Didática do Ensino da Matemática - Temas 1 a 12

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Matéria: Didática do Ensino da Matemática 
Assunto: Temas 1 ao 12 
Curso de Pedagogia 
Licenciatura – 7º Período 
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Como compreender a matemática num contexto educacional em que o professor é 
alguém que professa e declara regras, obedecendo cegamente a elas. Compreender e 
não entender é um desafio que os profissionais da educação devem focar junto às 
crianças. 
A história da matemática pode exercer um importante papel psicológico no processo 
de ensino-aprendizagem tanto em relação ao professor quanto em relação ao aluno. 
Ao estudante pode criar condições de perceber as diversas fases da elaboração do 
pensamento Matemático, levar o mesmo a entender e interpretar as diferentes 
práticas sociais que geraram as necessidades de sua produção e trabalhar as diversas 
linguagens e formas simbólicas que o constituem e o condicionam. 
Ao professor, permite problematizar a ação pedagógica no sentido de se criar uma 
consciência das vivências e recursos cognitivos e interpretativos necessários para 
uma apropriação significativa das ideias matemáticas. 
Assim, a História da Matemática apresenta um papel psicológico importante no 
processo de ensino-aprendizagem ao estimular o envolvimento e a participação 
ativa do estudante, ao apresentar as dificuldades superadas na busca de solução para 
os problemas historicamente constituídos de acordo com as diferentes necessidades 
de diversas sociedades e ao liberar os recursos cognitivos e afetivos do aluno para o 
recriar da Matemática. 
As diversas teorias educacionais são reflexos que fundamentaram as raízes da escola 
que vivemos hoje. O Brasil no século passado não tinha interesse em promover a 
autonomia e a criatividade, o que era determinante era a transmissão do 
conhecimento, os conceitos fundamentais adaptados e que se enraizou nas escolas 
foram os conteudistas e quantitativos. 
Uma das teorias que vieram fazer parte da formação de seus educadores e que 
formataram a educação escolar que você viveu e que, em parte, nós ainda vivemos, 
foi a Teoria Comportamentalista, que fundamenta a ideia de que aprender seria uma 
resposta produzida por estímulos fornecidos pelo ambiente. 
Dois importantes adeptos desta teoria foram: 
• Ivan Petrovich Pavlov (1849-1936) – que descobriu os reflexos 
condicionados. 
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• Burrhus Frederuc Skinner (1904-1990) – que concluiu que o aprendizado 
ocorre em função de mudança do comportamento, reposta individual a 
estímulos e reforços do meio. 
Surgiu posteriormente as Teorias Cognitivistas, que procuram compreender e 
explicar como o indivíduo conhece, como aprende, como atribui significados. 
Veja alguns importantes nomes desta teoria: 
• Jerome Bruner (1915 - ?). 
• David Ausubel (1918 – 2008). 
• Lev Semionovitch Vigotsky (1896 – 1934). 
• Jean Piaget (1896 – 1980). 
Destes os mais importantes destacam-se as ideias de Lev Semionovitch Vigotsky: 
Para Vigotsky, sua teoria afirma ser determinante para o desenvolvimento e a 
aquisição de conhecimentos dos indivíduos, a relação deles com outras pessoas, 
destacando principalmente a função da linguagem nesse contexto. 
Destaca que é preciso considerar dois níveis de conhecimento: o real e o potencial, 
sendo: 
• real o que a criança já sabe, e 
• o potencial que é o que a criança pode fazer sozinha, porém, com a 
mediação de outra pessoa. 
Jean Piaget: Piaget desenvolveu seus estudos com ênfase nos processos de 
construção do conhecimento das crianças. Para ele, o conhecimento é uma contínua 
construção que ocorre por meio do contato da criança com os objetos de estudo. 
Afirma que o conhecimento resulta das interações que se produzem entre o sujeito e 
o objeto como uma dupla construção para progredir. 
 
 
Behavioristas: do termo inglês behaviour ou do americano behavior, significando 
conduta, comportamento. 
Cognitiva: modo de perceber, interpretar, processo de conhecimento. 
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Construtivismo: construtivismo é uma das correntes teóricas empenhadas em 
explicar como a inteligência humana se desenvolve partindo do princípio de que o 
desenvolvimento da inteligência é determinado pelas ações mútuas entre o 
indivíduo e o meio. 
Paradigma: é a representação de um padrão a ser seguido. 
Subjetividade: é o que se passa no íntimo do indivíduo 
 
 
A partir do nascimento o ser humano já entra em contato com os números, iniciando 
pela própria idade, quando uma criança pequena sem saber quanto é, demonstra 
com os dedos os anos que tem. Neste ato ela não está fazendo a conservação do 
número, pois ainda não associa número a quantidade, pois esse processo não ocorre 
antes dos cinco anos. 
A maioria dos educadores das escolas infantis baseia-se basicamente no 
reconhecimento dos algarismos e escritas dos mesmos, e se esquecem de explorar 
uma variedade de ideias matemáticas que existe e que remete a classificação e 
seriação. A criança precisa mexer, experimentar, tocar para conhecer o novo, 
necessita do concreto para que possa organizar seus conhecimentos, que é adquirido 
naturalmente pelo contato com outras pessoas, e da interatividade com seu grupo 
de amigos, uma construção é resultante das ações da criança com o mundo. 
O contato da criança com materiais concretos a leva a uma percepção, pois ao tocar, 
manipular e experimentar, ela terá uma reação que irá revelar um novo 
conhecimento, pois necessitou perceber a singularidade do objeto para agir sobre 
ele, organizando suas percepções e relações entre formas, peso, tamanho, 
espessuras. 
É possível estimular essa criança a brincar na escola não como um conteúdo a ser 
ensinado, mas como uma habilidade a ser desenvolvida de forma progressiva e 
constante, adequada ao nível de desenvolvimento. 
Ao apresentar blocos coloridos com formas geométricas para uma criança do nível 
operatório, de três a quatro anos, ela já será capaz de compor figuras como uma casa, 
um robô, uma pipa. Na fase do nível pré-operatório o mais importante será o cenário, 
após esta fase existirá um avanço, na qual a criança começa a aproximar os 
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elementos por atributos ou características comuns a todos, ela poderá organizar por 
cor, forma, tamanho. 
A próxima fase é a da seriação, a qual é explorada a construção da série, como por 
exemplo: formar filas por tamanho dos alunos – do maior ao menor; ordenar 
brinquedos na sala de atividades. A criança encontra em seu dia a dia, como em uma 
loja de roupas, que poderá observar uma forma ordenada de arrumação, uma loja de 
maquiagem com seus mostruários demonstrando as tonalidades. 
Embora a estrutura mental de número esteja bem formada em torno dos cinco para 
os seis anos, possibilitando à maioria das crianças a conservação do número 
elementar, ela ainda não está suficientemente estruturada antes dos sete anos e 
meio de idade para permitir que a criança entenda que todos os números 
consecutivos estão conectados pela operação (+1), por isso que as atividades lúdicas 
são de extrema importância nessa fase da criança para o seu desenvolvimento. 
É por meio dos jogos que construirão um pensamento produtivo e raciocínio lógico, 
bem como terão melhores condições para enfrentarem situações novas e envolver-
se com aplicaçõesmatemáticas. 
 
 
 
Atividade Lúdica: é todo e qualquer movimento que tem como objetivo produzir 
prazer quando de sua execução, ou seja, divertir o praticante. 
Intuitiva: dotado de intuição, conhecimento intuitivo. 
Pressuposto: que se supõe antecipadamente. 
Teoria Inatista: é uma das teorias usadas por professores de surdos no seu 
desenvolvimento. 
Transitividade: característica do que é transitivo, predicação incompleta. 
 
 
 
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É importante lembrar que em todo período da evolução humana, sempre 
encontramos vestígios no homem o sentido do número. Desde os primórdios em 
relação à contagem de filhos, os pastores contando suas ovelhas, que 
involuntariamente seu sentido direto, acabava pela contagem dos objetos que 
haviam sido retirados ou acrescentados. 
Já despertava ai o sentido do número, sem sua significância primitiva e no seu papel 
intuitivo não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno 
mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano algumas 
espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Se 
observar o mundo animal, será encontrado e descoberto que muitos pássaros têm o 
sentido do número, experiências já demonstraram que se em um ninho contém 
quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas se tirarem dois ovos, este 
pássaro abandonará o ninho. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois 
de três. 
O princípio da conservação da quantidade numérica, que é também chamado de 
invariância numérica, é percebido pela criança quando ela é capaz de compreender 
que uma quantidade permanece idêntica seja qual for o arranjo das unidades que a 
formam, do espaço que ela ocupar. Várias experiências foram feitas na tratativa 
desse assunto, criaram alguns estágios de análise, que pode ser observado nas 
etapas: 
Ausência de correspondência termo a termo 
 
Correspondência termo a termo 
 
Iguala coleções, mas ainda conserva quantidades 
 
Após estas análises (veja os exemplos figurativos em seu Livro-Texto), se a criança já 
é conservativa, dirá que há o mesmo tanto nas duas fileiras, reconhecendo que a 
disposição das peças não modifica sua totalidade. 
Em ações de quantificar e numerizar, as crianças acabam observando ações do dia a 
dia e a forma de quantificar, como no exemplo de se colocar certa quantidade de 
pratos na mesa, na compra de certa quantidade de pães. Os numerais quantificam os 
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elementos, ou indicam sua ordem de sucessão. Utilizados em textos em que ser quer 
indicar quantidades, posição ou partes de um todo. Podem ser: 
CARDINAIS ORDINAIS 
 
MULTIPLICATIVOS FRACIONÁRIOS 
 
Números são símbolos que expressam quantidades, grandezas, posições, medidas 
ou códigos. 
A numerização é um termo atribuído à aprendizagem dos números em sua 
correlação com suas respectivas quantidades, por analogia com a alfabetização. Na 
sequência numérica a representação que você poderá observar na figura de seu 
Livro-Texto que se inicia no zero, ou seja, na ausência de quantidade, e segue 
progressivamente na estrutura “igual mais um”. 
 
 
 
Analogia: relação, semelhança de uma coisa com outra. 
Descontinuidade: falta de continuidade. 
Dualidade: caráter ou propriedade do que é duplo ou do que contêm em si duas 
naturezas, duas substâncias, dois princípios. 
Invariância: em matemática, invariante é algo que não se altera ao aplicar-se um 
conjunto de transformações. 
Lógica: estudo filosófico do raciocínio válido. Utilizada em atividades mais 
intelectuais, a lógica é estudada principal mente nas disciplinas de filosofia, 
matemática, semântica e ciência da computação. 
 
 
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As atividades corporais, bem como o uso dos materiais devidamente adequados à 
construção de cada conceito, são importantes para os processos de aprendizagem 
junto às crianças estimulando suas percepções táteis, visuais e auditivas, gerando 
uma memória sensorial, segundo a psicologia cognitiva e a psicomotricidade. 
Memória Sensorial: Corresponde ao armazenamento de informações de todo tipo 
que chegam até os sentidos. Podem ser estímulos visuais, auditivos, tácteis, 
olfativos, gustativos e proprioceptivos. Uma vez processadas, as informações são 
transferidas para memória de curto prazo. O traço de memória sensorial 
permanecerá no sistema se receber atenção e interpretação. 
A criança com a prática de jogos e atividades desenvolve o senso de organização de 
seu pensamento e de suas atitudes. 
Ao colocar o corpo e os gestos no centro do desenvolvimento infantil, os estudos 
sobre psicomotricidade estão ajudando a pedagogia a renovar-se e a definir novos 
princípios para o ensino. Suas primeiras linhas começaram a ser traçadas pelo 
psicólogo e filósofo francês Henry Wallon (1879-1962) em meados dos anos 1920, 
quando ele introduziu a ideia de que o movimento do corpo tem caráter pedagógico, 
tanto pelo gesto em si quanto pelo que a ação representa. Na década de 1950, a 
psicomotricidade ganhou um campo definido de pesquisa. 
As maneiras de se expressar verbalmente o que vivenciou estimula a explicar de 
forma clara as suas experiências, e o que descobriu e a conclusão a que chegou. Essas 
vivências podem ser expressas em forma de dramatizações, desenhos ou colagens, 
expressa o que lhe é significante, e estimula a sua criatividade. 
 
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A importância da representação espontânea: Faz parte do processo de aprendizagem 
e da construção do conhecimento. 
O ato de brincar é universal e observado não somente em seres humanos, mas em 
várias espécies. Constitui-se uma atividade fundamental para o desenvolvimento 
global da criança sendo uma prática comum nos tempos da infância, em que há um 
intenso investimento afetivo por parte desta. 
É por meio do brincar que a criança se desenvolve e se constitui como sujeito 
operante em seu meio. O brincar por si só é um modo de dizer; de falar; singular da 
criança. 
Os especialistas da área em questão e dentro da abordagem psicanalítica referem que 
o brincar proporciona o desenvolvimento considerado saudável à criança, pois, as 
situações de brincadeira promovem momentos interativos que permitem a criança 
explorar o mundo, os objetos, às pessoas que a cerca e assim, possibilita estruturar 
seu psiquismo. 
Por meio de jogos, de brincadeiras e no encontro com seus pares à criança se apropria 
de significados, hábitos, habilidades sociais e internaliza regras e valores 
fundamentais para o convívio em sociedade. 
Ressalta-se que antigamente, crianças e adultos participavam juntamente das 
brincadeiras com o objetivo de estreitar os laços afetivos. 
É importante destacar que educar é estimular as crianças a um mundo de 
descobertas. 
Conforme descreve a autora: 
 
Sugestões de Atividades: as atividades e jogos favorecem e muito diversos aspectos 
que se despertam nas crianças como: concretude; visualização; percepção e a 
compreensão necessária para o desenvolvimento das habilidades numéricas. 
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Abstrair:é extrair de um conteúdo o que ele tem de mais interessante. 
Concretude: concreto, sólido. 
Diversidade: é tudo que nos diferencia de algo ou de outro. 
Psicologia Cognitiva: processo de conhecer que inclui estados mentais, e processos 
como pensar. 
Percepção visual: no sentido da psicologia e das ciências cognitivas, é uma das várias 
formas de percepção associa das aos sentidos 
 
 
 
A matemática é uma linguagem, e o sistema de numeração decimal é a linguagem 
matemática usado no dia a dia. 
É uma linguagem: 
 
A história mostra que os homens primitivos não tinham necessidade de contar, 
nesta fase o que necessitavam era retirado da natureza. Tudo iniciou com o 
desenvolvimento das atividades do homem. O homem começou a plantar, produzir 
alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os 
mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que 
trouxe profundas modificações na vida humana. 
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A agricultura passou, então, a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano 
e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário. 
Outra forma que foi utilizada foi quando o pastor, para controlar o seu rebanho, fazia 
o seguinte: quando iniciava o dia e ele soltava seu rebanho era colocado uma pedra 
dentro de um saco de couro a cada animal que saia, e no final da tarde fazia o inverso, 
a cada animal que retornava era tirada uma pedra. Esse procedimento era uma 
correspondência de um a um. Se sobrasse alguma pedra dentro do saco de couro, 
significava a falta de algum animal, ou até mesmo se tinha aparecido algum animal 
desgarrado de outra propriedade já seria percebido. Daí o significado da palavra 
cálculo, que em latim é “calculus”, que significa pedrinha. A correspondência 
unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas era usado também nós em 
cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos 
de marcação. Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por 
expressões, gestos, palavras e símbolo. 
Construindo a Dezena: 
Uma das maneiras iniciais que a criança se manifesta em contato com a contagem é 
pelos dedos das mãos. Ao longo da história, os homens escolheram agrupar as 
quantidades de 10 em 10 exatamente em função da quantidade de dedos nas mãos. 
A primeira calculadora do mundo está em nosso corpo – as mãos. Usar os dedos é 
uma ótima estratégia para contar pequenas quantidades, e é assim que a criança tem 
contato com a construção da dezena. 
Utilizar “montinhos” é outra maneira prática de se ensinar a construção da dezena. 
Se a criança já percebeu que seus dedos das mãos formam uma dezena, fica mais fácil 
esse processo. 
Veja o exemplo figurativo: 
 
Portanto: 
 
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20 + 2, ou simplesmente 22. 
Esse exemplo deve ser repetido inúmeras vezes com as crianças, assim aos poucos 
ela irá percebendo que está construindo o significado do valor posicional, e começa 
a associar a numeração escrita com a contagem oral que já fazia. 
Das pedras ao zero – a coluna vazia do ábaco: 
Antes dos algarismos, inúmeros instrumentos de contar foram criados, entre eles o 
ábaco. O ábaco tem algumas variações, como varetas onde eram colocados seixos 
furados. A função básica do ábaco é uma contagem posicional, dependendo do lugar 
ocupado a pedra representava um valor diferente. 
Veja um modelo: 
 
No ábaco do sistema de numeração decimal, uma pedra vale 1 na coluna das 
unidades, 10 na coluna das dezenas, 100 na coluna das centenas, e assim por diante. 
Comparando os exemplos figurativos, para as crianças fica mais fácil identificar a 
quantidade quando visualizam os “montinhos”, no sistema ábaco, somente por 
volta dos nove anos, às crianças já são capazes de lidar com aspectos simbólicos com 
mais clareza. 
A construção da Centena e a construção da unidade de milhar: 
Para a construção da centena e do milhar, a criança poderá se desenvolver aplicando 
as mesmas técnicas iniciais, dos “montinhos”. Para o educador, o jogo entra nessa 
fase como uma ferramenta importante para esse desenvolvimento. 
Um ponto interessante que a história mostra foi o surgimento do zero, no ábaco a 
representatividade, por exemplo, do número 203, seria, colocar duas pedras na 
coluna da centena e três pedras na coluna da unidade, ficando a coluna da dezena 
vazia. No entanto, seria incapaz de escrever esse número como é conhecido hoje, pois 
não existia ainda o zero. 
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A coluna vazia do ábaco era chamada pelos indianos de “sunya”, que representa a 
ideia de vazio. Os indianos imaginaram que poderiam utilizar os nove algarismos da 
numeração arcaica de seu país e representar essa ideia vazia por um ponto, e 
posteriormente foi representado por um pequeno círculo como a letra “0”. Por esse 
motivo que os algarismos conhecidos e utilizados são chamados indo-arábicos. 
 
 
Ábaco: é um antigo instrumento de cálculo. 
Agrupar: reunir em grupo, formar grupo. 
Contemporâneo: pessoa que vive ou viveu na mesma época. 
Seixos: fragmento de mineral ou de rocha. 
Valores posicionais: é o valor correspondente do algarismo na classe que ocupa. 
 
 
Materiais não estruturados são aqueles que a criança forma os grupos, assim ela 
visualiza as quantidades contidas neles, associa de forma significativa o registro do 
número e compreende o valor posicional de cada algarismo, podem ser utilizados os 
seguintes materiais: 
 
Material Dourado: O “Material Dourado” desperta no aluno a concentração, o 
interesse, além de desenvolver sua inteligência e imaginação criadora, pois a criança 
está sempre predisposta ao jogo. Além disso, permite o estabelecimento de relações 
de graduação e de proporções, e finalmente, ajuda a contar e a calcular. 
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O material dourado é confeccionado em madeira, é composto por: cubos, placas, 
barras e cubinhos. O cubo é formado por dez placas, a placa por dez barras e a barra 
por dez cubinhos. Este material é de grande importância na numeração e facilita a 
aprendizagem dos algoritmos da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão. 
O material dourado foi criado pela educadora italiana Maria Montessori e é usado 
pedagogicamente e estruturado em base 10. 
 
Orientações Gerais: 
• O cubinho menor representa a unidade. 
• A barra representa a dezena e é formada por dez cubinhos. 
• A placa representa a centena e é formada por dez barras. 
• O cubo representa mil unidades e é formado por dez placas. 
Quando começar a utilizar o material dourado: 
1º ano (antigo pré) – por volta dos 6 anos: A criança terá que compreender, concordar 
e aceitar que dez cubinhos valem o mesmo que uma barra. 
1º semestre do 2º ano – construção das ideias de unidades e dezenas. Utilize 
materiais não estruturados. 
2º semestre do 2º ano – apresentar o material dourado como uma possibilidade de 
representar as unidades e dezenas. 
“Não ensine; promova descobertas, acredite que as crianças são capazes, confie na 
curiosidade natural delas” Luiza Faraco Ramos 
Para a construção da centena inicie por materiais não estruturados e depois o 
material dourado. O importante é a criança estabelecer relações entreuma centena 
de palitos amarrados de dez em dez e a placa de material dourado. O mesmo 
procedimento para a construção da unidade de milhar. 
O uso de fichas simbólicas ou dinheiro como material para os cálculos: 
As fichas ou o dinheiro têm caráter simbólico, valem a quantidade indicada. Nestes 
casos, é considerado que são como uma forma de representação de uma quantidade. 
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A unidade deve ser representada por uma cor, a dezena por outra e assim por diante. 
As cores favorecem melhor visualização e a organização dos valores, elas devem ser 
as mesmas para todos os alunos. 
Pode construir as fichas simbólicas com EVA de fina espessura, ou até mesmo com 
cartolina, simbolicamente faça um tamanho que caiba em uma carteira, para dar 
sentido à criança de dinheiro. Essas fichas irão representar, respectivamente, a 
unidade, a dezena, a centena e a unidade de milhar. Elas podem ser utilizadas a partir 
do 4º ano. 
Brincando: faça com que as crianças façam a troca como no sistema de numeração 
decimal, ou seja: 
• 10 fichas de 1 são trocadas por 1 ficha de 10. 
• 10 fichas de 10 são trocadas por 1 ficha de 100. 
• 10 fichas de 100 são trocadas por 1 ficha de 1000. 
Faça diversas simulações para fixar essa ideia. 
A escrita de números com muitos dígitos: 
Para entender a escrita e a leitura de números com muitos dígitos o sistema de 
numeração decimal foi ganhando nomes e estruturas: 
 
Quando os números são escritos em tabelas, a compreensão pelas crianças fica mais 
fácil. Um modelo de organizar um número para a sua leitura: 
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Leitura do número: trezentos e vinte e quatro milhões, oitocentos e nove mil, 
quinhentos e sessenta e nove. 
Na leitura a criança deve observar que após a quantidade vem a classe em que está o 
número, somente na classe das unidades não há necessidade de acrescentar a 
palavra unidades. 
 
 
Proporcionalmente: que tem proporção, simétrico. 
Conceitual: formulação de uma ideia por palavras. 
Procedimento: modo de proceder, comportamento. 
Variação: que varia, que muda, que troca. 
Informal: o que ou aquilo que não é formal. 
 
 
Neste tema, a abordagem inicia-se com o questionamento: Quando as crianças 
começam a operar matematicamente? Para melhor entendimento tem que conhecer 
o processo de reversibilidade. 
 
 
 
Reversibilidade é a capacidade de ir e vir do pensamento, ou 
seja, partir de uma ação realizada e ser capaz de refazer os 
passos de volta ao início, desfazendo a ação. 
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As crianças entre cinco a seis anos ainda estão construindo o conceito de número e 
encontram-se no processo de atingir a conservação da quantidade. Sendo assim, no 
primeiro semestre a ênfase em numeração, deve ser o foco, na identificação das 
quantidades e na sua relação com a escrita numérica. 
Quando estiverem com seis anos completos, a partir do segundo semestre, é possível 
iniciar o trabalho com situações históricas matemáticas – os chamados “Problemas”. 
Nesta fase, a criança ainda está com dúvidas, iniciando sempre a contagem de 
determinada situação. Uma criança de cinco anos que não faz ainda a adição, mas 
conta os elementos de 1 em 1, desde o início. Uma criança irá fazer uma adição 
quando ela acrescentar na quantidade inicial os elementos inseridos sem que para 
isso seja necessário contar desde o início. 
Sempre que uma criança voltar a contar desde o primeiro elemento estará fazendo 
uma contagem e não uma adição. 
O mesmo procedimento se faz na subtração, quando uma criança contar os 
elementos ela não estará fazendo a operação de subtração, mas também uma 
contagem, só será uma operação de subtração quando ela for capaz de imaginar que, 
se tinha 9 balas e comeu 3, ficou com 6, sem que precise voltar e contar uma a uma 
as balas que têm. 
Você verá agora o processo de transformação reversível. Entende-se por 
pensamento reverso o tipo de pensamento que está envolvido nos processos em que 
se parte de uma situação A para chegar à B e, depois, se parte da situação B para voltar 
à situação A. São exemplos as ações de fazer e desfazer, construir e desconstruir e 
assim por diante. 
No caso específico da Matemática, utiliza-se o pensamento reverso nas operações 
inversas, por exemplo, somar e subtrair, multiplicar e dividir. A ideia de 
reversibilidade, como sendo a possibilidade de executar determinada ação em 
sentido contrário ao da ação original. 
Na construção do conhecimento matemático, desde a fase das operações concretas, 
as noções de fazer e desfazer caminham juntas: para cada operação matemática, 
define-se a operação inversa, por meio de uma adequada ampliação do universo no 
qual se trabalha. 
A palavra problema remete a dificuldades e obstáculos, está carregada de emoções e 
impressões negativas, bem como está distante de significar algo simples e fácil. A 
criança chega à escola repleta desses aspectos sobre a definição da palavra problema. 
É necessário desenvolver na criança a percepção de detectar o que é um problema e 
o que é uma situação. 
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O importante é que as crianças compreendam que o que as pessoas chamam de 
problemas matemáticos são situações do dia a dia que envolvem quantidades ou 
medidas para as quais é necessário encontrar uma solução. 
 
É de mais ou de menos? 
As crianças aprendem e compreendem a ideia de adição quando vivenciam 
situações, nas quais quantidades são acrescentadas a outras; aprendem a subtrair 
quando vivenciam situações nas quais retiram quantidades de outras; aprendem a 
multiplicar quando têm os pacotes com a mesma quantidade de doces e aprendem a 
dividir quando fazem distribuição de palitos em caixas. 
As atividades de contagem possibilitam à criança a percepção e a vivência da ação de 
somar. Quando constrói conceitos numéricos ao realizar contagens, a adição é parte 
dessa construção, porque, na sequência numérica, um número é resultado da adição 
de 1 ao que lhe antecede. Percebe, também, que o valor numérico de um grupo 
aumenta ao ser adicionado. 
Ao fazer uma contagem regressiva, observa que as quantidades diminuem de 1 em 
1. Se, após 6, a criança diz 5, esse número é o mesmo que 6 menos 1. 
Esses pensamentos carregam a origem conceitual das operações de adição e 
subtração. No entanto, as crianças têm muito que aprender e compreender sobre 
estas duas operações. 
O verbo “aprender” aqui empregado não significa saber usar números, sinais ou, 
mesmo, o algoritmo para fazer a conta. 
O “aprender” envolve o “entender” que se refere à compreensão conceitual básica 
dessas operações. 
Nas situações do cotidiano, a criança desde muito pequena vai criando meios de 
resolver problemas com os quais se defronta. A maioria envolve estruturas aditivas 
ou subtrativas e ela consegue solucioná-las utilizando os recursos de que dispõe. 
Outras vezes, a resolução de um problema se ocorre por meio do olhar concreto, mas 
já abrange alguma abstração. Por exemplo: mediante a situação – há 5 balas na caixa 
e Júlia coloca lá mais 4 balas –, a criança pode usar fichas ou outro material no lugar 
das balas e encontrar a solução. Nesse caso, ela imagina que as fichas são as balas e 
isso não faz diferença. Daí, passa a utilizar variados objetos em substituiçãoa outros, 
o que já é um tipo de representação. 
A atividade espontânea da criança ao resolver situações-problema e a sua motivação 
e envolvimento nessa tarefa levam a constatar que esse é o melhor caminho para 
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trabalhar os conceitos de adição e subtração. Não há como separar essas operações 
de contextos que lhes são próprios, pois a compreensão conceitual está condicionada 
à compreensão dos contextos (situações-problema) em que estão inseridas. 
Portanto, uma das maiores preocupações dos professores das classes do Ciclo Inicial 
de Alfabetização parece ser a de propiciar aos seus alunos situações favoráveis à 
construção conceitual das quatro operações básicas. Essa construção leva a inverter 
a postura do professor tradicional, pois, primeiro, deve-se focalizar os significados 
das operações; depois, o ensino do algoritmo. Mais uma vez, fica reforçada a 
afirmativa de que a compreensão deve preceder à simbolização. 
A construção dos conceitos operatórios de adição e subtração passa pela 
compreensão dos contextos em que aparecem, pois a ação inserida nesses contextos 
é que determina a operação envolvida. 
Operação é, portanto, ação; em cada uma das operações essa ação tem vários 
significados. 
A adição envolve ações de reunir e de acrescentar. Num contexto em que se reúnem 
grupos de objetos, animais, pessoas, entre outros, por exemplo, num aquário em que 
há peixinhos azuis e vermelhos, diz-se que o significado da adição, nessa situação, é 
de reunir. Assim, a ação é menos dinâmica. O mesmo acontece quando se refere aos 
alunos de uma classe afirmando que são 16 meninos e 18 meninas, perfazendo um 
total de 34 crianças. O contexto já está formado, as partes estão reunidas e o total é 
obtido considerando-se estas partes. A ação de reunir está ligada à ideia de combinar 
dois grupos para obter um terceiro e é comumente identificada como ação de 
“juntar”. 
Quando a situação é dinâmica e requer somar um grupo a outro, diz-se que a ação é 
de acrescentar. As situações que encerram esse significado estão ligadas à ideia de 
transformação, ou seja, alteração de um estado inicial. 
Quando há um grupo e outro se junta a ele, afirma-se que, por exemplo, “há 3 
crianças jogando e chegam mais 5 para entrar no jogo”; a ação é mais concreta do que 
no primeiro caso, por isso as crianças menores entendem melhor o adicionar com 
significado de acrescentar. 
Os significados da subtração têm suporte nas ações de tirar, comparar e 
complementar. A ação de tirar é bem dinâmica e compreende o ato de, a partir de um 
grupo, tirar outro contido nesse e de verificar o que sobra. O resultado é o resto. As 
situações envolvendo ação de tirar são mais frequentes na vida da criança e, por isso, 
ela tem mais facilidade de solucioná-las. 
 
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Conceito de Problema: um problema é uma determinada questão ou um 
determinado assunto que requer uma solução. 
Reversível: que pode voltar atrás, que se pode reverter. 
Desconstruir: desfazer, destruir. 
Heurísticos: método pedagógico que leva o aluno a aprender por si mesmo a verdade 
que se lhe quer ensinar. 
Perímetro: em matemática é a soma de todos os lados de um polígono. 
 
 
No tema anterior, você viu que uma operação matemática é uma transformação que 
pode ser desfeita. 
Lembre-se sempre destas palavras e seu significado: 
 
 
 
Sem ação não acontece uma transformação; e, da mesma forma, sem ação não ocorre 
operação. Agora, você verá o conceito de ações de somar ou ideias de adição. São 
vários os conceitos que as crianças começam a assimilar, como as palavras: juntar, 
tirar, ganhar, perder e comparar, esses verbos relacionados à adição e a subtração 
envolvem as duas operações básicas para a realização de contas “de mais” ou “de 
menos”. 
A autora demonstra neste tema alguns exemplos que devem ficar claros para as 
crianças, as ações de acrescentar e ações de reunir: 
 
OPERAÇÃO = Operar + ação TRANSFORMAÇÃO = Transformar + ação 
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Ações de acrescentar 
Em uma piscina, havia 13 boias e outras 5 foram jogadas nela. Quantas boias existem 
na piscina? 
 
Mário tinha 12 carrinhos e ganhou 7 de sua tia. Com quantos carrinhos ele ficou? 
 
Estes dois exemplos demonstram a ação de acrescentar que a criança deve observar. 
Ações de reunir 
Em uma garagem, há 45 carros e 30 motos. Qual o total de veículos? 
 
Em uma bandeja estão 12 brigadeiros e 24 cocadas. Ao todo, quantos doces estão na 
bandeja? 
 
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Observe que essas duas ações acabam sendo totalmente diferentes e que são 
resolvidas pela ação de adição: acrescentar e reunir. 
A adição 
• Ideia de juntar: Marcos tem 8 bolinhas e João tem 5. Quantas bolinhas os dois 
têm juntos? 
• Ideia de acrescentar: Marcos tinha 8 bolinhas e ganhou mais 5 de sua tia. Com 
quantas bolinhas ficou? 
Em geral, pensa-se que primeiro a criança deve aprender a contar e escrever os 
números para que depois aprenda as operações, mas quando se observa a maneira 
de representar os números vê-se presente a adição. 
As ideias da adição estão presentes mesmo no nome dos números (12 = doze) – na 
formação da sequência numérica usada na contagem observa-se a ideia de somar a 
unidade: 1, 1+1=2; 2+1=3; 3+1=4; ... 
É possível perceber e compreender que as ações de acrescentar e reunir, mesmo 
sendo ambas aditivas, constituem ações diferentes e exigem da criança diferentes 
competências e habilidades. 
Ações de subtrair ou ideias de subtração 
A ideia de tirar, separar ou decompor, é aquela que as crianças identificam mais 
facilmente com a subtração. No entanto, a ideia de tirar não é a única associada à 
subtração. 
As ideias de completar e de comparar também estão presentes na subtração. 
Esses três tipos que devem ser trabalhados correspondem à subtração. 
• Ideia subtrativa (tirar): Marcelo tinha 8 figurinhas e perdeu 5 no jogo. 
• Ideia aditiva (completar): Marcelo já leu 20 das 80 páginas do livro. Quantas 
ainda precisa ler? 
• Ideia comparativa (comparar): Marcelo tem 12 anos e Pedro tem 9 anos. 
Quantos anos Marcelo tem a mais que Pedro? 
Veja alguns exemplos que a autora cita em seu livro: 
Ações de retirar 
No parque havia 29 crianças e saíram 17. Quantas crianças ficaram no parque? 
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Observando as ações de retirar, existe um todo do qual retiro uma parte e que a parte 
que permanece fica menor. Nas situações de retirar, a ação é explícita, o verbo 
declara a ação; a ação de retirar constitui o inverso da ação de acrescentar. 
Ações de completar 
No meu álbum, cabem 50 figurinhas e já colei 35. Quantas figurinhas ainda devo 
colar para que ele fique completo? 
 
Nesta ação de completar, observe que há um todo que inclui as partes consideradas, 
ou há um todo que pode ser completado, o verbo não é explícito. A ação de completar 
é o inverso da ação de reunir, ambas lidam com ideias inclusivas. 
Ação de comparar 
Nas ações de comparar ou achar a diferença, observe que há dois todos, dois 
universos a considerar – devem ser feitosos questionamentos: “quantos a mais” ou 
“quantos a menos”. 
Exemplos: 
João tem 6 figurinhas e Maria tem 4. Quantas figurinhas Maria tem a menos que 
João? 
A fila A tem 9 alunos e a fila B tem 6 alunos. Qual a diferença de idade entre as filas? 
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Combinação de medidas: junção de conjuntos de quantidades pré-estabelecidas. 
Comparação: confronto de duas quantidades para achar a diferença. 
Composição de transformações: alterações sucessivas do estado inicial. 
Percepção: consiste na aquisição, interpretação, seleção e organização das 
informações obtidas pelos sentidos. 
Transformação: alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva ou 
negativa que interfere no resultado final. 
 
 
 
O domínio das operações de adição e subtração não é pré-requisito para 
compreender as propriedades do campo multiplicativo que deve ser trabalhado 
desde o primeiro ano. 
 
Os conceitos ligados à multiplicação, como os de adição, são fundamentais para o 
desenvolvimento de muitos outros conceitos aritméticos. Caso não domine o 
conceito da operação, a criança conseguirá, no máximo, memorizar os fatos básicos 
e realizar de forma mecânica o algoritmo posteriormente. 
 
A dificuldade nesta memorização será muito grande e a insegurança ficará clara 
diante de um problema: quando ela não for capaz de se decidir sobre qual operação 
realizar. 
 
Da mesma forma, os conceitos relacionados com a divisão de números naturais 
desempenharão um papel decisivo nas aprendizagens de outros tópicos da 
Matemática, como os conceitos de números fracionários e decimais. 
 
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Atividades que levam à formação de um conceito devem ser baseadas em 
experiências concretas, nas quais os alunos terão oportunidade de construir e, com 
o tempo, aperfeiçoar e transferir tais conceitos. 
 
A professora ou o professor deve proporcionar à criança múltiplas oportunidades de 
trabalho com material concreto para que ela chegue à representação de seus fatos 
básicos, compreendendo o significado da operação. 
 
Veja alguns objetivos básicos que se deve alcançar para a compreensão da 
multiplicação: 
• Desenvolver o sentido da multiplicação a partir de problemas simples e 
significativos, com números acessíveis. 
• Introduzir a escrita da multiplicação com significado a partir da relação 
entre a multiplicação e a adição. 
• Resolver problemas de multiplicação antes da aprendizagem formal do 
algoritmo da multiplicação. 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de adição quando os 
números são repetidos. 
 
Veja como funciona: 
 
 
Para multiplicar um número por outro, é fácil! É só SOMAR o número escolhido 
quantas vezes desejar. 
 
Veja o exemplo: 
Duas vezes três, escreve-se em matemática: 2 x 3 
O resultado é 6 porque duas vezes três é 3 + 3 = 6 
Repete-se o número três duas vezes, somando: 2 x 3 = 6 porque 3 + 3 = 6 
Podem-se multiplicar todos os números naturais. Vamos recordar os números 
naturais: 
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N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,...} 
Assim, cada número natural pode ser repetido por muitas vezes. 
Ao repetir o mesmo número por duas, três ou mais vezes, multiplica-se o número 
natural N. 
 
 
 
 
A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de parcelas iguais: 
Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 x 2 (três parcelas iguais a 2) que resulta 6. 
A multiplicação tem o sentido de crescer, expandir, multiplicar-se. Quando se 
multiplica um número pelo outro, aumenta-se seu tamanho, a quantidade que ele 
representa. Na matemática para representar a multiplicação, usa-se dois símbolos: 
x ou . (7 x 2 ou 7. 2). 
 
Multiplicação combinatória 
A Análise Combinatória é um conteúdo matemático que apresenta grande 
dificuldade em relação à formulação e, principalmente, interpretação dos seus 
enunciados. É um ramo da Matemática que permite que se escolha, arrume e conte o 
número de elementos de determinado conjunto, sem que haja necessidade de 
enumerá-los. 
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Cada um desses problemas é um desafio para os alunos, pois exige flexibilidade de 
pensamento: é necessário parar, concentrar, discutir e pensar para poder resolvê-
los. As operações combinatórias são essenciais para o desenvolvimento cognitivo, 
por isso seria de extrema importância que o aluno tivesse contato com esse tópico 
desde os primeiros anos da escola básica, para familiarizar-se com problemas de 
contagem, descrevendo os casos possíveis e contando-os através de uma 
representação por ele escolhida, sem regras em princípio, de modo que ele adquirisse 
um método sistemático e gradativo para a resolução dos problemas, visando uma 
posterior formalização no ensino médio. 
Com o princípio fundamental da contagem, pode-se apresentar ferramentas básicas 
que permitem determinar o número de elementos de conjuntos formados de acordo 
com certas regras, sem que seja necessário enumerar seus elementos. 
A primeira técnica matemática aprendida por uma criança é “contar”, ou seja, 
enumerar elementos de um conjunto de forma a determinar quantos são os seus 
elementos. 
As operações aritméticas são aprendidas pelas crianças por meio da aplicação de 
problemas de contagem, sem que muitas vezes elas percebam isso. 
Por exemplo, a operação de adição é em geral introduzida conjuntamente com um 
problema de contagem, como se pode ver na figura: 
 
Nesse exemplo, ocorreu somente o somatório das figuras, não importando a sua 
imagem, a criança estará entendendo que tem no somatório geral, quatro sorrisos e 
três corações, ou seja, sete figuras. 
Na multiplicação combinatória, a criança já desenvolve outro raciocínio, veja no 
exemplo: 
Em uma lanchonete, são vendidos apenas sanduíches de queijo, presunto e 
mortadela com pão de forma ou de batata. 
Uma pessoa que deseja consumir um desses sanduíches, de quantas opções 
diferentes dispõe? 
 
 
 
 
 
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Veja a esquema da solução desse problema de acordo com a figura a seguir: 
 
 
 
Nota-se claramente que para cada tipo de pão há três tipos de recheio. Assim, por 
observação, vê-se que o total de casos possíveis será dado pela multiplicação entre o 
total de escolhas para o tipo de pão e o total de escolhas para o recheio utilizado. 
 
Portanto, existem 6 possibilidades de sanduíche. 
 
Configuração retangular ou multiplicação em linhas e colunas 
 
Nessa fase, devem-se alcançar os seguintes objetivos: 
• Reconhecer situações de multiplicação a partir da adição de parcelas 
iguais. 
• Trabalhar a multiplicação antes da aprendizagem formal do algoritmo. 
• Trabalhar o sentido aditivo proporcional da multiplicação e a utilização de 
tabelas. 
• Reconhecer situações de multiplicação partindo de disposição retangular 
de objetos. 
• Utilizar diferentes estratégias de contagem usando a multiplicação. 
Veja exemplo: 
 
Nesse exemplo, há 5 fileiras e em cada uma, 3 carteiras. 
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Ou seja: 
5 fileiras x 3 carteiras = 15 lugares ou 
3 carteiras x 5 fileiras = 15 lugares 
 
Ações de dividir 
A divisão é a operação aritmética que permite identificar quantas vezes um número, 
chamado divisor, está contido em outro número chamado dividendo. 
Por exemplo, pela divisão de 12 por 4, identifica-se que o 4 está contido 3 vezes no 
número 12, ou seja, 12 é igual a 4+ 4 + 4. 
Utiliza-se os símbolos ÷ ou : como o operador da operação de divisão. Assim sendo, 
pode-se expressar a divisão de 12 por 4 como 12 ÷ 4 ou como 12 : 4. 
 
 
A divisão de 12 por 4 dá exatamente 3, pois não sobra nada, o resto da divisão é zero, 
por isto a divisão é exata. A divisão de 13 por 4 também dá 3, mas desta vez a divisão 
não é exata, pois há um resto de 1, ou seja, 13 é igual a 4 + 4 + 4 + 1. 
A Divisão é realizada separando-se blocos de algarismos no dividendo, da esquerda 
para direita, até formar um número que seja igual ou maior que o divisor. Nesse 
ponto, divide-se este dividendo parcial pelo divisor e o resultado, que irá possuir 
apenas um dígito, será colocado no quociente da divisão, abaixo da chave. 
Multiplica-se então este algarismo 
do quociente pelo divisor e se subtrai este produto do dividendo parcial, colocando 
o resto abaixo do mesmo. 
Baixam-se um a um os próximos algarismos do dividendo que ainda não foram 
utilizados, até que juntos com o resto do passo anterior formem um número que seja 
maior ou igual ao divisor. Cada vez que se baixa um número e não se consegue obter 
um dividendo parcial maior ou igual ao divisor, deve-se colocar um zero à direita do 
quociente. Divide-se este dividendo parcial pelo divisor e o dígito resultante será 
novamente colocado no quociente da divisão, à direita do dígito colocado 
anteriormente. 
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Novamente, multiplica-se este algarismo do quociente pelo divisor e subtraímos 
este produto do dividendo parcial, colocando o resto abaixo do próprio dividendo 
parcial. A partir daí, continua-se com este procedimento até que se tenha realizado 
a divisão tendo baixado todos os dígitos do dividendo. 
Divisão 
Revendo o conceito de divisão – repartir igualmente. 
Ideias que traduzem a divisão: 
• Ideia de distribuir. Exemplo: Quero repartir minhas 32 figurinhas repetidas 
com meus dois irmãos. Quantas figurinhas cada um receberá? 
• Ideia de formar grupos. Exemplo: Tenho 18 figurinhas para colar em meu 
álbum. Se em cada página posso colar 4 figurinhas, quantas páginas irei 
completar? 
O trabalho com materiais concretos: 
A divisão com as barrinhas Cuisenaire: 
Dividir 8 em 4 partes: 
 
A divisão com o material dourado: 334 : 2 = 167 
 
 
 
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Algoritmo da divisão 
 
Não se deve iniciar o trabalho ensinando uma técnica que a criança não terá 
condições de compreender, o caminho será o de fazer divisões por estimativas, pelo 
processo longo para finalmente chegar ao processo breve. 
 
Divisão por estimativa: iniciar esse processo através de material concreto. Nesse 
processo, distribui-se igualmente de forma aleatória, sem um critério previamente 
estabelecido. 
 
Exemplo: distribuir 450 moedas de R$1,00 para 18 pessoas. 
Pode-se começar dando 10 moedas para cada um, portanto se utiliza 180 moedas. 
Fica-se ainda com 270 moedas. 
Distribui-se novamente 10 moedas para cada criança, então se utiliza mais 180 
moedas. Como ainda havia 270, restando agora com 90. 
Novamente, distribui-se, desta vez, 2 moedas para cada um, após a distribuição 
restará 54. Desta vez, oferecem-se três para cada um e termina-se com as moedas 
que tinha. Portanto, cada um recebe: 10 + 10 + 2 + 3 = 25. 
 
Processo longo: a subtração para se encontrar o que resta é realizada no papel. 
Processo breve: a subtração é realizada mentalmente. 
As tabelas de multiplicação: Tabuadas 
A tabuada é uma forma de facilitar a memorização dos resultados das multiplicações 
de unidades. O fato de sabê-la de cor facilita na hora de resolver uma conta de 
multiplicar e em diversas situações do cotidiano, porém, o importante não é decorá-
la, mas para entender como ela funciona. Um grande estudioso chamado Pitágoras, 
para facilitar aos seus alunos o entendimento da multiplicação, criou uma forma 
diferente de mostrar o assunto: 
 
 
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A tabela ajuda a entender como funciona a multiplicação. Se quer saber o resultado 
da multiplicação de sete vezes o número dois, faz-se assim: 
1. Escolhe-se o número sete na tabela, na vertical e riscamos uma linha. 
2. Escolhe-se o número dois na tabela, na horizontal e riscamos outra linha. 
3. Onde as duas linhas se encontram, é o resultado da multiplicação do número 
sete pelo número dois. 
 
 
 
Algoritmo: um algoritmo nada mais é do que uma receita que mostra passo a passo 
os procedimentos necessários para a resolução de uma tarefa. 
Concepção: ação pela qual um ser é concebido, gerado. 
Cuisenaire: o material Cuisenaire é constituído por uma série de barras de madeira, 
sem divisão em unidades e com tamanhos variando de uma até dez unidades. Cada 
tamanho corresponde a uma cor específica. 
Cumulativa: amontoar, juntar, reunir. 
Decompor: separar os elementos ou partes constitutivas de. 
 
 
A escrita dos cálculos 
Os aspectos fundamentais para a realização e o registro dos cálculos são o 
conhecimento da estrutura lógica do Sistema de Numeração Decimal e o significado 
das operações. 
A estrutura do Sistema de Numeração Decimal 
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O contato com números (telefone, preços, entre outros) não garante a compreensão 
do conceito de número que dirá do SND. 
Os princípios básicos do Sistema de Numeração Decimal: A base decimal; a notação 
posicional e um signo para cada um dos dez primeiros números. 
Desde cedo, a criança utiliza os dedos da mão para contar, assim contam de dez em 
dez. Na escola, deve ser estimulada a criar estratégias pessoais para decodificar o 
sistema. 
O Estímulo a Criação de Estratégias Pessoais 
As estratégias pessoais possibilitam a vivência de conflitos que permitem aos alunos 
ajustar e revisar suas concepções. 
Exemplo: pedir a cada criança que pensem em um número muito alto e escrevam-no 
e depois que comparem os números escritos. 
Testando o conhecimento dos alunos 
Supondo que os números escritos sejam: 100; 98; 10005; 10050; 987; 789. 
Comparando o 98 e 100, peça para que a criança diga qual é o maior. Se ela responder 
que é 100, pois quanto maior a quantidade de algarismos de um número, maior é o 
número, contra-argumentar: 
• Mas se eu comparar 100 e 98, o 98 é maior, porque 9 + 8 é mais que 1 + 0 + 
0 – discutir o porquê. 
• A partir do conflito estabelecido, conduzir a discussão para um consenso. 
A posição dos algarismos como critério de comparação 
E se os números tiverem a mesma quantidade de algarismos como o 789 e o 987? 
Quem é o maior? Se a criança responder que o primeiro é quem manda, contra-
argumentar: 
• Mas não são iguais? Eles têm os mesmos algarismos. 
A partir da discussão entre as crianças, conduzir a discussão para a aceitação das 
regras já estabelecidas. 
E dos números 10005 e 10050, qual é o maior? Se disserem que é o 10005 porque 
1000 é maiorque 100, pedir para que escrevam apenas os dois últimos algarismos 
de cada número – 05 e 50. Como já foi discutido que o primeiro é quem manda, pode-
se auxiliar a criança a concluir que 10005 é menor que 10050. 
Ditado de números 
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Sugestão (Fonte: Nova escola – Edição especial – Matemática): ditar o número 134 
para as crianças. Possíveis formas de escrita, além da correta: 100304; 10034. A 
intervenção do professor deve ser no sentido de que percebam que essas notações 
possuem mais algarismos que o 100 e o 200, o que mostra o erro. 
Números especiais 
As crianças manipulam, primeiro, as dezenas, as centenas, as unidades de mil e, 
depois, a escrita dos números que se posicionam nos intervalos entre eles. Pedir que 
a criança escreva 100 e 200 – possibilidades de escrita: 100 e 102. Como buscar a 
diferenciação em 102 e 200? 
Elaborar situações que mostrem que a variação do 100 para o 200 ocorre na escrita 
do primeiro algarismo. 
Outros meios para a compreensão do SND 
Ainda devem ser oferecidas situações-problema com: 
• Materiais não estruturados: as gavetas, os palitos, as tampinhas entre 
outros. 
• Material Dourado: representando a unidade (cubinhos), dezenas 
(barrinhas), placas (centenas), Unidade milhar (cubão). 
• Fichas simbólicas (dinheiro) em atividades de compra e venda 
(mercadinho) 
• O ábaco: da direita para a esquerda as hastes representam a unidade, a 
dezena, a centena, a unidade de milhar e assim por diante. 
 
O cálculo mental e as técnicas para o cálculo mental 
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Não confundir cálculo mental com “continhas de cabeça”. O cálculo mental refere-
se à possibilidade de encontrar a solução de uma operação independentemente de 
seu registro e utilizando-se técnicas de decomposição. 
Exemplo 1: na prateleira de uma loja havia 57 pirulitos. Coloquei outros 22. 
Descubra quantos são os pirulitos agora. 
• 57 + 22 = 50 +20 + 7 + 2 = 79 
Exemplo 2: com o total de R$65,00, pretende-se comprar algo que custa R$12,00. 
Quanto restará após a compra? 
• 60 – 10 = 50 
• 5 – 2 = 3 
• 65,00 – 12,00 = 53,00 
Exemplo 3: em uma vitrine, uma roupa está marcada com o seguinte preço: 4 x 
R$24,00. 
• 4 x 20 + 4 x 4 = 80 + 16 = 96 (Para esse cálculo foi utilizada a propriedade 
distributiva da multiplicação em relação à adição). 
Técnicas operatórias da adição 
Em uma lanchonete, havia 13 canudinhos. Coloquei outros 25. Quantos canudinhos 
há agora? 
• 13 + 25 =10+20+3+5. 
• 30 + 8 = 38. 
 
Fazendo trocas 
Duas crianças vão reunir suas figurinhas: João tem 36 figurinhas e Pedro, 28. 
Descubra quantas figurinhas eles têm juntos. 
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• 36+28 = 30+20+6+8 = 
• 50 + 10 + 4 = 64 
 
 
 
Decompor: separar os elementos ou partes constitutivas. 
Diversidade: é tudo o que se diferencia de algo ou de outro. 
Expandida: crescer, estender, incrementar. 
Reescrita: a reescrita é uma atividade de produção de texto. 
Valor relativo: o valor relativo de um número é o valor desse número consoante a 
casa decimal em que se encontra. 
 
 
Exemplo 1: Numa tarde de sol, estão na aula de natação 28 alunos, mas 12 
precisaram sair. Quantos permanecem na piscina? 
 
• 28 – 12 = 20 - 10 e 8 - 2 
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• 28 – 12 = 16 
 
Exemplo 2: Crie um enredo para: 32 – 16 = 
 
Organize formas para mostrar como explicar de forma concreta essa situação. 
Represente essa situação com o material dourado. 
 
 
 
Seguindo o mesmo raciocínio resolva, utilizando todas as formas que você conhece: 
• Em um grande aquário havia 453 peixes. No final de semana, foram doados 182 
peixes. Quantos peixes estão agora no aquário? 
• Uma pessoa utiliza um cartão de crédito que acumula pontos para serem 
trocados por brindes. Ela tem 2000 pontos e escolheu um brinde de 350 pontos. 
Com quantos pontos vai ficar? 
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A subtração envolve três ideias básicas: 
 
Subtrativa: ideia de retirar 
Havia 5 figurinhas num álbum e 2 foram perdidas. 
Com quantas figurinhas existem agora? 5 – 2 = 3 
 
Comparativa: ideia de comparar. 
Um menino tem 5 figurinhas e seu irmão tem 2. Quantas figurinhas o menino tem 
a mais que seu irmão? 5 – 2 = 3 
 
Aditiva: ideia de completar. 
Na página de meu álbum cabem 5 figurinhas. Já tenho 2. Quantas figurinhas faltam? 
5 – 2 = 3. 
Nas três situações a operação é a mesma, porém as ideias são diferentes. 
Exemplo: Ana tinha 34 figurinhas. Deu 28 figurinhas para sua irmã. Com quantas 
figurinhas Ana ficou? 
 
Subtração com recurso à ordem superior (“pegar emprestado”) 
 
1ª situação: 
 
 
 
2ª situação: Observe que o aluno é capaz de resolver a mesma operação sem 
emprestar 10 unidades: 
 
 
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Subtração usando o processo da compensação 
 
 
 
É comum os professores explicarem a subtração da seguinte forma: 
 
 
A ideia de tirar (separar ou decompor) é aquela que as crianças identificam mais 
facilmente com a subtração. No entanto, a ideia de tirar não é a única associada à 
subtração. As ideias de completar e de comparar precisam ser trabalhadas, pois ao 
que parece, não é tão imediato para a criança perceber que a subtração resolve 
problemas desse tipo. Esses três tipos que devem ser trabalhados, correspondem a: 
 
1º tipo: Quanto fica? 
2º tipo: Quanto há a mais quê? Ou, quanto há a menos quê? 
3º tipo: Quanto é preciso para? 
 
Veja os exemplos de cada uma destas três situações-problema: 
 
Problema que envolve o ato de retirar 
Quando Oswaldo abriu a papelaria pela manhã havia 56 cadernos na prateleira. 
Durante o dia vendeu 13. Ao fechar a loja, quantos cadernos havia na prateleira? 
 
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Ao resolver este problema pensa-se assim: dos 56 cadernos tira-se 13. Para saber 
quantos ficaram, faz-se uma subtração: 56 – 13 = 43. Havia 43 cadernos na 
prateleira. 
 
Problema que envolve comparação 
João pesa 36 quilos e Luís, 70 quilos. Quantos quilos Luís tem a mais que João? 
Essa pergunta envolve uma comparação: ao constatar que Luís é mais pesado que 
João, deseja-se saber quantos quilos a mais ele tem. 
Responda a pergunta efetuando uma subtração: 70 – 36 = 34. Luís tem 34 quilos a 
mais que João. 
 
Problema que envolve a ideia de completar 
O álbum completo terá 60 figurinhas. Já possuo 43. Quantas faltam? 
Para descobrir quantas figurinhas faltam para completar o álbum logo se pensa 
numa subtração: 60 – 43 = 17. Faltam 17 figurinhas 
Concluindo 
De acordo com Ramos (2009, p. 125), é importante afirmar: 
Na adição, não vai um para lugar nenhum. O que se faz são agrupamentos ou trocas, 
dependendo do material que se utiliza. 
Na subtração nenhum número empresta nada para nenhum outro, masse 
desmancha grupos quando se precisa ou se faz trocas dentro da mesma estrutura 
lógica de SND, que agrupa e reagrupa as quantidades de 10 em 10. 
 
Técnicas operatórias da multiplicação 
 
Relembrando os aspectos conceituais da multiplicação: 
- Abordar primeiramente a multiplicação como uma nova operação que pode ser 
aplicada quando as parcelas são iguais; contextualizar as situações-problema para 
que a criança tenha a possibilidade de vivenciar a operação realizada. 
Exemplo: Tenho quatro caixas de lápis de cor com 3 lápis cada uma. Quantos lápis eu 
possuo? 
 
- Ao trabalhar com a multiplicação também explorar as ideias de proporcionalidade, 
de configuração retangular e situações relacionadas à combinatória. 
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Exemplos: 
 
Ideias de proporcionalidade: Em cada pacote de figurinhas há 5 figurinhas, se eu 
comprar 3 pacotes quantas figurinhas terei? 
 
Configuração retangular: em uma bandeja, os doces foram colocados em 5 fileiras, 
cada uma com 7 docinhos. Quantos doces há na bandeja? 
 
Combinatória: tenho 4 saias (branca, preta, vermelha e azul) e 3 blusas (branca, 
verde e amarela). De quantas maneiras posso me vestir? 
 
Compreender, portanto, o conceito da multiplicação é ser capaz de aplicar a ideia 
para situações variadas e em diversos contextos. 
Esse trabalho deve ocorrer no 3º ano (EF de nove anos) quando a criança apenas 
multiplica unidades. Após, quando as crianças estiverem no 4º ano, deve-se iniciar 
o trabalho para a compreensão das técnicas operatórias. 
 
Técnicas operatórias 
 
- Várias vezes dez (cem e mil) – O objetivo é que as crianças percebam sozinhas que 
multiplicação por dez resulta no próprio número acrescido de um zero. 
Identicamente fazer várias vezes 100 e várias vezes mil. 
 
- Decomposição em fatores menores. Exemplo: 7 x 90 = 7 x 9 x 10 = 63 x 10 = 630 
 
- Multiplicação expandida. Exemplo: 23 x 5 = 20 x 5 + 3 x 5 = 100 + 15 = 115 
A técnica de multiplicação expandida permite que a criança não repita um processo 
de cálculo sem que haja a compreensão do mesmo. 
 
- O trabalho com dobro, triplo. 
Exemplo: Utilizar o material dourado para fazer o dobro de 123. 
 
- A multiplicação por dezenas - por meio de um registro longo. 
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É importante que a criança possa compreender o processo da multiplicação, o que é 
possível se ela for capaz de fazer a decomposição dos termos para realizar essa 
operação. 
Exemplo: 12 x 123 = 
 
O processo breve, que é o algoritmo que se utiliza deve ser a meta após a 
compreensão. 
Outras demonstrações 
A multiplicação envolve 4 ideias básicas: 
Adição de parcelas iguais: 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ⇒ 4 x 3 = 12 
Esta é a primeira ideia a ser explorada, pois por meio dela, a tabuada vai sendo 
construída. 
 
Raciocínio combinatório: Quantos trajes posso formar tendo 2 calças e 3 blusas 
diferentes? 
 
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Proporção: Uma blusa custa R$ 23,00. Qual o preço de 6 blusas iguais a essa? 
 
Exemplos: 
Maria comprou 25 caixas de bombons a R$ 12,00 cada uma. Quanto Maria gastou? 
 
 
 
 
 
 
 
Flexibilidade: qualidade do que é flexível. 
Proporcional: que tem proporção; que está em proporção; simétrico; regular. 
Matemática Relativo a uma proporção. 
Gradativo: em que há gradação; gradual. 
Coletivo: que compreende, abrange muitas pessoas ou muitas coisas, ou lhes diz 
respeito; que pertence a um conjunto de pessoas ou de coisas: corpo coletivo, opinião 
coletiva. 
 
 
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Técnicas operatórias da divisão 
Revendo o conceito de divisão – repartir igualmente. 
Ideias que traduzem a divisão: 
- Ideia de distribuir. Exemplo: Quero repartir minhas 32 figurinhas repetidas com 
meus dois irmãos. Quantas figurinhas cada um receberá? 
- Ideia de formar grupos. Exemplo: Tenho 18 figurinhas para colar em meu álbum. 
Se em cada página posso colar 4 figurinhas, quantas páginas irei completar? 
- O trabalho com materiais concretos: 
A divisão com as barrinhas Cuisenaire: 
Dividir 8 em 4 partes: 
 
 
A divisão com o material dourado – 334 : 2 = 167 
 
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Algoritmo da divisão 
Não se deve iniciar o trabalho ensinando uma técnica que a criança não terá 
condições de compreender, o caminho será o de fazer divisões por estimativas, pelo 
processo longo para finalmente chegar ao processo breve. 
- Divisão por estimativa: Iniciar esse processo por meio de material concreto. Nesse 
processo distribui-se igualmente de forma aleatória, sem um critério previamente 
estabelecido. 
Exemplo: distribuir 450 moedas de R$1,00 para 18 pessoas. 
Distribui-se 10 moedas para cada pessoa, utilizando180 moedas, restando, portanto, 
270 moedas. 
É distribuído novamente 10 moedas para cada pessoa, então, utiliza-se mais 180 
moedas. Como ainda havia 270, resta agora 90. 
Novamente é distribuído, mas desta vez 2 moedas para cada um, restando 54 
moedas. Desta vez, é dado três para cada um e termino com as moedas que tinha. 
Portanto, cada um recebeu: 10 + 10 + 2 + 3 = 25. 
Processo longo: a subtração para se encontrar o que resta é realizada no papel. 
Processo breve: a subtração é realizada mentalmente. 
Atividade: Dividir 3456 por 54 por meio de estimativa, processo longo e processo 
breve. 
Outros exemplos: 
A divisão está ligada a duas ideias básicas: repartir e medir 
Repartir: Há 50 metros de corda para dividir em 5 pedaços iguais. Qual será a medida 
de cada pedaço? 50 m : 5 
pedaços = 10 m. 
Medir: Há 50 metros de corda e para dividi-la em pedaços de 5 metros cada um. 
Quantos pedaços de corda serão obtidos? 
50 m : 5 m = 10 pedaços. 
 
Algoritmo escolar 
É preciso dividir 1 025 reais entre 5 pessoas. Quantos reais cada pessoa irá receber? 
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Por que 1 não dá para dividir por 5? 
É necessário imaginar um bloco que represente 1 unidade de milhar de cadernos. 
Quantos blocos iguais a esse, cada pessoa receberá? Nenhum, pois há somente um 
único bloco, resultando em zero unidade de milhar no quociente. 
• Transforma-se, então, 1 unidade de milhar em 10 centenas de cadernos e dividi-
se essa quantidade por 5 pessoas, obtendo 2 centenas de cadernos para cada 
pessoa. 
• Há agora 2 blocos menores que representam 2 dezenas de cadernos. Quantos 
blocos iguais a esse, cada pessoa receberá? Nenhum, pois há 2 blocos para dividir 
entre 5. Então, terá zero dezena de caderno no quociente. 
• Transforma-se, então, as 2 dezenas em unidades, juntando com 5 unidades e 
dividindo as 25 unidades de caderno por 5 pessoas, obtendo 5 unidades de 
caderno para cada pessoa. 
Estimativa 
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• Quantos reais podem ser dado a cada pessoa? 
Estimativa: 100 reais 
5 x100 reais = 500 reais → quantidade total de reais dada às pessoas 
1025 – 500 = 525 reais → quantidade de reais que sobrou 
• Quantos reais pode ser dado a cada pessoa? 
Estimativa: 100 reais 
5 x 100 reais = 500 reais → quantidade total de reais dada às pessoas 
525 – 500 = 25 reais → quantidade de reais que sobrou 
• Quantos reais pode ser dado a cada pessoa? 
Estimativa: 5 reais 
5 x 5 reais = 25 reais → quantidade total de reais dada às pessoas 
25 – 25 = 0 real → quantidade de reais que sobrou 
Cada pessoa ganhou 205 reais. 
 
Jogos que estimulam a agilidade em cálculos: 
Jogar é brincar. Vale a pena mostrar como os jogos são importantes no processo de 
ensino-aprendizagem, faz-se necessário uma breve reflexão sobre o que são os jogos 
e como eles afetam o desenvolvimento das crianças. 
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Segundo Bittencour & Giraffa (2003), o jogo se define como um processo 
intrinsecamente competitivo, em que coexistem as possibilidades de vitória e 
derrota. Esse sentido de competição deve ser explorado positivamente. Conforme os 
autores afirmam, “os jogos educacionais são exemplos de ambientes de resolução de 
problemas que podem ser projetados e explorados com uma abordagem 
construtivista.” 
Os mesmos autores ainda acrescentam que as regras do jogo não precisam ser 
expressas ao usuário em um primeiro momento, podendo ser oferecidas à medida 
que o jogador vai avançando na sequência do jogo, ou até mesmo como prêmio para 
as tarefas concluídas, ao invés de se utilizar o sistema de simples ganho de 
pontuação. 
 
Exemplos de Jogos: 
Nunca 10: 
Objetivos: 
- Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal explorando situações-
problema que envolva contagem. 
- Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos, no Sistema de 
Numeração Decimal. 
Material: 
Ábaco de pinos – 1 por aluno. 
2 dados por grupo. 
Metodologia: 
Os alunos divididos em grupos deverão, cada um na sua vez, pegar os dois dados e 
jogá-los, conferindo o valor obtido. 
Este valor deverá ser representado no ábaco. Para representá-lo, deverão ser 
colocadas argolas correspondentes ao 
valor obtido no primeiro pino da direita para a esquerda (que representa as 
unidades). Após todos os alunos terem jogado os dados uma vez, deverão jogar os 
dados novamente, cada um na sua vez. 
Quando forem acumuladas 10 argolas (pontos) no pino da unidade, o jogador deve 
retirar as 10 argolas e trocá-las por 1 argola que será colocada no pino seguinte, 
representando 10 unidades ou 1 dezena. Nas rodadas seguintes, os jogadores 
continuam marcando os pontos, colocando argolas no primeiro pino da esquerda 
para a direita (casa das unidades), até que sejam acumuladas 10 argolas que devem 
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Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 49 de 52 
ser trocadas por uma argola que será colocada no pino imediatamente posterior, o 
pino das dezenas. 
Vencerá quem colocar a primeira peça no terceiro pino, que representa as centenas. 
Com essa atividade inicial, é possível chamar a atenção dos alunos para o fato do 
agrupamento dos valores, e que a mesma peça tem valor diferente de acordo com o 
pino que estiver ocupando. 
Possivelmente seja necessário realizar essa atividade mais de uma vez. É importante 
que os alunos possam registrá-la em seus cadernos, observando as estratégias e os 
pontos obtidos por cada um dos jogadores. 
TANGRAN 
 
O tangram é um quebra-cabeça chinês, de origem milenar. Ao contrário de outros 
quebra-cabeças ele é formado por apenas sete peças com as quais é possível criar e 
montar cerca de 1700 figuras entre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, 
números, figuras geométricas e outros. As regras desse jogo consistem em usar as 
sete peças em qualquer montagem colocando-as lado a lado sem sobreposição. 
Com o uso do tangram você pode trabalhar a identificação, comparação, descrição, 
classificação e desenho de formas geométricas planas, visualização e representação 
de figuras planas, exploração de transformações geométricas pela decomposição e 
composição de figuras, compreensão das propriedades das figuras geométricas 
planas, representação e resolução de problemas usando modelos geométricos. Esse 
trabalho permite o desenvolvimento de algumas habilidades tais como a 
visualização, percepção espacial, análise, desenho, escrita e construção. Se utilizado 
em terceiras e quartas séries pode envolver ainda noções de área e frações. 
Esse quebra-cabeça tem sido utilizado como material didático nas aulas de Artes e 
está cada vez mais presente nas de Matemática. O trabalho com o tangram deve, em 
suas atividades iniciais, visar a exploração das peças e a identificação das suas 
formas. Logo depois, se passa à sobreposição e construção de figuras dadas a partir 
de uma silhueta, nesse caso, cabe ao aluno reconhecer e interpretar o que se pede, 
analisar as possibilidades e tentar a construção. Durante todo esse processo, a 
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criança precisa analisar as propriedades das peças do tangram e da figura que se quer 
construir, se detendo ora no todo de cada figura, ora nas partes. 
 
 
 
Descritiva: que descreve; que serve para descrever; relativo a descrições. 
Estimativa: cálculo aproximado, avaliação; conjectura. 
Lúdico: que faz referência a jogo ou brinquedos: brincadeiras lúdicas. 
Planificado: que obedece a uma planificação; planejado. 
Polinômios: matemática; soma algébrica de monômios. 
 
 
 
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Didática do Ensino da Matemática - 20 
Exercícios dos temas 1 a 4 
 
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Questões de prova 
 
 
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GONÇAVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: O Sistema de 
numeração decimal – parte I. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. 
 
GONÇAVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: O Sistema de 
Numeração Decimal – Parte II. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. 
 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção 
Conceitual das Operações – Parte II. Caderno de Atividades. Anhanguera 
Publicações: Valinhos, 2014. 
 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: Construindo o 
Pensamento Matemático. Caderno de Atividades. Anhanguera Publicações: 
Valinhos, 2014. 
 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção 
do Número Operatório – Parte I. Caderno de Atividades. Anhanguera Publicações: 
Valinhos, 2014. 
 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção 
do Número Operatório – Parte II. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. 
 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção 
do Número Operatório – Parte III. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. 
 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção 
Conceitual das Operações – Parte I. Caderno de Atividades. Anhanguera Educacional: 
Valinhos, 2014. 
 
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Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 52 de 52 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção 
Conceitual dasOperações – Parte III. Caderno de Atividades. Anhanguera 
Publicações: Valinhos, 2014. 
 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Escrita dos 
Cálculos e as Técnicas Operatórias – Parte I. Caderno de Atividades. Anhanguera 
Publicações: Valinhos, 2014. 
 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Escrita dos 
Cálculos e as Técnicas Operatórias – Parte II. Caderno de Atividades. Anhanguera 
Educacional: Valinhos, 2014. 
 
GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Escrita dos 
Cálculos e as Técnicas Operatórias – Parte III. Caderno de Atividades. Anhanguera 
Publicações: Valinhos, 2014.