Múltiplos e Divisores MMC e MDC

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Álgebra e Teoria 
Elementar dos Números
Múltiplos e Divisores MDC e MMC
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Alessandra Garcia de Andrade e Silva. 
Revisão Textual:
Prof. Ms. Luciano Vieira Francisco
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• Introdução
• Crivo de Eratóstenes
• Números Primos entre Si
A proposta para esta Unidade é a continuidade dos conteúdos referentes à teoria dos números. 
Aqui você estudará as propriedades dos números primos, incluindo o Crivo de Eratóstenes, os 
conceitos de Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC). 
Ao término deste estudo você seja capaz de trabalhar com as ideias da teoria dos números, 
suas propriedades e relações.
Realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além 
de treinar com as atividades práticas disponíveis, assim como suas resoluções ao final do 
conteúdo. Finalmente (e o mais importante), dedique redobrada atenção às atividades 
avaliativas propostas e ao prazo para a realização dessas, para que seu aproveitamento 
nesta Unidade seja completo. 
 · Nesta Unidade continuaremos trabalhando os principais 
conceitos referentes à teoria dos números. Iniciaremos pela 
conceituação dos números primos, sua decomposição 
juntamente com o Crivo de Eratóstenes; depois estudaremos o 
Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum 
(MMC), suas relações e o Algoritmo de Euclides.
Múltiplos e Divisores MDC e MMC
• Algoritmo de Euclides
• Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
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Unidade: Múltiplos e Divisores MDC e MMC
Contextualização
Você Sabia ?
A noção de número primo foi introduzida por Pitágoras que os chamava de “protoi 
arithmói“ que significa número primário ou primo, porque esses números não 
podem ser gerados por uma multiplicação.
Em meados do século XIX, com uma hipótese do alemão Bernhard Riemann: “Era 
possível haver harmonia entre os números primos, semelhante a uma harmonia musical”. A 
descoberta dos números primos é imprescindível na Matemática, pois intitulam o princípio 
central na teoria dos números, consistindo no Teorema Fundamental da Aritmética. Esse 
Teorema afirma que todo número inteiro natural, sendo maior que 1, pode ser escrito como 
um produto de números primos.
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Introdução
Por definição, os números primos são números pertencentes ao conjunto dos números 
naturais não nulos, que possuem exatamente dois divisores naturais distintos, o número 1 
e o próprio número, que produzem como resultado um número também natural, ou seja, a 
divisão é exata com resto igual a zero.
Um inteiro p diz-se primo se tem exatamente dois divisores positivos 1 e |p|. Note que a 
definição exclui propositadamente o 0, que possui infinitos divisores positivos e os inteiros 1 e 
-1 que, por sua vez, tem um único divisor positivo.
Perceba também que da definição vem imediatamente que, se um inteiro a é composto, 
admite um divisor b, tal que |b| ≠ 1 e |b| ≠ a, isto é, um divisor b tal que 1 < |b| < |a|. Um 
divisor nessas condições é entendido como um divisor próprio de a.
A seguir há exemplos de números compostos e seus divisores próprios:
 » D(6) = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6}
 » Divisores próprios = {2, -2, 6, -6}
 » D(8) = {1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8}
 » Divisores próprios = {2, -2, 4, -4}
O número 2 é o único número primo par, já que todos os demais números pares possuem ao 
menos 3 divisores, dentre os quais a unidade, o próprio número e o número 2.
Números naturais não nulos e que possuem mais de dois divisores, são também chamados 
de números compostos.
Para saber se um número é primo, dividimo-lo pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc., até 
que tenhamos: 
 » Ou uma divisão com o resto zero onde, neste caso, o número não será primo;
 » Ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Aqui o 
número será primo.
Exemplos:
I. O número 161: » Não é par, portanto, não é divisível por 2;
 » 1 + 6 + 1 = 8, de modo que não é divisível por 3;
 » Não termina em 0 nem em 5, logo, não é divisível por 5;
 » Por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, portanto, 161 é divisível por 7 e não é 
um número primo.
II. O número 113: » Não é par, portanto, não é divisível por 2;
 » 1 + 1 + 3 = 5, de modo que não é divisível por 3;
 » Não termina em 0 nem em 5, logo, não é divisível por 5;
 » Por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que 
o divisor (7).
 » Por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor 
(11), além disso, o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto, 113 
é um número primo.
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Unidade: Múltiplos e Divisores MDC e MMC
Ou seja, deve-se dividir esse número começando pelo menor número primo, que é o número 
2 e posteriormente com os demais números naturais primos até que seu quociente seja menor 
ou igual ou número que é dividido. 
Crivo de Eratóstenes
Trata-se de um algoritmo prático para encontrar números primos até determinado valor 
limite. Foi desenvolvido pelo matemático grego Eratóstenes (285 a.C. – 194 a.C.).
A construção do Crivo se dá a partir das seguintes etapas:
1. Escrever uma sequência de números inteiros, desde o número 1 até o máximo valor desejado;
2. Cortar o número 1;
3. Cortar todos os múltiplos de 2, exceto o número 2 (que é o primeiro número primo e 
o único número par);
4. O primeiro número não cortado será o segundo número primo (neste caso, o número 3);
5. Cortar todos os múltiplos de 3, maiores que o número 3;
6. Repetir os passos acima para o número 5 e assim sucessivamente;
7. Assim, os números que sobrarem serão primos.
A figura a seguir ilustra este processo:
Figura 1 – Exemplo do Crivo de Eratóstenes.
 
Fonte: <http://www.portaldoprofessor.mec.gov.br>.
 
 Explore
Assista ao vídeo disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=IwN2nteXa44>, 
que ilustra a construção do Crivo.
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Decomposição em Fatores Primos
Decompor um número composto em fatores primos significa expressar esse número como 
produto de outros que sejam primos.
Todo número natural maior que 1 pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores.
Exemplos da decomposição do número 24 em um produto estão disponíveis a seguir:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
Perceba que no produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 em um produto de fatores primos. 
Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
Regra Prática para a Fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe abaixo os passos para 
montar esse dispositivo:
I. Divide-se o número pelo seu menor divisor primo;
II. A seguir, divide-se o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim 
sucessivamente até se obter o quociente 1.
Por meio de um dispositivo prático, pode-se fatorar o número 630 da seguinte forma:
2
3
3
5
7
630
315
105
35
7
1
quociente divisores primos
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7
630 = 2 x 32 x 5 x 7
Atenção: por se tratar de um produto, a ordem da divisão na fatoração não importa.
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Unidade: Múltiplos e Divisores MDC e MMC
Com relação à decomposição temos: 
 » A decomposição canônica em fatores primos é única;
 » Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos;
 » Se a forma da decomposição de um inteiro positivo N é p1
a1.p2
a2.p3
a3...pnan, então o 
número de divisores inteiros de N é: d(N) = (a1 + 1) (a2 + 1) (a3 + 1) ... (an + 1) 
Exemplo: a decomposição canônica de 600 é 600 = 23 x 3 x 52. Isto implica que o número 600 
tem (3 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 4 x 2 x 3 = 24 divisores ou d (600) = 24.
Números Primos entre Si
Máximo Divisor Comum (MDC)
Considere os números inteiros 24 e 18. Os conjuntos dos divisores de 24 e 18 são:
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} e D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. 
Selecionando os divisores comuns temos: D (24, 18) = {1, 2, 3, 6}. Como o conjunto dos 
divisores de um inteiro é finito, o conjunto dos divisores comuns também possui um limite. Por essa 
razão, o conjunto dos divisores terá um elemento máximo, que nestecaso é 6. Esse maior elemento 
do conjunto dos divisores de dois ou mais números é denominado Máximo Divisor Comum 
(MDC) e escreve-se: mdc (a, b) para indicar o máximo divisor comum dos inteiros a e b. 
Definição: sejam os inteiros a e b não conjuntamente todos nulos, Chama-se máximo 
divisor comum de a e b, que indicamos por mdc (a, b) ao inteiro d, tal que:
1. d | a e d | b
2. se c | a e se c | b, então c < d
Pela definição, em (1) exige-se que d seja um divisor comum de a e b; enquanto em (2) exige-
se que d seja o maior dos divisores comuns de a e b.
A respeito do máximo divisor comum de dois ou mais números podem ser verificadas as 
seguintes propriedades: 
P1 – mdc (a, b) = mdc (b, a) 
P2 – mdc (0, 0) não existe, pois todo número inteiro é divisor de zero. 
P3 – mdc (1, a) = 1 
P4 – mdc (a, a) = a 
P5 – Se a < b e d = mdc (a, b), então d < a. Significa que o MDC de dois números é menor 
ou igual ao menor dos dois números. 
P6 – mdc [a, (b, c)] = mdc [a, mdc (b, c)] = mdc [mdc (a, b), c] = mdc (a, b, c). Esta 
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propriedade mostra que para determinar o MDC de três ou mais números pode-se 
calcular o MDC de dois desses e depois o MDC do MDC desses dois com o terceiro e 
assim sucessivamente.
P7 – O mdc (a, b) é igual ao produto dos fatores primos comuns de a e b, com seus menores 
expoentes. Esta propriedade fornece um método para calcular o MDC de dois ou mais 
números pelo processo da fatoração. 
Por exemplo, ao calcular o mdc (48, 180), fatorando os dois números temos: 
48 = 24 x 3 e 180 = 22 x 32 x 5. Os fatores comuns dos dois números, com seus menores 
expoentes são 2² x 3 = 12.
P8 – Se a e b são dois inteiros não conjuntamente nulos, então existe e é único o mdc (a, b). Esta 
propriedade é evidente, pois: 
1. Todo número inteiro tem, pelo menos, dois divisores: 1 e o próprio número;
2. O conjunto dos divisores é finito; e
3. O maior elemento de um conjunto, subconjunto finito dos números inteiros, existe e é único. 
P9 – Quaisquer que sejam os inteiros a e b, não conjuntamente nulos, pois existem os inteiros x e y 
tais que mdc (a, b) = ax + by. 
Vimos anteriormente (mais precisamente no item b da Unidade 4, Propriedades elementares 
da divisibilidade) que se a | b e a | c, então a | (bx + cy), ∀ x, y ∈ Z.
Como mdc (a, b) | a e mdc (a, b) | b, então mdc (a, b) | ax + by. Portanto, existem os inteiros 
x e y tais que: mdc (a, b) = ax + by. 
Algoritmo de Euclides
Este é um procedimento que permite determinar o MDC de dois números inteiros a partir de 
divisões sucessivas. Tal processo tem por base o algoritmo da divisão e o seguinte princípio: “se 
a = bq + r, então mdc (a, b) = mdc (b, r)”. 
Assim, para se achar o MDC de dois números divide-se o maior pelo menor, onde divide-se 
esse último pelo resto da divisão, obtendo um segundo resto e assim sucessivamente até que 
seja encontrado um resto nulo. O último resto não nulo é o MDC dos dois números. 
Usualmente, para dividir a por b é empregado o seguinte esquema:
 
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Unidade: Múltiplos e Divisores MDC e MMC
Se mudarmos um pouco o esquema para:
 
Será fácil dispor os números que intervêm no processo de cálculo do mdc (a, b):
q1 q2 q3 ... ... qn qn+1
a b r1 r2 ... rn-2 rn-1 rn
r1 r2 r3 ... ... rn r0
 
Exemplo: calcular o MDC pelo Algoritmo de Euclides, entre 1.128 e 336:
3 2 1 4
1.128 336 120 96 24
120 96 24 0
 Inicia-se dividindo 1.128 por 336, quociente 3 e resto 120. O resto 120 passa a ser o novo 
quociente, logo 336 dividido por 120, quociente 2 e resto 96. O resto 96 passa a ser o novo 
quociente, logo 120 dividido por 96, quociente 1 e resto 24. O resto 24 passa a ser o novo 
quociente, logo 96 dividido por 25, quociente 4 e resto 0. Logo mdc (1.128, 336) = 24
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Sejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0 e b ≠ 0, são chamados de mínimo múltiplo comum de 
a e b, que se representa por mmc (a, b), ao menor inteiro positivo m, tal que a | m e b | m. 
mmc (a, b) = o menor inteiro positivo múltiplo de a e de b. 
Por exemplo, tomando os números inteiros -12 e 18, teremos:
M (-12) = {0, ± 12, ± 24, ± 36; ± 48; ± 60; ± 72; ± 84; ± 96; ± 108; ± 120; ± 132; ± 144; ...}
M (18) = {0, ± 18, ± 36; ± 54; ± 72; ± 90; ± 108; ± 126; ± 144; ...} 
Os múltiplos comuns de -12 e 18 são: {0; ± 36; ± 72; ± 108; ± 144; ...}. 
Teremos assim, para o mmc (-12, 18) o valor 36, pois é o menor inteiro positivo múltiplo 
de -12 e 18. 
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Propriedades do Mínimo Múltiplo Comum de Dois ou Mais Números 
Sejam a, b e c inteiros e diferentes de zero, para o MMC de tais números temos: 
P1 – mmc (a, b) = mmc (-a, b) = mmc (a, -b) = mmc (-a, -b)
P2 – mmc (a, b, c) = mmc (a, mmc (b, c)) = mmc (mmc (a, b), c) 
P3 – mmc (1, a) = a, com a ≠ 0 
P4 – Se a | b, então mmc (a, b) = | b |
P5 – Se | a | < | b |, então mmc (a, b) < | b |
P6 – Os múltiplos comuns de dois inteiros a e b são múltiplos de seu MMC.
P7 – Na decomposição de a e b em fatores primos, o mínimo múltiplo comum de a e b é 
igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomados com seus maiores 
expoentes. Exemplo: Calcular o MMC de 60 e 18:
Decompondo os dois inteiros, temos: 60 = 22 x 3 x 5 e 18 = 2 x 32. Tomando todos os fatores 
obtidos com seus maiores expoentes, resulta em mmc (60, 18) = 22 x 32 x 5 = 180, pois os 
fatores primos são 2, 3 e 5; e 2 e 2 são os maiores expoentes de 2 e 3. 
Um procedimento prático para a determinação do MMC consiste na decomposição dos 
inteiros simultaneamente, conforme abaixo:
 
P8 – Se a e b são primos entre si, então mmc (a, b) = | a | x | b | 
Relações Entre MDC e MMC
Uma relação entre o MMC e o MDC é:
O mdc (a, b) multiplicado pelo mmc (a, b) é igual ao produto de a por b, isto é:
mdc (a, b) x mmc (a, b) = a x b 
Exemplo:
mdc (12, 15) = 3
mmc (12, 15) = 60
mdc (12, 15) x mmc (12, 15) = a x b
3 x 60 = 12 x 15
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Unidade: Múltiplos e Divisores MDC e MMC
Demonstração: sejam mdc (a, b) = d e mmc (a, b) = m, como mdc (a, b) = d, d | b e d 
| a → (b/d) e (a/d) são números inteiros. Deste modo, a | a (b / d) e b | b (a / d) → ab / d é um 
múltiplo comum de a e b → ab / d é múltiplo do mmc (a, b) (P x 6). Temos então: ab / d = mk, 
k inteiro. Isto permite concluir que a / d = (m / b) k e b / d = (m / a) k → k é um divisor comum 
de a / d e b / d. Mas a / d e b / d são primos entre si. Portanto, k = 1. Desta forma, ab / d = m 
ou ab = dm → ab = mdc (a, b) x mmc (a, b).
Exercícios Resolvidos
1. Três viajantes seguiram hoje para uma cidade do Sul. O mais jovem viaja para o destino 
de 12 em 12 dias, o segundo de 15 em 15 dias e o mais velho de 20 em 20 dias. Daqui a 
quantos dias viajarão juntos novamente?
Resolução: O primeiro viajará nos múltiplos de 12, o segundo nos múltiplos de 15 e o 
terceiro nos múltiplos de 20. Para determinarmos quando viajarão juntos novamente, 
precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre 12, 15 e 20. Podemos então 
determinar pela decomposição simultânea:
 
Logo, daqui a 60 dias viajarão juntos novamente.
2. Em uma República hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os 
senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Nessa República houve eleições para os três 
cargos em 1989. Assim, quando ocorrerão as próximas eleições simultâneas para os 
três cargos?
Resolução: A eleição para presidente ocorrerá nos múltiplos de 4, de senadores nos 
múltiplos de 6 e para deputados nos múltiplos de 3. Para determinarmos quando as 
eleições ocorrerão novamente, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre 3, 
4 e 6. Podemos determinar pela decomposição simultânea:
 Logo, as eleições simultâneas para os três cargos acontecerão no 12º ano subsequente, ou 
seja, em 2001.
3. Se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os números 6 e N é maior do que 31 e menor 
do que 41, qual será o valor de N?
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Resolução: Lembre-se que MMC entre dois ou mais números é sempre múltiplo de 
cada um dos números. Assim, o MMC entre 6 e N será obrigatoriamente um múltiplo 
de 6, e o único múltiplo de 6 entre 31 e 41 é 36. Decompondo o 6 em fatores primos,temos: 21 x 31 e 36 = 2² x 3². Como o MMC é o produto de todos os fatores elevados 
aos maiores expoentes, o número N = 2² x 3² = 36.
4. Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos, que ao mesmo tempo é 
divisível por 4, 8 e 12.
Resolução: Ser divisível por 4, 8 e 12 também significa ser múltiplo. Desta forma, 
procuramos o MMC entre 4, 8 e 12 pelo processo da decomposição simultânea:
5. Como o número 24 não possui três algarismos, o número procurado deverá ser múltiplo 
de 24 e que tenha três algarismos. Assim: 24 x 1 = 24, 24 x 2 = 48... 24 x 5 = 120. O 
menor múltiplo positivo de 24 de três algarismos é 120, deste modo, figurando como o 
número procurado.
O produto entre dois números é 2.112. O MDC desses números é 6. Qual é o MMC?
Resolução: Temos:
a x b = 2.112
mdc (a, b) = 6
mmc (a, b) = X
Pela relação entre MMC e MDC, temos:
mdc (a, b) x mmc (a, b) = a x b
6 x X = 2.112
 2.112
6
x =
X = mmc (a, b) = X
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Unidade: Múltiplos e Divisores MDC e MMC
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre números primos, MDC e MMC, sugerimos os 
sites e as referências a seguir:
• Livro de Monteiro Lobato intitulado Aritmética de Emília, publicado pela Editora Globo 
e disponível em: <http://www.miniweb.com.br/cantinho/infantil/38/Estorias_miniweb/
lobato/Aritmetica_Da_Emilia.pdf>.
• Documentário intitulado Números primos, exibido pela BBC e disponível em: <http://
www.youtube.com/watch?v=eHp0cQy-2S4>
• Vídeo Crivo de Eratóstenes – Construção, disponível em: <http://www.youtube.com/
watch?v=IwN2nteXa44>.
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Referências
BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1996.
EVES, H. Introdução a história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. São 
Paulo: Atual, 2004.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; ANTONIO, M. Matemática e realidade – 6º ano. 8. ed. São Paulo: 
Atual, 2013.
IFRAH, G. Os números: história de uma grande invenção. 10. ed. São Paulo: Globo, 2001.
MILIES, C. P.; COELHO, S. P. Números: uma introdução à Matemática. São Paulo: EDUSP, 2003.
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Unidade: Múltiplos e Divisores MDC e MMC
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