Unidade VI - Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas

Prévia do material em texto

Álgebra e Teoria 
Elementar dos 
Números
Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Alessandra Garcia de Andrade e Silva
Revisão Técnica:
Prof. Ms. Fabio Douglas Farias
Revisão Textual:
Prof. Ms. Luciano Vieira Francisco
5
• Teorema de Bezout
• Equações diofantinas lineares
Ao término deste estudo você seja capaz de trabalhar com as ideias da Teoria dos 
Números, fazendo uso das linguagens matemáticas, selecionando, organizando e 
interpretando informações.
Realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além 
de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Finalmente – e o mais importante – fique atento às atividades avaliativas propostas e ao 
prazo para realização dessas.
Bom estudo!
Nesta Unidade estudaremos o Teorema de Bezout, que utiliza 
as relações do Algoritmo da Divisão e Máximo Divisor Comum 
(MDC) para determinar valores únicos para que, sempre que 
houver a, b inteiros e d = mdc(a, b), existam inteiros r e s, 
tais que d = ra + sb. Com base nesses valores únicos de r e 
s torna-se possível determinar pares de valores para qualquer 
equação diofantina do tipo ax + by = c.
Teorema de Bézout e as Equações 
Diofantinas
6
Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas
Contextualização
Na Matemática, uma equação diofantina é uma 
equação polinomial que permite a duas ou mais 
variáveis assumirem apenas valores inteiros. Uma 
equação linear diofantina é uma equação entre duas 
somas de monômios de grau zero ou um.
Problemas diofantinos possuem menos equações 
que variáveis desconhecidas e se resumem a achar 
inteiros que deverão funcionar corretamente para 
todas as equações. 
A palavra diofantina se refere ao matemático 
helenístico Diofanto de Alexandria (250 d.C.), o 
qual estudou tais equações e foi um dos primeiros 
matemáticos a introduzir o uso de símbolos na 
Álgebra. O estudo matemático de problemas 
diofantinos propostos por Diofanto agora é chamado 
de análise diofantina.
Fonte: Wikipédia.
7
Teorema de Bezout
Uma propriedade extremamente importante do máximo divisor comum de dois inteiros é o 
chamado Teorema de Bezout: sejam a e b inteiros não ambos nulos, então existem inteiros r e 
s, tais que r . a + s . b = mdc(a, b).
Podemos encontrar um par de r e s encontrando o mdc(a, b) por meio das divisões sucessivas.
Sejam a e b inteiros, b ≠ 0, e q, r o quociente e o resto da divisão de a por b, respectivamente, 
então, D(a, b) = D(b, r); de modo que temos também mdc(a, b) = mdc(b, r).
O algoritmo euclidiano fornece uma forma prática na obtenção de inteiros r e s nas condições 
do Teorema de Bézout: 
 bqar 11 −=
Isto é, 1r foi escrito como uma combinação linear de a e b. Substituindo 1r pelo seu valor na 
segunda, temos:
b = 221 )( rqbqa +− ; 
logo, bqqaqr )1( 2122 ++−= .
Novamente, pode-se escrever 2r como a combinação linear de a e b. Na igualdade 
seguinte poderemos substituir 1r e 2r pelas expressões achadas e escrever 3r em função de a 
e b. Reiterando o processo, finalmente obteremos uma expressão para nr como combinação 
linear de a e b.
Exemplo 1
Para a = 336 e b = 60, determinar os valores de r e s, tais que r . a + s . b = mdc(a, b), ou 
seja, r . 336 + s . 60 = mdc(336, 60).
Inicialmente calculamos o MDC de a e b pelo algoritmo de Euclides:
5 1 1 2
336 60 36 24 12
36 24 12 0
Logo, mdc(336, 60) = 12
Então teremos que determinar r . 336 + s . 60 = 12
Escrevemos cada divisão realizada pelo algoritmo da divisão:
I) 336 = 60 . 5 + 36
II) 60 = 36.1 + 24
III) 36 = 24. 1 + 12
IV) 24 = 12 . 2 + 0
8
Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas
Essas sentenças devem estar em função de 336 e 60. Para isso, iniciamos o processo isolando 
o resto 36 na primeira sentença:
336 = 60 . 5 + 36
336 - 5.60 = 36 (note que invertemos 60 . 5 por 5. 60 para facilitar o processo).
Logo, temos 36 = 336 - 5 . 60
Como temos que chegar no resto 12 e manter as sentenças em função de a e b, ou seja 336 
e 60, devemos substituir 36 (resto da primeira sentença) na segunda sentença:
60 = 36 . 1 + 24 
60 = 1 . 336 - 5.60 + 24 (como 36 está multiplicando 1, não precisamos mencionar 
esta multiplicação).
Devemos então isolar o resto 24:
1 . 60 - 1. 336 + 5 . 60 = 24 (para facilitar multiplicamos por 1)
6 . 60 - 1 . 336 = 24
Para a terceira sentença devemos substitur 36 e 24 para manter as sentenças em função de 
336 e 60 e, assim, isolando o resto 12 chegaremos ao teorema r . a + s . b = mdc(a, b) = r . 
336 + s . 60 = 12
36 = 24 . 1 + 12
1 . 336 - 5 . 60 = 6 . 60 - 1 . 336 + 12 (isolando o resto 12)
1 . 336 - 5 . 60 - 6 . 60 + 1 . 336 = 12
2 . 336 - 11 . 60 = 12
Logo, os inteiros r e s procurados são 2 e -11.
Exemplo 2
Para a = 1128 e b = 336, determinar os valores de r e s, tais que r . a + s . b = mdc(a, b), 
ou seja, r . 336 + s . 60 = mdc(1128, 336)
Inicialmente deve-se calcular o MDC de a e b pelo algoritmo de Euclides:
3 2 1 4
1128 336 120 96 24
120 96 24 0
9
Escrevendo as sentenças, temos:
I) 1128 = 336 . 3 + 120
II) 336 = 120 . 2 + 96
III) 120 = 96 . 1 + 24
IV) 96 = 24 . 4 + 0
Em (I), isolando o resto, temos:
120 = 1 . 1128 - 3 . 336
Substituindo em (II), temos:
1 . 336 = 2 . (1 . 1128 - 3 . 336) + 96 
Isolando 96, temos:
96 = 1. 336 - 2 (1 . 1128 - 3 . 336) 
96 = 1. 336 - 2 . 1128 + 6 . 336
96 = -2 . 1128 + 7 . 336 
Finalmente, em (III) obteremos:
120 = 1 . 96 + 24
1 . 1128 – 3 . 336 = 1 . ( -2 .1128 + 7 . 336) + 24
Isolando 24, que é o mdc(a, b), temos:
24 = 1 . 1128 - 3 . 336 + 2 . 1128 – 7 . 336 
24 = 3 . 1128 - 10 . 336
Assim, um par de inteiros r, s nas condições do Teorema de Bezout é dado por r = 3 e s = -10
10
Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas
Equações diofantinas lineares
Consideremos equações diofantinas da forma de ax + bx = c, em que a e b não são nulos. 
Procura-se soluções inteiras, isto é, pares de números x, y Є Z, tais que ax + by = c
Diophanto de Alexandria (250 d.C.) foi o primeiro a considerar problemas que envolvem 
equações indeterminadas que eventualmente admitem infinitas soluções. Esse tipo de equação 
associa-se tradicionalmente ao seu nome.
Sabemos que inúmeros problemas da vida diária admitem apenas soluções inteiras. 
Suponhamos, por exemplo, que se quer adquirir um determinado líquido que é vendido em 
recipientes de sete litros ou de quinze litros e se deseja fazer uma compra de 125 litros, chamando 
de x e y o número de recipientes de quinze litros e sete litros, respectivamente, a resolução deste 
problema nos leva à equação diofantina: 15x + 7y = 125
Sabe-se que uma equação do tipo ax + by = c, em que se admitem valores reais para as 
variáveis x e y representa uma reta no plano cartesiano.
Algumas equações diofantinas nunca têm solução. Por exemplo, na equação 4x + 6y = 5, 
para qualquer par de x e y o primeiro membro é um par, enquanto o segundo é ímpar. Portanto, 
essa equação não tem solução.
Começaremos o estudo procurando condições para a existência de soluções.
Sejam a, b e c inteiros e d = mdc(a, b), a equação diofantina ax + by = c tem solução se e 
somente se d for divisor de c (condição de existência para as equações diofantinas).
Teorema
Sejam a, b e c inteiros, tais que d = mdc(a, b) divide c. Escrevendo d da forma d = r . a + 
s . b, com r, s Є Z, temos que X0 = r . d
c , Y0 = s . d
c é uma solução da equação ax + bx = c 
(solução particular).
Qualquer outra solução é da seguinte forma:
X = r . + t Y = s . - t, com t Є R.
Reciprocamente, para todo t Є Z os valores x e y dados pelas fórmulas acima são soluções 
da equação.
Demonstração:
Solucão X e Y - Particular
Seja a, b e c inteiros, tais que ax + by = c e d = mdc (a, b) que divide c.
11
Escrevendo d na forma d = ra + sb, com r, s E Z, temos que:
 d = ra + sb
Como d divide c, podemos multiplicar ambos os termos por 
d
c : 
d. 
d
c = (ra + sb) . 
d
c 
c = 
d
ars
 + 
d
bsc c = ax + by, logo:
x = 
d
rc
 e y = 
d
sc
  solução particular
Pelo Teorema de Bezout determinamos o primeiro par (x, y), solução da equação. Existirão 
outras? Para responder a esta questão pode-se supor que exista mais do que uma solução.
Supõe-se que x’, y’, x0 e y0 sejam soluções de ax + by = c e d = mdc(a, b), com isso tem-se então
ax’ + by’ = c e ax0 + by0 = c
Logo:
ax’ + by’ = ax0 + by0 
ax’ - ax0 = by0 - by’ 
a(x’ - x0) = b(y0 - y’)
* Como d divide a e b, existem inteiros r e s, tais que a = dr e b = ds
dr(x’ - x0) = ds(y0 - y’)
Dividindo ambos os termos por d, temos:
r(x’ - x0) = s(y0 - y’)
(x’ - x0) = s(y0 - y’)
r 
Como r divide (y0 - y’), portanto, (y0 - y’) = rt para algum inteiro t. Logo:
(x’ - x0) = srt
r(x’ - x0) = s(y0 - y’) = srt
r(x’ - x0) = srt e s(y0 – y’) = srt
12
Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas
(x’ - x0) = srt (y0 – y’) = srt
r s
(x’ - x0) = st (y0 - y’) = rt
Como b = ds, logo, s = 
d
b e a = dr, temos r = 
d
a 
(x’ - x0) = d
b (y0 – y’) = d
a t
x’ = x0 + d
b t - y’ = 
d
a t – y0
 y’ = y0 – d
a t
Solução geral
Voltemos ao nosso cenário inicial referente ao recipiente dos líquidos. Tal problema caiu na 
equação diofantina 15x + 7y = 125, onde x representa a quantidade de recipientes para quinze 
litros e y a quantidade de recipientes para sete litros.
Pelo processo de resolução das equações diofantinas, o primeiro passo é a verificação da 
condição de existência, sejam a, b e c inteiros e d = mdc(a, b). A equação diofantina ax + by 
= c tem solução se e somente se d for divisor de c. Para tal equação temos:
a = 15
b = 7
c = 125
d = mdc(a, b)
Pelo algoritmo de Euclides, mdc(15, 7) = 1, logo, d é divisor de c, portanto, existe(m) 
solução(ões) para a equação:
2 7
15 7 1
1 0
 
Segundo passo: pelo Teorema de Bezout deve-se determinar os inteiros r e s, tais que r . a + s . 
b = mdc(a, b), ou seja r . 15 + s . 7 = 1. Pelo processo das divisões sucessivas temos as sentenças:
I) 15 = 2 . 7 + 1, isolando o resto 1, que é o MDC, temos:
1 . 15 - 2 . 7 = 1, logo, r = 1 e s = -2.
13
Terceiro passo: após determinar r e s, temos a solução particular, ou seja, o primeiro par de 
valores x e y que satisfazem a equação:
x = 
d
rc
 e y = 
d
sc
Para nosso problema temos:
x = 
d
rc
 x =
1
125.1 x = 125 
y = 
d
sc
 y =
 
1
125).2(−
 y = -250 
Temos, então, o par ordenado (125, -250) que não pode ser solução do problema, pois x e y 
devem ser números naturais, uma vez que representam quantidade de recipientes.
Quarto passo: determinar a solução geral para encontrar todos os valores da equação e, 
em especial para essa equação, todos os valores positivos. Pelo conceito temos, x0 = r . d
c , y0 
= s . 
d
c , e para a solução geral: 
x = x0 + d
b t y = y0 – d
a t ou:
x = r . 
d
c + 
d
b t y = s. 
d
c - 
d
a t 
Para nossa equação temos:
x = 125 + t1
7
 y = -250 - 15
1
t
As equações para determinar o(s) valor(es) de x e y são:
x = 125 + 7t y = -250 – 15t
Para nosso exemplo devemos determinar quais são os valores de t que determinam x e y 
positivo. Logo, temos:
Para x: 125 + 7t > 0
 7t > -125
 t > −125
7
 t > -17,8
14
Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas
Para y: -250 - 15t > 0
 -15t > 250
 15t < -250
 t < −250
15
 t < -16,6
Pela reta numérica vemos que o único valor de t maior que -17,8 e menor que -16,6, ou seja, 
que determina valores positivos para x e y, é -17:
 
-18 -17,8 -16,6 -16-17
Quinto passo: já sabemos que o valor de t que determina valores positivos para x e y é -17, 
devemos então substituir -17 na equação geral:
x = 125 + 7t y = -250 – 15t
x = 125 + 7 . (-17) y = -250 – 15 . (-17)
x = 125 - 119 y = -250 + 255
x = 6 y = 5
Logo, temos como resolução para o problema: seis recipientes para quinze litros e cinco 
recipientes para sete litros: (6 . 15 + 5 . 7 = 125)
Exemplo 2
Determinar as soluções para a equação 56x + 72y = 40
Primeiro passo: verificação da condição de existência, sejam a, b e c inteiros e d = mdc(a, 
b). A equação diofantina ax + by = c tem solução se e somente se d for divisor de c. Para tal 
equação temos:
a = 56
b = 72
c = 40
d = mdc(a, b) = 8
15
Pelo algoritmo de Euclides, mdc(56, 72) = 8, logo, d é divisor de c, portanto, existem soluções 
para a equação:
1 3 2
72 56 16 8
16 8 0
Segundo passo: pelo Teorema de Bezout, devemos determinar os inteiros r e s, tais que r . 
a + s . b = mdc(a, b), ou seja, r . 56 + s . 72 = 40. Pelo processo das divisões sucessivas temos 
as sentenças:
I) 72 = 56 . 1 + 16
II) 56 = 16 . 3 + 8
III) 16 = 8 . 2 + 0
Isolando o resto 16 na primeira sentença, temos:
1 . 72 - 1 . 56 = 16
Substituindo o valor de 16 na sentença (II), temos:
56 = 16 . 3 + 8
56 = (1 . 72 - 1 . 56) . 3 + 8 
56 = 3 . 72 - 3 . 56 + 8
Isolando o resto 8 temos:
1 . 56 - 3 . 72 + 3 . 56 = 8
4 . 56 - 3 . 72 = 8
Para r . a + s . b = mdc(a, b), temos: r . 56 + s . 72 = 8, r = 4 e s = -3
Terceiro passo: após determinar r e s, temos a solução particular, ou seja, o primeiro par de 
valores x e y que satisfazem a equação:
x =
d
rc
 e y =
d
sc
 
Para nosso problema temos:
x = 
d
rc
 x = 
8
40.4
 x = 20 
y = 
d
sc
 y = 
8
40).3(− y = -15 
Temos então o par ordenado (20, -15) que é o primeiro resultado para a equação proposta.
16
Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas
Quarto passo: determinar a solução geral para encontrar outros valores da equação: 
x r c
d
b
d
t� �. y s
c
d
a
d
t� �. 
Para nossa equação temos:
x t� �20 72
8
 y t� � �15 56
8
As equações para determinar o(s) valor(es) de x e y são:
x = 20 + 9t y = -15 - 7t
Quinto passo: Para essa equação não temos nenhuma restrição quanto aos valores de t. 
Sabemos também que teremos um conjunto infinito de soluções. Determinaremos algumas, 
atribuindo valores aleatórios para t (positivos e negativos):
Para t = 1
x = 20 + 9t y = -15 - 7t
x = 20 + 9 . 1 y = -15 - 7 . 1 
x = 20 + 9 y = -15 - 7
x = 29 y = -22
Para t = -3
x = 20 + 9t y = -15 - 7t
x = 20 + 9 . (-3) y = -15 - 7(-3) 
x = 20 - 27 y = -15 + 21
x = -7 y = 6
Para t = 2
x = 20 + 9t y = -15 - 7t
x = 20 + 9 . 2 y = -15 – 7 . 2 
x = 20 + 18 y = -15 - 14
x = 38 y = -29
Logo, temos os seguintes pares ordenados como resolução:
{(20, -15), (29, -22), (-7, 6), (38, -29)}, entre outros.
17
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre a resolução de equações 
diofantinas, consulte as seguintes referências: 
• Livro de GUELLI, Oscar. Equação: o idioma da Álgebra. São 
Paulo: Ática: [20--]. (Coleção Contando a História da Matemática; 2).
• Vídeo Equações diofantinas lineares, disponível em: <http://
www.youtube.com/watch?v=Zgd2DbZcPEE>;
• Vídeo Teorema de Bezout, disponível em: <http://www.youtube.
com/watch?v=MM-G7IbWSUE>. Figura 1 – Capa do livro 
Equação: o idioma da Álgebra.
18
Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas
Referências
BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1996.
EVES, H. Introdução a história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: 
Atual, 2004.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; ANTONIO, M. Matemática e realidade – 6º ano. 8. ed. São Paulo: 
Atual, 2013.
IFRAH, G. Os números história de uma grande invenção. 10. ed. São Paulo: Globo, 2001.
MILIES, C. P.; COELHO, S. P. Números, uma introdução à Matemática. São Paulo: EDUSP, 
2003.
POMMER, W. M. Equações diofantinas lineares: um desafio motivador para alunos do 
Ensino Médio. 2008. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 
São Paulo.
19
Anotações
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Rua Galvão Bueno, 868
Tel: (55 11) 3385-3000