de um deles ocorram e sejam relevantes, simultaneamente.
O exemplo da panela no fogão, em uma visão mais abrangente, contempla a convecção que
ocorre na água no interior da panela, a condução ao longo da parede e haste, e a radiação
emitida para a cozinha.
 
Imagem: Shutterstock.com
 Figura 4 - Exemplo de condução, convecção e radiação simultâneas em uma panela
Veremos, a seguir, alguns exemplos de problemas de transferência de calor abordados na
engenharia e os respectivos mecanismos relevantes:
TROCADORES DE CALOR
Nesses dispositivos, ocorre a convecção no fluido e a condução nas suas paredes.
 
Foto: Shutterstock.com
 Figura 5 - Radiador (trocador de calor) de automóveis
ISOLAMENTO TÉRMICO
Para avaliar a eficiência do isolamento, devemos considerar a:
Condução ao longo da parede do tubo e isolante;
Convecção entre as superfícies e fluidos;
Radiação emitida e recebida.
 
Foto: Shutterstock.com
 Figura 6 - Isolamento térmico de tubulação
REFRIGERAÇÃO
Na refrigeração, são relevantes a convecção no ar e no fluido refrigerante – gás do compressor
–, bem como a condução através das paredes dos dutos, ambientes e refrigeradores.
 
Foto: Shutterstock.com
 Figura 7 - Refrigeração industrial
METEOROLOGIA E OCEANOGRAFIA
É necessário analisar os movimentos dos oceanos e das massas de ar, quentes e frias,
considerando a convecção, além da radiação recebida do sol e emitida entre elas.
 
Foto: Shutterstock.com
 Figura 8 - Transferência de calor na atmosfera e oceanos
CONCRETAGEM DE GRANDES VOLUMES
O processo de cura do concreto envolve a geração de calor que deve ser conduzido e
dissipados por convecção nas superfícies.
 
Foto: Shutterstock.com
 Figura 9 - Calor em barragens
DESEMPENHO TÉRMICO DE EDIFICAÇÕES
Para calcular a eficiência das paredes, é necessário considerar a condução de calor, ao
atravessá-las, e a convecção das superfícies com o ar.
 
Foto: Shutterstock.com
 Figura 10 - Instalação de EPS em parede para isolamento térmico
MÃO NA MASSA
1. ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) No vácuo, a única forma de transmissão do calor é por condução.
B) A convecção térmica só ocorre nos fluidos, ou seja, não se verifica no vácuo nem em
materiais no estado sólido.
C) A radiação é um processo de transmissão do calor que só se verifica em meios sólidos.
D) A condução térmica só ocorre no vácuo; no entanto, a convecção térmica se verifica,
inclusive, em matérias no estado sólido.
E) A condução e a convecção térmica só ocorrem no vácuo.
2. A MEDIÇÃO DA TEMPERATURA DE 500G DE ÁGUA EM UMA PANELA
SOBRE UMA BOCA DE FOGÃO ACESA É MOSTRADA NA FIGURA A
SEGUIR:
CONSIDERADO QUE A PANELA TEM 15CM DE DIÂMETRO E QUE SÓ HÁ
TRANSFERÊNCIA DE CALOR ATRAVÉS DE SEU FUNDO, CALCULE O
FLUXO DE CALOR MÉDIO DURANTE O PERÍODO MEDIDO. CONSIDERE O
CALOR ESPECÍFICO DA ÁGUA, CÁGUA= 4190 J/KG.K.
A) 611 kW/m²
B) 8 kW/m²
C) 35 kW/m²
D) 3 kW/m²
E) 80 kW/m²
3. UMA SALA DE AULA PARA 20 ALUNOS TEM DIMENSÕES DE 6M DE
LARGURA, 10M DE PROFUNDIDADE E 3M DE ALTURA. DIMENSIONE E
ESCOLHA O AR-CONDICIONADO, SE OCORRE FLUXO DE CALOR
ATRAVÉS DE PAREDES, JANELAS E PORTAS DE 25 W/M² E CADA
ALUNO PRODUZ 120 W. DESCONSIDERE A TROCA ATRAVÉS DO PISO E
TETO, O CALOR GERADO POR LÂMPADAS E DEMAIS APARELHOS, E O
CALOR CAUSADO PELA RENOVAÇÃO DE AR. CONSIDERE 1 W = 3,41
BTU/H
A) 7.500 BTU/h
B) 10.000 BTU/h
C) 12.000 BTU/h
D) 18.000 BTU/h
E) 21.000 BTU/h
4. QUANDO UMA PANELA COM ÁGUA É AQUECIDA NO FOGÃO, O
CALOR DAS CHAMAS É TRANSMITIDO ATRAVÉS DO FUNDO DE AÇO E,
POSTERIORMENTE, PARA A ÁGUA NO SEU INTERIOR. QUAL É A
CLASSIFICAÇÃO DOS TIPOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
RESPECTIVAMENTE?
A) Condução e radiação
B) Convecção e radiação
C) Radiação e convecção
D) Condução e convecção
E) Radiação e condução
5. QUAIS TIPOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR SÃO RELEVANTES NO
INTERIOR DE UM FREEZER FECHADO, LOGO APÓS COLOCARMOS
ALIMENTOS EM TEMPERATURA AMBIENTE?
A) Condução e radiação
B) Convecção natural e radiação
C) Condução e convecção natural
D) Condução, convecção forçada e radiação
E) Apenas radiação
6. EM QUE VAZÃO, EM L/S, VOCÊ DEVE AJUSTAR UM CHUVEIRO
ELÉTRICO DE 5500 W PARA QUE HAJA UM AQUECIMENTO DE 25°C
PARA 45°C?
A) 1,3
B) 0,07
C) 28
D) 0,03
E) 0,05
GABARITO
1. Assinale a alternativa correta:
A alternativa "B " está correta.
A convecção ocorre pela sobreposição dos fenômenos de difusão e advecção. Para que esse
segundo ocorra, o meio deve se mover, o que só ocorre em fluidos.
2. A medição da temperatura de 500g de água em uma panela sobre uma boca de fogão
acesa é mostrada na figura a seguir:
Considerado que a panela tem 15cm de diâmetro e que só há transferência de calor
através de seu fundo, calcule o fluxo de calor médio durante o período medido.
Considere o calor específico da água, cágua= 4190 J/kg.K.
A alternativa "C " está correta.
O fluxo de calor é definido pela Equação (4):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em se tratando de aquecimento, a taxa de transferência de calor é obtida pela Equação (2):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que, para obtenção de um valor médio ao longo do intervalor
considerado, será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na área do fundo da panela,
, o fluxo será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Uma sala de aula para 20 alunos tem dimensões de 6m de largura, 10m de
profundidade e 3m de altura. Dimensione e escolha o ar-condicionado, se ocorre fluxo
de calor através de paredes, janelas e portas de 25 W/m² e cada aluno produz 120 W.
Desconsidere a troca através do piso e teto, o calor gerado por lâmpadas e demais
aparelhos, e o calor causado pela renovação de ar. Considere 1 W = 3,41 BTU/h
A alternativa "D " está correta.
A área total com troca de calor em parede, janelas e portas será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme a Equação (4), a taxa de transferência de calor trocado nessas superfícies será:
q̇ =
→
n
Q̇
A
Q̇ = mc dT
dt
Δt
Q̇ = mc = 0, 5 ⋅ 4190 ⋅ = 611 WΔT
Δt
( 60−25 )
120
A = πD2/4
q = ≅35 kW/m²611
π ( 0,15 ) 2
4
A = (perímetro) ⋅ (altura) = 2 ⋅ 6 + 10 ⋅ 3 = 96m³
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa total de calor, incluindo o gerado pelos alunos, será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entre os comercialmente disponíveis, a escolha que atenderia seria a de 18000 BTU/h.
4. Quando uma panela com água é aquecida no fogão, o calor das chamas é transmitido
através do fundo de aço e, posteriormente, para a água no seu interior. Qual é a
classificação dos tipos de transferência de calor respectivamente?
A alternativa "D " está correta.
Ao atravessar o aço do fundo da panela, que é um sólido, ocorre a condução. Posteriormente,
da superfície da panela para água, ocorre a convecção.
5. Quais tipos de transferência de calor são relevantes no interior de um freezer fechado,
logo após colocarmos alimentos em temperatura ambiente?
A alternativa "C " está correta.
O calor no interior dos alimentos será transmitido por condução até a sua superfície.
Posteriormente, da superfície para o ar dentro do freezer, ocorrerá convecção natural, pelos
princípios detalhados no tópico Convecção. Em baixas temperaturas – interior do freezer –, os
corpos não emitem quantidades significativasde radiação, e as paredes dos refrigeradores
possuem material refletivo que impede a radiação vinda de corpos externos.
6. Em que vazão, em L/s, você deve ajustar um chuveiro elétrico de 5500 W para que haja
um aquecimento de 25°C para 45°C?
A alternativa "B " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão
AQUECIMENTO EM CHUVEIROS
ELÉTRICOS
q =     →     Q̇s = qA = 25 ⋅ 96 = 2400 W
Q̇
A
Q̇T = 2400 + 20 ⋅ 120 = 4800 W = 4800 ⋅ 3, 41 = 16368 BTU/h
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos, agora, avaliar quais são os tipos de transferência de calor envolvidos e significativos
em aquecedores solares. Considerando uma eficiência de 10%, iremos calcular a área de
painéis necessária para aquecer, em 10°C, um volume de 200L de água por dia, considerando
que a radiação solar do local diária é de 17,3 MJ/m².
 
Foto: Shutterstock.com
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
AQUECEDOR SOLAR
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ENADE – ENGENHARIA MECÂNICA, 2019) UMA EQUIPE DE
TRABALHO DECIDE ADQUIRIR UMA GARRAFA TÉRMICA PARA
ARMAZENAR SEU CAFÉ AO LONGO DO DIA, DE MODO QUE SEUS
MEMBROS PRECISAM ENTRAR EM ACORDO QUANTO AO MODELO DE
GARRAFA A SER ESCOLHIDO. PARA TANTO, DEPOIS DE UMA
PESQUISA, UM DELES ADQUIRIU UMA GARRAFA CUJO FOLHETO DE
INSTRUÇÕES APRESENTAVA A IMAGEM E AS CARACTERÍSTICAS
CONFORME APRESENTA A CURA A SEGUIR:
CONSIDERANDO AS INFORMAÇÕES APRESENTADAS E COM RELAÇÃO
ÀS CARACTERÍSTICAS DA GARRAFA TÉRMICA SELECIONADA, AVALIE
AS SEGUINTES AFIRMAÇÕES: 
 
 
I- O MATERIAL ISOLANTE TÉRMICO DA TAMPA E DO APOIO É
ESSENCIAL PARA AUMENTAR A RESISTÊNCIA TÉRMICA DE CONDUÇÃO
E CONVECÇÃO. 
II- O VÁCUO É NECESSÁRIO PARA REDUZIR A TROCA DE CALOR POR
CONDUÇÃO E CONVECÇÃO ENTRE O CAFÉ E O AMBIENTE EXTERNO. 
III- AS SUPERFÍCIES ESPELHADAS POSSUEM A FUNÇÃO DE INIBIR A
TROCA DE CALOR POR RADIAÇÃO. 
 
É CORRETO O QUE SE AFIRMA EM:
A) I, apenas
B) II, apenas
C) I e III, apenas
D) II e III, apenas
E) I, II e III
2. OS PROCESSADORES DE COMPUTADORES, DURANTE O SEU
FUNCIONAMENTO, GERAM UMA GRANDE QUANTIDADE DE CALOR,
QUE DEVE SER DISSIPADO PARA EVITAR SUPERAQUECIMENTO. A
TEMPERATURA IDEAL DE FUNCIONAMENTO É DE,
APROXIMADAMENTE, 50°C.
CONSIDERE UM PROCESSADOR QUE GERA 100W COM TEMPERATURA
DE OPERAÇÃO DE 50°C E MÁXIMA DE 100°C, TENDO UM DISSIPADOR
DE ALUMÍNIO COM MASSA DE 200G. CALCULE QUANTO TEMPO, EM
SEGUNDOS, LEVARIA PARA HAVER UM DANO NO PROCESSADOR,
CASO HOUVESSE UMA PARADA REPENTINA DA VENTOINHA,
CONSIDERANDO QUE A DISSIPAÇÃO PASSASSE A SER NULA.
A) 10
B) 3600
C) 180
D) 20
E) 90
GABARITO
1. (ENADE – Engenharia Mecânica, 2019) Uma equipe de trabalho decide adquirir uma
garrafa térmica para armazenar seu café ao longo do dia, de modo que seus membros
precisam entrar em acordo quanto ao modelo de garrafa a ser escolhido. Para tanto,
depois de uma pesquisa, um deles adquiriu uma garrafa cujo folheto de instruções
apresentava a imagem e as características conforme apresenta a cura a seguir:
Considerando as informações apresentadas e com relação às características da garrafa
térmica selecionada, avalie as seguintes afirmações: 
 
 
I- O material isolante térmico da tampa e do apoio é essencial para aumentar a
resistência térmica de condução e convecção. 
II- O vácuo é necessário para reduzir a troca de calor por condução e convecção entre o
café e o ambiente externo. 
III- As superfícies espelhadas possuem a função de inibir a troca de calor por radiação. 
 
É correto o que se afirma em:
A alternativa "D " está correta.
 
A afirmação I é incorreta, pois o isolante térmico irá compor uma camada com baixa
condutividade térmica, que aumentará a resistência apenas à condução. A afirmação II é
correta, uma vez que, no vácuo, não há condução nem convecção, de forma que ele irá reduzir
esses processos na troca de calor entre o interior e exterior da garrafa. A afirmação III é
correta, pois a radiação é uma emissão eletromagnética, como a luz. Portanto, ao incidir uma
superfície espelhada, ela terá uma elevada reflexão.
2. Os processadores de computadores, durante o seu funcionamento, geram uma
grande quantidade de calor, que deve ser dissipado para evitar superaquecimento. A
temperatura ideal de funcionamento é de, aproximadamente, 50°C.
Considere um processador que gera 100W com temperatura de operação de 50°C e
máxima de 100°C, tendo um dissipador de alumínio com massa de 200g. Calcule quanto
tempo, em segundos, levaria para haver um dano no processador, caso houvesse uma
parada repentina da ventoinha, considerando que a dissipação passasse a ser nula.
A alternativa "E " está correta.
 
Sem nenhuma dissipação, o calor seria integralmente absorvido pela massa do dissipador,
situação em que se aplica a seguinte fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo o calor específico do alumínio igual a 880 J/kg.K, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Q̇ = mc ΔT
Δt
Δt = = ≅90 segundosmcΔT
Q̇
0,2⋅880⋅ ( 100−50 )
100
Observe que esse é um cálculo bastante conservador, já que, mesmo sem o funcionamento da
ventoinha, a dissipação continuaria ocorrendo por convecção natural.
MÓDULO 2
 Resolver problemas de condução de calor
CONDUÇÃO DE CALOR
LEI DE FOURIER
Jean-Baptiste Joseph Fourier foi um matemático e físico francês, conhecido por iniciar os
estudos em decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes.
Posteriormente, essas séries foram chamadas de séries de Fourier.
As funções periódicas foram aplicadas para solucionar problemas da condução do calor.
Fourier estabeleceu que:
O FLUXO DE CALOR, RESULTANTE DA CONDUÇÃO
TÉRMICA É PROPORCIONAL À MAGNITUDE DO
GRADIENTE DE TEMPERATURA, COM SENTIDO
CONTRÁRIO
Traduzindo para linguagem matemática:
Fluxo de calor
negativo do gradiente de temperatura
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que o símbolo
denota proporcional, ou seja:
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere k uma constante, denominada condutividade térmica, cuja unidade no S.I. é
W/m.K (watt por metro Kelvin).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
 (nabla) é um operador matemático que, quando precede um escalar – nesse caso, a
temperatura –, calcula seu gradiente tridimensional. Em caso de problema unidimensional –
variação da temperatura apenas em
–, a Equação (4) é simplificada para:
∝
∝
q̇ = −k∇T
∇ = î + ĵ + k̂∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∇
x
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se a distribuição de temperatura ao longo de
for linear, o que ocorre quando o gráfico
é uma reta, a derivada
será constante e:
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que L é o comprimento ao longo do qual ocorre a variação de temperatura
.
Conforme vimos no Módulo 1,
é o fluxo de calor, e a taxa de transferência de calor é obtida por
, sendo A a área da superfície.
Vejamos um exemplo a seguir:
 EXEMPLO
q̇ = −k
∂T
∂x
x
T (x)
∂T/∂x
q̇ = −k
ΔT
L
ΔT
q̇
Q̇ = q̇ A
EM UM DIA QUENTE DE VERÃO, O TOPO DE UMA
LAJE DE CONCRETO ARMADO (K = 35 W/M.K) ESTÁ A
110°C, E O FUNDO, A 50°C. SE A ÁREA DE LAJE É DE
0,40 M² E SUA ESPESSURA É DE 5,0CM, CALCULE O
FLUXO E A TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR,
CONSIDERANDO QUE HÁ UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR
DE TEMPERATURA.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento.
SOLUÇÃO:
Como há uma distribuição linear de temperatura, podemos utilizar a Equação (6), que com os
dados da questão, o fluxo de calor será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de transferência, por sua vez, será de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
q̇ = −k = −35 ⋅ = 42 kW/m²ΔT
L
(50 − 110)
0, 05
Q̇ = q̇ A = (42 ⋅ 103) ⋅ 0, 4 = 16, 8 kW
Se há um ambienterefrigerado abaixo da laje, o ar-condicionado teria de retirar esse calor do
interior, além de outras fontes – por exemplo, pessoas, equipamentos e entrada de calor pelas
paredes.
PROPRIEDADES TÉRMICAS DOS MATERIAIS
A condutividade dos materiais, de uma maneira geral, segue uma ordem crescente para gases,
não metais e metais. A baixa condutividade de gases é explicada pelo distanciamento entre as
moléculas. Em metais, os elétrons livres (camada de valência) facilitam a condução de calor,
conferindo os maiores valores a esses materiais.
As propriedades térmicas de diversos materiais são apresentadas na tabela abaixo:
Material
Propriedades dos materiais (a 20°C e 1 atm)
Condutividade
(k) 
W/m.K
Calor
específico
(c) 
J/kg.K
Massa
específica
(ρ) 
kg/m³
Difusividade
(
) 
x10-6 m²/s
Aço 55 460 7800 15
Água 0,61 4190 998 0,15
Alumínio 230 880 2700 97
Asfalto 0,42 920 1600 0,29
Ar 0,02 1005 1,20 17
∝
Cerâmica 0,70 920 1000-1300 0,59 - 0,76
Cobre 380 380 8900 112
Concreto 1,75 1000 2200-2400 0,73 - 0,8
Gesso 0,35 840 750 - 1000 0,42 - 0,56
EPS
(isopor)
0,04 1400 30 0,95
Madeira 0,29 1340 800 - 1000 0,22 - 0,27
PVC 0,20 900 1200 - 1400 0,16 - 0,19
Vidro 1,00 840 2500 0,476
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 1: Propriedades térmicas de materiais mais comuns. Elaborada por Gabriel de
Carvalho Nascimento.
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL – EQUAÇÃO
DA DIFUSÃO
O problema do exemplo anterior só foi possível de se resolver porque as temperaturas já eram
conhecidas. Como isso nem sempre ocorre, é necessário avançar mais no desenvolvimento de
equações.
Analisando-se apenas a direção
x
(problema unidimensional), considere uma porção infinitesimal do sólido ou fluido em estudo,
por onde entra e sai uma taxa de transferência de calor
e
, respectivamente.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento.
 Figura 11 - Entrada e saída de calor na direção x em um elemento infinitesimal
O calor absorvido será a diferença entre entrada e saída:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Multiplicando-se e dividindo-se por
, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
Q̇e
Q̇s
Q̇abs = Q̇e − Q̇s = −kAx
∣
∣
∣x
− (−kAx
∣
∣
∣x+dx
) = Ax(k
∣
∣
∣x+dx
− k
∣
∣
∣x
)∂T
∂x
∂T
∂x
∂T
∂x
∂T
∂x
dx
Q̇abs = Axdx = V
(k ∣∣x+dx − k
∣∣x
)∂T
∂x
∂T
∂x
dx
−
(k ∣∣x+dx − k
∣∣x
)∂T
∂x
∂T
∂x
dx
V−−
é o volume. O termo infinitesimal
pode ser substituído pelo limite
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O que corresponderá à definição de derivada:
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O termo
(fonte de calor por volume) foi acrescentado para considerar possíveis fontes internas de calor,
como reações químicas, nucleares e efeito Joule (passagem de corrente elétrica). Uma fonte
interna de calor em determinado ambiente pode ocorrer por equipamentos – como
computadores – e pessoas.
DIFUSÃO NO CASO GERAL UNIDIMENSIONAL
Igualando-se a Equação (7) à (3), teremos:
dx
δx → 0
Q̇abs =
V−
lim
δx→0
( )
k ∣∣ x+δx
−k ∣∣ x
∂T
∂x
∂T
∂x
δx
Q̇abs = V (k ) + V qf−
∂
∂x
∂T
∂x
qf = Q̇f/V−
ρ V c = V (k )+ V qf∂T∂t
∂
∂x
∂T
∂x
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal equação é conhecida como Equação da Difusão. Conforme vimos no Módulo 1, a difusão
é único mecanismo que ocorre na condução de calor
EM MEIO SEM FONTES INTERNAS E HOMOGÊNEO (
CONSTANTE AO LONGO DO ESPAÇO)
A Equação (8) é comumente simplificada para casos mais práticos, como:
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
→      ρc = (k ) + qf
∂T
∂t
∂
∂x
∂T
∂x
k
= = α
∂T
∂t
k
ρc
∂2T
∂x2
∂2T
∂x2
α =
k
ρc
é denominado difusividade térmica (unidade no S.I. em m²/s).
PERMANENTE
Caso, além das simplificações anteriores, o problema seja permanente – não varia ao longo do
tempo – então teríamos:
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
Integrando-se a expressão anterior duas vezes, obteremos a equação de uma reta para T(x), o
que indica uma distribuição linear de temperatura. Isso significa que, para adotar a
simplificação da Equação (6), devemos ter condução unidimensional, sem fontes internas, em
meio homogêneo e regime permanente.
EMBORA TANTAS CONDICIONANTES PAREÇAM UMA
APROXIMAÇÃO GROSSEIRA, SÃO ACEITÁVEIS PARA MUITOS
PROBLEMAS QUE RESOLVEMOS NA ENGENHARIA, COMO A
CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CAMADAS DE PAREDES.
A Equação (8) foi obtida para um sistema de coordenadas cartesianas. O mesmo procedimento
pode ser adotado para outros sistemas.
= 0
∂2T
∂x2
 RESUMINDO
A equação que representa o fenômeno da condução de calor, caracterizada pelo mecanismo
de difusão, para problemas unidimensionais é:
• Caso geral:
• Meio homogêneo, sem fontes e em regime permanente em coordenadas:
○ cartesianas:
○ cilíndricas:
○ esféricas:
 EXEMPLO
CALCULE UMA EXPRESSÃO E FAÇA UM ESBOÇO
PARA A DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA AO LONGO
DA PAREDE DE UM DUTO SUBMARINO DE AÇO CUJA
SUPERFÍCIE INTERNA É MANTIDA NA TEMPERATURA
E A EXTERNA DA TEMPERATURA
ρc = (k ) + qf
∂T
∂t
∂
∂x
∂T
∂x
= 0
∂2T
∂x2
(r ) = 01
r
∂
∂r
∂T
∂r
= 0
1
r
∂2 (rT )
∂r2
Ti
. OBTENHA TAMBÉM UMA EXPRESSÃO PARA O
FLUXO DE CALOR.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento.
SOLUÇÃO:
Nesse problema, podemos assumir as seguintes simplificações:
Unidimensional – a variação da temperatura ocorre apenas na direção radial;
Regime permanente – a temperatura não varia no tempo;
Meio homogêneo – a parede do duto é de aço, ou seja, com propriedades constantes ao
longo do espaço;
Sem fontes internas – não há calor gerado no interior da parede do tubo.
Para essas conduções, de acordo com o nosso estudo sobre o sistema de coordenadas
cilíndricas, temos:
Te
(r ) = 0    →      (r ) = 0 1
r
∂
∂r
∂T
∂r
∂
∂r
∂T
∂r
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando-se em intervalo aberto, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na segunda integração, no intervalo
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A constante C é obtida pela condição de contorno
, de modo que a expressão final será dada por:
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cujo gráfico é:
∫ (r ) = C →     r = C   →       =∂
∂r
∂T
∂r
∂T
∂r
∂T
∂r
C
r
ri − r
→       ∫
r
ri
dr = C ∫
r
ri
dr       →     T (r) − Ti = C ln
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂T
∂r
1
r
r
ri
T (re) = Te   →   C =
Te − Ti
ln (re/ri)
=
T (r) − Ti
Te − Ti
ln (r/ri)
ln (re/ri)
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento.
Observa-se que, nesse caso, a distribuição de temperatura é uma curva logarítmica. Por sua
vez, através de uma parede plana, a distribuição é linear.
De acordo com a Lei de Fourier – Equação (5) –, a taxa de transferência de calor conduzida do
interior para o exterior do duto será
. A área ao longo de um comprimento L do tudo será
, e a função a ser derivada,
, é obtida da Equação (11):
Q̇ = q̇ A = −AkdT/dr
A = 2πrL
T (x)
Q̇ = −Ak = − (2πrL) k  (Te − Ti)
dT
dr
1
Ri
Ri
r
1
ln (re/ri)
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos concluir que as Equações (11) e (12) calculam a distribuição de temperatura e taxa
de transferência de calor na parede de tubos.
RESISTÊNCIA TÉRMICA À CONDUÇÃO
A condução de calor ao longo de diferentes camadas em regime permanente é um problema
típico da engenharia. Para tornar prática a sua solução, o método da resistência térmica é
comumente adotado. Nesse método, cada camada é relacionada a um resistor.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 12 - Parede composta de \mathbit{n} camadas – resistência térmicaequivalente
Nas condições consideradas, é válida a Equação (6), que pode ser reescrita como:
→    Q̇ = 2πLk
Ti − Te
ln (re/ri)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo
:
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando-se a soma dos incrementos de temperatura em cada camada, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a taxa de transferência de calor que atravessa cada camada é igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando-se com a Equação (10), temos:
(14)
ΔT = − = − = −Q̇
q̇ L
k
Q̇L
Ak
L
Ak
Req = L/Ak
ΔT = −Q̇Req
ΔT = ΔT1 + ΔT2 + … + ΔTn = −(Q̇1 + Q̇2 + … + Q̇n )
L1
A1k1
L2
A2k2
Ln
Ankn
ΔT = −Q̇1 ( + + … + ) = −Q̇1 (R1 + R2 + … + Rn)
L1
A1k1
L2
A2k2
Ln
Ankn
Req = R1 + R2 + … + Rn = ∑Ri
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que a resistência térmica de condução é:
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é o comprimento
é a área
é a condutividade da i-ésima camada
Conclui-se, desse modo, que a resistência equivalente é dada pela soma da resistência térmica
de cada camada em série, assim como em resistores elétricos.
 EXEMPLO
UMA CHAPA DE COBRE (
Ri =
Li
Aiki
Li
Ai
ki
= 372 W/M.K) TEM 3,0 MM DE ESPESSURA E É
PROTEGIDA, EM AMBOS OS LADOS, POR UMA
CAMADA DE AÇO COM 2,0MM DE ESPESSURA (
= 17 W/M.K). A TEMPERATURA, EM UM DOS LADOS
DESSA PAREDE COMPOSTA, É DE 400°C E, NO
OUTRO, 100°C.
CALCULE O FLUXO DE CALOR ATRAVÉS DA PAREDE.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento.
SOLUÇÃO:
Considerando-se regime permanente, trata-se de um típico problema de parede composta que
pode ser resolvido pelo método da resistência equivalente. Conforme a Equação (14) e (15), e
kc
ka
como as áreas são iguais, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando na Equação (13), obtemos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O fluxo então será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um procedimento análogo ao anterior pode ser utilizado em um sistema de coordenadas
cilíndricas para obter a resistência térmica de condução de uma casca cilíndrica
com raio interno
, raio externo
, comprimento
e condutividade
:
Req = Ra + Rc + Ra = 2Ra + Rc
= 2 + = (2 + ) =  m²K/WLa
kaA
Lc
kcA
1
A
0, 002
17
0, 003
372
2, 43 ⋅ 10−4
A
Q̇ = − = − = A ⋅ 1, 2 ⋅ 106
ΔT
Req
A (100 − 400)
2, 43 ⋅ 10−4
→    q̇ = = 1, 2 ⋅ 106 W/m²
Q̇
A
Rc
ri
re
L
k
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL
TRANSIENTE
Há muitos problemas na engenharia cujas características não permitem considerar regime
permanente e, consequentemente, não possuem solução analítica. Nesses casos, de modo
geral, a prática mais adotada é a utilização de métodos numéricos, que permitem solucionar
modelos sofisticados, com condições muito próximas das reais.
Como exceção, há um problema transiente, que abordaremos aqui, e pode ser resolvido
analiticamente com as seguintes condições:
Temperatura inicial igual a
para
Temperatura da fonte constante e igual a
em
Para um instante
, penetração da temperatura até o ponto
Ri =
ln(re/ri)
2πLiki
T0
x > 0
Tf
x = 0
t
x = δ
Gradiente nulo de temperatura em
, ou seja
para
Essas condições podem ser encontradas nos seguintes exemplos, enquanto
(penetração da temperatura menor do que o comprimento disponível):
Parede muito larga e alta com superfície interna em temperatura constante.
Objetos compridos em que a troca por convecção lateral é desprezível, comparada à
condução.
Cabos, fios e barras com isolamento térmico ao longo da superfície lateral.
Utilizando-se métodos de solução de equações diferenciais parciais (EDPs), a solução analítica
da Equação da Difusão (9) nas condições consideradas será:
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere que erf(
) é a função erro, definida por
.
 SAIBA MAIS
δ
= 0
∂T
∂x
x = δ
δ < L
= 1 − erf
T − T0
Tf − T0
x
2√αt
ξ
erf(ξ) = ∫
x
−x
e−t
2
dt
1
√π
A função erro pode ser facilmente calculada com planilhas eletrônicas. Por exemplo, no Excel,
utilize ‘=FUNERRO(A1)’ e, no Google Planilhas, ‘=FUNCERRO(A1)’ para calcular o resultado
da função erro para o valor contido na célula A1.
O resultado da Equação (15) com base em parâmetros adimensionalizados é apresentado na
figura abaixo:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 13 - Resultado da condução unidimensional transiente
Conforme observamos, só há alteração significativa da temperatura (penetração) até,
aproximadamente,
. Isso significa que:
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que
é a difusividade térmica do material.
x/2√αt ≅2
δ(t) ≅4√αt
α = k/ρc
 EXEMPLO
UMA COLHER DE AÇO, INICIALMENTE À
TEMPERATURA AMBIENTE
= 24 °C, É COLOCADA EM ÁGUA FERVENDO. QUANTO
TEMPO, APROXIMADAMENTE, LEVARÁ PARA QUE A
EXTREMIDADE DA COLHER, DISTANTE 10CM DA
ÁGUA, CHEGUE A
= 50°C? DESCONSIDERE A TROCA DE CALOR POR
CONVECÇÃO E ASSUMA QUE A COLHER TEM SEÇÃO
TRANSVERSAL CONSTANTE. PROPRIEDADES DO
AÇO:
= 7800 KG/M³,
= 460 J/KG.K E
= 55 W/M.K.?
SOLUÇÃO:
T0
T
ρ
c
k
O problema reúne as condições necessárias para a Equação (17), segundo o enunciado.
Calculando o lado esquerdo dessa equação, sendo a temperatura da fonte igual à de ebulição
da água, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo gráfico da figura 13, isso ocorre para
e
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e queremos
, então:
minutos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse é uma solução que pode ser facilmente verificada em casa, com o uso de um termômetro.
MÃO NA MASSA
= ≅0, 34
T − T0
Tf − T0
50 − 24
100 − 24
x/2√αt ≅0, 65
t ≅
x2
1, 69 ⋅ α
α = = = 1, 53 ⋅ 10−5 m2/s
k
ρc
55
7800 ⋅ 460
x = L = 0, 1m
t = = 387 s ≅6
(0, 1)
2
1, 69 ⋅ (1, 53 ⋅ 10−5)
1. (CESGRANRIO – PETROBRAS – ENGENHEIRO DE PETRÓLEO JUNIOR,
2012) UMA BARRA DE COBRE DE 10,0CM E SEÇÃO RETA DE 1,0CM² É
COLOCADA EM UMA DE SUAS EXTREMIDADES, AQUECIDA À
TEMPERATURA DE 100°C, ENQUANTO A OUTRA EXTREMIDADE
ENCONTRA-SE À TEMPERATURA DE 20°C. A TAXA DE TRANSFERÊNCIA
DE CALOR, EM WATTS, DE UMA EXTREMIDADE À OUTRA DA BARRA, É: 
DADO: 
A) 32,0
B) 8,0
C) 2,5
D) 0,5
E) 0,1
2. UM TUBO DE AÇO INOXIDÁVEL COM COMPRIMENTO DE 10M POSSUI
UM RAIO INTERNO DE 28CM E EXTERNO DE 33CM. A TEMPERATURA DA
SUPERFÍCIE INTERNA É 50°C, E A EXTERNA, 48°C. CONSIDERANDO-SE
A CONDUTIVIDADE TÉRMICA DO AÇO INOXIDÁVEL K = 58 W/M °C,
CALCULE A TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ATRAVÉS DA
PAREDE DO TUBO, EM KW.
A) 44
B) 1.100
C) 5,1
D) 7,2
E) 12
3. (CESGRANRIO – PETROBRAS – ENG. DE EQUIPAMENTOS JUNIOR,
2010) UM ENGENHEIRO SABE QUE A DISTRIBUIÇÃO DE
TEMPERATURAS AO LONGO DE UMA PAREDE DE 10M² DE ÁREA E DE
0,8M DE ESPESSURA, EM CERTO INSTANTE, CORRESPONDE A
kcobre = 400
W
m.K
. SABE-SE QUE
;
;
. CONSIDERANDO-SE QUE A CONDUTIVIDADE TÉRMICA DO MATERIAL
É DADA POR 30 W/(M.°C), A TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR QUE
ENTRA NA PAREDE (X = 0) É DADA, EM KW, POR:
A) 75
B) 86
C) 98
D) 110
E) 210
4. UMA TUBULAÇÃO DE AÇO TEM DIÂMETRO EXTERNO DE 100MM E
ESPESSURA DE 5MM. QUAL SERÁ A REDUÇÃO PERCENTUAL DO
CALOR QUE ATRAVESSA A PAREDE SE FOR INSTALADO UM
REVESTIMENTO EXTERNO DE CONCRETO COM 10MM DE ESPESSURA?
CONSIDERE A MESMA DIFERENÇA DE TEMPERATURA ENTRE A
SUPERFÍCIE INTERNA E EXTERNA NAS DUAS SITUAÇÕES.
A) 8%
B) 2%
C) 98%
D) 12%
E) 22%
T (x) = a + bx + cx²
a = 780°C
b = −250°C/m
c= −70°C/m²
5. UMA CAMADA DE SOLO PODE SER CONSIDERADA HOMOGÊNEA
COM DIFUSIVIDADE TÉRMICA 5,6X10-7 M²/S E TEMPERATURA INICIAL
DE 20 °C. CONSIDERE QUE UM INCÊNDIO, REPENTINAMENTE, ELEVOU
A TEMPERATURA DA SUPERFÍCIE A UM VALOR CONSTANTE DE 1000°C.
CALCULE QUANTO TEMPO LEVARÁ EM HORAS, APROXIMADAMENTE,
PARA QUE HAJA ELEVAÇÃO DE TEMPERATURA A 0,20M DE
PROFUNDIDADE.
A) 1,2
B) 0,2
C) 10
D) 0,5
E) 12
6. UMA CAMADA DE SOLO PODE SER CONSIDERADA HOMOGÊNEA
COM DIFUSIVIDADE TÉRMICA 5,6X10-7 M²/S E TEMPERATURA INICIAL
DE 20°C. SE UM INCÊNDIO, REPENTINAMENTE, ELEVAR A
TEMPERATURA DA SUPERFÍCIE A UM VALOR CONSTANTE DE 1000°C,
CALCULE A TEMPERATURA, EM °C, A 0,20M DE PROFUNDIDADE APÓS 5
HORAS DE INCÊNDIO.
A) 110
B) 912
C) 35
D) 177
E) 252
GABARITO
1. (CESGRANRIO – PETROBRAS – Engenheiro de Petróleo Junior, 2012) Uma barra de
cobre de 10,0cm e seção reta de 1,0cm² é colocada em uma de suas extremidades,
aquecida à temperatura de 100°C, enquanto a outra extremidade encontra-se à
temperatura de 20°C. A taxa de transferência de calor, em watts, de uma extremidade à
outra da barra, é: 
Dado: 
A alternativa "A " está correta.
Em se tratando de regime permanente, meio homogêneo e sem fontes internas, a distribuição
interna de temperatura é linear, de modo que podemos utilizar a Equação (6):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um tubo de aço inoxidável com comprimento de 10m possui um raio interno de 28cm
e externo de 33cm. A temperatura da superfície interna é 50°C, e a externa, 48°C.
Considerando-se a condutividade térmica do aço inoxidável k = 58 W/m °C, calcule a
taxa de transferência de calor através da parede do tubo, em kW.
A alternativa "A " está correta.
De acordo com a Equação (12), a taxa de transferência de calor através de cascas cilíndricas é
obtida por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. (CESGRANRIO – PETROBRAS – Eng. de Equipamentos Junior, 2010) Um engenheiro
sabe que a distribuição de temperaturas ao longo de uma parede de 10m² de área e de
0,8m de espessura, em certo instante, corresponde a
. Sabe-se que
kcobre = 400
W
m.K
q̇ = −k →    Q̇ = −AkΔT
L
ΔT
L
Q̇ = −(1 ⋅ 10−4)⋅400 = 32 W
( 20−100 )
0,1
Q̇ = 2πLk
Ti−Te
ln ( re/ri )
Q̇ = 2π ⋅ 10 ⋅ 58 ⋅ = 44 kW
50−48
ln ( 33/28 )
T (x) = a + bx + cx²
;
;
. Considerando-se que a condutividade térmica do material é dada por 30 W/(m.°C), a
taxa de transferência de calor que entra na parede (x = 0) é dada, em kW, por:
A alternativa "C " está correta.
Segundo a Lei de Fourier – Equação (5) –, para um problema de condução de calor
unidimensional, o fluxo é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de transferência de calor é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela função dada no enunciado do problema, a derivada em x (gradiente) da temperatura será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mais precisamente na entrada da parede (x = 0), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo-se todos os dados da questão, obtemos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Uma tubulação de aço tem diâmetro externo de 100mm e espessura de 5mm. Qual
será a redução percentual do calor que atravessa a parede se for instalado um
revestimento externo de concreto com 10mm de espessura? Considere a mesma
diferença de temperatura entre a superfície interna e externa nas duas situações.
a = 780°C
b = −250°C/m
c = −70°C/m²
q̇ = −k ∂T
∂x
Q̇ = Aq̇ = −Ak ∂T
∂x
= b + 2cx∂T
∂x
= b∂T
∂x
Q̇ = −Akb = −10 ⋅ 30 ⋅(−250)= 75 kW
A alternativa "C " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão
ISOLAMENTO TÉRMICO EM TUBULAÇÕES
5. Uma camada de solo pode ser considerada homogênea com difusividade térmica
5,6x10-7 m²/s e temperatura inicial de 20 °C. Considere que um incêndio, repentinamente,
elevou a temperatura da superfície a um valor constante de 1000°C. Calcule quanto
tempo levará em horas, aproximadamente, para que haja elevação de temperatura a
0,20m de profundidade.
A alternativa "A " está correta.
Considerando um problema de condução unidimensional transiente que atenda às condições
necessárias da Equação (17), sabe-se, pela (18), que a penetração do calor pode ser calculada
por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Uma camada de solo pode ser considerada homogênea com difusividade térmica
5,6x10-7 m²/s e temperatura inicial de 20°C. Se um incêndio, repentinamente, elevar a
temperatura da superfície a um valor constante de 1000°C, calcule a temperatura, em °C,
a 0,20m de profundidade após 5 horas de incêndio.
A alternativa "D " está correta.
δ(t)≅4√αt
t ≅ = = 4464 segundos ≅1, 2 horasδ
2
16α
( 0,2 )
2
16⋅ ( 5,6⋅10−7 )
Calculando-se o argumento da função erro (erf) da Equação (17), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Procurando-se esse valor no eixo das abscissas do gráfico na Figura 13, obtemos o valor
correspondente no eixo das ordenadas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo-se os valores conhecidos, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
A utilização de aço revolucionou a indústria da Construção Civil no século XIX, devido à sua
elevada relação entre resistência e peso, possibilitando a execução de edificações com muitos
andares.
 
Foto: Shutterstock.com
Considere o cenário em que ocorre um incêndio em um prédio cuja estrutura principal é
constituída por pilares. A seção transversal desses pilares é representada pela figura a seguir:
= = 0, 996x
2√αt
0,2
2√ ( 5,6⋅10−7 ) ⋅ ( 5⋅3600 )  
≅0, 16
T−T0
Tf−T0
T ≅0, 16 ⋅(Tf − T0)+T0 = 0, 16 ⋅(1000 − 20)+20 = 177 °C
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento.
Considere os seguintes dados:
• Estrutura de concreto armado;
○ Diâmetro das barras de aço: 25 mm.
○ Recobrimento mínimo de concreto, incluindo revestimento (reboco e emboço), de 50 mm.
• Propriedades na Tabela 1;
• Temperatura ambiente de 25°C.
Em seguida:
a) Justifique por que o concreto serve como uma proteção para o aço contra incêndio.
b) Liste todos os parâmetros que descrevem o problema térmico na seção transversal ao longo
do tempo, considerando que o incêndio provoca uma temperatura constante de 1500 °C na
face mais comprida do pilar, a partir do momento em que inicia. Considere que o problema
pode ser assumido como unidimensional.
c) Determine em que instante, a partir do início do incêndio, todas os vergalhões alcançam
temperatura superior a 600 °C, quando a resistência do aço cai a 50%, superando o fator de
segurança e, consequentemente, levando ao colapso estrutural.
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
O EFEITO DO INCÊNDIO EM ESTRUTURAS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FGV – TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO ESTADO DA BAHIA – ANALISTA
JUDICIÁRIO – ENGENHARIA MECÂNICA, 2015) UMA PAREDE É
COMPOSTA DE 3 CAMADAS CONSTITUÍDAS DE 3 MATERIAIS (A, B E C),
CONFORME MOSTRA A FIGURA A SEGUIR:
AS CONDUTIVIDADES TÉRMICAS DOS MATERIAIS SÃO CONSTANTES E
CONHECIDAS, ASSIM COMO AS ESPESSURAS. A ALTURA H DA PAREDE
É MUITO MAIOR DO QUE AS ESPESSURAS. AS FACES EXTERNAS, À
ESQUERDA E À DIREITA, ENCONTRAM-SE NA TEMPERATURA T2 E T1,
RESPECTIVAMENTE. 
 
PODEMOS AFIRMAR QUE O VALOR DO FLUXO DE CALOR (W/M²) É
CALCULADO PELA SEGUINTE EXPRESSÃO:
A) (T1-T2) / ((kA + kB + kC)/(LA+ LB + LC))
B) (T1-T2) / (LA/kA+ LB/kB + LC/kC)
C) (T1+T2) / ((LA/kA).(LB/kB).(LC/kC))
D) (T1-T2) / (kA/LA+ kB/LB + kC/LC)
E) 1+T2) / (LA/kA+ LB/kB + LC/kC)
2. O DISJUNTOR TERMOMAGNÉTICO QUE PROTEGE UMA BOMBA É
DESARMADO QUANDO A TEMPERATURA DO FIO ALCANÇA 40°C.
INICIALMENTE, A FIAÇÃO, QUE TEM 10 METROS, ESTÁ À
TEMPERATURA AMBIENTE, EM 25°C, QUANDO OCORRE UMA PANE NA
BOMBA E ELA AQUECE, SUBITAMENTE, ATÉ 100 °C.
CONSIDERANDO-SE QUE A LIGAÇÃO ELÉTRICA É DE COBRE E O
ISOLAMENTO IMPEDE TROCA DE CALOR COM O MEIO AMBIENTE,
CALCULE O TEMPO, EM HORAS, QUE LEVARÁ PARA O DISJUNTOR
DESARMAR.
A) 76
B) 0,5
C) 2,0
D) 0,1
E) 10
GABARITO
1. (FGV – Tribunal de Justiça do Estado da Bahia – Analista Judiciário – Engenharia
Mecânica, 2015) Uma parede é composta de 3 camadas constituídas de 3 materiais (A, B
e C), conforme mostra a figura a seguir:
As condutividades térmicas dos materiais são constantes e conhecidas, assim como as
espessuras. A altura H da parede é muito maior do que as espessuras. As faces
externas, à esquerda e à direita, encontram-se na temperatura T2 e T1, respectivamente. 
 
Podemos afirmar que o valor do fluxo de calor (W/m²) é calculado pela seguinte
expressão:
A alternativa "B " está correta.
 
A resistência térmica equivalente das camadas em série é calculada pela soma de cada uma,
conforme a Equação (14):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as áreas são iguais, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando essa expressão na Equação (13), teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O fluxo de calor será de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O disjuntor termomagnético que protege uma bomba é desarmado quando a
temperatura do fio alcança 40°C. Inicialmente, a fiação, que tem 10 metros, está à
temperatura ambiente, em 25°C, quando ocorre uma pane na bomba e ela aquece,
subitamente, até 100 °C.
Req = RA + RB + RC = + +
LA
kAAA
LB
kBAB
LC
kCAC
Req = RA + RB + RC = ( + + )1A
LA
kA
LB
kB
LC
kC
ΔT = −Q̇Req →    Q̇ = −
ΔT
Req
q̇ = = − = − = −
Q̇
A
ΔT
AReq
(T1−T2 )
A ( + + )1
A
LA
kA
LB
kB
LC
kC
(T1−T2 )
( + + )LA
kA
LB
kB
LC
kC
Considerando-se que a ligação elétrica é de cobre e o isolamento impede troca de calor
com o meio ambiente, calcule o tempo, em horas, que levará para o disjuntor desarmar.
A alternativa "A " está correta.
 
De acordo com o enunciado, o problema reúne as condições necessárias para a aplicação da
solução apresentada na Equação (17). Vejamos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema, o lado esquerdo dessa equação valerá:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Procurando esse valor no eixo das ordenadas do gráfico na Figura 13, teremos, no eixo das
abscissas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme podemos consultar na Tabela 1, a difusividade do cobre é
= 1 − erf
T−T0
Tf−T0
x
2√αt
= = 0, 20
T−T0
Tf−T0
40−25
100−25
= 0, 9   →     t =x
2√αt
x2
3,24α
α
= 112x10-6 m²/s. A posição x, será o comprimento do fio entre a bomba e o disjuntor, de modo
que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observa-se que é um tempo muito longo, de forma que o desarme do disjuntor não serviria
como dispositivo de proteção para bomba nesse caso. Na prática, o limite de temperatura do
disjuntor funciona como uma proteção contra sobrecarga – corrente elétrica maior do que a
capacidade. Isso também causa aquecimento do fio.
Tente resolver esse problema com uma planilha eletrônica, utilizando a função erro já
disponível nos aplicativos mais conhecidos.
MÓDULO 3
 Resolver problemas de convecção de calor
CONVECÇÃO DE CALOR
LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON
 t = = 275573 s ≅76 horas10
2
3,24⋅(112⋅10−6)
A situação de maior interesse na convecção é aquela em que ocorre troca de calor entre a
superfície de um corpo e um fluido que escoa ao seu redor, possivelmente com aquecimento
ou resfriamento do corpo.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 14 - Convecção ao redor de um corpo cilíndrico
A convecção é resultado da sobreposição dos mecanismos de advecção e difusão, conforme
vimos no Módulo 1. Trata-se de um fenômeno complexo, uma vez que, para analisar a
transferência de calor, também precisamos considerar o escoamento do fluido, o que impacta
na advecção.
Adotando uma estratégia simplificadora, Newton fez diversos experimentos e constatou que
taxa de variação de temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo
e a corrente livre do fluido
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A 1ª Lei da Termodinâmica – Equação (2) – por sua vez, leva-nos a concluir que:
Tc
T∞
  ∝  Tcorpo −  T∞
dTcorpo
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, temos
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa equação é conhecida como Lei do resfriamento de Newton, em que
é o coeficiente médio de transferência de calor por convecção ao longo da superfície (no S.I.,
em W/m².K). A tabela abaixo apresenta alguns exemplos com valores de
. Observa-se o quanto seu valor varia e é dependente de detalhes específicos da situação.
Situação 
Convecção Gás Parede vertical de 0,3 m no ar, 4,33
q̇ ∝
dTcorpo
dt
q̇ ∝ Tcorpo −  T∞  →    q̇ = h̄(Tcorpo − T∞)
Q̇ = Aq̇
Q̇ = Ah̄ (Tcorpo − T∞)
h̄
h̄
h̄
(W/m²K)
natural
= 30°C
Tubulação horizontal com De = 40
mm,
= 30°C
570
Líquido
Fio de 0,25mm de diâmetro no
metanol,
= 30°C
4000
Convecção
forçada
Gás
Ar a 30m/s sobre placa plana de 1
m,
= 70°C
80
Líquido
Água a 2m/s sobre uma placa de
60 mm,
= 15°C
590
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 2: Exemplos de valores para o coeficiente de transferência de calor por convecção.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento.
A aplicabilidade da Equação (19), portanto, fica condicionada à disponibilidade na literatura ou
prévio conhecimento do valor do coeficiente de transferência de calor para as condições
desejadas.
ΔT
ΔT
ΔT
ΔT
ΔT
FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL
Caso o coeficiente de transferência de calor não seja conhecido, as alternativas mais adotadas
envolvem a realização de experimentos e simulação CFD – Computational Fluid Dynamics. A
sigla, em inglês, significa fluidodinâmica computacional ou dinâmica dos fluidos
computacional.
A simulação CFD pode ser definida, de maneira geral, como uma simulação numérica de todos
os processos físicos ou físico-químicos que possuem escoamento.
Vejamos, a seguir, um exemplo de cálculo do fluxo de calor entre uma parede e o ar:
 EXEMPLO
CALCULE O FLUXO DE CALOR ENTRE UMA PAREDE,
CUJA SUPERFÍCIE ENCONTRA-SE A 30°C E O AR DO
AMBIENTE A 25°C. CONSIDERE QUE O VALOR DO
COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR PARA
ESSAS CONDIÇÕES É
= 7,7 W/M².K.
SOLUÇÃO:
Pela Equação (19), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
h̄
Q̇ = Ah̄ (Tcorpo − T∞)
→ q̇ = h̄ (Tcorpo − T∞) = 7, 7 ⋅ (30 − 25) = 38, 5 W/m²
RESISTÊNCIA TÉRMICA À CONVECÇÃO
No Módulo 2, desenvolvemos fórmulas para cálculo da resistência térmica de condução em
camadas planas e cilíndricas. Repetindo o mesmo desenvolvimento – agora, comparando a
Equação (19) com a (13) –, concluímos que a resistência de convecção para uma camada
plana será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a Equação (12), para uma camada cilíndrica, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
éo raio da superfície cilíndrica
comprimento.
A tabela abaixo resume todas as fórmulas para cálculo da resistência térmica:
Condução Convecção
Camada plana
Casca cilíndrica
Rconv,i  =
1
hi Ai
Rconv,i  =
1
2π rs L  hi
rs
Lo
Li
kiAi
1
hi Ai
ln(re/ri)
2πLiki
1
2π rs L  hi
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 3: Fórmulas da resistência térmica. Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento.
As resistências da convecção interna e externa devem ser somadas às resistências de
condução das camadas.
 EXEMPLO
EM UMA TUBULAÇÃO DE AÇO COM DIÂMETRO
EXTERNO DE 50MM E ESPESSURA DE 2MM, ESCOA
ÁGUA A 60 °C. , ENQUANTO HÁ AR A 25°C NO
AMBIENTE EXTERNO. CALCULE A TAXA DE
TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR METRO DE
TUBULAÇÃO SE O COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA
DE CALOR POR CONVECÇÃO INTERNA É
= 400 W/M².K E O EXTERNO É
= 20 W/M².K.
SOLUÇÃO:
No fluxo de calor, do fluido interno (água) até o externo (ar), são atravessadas as seguintes
etapas: convecção da água para a superfície interna, condução na parede cilíndrica,
convecção da superfície externa para o ar. Com isso, a resistência térmica equivalente será:
h̄i
h̄e
Req = Rconv,i + Rcond + Rconv,e
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com a Tabela 3, para camadas cilíndricas, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com as propriedades do aço obtidas na Tabela 1, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando esse valor na Equação (13), obtemos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, nesse problema, a resistência térmica de condução é desprezível, quando
comparada com a de convecção. Veremos, a seguir, uma análise mais detalhada desse tipo de
situação.
MÉTODO DA CAPACIDADE CONCENTRADA
Neste módulo, analisamos o fluxo e taxa de transferência de calor por convecção, quando
passa da superfície sólida para o fluido, e vice-versa. Veremos, a seguir, uma possível
consequência dessa troca de calor, que é o aquecimento ou resfriamento do corpo.
Nesse caso, a condução no interior do corpo e a convecção para o fluido ocorrem
simultaneamente. A razão entre a resistência térmica condutiva e convectiva é medida pelo
número de Biot,
, que, de acordo com as fórmulas da Tabela 3, será:
Req = + +
1
2π ri L  hi
ln ( re/ri )
2πLka
1
2π re L  he
Req = + + =
1
2π ⋅ 0, 023 ⋅ 1 ⋅ 400
ln (0, 025/0, 023)
2π ⋅ 1 ⋅ 55
1
2π ⋅ 0, 025 ⋅ 1 ⋅ 20
= 0, 017 + 0, 00024 + 0, 318 = 0, 335 K/W
Q̇ = − = − = 104 W
ΔT
Req
(25 − 60)
0, 335
Bi = Rconv/Rcond
Bi =  
h  Lc
kcorpo
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para corpos de diferentes geometrias, o comprimento equivalente do corpo pode ser obtido por
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
é o volume
a área da superfície
Se:
: apenas a condução é relevante, então a temperatura da superfície é igual à do fluido.
: apenas a convecção é relevante, então a temperatura é uniforme ao longo do corpo.
Outro: ambos são relevantes.
 
Imagem: INCROPERA e DeWITT, (2014, p. 284)
 Figura 15 - Influência do número de Biot no resfriamento de uma parede
Lc = V /As−
V−
As
Bi ≫ 1
Bi ≪ 1
Vamos considerar, a seguir, o caso em que apenas a resistência térmica por convecção é
significativa, ou seja, que
. Na prática, isso é comumente aceito para
.
A resistência térmica condutiva, dessa forma, é desprezível, o que significa que a temperatura
do corpo pode ser assumida como uniforme. Portanto, o calor trocado por convecção será
absorvido pelo corpo como um todo (capacidade concentrada). Desse modo, podemos igualar
a Equação (2) à (19), mas com sinais contrários, já que a primeira se refere ao calor absorvido,
enquanto a segunda, ao emitido:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a derivada de
(constante) é nula, podemos fazer a substituição
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Bi ≪ 1
Bi < 0, 3
m c = −Ah̄ (Tcorpo − T∞)   →    dt = −  
dT
dt
mc
h̄A
dT
(Tcorpo − T∞)
T∞
dT = d (Tcorpo − T∞) = d (T − T∞)
 dt = −    →      ∫
t
0
dt = − ∫
T
Ti
   →
mc
h̄A
d (T − T∞)
(T − T∞)
mc
h̄A
d (T − T∞)
(T − T∞)
t = −TK ln( )
T − T∞
Ti − T∞
= e−t/TK
T − T∞
Ti − T∞
TK =
mc
h̄A
Com as equações apresentadas, é possível calcular a variação da temperatura de um corpo
aquecido ou resfriado por convecção, quando a resistência condutiva no seu interior é
desprezível (Bi << 1). Esse resultado é representado no gráfico da Figura 16. Para
, resta menos de 1% da diferença inicial de temperatura:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 16 - Gráfico do método da capacidade concentrada (Bi << 1)
 EXEMPLO
UMA LATA DE 250ML DE REFRIGERANTE A 4°C, COM
6,0CM DE DIÂMETRO E 9,0CM DE ALTURA, É
COLOCADA SOBRE UMA MESA DE MADEIRA EM UM
AMBIENTE A 30°C. CONSIDERANDO QUE A
t/TK > 4, 6
Bi ≪ 1
, QUE A TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
CONVECTIVA É
= 10 W/M²K E AS PROPRIEDADES DO REFRIGERANTE
SÃO IGUAIS ÀS DA ÁGUA, CALCULE QUANTO TEMPO
LEVARÁ PARA ATINGIR 15°C.
SOLUÇÃO:
Como
, podemos utilizar o método da capacidade concentrada. De acordo com a Equação (21),
desconsiderando para o cálculo de A a superfície da base (não troca calor), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CORRELAÇÕES EMPÍRICAS
Conforme vimos, a equação da Lei de resfriamento de Newton depende do valor de
. Uma alternativa para obtê-lo são correlações empíricas, obtidas por dados experimentais.
Para isso, faz-se necessário a aplicação da análise dimensional, cujo primeiro passo consiste
em listar as variáveis relevantes para o fenômeno.
h̄
Bi ≪ 1
TK = = = 5292 s
mc
h̄A
0, 25 ⋅ 4190
10 ⋅ [2π ⋅ 0, 03 ⋅ 0, 09 + π(0, 03)2]
t = −TK ln( ) = −5292 ln( ) = 2911 s ≅48 min
T − T∞
Ti − T∞
15 − 30
4 − 30
h̄
Vejamos, a seguir, quais são as variáveis relevantes:
Coeficiente de transferência de calor convectivo,
Velocidade da corrente livre, afastada do sólido,
Massa específica,
Viscosidade dinâmica ou cinemática,
Comprimento característico,
, comumente definido como volume do corpo dividido pela área superficial ou como o
diâmetro
Condutividade térmica do fluido,
Calor específico do fluido,
Difusividade térmica do fluido,
¯̄¯
h
u∞ 
ρ
μ ou ν =
μ
ρ
L
D
kf
cp
α =
k
ρcp
Coeficiente de expansão térmica do fluido,
Gravidade, g
Diferença de temperatura entre a superfície do corpo
e o fluido
,
.
Vejamos os exemplos de adimensionais que podem ser formados a partir dessas variáveis:
Nusselt,
Reynolds,
Prandtl,
Grashof,
β
(Ts)
(T∞)
ΔT = Ts  − T∞
Nu =
¯̄¯
hL
kf
Re =
ρu∞L
μ
Pr =
cpμ
kf
Gr = (Ts − T∞)L
3gβ
ν2
Rayleigh,
Stanton,
CAMADA LIMITE TÉRMICA
Correlacionando Nusselt (adimensional que contém
) com os demais, há formulações disponíveis na literatura para diversas condições de
interesse. A seguir, destacaremos alguns casos nos quais as propriedades do fluido devem ser
tomadas como as correspondentes à temperatura média na camada limite térmica, que é a
espessura ao longo da qual há variação significativa da temperatura, ou seja,
:
Ra = Gr Pr = (Ts − T∞)L
3
gβ
να
St =   =
Nu
Re.Pr
¯̄¯
h
ρucp
h̄
Tf = (Ts + T∞)/2
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 17 - Camada limite térmica
CONVECÇÃO NATURAL EM ESFERAS (
)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONVECÇÃO NATURAL EM PLANOS E CILINDROS
VERTICAIS (SE
RaD < 10
11 e Pr > 0, 7
NuD = 2 +
0, 589 ⋅ Ra
1/4
D
[1 + (0, 469/Pr)9/16]
4/9
D/L ≥ 35/Gr
1/4
L
)
 Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal
CONVECÇÃO NATURAL EM PLANOS HORIZONTAIS
Superfície aquecida acima do fluido ou resfriada abaixo do fluido:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Superfície aquecida abaixo do fluido ou resfriada acima do fluido:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONVECÇÃO NATURAL EM CILINDROS HORIZONTAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONVECÇÃO FORÇADA COM ESCOAMENTO
LAMINAR SOBRE UMA PLACA PLANA
NuL =
⎧⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪⎩
0, 825 +
⎫⎪ ⎪
⎬
⎪ ⎪⎭
2
0, 387 Ra
1/6
L
[1 + (0, 492/Pr)9/16]
8/27
{
105 < RaL < 2 ⋅ 10
7 → NuL = 0, 54 Ra
1/4
L
2 ⋅ 107 < RaL < 3 ⋅ 10
10 → NuL = 0, 14 Ra
1/3
L
3 ⋅ 105 < RaL < 10
10 →    NuL = 0, 27 Ra
1/4
L
NuD =
⎧⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪⎩
0, 60 +
⎫⎪ ⎪
⎬
⎪ ⎪⎭
2
0, 387 Ra
1/6
D
[1 + (0, 559/Pr)9/16]
8/27
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONVECÇÃO FORÇADA COM ESCOAMENTO
TURBULENTO SOBRE UMA PLACA PLANA, PARA 0,6 <
PR < 60 E 5
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONVECÇÃO FORÇADA COM ESCOAMENTO
EXTERNO EM ESFERA ISOLADA, PARA 0,71 < PR <
380, 3,5 <
< 7,6
< 3,2 :
Nu = 0, 664 Re
1/2
L Pr
1/3
⋅105 < ReL < 10
8
Nu = (0, 037 Re4/5L − 871)Pr
1/3
ReD
⋅104, 1, 0 < μ∞/μs
NuD = 2 + (0, 4 Re1/2D + 0, 06 Re
2/3
D )Pr
0,4( )
1/4μ∞
μs
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
e s remetem às propriedades do fluido para temperatura da corrente livre (afastado do corpo) e
na superfície sólida, respectivamente.
CONVECÇÃO FORÇADA COM ESCOAMENTO
TURBULENTO INTERNO EM DUTOS, PARA 0,7 < PR <
160,
> 10.000 E
> 10:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
para aquecimento e
para resfriamento
∞
ReD
L
D
NuD = 0, 023 Re
0,8
D Pr
n
n = 0, 4
n = 0, 3
CONVECÇÃO FORÇADA COM ESCOAMENTO
EXTERNO PERPENDICULAR A CILINDROS, PARA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
EM UM MOMENTO EM QUE NÃO HÁ VENTO E A
TEMPERATURA É DE 25°C, A SUPERFÍCIE DE UMA
LAJE QUADRADA DE 5M DE COMPRIMENTO ESTÁ 1°C
MAIS QUENTE QUE O AMBIENTE. CALCULE O
COEFICIENTE CONVECTIVO PARA ESSA SITUAÇÃO.
CONSIDERE QUE AS PROPRIEDADES DO FLUIDO NA
CAMADA LIMITE SÃO IGUAIS À TEMPERATURA
AMBIENTE (25°C). CALCULE TAMBÉM A TAXA DE
TRANSFERÊNCIA DE CALOR.
SOLUÇÃO:
Trata-se de uma superfície plana horizontal (laje) e, como não há vento, haverá convecção
natural. Nesse caso, é necessário calcular o número de Rayleigh, que para as propriedades do
ar a 25 °C valerá:
ReDPr > 0, 2
NuD = 0, 3 + [1 + ( )
5/8
]
4/5
0, 62 Re
1/2
D Pr
1/313
[1 + (0, 4/Pr)2/3]
1/4
ReD
282000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a superfície está sendo resfriada e encontra-se abaixo do fluido e
, então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com a definição de Nusselt:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, esse valor pode ser utilizado para o cálculo da taxa de transferência de calor:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO REGIME PERMANENTE, ENCONTRE O COEFICIENTE
DE CONDUTIVIDADE TÉRMICA (K), EM W/M.K, PARA A PAREDE DA
FIGURA A SEGUIR:
RaL = (Ts − T∞)L
3 = (1) 53 = 1, 8 ⋅ 1010
gβ
να
9, 8 ⋅ (3, 67 ⋅ 10−3)
(1, 5 ⋅ 10−5) ⋅ (17 ⋅ 10−6)
2 ⋅ 107 < RaL < 3 ⋅ 10
10
NuL = 0, 14 Ra
1/3
L = 367
NuL =
h L
kf
→     h = = = 1, 5 W/m²KNuLkf
L
367⋅0,02
5
Q̇ = A h (Tc − T∞)= 5
2 ⋅ 1, 5 ⋅(1)= 37 W
A) 64
B) 800
C) 0,32
D) 80
E) 40
2. UMA ESFERA DE COBRE COM 2,5CM DE DIÂMETRO POSSUI UMA
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE TEMPERATURA A 40°C. A ESFERA ESTÁ
SUSPENSA EM UMA LENTA CORRENTE DE AR A 0°C. A CORRENTE DE
AR PRODUZ UM COEFICIENTE DE CONVECÇÃO TÉRMICA DE 15 W/M²K.
CALCULE A TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR, EM WATTS.
A) 4,6
B) 15
C) 40
D) 600
E) 1,18
3. PARA O PROBLEMA ANTERIOR, CALCULE QUANTO TEMPO LEVARÁ,
EM MINUTOS, PARA QUE A TEMPERATURA DA ESFERA ESFRIE PARA
20°C. DADOS: 
 
MASSA ESPECÍFICA DO COBRE,
 
CALOR ESPECÍFICO DO COBRE
A) 1,2
B) 11
C) 50
D) 38
E) 16
4. UM DISSIPADOR DE CALOR TRANSMITE, POR CONVECÇÃO,
PARA O AR COM COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
. SE A TEMPERATURA DO AR É DE 22°C E A RADIAÇÃO É
DESPREZÍVEL, QUAL É A TEMPERATURA DA SUPERFÍCIE DO
DISSIPADOR, EM °C?
A) 56
B) 34
C) 89
ρcobre = 8.900kg/m
3
ccobre = 380J/kg.K
q̇ = 1200W/m²
h̄ = 35W/m²K
D) 25
E) 12
5. CALCULE O COEFICIENTE PARA CONVECÇÃO FORÇADA, EM W/M²K,
RESULTANTE DO ESCOAMENTO DE PETRÓLEO 
 E A 1,5 M/S EM UM
DUTO LONGO COM 380MM DE DIÂMETRO INTERNO, QUANDO O FLUIDO
ESTÁ AQUECIDO, OU SEJA, OCORRE AQUECIMENTO DO TUBO.
A) 32
B) 2960
C) 620
D) 4,3
E) 128
6. CALCULE O COEFICIENTE PARA CONVECÇÃO, EM W/M²K, FORÇADA
EXTERNA DE UM ESCOAMENTO DE ÁGUA DO MAR
A 0,50 M/S QUE INCIDE, PERPENDICULARMENTE, EM UM CILINDRO DE
400MM DE DIÂMETRO.
A) 12
B) 572
C) 0,61
D) 1300
E) 848
GABARITO
ρ = 900kg/m³,
μ = 1, 2cP , c = 2130J/kg.K k = 0, 08W/m.K
(ρ = 1025kg/m³)
1. Considerando regime permanente, encontre o coeficiente de condutividade térmica
(k), em W/m.K, para a parede da figura a seguir:
A alternativa "A " está correta.
Em regime permanente, o calor que atravessa a parede por condução deverá ser igual ao que
é trocado entre a superfície e o ar por convecção:
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Com base na Lei de Fourier (Módulo 2), com distribuição linear de temperatura, e na Lei do
Resfriamento de Newton, temos:
 
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2. Uma esfera de cobre com 2,5cm de diâmetro possui uma distribuição uniforme de
temperatura a 40°C. A esfera está suspensa em uma lenta corrente de ar a 0°C. A
corrente de ar produz um coeficiente de convecção térmica de 15 W/m²K. Calcule a taxa
de transferência de calor, em watts.
qcond = qconv
−k = −h̄ (20 − 100)
(0 − 20)
0, 08
→ k = 0, 32h̄ = 0, 32 ⋅ 200 = 64 W/mK
A alternativa "E " está correta.
De acordo com a Lei de Resfriamento de Newton:
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A área da superfície será:
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Então:
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3. Para o problema anterior, calcule quanto tempo levará, em minutos, para que a
temperatura da esfera esfrie para 20°C. Dados: 
 
Massa específica do cobre,
 
Calor específico do cobre
A alternativa "B " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão
CONVECÇÃO EM CORPOS COM
CAPACIDADE CONCENTRADA
Q̇ = Ah̄(Tc − T∞)
A = 4πR2 = 4π( )
2
= 0, 00196 m²0,025
2
Q̇ =(0, 00196)⋅15 ⋅  (40 − 0)= 1, 18 W
ρcobre = 8.900kg/m
3
ccobre = 380J/kg.K
4. Um dissipador de calor transmite, por convecção,
para o ar com coeficiente de transferência de calor
. Se a temperatura do ar é de 22°C e a radiação é desprezível, qual é a temperatura da
superfície do dissipador, em °C?
A alternativa "A " está correta.
De acordo com a Lei de Resfriamento de Newton, temos:
 
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5. Calcule o coeficiente para convecção forçada, em W/m²K, resultante do escoamento
de petróleo e a 1,5
m/s em um duto longo com 380mm de diâmetro interno, quando o fluido está aquecido,
ou seja, ocorre aquecimento do tubo.
A alternativa "C " está correta.
Para calcular o coeficiente convectivo por meio de correlações empíricas, é fundamental
calcular os adimensionais Re e Pr:
 
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q̇ = 1200W/m²
h̄ = 35W/m²K
q̇ = h̄(Tc − T∞)
Tc = + T∞ = + 22 = 56°C
q̇
h̄
1200
35
ρ = 900kg/m³, μ = 1, 2cP , c = 2130J/kg.Kk = 0, 08W/m.K
ReD = = 4, 3 ⋅ 10
5900⋅1,5⋅0,38
1,2⋅10−3
Pr = = = 32
cpμ
kf
2130⋅ ( 1,2⋅10−3 )
0,08
Observa-se que são atendidas as condições
,
e
, necessárias para utilização da formulação a seguir, que se refere à convecção forçada no
interior de cilindros:
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Em que n=0,4 para aquecimento e n=0,3 para resfriamento. Como se trata de aquecimento do
duto (o fluido está mais quente), temos:
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Lembrando da definição do número de Nusselt:
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6. Calcule o coeficiente para convecção, em W/m²K, forçada externa de um escoamento
de água do mar
a 0,50 m/s que incide, perpendicularmente, em um cilindro de 400mm de diâmetro.
A alternativa "D " está correta.
Primeiramente, devemos calcular, ao menos, os principais adimensionais para convecção
forçada:
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e
0, 7 < Pr < 160
ReD > 10.000
> 10
L
D
NuD = 0, 023 Re
0,8
D Pr
n
NuD = 0, 023 (4, 3 ⋅ 105)
0,8
(32)0,4 = 2955
h̄ = = ≅620 W/m²KNuDkf
D
2955⋅0,08
0,38
(ρ = 1025kg/m³)
ReD = = = 2, 1 ⋅ 10
5ρVD
μ
1025⋅0,5⋅0,4
10−3
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Constata-se que a condição
é atendida, de modo que podemos utilizar a seguinte fórmula para condução forçada por
escoamento externo perpendicular a cilindro:
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Lembrando-se que
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma parede de um edifício tem 1,5cm de argamassa (interna e externa) e 9,0 cm de espessura
correspondente a tijolos maciços de cerâmica.
Pr = = = 6, 9
cpμ
kf
4190⋅10−3
0,61
ReDPr > 0, 2
NuD = 0, 3 + [1 + ( )
5/8
]
4/5
= 848
0,62 Re
1/2
D Pr
1/3
[ 1+( )
2/3
]
1/4
0,4
Pr
ReD
282000
NuD =
¯̄¯
hD
kf
h̄ = = ≅1300 W/m²KNuDkf
D
848⋅0,61
0,4
 
Foto: Shutterstock.com
Em um dia em que a temperatura do ambiente externo é de 35°C e do interno é mantida por
ar-condicionado em 23 °C, calcule:
a) O fluxo de calor que atravessa a parede;
b) O fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3 cm de EPS.
Considere os seguintes dados (NBR 15220-2 Desempenho térmico de edificações – Parte 2):
Coeficiente de transferência de calor: 7,7 W/m².K e 25,0 W/m².K (interno e externo);
Condutividade térmica: argamassa 1,15 W/m.K; tijolos de cerâmica 0,70 W/m.K e EPS
0,04 W/m.K.
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
ISOLAMENTO TÉRMICO EM EDIFICAÇÕES
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA PEDRA DE GELO A 0°C, COM FORMATO DE CUBO COM ARESTA
DE 2,0CM, É COLOCADA SOBRE UMA SUPERFÍCIE ISOLANTE, EM UM
AMBIENTE COM TEMPERATURA DE 30°C. QUANTO TEMPO LEVARÁ, EM
MINUTOS, PARA QUE SEJA TOTALMENTE DESCONGELADO? ASSUMA
UMA ÁREA DE SUPERFÍCIE CONSTANTE E IGUAL A ÁREA INICIAL.
COMO SUGESTÃO, VOCÊ PODE VERIFICAR A PRECISÃO DO CÁLCULO
FAZENDO UM EXPERIMENTO EM CASA COM UMA PEDRA DE GELO
SOBRE ISOPOR. 
 
CONSIDERE OS SEGUINTES DADOS: 
• CALOR LATENTE DE FUSÃO DA ÁGUA 80 CAL/G = 335 KJ/KG 
• MASSA ESPECÍFICA DO GELO
= 920 KG/M³ 
• COEFICIENTE CONVECTIVO
= 10 W/M²K 
ρg
h̄
A) 5
B) 10
C) 70
D) 120
E) 6
2. DUTOS SUBMARINOS PARA TRANSPORTE DE PETRÓLEO DE
GRANDE DIÂMETRO COSTUMAM TER UM REVESTIMENTO DE
CONCRETO, QUE TEM COMO UM DOS SEUS OBJETIVOS PROVER
ISOLAMENTO TÉRMICO.
CALCULE A REDUÇÃO PERCENTUAL DE CALOR QUE ATRAVESSA O
DUTO, CONSIDERANDO A CONVECÇÃO INTERNA E EXTERNA, QUE
OCORRE COM A APLICAÇÃO DE UMA CAMADA DE CONCRETO COM
30MM DE ESPESSURA. DA SITUAÇÃO 1 PARA A 2, É ADICIONADA UMA
CAMADA EXTERNA DE CONCRETO. NO ENTANTO, EM AMBOS OS
CASOS, HÁ CONVECÇÃO EXTERNA, OU SEJA, PASSAGEM DO CALOR
DA SUPERFÍCIE PARA O FLUIDO, SEJA A SUPERFÍCIE AÇO OU
CONCRETO. 
 
CONSIDERE OS SEGUINTES DADOS: 
• DIÂMETRO EXTERNO E ESPESSURA DO AÇO: 400MM E 10MM 
• CONDUTIVIDADE DO AÇO E DO CONCRETO: 55 W/M.K E 1,75 W/M.K 
• COEFICIENTE CONVECTIVO INTERNO E EXTERNO: 620 W/M²K E 1300
W/M²K (SOLUÇÕES DAS QUESTÕES MÃO NA MASSA 5 E 6) 
• TEMPERATURA DO FLUIDO INTERNO E EXTERNO: 60 °C E 5 °C 
 
MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) 86%
B) 14%
C) 50%
D) 25%
E) 38%
GABARITO
1. Uma pedra de gelo a 0°C, com formato de cubo com aresta de 2,0cm, é colocada sobre
uma superfície isolante, em um ambiente com temperatura de 30°C. Quanto tempo
levará, em minutos, para que seja totalmente descongelado? Assuma uma área de
superfície constante e igual a área inicial. Como sugestão, você pode verificar a precisão
do cálculo fazendo um experimento em casa com uma pedra de gelo sobre isopor. 
 
Considere os seguintes dados: 
• Calor latente de fusão da água 80 cal/g = 335 kJ/kg 
• Massa específica do gelo
= 920 kg/m³ 
• Coeficiente convectivo
= 10 W/m²K 
A alternativa "C " está correta.
 
A área inicial, desconsiderando a base, onde não há troca de calor, será
ρg
h̄
Ai = 5L
2 = 5 ⋅ (0, 02)2 = 0, 002 m²
.
A quantidade de calor necessária para derreter o gelo é:
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Pela Lei de resfriamento de Newton, temos:
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O sinal negativo indica que o calor sai da pedra de gelo. Com essa taxa, o tempo para derreter
o gelo será:
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2. Dutos submarinos para transporte de petróleo de grande diâmetro costumam ter um
revestimento de concreto, que tem como um dos seus objetivos prover isolamento
térmico.
Calcule a redução percentual de calor que atravessa o duto, considerando a convecção
interna e externa, que ocorre com a aplicação de uma camada de concreto com 30mm de
espessura. Da situação 1 para a 2, é adicionada uma camada externa de concreto. No
entanto, em ambos os casos, há convecção externa, ou seja, passagem do calor da
superfície para o fluido, seja a superfície aço ou concreto. 
 
Considere os seguintes dados: 
• Diâmetro externo e espessura do aço: 400mm e 10mm 
Q = mcL = ρgV cL = 920 ⋅ (0, 02)
3
⋅ 335 ⋅ 103 = 2, 46 kJ
Q̇ = Ah̄(Tc − T∞)= 0, 002 ⋅ 10 ⋅(0 − 30)= −0, 6 W
Q̇ =   →     Δt = = 4100 s ≅70 min
Q
Δt
2460
0,6
• Condutividade do aço e do concreto: 55 W/m.K e 1,75 W/m.K 
• Coeficiente convectivo interno e externo: 620 W/m²K e 1300 W/m²K (soluções das
questões Mão na Massa 5 e 6) 
• Temperatura do fluido interno e externo: 60 °C e 5 °C 
 
Marque a alternativa correta:
A alternativa "A " está correta.
 
A resistência térmica equivalente sem o concreto (situação 1), contempla a convecção na
superfície interna, a condução na camada de aço e a convecção na superfície externa, todas
em camadas (cascas) cilíndricas, conforme a Tabela 3:
 
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A partir da Equação (13), o fluxo de calor será:
 
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Na situação 2, será adicionada uma camada de concreto (condução), de forma que a
resistência equivalente passará a ser:
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Calculando-se, novamente, a taxa de transferência de calor por comprimento de duto, temos:
 
Req1 = + + =
1
2π ri L ̄ ¯̄hi
ln(re/ri)
2πLka
1
2π re L ̄ ¯̄̄he
= + + = K.m/W1
2π ( )  L 6200,38
2
ln(0,2/0,19)
2πL55
1
2π ( )  L 13000,4
2
0,0021
L
Q̇1 = − = − = 26 ⋅ 10
3L WΔTReq1
( 5−60 )
0,0021
L
→    = 26 kW
Q̇1
L
Req2 = Req1 + = + = mK/W
ln(re/ri)
2πLkc
0,0021
L
ln(0,23/0,2)
2πL1,75
0,015
L
Q̇2 = − = 3, 7 ⋅ 10
3L WΔT
Req2
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Dividindo-se o calor transferido com a instalação da camada de concreto
pela condição anterior
, teremos:
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