RELAÇÕES-TRIGONOMÉTRICAS-E-REDUÇÃO-AO-PRIMEIRO-QUADRANTE-DO-CICLO-TRIGONOMÉTRICO

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REVISÃO – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE DO CICLO TRIGONOMÉTRICO 
TURMA: 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO 
PROF. LUCAS FACTOR 
 
Trigonometria no Triangulo Retângulo 
 
Considere o triangulo retângulo abaixo: 
Definimos seno (sen) de um ângulo  , cosseno (cos) de um ângulo  , tangente (tg) de um 
ângulo ,cotangente (cotg) de um ângulo  , secante(sec) de um ângulo  e cossecante (cossec) 
de um ângulo  , como : 
H
CO
Hipotenusa
toCatetoOpos
)sen( 
H
CA
Hipotenusa
centeCatetoAdja
)cos( 
CA
CO
centeCatetoAdja
toCatetoOpos
tg )( 
CO
CA
toCatetoOpos
centeCatetoAdja
g )(cot  
CA
H
centeCatetoAdja
Hipotenusa
)sec( 
CO
H
toCatetoOpos
Hipotenusa
)sec(cos  
 
Exemplos: 
Sabemos que sen(36º)=0.58, cos(36º)=0.80 e tg(36º)=0.72 , Calcular o valor de x em cada figura: 
Resolução: 
a) cmx
xx
8,5
10
58,0
10
)36sen(  
b) mx
xx
4
5
80,0
5
)36cos(  
c) Kmx
xx
tg 4,14
20
72,0
20
)36(  
 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
 
Em todo triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da 
medida da hipotenusa. Isto é: 
222 acb  
 
 
 
 
 
Exemplo: Sabendo que  é um ângulo agudo e que 
13
5
)cos(  , calcular )(tg e )(cot g . 
Resolução: 
Existe um triangulo retângulo com ângulo agudo  tal que o cateto adjacente a  mede 5 e a 
hipotenusa mede 13.Chamamos x o valor do cateto oposto ao ângulo agudo. 
Pelo teorema de Pitágoras temos: 
222 135 x 
12
144
25169
2
2



x
x
x
 
Logo, 
5
12
)( 
centeCatetoAdja
toCatetoOpos
tg  e 
 
12
5
)(cot 
CO
CA
g  
Exercício: Sabendo que  é um ângulo agudo e que 
5
3
)sen(  , calcular )(tg e )(cot g . 
Tabela dos Ângulos Notáveis 
 
 30º 45º 60º 
Sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
Cós 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
Tg 
3
3
 
1 3 
 
Por convenção: 
)sen(sen
))(cos()(cos
))(sen()(sen



kk
nn
nn



 
 
 
 
Exercícios: 
Calcular o valor das expressões: 
 
1)
)º45()º30(sen
)º30(cos)º60cos(
53
2
tg
E


 
Resolução: 
9
10
8
9
4
5
1
8
1
4
3
2
1
1
2
1
2
3
2
1
)º45()º30(sen
)º30(cos
2
1
5
3
2
53
2























tg
E 
 
2)
x
xx
E
2cos
4cos2sen
2

 para x=15º 
 
Resolução: 
3
4
4
3
1
2
3
2
1
2
1
)º30(cos
)º60cos()º30sen(
)º15.2(cos
)º15.4cos()º15.2sen(
222














E 
 
3)Determinar o valor de x na figura: 
 
 
 
Resolução: 
Como o triangulo BCD é isósceles, pois possui dois ângulos de mesma medida; logo, CD=BD=20m. 
Assim, do triangulo ABD, temos que: 
310
202
3
20
º60sen



x
x
x
BD
x
 
Logo, 310x m 
 
 
 
 
4) Sabendo que 3,2   tgtg , calcular o valor de x na figura 
 
 
Resolução: 
Vamos introduzir uma variável auxiliar, fazendo DA=y. 
Assim do triangulo ABC temos: 
y
x
y
x
tg




5
2
5
 
Do triangulo ABD temos: 
y
x
y
x
tg  3 
Devemos então resolver o sistema: 










)(
3
3
)(
5
2
II
x
y
y
x
I
y
x
 
Substituindo (II) em (I), temos: 
30
3
5
2 

 x
x
x
 
Logo, 30x cm 
 
Estudo na Circunferência 
Unidades de Medidas de Arcos 
 Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB é 
º360
1
dessa 
circunferência, define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um grau 
(1º); logo, uma circunferência mede 360º. 
 Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB tem o comprimento 
do raio dessa circunferência , define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como 
sendo um radiano (1 rad); logo, uma circunferência mede 2 rad, pois o comprimento de 
uma circunferência de raio r é r2 . 
OBS: Radiano é a medida do ângulo central da circunferência, cujos lados determinam sobre a 
circunferência um arco de comprimento igual ao raio. 
 
Transformação de Unidades de Medidas de Arcos 
Uma medida em radianos é equivalente a uma medida em graus se ambas são medidas de um mesmo 
arco. Por exemplo, 2 rad é equivalente a 360º, pois ambas são medidas de um arco de uma volta 
completa. 
Conseqüentemente, temos que: 
  rad é equivalente a 180° 
 
Disso segue que: 1° é equivalente(~) 
180
1
rad e 1 rad é equivalente a 

180
 
 
Exemplo: a)Ache a medida equivalente em radianos de 162° 
 b)Ache a medida equivalente em graus de 
12
5
 rad 
Resolução: 
a) 162° ~162.
180

 rad 
 162° ~ 
10
9
 rad 
b)

 180
.
12
5
~
12
5
rad 
 75~
12
5
rad

 
 
A Circunferência Trigonométrica 
A Circunferência Trigonométrica também é chamada de ciclo trigonométrico, tem raio unitário (1) e 
centro na origem. 
Sobre a circunferência serão fixados arcos, com origem no ponto A(1,0).Esses arcos serão percorridos 
no sentido anti-horário.Lembre-se de que a medida do ângulo central AÔP é igual á medida angular 
do arco AP 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos então, as definições de seno, cosseno e tangente de um arco de 0º a 360º ou de 0 rad a 
2 rad 
 
 
Definimos: 
 
Seno de  é a ordenada (correspondente ao eixoy)do ponto P (indicação: sen ) 
Cosseno de  é a abcissa (correspondente ao eixo x )do ponto P(indicação: cos ) 
 
Observe na figura que permanecem validas as definições de seno e cosseno para ângulos agudos, 
num triangulo retângulo .Veja: 
OQ
OQ
raio
OQ
QP
QP
raio
QP


1
cos
1
sen


 
 
 
Simetrias 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
1° Quadrante: 0° a 90° ou ( 0 rad a 
2

rad) 
2° Quadrante: 90° a 180° ou ( 
2

rad a  ) 
3° Quadrante: 180° a 270° ou (  rad a 
2
3
rad) 
 
4° Quadrante: 270° a 360° ou ( 
2
3
rad a 2 ) 
 
 
Seno, Cosseno e Tangente de um Arco Trigonométrico 
 
Exemplo: Sabendo que e 87,0
2
3
º30cos5,0
2
1
º30sen  , achar um valor aproximado de: 
a) sen 150º e cos 150º 
b)sen 210º e cos 210º 
 
 
Solução: 
a)  º150AP 
 
Então: 





87,0º30cosº150cos
5,0º30senº150sen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)  º210AP 
 
 
Então: 





87,0º30cosº210cos
5,0º30senº210sen
 
 
 
O exemplo anterior mostra que há uma relação entre o quadrante e o valor de seno e cosseno. 
Sendo  a medida de um arco e P a sua extremidade, notamos que: 
 P no primeiro quadrante: ;0cos0sen   e 
 P no 2º quadrante: 0cos0sen   e ; 
 P no 3º quadrante: 0cos0sen   e 
 P no 4º quadrante: 0cos0sen   e 
 
 
Sendo a medida de um arco com extremidade no 1º quadrante: 
  cos)º180cos(sen)º180(sen  e 
  cos)º180cos(sen)º180sen(  e 
  cos)º360cos(sen)º360sen(  e 
 
 
Funções Trigonométricas 
Definição1: Suponha que t seja um numero real.Coloque na posição padrão um ângulo com t rad de 
medida e seja P a intersecção do lado final do ângulo com a circunferência do circulo unitário com 
centro na origem. Se P for o ponto (x,y), então a função seno será definida por: 
yt sen então a função cosseno será definido por xt cos 
 
Vemos que sen t e cos t estão definidas para todos os valores de t. Assim o domínio das funções 
seno e cosseno é o conjuntos de todos os números reais .O maior valor da função é 1 e o menor é –
1.As funções seno e cosseno assumem todos os valores entre –1 e 1; segue ,portanto, que imagem da 
função é [ –1, 1]. 
Para certos valores de t, o seno e o cosseno são facilmente obtidos de uma figura. 
 
Vemos que: 
 sen(0) = 0 e cos(0) =1 
 
2
2
2.
2
1
4
cos
2
2
2.
2
1
4
sen 










 
 
 0
2
cos1
2
sen 










 
 
     1cos0sen   
 0
2
3
cos1
2
3
sen 










 
 
 
Propriedades: 
1) )sen()sen( tt  e )cos()cos( tt  
 Ou seja, a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par. 
 
2) tt sen)2sen(  e tt cos)2cos(   
 Esta propriedade é chamada de Periodicidade. 
 
Definição2: Uma função f será periódica se existir um numero real 0p tal que quando x estiver no 
domínio de f, então x+p estará também no domínio de f e f(x+p)=f(x). 
O numero p é chamado de período de f . 
 
Exemplo: Use a periodicidade da seno e cosseno para determinar o valor exato da função 
a) 





4
17
sen

 
b) 





3
7
cos

 
c) 






3
2
cos

 
Resolução: 
a) 





4
17
sen

=
2
2
4
sen2.2
4
sen4
4
sen
4
16
4
sen
4
16
sen 




























  




 
b) 





3
7
cos

=
2
1
3
cos2
3
cos
3
6
cos 
















  


 
c) 






3
2
cos

=
2
1
3
4
cos2
3
4
cos
3
64
cos 
















  


 
 
 
Relação Fundamental da Trigonometria 
 1cossen 22   
Definição: 
 



cos
sen
tg 
 


cos
1
sec  
 



sen
cos
cot g 
 


sen
1
seccos  
 
Identidades Notáveis 
 
  22 1sec tg 
  22 cot1seccos g 
 1)sec).(cos(sen  
 1)).(sec(cos  
 1)).(cot(  gtg