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Álgebra e Teoria Elementar dos Números Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Profa. Ms. Alessandra Garcia de Andrade e Silva Revisão Técnica: Prof. Ms. Fabio Douglas Farias Revisão Textual: Prof. Ms. Luciano Vieira Francisco 5 • Teorema de Bezout • Equações diofantinas lineares Ao término deste estudo você seja capaz de trabalhar com as ideias da Teoria dos Números, fazendo uso das linguagens matemáticas, selecionando, organizando e interpretando informações. Realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. Finalmente – e o mais importante – fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo para realização dessas. Bom estudo! Nesta Unidade estudaremos o Teorema de Bezout, que utiliza as relações do Algoritmo da Divisão e Máximo Divisor Comum (MDC) para determinar valores únicos para que, sempre que houver a, b inteiros e d = mdc(a, b), existam inteiros r e s, tais que d = ra + sb. Com base nesses valores únicos de r e s torna-se possível determinar pares de valores para qualquer equação diofantina do tipo ax + by = c. Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas 6 Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas Contextualização Na Matemática, uma equação diofantina é uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros. Uma equação linear diofantina é uma equação entre duas somas de monômios de grau zero ou um. Problemas diofantinos possuem menos equações que variáveis desconhecidas e se resumem a achar inteiros que deverão funcionar corretamente para todas as equações. A palavra diofantina se refere ao matemático helenístico Diofanto de Alexandria (250 d.C.), o qual estudou tais equações e foi um dos primeiros matemáticos a introduzir o uso de símbolos na Álgebra. O estudo matemático de problemas diofantinos propostos por Diofanto agora é chamado de análise diofantina. Fonte: Wikipédia. 7 Teorema de Bezout Uma propriedade extremamente importante do máximo divisor comum de dois inteiros é o chamado Teorema de Bezout: sejam a e b inteiros não ambos nulos, então existem inteiros r e s, tais que r . a + s . b = mdc(a, b). Podemos encontrar um par de r e s encontrando o mdc(a, b) por meio das divisões sucessivas. Sejam a e b inteiros, b ≠ 0, e q, r o quociente e o resto da divisão de a por b, respectivamente, então, D(a, b) = D(b, r); de modo que temos também mdc(a, b) = mdc(b, r). O algoritmo euclidiano fornece uma forma prática na obtenção de inteiros r e s nas condições do Teorema de Bézout: bqar 11 −= Isto é, 1r foi escrito como uma combinação linear de a e b. Substituindo 1r pelo seu valor na segunda, temos: b = 221 )( rqbqa +− ; logo, bqqaqr )1( 2122 ++−= . Novamente, pode-se escrever 2r como a combinação linear de a e b. Na igualdade seguinte poderemos substituir 1r e 2r pelas expressões achadas e escrever 3r em função de a e b. Reiterando o processo, finalmente obteremos uma expressão para nr como combinação linear de a e b. Exemplo 1 Para a = 336 e b = 60, determinar os valores de r e s, tais que r . a + s . b = mdc(a, b), ou seja, r . 336 + s . 60 = mdc(336, 60). Inicialmente calculamos o MDC de a e b pelo algoritmo de Euclides: 5 1 1 2 336 60 36 24 12 36 24 12 0 Logo, mdc(336, 60) = 12 Então teremos que determinar r . 336 + s . 60 = 12 Escrevemos cada divisão realizada pelo algoritmo da divisão: I) 336 = 60 . 5 + 36 II) 60 = 36.1 + 24 III) 36 = 24. 1 + 12 IV) 24 = 12 . 2 + 0 8 Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas Essas sentenças devem estar em função de 336 e 60. Para isso, iniciamos o processo isolando o resto 36 na primeira sentença: 336 = 60 . 5 + 36 336 - 5.60 = 36 (note que invertemos 60 . 5 por 5. 60 para facilitar o processo). Logo, temos 36 = 336 - 5 . 60 Como temos que chegar no resto 12 e manter as sentenças em função de a e b, ou seja 336 e 60, devemos substituir 36 (resto da primeira sentença) na segunda sentença: 60 = 36 . 1 + 24 60 = 1 . 336 - 5.60 + 24 (como 36 está multiplicando 1, não precisamos mencionar esta multiplicação). Devemos então isolar o resto 24: 1 . 60 - 1. 336 + 5 . 60 = 24 (para facilitar multiplicamos por 1) 6 . 60 - 1 . 336 = 24 Para a terceira sentença devemos substitur 36 e 24 para manter as sentenças em função de 336 e 60 e, assim, isolando o resto 12 chegaremos ao teorema r . a + s . b = mdc(a, b) = r . 336 + s . 60 = 12 36 = 24 . 1 + 12 1 . 336 - 5 . 60 = 6 . 60 - 1 . 336 + 12 (isolando o resto 12) 1 . 336 - 5 . 60 - 6 . 60 + 1 . 336 = 12 2 . 336 - 11 . 60 = 12 Logo, os inteiros r e s procurados são 2 e -11. Exemplo 2 Para a = 1128 e b = 336, determinar os valores de r e s, tais que r . a + s . b = mdc(a, b), ou seja, r . 336 + s . 60 = mdc(1128, 336) Inicialmente deve-se calcular o MDC de a e b pelo algoritmo de Euclides: 3 2 1 4 1128 336 120 96 24 120 96 24 0 9 Escrevendo as sentenças, temos: I) 1128 = 336 . 3 + 120 II) 336 = 120 . 2 + 96 III) 120 = 96 . 1 + 24 IV) 96 = 24 . 4 + 0 Em (I), isolando o resto, temos: 120 = 1 . 1128 - 3 . 336 Substituindo em (II), temos: 1 . 336 = 2 . (1 . 1128 - 3 . 336) + 96 Isolando 96, temos: 96 = 1. 336 - 2 (1 . 1128 - 3 . 336) 96 = 1. 336 - 2 . 1128 + 6 . 336 96 = -2 . 1128 + 7 . 336 Finalmente, em (III) obteremos: 120 = 1 . 96 + 24 1 . 1128 – 3 . 336 = 1 . ( -2 .1128 + 7 . 336) + 24 Isolando 24, que é o mdc(a, b), temos: 24 = 1 . 1128 - 3 . 336 + 2 . 1128 – 7 . 336 24 = 3 . 1128 - 10 . 336 Assim, um par de inteiros r, s nas condições do Teorema de Bezout é dado por r = 3 e s = -10 10 Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas Equações diofantinas lineares Consideremos equações diofantinas da forma de ax + bx = c, em que a e b não são nulos. Procura-se soluções inteiras, isto é, pares de números x, y Є Z, tais que ax + by = c Diophanto de Alexandria (250 d.C.) foi o primeiro a considerar problemas que envolvem equações indeterminadas que eventualmente admitem infinitas soluções. Esse tipo de equação associa-se tradicionalmente ao seu nome. Sabemos que inúmeros problemas da vida diária admitem apenas soluções inteiras. Suponhamos, por exemplo, que se quer adquirir um determinado líquido que é vendido em recipientes de sete litros ou de quinze litros e se deseja fazer uma compra de 125 litros, chamando de x e y o número de recipientes de quinze litros e sete litros, respectivamente, a resolução deste problema nos leva à equação diofantina: 15x + 7y = 125 Sabe-se que uma equação do tipo ax + by = c, em que se admitem valores reais para as variáveis x e y representa uma reta no plano cartesiano. Algumas equações diofantinas nunca têm solução. Por exemplo, na equação 4x + 6y = 5, para qualquer par de x e y o primeiro membro é um par, enquanto o segundo é ímpar. Portanto, essa equação não tem solução. Começaremos o estudo procurando condições para a existência de soluções. Sejam a, b e c inteiros e d = mdc(a, b), a equação diofantina ax + by = c tem solução se e somente se d for divisor de c (condição de existência para as equações diofantinas). Teorema Sejam a, b e c inteiros, tais que d = mdc(a, b) divide c. Escrevendo d da forma d = r . a + s . b, com r, s Є Z, temos que X0 = r . d c , Y0 = s . d c é uma solução da equação ax + bx = c (solução particular). Qualquer outra solução é da seguinte forma: X = r . + t Y = s . - t, com t Є R. Reciprocamente, para todo t Є Z os valores x e y dados pelas fórmulas acima são soluções da equação. Demonstração: Solucão X e Y - Particular Seja a, b e c inteiros, tais que ax + by = c e d = mdc (a, b) que divide c. 11 Escrevendo d na forma d = ra + sb, com r, s E Z, temos que: d = ra + sb Como d divide c, podemos multiplicar ambos os termos por d c : d. d c = (ra + sb) . d c c = d ars + d bsc c = ax + by, logo: x = d rc e y = d sc solução particular Pelo Teorema de Bezout determinamos o primeiro par (x, y), solução da equação. Existirão outras? Para responder a esta questão pode-se supor que exista mais do que uma solução. Supõe-se que x’, y’, x0 e y0 sejam soluções de ax + by = c e d = mdc(a, b), com isso tem-se então ax’ + by’ = c e ax0 + by0 = c Logo: ax’ + by’ = ax0 + by0 ax’ - ax0 = by0 - by’ a(x’ - x0) = b(y0 - y’) * Como d divide a e b, existem inteiros r e s, tais que a = dr e b = ds dr(x’ - x0) = ds(y0 - y’) Dividindo ambos os termos por d, temos: r(x’ - x0) = s(y0 - y’) (x’ - x0) = s(y0 - y’) r Como r divide (y0 - y’), portanto, (y0 - y’) = rt para algum inteiro t. Logo: (x’ - x0) = srt r(x’ - x0) = s(y0 - y’) = srt r(x’ - x0) = srt e s(y0 – y’) = srt 12 Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas (x’ - x0) = srt (y0 – y’) = srt r s (x’ - x0) = st (y0 - y’) = rt Como b = ds, logo, s = d b e a = dr, temos r = d a (x’ - x0) = d b (y0 – y’) = d a t x’ = x0 + d b t - y’ = d a t – y0 y’ = y0 – d a t Solução geral Voltemos ao nosso cenário inicial referente ao recipiente dos líquidos. Tal problema caiu na equação diofantina 15x + 7y = 125, onde x representa a quantidade de recipientes para quinze litros e y a quantidade de recipientes para sete litros. Pelo processo de resolução das equações diofantinas, o primeiro passo é a verificação da condição de existência, sejam a, b e c inteiros e d = mdc(a, b). A equação diofantina ax + by = c tem solução se e somente se d for divisor de c. Para tal equação temos: a = 15 b = 7 c = 125 d = mdc(a, b) Pelo algoritmo de Euclides, mdc(15, 7) = 1, logo, d é divisor de c, portanto, existe(m) solução(ões) para a equação: 2 7 15 7 1 1 0 Segundo passo: pelo Teorema de Bezout deve-se determinar os inteiros r e s, tais que r . a + s . b = mdc(a, b), ou seja r . 15 + s . 7 = 1. Pelo processo das divisões sucessivas temos as sentenças: I) 15 = 2 . 7 + 1, isolando o resto 1, que é o MDC, temos: 1 . 15 - 2 . 7 = 1, logo, r = 1 e s = -2. 13 Terceiro passo: após determinar r e s, temos a solução particular, ou seja, o primeiro par de valores x e y que satisfazem a equação: x = d rc e y = d sc Para nosso problema temos: x = d rc x = 1 125.1 x = 125 y = d sc y = 1 125).2(− y = -250 Temos, então, o par ordenado (125, -250) que não pode ser solução do problema, pois x e y devem ser números naturais, uma vez que representam quantidade de recipientes. Quarto passo: determinar a solução geral para encontrar todos os valores da equação e, em especial para essa equação, todos os valores positivos. Pelo conceito temos, x0 = r . d c , y0 = s . d c , e para a solução geral: x = x0 + d b t y = y0 – d a t ou: x = r . d c + d b t y = s. d c - d a t Para nossa equação temos: x = 125 + t1 7 y = -250 - 15 1 t As equações para determinar o(s) valor(es) de x e y são: x = 125 + 7t y = -250 – 15t Para nosso exemplo devemos determinar quais são os valores de t que determinam x e y positivo. Logo, temos: Para x: 125 + 7t > 0 7t > -125 t > −125 7 t > -17,8 14 Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas Para y: -250 - 15t > 0 -15t > 250 15t < -250 t < −250 15 t < -16,6 Pela reta numérica vemos que o único valor de t maior que -17,8 e menor que -16,6, ou seja, que determina valores positivos para x e y, é -17: -18 -17,8 -16,6 -16-17 Quinto passo: já sabemos que o valor de t que determina valores positivos para x e y é -17, devemos então substituir -17 na equação geral: x = 125 + 7t y = -250 – 15t x = 125 + 7 . (-17) y = -250 – 15 . (-17) x = 125 - 119 y = -250 + 255 x = 6 y = 5 Logo, temos como resolução para o problema: seis recipientes para quinze litros e cinco recipientes para sete litros: (6 . 15 + 5 . 7 = 125) Exemplo 2 Determinar as soluções para a equação 56x + 72y = 40 Primeiro passo: verificação da condição de existência, sejam a, b e c inteiros e d = mdc(a, b). A equação diofantina ax + by = c tem solução se e somente se d for divisor de c. Para tal equação temos: a = 56 b = 72 c = 40 d = mdc(a, b) = 8 15 Pelo algoritmo de Euclides, mdc(56, 72) = 8, logo, d é divisor de c, portanto, existem soluções para a equação: 1 3 2 72 56 16 8 16 8 0 Segundo passo: pelo Teorema de Bezout, devemos determinar os inteiros r e s, tais que r . a + s . b = mdc(a, b), ou seja, r . 56 + s . 72 = 40. Pelo processo das divisões sucessivas temos as sentenças: I) 72 = 56 . 1 + 16 II) 56 = 16 . 3 + 8 III) 16 = 8 . 2 + 0 Isolando o resto 16 na primeira sentença, temos: 1 . 72 - 1 . 56 = 16 Substituindo o valor de 16 na sentença (II), temos: 56 = 16 . 3 + 8 56 = (1 . 72 - 1 . 56) . 3 + 8 56 = 3 . 72 - 3 . 56 + 8 Isolando o resto 8 temos: 1 . 56 - 3 . 72 + 3 . 56 = 8 4 . 56 - 3 . 72 = 8 Para r . a + s . b = mdc(a, b), temos: r . 56 + s . 72 = 8, r = 4 e s = -3 Terceiro passo: após determinar r e s, temos a solução particular, ou seja, o primeiro par de valores x e y que satisfazem a equação: x = d rc e y = d sc Para nosso problema temos: x = d rc x = 8 40.4 x = 20 y = d sc y = 8 40).3(− y = -15 Temos então o par ordenado (20, -15) que é o primeiro resultado para a equação proposta. 16 Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas Quarto passo: determinar a solução geral para encontrar outros valores da equação: x r c d b d t� �. y s c d a d t� �. Para nossa equação temos: x t� �20 72 8 y t� � �15 56 8 As equações para determinar o(s) valor(es) de x e y são: x = 20 + 9t y = -15 - 7t Quinto passo: Para essa equação não temos nenhuma restrição quanto aos valores de t. Sabemos também que teremos um conjunto infinito de soluções. Determinaremos algumas, atribuindo valores aleatórios para t (positivos e negativos): Para t = 1 x = 20 + 9t y = -15 - 7t x = 20 + 9 . 1 y = -15 - 7 . 1 x = 20 + 9 y = -15 - 7 x = 29 y = -22 Para t = -3 x = 20 + 9t y = -15 - 7t x = 20 + 9 . (-3) y = -15 - 7(-3) x = 20 - 27 y = -15 + 21 x = -7 y = 6 Para t = 2 x = 20 + 9t y = -15 - 7t x = 20 + 9 . 2 y = -15 – 7 . 2 x = 20 + 18 y = -15 - 14 x = 38 y = -29 Logo, temos os seguintes pares ordenados como resolução: {(20, -15), (29, -22), (-7, 6), (38, -29)}, entre outros. 17 Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre a resolução de equações diofantinas, consulte as seguintes referências: • Livro de GUELLI, Oscar. Equação: o idioma da Álgebra. São Paulo: Ática: [20--]. (Coleção Contando a História da Matemática; 2). • Vídeo Equações diofantinas lineares, disponível em: <http:// www.youtube.com/watch?v=Zgd2DbZcPEE>; • Vídeo Teorema de Bezout, disponível em: <http://www.youtube. com/watch?v=MM-G7IbWSUE>. Figura 1 – Capa do livro Equação: o idioma da Álgebra. 18 Unidade: Teorema de Bézout e as Equações Diofantinas Referências BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. EVES, H. Introdução a história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 2004. IEZZI, G.; DOLCE, O.; ANTONIO, M. Matemática e realidade – 6º ano. 8. ed. São Paulo: Atual, 2013. IFRAH, G. Os números história de uma grande invenção. 10. ed. São Paulo: Globo, 2001. MILIES, C. P.; COELHO, S. P. Números, uma introdução à Matemática. São Paulo: EDUSP, 2003. POMMER, W. M. Equações diofantinas lineares: um desafio motivador para alunos do Ensino Médio. 2008. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 19 Anotações www.cruzeirodosulvirtual.com.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, 868 CEP 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000 www.cruzeirodosulvirtual.com.br Rua Galvão Bueno, 868 Tel: (55 11) 3385-3000
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