Fundamentos Teoricos do Pensameno Matemático

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FUNDAMENTOS TEÓRICOS DO PENSAMENTO 
MATEMÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 2 
SUMÁRIO 
APRESENTAÇÃO .............................................................................................. 4 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ........................................................................ 7 
PROBLEMAS DE APLICAÇÃO ........................................................................ 11 
SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ........................................................ 20 
A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO ................................................... 22 
MATERIAIS QUE PODEM SER UTILIZADOS PARA AS OPERAÇÕES DE 
CLASSIFICAÇÃO E SERIAÇÃO ...................................................................... 28 
CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO ........................................................ 38 
ABSTRAÇÃO EMPÍRICA E ABSTRAÇÃO REFLEXIVA - ABSTRAÇÃO EMPÍRICA
 ......................................................................................................................... 41 
O DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
DECIMAL ......................................................................................................... 47 
DISCUSSÃO DE PROCESSOS E DESENVOLVIMEN- TO HISTÓRICO DE ALGORITMOS 
DE ALGUMAS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS .................................................. 61 
IDEIAS DAS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ................................ 72 
COMPREENSÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS: FRAÇÕES ................................ 84 
OS DECIMAIS .................................................................................................... 98 
A CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO - ALGUNS FATOS 
HISTÓRICOS ................................................................................................. 112 
SENTIDO DAS MEDIDAS .............................................................................. 126 
ÁREA E PERÍMETRO .................................................................................... 138 
O PENSAMENTO ALGÉBRICO ..................................................................... 147 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA PROPORCIONALIDADE ...................... 161 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ....................................................................... 175 
 
 
 3 
AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA .................................................................... 187 
APRENDER SEM MEDO: O RELACIONAMENTO AFETIVO ENTRE AQUELE 
QUE ENSINA E AQUELE QUE APRENDE ................................................... 204 
A LINGUAGEM MATEMÁTICA E OS (DES)ENCONTROS COM A 
LINGUAGEM COTIDIANA ............................................................................. 214 
OS PROBLEMAS DA SOLUÇÃO: DIFICULDADES COM A METODOLOGIA 
DA “RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS” ........................................................... 228 
TEXTO COMPLEMENTAR .............................................................................. 237 
A GEOMETRIA PLANA E A GEOMETRIA ESPACIAL: O QUE VEMOS E O QUE VIVEMOS
 ....................................................................................................................... 240 
POR QUE (–1) X (–1) = 1?: OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS INTEIROS ....... 250 
Demonstração
 
de (–1) x (–1) = 1 .................................................................... 256 
REFERÊNCIAS .............................................................................................. 262 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Apresentação 
 
Caro Estudante 
Essa obra aborda diversos conteúdos matemáticos que são trabalhados 
nas séries iniciais do Ensino Fundamental. A intenção das autoras é fazer uma 
reflexão, junto aos futuros professores destas séries, de forma a possibilitar a 
com- preensão de conceitos e significados presentes nos referidos conteúdos. 
O livro é composto por vinte capítulos. 
O primeiro capítulo intitulado Resolução de Problemas, discute uma 
estratégia de ensino que é recomendado por currículos do mundo inteiro. 
O segundo capítulo, A Construção do Conceito de Número, 
apresenta as operações de classificação e seriação como fundamentais no 
processo de construção do conceito de número. 
O terceiro capítulo, Conhecimento Lógico-Matemático, define 
conhecimento físico, conhecimento social e finalmente o conhecimento lógico-
matemático; abordam também a questão da abstração empírica e a abstração 
reflexiva, fatores importantes na construção de relações. 
O quarto capítulo, intitulado como O Desenvolvimento Histórico do 
Sistema de Numeração Decimal, aborda o sistema de numeração que 
usamos fazendo um breve relato do seu desenvolvimento histórico. 
O quinto capítulo, Discussão de Processos e Desenvolvimento 
Histórico de Algoritmos de Algumas Operações Fundamentais, mostra 
algumas formas de somar e multiplicar utilizadas por povos da antiguidade. 
O sexto capítulo, Ideias das Quatro Operações Fundamentais, chama a 
atenção do professor para as diferentes ideias que cada operação pode 
assumir fator importante na construção do conhecimento matemático. 
No sétimo capítulo, Compreensão dos Números Racionais: Frações 
 
 
 5 
discute o conceito de frações e procura justificar os procedimentos algorítmicos 
das operações realizadas com frações. 
O oitavo capítulo, Os Decimais, apresenta o número com vírgula e 
aborda as operações fundamentais neste campo numérico. 
No nono capítulo A Construção do Pensamento Geométrico, são 
apresentados alguns elementos históricos da Geometria, apresenta esse 
campo da Matemática valorizando a exploração de objetos e ambientes 
naturais. 
O décimo capítulo, Sentido das Medidas, faz uma abordagem 
privilegiando o significado de medir, apresenta algumas unidades básicas, 
associando-as com a utilização no dia-a-dia. 
O décimo primeiro capítulo, intitulado Área e Perímetro, apresenta a 
diferença entre esses dois conceitos e explora a área de algumas figuras 
geométricas. 
O décimo segundo capítulo, O Pensamento Algébrico, apresenta as 
várias fases do desenvolvimento da álgebra e sugere caminhos para a 
abordagem desse conteúdo desde as séries iniciais do Ensino 
Fundamental. 
O décimo terceiro capítulo, Conceitos Fundamentais da 
Proporcionalidade, discute várias estratégias de resolução que podem ser 
utilizadas para resolução de questões que envolvem esse conteúdo. 
O décimo quarto capítulo, intitulado Introdução à Estatística, apresenta 
as fases do método estatístico assim como tabelas e gráficos, elementos 
essenciais na abordagem desse assunto. 
O décimo quinto capítulo, Avaliação em Matemática, procura fazer 
uma abordagem construtiva da avaliação e discute vários instrumentos de 
avaliação. 
Os cinco últimos capítulos discutem questões que, de algum modo, 
 
 
 6 
podem dificultar o ensino-aprendizagem da Matemática. 
O décimo sexto capítulo Aprender sem Medo, discute o 
relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende. O 
décimo sétimo capítulo, intitulado A Linguagem Matemática e os (Des) 
Encontros com a Linguagem Cotidiana, mostra como essas duas formas de 
comunicação podem ser interpretadas pelos alunos. 
O décimo oitavo capítulo, Os problemas da Solução, apresenta 
algumas dificuldades com a metodologia de “resolução de problemas”. 
O décimo nono capítulo, A Geometria Plana e a Geometria Espacial, 
apresentam problemas mais comuns encontrados por estudantes quando 
estudam esses conteúdos. 
O vigésimo e último capítulo, Por que (-1) x (-1) =1? Aborda operações 
com números inteiros e discute algumas dificuldades encontradas para 
demonstrar alguns resulta- dos nesse campo da matemática. 
Ao tratar das questões descritas anteriormente, o objetivo é que você, 
futuro professor, possa se embasar teoricamente para poder desenvolver a 
educação matemática na sala de aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
Resolução de problemas 
 
[...] o verdadeiro prazer em estudar Matemática é o sentimentode 
alegria que vem da resolução de um problema – quanto mais difícil o 
problema, maior a satisfação. Thomas Butts 
 
Pretenderam-se tornar a Matemática útil e prazerosa, acreditamos que a 
resolução de problemas, uma das tendências da educação matemática, é um 
excelente caminho para alcançarmos esse objetivo. 
A resolução de problemas deve ser o ponto central de atenção do 
professor de Matemática e os problemas devem ser o ponto-chave para o 
desenvolvimento dos conteúdos curriculares. Por meio dos problemas, os 
estudantes podem: 
 
• Investigar e compreender os conteúdos matemáticos; 
• Desenvolver e aplicar estratégias para a resolução dos mesmos; 
• Relacionar a Matemática com situações cotidianas; 
• Ver a Matemática de forma atraente e desafiadora. 
 
Polya (1994) afirma que “a resolução de problemas foi a coluna vertebral 
da instrução matemática desde o Papiro de Rhind”. 
Educadores matemáticos acreditam serem necessários que os alunos se 
 
 
 8 
tornem capazes de propor e resolver problemas, conhecer técnicas diversas, 
compreender as implicações matemáticas de um problema, trabalhar em grupo 
para resolvê-lo, aplicar ideias matemáticas a problemas abertos, acreditar na 
importância da resolução de problemas para a real aprendizagem da 
Matemática e na importância desta para a vida cotidiana. 
Pretende-se que os alunos aprendam a valorizar a Matemática, 
sentindo-se seguros em fazer Matemática e em resolver problemas de todas as 
categorias. Que esses alunos possam comunicar-se por meio dessa ciência, 
aprender a raciocinar matematicamente, formular hipóteses e argumentar a 
validez de uma hipótese. 
Resolver problemas é a razão principal de se aprender e ensinar 
Matemática. É por meio dessa prática que se inicia o aluno no exercício de 
pensar matematicamente e nas aplicações da Matemática na Educação 
Básica. Resolver proble- mas é o processo de reorganizar conceitos e 
habilidades, aplicando-os a uma nova situação, atendendo a um objetivo. Ao 
resolver problemas, o aluno desenvolve determinadas estratégias que, em 
geral, se aplicam a um grande número de situações. Dante (1995, p. 84) 
salienta que: 
Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior 
objetivo da instrução matemática. Certamente outros objetivos 
da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o 
objetivo da competência em resolução de problemas. 
Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos 
através de um conhecimento significativo e habilidoso são 
importantes. Mas o significado principal de aprender tais 
conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção 
das soluções das situações-problema. 
 
Ensinar a resolver problemas requer que o professor coloque os alunos 
frente a diferentes situações. Ele deve encorajá-los a pensar por si mesmos, a 
levantarem suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutirem com seus 
colegas como e por que determinada estratégia resolve ou não o problema. 
É importante, também, que o professor considere dois fatores que 
desempenham papel fundamental na resolução de problemas: os conceitos e 
 
 
 9 
as habilidades da criança para encontrar a solução. Esses fatores são 
construídos de acordo com o repertório de problemas previamente 
resolvidos, daí a importância dos alunos resolverem uma variedade de 
problemas. 
Ao propor essas questões, o professor deve estar atento aos problemas 
matemáticos que não têm como objetivo encontrar uma resposta numérica e, 
mesmo que se encontre essa resposta, é apenas um ponto intermediário nesse 
processo. Assim, é essencial uma interpretação ou uma análise da questão a 
ser resolvida. 
Às vezes, um problema requer simplesmente que o aluno desenvolva 
um sistema de organização dos dados de uma forma adequada ou que se 
traduza uma situação matemática em uma linguagem mecânica eficiente. 
Ou então o problema exige que se crie uma unidade de medida ou um 
instrumento de maior precisão do que os dados pelos modelos usuais de 
medida. 
 
O que é um problema? 
Saviani (1999) coloca que uma questão por si só não caracteriza um 
problema, mesmo que sua resposta seja desconhecida. O que caracteriza um 
problema é aquela questão cuja resposta, além de não ser conhecida, 
deseja-se conhecer. 
Em outras palavras, para que uma situação seja um problema, é 
necessário que o sujeito: 
 
• Esteja ciente dessa situação; 
• Esteja interessado em resolver essa situação; 
• Não tenha elementos necessários para proceder diretamente. 
 
Para o professor realizar um trabalho coerente com a proposta da 
resolução de problemas, é necessário que conheça a classificação de questões 
 
 
 10 
matemáticas a seguir, segundo Butts (1980). 
 
Exercícios de reconhecimento 
Esse tipo de exercício verifica apenas se o estudante reconhece ou 
relembra um fato, uma definição ou um teorema. 
Exemplos: 
a) Assinale os desenhos que representam figuras planas. 
 
 
 
 
Resposta: 1, 4. 
b)Circule os números pares: 
95 – 160 – 12 – 355 – 1 002 – 501 – 2 
 
Resposta: 160, 12, 1 002, 2. 
 
Exercícios algorítmicos 
Podem ser resolvidos com um algoritmo específico ou executando-se 
um procedimento passo a passo. 
Exemplos: 
a) Arme e efetue: 
32,7 + 1,34 = 
Resposta: 
 32,7 
 
 
 11 
+ 1,34 
 34,04 
b) Resolva a seguinte equação do 1.º grau: 
c)y + 4 – 8y = 23 
Resposta: 
 
–7 y = 23 – 4 
–7 y = 19 
y =
 19 
 7 
y = – 19 
7 
Problemas de aplicação 
Nessa categoria, estão os tradicionais problemas de palavras cujas 
soluções requerem que o estudante: 
 
• Faça a formulação simbólica do problema; 
• Manipule essa formulação com algoritmos ou outros procedimentos já 
conhecidos, para então obter a resposta. 
 
Exemplos: 
Resolução de problemas 
 
a) Mamãe foi à feira e gastou R$4,00 com verduras e R$5,00 com 
frutas. Com quanto voltou para casa se saiu com R$10,00? 
Resposta: 
 
 
 12 
Estratégia 1 
R$4,00 + R$5,00 = R$9,00 
R$10,00 – R$9,00 = R$1,00 
 
Estratégia 2 
Chamaremos de X a quantidade de dinheiro que sobrou 
x + 5 + 4 = 10 
x + 9 = 10 
x = 10 – 9 
x = 1 
Ela voltou para casa com R$1,00. 
b) O dobro de um número somado a 7 é igual a 13. Qual é esse 
número? Resposta: 
Chamaremos o tal número de x. 
2 x + 7 = 13 
2 x = 13 – 7 
2 x = 6 
x = 6 
 2 
x = 3 
 
O número é 3. 
 
Problemas em aberto 
Um problema em aberto não contém, no enunciado, uma estratégia 
 
 
 13 
para sua resolução. Porém, apresenta muitas vantagens, como a abordagem 
de diversos conteúdos matemáticos num único problema. 
Exemplos: 
A- Numa sala, com bancos de dois lugares, a diretora da escola reuniu um 
grupo de estudantes. Pediu que se sentassem de dois em dois nos bancos. 
Feito isso, sobraram 15 estudantes em pé. Para que ninguém ficasse em pé, a 
diretora pediu que os estudantes se sentassem de três em três nos bancos. 
Dessa forma, nenhum estudante ficou em pé, mas cinco bancos ficaram 
vazios. Finalmente, ela pediu que os meninos se sentassem de dois em dois, 
ocupando a metade dos bancos, e que as meninas ocupassem a outra metade 
dos bancos, sentando-se de três em três. Assim, nenhum estudante ficou em 
pé e nenhum banco ficou vazio. 
Quantos são os estudantes? Quantas são as meninas? Quantos são os 
meninos? Quantos são os bancos? 
Resposta: 
Chamaremos de x o número de bancos e de y o número de estudantes. 
 
2 x + 15 = y 
3 x – 15 = y 
 
2 x + 15 = 3 x – 15 
15 = 3x – 2x – 15 
15 + 15 = x 
x = 30 bancos 
2 x + 15 = y 
2 . 30 + 15 = y 
60 + 15 = y 
y = 75 estudantes 
 
 
 14 
Tomemos H como meninos e M como meninas. 
 
H =
 2 x 
 2 
H = 2 . 30 
 2 
H =
 60 
 2 
H = 30 
 
M = 3 x 
 2 
M = 3 . 30 
 2 
M =
 90 
 2 
M = 45 
 
30 meninos e 45 meninas, total de 75 alunos e 30 bancos. 
 
 
Resolução de problemas 
 
b) O gavião chega a um pombal e diz: 
• Adeus, minhas cempombas! 
• As pombas respondem em coro: 
•Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com 
 
 
 15 
você, meu caro gavião, cem pássaros seremos então! 
Quantas pombas estão no pombal? 
 
Resposta: 
Estratégia 1 
100 – 1 = 99 (subtraímos o gavião). 
99 : 3 = 33 (dividimos por 3 porque são a quantidade de pombas mais 2 
tantos, ou seja, 3). 
Estratégia 2 
Chamaremos de x a quantidade de pombas que estamos procurando: 
 
x + 2 x + 1 = 100 
3 x = 100 – 1 
3 x = 99 
x = 99 
 3 
x = 33 
 
 
Estão no pombal 33 pombas. 
É importante ressaltar que a classificação dos problemas depende também 
do conhecimento do resolvedor. O problema das pombas, que foi 
apresentado anteriormente, pode ser classificado como problema de 
aplicação se o resolvedor encontrar a solução utizando uma equação do 
primeiro grau, por exemplo; porém, se o resolvedor utilizar outra estratégia, 
ele pode ser considerado como um problema em aberto. 
 
 
 16 
Situações-problema 
Nessa categoria não estão os problemas em si, mas situações na qual 
um dos passos principais é identificar o problema inerente para, num passo 
seguinte resolvê-lo. Outro passo importante é testar se a solução encontrada é 
satisfatória. Caso não seja, o problema deve ser retomado e revisto, ou um 
novo problema deve ser identificado, e o processo deve ter continuação até 
que a solução ideal se apresente. 
Exemplos: 
a) Esboce um estacionamento. 
b) Apresente a distribuição de alimentos para a merenda escolar de 
uma semana. 
Nota-se que as questões das duas primeiras categorias (exercícios 
de reconhecimento e exercícios algorítmicos) exigem muito pouco dos 
alunos, não permitindo a exploração dos conhecimentos que eles trazem, 
nem o desenvolvimento de sua criatividade. Dessa maneira, devem ser 
exploradas com menor intensidade, podendo ser utilizadas nos casos em 
que o professor deseja saber se o aluno conhece fatos específicos do 
conteúdo. 
Os problemas das três últimas categorias (problemas de aplicação, 
problemas em aberto e situações-problema) permitem uma desenvoltura 
maior dos alunos, possibilitando ao professor uma visão mais abrangente do 
conhecimento deles. 
As categorias problemas em aberto e situações-problema são as que 
mais possibilitam reflexões, discussões e, consequentemente, aprendizado 
significativo. 
O conjunto de problemas encontrado nos livros de Matemática não é 
suficientemente extenso, nem variado o bastante para dar ao aluno um 
conjunto adequado de questões. O professor pode complementar esses 
problemas com outros inventados por ele mesmo ou retirados de livros 
 
 
 17 
paradidáticos ou periódicos da área. Assim, pode organizar seu próprio 
repertório, extenso e variado, com o objetivo de se preparar para o trabalho 
com problemas criativos e reais. 
 
Etapas para resolução de problemas 
Segundo Polya (1994), para se obtiver sucesso na resolução de 
problemas é necessário observar as seguintes etapas: 
 
1. Compreender o problema; 
2. Elaborar um plano; 
3. Executar o plano; 
4. Fazer a verificação ou o retrospecto. 
Em cada etapa, o professor pode fazer questionamentos ou 
considerações que ajudem os alunos na resolução dos problemas, 
conforme os exemplos a seguir. 
 
Compreender o problema: 
a) O que se pede no problema? 
b) Quais são os dados e as condições do problema? 
c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama? 
d) É possível estimar a resposta? 
 
Elaborar um plano: 
a) Qual é o seu plano para resolver o problema? 
b) Que estratégia você tentará? 
c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a 
 
 
 18 
resolver este? 
d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos. 
e) Tente resolver o problema por partes. 
 
Executar o plano: 
a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo. 
b) Efetue todos os cálculos indicados no plano. 
c)Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de 
resolver o mesmo problema. 
 
Fazer retrospecto ou verificação: 
• Examine se a solução obtida está correta. 
• Existe outra maneira de resolver o problema proposto? 
• É possível usar o método empregado para resolver problemas 
semelhantes? 
Desse modo, em uma aula de resolução de problemas, o professor deve 
fazer o papel de incentivador e moderador das ideias geradas pelos alunos. 
Agindo assim, os alunos participam ativamente, “fazendo Matemática”, e não 
passivamente, “observando” a Matemática “ser feita” pelo professor. 
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre 
uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser 
modesto, mas se desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades 
inventivas, quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e 
gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, 
poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua 
marca na mente e no caráter. (POLYA, 1994, p. 48) 
 
 
 
 19 
O professor deve apresentar aos alunos problemas desafiadores, reais e 
interessantes, que não sejam resolvidos diretamente por um ou mais 
algoritmos. É necessário, também, que seja dado um tempo razoável para que 
leiam e compreendam o problema, certificando-se de que foi entendido por 
todos. Infelizmente, uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um 
problema é o momento de leitura e compreensão do texto. 
Deve-se criar, entre os alunos, um clima de busca, exploração e 
descoberta, deixando claro que o mais importante para obter a resposta correta 
é pensar e trabalhar no problema durante o tempo necessário para resolvê-lo. 
O professor precisa trabalhar no sentido de focalizar, enfatizar e 
valorizar a análise do problema, os procedimentos que podem levar à solução 
e à revisão da solução obtida, e não, simplesmente, enfatizar a resposta 
correta. 
Acertar a resposta não é, necessariamente, o mais importante na 
resolução de problemas. É bom para o aluno saber o que fez e como fez, e por 
que sua ação foi apropriada ou não. Isso deve ser parte integrante da etapa de 
retrospecto e verificação da resolução. 
Primordialmente, devem-se incentivar os alunos a pensar. Assim, a 
função de orientador e facilitador da aprendizagem realizar-se-á mais 
facilmente, poden- do-se perceber como pensam e encaminham a solução do 
problema, que estratégias tentam usar, que dificuldades precisam superar etc. 
O professor, discretamente, pode propiciar aos alunos “ideias brilhantes”, 
fazendo com que se lembre de fatos e os utilizem adequadamente. É 
importante proporcionar ao aluno a satisfação de tê-las obtido. Alunos 
resolvedores de problemas se sentem seguros e, em geral, demonstram 
grande interesse pela Matemática. 
 
 
 
 20 
Texto complementar 
Esquema de aula 
Na tendência tradicional 
Esquema de aula na tendência de 
resolução de problemas 
O professor explica a matéria (teoria). O professor apresenta um problema 
escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s). 
O professor mostra exemplos. Os alunos tentam resolver o problema com 
o conhecimento que possuem. 
 
O professor propõe “exercícios” semelhantes 
aos exemplos dados para que os alunos 
resolvam. 
Quando os alunos encontram algum 
obstáculo (falta de algum conteúdo necessário 
para a resolução do problema), o professor 
apresenta de alguma forma, esse conteúdo. 
 
O professor (ou um aluno) resolve no quadro-
de-giz os exercícios. 
Resolvido o problema, os alunos discutem 
sua solução; se necessário, com a ajuda do 
professor. Essa discussão envolve todos os 
aspectos da resolução do problema, inclusive os 
do conteúdo necessário. 
O professor propõe aos alunos outros 
“exercícios” já não tão semelhantes aos 
exemplos que ele resolveu. 
 
O professor apresenta outro problema 
escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s). 
 
Sobre a resolução de problemas 
(BURIASCO, 1995, p. 1) 
Uma dasatuais grandes tendências da Educação Matemática é a 
resolução de problemas, assim chamada porque considera que o estudo da 
Matemática é resolver problemas. Segundo ela, o ensino da Matemática 
deve ser desenvolvido sempre partindo de problemas. Examinemos o 
quadro abaixo: 
 
 
 
 21 
 
Esquema de aula 
na tendência tradicional 
Esquema de aula 
na tendência de resolução de problemas 
O professor (ou um aluno) resolve os exercícios 
no quadro-de-giz. 
 
O professor propõe “problemas”, se for o caso, ou 
mais “exercícios”. 
 
Correção dos “problemas” e dos “exercícios”. 
O professor começa outro assunto. 
 
De acordo com essa tendência, o prazer em estudar Matemática é a 
alegria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade na 
resolução, maior a satisfação. 
Na proposta de ensinar Matemática por meio da resolução de 
problemas, uma das questões mais importantes é como apresentar um 
problema, de modo que os alunos: 
• Queiram resolvê-lo; 
• Compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua 
resolução. 
Se o estudo da Matemática é resolver problemas, então é incumbência 
do professor, nas aulas de Matemática, ensinar a arte de resolvê-los. 
 
 
DICAS DE ESTUDO 
 
Ler o livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática 
Autor: Luiz Roberto Dante. Editora: Ática. 
A obra explora um pouco sobre a teoria de Resolução de Problemas e depois 
 
 
 22 
apresenta uma coletânea de problemas interessantes que podem ser 
trabalhados desde a pré-escola. 
A construção do conceito de número 
Os números são frequentemente utilizados no nosso dia-a-dia. Mas, 
afinal, o que é número? 
As concepções de número variam de acordo com as diferentes escolas 
matemáticas. Consideremos o conceito de número como resultado da síntese 
da operação de classificação e da operação de seriação, um número é a 
classe formada por todos os conjuntos que têm a mesma propriedade 
numérica e que ocupam um lugar numa série considerada também a partir 
da propriedade numérica. Assim, a classificação e a seriação se fundem no 
conceito de número. 
Essa análise nos permite compreender o processo por meio do qual as 
crianças constroem este conceito tão importante – o de número. A 
compreensão desse processo pode garantir aos professores as decisões 
didáticas a serem tomadas ao ensinarem seus alunos de acordo com as 
suas necessidades e características psicológicas. 
Mas o que é a operação de classificação e a de seriação? 
Classificação 
A classificação é uma operação lógica, fundamental no 
desenvolvimento do pensamento, de forma que sua importância não se 
refere apenas à sua relação com o conceito de número, pois intervém na 
construção de todos os conceitos que constituem a estrutura intelectual 
humana. 
 
Classificar é “juntar” por semelhanças e “separar” por diferenças. 
 
 
 
 23 
Podemos exemplificar uma operação de classificação quando dizemos 
“gosto de cães”, pois estamos juntando animais que apresentam certas 
qualidades, separando-os de outros que não as têm – como os gatos. Outro 
exemplo pode ser “cidades paranaenses”. Nesse caso, estou “juntando” 
cidades que estão localizadas no estado do Paraná, e “separando” daquelas 
localizadas em outros estados. 
Nos dois exemplos acima, estamos classificando a partir de um 
universo, e esse universo já implica um ato classificatório, porque difere de 
outros universos que não são, no caso, nem de cães, nem de cidades 
paranaenses. Nessa exemplificação, o termo “separar” ou “juntar” não é de 
forma efetiva ou visível, mas de forma interiorizada, pois não juntamos 
realmente, tampouco separamos. 
Não realizamos o ato classificatório apenas de forma interiorizada, mas 
de forma efetiva, concreta, como quando separamos em uma estante livros e 
revistas, ou alimentos nas prateleiras da geladeira, roupas nas gavetas. 
A pertinência e a inclusão são dois outros tipos de relação que 
aparecem na classificação, além das semelhanças e diferenças. A 
pertinência é a relação estabelecida entre cada elemento e a classe da qual 
ele faz parte. A pertinência está fundamentada na semelhança. Dizemos 
que um elemento pertence a uma classe quando se parece com os demais 
elementos dessa mesma classe em função do critério de classificação 
adotado. 
A inclusão é a relação que se estabelece entre cada subclasse e a 
classe da qual esta é uma parte, de tal forma que se pode verificar que a 
classe tem mais elementos que a subclasse. Na inclusão hierárquica, 
compreende-se que inclui “um” em “dois”, “dois” em “três” e assim por diante. 
Outro exemplo de inclusão é que rosas e jasmins incluem-se na classe de 
flores. 
E qual a relação das operações de classificação e seriação e o 
conceito de número? 
 
 
 24 
A classificação se fundamenta na qualidade dos objetos, ou seja, nas 
suas propriedades qualitativas. Adultos quando pensam no número sete, por 
exemplo, podem estar pensando em sete casas, sete pessoas, sete balas, ou 
seja, sete “qualquer coisa”, incluindo sete coisas que podem ser diferentes 
entre si, como um homem, uma mulher, um lápis, uma flor, uma mesa, uma 
régua e um gato. 
Ao pensar em um número, estamos fazendo classificação, ou seja, 
estabelecendo semelhanças e diferenças e, nesse caso, separando todos os 
conjuntos que têm sete elementos dos conjuntos que não têm sete elementos. 
No caso do número, buscamos semelhança entre os conjuntos e não entre os 
elementos. Juntamos os conjuntos que são equivalentes em sua propriedade 
numérica. Assim, não importa se há ou não semelhança qualitativa entre os 
elementos que constituem o conjunto, importando apenas a equivalência 
numérica entre os conjuntos que constituem a classe que estamos pensando 
– a dos infinitos conjuntos de sete elementos. A classe de todos os conjuntos 
de sete elementos constitui o número 7. 
 
Seriação 
Seriar é ordenar diferenças, estabelecer relações entre elementos que 
diferem em certos aspectos. 
A seriação, assim como a classificação, 
constitui aspecto importante do pensamento lógico. 
Normalmente, seriam os sons de acordo com o timbre, ordenando-os do 
mais agudo ao mais grave; cédulas de valores diferentes, de menor valor 
para a que vale mais; veículos com diferentes datas de produção, do mais 
antigo ao mais moderno etc. Podemos fazer isso na ordem crescente ou 
decrescente. 
A seriação tem como propriedades fundamentais a transitividade e a 
reciprocidade. Quando se estabelece uma relação entre um elemento de uma 
série e o seguinte e deste com o posterior, pode-se deduzir a relação entre o 
 
 
 25 
primeiro e o último elemento dessa série. Dizemos que essa é uma relação de 
transitividade. Exemplo: se um veículo A é mais antigo que B, e B são mais 
antigos que C, então A é mais antigo que C. A conclusão pode ser feita a partir 
das relações que estabelecemos anteriormente. 
Na propriedade de reciprocidade, cada elemento de uma série tem uma 
relação tal com o elemento imediato que, ao inverter a ordem da comparação, 
tal relação também se inverte. Se A é um automóvel mais antigo do que o 
automóvel B, então B é um automóvel mais moderno que o A. As seriações, 
assim como as classificações, também podem ser realizadas de forma 
interiorizada. 
Ao seriarmos um número, o que estamos seriando? Estamos seriando 
classes de conjuntos, e não elementos ou conjuntos particulares, 
estabelecendo uma relação entre as classes de tal forma que, se ordenadas na 
ordem crescente, a classe do quatro estará antes da classe do cinco e esta 
antes da classe do seis, que por sua vez estará antes da classe do sete e 
assim por diante. Se ordenadas na ordem decrescente, a classe do sete estaria 
antes da classe do seis e esta, antes da classe do cinco etc. 
 
O conceito de número se deriva das operações lógicas de classificação 
e seriação, não se reduzindo apenas a uma delas. O importante é que a fusão 
da classificaçãoe da seriação se apresenta no caso do conceito de número. 
No entanto, no terreno qualitativo, não se seria e se classifica ao mesmo 
tempo. 
Segundo Piaget, (apud KAMII,1986) o número é uma construção 
mental. Ele é construído pela repetida adição de “1”, e com isso a adição já 
está incluída na construção numérica pela criança. A teoria do número, 
segundo o autor citado, é entendida no contexto epistemológico no qual ele 
trabalhou. 
Piaget percebeu elementos verdadeiros e não-verdadeiros tanto na 
corrente dos racionalistas, como na corrente dos empiristas. Para a primeira 
 
 
 26 
corrente, a razão é mais poderosa do que a experiência sensorial; para os 
empiristas, o conhecimento tem sua fonte fora do indivíduo e é interiorizado por 
meio dos sentidos. 
Em seus estudos, Piaget dava importância tanto à informação sensorial 
como à razão, mas recaiu sobre o racionalismo. Nas suas pesquisas com 
crianças, sentiu-se motivado a provar a inadequabilidade do empiricismo, 
apresentando provas de conservação nas crianças, (por exemplo, prova de 
conservação numérica). Piaget é contrário à teoria que diz que o conceito de 
número possa ser ensinado por transmissão social (para mais detalhes, ver 
KAMII, 1986). 
 
Correspondência – equivalência numérica 
A correspondência biunívoca ou termo a termo é a operação por 
meio da qual se estabelece uma relação um a um entre elementos de dois 
ou mais conjuntos com a intenção de compará-los quantitativamente. 
Segundo Duhalde e Cuberes (1998), é por meio da resolução de 
problemas do cotidiano que se constrói o aprendizado significativo da 
Matemática. É dessa forma que se constrói o conceito de número. A utilidade 
do número está ligada aos seus aspectos de cardinalidade e de 
ordinalidade: 
• A quantidade de elementos de uma coleção se refere à 
cardinalidade, na qual a ação de correspondência, sem a 
necessidade de contagem, coloca esse conjunto em 
correspondência a outro conjunto; 
• O lugar que o número ocupa dentro de uma série ordenada se 
refere à ordinalidade, sendo necessária uma ordem que permite a 
contagem. 
 
O desenvolvimento do conceito de número pode se dar por meio da 
ação de contar, que tem grande importância na educação matemática das 
 
 
 27 
crianças, sendo que, para concretizar o processo de contar, é indispensável 
recorrer à série numérica oral e à série numérica escrita. Muitas são as 
crianças que, em idade pré-escolar, contam até cem. No entanto, não 
descobriram que cem significa duas vezes cinquenta, um décimo de mil, 
dez vezes dez etc. As crianças, nessa fase, segundo as autoras citadas 
anteriormente, passam por três etapas: 
• Na primeira, a criança se expressa de forma oral; 
• A segunda etapa se refere aos aspectos algorítmicos da escrita – a 
criança descobre as regras da sucessão oral e escrita; 
• Na terceira, as crianças começam a construir agrupamentos de dez, 
percebem as regras do sistema posicional de numeração e valor 
posicional. 
As crianças, desde muito pequenas, por volta dos dois anos de idade, 
são capazes de contar até dois, três, ou pouco mais. No entanto, às vezes, 
quando prosseguem na contagem, é comum omitirem alguns números. As 
crianças variam nessa contagem de acordo com o meio socioeconômico e 
cultural no qual vivem. Certas crianças, ao contar até vinte e nove, dizem, para 
o próximo número, vinte e dez, e assim por diante. Se forem corrigidas, 
poderão continuar dizendo trinta e um, trinta e dois e sucessivamente, assim 
como usam dez e um, dez e dois, para os números onze e doze, 
respectivamente. 
A criança que diz que quatro é maior que três pode estar fazendo uso 
da série oral, percebendo que o que vem depois é sempre maior que o 
anterior, podendo ser capaz de comparar conjuntos próximos. A série oral 
também permite separar uma quantidade da outra. 
Quando é solicitado que separem quatro dos oito objetos de um 
conjunto, as crianças, normalmente, contam todos e nem sempre conseguem 
cumprir a tarefa, uma vez que para isso precisariam deter-se à quantidade 
solicitada, assinar um nome da série a cada um dos objetos e reter o processo 
no momento em que alcança a quantidade solicitada. 
 
 
 28 
Às vezes, ao solicitar a uma criança que conte um conjunto de 
elementos, é possível que ela conte um, dois, três, e assim por diante até o 
último. Porém, quando são perguntados quantos são os objetos, ela inicia a 
contagem novamente sem dizer que são seis, por exemplo, quantificando o 
conjunto solicitado. Nesse caso, designa cada objeto com o nome de um 
número, não se dando conta do princípio de cardinalidade. 
 
Pode-se dizer que uma criança conta corretamente quando estabelece 
a correspondência um a um, mantém a ordem das palavras numéricas, 
conta cada objeto uma só vez sem omitir nenhum e considera que o último 
número mencionado representa a quantidade total de elementos do conjunto, 
independendo da ordem em que os elementos foram enumerados. 
Materiais que podem ser utilizados para as operações 
de classificação e seriação 
Usualmente crianças costumam colecionar pedrinhas, conchinhas, 
tampinhas, etc. Muitas vezes elas, naturalmente, classificam e/ou seriam 
algumas dessas coleções. 
Um dos materiais adequados para a operação de classificação são os 
chamados Blocos Lógicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
Divulgação: Trololo. 
Disponível em: <http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/montesso/BLOCOLOGICO.jpg> 
 
 
Blocos lógicos 
As peças que constituem o material conhecido como blocos lógicos são peças 
com 4 características: 
• Cor, 
• Tamanho, 
• Espessura e 
• Forma geométrica. 
 
Os blocos lógicos têm peças nas cores: vermelha, amarela e azul. Elas 
ainda são de dois diferentes tamanhos: a grande e a pequena. Possuem duas 
espessuras, a grossa e a fina. Relativo às formas geométricas, o conjunto dos 
blocos lógicos possui peças nas formas: retangular, circular, triangular e 
retangular. 
Os blocos lógicos são constituídos de peças com esses 4 atributos: 3 
cores, 2 espessuras, 2 tamanhos e 4 formas; têm num total 48 peças, pois 
combinados esses atributos podemos representar o número de peças por: 
3 x 2 x 2 x 4 = 48 
http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/montesso/BLOCOLOGICO.jpg
http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/montesso/BLOCOLOGICO.jpg
 
 
 30 
As crianças aprendem melhor por meio de suas próprias ações e, assim, 
podem classificar as peças dos blocos lógicos quanto a sua cor, quanto a sua 
espessura, forma e tamanho. É comum observar crianças classificando, ou 
seja, juntando as peças que têm “cantos” e separando-as das peças circulares 
porque estas não têm “cantos”, isto é, daquelas que não têm vértices. 
As crianças devem ser estimuladas por professores ou adultos a 
classificar outros objetos, uma vez que a operação de classificação, assim 
como a operação de seriação, proporciona papel fundamental na construção 
do pensamento lógico, portanto, na construção do conceito de número. 
Outros objetos já citados também podem ser utilizados para 
proporcionar às crianças a condição de realizarem a operação de classificação, 
como: botões, pedrinhas, tampinhas etc. É importante solicitar às crianças que 
classifiquem objetos e depois que explique qual foi o critério que utilizaram para 
essa classificação. As crianças podem classificar um mesmo conjunto de 
objetos usando diferentes variáveis (atributos). 
As conchas, botões, pedrinhas etc. podem ser utilizadas para realizar 
seriação. Esses materiais podem ser ordenados na forma crescente ou 
decrescente de tamanho, aspereza, ou outra propriedade. Quando as crianças 
estão desenvolvendo tais atividades, têm a possibilidade de construir 
conhecimento social, ao aprender o nome do tipo de rochas; físico, ao sentir a 
aspereza, peso etc; e conhecimento lógico-matemático, ao reconhecer sua cor, 
por exemplo. 
O que professores não devem esquecer é que as crianças,ao 
ingressarem na escola, já construíram muitos conhecimentos, que devem ser 
levados em conta. A criança traz consigo conhecimentos informais e cabe à 
escola estabelecer relação cognitiva com esses conhecimentos previamente 
construídos. É papel de a escola contribuir para que a criança construa 
significados, faça generalizações, comparações, enfim, a escola deve ser um 
lugar onde a criança sinta prazer, pois lá ela tem a possibilidade de reinventar e 
descobrir. 
 
 
 31 
Crianças iniciam a construção do conceito de número ainda quando bem 
pequenas, e na escola esse processo tem continuidade. As oportunidades de 
realizarem as operações de classificação e seriação ofertadas pelos 
professores proporcionam às crianças uma das grandes realizações que é a de 
contar quantidades. Sempre se observa como é enorme a alegria das crianças 
quando estas aprendem a ler e escrever, e não é diferente quando aprendem a 
contar. 
Acreditamos que os conhecimentos relativos à Matemática são para 
todos e que eles auxiliam nas relações feitas por aqueles que os 
construíram com os demais conhecimentos das demais áreas do 
conhecimento. 
 
Texto complementar 
Prova de conservação do número 
Conservação do número é a habilidade de deduzir (por meio da 
razão) que a quantidade da coleção permaneça a mesma quando a 
aparência empírica dos objetos muda 1 (INHELDER; SINCLAIR; BOVET 
apud KAMII, 1986). 
 
Método 
1. Materiais 
20 fichas vermelhas 
20 fichas azuis 
2. Procedimento 
 
1 Pela descrição dada, as entrevistas podem parecer padronizadas. Cada entrevista deve ser 
adaptada ao assunto em particular, especial- mente com referência à compreensão dos termos 
usados em quantificação. 
 
 
 32 
a) Igualdade 
O pesquisador coloca uma fila de 8 fichas azuis (no mínimo 7)2 e pede 
à criança que ponha o mesmo número de fichas vermelhas, dizendo “ponha 
tantas fichas vermelhas quanto as azuis que coloquei (exatamente o mesmo 
número, nem mais nem menos)”. 
A resposta da criança é registrada em seu relatório. Se necessário, 
colocam-se as fichas azuis e vermelhas na correspondência uma a uma e 
pergunta-se à criança se há igual número de fichas azuis e vermelhas. 
b) Conservação 
O pesquisador modifica a disposição diante dos olhos atentos da 
criança, espaçando as fichas de uma das filas ou pondo-as juntas, como 
mostra a figura: 
 
As próximas perguntas são: “Há o mesmo número de fichas azuis e 
vermelhas, ou há mais aqui (azuis) do que aqui (vermelhas)? Como você 
sabe?”. 
c) Contra-argumentação 
 
2 Piaget se referiu a pequenos números até 4 ou 5 como “números perceptuais”, porque 
números pequenos como “oo” e “ooo” podem facilmente ser diferenciados numa olhada. 
Contudo, quando são apresentados 7 objetos é impossível distinguir “ooooooo” só por 
percepção. 
 
 
 33 
• Se a criança deu a resposta certa então a pessoa diz: “Olhe como 
essa linha é comprida”. Outra criança disse “há mais fichas aqui 
porque essa fila é mais comprida”. Quem está certa, você ou a outra 
criança? 
• Se, por outro lado, a criança deu a resposta errada, a pessoa 
lembra-se da igualdade inicial: “Mas você não se lembra de que 
pusemos antes as fichas azuis em frente de cada vermelha?” Outra 
criança disse que há o mesmo número de vermelhas e azuis agora. 
Quem você acha que está certa, você ou a outra criança? 
 
 
Descobertas 
1. No estágio I, a criança não consegue fazer um conjunto com o 
mesmo número. É desnecessário dizer que ela também não 
consegue conservar a igualdade dos dois conjuntos. Algumas 
crianças puseram todas as fichas vermelhas linearmente 
como mostra a figura (a). Elas só pararam de colocá-las 
porque as fichas acabaram. A figura (b) mostra a resposta 
melhor elaborada dentro do estágio I. As crianças que fazem 
isso não colocam o mesmo número, mas cuidadosamente 
usam as extremidades das fichas como um critério para 
decidir a igualdade das duas quantidades. Quando as 
crianças ainda não construíram as pri- meiras estruturas 
mentais do número, usam o melhor critério no qual puderam 
pensar; no caso, as extremidades das duas filas. 
 
 
 
 
 
 
 34 
 
 
2. No estágio II, 4-5 anos de idade, a criança pode fazer um 
conjunto que tem o mesmo número, mas não consegue conservar a igualdade.3 
Quando a pesquisadora lhe faz a pergunta sobre essa conservação ela diz, por 
exemplo: “Há mais vermelhas porque as azuis estão todas espremidas”. 
3. No estágio III as crianças são “conservadoras”. Elas dão 
respostas corretas para todas as questões, não são influenciadas por 
contrassugestão e dão um ou mais dos seguintes argumentos para explicar por 
que acham que as duas filas têm a mesma quantidade: 
• Há o mesmo número de fichas azuis e vermelhas que antes porque não 
tirou nenhuma ficha, elas estão apenas amontoadas (argumento--
identidade). 
• Pudemos pôr todas as fichas vermelhas como estavam antes, assim não 
há nem mais azuis nem vermelhas (argumento-reversibilidade). 
• Aqui as vermelhas formam uma fila mais comprida, mas há espaço entre 
elas; assim, dá no mesmo (argumento-compensação). 
 
3 As idades mencionadas são aproximadas. Variam com a estrutura cultural e educacional das 
crianças. 
 
 
 35 
• Conservação não é uma coisa que se consegue da noite para o dia e 
entre os estágios II e III há um estágio intermediário. Crianças nesse 
estágio dão a resposta correta a apenas uma das perguntas – quando 
se faz uma fila mais comprida e subsequentemente a outra mais 
comprida, ou eles hesitam e/ou continuam mudando de ideia (“há mais 
azuis..., não, mais vermelhas,... há a mesma coisa...”). Mesmo quando 
estas crianças dão respostas certas, não conseguem justificá-las 
adequadamente. 
Por que é difícil para a criança a “conservação” no estágio II e por que 
ela consegue isso mais tarde? Para responder a essa pergunta precisamos 
discutir a concepção de número de Piaget no contexto da distinção que ele 
fez entre três tipos de conhecimentos: físico, lógico-matemático e social 
(convencional). Ele os classificou de acordo com suas fontes básicas e 
modos de estruturação. Número é um exemplo de conhecimento lógico-
matemático. Discutiremos o aspecto lógico-matemático do número, primeiro 
comparando com o conhecimento físico e depois com o social 
(convencional). 
Conhecimento físico e lógico-matemático são os dois tipos principais 
de conhecimentos tidos por Piaget. Conhecimento físico é o conhecimento 
dos objetos na realidade externa. A cor e o peso de uma ficha são exemplos 
de propriedades físicas que fazem parte dos objetos e podem ser notadas 
pela observação. Saber que uma ficha cairá quando a jogamos no ar é 
também um exemplo de conhecimento físico. 
Conhecimento lógico-matemático, por outro lado, consiste em 
relacionamentos feitos pelo indivíduo. Por exemplo, quando nos mostram uma 
ficha vermelha e uma azul e notamos que são diferentes; essa diferença é um 
exemplo do fundamento do conhecimento lógico-matemático. Na verdade, 
podemos observar as fichas, mas a diferença entre elas não. A diferença é 
uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que faz o relacionamento entre 
os dois objetos. A diferença não está na ficha vermelha ou na azul e se uma 
 
 
 36 
pessoa não puser os dois objetos dentro dessa relação, a diferença não existirá 
para ela. 
Outros exemplos de relações que o indivíduo pode fazer entre as fichas: 
“semelhança”, “igualdade em peso” e “dois”. Tanto é certo dizer que as fichas 
são semelhantes como diferentes. A relação que um indivíduo faz depende 
dele. Sob certo ponto de vista, as fichas são diferentes e, sob outro, são 
semelhantes. Se o indivíduo quiser comparar peso, pode dizer que as fichas 
são iguais (em peso). Se ele quiser ver os objetos numericamente dirá que são 
“dois”. Podem-se observar as duas fichas, mas não o “2”. Número é uma 
relação criada mentalmente pelo indivíduo4. 
A criança segueadiante para construir o conhecimento lógico-
matemático coordenando as simples relações que ela criou antes entre os 
objetos. Por exemplo, coordenando as relações “igual”, “diferente” e “mais”, a 
criança se torna capaz de deduzir que há mais fichas no mundo do que 
somente fichas vermelhas, da mesma forma que há mais animais do que 
vacas. Da mesma forma, coordenando a relação entre “2” e “2” ela deduz que 
2 + 2 = 4 e 2 x 2 = 4. 
Piaget, assim, reconheceu fontes externas e internas de conhecimento. 
 
4 Eu digo que “2” não é um bom número para ilustrar a natureza lógico-matemática 
do número. Piaget fez uma distinção entre números perceptuais e números. Números 
perceptuais são números pequenos, até 4 ou 5, que podem ser distinguidos por percepção, 
sem necessitar da estrutura lógico-matemática. Até alguns pássaros podem ser treinados 
para distinguir entre “oo” e “ooo”. Contudo, a distinção entre “ooooooo” e “oooooooo” é 
impossível por percepção. Números pequenos maiores do que 4 ou 5 são chamados 
números elementares. O trabalho de conservação descrito acima usa 7 ou 8 objetos e 
envolve número elementar. Embora “2” seja um número perceptual, também pode ser um 
número lógico-matemático para um adulto que já construiu o sistema inteiro de números 
lógico-matemáticos. Escolhi o número “2” nesse exemplo apesar do problema de números 
perceptuais porque, com 2 fichas, posso ilustrar outros relacionamentos simples, tais como 
“diferente”, “igual” e “igual em peso”. 
 
 
 37 
A fonte do conhecimento físico (assim como social) e “em parte”,5 externa ao 
indivíduo. A fonte de conhecimento lógico-matemático, ao contrário, é interna. 
Essa afirmação será esclarecida pela discussão sobre dois tipos de abstração 
através dos quais a criança constrói o conhecimento físico e lógico-matemático. 
 
 
DICAS DE ESTUDO 
 
Ler o livro: A Criança e o Número. Autora: Constance Kamii. 
Editora: Papirus. 
A construção do conceito de número 
A autora apresenta uma análise fundamentada na teoria de Piaget sobre as 
relações da criança com o número. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 Meu motivo para dizer “em parte” se torna claro quando discuto os termos abstração empírica 
e reflexiva. 
 
 
 38 
Conhecimento lógico-matemático 
As crianças adquirem o conhecimento lógico-matemático por um 
processo de construção, ação, de dentro para fora. Esse processo não se dá 
por internalização, de fora para dentro, e, segundo Piaget (apud KAMII,1995), 
não se dá por transmissão social. Piaget distingue três tipos de conhecimentos 
para que se compreenda melhor o conhecimento lógico-matemático. 
 
Conhecimento físico 
Refere-se aos objetos do mundo exterior. As propriedades físicas de 
um objeto, como um botão: sua cor e seu peso são conhecimentos 
empíricos, adquiridos por meio da observação. Saber que esse botão pode 
cair de suas mãos ao soltá-lo, também é um exemplo de conhecimento físico. 
Kamii (1995) afirma que a fonte do conhecimento físico está apenas em 
parte nos objetos, porque, mesmo para ler uma cor de um objeto, faz-se 
necessária uma estrutura lógico-matemática. Para distinguir a cor vermelha 
num objeto, precisa-se de uma estrutura que faça pensar nas demais cores, e 
delas distinguir o vermelho. 
 
Conhecimento social 
Segundo Kamii e Declark (1986), o Natal, dia 25 de dezembro, é 
 
 
 39 
exemplo de um conhecimento social, pois é apenas uma das convenções 
estabelecidas socialmente. Uma cadeira chamar-se “cadeira” também é 
exemplo de conhecimento social. 
A característica principal do conhecimento social, segundo o 
epistemólogo Jean Piaget, “é que sua natureza é preponderantemente 
arbitrária” (KAMII, 1995, p. 21). Arbitrário, porque alguns povos o comemoram, 
enquanto outros não. Portanto, não há qualquer relação de natureza física ou 
lógico-matemática entre o objeto e a sua denominação. Conhecimentos como 
estes são passados pela transmissão de uma pessoa para outra ou entre 
pessoas de diferentes gerações. 
Para construir conhecimentos sobre o mundo físico, uma criança precisa 
de estrutura lógico-matemática, necessitando também dessa estrutura para 
adquirir conhecimentos sociais. Não poderíamos pensar em Natal sem 
classificá-lo em relação aos demais dias do ano. Outro exemplo de construção 
social, citado por Kamii, é a distinção que as crianças fazem ao usar certas 
palavras, pois aprendem, pela trans- missão social, que não são socialmente 
aceitas e, portanto, não devem usá-las. 
 
Conhecimento lógico-matemático 
Na concepção de Piaget, diferentemente dos outros conhecimentos, o 
conhecimento lógico-matemático consiste em relações criadas pelo sujeito. Ele 
exemplifica esse conhecimento com a diferença constatada quando nos 
deparamos com duas contas, uma vermelha e outra azul. Essa diferença é 
criada mentalmente quando o indivíduo relaciona os objetos. A diferença não 
está na conta vermelha nem na azul. Ele percebe a diferença porque as coloca 
uma em relação à outra. 
Pode-se dizer que essas duas contas são “parecidas”, se for levado em 
consideração seu peso. Porém, também é possível dizer que são “diferentes”, 
se forem consideradas as cores das contas. Tanto é correto dizer que elas são 
parecidas quanto que são diferentes, dependendo das relações estabelecidas 
 
 
 40 
pelos sujeitos. Se o objetivo é numérico, observa-se que são “duas”, e número 
é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo. 
Para Piaget (apud GARDNER, 1994), todo conhecimento e, em 
particular, o conhecimento lógico-matemático, deriva das nossas ações 
sobre o mundo. A base para todas as formas lógico-matemáticas de 
inteligência depende inicialmente da manipulação de objetos. No entanto, 
essas ações também se realizam mentalmente e são internalizadas depois 
de algum tempo. 
O objetivo das pesquisas de Jean Piaget (1896-1980), em Psicologia do 
Desen- volvimento e Epistemologia Genética, segundo Brito e Garcia (2001), 
foram o de verificar o desenvolvimento do conhecimento. Piaget descreveu o 
desenvolvimento cognitivo em termos lógico-matemáticos, utilizando um 
método clínico e crítico. Observaram, em situações experimentais e 
ambientes naturais, sujeitos desde a infância até a adolescência. Com seus 
estudos, Piaget percebeu que o conheci- mento se desenvolve mediante uma 
construção progressiva das estruturas lógicas, embora a lógica e a forma de 
pensar da criança e do adulto sejam diferentes. Todo seu estudo tem origem 
em pressupostos biológicos bem determinados, que se relacionam com os 
conceitos de adaptação, organização, formação de estrutura e a tendência de 
autorregulação dos seres vivos. O estudo não foi apenas uma analogia entre o 
desenvolvimento biológico e o desenvolvimento cognitivo. Para Piaget, o 
desenvolvimento cognitivo se produz por meio da adaptação dos organismos 
ao meio. O autor utiliza o termo “invariantes” para os processos constantes 
encontrados durante o desenvolvimento, ou seja, para a adaptação e a 
organização. Devido à tendência biológica dos seres vivos à autorregulação, 
são desenvolvidos certos mecanismos adaptativos envolvendo novas 
organizações, que levam a uma mudança interna, além das novas interações 
com o ambiente, chamadas de assimilação e acomodação. 
A assimilação é o processo por meio do qual os esquemas internos 
são aplicados sobre o objeto. Esse objeto passa a ser conhecido pelo 
indivíduo somente quando for assimilado por um ou mais esquemas. A 
 
 
 41 
acomodação consiste na modificação dos esquemas internos como 
resultado de uma experiência ativa com os objetos, levando em conta 
qualidades particulares destes. Não apenas Piaget mas também outros 
teóricos da cognição alegam que entre o meio e as respostas do indivíduo 
existem estruturas que determinam os comportamentos deste. Esquemas, 
operações e estruturas são conceitos estabelecidos por Piaget seguindo 
essa mesma linha. Sãoesses três elementos que, quando mudam, 
despregam-se e se reorganizam durante o desenvolvimento, dando origem 
às nossas possibilidades intelectuais. 
Piaget descreveu a sequência das etapas pelas quais os seres humanos 
passam durante seu desenvolvimento cognitivo. Essas etapas seguem as 
mesmas sequências em todos os seres, embora não se deem necessariamente na 
mesma faixa etária. Uma nova forma de organização cognitiva, ou seja, nova 
estrutura implica numa mudança de etapa e também maior equilíbrio – forma 
superior de adaptação. 
Abstração empírica e abstração reflexiva - Abstração 
empírica 
Para Piaget, a abstração de número é muito diferente da abstração de 
cor dos objetos, chamada por ele de abstração empírica ou simples. Para a 
abstração de número, usou o termo abstração reflexiva. 
 
Na abstração empírica, a criança se concentra numa certa propriedade 
do objeto e ignora as demais. Ao centrar-se na cor, acaba deixando de lado 
peso, material do qual é feito etc. 
 
Abstração reflexiva ou construtiva 
A abstração reflexiva, diferentemente da abstração empírica, envolve a 
construção de uma relação entre objetos. Relações não têm uma existência na 
realidade externa. A abstração reflexiva é uma construção verdadeira feita pela 
 
 
 42 
mente, e não uma concentração sobre um determinado objeto. No entanto, na 
realidade psicológica da criança, uma não existe sem a outra. A relação de 
“diferente” não existe se a criança não observar diferentes propriedades nos 
objetos. O mesmo acontece com a relação “cinco”, que não poderia ser 
construída se a criança pensasse que objetos separados se comportam como 
gotas de água que juntas formam um todo novamente. 
Como dito anteriormente, a construção do conhecimento físico só é 
possível porque a criança possui uma estrutura lógico-matemática que 
possibilita novas observações em relação ao conhecimento que ela já tem. 
Para uma criança reconhecer que um peixe é vermelho, ela precisa 
reconhecer e diferenciar o vermelho de outras cores e o peixe de outros 
objetos. Portanto, para que ela seja capaz de “ler” fatos da realidade externa, 
precisa de estrutura lógico-matemática construída pela abstração reflexiva 
ou construtiva. 
A abstração reflexiva não se manifesta independente da abstração 
empírica no período sensório-motor e pré-operacional. Mais tarde, isso se torna 
possível se ela construir o número por abstração reflexiva, podendo operar com 
números e fazer 3 + 3 e 3 x 2 também por abstração reflexiva. 
Os dois tipos de abstrações até agora apresentados podem parecer sem 
grande importância enquanto uma criança está aprendendo números pequenos 
e até dez. No entanto, quando ela aprende números como 999 e 1 000 quando 
já não dispõe desses números de objetos ou fotografias, a situação fica mais 
difícil. Assim, por meio de abstração reflexiva, a criança constrói relações, 
números são aprendidos, e então pode entender números bem maiores, 
apesar de não tê-los visto antes. 
O ensino da Matemática, ao longo dos anos, vem priorizando os 
conhecimentos físicos e sociais, deixando um pouco de lado o 
conhecimento lógico-matemático, cuja fonte é interna. Considera-se que para 
aprender numeração, bastam observar quantidades e escrever os numerais 
correspondentes, repetidas vezes. O conhecimento lógico-matemático 
 
 
 43 
evolui quanto mais relações o indivíduo consegue coordenar. No caso do 
número, é necessária a coordenação das relações de ordenação 
mentalmente. 
Por outro lado, as pesquisas mostram quanto conhecimento matemático 
que a criança traz para a escola acaba não sendo aproveitado, pelo professor, 
para fazê-la avançar. Muitas vezes, professores têm em sala alunos que 
trabalham vendendo balas ou frutas, acostumados a calcular, que esquecem 
sua experiência no momento de fazer exercícios mecânicos. 
Por inexperiência, os adultos se esquecem de que a Matemática, como 
a linguagem, são construções humanas de muitos anos. E é com um ambiente 
propício à reflexão que o aluno será capaz de tirar melhor proveito das aulas. 
Para o conhecimento lógico-matemático, são grandes as vantagens 
do jogo em grupo, na sala de aula, tanto do industrializado como do produzido 
artesanalmente, e uma atividade lúdica e agradável normalmente sempre será 
bem-vinda para as crianças. Muitos professores concordam em utilizar o 
jogo, mas apenas para lazer, depois de terminados os chamados “trabalhos 
de aula”, esquecendo-se de seu lado educativo. 
 
O jogo 
• Propicia diversificação na abordagem dos diferentes assuntos. Há vários 
jogos envolvendo números e as quatro operações matemáticas, 
possibilitando diversas maneiras de interagir com esses objetos do 
conhecimento. 
• Estimula o pensamento, uma vez que para participar não basta estar 
presente, mas estar atento às situações que se renovam a cada 
momento. Embora a criança apresente um comportamento mais 
individualista, não deixa de ajudar os amigos, mesmo querendo chegar 
sempre em primeiro lugar, enquanto que as maiores procuram 
estratégias cada vez mais elaboradas para vencer. 
 
 
 44 
• Promove a socialização a partir das regras, mesmo as mais simples, 
destinadas a crianças com menos experiência. Durante o jogo 
acontecem discussões, debates, troca de ideias, confronto de opiniões, 
numa verdadeira situação de interação, e tomam-se decisões que 
colaboram para a construção do conhecimento. 
• Permite avanços na construção do número, sempre que envolve 
quantidades variadas, contando-as, comparando-as, ordenando-as, 
estabelecendo correspondência, identificando suas formas de 
representação e fazendo operações. 
• Em alguns casos, obriga ao registro de pontos, permitindo que os alunos 
encontrem a melhor forma de elaborá-lo, demonstrando todo o 
conhecimento que possuem. 
Texto complementar 
Os Blocos Lógicos 
 
 
 45 
Os Blocos Lógicos, material pedagógico geralmente feito de madeira, 
são compostos por 48 peças com as seguintes especificações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46 
 
DICAS DE ESTUDO 
 
Divulgação Vozes. 
Ler o livro: Blocos Lógicos. 
Autora: Ursula Marianne Simons. Editora: Vozes. 
 
A autora apresenta muitos exercícios com os Blocos Lógicos que 
estimulam a verbalização e a argumentação lógica da criança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
O desenvolvimento histórico do sistema de 
numeração decimal 
http://www.matematicando.net.br/wp-content/uploads/2015/11/hist%C3%B3ria-da-matematica.gif 
Houve um tempo em que o homem não sabia contar e, ainda hoje, 
algumas tribos indígenas contam com apenas dois nomes de números. Eles 
utilizam dois-um para expressar o três e dois-dois para expressar o quatro. 
Quando querem expressar muitos, apontam para sua cabeça como sinal de 
inúmeros, tal qual é o número de fios de cabelo da cabeça. A ideia de número 
não é concebida como abstração, e é, portanto, para eles bastante confusa. 
Tribos como essas não percebem que conjuntos de, por exemplo, cinco 
cavalos, cinco flechas, cinco peixes apresentam uma característica comum, 
que é “ser cinco”. 
O homem de épocas remotas apenas percebia o espaço ocupado pelos 
seres e objetos vizinhos e, por isso, estabelecia diferença entre a unidade, o 
par e muitos. O um e o dois foram os primeiros conceitos numéricos 
concebidos pelo homem. Segundo Ifrah (1989), o um se referia ao homem ativo 
e sua obra de criação; o dois, ao feminino, ao masculino e também à simetria 
aparente do corpo humano. Outros significados eram atribuídos a esses dois 
números usados nas sociedades primitivas. 
Inúmeras civilizações retratam, por meio de sua língua e escrita, as 
limitações primitivas da contagem. O significado dos números um, dois e três 
quase sempre se referiam ao singular, a um par e a muitos, respectivamente, 
 
 
 48 
como já mencionado anteriormente. 
Estudos do comportamento humano demonstram que, no 
desenvolvimento da criança,encontram-se essas etapas do 
desenvolvimento da inteligência da humanidade; portanto, a criança, 
inicialmente, também percebe apenas o um, os dois e a pluralidade. 
Embora contar seja um atributo exclusivo do ser humano, pesquisas 
mostram que é possível notar o senso numérico de certos pássaros, como é o 
caso do corvo, o qual demonstra a percepção de até quatro objetos. 
Não é difícil constatar que, quando o homem se depara com uma 
quantidade de objetos, esta é rapidamente percebida se não ultrapassar três 
ou quatro itens. Quando ultrapassa, o homem precisa fazer a contagem, 
porque nossa visão global não distingue, num golpe de vista, quantidades 
maiores. Dependendo da posição que os objetos são colocados, podem-se 
perceber outras quantidades, mas nunca muito maiores do que quatro 
objetos. 
Várias civilizações, ao representarem quantidades, faziam traços 
verticais, círculos, pontos e outros sinais. Algumas delas juntavam para formar 
grupos de três unidades. No entanto, quando houve a influência dos cinco 
dedos da mão, os agrupamentos passaram a ser de cinco em cinco. Esses 
agrupamentos eram de um traço vertical 
para o um, dois para os dois, três para os 
três, quatro para os quatro; e quatro traços 
verticais e um horizontal cortando-os, para 
indicar cinco unidades. 
Para o dez, usavam dois grupos da representação utilizada para o 
cinco. Ifrah (1989) afirma que mais uma vez fica clara a ideia de que a 
percepção do homem não vai além do número quatro. 
A correspondência termo a termo auxiliou na contagem. O princípio da 
correspondência das pedrinhas para cada ovelha utilizadas pelos pastores, o 
rosário de contas para auxiliar as pessoas a fazerem as orações, os entalhes 
 
 
 49 
na madeira para os carneiros e nós na corda já eram demonstrações do 
emprego da correspondência biunívoca. 
Eram utilizadas, também, partes do corpo para expressar quantidades 
durante a contagem, como dedo, pulso, cotovelo, ombro etc. Essas civilizações 
podem desconhecer um determinado número; no entanto, são capazes de 
representar a quantidade correspondente quando se deparam com situações 
que exigem essa prática. 
Alguns indígenas conseguiram chegar a números relativamente 
elevados, mesmo sem o conhecimento deles, porque utilizavam a 
associação de partes do corpo e objetos concretos. Exemplo: peles de 
animais e partes do corpo que, numa combinação, expressavam números 
maiores. 
Nesses últimos exemplos, já não se estava mais utilizando 
correspondência termo a termo, prosseguindo assim um desenvolvimento 
na forma de contar e representar a contagem por meio de agrupamentos. 
 
A invenção da base 
Foi a partir da distinção entre o número cardinal e o número ordinal 
que o homem fez a abstração dos números. Contas, conchas, pedrinhas etc. 
deixaram de serem simples instrumentos materiais para serem símbolos 
numéricos. A seguir, o homem passou a conceber conjuntos mais extensos e, 
dessa forma, deparou-se com outras e novas dificuldades, pois para 
representar números maiores não era possível multiplicar indefinidamente 
pedras, nós nas cordas etc. Dedos e outras partes do corpo não eram 
suficientes para representar quantidades extensivas. Surge, então, a ideia de 
bases, uma forma fácil de representar os números. 
 
Base 10 
Muito diferentes dos pastores primitivos, os pastores da África Ocidental, 
não muito tempo atrás, contava o rebanho colocando uma concha num fio de lã 
 
 
 50 
branca até o décimo animal do rebanho. Quando chegavam ao décimo, 
desmanchavam esse colar de conchas e colocavam uma concha num fio de lã 
azul. Isso se relaciona com a ideia de dezena. Recomeçavam, a partir daí, a 
colocar uma concha para cada animal na lã branca novamente, até atingir o 
vigésimo animal. Quando isso acontecia, desfaziam esse colar e colocavam a 
segunda concha no fio de lã azul. Procediam assim até obter dez conchas no 
fio de lã azul. Então, desfaziam esse colar e colocavam uma concha num fio de 
lã vermelha (centena). 
Dessa maneira, podemos perceber que a forma de raciocinar desses 
pastores era muito diferente da forma dos pastores primitivos. A ideia básica 
está na utilização de agrupamentos por dezenas e centenas. Assim, cada 
concha colocada no fio de lã branca representava uma unidade, cada 
concha colocada no fio de lã azul representava dez unidades (dezena) e 
cada concha colocada no fio de lã vermelha representava cem unidades, o 
que equivale a dez dezenas, ou uma centena, técnica essa, hoje, chamada 
de emprego da base dez. 
São várias as línguas que, para designar os números superiores a dez, 
utilizam-se da composição correspondente a dez-um dez-dois, dez-três e assim 
sucessivamente, até o número dezenove. Para o vinte, utilizam dois-dez; para 
os trinta, três-dez, até chegar ao noventa. Para o número duzentos usam dois-
cem etc. 
Atualmente, utilizamos o sistema de numeração indo-arábico, de base 
dez. Os símbolos empregados por esse sistema são 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9 e 0. 
Os nove primeiros símbolos representam às unidades e o último a ideia de 
ausência. É por isso que dez é representado por 10, o que representa uma 
dezena e zero unidade. 
Vejamos outros exemplos: 
• Quinze é representado por 15, um grupo de 10 (ou uma dezena) e mais 
cinco unidades. 
 
 
 51 
• Trinta e oito é representado por 38, três grupos de 10 (ou três dezenas) 
e mais oito unidades. 
3 dezenas = 10 + 10 + 10 = 30 
30 + 8 = 38 
• Noventa e nove é representado por 99, nove grupos de 10 (ou nove 
dezenas) e mais nove unidades. 
9 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 90 
90 + 9 = 99 
Se acrescentarmos 1 à quantidade 99, temos que utilizar mais uma 
ordem: 100. 
• Cem é representado por 100, um grupo de grupo de 10 (ou uma 
centena). 
• Cento e quarenta e seis são representados por 146, um grupo de grupo 
de 10 (ou uma centena), mais quatro grupos de 10 (ou quatro dezenas) 
e seis unidades. 
1 centena = 100 
4 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 = 40 
100 + 40 + 6 = 146 
 
Essa mesma ideia está presente quando utilizamos outras ordens. 
Segundo Ifrah (1989, p. 59), “foram mesmo os dez dedos que 
impuseram ao homem a ideia de grupos por feixes de dez”. O autor afirma que, 
se a natureza tivesse feito o homem com seis dedos em cada mão, por certo a 
base utilizada hoje seria a base doze; ou se tivéssemos quatro dedos em cada 
mão, como é o caso das rãs, nosso sistema de numeração seria fundado na 
base oito. 
Algumas civilizações tiveram sistemas de numeração fundados em 
 
 
 52 
outras bases, como é o caso do sistema sexagesimal dos babilônios; da base 
vintesimal dos iorubas, da Nigéria, de alguns povos da África Central e 
outros; da contagem duodecimal (12) dos sumérios etc. 
Desses povos, ainda restam nos nossos dias vestígios de seus sistemas 
de numeração, como é o caso da medida de tempo – em horas, minutos, 
segundos – e das medidas de arcos e ângulos – em graus, minutos e 
segundos. Sumérios e depois babilônios utilizaram a base sessenta. Não se 
conhece a real origem desse sistema de numeração; no entanto, segundo 
alguns historiadores, essa base foi usada em função do número de dias do ano 
ser, aproximadamente, 360, dando origem à divisão do círculo em 360º, que 
poderia ser dividido em seis partes iguais, fazendo coincidir a mesma medida 
para o arco correspondente ao sexto do círculo e à medida do seu raio. 
Outra possibilidade da origem da base sessenta vem da possível 
combinação das doze falanges dos dedos da mão direita e os cinco dedos 
da mão esquerda, mas não se tem confirmação dessa hipótese. 
Em uma ou outra base, a descoberta fundamental do princípio de base 
representou grande importância na história das civilizações, favorecendo 
inúmeras criações, invenções e revoluções em diversos campos, como na 
economia, em trocas comerciais etc. 
A invenção dos algarismos denominados arábicos foi um dos grandes 
acontecimentosna história da humanidade, comparado ao domínio do fogo. 
Segundo Ifrah (1989), a escrita e a invenção desses algarismos contribuíram 
para modificações na existência humana. A invenção dos algarismos, 
segundo o mesmo autor, 
Surgiu para permitir uma notação perfeitamente coerente de 
todos os números e para oferecer a qualquer um (mesmo aos 
espíritos mais fechados à aritmética) a possibilidade de efetuar 
qualquer tipo de cálculo sem ter de recorrer a acessórios como 
a mão, contador mecânico ou a tábua de contar. (1989, p. 131) 
 
Vale lembrar que a invenção do zero, muito mais tarde, tornou 
realizáveis cálculos que até então não eram possíveis de ser feitos. 
 
 
 53 
A humanidade já tinha passado por diferentes experiências para tentar 
representar e manipular os números, antes de chegar aos algarismos que 
vieram a ser tão eficazes – os algarismos arábicos. 
Antes do emprego de tais algarismos, o homem utilizou marcas em 
placas de argila mole, em que diferentes sinais representavam diferentes 
ordens de seus sistemas de numeração. Placas com esses registros, 
chamadas calculi, foram encontradas em muitos sítios arqueológicos do 
Oriente Próximo. 
No entanto, essa forma de representação ainda era precária e precisava 
ser aprimorada. Muitas formas, usando sistema de base, foram empregadas 
pelas civilizações ao longo da história. Algumas civilizações utilizaram-se do 
sistema de numeração não posicional, o que levava a não importar a posição 
dos símbolos para representar um número, como é o caso da civilização 
egípcia. 
Mais tarde (séculos IX-VIII A.C.), gregos e romanos desenvolveram seus 
sistemas de numeração bem mais evoluídos, mas ainda complicados quando 
se pretendia operar com tais representações. O sistema romano era regido 
pelo princípio da adição, pois sua justaposição de símbolos implicava na soma 
dos valores correspondentes a esses símbolos. Posteriormente, os romanos 
acabaram complicando o seu sistema de numeração, quando introduziram a 
regra segundo a qual todo signo numérico colocado à esquerda de um 
algarismo de valor superior era dele retirado. Por exemplo, o quatro era 
expresso por IV, ou seja, cinco menos um (princípio da subtração). A pouca 
praticidade do sistema romano o fez ficar em plano inferior ao sistema que 
surgiu muito tempo depois, na Índia. 
 
O aparecimento do zero 
Dos três povos que descobriram o princípio de posição – babilônios 
chineses e maias, utilizando uma quantidade bem menor de símbolos – apenas 
os babilônios e os maias inventaram o zero. Mas esse novo símbolo ainda não 
 
 
 54 
vinha representar a ausência de unidades. Fez-se, então, com que esses três 
sistemas posicionais permanecessem impróprios à prática das operações 
aritméticas. 
Foi na Índia, por volta do século V D.C., que nasceu o ancestral do 
sistema de numeração praticado hoje. Foi proclamado pelos árabes, mas 
surgiu no norte da Índia. 
Essa civilização já utilizava os nove primeiros algarismos, que 
correspondem hoje a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, desde o século III A.C., que, 
erradamente, denominamos arábicos. Até que se chegasse ao sistema tal 
como é hoje, houve muito desenvolvimento. Existiu época em que, para 
expressarem números grandes, eles os exprimiam por extenso, o que os 
ajudou a descobrir o princípio posicional e o zero. Diferentemente do que 
fazemos hoje, para três mil, setecentos e nove, escreviam: nava sapata sata 
Ca trisahasra (nove setecentos e três mil). Para as potências de dez, escrevia-
se o seguinte: 
10 – dasa, 100 – sata, 1 000 – sahasra, 10 000 – ayuta 
 
Assim, para escrever 51 636, escreviam 6, 3 dasa, 6 sata, 1 sahasra, 5 
ayuta. Porém, não era suficiente, e novos avanços eram necessários. Foi então 
que astrônomos e matemáticos, para escrever 7 629, passaram a expressar-se 
por meio de um enunciado do gênero “nove, dois, seis, sete”, e essa 
numeração oral os fez perceber uma escrita posicional, que representa 9 + 2 x 
10 + 6 x 100 + 7 x 1 000. Assim “um, um” representava uma unidade e uma 
dezena – o 11 de hoje. Ao expressar o número 205, perceberam que não 
bastava dizer cinco, dois. Dessa maneira, começaram a utilizar a palavra 
sunya, que quer dizer vazio. Dessa forma, 205 eram enunciados da seguinte 
forma: cinco, vazio, dois, pois como maias e babilônios, haviam acabado de 
inventar o zero. Isso se deu por volta do século V desta era. 
Para as unidades de 1 a 9, dispunham de algarismos distintos e 
independentes e já conheciam o princípio de posição e também o zero. Como 
 
 
 55 
os números eram expressos em sânscrito, língua hindu, precisavam agora ser 
representados apenas por símbolos. 
Esse sistema de numeração foi expandido além das fronteiras da Índia e, 
devido ao comércio de seda, especiarias e marfim com a China atingiram 
outros povos. 
Sábios, que também eram poetas, buscou na natureza e na mitologia 
inspiração para os símbolos, que podem enumerar grandes listas de 
significados para cada um deles. Assim, as tábuas numéricas ou 
astronômicas eram guardadas na memória com maior segurança. A forma 
gráfica dos algarismos hindus ficou ainda, durante muitos séculos, pouco 
precisa, e copistas cometiam erros ao transcrever certos símbolos. Foi então 
que o ritmo das palavras-símbolo em forma de verso ajudou a eliminar os 
erros da transcrição. Por outro lado, esses símbolos foram ganhando maior 
definição e, aos poucos, chegou ao que hoje toda a humanidade utiliza. 
 
Texto complementar 
A lenda de Sessa (IFRAH, 1989, p. 288-292) 
Para provar a seus contemporâneos que um monarca, por mais 
poderoso que seja não é nada sem seus súditos, um brâmane hindu, 
chamado Sessa, inventou um dia o jogo de xadrez. 
Quando esse jogo foi apresentado ao rei das Índias, este ficou tão 
maravilhado com a sua engenhosidade e a grande variedade de suas 
combinações que mandou chamar o brâmane para recompensá-lo 
pessoalmente: 
• Quero recompensar-te por tua extraordinária invenção – disse o rei. 
• Escolhe tu mesmo a recompensa e a receberás imediatamente. Sou 
suficientemente rico para realizar teu desejo mais absurdo. 
 
 
 56 
O sacerdote pediu que o rei lhe desse um pouco de tempo para pensar 
em sua resposta. E, no dia seguinte, espantou a todos com a incrível modéstia 
de seu pedido. 
• Meu bom soberano – exclamou ele – queria que me désseis a 
quantidade de trigo necessária para encher as 64 casas de meu 
tabuleiro. Um grão para a primeira, dois para a segunda, quatro para a 
terceira, oito para a quarta, dezesseis para a quinta, e assim por diante. 
Em resumo, queria que fosse colocado em cada casa o dobro de grãos 
que na casa precedente. 
• Não acredito que seja tão tolo a ponto de me fazer um pedido tão 
modesto! – exclamou o rei, surpreso. – Poderias ofender-me com um 
pedido tão indigno de minha benevolência e tão desprezível diante do 
que eu poderia oferecer-te. Mas que seja! Se for este o teu desejo, 
meus servidores trarão teu saco de trigo antes do cair da noite. 
O brâmane sorriu e deixou o palácio. 
À tarde, o soberano se lembrou da promessa e se informou com seu 
ministro para saber se o louco Sessa tinha tomado posse de sua magra 
recompensa. 
 
• Soberano – disse o alto dignitário –, vossas ordens estão sendo 
executadas. Os matemáticos de vossa augusta corte estão 
determinando o número de grãos que devem ser dados ao sacerdote. 
O semblante do rei se obscureceu. Ele não estava habituado a uma 
execção tão morosa de suas ordens. 
À noite, antes de se deitar, o rei insistiu uma vez mais para saber se o 
brâmane já recebera seu saco. 
• Ó rei – disse o ministro, hesitante –, os matemáticos ainda não 
chegaram ao fim de suas operações. Estão trabalhando sem descanso e 
esperam terminar sua tarefa antes do amanhecer. 
 
 
 57 
É preciso notar que os cálculos se revelaram muito mais longos do que 
se pensava. Mas o rei não quis saber de nada, e ordenou que o problema