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Estatística
Flávia Cristina Franco de Lima Rosa
w w w.us f . e d u . b rpág.2
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Presidente 
Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM
 
Diretor Geral 
Jorge Apóstolos Siarcos 
Reitor 
Frei Gilberto Gonçalves Garcia, OFM 
Vice-Reitor 
Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM
 
Pró-Reitor de Administração e Planejamento 
Adriel de Moura Cabral 
Pró-Reitor de Ensino, Pesquisa e Extensão 
Dilnei Giseli Lorenzi 
Coordenador do Núcleo de Educação a Distância - 
NEAD 
Renato Adriano Pezenti
 
Revisão
Leonardo Passos (Editora Vozes)
Desenhista Instrucional 
Patricia Sponhardi
Leonora Gerardino
Projeto Gráfi co 
Lucas Paz (Studio 28)
Diagramação
Inaê Calvi Bragagnoli
© 2019 Universidade São Francisco
Avenida São Francisco de Assis, 218
CEP 12916-900 – Bragança Paulista/SP
CASA NOSSA SENHORA DA PAZ 
– AÇÃO SOCIAL FRANCISCANA, 
PROVÍNCIA FRANCISCANA DA 
IMACULADA CONCEIÇÃO DO 
BRASIL – ORDEM DOS FRADES 
MENORES
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Possui graduação em Matemática e mestrado em 
Engenharia e Ciência de Materiais pela Universidade São 
Francisco. Atualmente é professora de Ensino Superior 
da Universidade São Francisco nos cursos de Graduação 
Presencial, Programa de Educação a Distância (PED) 
e coordenadora dos Programas de Nivelamento da 
USF. Possui experiência na área de exatas, ministrando 
várias disciplinas em diversos cursos, principalmente nas 
Engenharias. Atuou também como professora no Ensino 
Fundamental e no Ensino Médio, além da autoria de 
materiais didáticos.
FLÁVIA CRISTINA 
FRANCO DE LIMA ROSA
AUTORA
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SUMÁRIO
Caixas de Destaque .................................................05
Informações Gerais da Disciplina ...........................06
Apresentações das Unidades ................................. 07
Unidade 1:ESTATÍSTICA DESCRITIVA ...................08
Unidade 2: PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADES ................................................... 41
Unidade 3: AMOSTRAGEM, INTERVALO DE CON-
FIANÇA E TESTE DE HIPÓTESES ........................... 77
Unidade 4: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO ...........115
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IMPORTANTE 
ENTENDER!
PARA 
REFLETIR
EXEMPLO
PESQUISE
GLOSSÁRIO
LEIS
LEITURA
FUNDAMENTAL
SUGESTÃO 
DE LEITURA
RELEMBRE
CURIOSIDADES
É U M E S P A Ç O D E D I C A D O A E N T E N D E R O S 
C O N C E I T O S C E N T R A I S D O C O N T E Ú D O .
E S P A Ç O P A R A Q U E S T I O N A M E N T O S O B R E 
O A S S U N T O . S I T U A Ç Ã O H I P O T É T I C A P A R A 
R E F L E X Ã O E C O M P R E E N S Ã O S O B R E O 
T E M A E S T U D A D O .
M O M E N T O P A R A S E A P R E S E N T A R U M A S I -
T U A Ç Ã O R E A L D O A S S U N T O T R A B A L H A D O
A P R E S E N T A Ç Ã O D E F O N T E S P A R A Q U E 
O A L U N O E X P L O R E M A I S O C O N T E Ú D O 
A B O R D A D O . S E R Ã O A P R E S E N T A D O S : L I -
V R O S , S I T E S , R E P O R T A G E N S , D I S S E R T A -
Ç Õ E S , V Í D E O S , R E V I S T A S E T C .
T E R M O S E S I G L A S E S P E C Í F I C A S S O B R E O 
T E M A T R A T A D O N A U N I D A D E .
L E I O U A R T I G O D E E X T R E M A I M P O R T Â N -
C I A P A R A A P R O F U N D A M E N T O D O A L U N O .
L I V R O S E T E X T O S I M P R E S C I N D Í V E I S P A R A 
O D E S E N V O L V I M E N T O D A A P R E N D I Z A G E M 
D O A L U N O .
A P R E S E N T A Ç Ã O D E L E I T U R A S I N T E R E S -
S A N T E S P A R A O A L U N O , R E L A C I O N A D A S 
A O T E M A .
P O N T O S F U N D A M E N TA I S Q U E G U I A R Ã O O 
A L U N O . S Ã O N O R T E S Q U E A J U D A R Ã O A I N -
T E R P R E TA R O T E X T O .
F A T O , A C O N T E C I M E N T O H I S T Ó R I C O O U 
P O N T O C U R I O S O R E L A C I O N A D O A O T E M A 
A B O R D A D O .
CAIXAS DE DESTAQUE
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INFORMAÇÕES
GERAIS DA DISCIPLINA
ESTATÍSTICA
Ementa: Introdução à Estatística. Distribuição de frequências. Medidas de tendên-
cia central e separatrizes. Medidas de variabilidade. Introdução ao cálculo de probabi-
lidades. Distribuição de probabilidade. Noções de inferência estatística e amostragem. 
Distribuições amostrais. Intervalos de confi ança. Testes de hipóteses. Correlação e re-
gressão. 
Objetivos: Identifi car a importância e a aplicabilidade da estatística no processo de 
gestão. 
Calcular e interpretar corretamente os parâmetros estatísticos.
Utilizar os diversos recursos para análises estatísticas.
Desenvolver adequadamente os testes estatísticos para tomadas de decisão.
Elaborar relatórios conclusivos a respeito dos resultados estatísticos obtidos.
CARGA HORÁRIA: 72 H
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UNIDADE 1:
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
Serão abordados alguns conceitos básicos da estatística, bem como a ordenação e a 
representação dos dados por meio de tabelas e gráfi cos. Após, serão abordadas as prin-
cipais medidas de tendência central (média aritmética, moda e mediana), separatrizes, 
bem como medidas de dispersão e variabilidade (amplitude, variância, desvio-padrão e 
coefi ciente de variação). Nesta unidade iremos trabalhar todos esses conceitos analisan-
do dados brutos e também média e desvio-padrão para dados agrupados.
UNIDADE 2:
PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
É comum interpretar a probabilidade como a possibilidade de um fato ou evento 
acontecer, podendo ser observada numericamente e em porcentagens. Nesta unida-
de, vamos abordar o estudo da probabilidade e das distribuições de probabilidades 
aplicadas às várias situações do cotidiano.
UNIDADE 3:
AMOSTRAGEM, INTERVALO DE CONFIANÇA E TESTE DE 
HIPÓTESES 
Através de um determinado número de elementos selecionados de uma população (ob-
tidos por meio das técnicas de extração de amostras), será possível determinar característi-
cas dessa amostra e generalizar a respeito de toda a população.
Por meio de estimativas, tentamos avaliar algo desconhecido e duas características im-
portantes devem ser consideradas: sempre será uma aproximação do dado verdadeiro e 
sempre existirá uma incerteza.
Após, com o levantamento de uma hipótese, procuramos comprovar sua veracidade e 
assim aplicamos o teste de hipóteses.
UNIDADE 4:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Nesta unidade iremos aborda o estudo da correlação e da regressão linear. Através da 
correlação podemos determinar se há ou não uma relação entre as grandezas analisadas 
e, caso exista, poderemos expressar um modelo matemático para as grandezas utilizando 
a reta de regressão. Vamos observar através de aplicações que é possível predizer algum 
resultado a partir do modelo matemático obtido com a regressão linear.
Apresentação da disciplina
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INTRODUÇÃO
ESTATÍSTICA DESCRITIVA1.
A Estatística se divide em duas partes: descritiva e inferencial. Na estatística des-
critiva é possível fazer o levantamento, a organização,a classifi cação e a descrição dos 
dados, seja em gráfi cos ou em tabelas. Já na estatística inferencial, também conhecida 
como estatística indutiva, é possível estabelecer, por meio de estudos com dados, a 
formulação de hipóteses, analisar sua veracidade e, em seguida, obter conclusões ge-
neralizando para toda a população.
A estatística descritiva também nos fornece um resumo sobre a amostra e as aná-
lises e observações que foram realizadas, o que pode ser sufi ciente ou servir de base 
para um estudo mais profundo.
População: refere-se a todos os elementos ou indivíduos de um conjunto que esta-
mos interessados em estudar alguma característica. A população pode ser classifi cada 
de duas formas:
• Finita – contagem limitada de elementos.
• Infi nita – possui um número ilimitado de elementos, ou seja, impossível ou difícil 
de determinar.
Amostra: conjunto de elementos extraídos da população, ou seja, parte dos elemen-
tos da população (subconjunto).
Obs.: A adoção de amostras ocorre devido às difi culdades encontradas em enume-
rar ou tratar de conjuntos completos.
Variáveis: são características que variam de um indivíduo ou objeto para outro, por 
exemplo, idade, estado civil e grau de escolaridade.
As variáveis (ou dados) podem ser classifi cadas em qualitativas ou quantitativas.
Fonte: 123rf
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Os dados qualitativos se subdividem em nominais (categorias nomeadas) ou ordi-
nais (categorias ordenadas). Já os dados quantitativos podem ser contínuos ou discre-
tos. Seguem alguns exemplos:
• Variáveis qualitativas nominais: estado civil, nacionalidade.
• Variáveis qualitativas ordinais: grau de escolaridade.
• Variáveis quantitativas discretas: número de fi lhos, quantidade de livros.
• Variáveis quantitativas contínuas: idades.
Observe o quadro a seguir:
QUADRO 1 – Dados coletados sobre a preferência de dez consumidores em relação 
a três produtos fabricados por uma determinada empresa.
Escolha do Produto Escolaridade Renda Familiar (R$)
Produto A Fundamental 1.200
Produto C Médio 1.350
Produto C Médio 2.000
Produto A Fundamental 1.050
Produto B Superior 2.300
Produto C Fundamental 980
Produto B Superior 2.350
Produto A Médio 1.800
Produto C Fundamental 800
Produto C Médio 1.750
No nível nominal (categorias nomeadas), podemos usar a seguinte tabela:
TABELA 1 – Preferência por produtos de uma determinada empresa.
Produto Quantidade de entrevistados
A 3
B 2
C 5
Total 10
Fonte: a autora (2015)
Fonte: a autora (2015)
w w w.us f . e d u . b rpág. 10
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No nível ordinal, podemos elaborar a tabela a seguir:
TABELA 2 – Grau de escolaridade dos entrevistados em uma pesquisa de preferên-
cia por produtos.
Grau de escolaridade Quantidade de entrevistados
Fundamental 4
Médio 4
Superior 2
Total 10
No nível intervalar temos:
TABELA 3 – Renda familiar dos entrevistados.
Renda familiar (R$) Quantidade de entrevistados
800 1.200 3
1.200 1.600 2
1.600 2.000 2
2.000 2.400 3
Total 10
Observe que duas colunas são obrigatórias em todas as tabelas apresentadas, a 
coluna das classes (renda familiar, grau de escolaridade) e a coluna de frequências 
absolutas (número de entrevistados).
Outra consideração importante a ser feita diz respeito à notação adotada na Tabela 
3, com classes no nível intervalar (800 1.200), que signifi ca que o intervalo é de 800 
a 1.200, incluindo o 800 e excluindo o 1.200. Por isso, o número 1.200 se enquadra na 
segunda linha (também conhecida como segunda classe) da tabela. Da mesma forma, 
podemos observar que 1.200 1.600 signifi ca que estão compreendidos todos os 
valores entre 1.200 e 1.600, incluindo o 1.200 e excluindo o 1.600.
Fo
nt
e:
 a
 a
ut
or
a 
(2
01
5)
É possível consultar as normas de apresentação tabular em: 
https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv23907.pdf.
Fo
nt
e:
 a
 a
ut
or
a 
(2
01
5)
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2. ORGANIZAÇÃO DE DADOS EM TABELA
Para organizarmos os dados brutos (obtidos através de pesquisas, por exemplo) em 
nível intervalar, dispomos de algumas etapas básicas que deverão ser seguidas:
Em cada etapa será demonstrada, passo a passo, a construção da tabela.
1ª etapa: colocar os dados em ordem crescente (ou decrescente).
Esta etapa é conhecida como a construção do rol, que nada mais é do que ordenar 
os dados brutos.
QUADRO 2 – Idades (em anos) dos funcionários de uma determinada empresa.
39 19 20 24 32
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
QUADRO 3 – Rol (ordem crescente).
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 37 39
2ª etapa: defi nição do número de classes (NC).
Nesta etapa, é possível identifi car quantas classes (linhas) serão necessárias para a 
apresentação dos dados (construção da tabela).
Observe que o número de classes deverá sempre ser um número inteiro, então deve-
se arredondar para o número inteiro mais próximo.
Podemos calcular o número de classes com as fórmulas:
NC n= ou 1 3,3 logNC n= + ⋅ (Regra de Sturges)
Onde n é o número total de elementos ou dados da amostra ou da população.
20 4,47 4
NC n
NC classes
=
= = ≅
Aqui adotaremos a primeira das fórmulas descritas anteriormente.
Obs.: Temos 20 dados brutos no conjunto e foi realizado o arredondamento para 
o número inteiro mais próximo.
Fo
nt
e:
 a
 a
ut
or
a 
(2
01
5)
Fo
nt
e:
 a
 a
ut
or
a 
(2
01
5)
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3ª etapa: cálculo da amplitude de classes (AC).
Devemos saber qual será o intervalo adotado em cada classe, portanto, utilizamos 
a fórmula:
Onde:
 – maior valor dos elementos que compõem os dados brutos;
 – menor valor dos elementos que compõem os dados brutos.
A amplitude de classe deverá sempre ser arredondada para cima e deve conter 
o mesmo número de casas decimais dos dados brutos.
Observamos pelo rol que o maior valor é o 39 e o menor valor é o 18. Assim:
Como a amplitude de classe deve ser arredondada para cima e conter o mesmo nú-
mero de casas decimais dos dados brutos, utilizaremos a amplitude como 6 anos.
4ª etapa: construção da tabela.
Para a construção da tabela, temos duas colunas obrigatórias: classes e frequência 
absoluta. Além disso, podemos incrementar a tabela com as colunas frequência relati-
va (fr(%)), frequência acumulada (fa) e frequência relativa acumulada (fra(%)).
TABELA 4 – Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada empresa.
Idades (anos) f fr(%) fa fra(%)
Total
Para a construção da tabela, observe que foram deixadas 4 linhas que representam 
as 4 classes (NC = 4) determinadas na segunda etapa.
a eM mAC
NC
−
=
39 18 5,25
4
a eM mAC
NC
AC
−
=
−
= =
aM
em
Fonte: a autora (2015)
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Para estabelecer os limites de cada classe, começamos com o menor valor na pri-
meira classe (chamado de limite inferior da primeira classe) e adicionamos o valor 
da amplitude de classe (AC), que neste exemplo é igual a 6 (o resultado obtidoserá 
o limite superior da primeira classe), então repetimos o resultado na segunda classe 
(este passará a ser o limite inferior da segunda classe) e novamente adicionamos o 
valor da amplitude de classe (obtendo o limite superior da segunda classe), e assim 
sucessivamente.
TABELA 5 – Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada 
empresa.
Idades (anos) f fr(%) fa fra(%)
18 24
24 30
30 36
36 42
Total
Note que o último valor (limite superior da última classe) deverá ser maior ou igual 
ao maior valor apresentado no conjunto dos dados brutos. No caso de o último valor 
coincidir com o limite superior da última classe, deve-se fechar o intervalo (por exemplo 
36 42).
Para contagem da frequência absoluta, devemos contar todos os elementos que 
pertencem ao intervalo da primeira classe, os elementos que pertencem ao intervalo 
da segunda classe e prosseguir da mesma forma até o fi nal.
Assim, na primeira classe (18 24) foram contados os números entre 18 e 24 
(incluindo o 18), e da mesma forma foram contadas as frequências das demais classes.
TABELA 6 – Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada 
empresa.
Idades (anos) f fr(%) fa fra(%)
18 24 7
24 30 6
30 36 5
36 42 2
Total 20 Fo
nt
e:
 a
 a
ut
or
a 
(2
01
5)
Fo
nt
e:
 a
 a
ut
or
a 
(2
01
5)
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Para preencher a coluna da frequência relativa, devemos dividir a frequência abso-
luta de cada classe pelo número total de elementos da amostra (ou população) e multi-
plicar por 100, obtendo assim o resultado em porcentagem. Podemos utilizar a fórmula 
a seguir:
Para obtenção da frequência relativa da primeira e segunda classes, os cálculos rea-
lizados foram, respectivamente:
Os demais foram encontrados da mesma forma.
TABELA 7 – Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada 
empresa.
Idades (anos) f fr(%) fa fra(%)
18 24 7 35
24 30 6 30
30 36 5 25
36 42 2 10
Total 20 100
Na coluna da frequência acumulada, devemos repetir a frequência da primeira classe, 
e para obter a frequência acumulada da segunda classe, devemos somar a frequência 
absoluta da primeira com a frequência da segunda classe, e assim sucessivamente.
Logo:
Na primeira classe, repetimos o valor da frequência absoluta na coluna da frequên-
cia acumulada (ou seja, repetimos a frequência 7). Na segunda, somamos o valor acu-
mulado na linha anterior (classe anterior) com a frequência da classe em que estamos 
trabalhando, ou seja, 7 + 6 = 13. E assim sucessivamente.
( )
( )
7% 100 35
20
6% 100 30
20
fr
fr
= × =
= × =
( )% 100ffr
n
= ×
Fonte: a autora (2015)
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Procedemos da mesma forma com a coluna da frequência relativa acumulada, usando 
as frequências relativas. Isto é, na primeira classe, repetimos a frequência relativa acumu-
lada (igual a 35), na segunda classe, somamos o valor acumulado na classe anterior (pri-
meira classe) e a frequência relativa absoluta da segunda classe (35 + 30 = 65), e assim por 
diante.
Outra maneira de obter os valores da frequência relativa acumulada é aplicando a 
fórmula a seguir:
Observe o cálculo realizado para obter a frequência relativa acumulada da segunda classe.
TABELA 8 – Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada 
empresa.
Idades (anos) f fr(%) fa fra(%)
18 24 7 35 7 35
24 30 6 30 13 65
30 36 5 25 18 90
36 42 2 10 20 100
Total 20 100
( )% 100fafra
n
= ×
( ) 13% 100 65
20
fra = × =
LEMBRETE
Sempre coloque um título na tabela que se refi ra ao objeto ou à característica em 
estudo.
Fonte: a autora (2015)
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3. REPRESENTAÇÃO EM GRÁFICOS
 Além da representação de dados em tabelas, pode-se representar os dados por 
meio de gráfi cos. A representação gráfi ca é uma forma visual de apresentar os dados 
ou compará-los.
Os gráfi cos geralmente se subdividem em dois grupos: os comparativos e os repre-
sentativos.
Existem vários tipos de gráfi cos, mas daremos ênfase aos conhecidos como gráfi co 
de colunas, gráfi co de barras, gráfi co de setores (também conhecido como gráfi co de 
“pizza”) e o histograma. Os três primeiros fazem parte dos gráfi cos comparativos, e o 
último, dos gráfi cos representativos.
Observe os gráfi cos a seguir.
Fonte: 123rf
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3.1 GRÁFICO DE COLUNAS
O gráfico de colunas é constituído por barras verticais, geralmente retangulares e 
de tamanho proporcional aos valores numéricos que elas representam.
GRÁFICO 1 – Gráfi co de colunas.
Fonte: a autora (2015)
3.2 GRÁFICO DE BARRAS
O gráfi co de barras é formado por barras horizontais, geralmente retangulares e de 
tamanho proporcional aos valores numéricos que ele representa.
GRÁFICO 2 – Gráfi co de barras.
Fonte: a autora (2015)
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1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
3.3 GRÁFICO DE SETORES
O gráfico de setores, também conhecido como gráfico de pizza, possui o formato 
de um círculo dividido na quantidade de setores correspondente à quantidade de 
classes, e cada um desses setores compreende um arco correspondente à sua res-
pectiva frequência.
GRÁFICO 3 – Gráfi co de setores.
Fo
nt
e:
 a
 a
ut
or
a 
(2
01
5)
3.4 HISTOGRAMA
O Histograma é um gráfi co de barras verticais (colunas) formando retângulos. A base 
de casa um desses retângulos representa o intervalo de classes e a altura correponde a 
sua respectiva frequência (podendo ser a frequência absoluta ou a frequência relativa).
GRÁFICO 4 – Histograma.
Fo
nt
e:
 a
 a
ut
or
a 
(2
01
5)
Observe que foram utilizados os dados da Tabela 8 para a construção do histograma.
w w w.us f . e d u . b r pág. 19
1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
3.5 BOX PLOT
O box plot, também conhecido como diagrama de caixa, é um gráfi co no qual é pos-
sível indicar os valores da mediana, do primeiro quartil e do terceiro quartil, além dos 
valores máximo, mínimo e outlier (valor atípico do conjunto de dados).
GRÁFICO 5 – Representação de um gráfi co box plot.
ATENÇÃO
Os conceitos de mediana, primeiro quartil e terceiro quartil serão abordados no 
próximo tópico (Medidas de Tendência Central e Separatrizes).
Fonte: http://www.abgconsultoria.com.br/blog/boxplot-como-interpretar/
ATENÇÃO
Para a construção de gráfi cos, você poderá utilizar recursos e/ou ferramentas 
como as planilhas do software Excel.
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4. PRINCIPAIS MEDIDAS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Nesta parte, vamos estudar conceitos de medidas da estatística descritiva, e por 
meio de exemplos, vamos entender as aplicabilidades desses conceitos.
Para auxiliar na compreensão do assunto, veja o esquema do que será abordado:
Quando se realiza uma pesquisa para estudar e analisar algum dado, faz-se neces-
sário o recolhimento e a organização desses dados. No entanto, na maioria dos casos, 
devido à quantidade de dados obtidos para análise ser grande, é também necessário 
obter uma medida (um valor) que expresse (resuma) todos os valores levantados. Daí 
a adoção das medidas de tendência central, que devem representar de algum modo o 
conjunto de dados a ser analisado.
As medidas de tendência central também servem como comparação, como avaliar o 
desempenho de dois grupos diferentes em relação ao seu grau de satisfação para o lan-
çamento de um novo produto, ou mesmo para verifi car se um lote de determinado produ-
to será aprovado, sabendo que o peso médio do produto deverá ser igual a 500 gramas.
Já as medidas de dispersão descrevem o comportamento dos elementos em relação 
aos valores obtidos com as medidas de tendência central. Por exemplo, em dois lotes 
com 10 peças cada um, verifi ca-se o peso médio de cada lote para saber em qual dos 
lotes houve menor variabilidade dos dados.
Veremos esses conceitos de medidas de tendência e de dispersão com alguns 
exemplos sobre suas aplicações em situações práticas para facilitar a compreensão 
do assunto.
• MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• Média aritmética simples
• Mediana
• Moda
• SEPARATIZES
• MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
• Amplitude total
• Variância e desvio-padrão
• Coefi ciente de variação
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1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
5. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Uma medida de tendência central é um valor central ou valor do meio do conjunto 
de dados.
As medidas de tendência central, também conhecidas como MTCs, nos fornecem 
uma primeira caracterização dos elementos dos conjuntos populacionais ou amostrais.
As medidas de tendência central podem ser classifi cadas em: média, mediana e 
moda. A média se subdivide em: média aritmética simples, média ponderada, média 
geométrica e média harmônica. Aqui, trataremos apenas da média aritmética simples.
Observação:
Nesta unidade de estudo, faremos o tratamento das medidas de tendência central 
para dados brutos, e também vamos analisar a média em dados agrupados (tabelas 
com nível intervalar).
5.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( x )
A média aritmética simples pode ser obtida com a fórmula:
1 1 2 3
n
i
i n
x
x x x xx
n n
= + + + += =
∑

Ou seja, é o resultado da somatória de todos os elementos que compõem o conjunto 
de dados, divididindo-se pelo total de elementos pertencentes ao conjunto.
1. Encontre a média aritmética simples do conjunto de dados a 
seguir:
13 15 14 15 16
17 15 14 13 15
Solução:
A média aritmética simples dos dados é 14,7.
13 15 14 15 16 17 15 14 13 15 147 14,7
10 10
x + + + + + + + + += = =
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1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
2. Calcule a média aritmética simples do seguinte conjun-
to de dados:
Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma deter-
minada empresa:
Solução:
A idade média do grupo de funcionários desta empresa é de 
27 anos.
3. Calcule o peso médio (em kg) de 5 unidades de um certo 
produto.
Solução:
O peso médio dos produtos se refere à média aritmética sim-
ples das cinco unidades do produto.
49,8 9,96
5
x = =
O peso médio dos produtos é de 9,96 kg.
OBSERVAÇÕES:
1. Quando necessário, utilize as regras de arredondamento 
na resposta fi nal.
2. Se precisar usar arredondamento, utilize uma casa de-
cimal a mais do que as apresentadas nos dados brutos 
(Exemplo 3).
O arredondamento é sempre realizado por aproximação, ou 
seja, arredondado para o valor mais próximo.
 i. Quando o algarismo a ser conservado for menor do que 
5, deve-se permanecer o algarismo a ser conservado.
540 27
20
x = =
9,9 10 9,8 10,1 10
39 19 20 24 32
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
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1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
EX.: 46,23 com uma casa decimal fi ca 46,2
 104,872 com duas casas decimais fi ca 104,87
ii. Quando o algarismo a ser conservado for maior que 5, ou 5 
seguido de no mínimo um algarismo diferente de 0, acrescenta-se 
uma unidade no algarismo a ser conservado.
EX.: 87,78 com uma casa decimal fi ca 87,8
 102,5691 com duas casas decimais fi ca 102,57
 32,513 com número inteiro fi ca 33
iii. Quando o algarismo seguinte a ser considerado for 5 seguido 
de zeros, deve-se arredondar para o número par mais próximo.
EX.: 12,5000 para inteiro fi ca 12
 35,5 para inteiro fi ca 36
 34,550 com uma casa decimal fi ca 34,6
Quando as unidades de medidas forem especifi cadas no proble-
ma, não se esqueça de indicá-la na resposta fi nal.
Não há necessidade de que os dados estejam em ordem cres-
cente para o cálculo da média, pois serão utilizados todos os valo-
res do conjunto.
5.2 MEDIANA ( x̂ )
Mediana é a medida de tendência central que divide os dados exatamente ao meio, 
ou seja, é o valor de posição central, desde que os dados estejam em ordem crescente 
ou decrescente.
Adotamos as seguintes regras para determinação da mediana:
• Se a quantidade total de dados no conjunto for ímpar, a mediana será o valor do 
meio (valor central), ou seja,
• Se a quantidade total de dados no conjunto for par, a mediana será dada pela se-
missoma dos dois termos medianos, ou seja,
2
2 2ˆ
2
n nx x
x
+   
   
   
+
=
1
2
ˆ nx x + 
 
 
=
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Veja os exemplos:
1. Encontre a mediana do conjunto de dados a seguir:
Solução:
Rol (ordem crescente):
n –> 10 elementos (quantidade par)
A mediana dos dados acima é igual a 15.
Observe que x5 e x6 se referem, respectivamente, aos elementos 
que ocupam a quinta e a sexta posição após os elementos estarem 
devidamente organizados em ordem crescente.
2. Calcule a mediana do seguinte conjunto de dados:
Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determi-
nada empresa:
Solução:
Rol:
13 15 14 15 16
17 15 14 13 15
13 13 14 14 15
15 15 15 16 17
10 10 2
2 2 5 6 15 15ˆ 15
2 2 2
x x
x xx
+   
   
   
+
+ +
= = = =
39 19 20 24 32
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 37 39
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n –> 20 elementos (quantidade par)
A idade mediana do grupo de funcionários desta empresaé 
de 26,5 anos.
3. Calcule o peso mediano (em kg) de 5 unidades de um 
certo produto.
Solução:
O peso mediano dos produtos se refere à mediana das cinco 
unidades do produto. Rol:
n –> 5 elementos (quantidade ímpar)
O peso mediano dos produtos é de 10 kg.
Note que x3 refere-se ao elemento que ocupa a terceira posição 
depois que os dados foram dispostos em ordem crescente.
4. Os números abaixo referem-se às notas obtidas por 10 alu-
nos numa avaliação. Determine a mediana do conjunto de notas.
Solução:
Construção do rol:
A mediana será igual a 6,9. Isto é, 50% da turma apresenta nota 
superior a 6,9.
20 20 2
2 2 10 11 26 27ˆ 26,5
2 2 2
x x
x xx
+   
   
   
+
+ +
= = = =
9,9 10 9,8 10,1 10
9,8 9,9 10 10 10,1
35 1
2
ˆ 10x x x+ 
 
 
= = =
10,0 9,2 2,4 3,5 7,0 6,8 5,0 6,7 7,8 9,0
2,4 3,5 5,0 6,7 6,8 7,0 7,8 9,0 9,2 10,0
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1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
1. Encontre a moda do conjunto de dados a seguir:
13 15 14 15 16
17 15 14 13 15
Solução:
Como o número 15 é o mais frequente, ou seja, aparece mais vezes no 
conjunto de dados (frequência igual a 4), a moda dos dados é 15.
Observe que não há necessidade de os dados estarem em ordem crescente, 
mas se preferir, o rol poderá ser construído para auxiliá-lo.
2. Calcule a moda do seguinte conjunto de dados:
Idades (em anos) de um grupo de funcionários de uma determinada em-
presa.
39 19 20 24 31
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
A mediana pode indicar se essa turma obteve um bom desempenho ou não. 
Quanto maior o valor da mediana, melhor foi o desempenho da turma. Da mesma 
forma, quanto menor o valor da mediana, menor foi o desempenho na avaliação.
5.3 MODA ( odaM OU x̂ )
Moda é o valor mais frequente dentro do conjunto de dados, ou seja, o valor que 
ocorre com maior frequência.
Veja os exemplos:
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Solução:
Rol:
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
32 33 34 37 39
Observe que tanto o número 20 como o número 22 aparecem duas vezes 
cada. Logo, o conjunto acima apresenta duas modas, ou seja:
20odaM = 22odaM = e 
Assim, as idades modais do grupo de funcionários desta empresa são de 
20 e 22 anos.
3. Calcule o peso modal (em kg) de 5 unidades de um certo produto.
9,9 10 9,8 10,1 10
Solução:
O peso modal dos produtos é igual a 10 kg.
Note que a moda é uma das medidas de tendência central que é fácil de localizar 
(calcular), no entanto, pode não ser única. Ou seja, se possuir apenas uma moda, pode-
mos classifi cá-la como unimodal, se possuir duas modas, bimodal (Exemplo 2), se pos-
suir três ou mais modas, multimodal, e se não houver moda, será chamada de amodal.
Além disso, a moda é uma medida que permite avaliar dados qualitativos, como numa 
pesquisa sobre a preferência por determinados produtos, em que 45 pessoas responde-
ram que preferem o produto A, 50 preferem o produto B e 30 optaram pelo produto C. 
Logo, a moda da pesquisa acima é o produto B, que ocorre com maior frequência.
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1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
CONSIDERAÇÕES
Em alguns casos, as três medidas de tendência central costumam coincidir ou ter 
valores próximos, mas isso nem sempre acontece devido à distribuição dos dados. Lem-
bre-se de que a média aritmética é a única das medidas de tendência central que utiliza 
todos os dados do conjunto para o seu cálculo. Já a mediana utiliza apenas o(s) dado(s) 
central(is) e a moda, os quais ocorrem com maior frequência.
6. SEPARATRIZES
As separatrizes dividem o conjunto de dados (desde que estejam em ordem crescen-
te) em partes, podendo ser esta divisão em 4, 10 ou 100 partes.
Quando as divisões são realizadas em 4 partes, podemos chamá-las de quartis, 1Q , 
2Q , 3Q e 4Q , que representam, respectivamente 25%, 50%, 75% e 100%. A interpreta-
ção, por exemplo, do primeiro quartil (Q1) é que ela divide o conjunto de dados de forma 
que 25% dos valores serão inferiores ao encontrado e 75% serão superiores ao valor 
encontrado.
Já quando as divisões são feitas em 10 partes, temos os decis, 1D , 2D ,  , 10D , cada 
um correspondendo a 10%.
E os percentis, divisão em 100 partes, são representados por 1P , 2P ,  , 100P , sendo 
1% cada um.
Quando nos referimos aos Q4, D10 e P100, devemos considerar o último valor, pois é o 
limite de 100%.
Segundo Arango (2009), uma fórmula geral que pode ser utilizada para encontrar a 
ordem que corresponde a uma determinada separatriz é:
( )1 1i
iR n
C
= − ⋅ + com i = 1, 2, … C
Sendo que,
Ri–> ordem do número que representa a i-ésima separatriz
i –> separatriz desejada
C–> número de divisões do conjunto
Observe que o número de divisões do conjunto é dado da seguinte forma: C = 4 para 
quartis, C = 10 para decis e C = 100 para percentis.
Importante:
Quando o número da ordem não for um número inteiro, deve-se realizar uma interpo-
lação (estimativa) para se encontrar um valor mais próximo.
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1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
Se R = 13,4, a separatriz será correspondente ao valor que ocupa a 13ª 
posição mais 0,4 (parte decimal) da diferença entre os valores que ocupam 
a 13ª e a 14ª posição. Assim:
( )13,4 13,4 13 14 130,4R x x x x→ = + ⋅ −
Exemplo:
Seja o conjunto de dados a seguir:
Idades (em anos) de um grupo de 25 funcionários de uma determinada 
empresa.
39 19 20 24 32
27 28 22 22 33
18 23 29 30 32
37 34 25 26 20
35 36 37 38 38
Determinar o 1º quartil ( 1Q ), o 4º decil ( 4D ) e o 90º percentil ( 90P ).
Solução:
Rol:
18 19 20 20 22
22 23 24 25 26
27 28 29 30 32
32 33 34 35 36
37 37 38 38 39
Para determinar o primeiro quartil, usamos i = 1 e C = 4. E temos que 
n = 25.
( ) ( ) 11 1 25 1 1 7
4i
iR n
C
= − ⋅ + = − ⋅ + =
w w w.us f . e d u . b rpág.30
1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
Então, o primeiro quartil é o elemento que ocupa a sétima posição na ordem 
crescente, ou seja, 1 23Q = .
Assim, podemos concluir que 25% dos funcionários dessa empresa têm 
idade inferior a 23 anos, ou ainda que 75% apresentam idade superior a 23 
anos.
Para determinar o quarto decil, usamos i = 4 e C = 10, e temos que n = 25.
( ) ( ) 41 1 25 1 1 10,6
10i
iR n
C
= − ⋅ + = − ⋅ + =
Logo:
( )
( )
10,6 10,6 10 11 10
10,6
0,6
26 0,6 27 26 26,6
R x x x x
x
→ = + ⋅ −
= + ⋅ − =
Então, o quarto decil é igual a 26,6 anos ( 4 26,6D = ), e isso signifi ca 
que 40% dos funcionários desta empresa apresentam idade inferior a 26,6 
anos.
Para determinar o 90º percentil, usamos i = 90 e C = 100, e temos que 
n = 25.
( ) ( ) 901 1 25 1 1 22,6
100i
iR n
C
= − ⋅ + = − ⋅ + =
Logo:
( )
( )
22,6 22,6 22 23 22
22,6
0,6
37 0,6 38 37 37,6
R x x x x
x
→ = + ⋅ −
= + ⋅ − =
Então, o 90º percentil é igual a 37,6 anos, ou seja, 90 37,6P = . Portan-
to, 90% dos funcionários destaempresa apresentam idade inferior a 37,6 
anos.
w w w.us f . e d u . b r pág.31
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7. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
As medidas de dispersão (MD) ou de variabilidade podem ser entendidas como a 
diferença observada no conjunto de dados a serem analisados. Podemos dizer ainda 
que, quanto maior for esta diferença, maior será a variabilidade ou a dispersão dos da-
dos do grupo avaliado. E quanto menor a diferença, menor a dispersão dos dados. Por 
exemplo: poderia ser solicitado a um encarregado de uma empresa um relatório para 
avaliar o desempenho de seus funcionários, ou seja, quais funcionários se mantêm mais 
constantes na quantidade de peças produzidas diariamente.
As principais medidas de variabilidade que serão abordadas nesta presente unidade 
são: amplitude total, variância, desvio-padrão e coefi ciente de variação.
Observação:
Nesta unidade de estudo, faremos o tratamento das medidas de dispersão para dados 
brutos e também vamos analisar o desvio em dados agrupados (tabelas com nível intervalar).
7.1 AMPLITUDE TOTAL
A amplitude total é uma medida de dispersão de fácil obtenção e é calculada pela di-
ferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados a serem analisados, ou seja,
total a eA M m= −
A amplitude total não usa todos os dados do conjunto, apenas os dados extremos.
ATENÇÃO
Para aprofundar mais o estudo, você poderá realizar mais pesquisas a respeito dos 
temas e também como realizar os demais cálculos para dados agrupados, e até 
mesmo como esses cálculos podem ser obtidos com a planilha do Excel.
Veja os exemplos:
1) Dado o conjunto abaixo, determine o valor da amplitude total.
3 5 6 2 5 4
w w w.us f . e d u . b rpág.32
1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
Solução:
6 2 4
total a e
total
A M m
A
= −
= − =
2) As temperaturas indicadas a seguir foram registradas em seis mo-
mentos diferentes de um dia. Determine a amplitude total (variação da 
temperatura) durante o início e o fi nal do registro das temperaturas.
18ºC 20ºC 21ºC 21ºC 22ºC 24ºC
Solução:
24 18 6 º
total a e
total
A M m
A C
= −
= − =
Logo, a variação da temperatura no período registrado foi de 6ºC.
7.2 VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
Segundo Díaz e López (2007), variância é defi nida como a média das diferenças qua-
dráticas de n valores em relação à sua média aritmética, assim:
( )2
2 1
n
i
i
x x
n
σ =
−
=
∑
O valor obtido com o cálculo da variância é sempre positivo e é calculado utilizando-
se todos os elementos do conjunto de dados. Porém, suas unidades são as do quadrado 
da variável estudada, o que torna mais fácil a utilização de sua raiz quadrada, que vem 
a ser o desvio-padrão. Então:
( )2
1
n
i
i
x x
n
σ =
−
=
∑
w w w.us f . e d u . b r pág.33
1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
Calcule o desvio-padrão populacional para o conjunto de dados abaixo.
10 12 12 11 13
Solução:
1º passo: cálculo da média aritmética.
58 11,6
5
x = =
2º passo: calcular o quadrado da diferença de todos os valores do con-
junto em relação à média.
ix ( )
2
ix x−
10 (10 - 11,6)2 = 2,56
12 (12 - 11,6)2 = 0,16
12 (12 - 11,6)2 = 0,16
11 (11 - 11,6)2 = 0,36
13 (13 - 11,6)2 = 1,96
∑ 5,2
3º passo: substituir os valores na fórmula do cálculo do desvio-padrão.
5,2 1,02
5
σ = ≅
OBSERVAÇÃO: não adote arredondamentos nos cálculos intermediá-
rios, somente no fi nal. 
Observações:
1) Para realizar o cálculo do desvio-padrão, faz-se necessário o cálculo da média 
aritmética simples.
2) Quando se trabalha com amostras, faz-se necessário uma correção amostral na 
fórmula, na qual a divisão não é feita por n, mas sim por n - 1, ou seja:
( )2
1
1
n
i
i
x x
s
n
=
−
=
−
∑
A correção amostral tem efeito sobre os resultados para conjuntos que contenham 
aproximadamente 30 elementos.
w w w.us f . e d u . b rpág.34
1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A U N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
 7.3 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
O coefi ciente de variação é uma medida de dispersão relativa que serve para compa-
rar a variação de diferentes grupos, mesmo que suas unidades sejam diferentes.
100desvio padrãocv
média
= ×
1) Determine o coefi ciente de variação para os dados do exemplo no 
item anterior:
Solução:
2) Deseja-se saber a variabilidade de dois lotes amostrais de diferen-
tes produtos. Os lotes estão descritos a seguir:
Lote 1 – Conteúdo (em gramas) de 5 pacotes de açúcar.
1000 999 1002 1000 998
Lote 2 – Conteúdo (em mililitros) de 6 frascos de detergente.
499 502 500 500 498 501
Por meio do desvio-padrão amostral e do coefi ciente de variação, de-
terminar qual dos lotes apresenta menor variabilidade.
Solução:
Lote 1
4999 999,8
5
x g= = 8,8 1,5
5 1
s g= ≅
−
1,5 100 0,15%
999,8
cv = × ≅
Lote 2
3000 500
6
x ml= =
1,4 100 0,28%
500
cv = × ≅10 1,4
6 1
s ml= ≅
−
Logo, podemos concluir que o lote que apresenta menor variabilida-
de é o 1, pois o valor do coefi ciente de variação é menor.
1,02 100 8,79%
11,6
cv = × ≅
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8. MÉDIA ARITMÉTICA E DESVIO-PADRÃO PARA DADOS 
AGRUPADOS
A seguir, vamos analisar como é possível calcular a média aritmética e o desvio-pa-
drão para dados agrupados (tabela de frequências).
1) A tabela abaixo indica as idades dos funcionários de uma empresa.
TABELA 9 – Número de funcionários por idade.
Idade (em anos) Nº de funcionários
20 2
21 5
23 7
24 6
28 2
Total 22
 Determine a média e o desvio-padrão populacional das idades em anos.
Solução:
No caso da tabela acima, observa-se que há repetição dos valores, ou 
seja, 2 funcionários possuem 20 anos e 2 dos funcionários têm 28 anos. 
Logo, as fórmulas para cálculo da média e do desvio-padrão populacional 
são, respectivamente:
ix fx
n
⋅
= ∑ ( )
2
ix x f
n
σ
− ⋅
= ∑e
Assim:
Idades (anos)
ix
Nº funcionários 
f ix f⋅ ( )2ix x f− ⋅
20 2 40 (20 – 23)² . 2 = 18
21 5 105 (21 – 23)² . 5 = 20
23 7 161 (23 – 23)² . 7 = 0
24 6 144 (24 – 23)² . 6 = 6
28 2 56 (28 – 23)² . 2 = 50
Total 22 506 94
Fonte: a autora (2019)
Fo
nt
e:
 a
 a
ut
or
a 
(2
01
9)
w w w.us f . e d u . b rpág.36
1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
Logo:
94 2,1
22
anosσ = ≅
506 23
22
x anos= = e
2) A tabela abaixo indica as idades de um grupo de funcionários de 
uma determinada empresa.
TABELA 10 – Idades (em anos) dos funcionários de uma empresa.
Idades (anos) f
18 24 7
24 30 6
30 36 5
36 42 2
Total 20
Determine a média e o desvio-padrão amostral das idades em anos.
Solução:
Na tabela acima, observa-se que temos uma distribuição de 
frequências no nível intervalar. Logo, as fórmulas para cálculo da média 
e do desvio-padrão amostral são, respectivamente:
mxfx
n
⋅
= ∑ ( )
2
1
mx x fs
n
− ⋅
=
−
∑e
Onde mx é o valor médio do intervalo de classe, ou seja, média dos 
limites inferior e superior de cada classe.
Fonte: a autora (2019)
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1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 11 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
Assim:
Idades (anos)
ix
f
mx mx f⋅ ( )2mx x f− ⋅
18 24 7 21 147 (21 – 27,6)² . 7 = 304,92
24 30 6 27 162 (27 – 27,6)² . 6 = 2,16
30 36 5 33 165 (33 – 27,6)² . 5 = 145,8
36 42 2 39 78 (39 – 27,6)² . 2 = 259,92
Total 20 552 712,8
Observe que, para calcular o valor médio ( mx ) da primeira classe, fazemos 18 24 21
2
+
= . E procedemos da mesma forma para as demais classes.
Logo:
712,8 6,1
19
s anos= ≅
552 27,6
20
x anos= = e
w w w.us f . e d u . b rpág.38
1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1 1 . E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V AU N I D A D E 0 1
REFERÊNCIAS
ARANGO, H. G. Bioestatística teórica e computacional. 3.ed. Rio de Janeiro: Gua-
nabara Koogan, 2009.
CAVALVANTE, R. Medidas de tendência central. Disponível em: <http://www.vi-
vendoentresimbolos.com/2012/08/medidas-de-tendencia-central-media-mo-
da.html>. Acesso em: 13 ago. 2017.
DÍAZ, F. R.; LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. São Paulo: Thomson Learning, 2007.
DOANE, D. P. Estatística aplicada à administraç ã o e economia [recurso eletrôni-
co]. 4.ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. Estatística geral e aplicada. 5.ed. rev. e ampl. 
São Paulo: Atlas, 2014.
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C, Estatística aplicada e probabilidade para 
engenheiros. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
NOÉ, M. Populaç ã o e amostras. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/
matematica/populacao-amostras.htm>. Acesso em: 22 mar. 2015.
PAIVA, M. Matemática. 2.ed. São Paulo: Moderna, 2013.
SILVA, J. Estatística descritiva. Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=r-
7MC1aiNraw>. Acesso em: 22 mar. 2015.
<http://www.abgconsultoria.com.br/blog/boxplot-como-interpretar/>. Acesso 
em: 18 jul. 2019.
<https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv23907.pdf>. Acesso em: 
18 jul. 2019.
CONCLUSÃO
Nesta unidade vimos que vários conceitos da estatística descritiva nos auxiliam a 
resolver questões ligadas ao cotidiano profi ssional e também a algumas situações de 
nosso dia a dia, por exemplo, a variação de temperatura.
Ao fi nal desta unidade, você deverá ser capaz de elaborar e interpretar tabelas e 
gráfi cos com base nos dados brutos obtidos, além de calcular as medidas de tendência 
central e as medidas de dispersão e de utilizar o coefi ciente de variação para analisar a 
variabilidade de um conjunto de dados.
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S D E 
P R O B A B I L I D A D E S
PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÕES 
DE PROBABILIDADES2.
Fonte: 123rf
w w w.us f . e d u . b rpág.40
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
D E P R O B A B I L I D A D E SU N I D A D E 0 2
Fonte: 123rf
2.1 INTRODUÇÃO
O estudo da probabilidade teve seu início nos jogos de azar (cartas, roletas, dados, 
etc.), e hoje encontramos diversos exemplos em que esse tipo de estudo é citado. A teoria 
da probabilidade permite que se determine a chance de ocorrência de um evento em um 
experimento aleatório.
O uso de probabilidade está relacionado à questão da confi abilidade de efi cácia e à 
redução de falhas, por exemplo.
w w w.us f . e d u . b r pág.41
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
D E P R O B A B I L I D A D E SU N I D A D E 0 2
2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S D E 
P R O B A B I L I D A D E S
2.1.1 CONCEITOS INICIAIS
Os fenômenos podem ser classifi cados em:
determinísticos 
ou 
aleatórios
Os fenômenos aleatórios são aqueles que, realizados sob as mesmas condições 
iniciais, podem levar a diferentes resultados, por exemplo, o sorteio dos números em 
uma loteria.
Os fenômenos determinísticos acontecem sob as mesmas condições iniciais, e é pos-
sível predizer o resultado fi nal, que é o que ocorre com muitas leis aplicadas à Física, por 
isso a utilização de fórmulas.
Assim, a probabilidade tem como objetivo o estudo de fenômenos aleatórios. Se-
guem algumas defi nições para o cálculo de probabilidades.
• Espaço amostral (U):
É o conjunto formado por todos os possíveis resultados (elementos) de um expe-
rimento aleatório. Também é conhecido como conjunto universo. Observe o espaço 
amostral nos exemplos a seguir:
a) No lançamento de um dado podem ocorrer as faces 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
Este espaço amostral é composto de 6 elementos, n(U) = 6.
b) No lançamento de uma moeda, pode ocorrer a face cara ou a face coroa. Assim, o 
espaço amostral é dado por:
U = {cara, coroa} e n(U) = 2
Determinísticos ou Aleatórios
Note que foi utilizado K para representar a ocorrência da face cara e C para a ocorrência da 
face coroa.
w w w.us f . e d u . b rpág.42
U N I D A D E 0 2
2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
D E P R O B A B I L I D A D E SU N I D A D E 0 2
c) No lançamento de duas moedas, pode acontecer: cara em ambas as moedas, coroa 
em ambas as moedas, cara na primeira e coroa na segunda moeda, ou ainda, coroa 
na primeira e cara na segunda. Logo:
U = {KK, CC, KC, CK} e n(U) = 4.
d) Numa linha de produção, uma peça pode ser considerada “perfeita” ou “defeituo-
sa”. Assim, podemos descrever seu espaço amostral como:
U = {perfeita, defeituosa}.
Então, n(U) = 2.
• Evento:
É um subconjunto do espaço amostral, indicando geralmente o que se deseja que ocorra.
É comum indicar um evento com uso de letra maiúscula: A, B, C, …, M, N, …
Considere o exemplo a seguir:
Numa linha de produção há 15 peças numeradas de 1 a 15. Determine:
a) O espaço amostral formado pelas 15 peças.
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
b) O evento A: ocorrência de uma peça com numeração superior a 10.
A = {11, 12, 13, 14, 15}
O evento B: ocorrência de uma peça com numeração par.
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Podemos classifi car os eventos da seguinte forma:
 Evento certo: é aquele formado por todos os elementos do espaço amostral. 
Considere o lançamento de um dado no qual o espaço amostral é cons-
tituído por U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e o evento C: no lançamento de um dado 
deverá ocorrer uma face voltada para cima com numeração menor que 7. 
Logo, o evento C será C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sua probabilidade será igual a 
100%.
 Evento simples: também conhecido como evento elementar, é aquele que con-
tém apenas um único elemento.
w w w.us f . e d u . b r pág.43
U N I D A D E 0 2
2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S D E 
P R O B A B I L I D A D E S
Evento D: no lançamento simultâneo de dois dados, a ocorrência da soma 
dos resultados deverá ser igual a 2.
A única possibilidade de se lançar dois dados e obter a soma dos resul-
tados igual a 2 acontecerá se ambas as faces apresentarem a numeração 1. 
Logo, evento D = {(1,1)}, onde n(D) =1.
 Evento vazio: classifi cado também como evento impossível, é aquele que não 
apresenta nenhum resultado.
Evento E: no lançamento de um dado, a ocorrência de uma face com nu-
meração maior ou igual a 7.
Como no dado não temos nenhuma face com numeração igual ou maior 
que 7, teremos um evento impossível. Logo, E = ø.
2.2 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Fonte: 123rf
Evento complementar: evento formado pelos elementos que pertencem ao espaço 
amostral, mas não pertencem ao evento desejado.
EventoF = no lançamento de um dado, a ocorrência de uma face par, isto é, 
F = {2, 4, 6}. Assim, o complementar de F, denotado por F ou por CF , será 
F = {1, 3, 5}. Observe que F F U∪ = .
w w w.us f . e d u . b rpág.44
U N I D A D E 0 2
2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
D E P R O B A B I L I D A D E SU N I D A D E 0 2
A defi nição clássica para o cálculo de probabilidades é: A probabilidade de ocorrência 
do evento A é a razão entre o número de elementos do evento A e o número total de 
elementos do conjunto amostral. Ou seja:
( )( )
( )
n AP A
n U
=
Observações:
1. 
2. 
Veja os exemplos a seguir:
1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de “sair” a face 
3 voltada para cima?
Lembre-se que no dado “normal” só há uma face com o número 3, num 
total de 6 faces do dado.
Solução:
Assim, n(A) = 1 e n(U) = 6. Logo:
1( )
6
P A =
Também podemos deixar o resultado na forma de porcentagem. Para 
isso, basta dividir o 1 pelo 6 e multiplicar por 100.
Logo: 
1( ) 16,67%
6
P A = ≅
2. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser um núme-
ro ímpar?
Solução:
Conjunto universo -> U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(U) =6
Evento A: a face do dado é um número par -> A = {1,3, 5} e n(A) = 3
3( ) 50%
6
P A = =
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S D E 
P R O B A B I L I D A D E S
3. Numa linha de produção, há 10 lustres dos quais 2 são defeituosos. 
Qual a probabilidade de se escolher um dos lustres:
a) Defeituosos
b) Não defeituosos
Solução:
a) 2 1( ) 20%
10 5
P D = = =
 
b) 
8 4( ) 80%
10 5
P B = = =
Observe que foi utilizado D para representar a probabilidade de se es-
colher um lustre defeituoso e B para um lustre não defeituoso, ou seja, um 
lustre bom.
E ainda, poderíamos ter realizado o cálculo do item b) com o evento 
complementar. Assim, para obter a probabilidade de encontrar um dos 
lustres que não seja defeituoso, basta fazer o total (1 inteiro que equivale 
a 100%) menos o que não desejamos que ocorra, isto é, um lustre defei-
tuoso. Logo:
1 4( ) 1 ( ) 1
5 5
P B P D= − = − =
4. Numa fábrica de velas, há um total de 200 velas, das quais 50 são da 
cor azul, 80 são da cor branca e as demais são vermelhas. Qual a probabili-
dade de se escolher uma vela que seja da cor azul ou da cor vermelha?
Solução:
Velas da cor azul -> 50
Velas da cor vermelha -> 70
Logo, a probabilidade de se escolher uma vela da cor azul ou da cor ver-
melha é:
50 70 120( ) ( ) 60%
200 200 200
P Azul P Vermelha ou+ = + =
w w w.us f . e d u . b rpág.46
U N I D A D E 0 2
2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
D E P R O B A B I L I D A D E SU N I D A D E 0 2
Observe que, nesse caso, usamos a ideia de que os eventos são mutuamente exclu-
sivos, ou seja, são eventos que não ocorrem simultaneamente: ou é da cor azul ou é da 
cor vermelha. Veja a ilustração a seguir:
A representa o conjunto das velas que têm cor azul e B o conjunto das velas que têm 
cor vermelha.
Note que A B∩ =∅ . Então, podemos concluir que:
( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +
5. Na retirada de uma carta de um baralho com 52 cartas, deseja-
se retirar uma carta que seja de copas ou dama. Qual a probabilidade de 
se retirar uma carta nessas condições?
Solução:
Lembrete: no baralho de 52 cartas há quatro naipes diferentes (13 car-
tas de cada naipe, logo, há 13 cartas de copas) e há quatro damas (uma de 
cada naipe). Porém, há exatamente uma carta que pertence aos dois gru-
pos ao mesmo tempo, que é a dama de copas.
13 4 1 16 4( ) ( ) ( ) 30,8%
52 52 52 52 13
P Copas P Dama P Copas e Dama ou+ − = + − = =
Observe a ilustração a seguir:
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U N I D A D E 0 2
2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S D E 
P R O B A B I L I D A D E S
Há elementos que pertencem a A B∩ . Estes eventos podem ser classifi cados como 
eventos quaisquer. Logo, podemos concluir que:
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
*Com reposiç ã o: após retirar a primeira peça, verifica-se se a mesma é de-
feituosa ou não, depois ela é devolvida ao lote. Sendo assim, o lote sempre con-
tinuará com 20 peças (4 com defeitos e 16 sem defeitos).
6. Uma moeda não viciada é lançada para cima duas vezes. Determine 
a probabilidade de que ambos os resultados sejam cara.
Solução:
No lançamento de uma moeda não viciada, temos apenas duas possibi-
lidades de resultados, ou é cara ou é coroa. Ou seja, a probabilidade de sair 
cara em um lançamento é igual a 12 . Então, devemos ter cara no primeiro 
lançamento e cara também no segundo lançamento. Logo:
1 1 1( ) ( ) ( ) 25%
2 2 4
P cara e cara P cara P cara= ⋅ = ⋅ = =
Observe que neste exemplo temos eventos independentes, ou seja, 
quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende de outros terem 
ocorrido ou não.
No caso de eventos independentes, temos:
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅
Considere um lote formado por 20 peças, das quais 4 apresentam defei-
to. Qual a probabilidade de serem retiradas, ao acaso, duas peças desse lote, 
*com reposição e que:
a) Ambas sejam defeituosas;
b) Ambas sejam perfeitas (não apresentem nenhum defeito);
c) A primeira seja perfeita e a segunda seja defeituosa (nesta ordem);
d) Exatamente uma delas seja defeituosa;
e) Pelo menos uma seja defeituosa.
w w w.us f . e d u . b rpág.48
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
D E P R O B A B I L I D A D E SU N I D A D E 0 2
Solução:
a) 
4 4 16 1( ) ( ) 4%
20 20 400 25
P D P D ou⋅ = ⋅ = =
b) 16 16 256 16( ) ( ) 64%
20 20 400 25
P B P B ou⋅ = ⋅ = =
c) 16 4 64 4( ) ( ) 16%
20 20 400 25
P B P D ou⋅ = ⋅ = =
d) 
16 4 4 16 128 8( ) ( ) ( ) ( ) 32%
20 20 20 20 400 25
P B e P D ou P D e P B ou= ⋅ + ⋅ = =
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B e P D ou P D e P B ou P D e P D =
16 4 4 16 4 4 144 9 36%
20 20 20 20 20 20 400 25
ou⋅ + ⋅ + ⋅ = =
OBSERVAÇÕES
1. A soma dos resultados dos itens a), b) e d) é igual a 100%, pois completam todas 
as possibilidades: se ambas apresentarem defeitos, se ambas não apresentarem 
defeitos e se apenas uma apresentar defeito (independente da ordem);
2. A probabilidade do item d) poderia ser calculada da seguinte maneira:
16 4 64 82 2 32%
20 20 400 25
ou ⋅ × = × = 
 
O produto pelo fator 2 indica as duas possibilidades de se obter uma peça defeituosa 
e uma peça sem defeito, isto é, ( ) ( ) ( ) ( )P B e P D ou P D e P B .
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S D E 
P R O B A B I L I D A D E S
Sem reposiç ã o – Após retirar 
a primeira peça, verifi ca-se se ela 
é defeituosa ou não, depois não é 
mais devolvida ao lote. Sendo as-
sim, o lote que continha incialmen-
te 20 peças passará a ter 19 peças 
na segunda retirada. No caso do 
item a), no qual desejamos que as 
duas peças retiradas sejam defei-
tuosas, procedemos da seguinte 
forma: primeira peça a ser retirada 
-> 4 defeitos no total de 20 peças; 
e na segunda peça a ser retirada 
-> 3 defeitos no total de 19 peças 
restantes no lote.
3. O cálculo da probabilidade do item e) poderia ser realizado por meio dos dados 
daquilo que não desejamos que aconteça, ou seja, ao invés de fazermos todas as 
possibilidades de se obter pelo menos uma peça defeituosa, poderíamos calcular 
a probabilidade de ambas as peças não apresentarem defeito e subtrair do total 
de 100% = 1.
16 91 36%
25 25
ou− =
No exemplo anterior, vimos que a probabilidade de se retirar a segunda peça defeitu-
osa não depende do resultado da retirada da primeira peça (ou seja, se ela é defeituosa 
ou não).Neste caso, os eventos também são chamados de eventos independentes.
Lembre-se que os eventos independentes são aqueles em que a ocorrência ou não de 
um não implica na ocorrência do outro.
8. Considere um lote formado 
por 20 peças, das quais 4 apresen-
tam defeito. Qual a probabilidade 
de serem retiradas, ao acaso, duas 
peças desse lote, sem reposiç ã o, e 
que:
a) Ambas sejam defeituosas;
b) Ambas sejam perfeitas (não 
apresentem nenhum defeito);
c) A primeira seja perfeita e a 
segunda seja defeituosa (nesta or-
dem);
d) Exatamente uma delas seja 
defeituosa;
e) Pelo menos uma seja defeitu-
osa.
Solução:
a) 
4 3 12 3( ) ( ) 3,16%
20 19 380 95
P D P D⋅ = ⋅ = = ≅
b) 
16 15 240 12( ) ( ) 63,16%
20 19 380 19
P B P B⋅ = ⋅ = = ≅
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
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c) 
16 4 64 16( ) ( ) 16,84%
20 19 380 95
P B P D⋅ = ⋅ = = ≅
d) 
16 4 4 16 128 32( ) ( ) ( ) ( ) 33,68%
20 19 20 19 380 95
P B e P D ou P D e P B = ⋅ + ⋅ = = ≅
e) 16 4 4 16 4 3 140 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 36,84%
20 19 20 19 20 19 380 19
P B e P D ou P D e P B ou P D e P D = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = ≅ 
16 4 4 16 4 3 140 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 36,84%
20 19 20 19 20 19 380 19
P B e P D ou P D e P B ou P D e P D = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = ≅
9. A probabilidade de uma determinada pessoa do sexo feminino estar 
viva daqui a 15 anos é de 80%, e a probabilidade de uma dada pessoa do sexo 
masculino estar viva daqui a 15 anos é igual a 3
4
. Determine:
a) A probabilidade de a pessoa do sexo feminino não estar viva dentro dos 
próximos 15 anos.
b) A probabilidade de ambas estarem vivas dentro dos próximos 15 anos.
c) A probabilidade de dentro dos próximos 15 anos, o homem estar vivo e 
a mulher não estar viva.
d) Apenas um deles estar vivo dentro dos próximos 15 anos.
e) A probabilidade de que ambos não estejam mortos dentro dos próxi-
mos 15 anos.
Solução:
a) Neste caso, podemos usar o evento complementar, pois ou a pessoa esta-
rá viva dentro dos próximos 15 anos ou não. Assim, ( ) ( ) 1P M P M+ = , onde:
Evento M: pessoa do sexo feminino estar viva dentro dos próximos 15 
anos.
Evento M : pessoa do sexo feminino não estar viva dentro dos próximos 
15 anos.
Então:
80 8 4( ) 80%
100 10 5
P M = = = =
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P R O B A B I L I D A D E S
( ) ( ) 1
4 ( ) 1
5
4 1( ) 1 20%
5 5
P M P M
P M
P M ou
+ =
+ =
= − =
Logo, a probabilidade de a pessoa do sexo feminino não estar viva dentro 
dos próximos 15 anos é igual a 20%.
b) Para verifi car a probabilidade de ambos estarem vivos dentro dos pró-
ximos 15 anos, devemos considerar que tanto a mulher quanto o homem es-
tarão vivos. Seja ( )P M a probabilidade de a mulher estar vida e ( )P H a 
probabilidade de o homem estar vivo, então ( ) ( )P M e P H .
4 3 12 3( ) ( ) 60%
5 4 20 5
P M e P H = ⋅ = = =
Logo, a probabilidade de ambos estarem vivos dentro dos próximos 15 
anos é igual a 60%.
c) Para calcular a probabilidade de o homem estar vivo e a mulher não, 
devemos fazer ( ) ( )P H e P M .
3 1 3( ) ( ) 15%
4 5 20
P H e P M = ⋅ = =
Logo, a probabilidade de o homem estar vivo e a mulher não dentro dos 
próximos 15 anos é igual a 15%.
d) Para que apenas um deles esteja vivo, podemos ter o homem 
vivo e a mulher não, ou a mulher viva e o homem não: ( )P H . Então, 
( ) ( ) ( ) ( )P H e P M ou P M e P H .
( ) ( ) 1
3 ( ) 1
4
3 1( ) 1
4 4
P H P H
P H
P H
+ =
+ =
= − =
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ATENÇÃO:
Também podemos calcular o item e) pela probabilidade complementar, ou 
seja, a única condição que não satisfaz “ambos não estejam mortos” é aquele 
em que ambos estarão mortos dentro dos próximos 15 anos. Logo:
1 ( )
1 ( ) ( )
1 1 1 191 1 95%
4 5 20 20
P ambos mortos
P H e P M
− =
− =
− ⋅ = − = =
3 1 4 1 3 4 7( ) ( ) ( ) ( ) 35%
4 5 5 4 20 20 20
P H e P M ou P M e P H = ⋅ + ⋅ = + = =
Logo, a probabilidade de apenas um deles estar vivo dentro dos próxi-
mos 15 anos é igual a 35%.
e) Para calcular a probabilidade de que ambos não estejam mortos, de-
vemos fazer a probabilidade de apenas um estar vivo somada com a proba-
bilidade de ambos estarem vivos, então:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 4 1 4 3 3 4 12 19 95%
4 5 5 4 5 4 20 20 20 20
P H e P M ou P M e P H ou P M e P H =
⋅ + ⋅ + ⋅ = + + = =
Logo, a probabilidade de que ambos não estejam mortos dentro dos pró-
ximos 15 anos é igual a 95%.
10. Três pessoas, A, B e C, atiram dardos em um alvo. Sabe-se que a 
probabilidade de A acertar o alvo é igual a 
1
3 , a probabilidade de B acertar 
o alvo é igual a 
2
5 e a probabilidade de C errar o alvo é igual a 
3
4
. Calcule a 
probabilidade de:
a) C acertar o alvo;
b) As três pessoas acertarem o alvo;
c) Apenas B acertar o alvo;
d) Apenas um deles acertar o alvo;
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P R O B A B I L I D A D E S
e) Exatamente dois deles acertem o alvo;
f) No mínimo um deles acertar o alvo.
Solução:
Para iniciar a resolução do exercício, vamos descrever a probabilida-
de de acerto e a probabilidade de erro (probabilidade complementar) de 
cada uma das pessoas::
Probabilidade de A acertar o alvo -> 
1( )
3
P A =
Probabilidade de A errar o alvo -> 
1 2( ) 1
3 3
P A = − =
Probabilidade de B acertar o alvo -> 
2( )
5
P B =
Probabilidade de B errar o alvo -> 
2 3( ) 1
5 5
P B = − =
Probabilidade de C errar o alvo -> 
3( )
4
P C =
Probabilidade de C acertar o alvo -> 
3 1( ) 1
4 4
P C = − =
a) A probabilidade de C acertar o alvo é a probabilidade complementar 
de C errar o alvo. Logo, a probabilidade de C acertar o alvo, ( )P C , é igual 
a 1
4
.
b) Se as três pessoas acertam o alvo, temos que A acerta, B acerta e C 
também acerta o alvo. Então:
1 2 1 2 1( ) ( ) ( )
3 5 4 60 30
P A e P B e P C = ⋅ ⋅ = =
Logo, a probabilidade de as três pessoas acertarem o alvo é igual a 
1
30
.
ATENÇÃO:
Também podemos calcular o item e) pela probabilidade complementar, ou 
seja, a única condição que não satisfaz “ambos não estejam mortos” é aquele 
em que ambos estarão mortos dentro dos próximos 15 anos. Logo:
1 ( )
1 ( ) ( )
1 1 1 191 1 95%
4 5 20 20
P ambos mortos
P H e P M
− =
− =
− ⋅ = − = =
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c) Se apenas B deve acertar o alvo, temos que A erra, B acerta e C tam-
bém erra. Então:
2 2 3 12 1( ) ( ) ( )
3 5 4 60 5
P A e P B e P C = ⋅ ⋅ = =
Logo, a probabilidade de apenas B acertar o alvo é igual a 
1
5
.
d) Para calcular a probabilidade de apenas um acertar o alvo, devemos 
pensar que um irá acertar e os outros dois deverão errar o alvo. Assim, temos 
que considerar as três opções: A acerta e B e C erram, ou B acerta e A e C 
erram, ou C acerta e A e B erram. Então: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 3 3 2 2 3 2 3 1 9 12 6 27 9
3 5 4 3 5 4 3 5 4 60 60 60 60 20
P A e P B e P C ou P A e P B e P C ou P A e P B e P C =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + + = =
Logo, a probabilidade de apenas um deles acertar o alvo é igual a 
9
20 .
e) Para calcular a probabilidade de exatamente dois deles acertarem o 
alvo, devemos pensar que um irá errar e os outros dois deverão acertar o 
alvo. Assim, temos que considerar as três opções: A erra e B e C acertam, ou 
B erra e A e C acertam, ou C erra e A e B acertam. Então,
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 1 3 1 1 2 3 4 3 6 13
3 5 43 5 4 3 5 4 60 60 60 60
P A e P B e P C ou P A e P B e P C ou P A e P B e P C
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + + =
Logo, a probabilidade de exatamente dois deles acertar o alvo é igual a 
13
60
.
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P R O B A B I L I D A D E S
f) 1ª maneira:
Para calcular a probabilidade de no mínimo um deles acertar o alvo, deve-
mos pensar que um ou mais podem acertar o alvo. Assim, apenas um pode 
acertar o alvo, exatamente dois podem acertam o alvo ou os três podem 
acertar o alvo. Essas probabilidades já foram calculadas, respectivamente, 
nos itens d), e) e b). Então:
27 13 2 42 7
60 60 60 60 10
+ + = =
2ª maneira:
Usando o complementar, a única condição que não satisfaz “no mínimo 
um deles acertar o alvo” é se nenhum deles acertar o alvo, ou seja, todos 
devem errar o alvo. Então:
2 3 3 18 42 71 ( ) ( ) ( ) 1 1
3 5 4 60 60 10
P A e P B e P C− = − ⋅ ⋅ = − = =
Logo, a probabilidade de no mínimo um deles acertar o alvo é igual a 
7
10
.
11. Uma determinada característica genética só é transmitida para uma 
criança se ambos os pais desta criança também apresentarem a mesma 
característica genética. Sabendo que a probabilidade da mãe apresentar a 
característica genética é igual a 
3
20
 e que a probabilidade do pai possuir 
a mesma característica genética é igual a 
3
25 , determine a probabilidade 
de uma criança gerada por estes pais nascer com a citada característica 
genética.
Solução:
A criança só nasce com a citada característica genética se ambos os pais 
apresentam a mesma característica, ou seja, se a mãe e o pai possuírem 
a dada característica. Então, considerando ( )P Mãe a probabilidade de a 
mãe apresentar a característica e ( )P Pai a probabilidade de o pai possuir a 
característica, temos:
3 3 9( ) ( )
20 25 500
P Mãe e P Pai = ⋅ =
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Logo, a probabilidade de uma criança gerada por estes pais apresentar a citada ca-
racterística genética é igual a 9
500
.
OBSERVAÇÃO:
Em estatística, associamos:
• ou à união (U) -> adição (+).
• e à intersecção ( ) -> multiplicação (x).
2.3. PROBABILIDADE CONDICIONAL
É a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que o evento A já ocorreu. Indicamos por:
( )( | )
( )
P A BP B A
P A
∩
=
1. Suponha que em uma determinada empresa há 300 funcionários, 
dos quais parte possui ensino superior completo e parte não. A distribui-
ção dos funcionários dessa empresa, por sexo, é dada a seguir:
Funcionários
Sexo
Total
Masculino (M) Feminino (F)
Superior 
completo
90 30 120
Superior 
incompleto
120 60 180
Total 210 90 300
Um dos funcionários dessa empresa é selecionado ao acaso e verifi ca-
se que é do sexo feminino.
Qual a probabilidade de que esse funcionário tenha ensino superior completo?
Solução:
Supondo o evento A como o funcionário ser do sexo feminino e evento B 
possuir ensino superior completo, temos:
( ) 30 1( | )
( ) 90 3
P A BP B A
P A
∩
= = =
U
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P R O B A B I L I D A D E S
2. Considere um lote formado por 20 peças, das quais 4 apresentam 
defeito. Qual a probabilidade de serem retiradas, ao acaso, 2 dessas peças, 
uma após a outra, de forma que a segunda unidade também seja defeituo-
sa se a primeira for defeituosa?
Solução:
Se a primeira unidade for defeituosa, ainda existirão 3 peças defeituosas 
e 16 peças não defeituosas, ou seja,
3( | )
19
P B A =
Logo, a probabilidade de a segunda peça retirada ser defeituosa, assim 
como a primeira, é igual a 3
19
.
2.4 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Segundo Pinheiro et al. (2012), uma variável aleatória é uma função que associa cada 
elemento de seu espaço amostral a um número real.
Geralmente não é necessário descrever o conjunto amostral ao qual pertence a variá-
vel aleatória, e sim defi nir o conjunto de valores reais que ela pode assumir e as respecti-
vas probabilidades de assumir tais valores. E ainda, diremos que uma variável aleatória 
é discreta quando o número de valores que ela pode assumir é fi nito ou enumerável.
São exemplos de variáveis aleatórias discretas: o número de clientes e o número de 
vezes que uma moeda é lançada para cima.
Já as variáveis aleatórias contínuas são aquelas geralmente obtidas através de uma 
medição (tempo que um operário gasta em uma tarefa, diâmetros médios de parafu-
sos, etc.). Assim, pode-se defi nir como variável aleatória contínua aquela que pode as-
sumir todos os valores possíveis dentro de um intervalo de números reais.
Logo, a distribuição de probabilidade é uma função que tem por objetivo determinar 
probabilidade de eventos e/ou proposições.
Existem várias formas e maneiras de determinar uma distribuição de probabilida-
des, uma delas é pela função densidade de probabilidade, que por meio de sua integra-
ção, é possível obter a probabilidade de um evento.
Seguem alguns exemplos em que podem ser utilizadas as distribuições de probabilidade:
• Duração média de uma lâmpada;
• Ocorrência de 3 peças defeituosas num lote com 15 peças;
• Ocorrência de exatamente 1 cara no lançamento de 7 moedas.
Logo, a probabilidade de uma criança gerada por estes pais apresentar a citada ca-
racterística genética é igual a 9
500
.
OBSERVAÇÃO:
Em estatística, associamos:
• ou à união (U) -> adição (+).
• e à intersecção ( ) -> multiplicação (x).
2.3. PROBABILIDADE CONDICIONAL
É a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que o evento A já ocorreu. Indicamos por:
( )( | )
( )
P A BP B A
P A
∩
=
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2 . P R O B A B I L I D A D E E D I S T R I B U I Ç Õ E S 
D E P R O B A B I L I D A D E SU N I D A D E 0 2
Existem vários tipos de distribuição de probabilidades, tanto aleatórias discretas 
quanto contínuas. Na distribuição de variável aleatória discreta, daremos enfoque na 
distribuição binomial, e na distribuição de variável aleatória contínua, será abordada a 
distribuição normal.
Na distribuição de probabilidades, temos:
Variável aleatória: associa cada elemento do espaço amostral a um 
número real.
• Variável aleatória discreta
• Variável aleatória contínua
Tipos de distribuição de probabilidades:
• Aleatória discreta – distribuição binomial
• Aleatória contínua – distribuição normal
2.5 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Fonte: 123rf
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P R O B A B I L I D A D E S
Para a utilização da distribuição binomial de probabilidades, é necessário que em 
cada ensaio (experimento) sejam admitidas apenas duas possibilidades: a ocorrência 
ou a não ocorrência de um determinado evento, conhecidos como a probabilidade de su-
cesso (p) e a probabilidade de fracasso (q).
Independentemente da ordem em que ocorram, se desejamos saber a probabilidade 
da ocorrência de x sucessos, então podemos dizer que a variável aleatória x admite dis-
tribuição binomial de probabilidades.
Observações:
• No experimento, deve-se contar com um número fi xo de provas.
• As provas devem ser independentes, ou seja, a probabilidade de ocorrência de 
uma não implica na probabilidade da outra.
• Todos os resultados de cada prova devem ser enquadrados em duas classes: su-
cesso ou fracasso, e suas respectivas probabilidades devem permanecer cons-
tantes em cada prova.
Para determinar a probabilidade, aplicaremos a fórmula:
,( )
y n y
n yP x y C p q
−= =