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Matéria: Didática do Ensino da Matemática Assunto: Temas 1 ao 12 Curso de Pedagogia Licenciatura – 7º Período Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 2 de 52 Como compreender a matemática num contexto educacional em que o professor é alguém que professa e declara regras, obedecendo cegamente a elas. Compreender e não entender é um desafio que os profissionais da educação devem focar junto às crianças. A história da matemática pode exercer um importante papel psicológico no processo de ensino-aprendizagem tanto em relação ao professor quanto em relação ao aluno. Ao estudante pode criar condições de perceber as diversas fases da elaboração do pensamento Matemático, levar o mesmo a entender e interpretar as diferentes práticas sociais que geraram as necessidades de sua produção e trabalhar as diversas linguagens e formas simbólicas que o constituem e o condicionam. Ao professor, permite problematizar a ação pedagógica no sentido de se criar uma consciência das vivências e recursos cognitivos e interpretativos necessários para uma apropriação significativa das ideias matemáticas. Assim, a História da Matemática apresenta um papel psicológico importante no processo de ensino-aprendizagem ao estimular o envolvimento e a participação ativa do estudante, ao apresentar as dificuldades superadas na busca de solução para os problemas historicamente constituídos de acordo com as diferentes necessidades de diversas sociedades e ao liberar os recursos cognitivos e afetivos do aluno para o recriar da Matemática. As diversas teorias educacionais são reflexos que fundamentaram as raízes da escola que vivemos hoje. O Brasil no século passado não tinha interesse em promover a autonomia e a criatividade, o que era determinante era a transmissão do conhecimento, os conceitos fundamentais adaptados e que se enraizou nas escolas foram os conteudistas e quantitativos. Uma das teorias que vieram fazer parte da formação de seus educadores e que formataram a educação escolar que você viveu e que, em parte, nós ainda vivemos, foi a Teoria Comportamentalista, que fundamenta a ideia de que aprender seria uma resposta produzida por estímulos fornecidos pelo ambiente. Dois importantes adeptos desta teoria foram: • Ivan Petrovich Pavlov (1849-1936) – que descobriu os reflexos condicionados. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 3 de 52 • Burrhus Frederuc Skinner (1904-1990) – que concluiu que o aprendizado ocorre em função de mudança do comportamento, reposta individual a estímulos e reforços do meio. Surgiu posteriormente as Teorias Cognitivistas, que procuram compreender e explicar como o indivíduo conhece, como aprende, como atribui significados. Veja alguns importantes nomes desta teoria: • Jerome Bruner (1915 - ?). • David Ausubel (1918 – 2008). • Lev Semionovitch Vigotsky (1896 – 1934). • Jean Piaget (1896 – 1980). Destes os mais importantes destacam-se as ideias de Lev Semionovitch Vigotsky: Para Vigotsky, sua teoria afirma ser determinante para o desenvolvimento e a aquisição de conhecimentos dos indivíduos, a relação deles com outras pessoas, destacando principalmente a função da linguagem nesse contexto. Destaca que é preciso considerar dois níveis de conhecimento: o real e o potencial, sendo: • real o que a criança já sabe, e • o potencial que é o que a criança pode fazer sozinha, porém, com a mediação de outra pessoa. Jean Piaget: Piaget desenvolveu seus estudos com ênfase nos processos de construção do conhecimento das crianças. Para ele, o conhecimento é uma contínua construção que ocorre por meio do contato da criança com os objetos de estudo. Afirma que o conhecimento resulta das interações que se produzem entre o sujeito e o objeto como uma dupla construção para progredir. Behavioristas: do termo inglês behaviour ou do americano behavior, significando conduta, comportamento. Cognitiva: modo de perceber, interpretar, processo de conhecimento. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 4 de 52 Construtivismo: construtivismo é uma das correntes teóricas empenhadas em explicar como a inteligência humana se desenvolve partindo do princípio de que o desenvolvimento da inteligência é determinado pelas ações mútuas entre o indivíduo e o meio. Paradigma: é a representação de um padrão a ser seguido. Subjetividade: é o que se passa no íntimo do indivíduo A partir do nascimento o ser humano já entra em contato com os números, iniciando pela própria idade, quando uma criança pequena sem saber quanto é, demonstra com os dedos os anos que tem. Neste ato ela não está fazendo a conservação do número, pois ainda não associa número a quantidade, pois esse processo não ocorre antes dos cinco anos. A maioria dos educadores das escolas infantis baseia-se basicamente no reconhecimento dos algarismos e escritas dos mesmos, e se esquecem de explorar uma variedade de ideias matemáticas que existe e que remete a classificação e seriação. A criança precisa mexer, experimentar, tocar para conhecer o novo, necessita do concreto para que possa organizar seus conhecimentos, que é adquirido naturalmente pelo contato com outras pessoas, e da interatividade com seu grupo de amigos, uma construção é resultante das ações da criança com o mundo. O contato da criança com materiais concretos a leva a uma percepção, pois ao tocar, manipular e experimentar, ela terá uma reação que irá revelar um novo conhecimento, pois necessitou perceber a singularidade do objeto para agir sobre ele, organizando suas percepções e relações entre formas, peso, tamanho, espessuras. É possível estimular essa criança a brincar na escola não como um conteúdo a ser ensinado, mas como uma habilidade a ser desenvolvida de forma progressiva e constante, adequada ao nível de desenvolvimento. Ao apresentar blocos coloridos com formas geométricas para uma criança do nível operatório, de três a quatro anos, ela já será capaz de compor figuras como uma casa, um robô, uma pipa. Na fase do nível pré-operatório o mais importante será o cenário, após esta fase existirá um avanço, na qual a criança começa a aproximar os Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 5 de 52 elementos por atributos ou características comuns a todos, ela poderá organizar por cor, forma, tamanho. A próxima fase é a da seriação, a qual é explorada a construção da série, como por exemplo: formar filas por tamanho dos alunos – do maior ao menor; ordenar brinquedos na sala de atividades. A criança encontra em seu dia a dia, como em uma loja de roupas, que poderá observar uma forma ordenada de arrumação, uma loja de maquiagem com seus mostruários demonstrando as tonalidades. Embora a estrutura mental de número esteja bem formada em torno dos cinco para os seis anos, possibilitando à maioria das crianças a conservação do número elementar, ela ainda não está suficientemente estruturada antes dos sete anos e meio de idade para permitir que a criança entenda que todos os números consecutivos estão conectados pela operação (+1), por isso que as atividades lúdicas são de extrema importância nessa fase da criança para o seu desenvolvimento. É por meio dos jogos que construirão um pensamento produtivo e raciocínio lógico, bem como terão melhores condições para enfrentarem situações novas e envolver- se com aplicaçõesmatemáticas. Atividade Lúdica: é todo e qualquer movimento que tem como objetivo produzir prazer quando de sua execução, ou seja, divertir o praticante. Intuitiva: dotado de intuição, conhecimento intuitivo. Pressuposto: que se supõe antecipadamente. Teoria Inatista: é uma das teorias usadas por professores de surdos no seu desenvolvimento. Transitividade: característica do que é transitivo, predicação incompleta. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 6 de 52 É importante lembrar que em todo período da evolução humana, sempre encontramos vestígios no homem o sentido do número. Desde os primórdios em relação à contagem de filhos, os pastores contando suas ovelhas, que involuntariamente seu sentido direto, acabava pela contagem dos objetos que haviam sido retirados ou acrescentados. Já despertava ai o sentido do número, sem sua significância primitiva e no seu papel intuitivo não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Se observar o mundo animal, será encontrado e descoberto que muitos pássaros têm o sentido do número, experiências já demonstraram que se em um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas se tirarem dois ovos, este pássaro abandonará o ninho. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três. O princípio da conservação da quantidade numérica, que é também chamado de invariância numérica, é percebido pela criança quando ela é capaz de compreender que uma quantidade permanece idêntica seja qual for o arranjo das unidades que a formam, do espaço que ela ocupar. Várias experiências foram feitas na tratativa desse assunto, criaram alguns estágios de análise, que pode ser observado nas etapas: Ausência de correspondência termo a termo Correspondência termo a termo Iguala coleções, mas ainda conserva quantidades Após estas análises (veja os exemplos figurativos em seu Livro-Texto), se a criança já é conservativa, dirá que há o mesmo tanto nas duas fileiras, reconhecendo que a disposição das peças não modifica sua totalidade. Em ações de quantificar e numerizar, as crianças acabam observando ações do dia a dia e a forma de quantificar, como no exemplo de se colocar certa quantidade de pratos na mesa, na compra de certa quantidade de pães. Os numerais quantificam os Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 7 de 52 elementos, ou indicam sua ordem de sucessão. Utilizados em textos em que ser quer indicar quantidades, posição ou partes de um todo. Podem ser: CARDINAIS ORDINAIS MULTIPLICATIVOS FRACIONÁRIOS Números são símbolos que expressam quantidades, grandezas, posições, medidas ou códigos. A numerização é um termo atribuído à aprendizagem dos números em sua correlação com suas respectivas quantidades, por analogia com a alfabetização. Na sequência numérica a representação que você poderá observar na figura de seu Livro-Texto que se inicia no zero, ou seja, na ausência de quantidade, e segue progressivamente na estrutura “igual mais um”. Analogia: relação, semelhança de uma coisa com outra. Descontinuidade: falta de continuidade. Dualidade: caráter ou propriedade do que é duplo ou do que contêm em si duas naturezas, duas substâncias, dois princípios. Invariância: em matemática, invariante é algo que não se altera ao aplicar-se um conjunto de transformações. Lógica: estudo filosófico do raciocínio válido. Utilizada em atividades mais intelectuais, a lógica é estudada principal mente nas disciplinas de filosofia, matemática, semântica e ciência da computação. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 8 de 52 As atividades corporais, bem como o uso dos materiais devidamente adequados à construção de cada conceito, são importantes para os processos de aprendizagem junto às crianças estimulando suas percepções táteis, visuais e auditivas, gerando uma memória sensorial, segundo a psicologia cognitiva e a psicomotricidade. Memória Sensorial: Corresponde ao armazenamento de informações de todo tipo que chegam até os sentidos. Podem ser estímulos visuais, auditivos, tácteis, olfativos, gustativos e proprioceptivos. Uma vez processadas, as informações são transferidas para memória de curto prazo. O traço de memória sensorial permanecerá no sistema se receber atenção e interpretação. A criança com a prática de jogos e atividades desenvolve o senso de organização de seu pensamento e de suas atitudes. Ao colocar o corpo e os gestos no centro do desenvolvimento infantil, os estudos sobre psicomotricidade estão ajudando a pedagogia a renovar-se e a definir novos princípios para o ensino. Suas primeiras linhas começaram a ser traçadas pelo psicólogo e filósofo francês Henry Wallon (1879-1962) em meados dos anos 1920, quando ele introduziu a ideia de que o movimento do corpo tem caráter pedagógico, tanto pelo gesto em si quanto pelo que a ação representa. Na década de 1950, a psicomotricidade ganhou um campo definido de pesquisa. As maneiras de se expressar verbalmente o que vivenciou estimula a explicar de forma clara as suas experiências, e o que descobriu e a conclusão a que chegou. Essas vivências podem ser expressas em forma de dramatizações, desenhos ou colagens, expressa o que lhe é significante, e estimula a sua criatividade. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 9 de 52 A importância da representação espontânea: Faz parte do processo de aprendizagem e da construção do conhecimento. O ato de brincar é universal e observado não somente em seres humanos, mas em várias espécies. Constitui-se uma atividade fundamental para o desenvolvimento global da criança sendo uma prática comum nos tempos da infância, em que há um intenso investimento afetivo por parte desta. É por meio do brincar que a criança se desenvolve e se constitui como sujeito operante em seu meio. O brincar por si só é um modo de dizer; de falar; singular da criança. Os especialistas da área em questão e dentro da abordagem psicanalítica referem que o brincar proporciona o desenvolvimento considerado saudável à criança, pois, as situações de brincadeira promovem momentos interativos que permitem a criança explorar o mundo, os objetos, às pessoas que a cerca e assim, possibilita estruturar seu psiquismo. Por meio de jogos, de brincadeiras e no encontro com seus pares à criança se apropria de significados, hábitos, habilidades sociais e internaliza regras e valores fundamentais para o convívio em sociedade. Ressalta-se que antigamente, crianças e adultos participavam juntamente das brincadeiras com o objetivo de estreitar os laços afetivos. É importante destacar que educar é estimular as crianças a um mundo de descobertas. Conforme descreve a autora: Sugestões de Atividades: as atividades e jogos favorecem e muito diversos aspectos que se despertam nas crianças como: concretude; visualização; percepção e a compreensão necessária para o desenvolvimento das habilidades numéricas. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 10 de 52 Abstrair:é extrair de um conteúdo o que ele tem de mais interessante. Concretude: concreto, sólido. Diversidade: é tudo que nos diferencia de algo ou de outro. Psicologia Cognitiva: processo de conhecer que inclui estados mentais, e processos como pensar. Percepção visual: no sentido da psicologia e das ciências cognitivas, é uma das várias formas de percepção associa das aos sentidos A matemática é uma linguagem, e o sistema de numeração decimal é a linguagem matemática usado no dia a dia. É uma linguagem: A história mostra que os homens primitivos não tinham necessidade de contar, nesta fase o que necessitavam era retirado da natureza. Tudo iniciou com o desenvolvimento das atividades do homem. O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 11 de 52 A agricultura passou, então, a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário. Outra forma que foi utilizada foi quando o pastor, para controlar o seu rebanho, fazia o seguinte: quando iniciava o dia e ele soltava seu rebanho era colocado uma pedra dentro de um saco de couro a cada animal que saia, e no final da tarde fazia o inverso, a cada animal que retornava era tirada uma pedra. Esse procedimento era uma correspondência de um a um. Se sobrasse alguma pedra dentro do saco de couro, significava a falta de algum animal, ou até mesmo se tinha aparecido algum animal desgarrado de outra propriedade já seria percebido. Daí o significado da palavra cálculo, que em latim é “calculus”, que significa pedrinha. A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas era usado também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação. Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolo. Construindo a Dezena: Uma das maneiras iniciais que a criança se manifesta em contato com a contagem é pelos dedos das mãos. Ao longo da história, os homens escolheram agrupar as quantidades de 10 em 10 exatamente em função da quantidade de dedos nas mãos. A primeira calculadora do mundo está em nosso corpo – as mãos. Usar os dedos é uma ótima estratégia para contar pequenas quantidades, e é assim que a criança tem contato com a construção da dezena. Utilizar “montinhos” é outra maneira prática de se ensinar a construção da dezena. Se a criança já percebeu que seus dedos das mãos formam uma dezena, fica mais fácil esse processo. Veja o exemplo figurativo: Portanto: Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 12 de 52 20 + 2, ou simplesmente 22. Esse exemplo deve ser repetido inúmeras vezes com as crianças, assim aos poucos ela irá percebendo que está construindo o significado do valor posicional, e começa a associar a numeração escrita com a contagem oral que já fazia. Das pedras ao zero – a coluna vazia do ábaco: Antes dos algarismos, inúmeros instrumentos de contar foram criados, entre eles o ábaco. O ábaco tem algumas variações, como varetas onde eram colocados seixos furados. A função básica do ábaco é uma contagem posicional, dependendo do lugar ocupado a pedra representava um valor diferente. Veja um modelo: No ábaco do sistema de numeração decimal, uma pedra vale 1 na coluna das unidades, 10 na coluna das dezenas, 100 na coluna das centenas, e assim por diante. Comparando os exemplos figurativos, para as crianças fica mais fácil identificar a quantidade quando visualizam os “montinhos”, no sistema ábaco, somente por volta dos nove anos, às crianças já são capazes de lidar com aspectos simbólicos com mais clareza. A construção da Centena e a construção da unidade de milhar: Para a construção da centena e do milhar, a criança poderá se desenvolver aplicando as mesmas técnicas iniciais, dos “montinhos”. Para o educador, o jogo entra nessa fase como uma ferramenta importante para esse desenvolvimento. Um ponto interessante que a história mostra foi o surgimento do zero, no ábaco a representatividade, por exemplo, do número 203, seria, colocar duas pedras na coluna da centena e três pedras na coluna da unidade, ficando a coluna da dezena vazia. No entanto, seria incapaz de escrever esse número como é conhecido hoje, pois não existia ainda o zero. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 13 de 52 A coluna vazia do ábaco era chamada pelos indianos de “sunya”, que representa a ideia de vazio. Os indianos imaginaram que poderiam utilizar os nove algarismos da numeração arcaica de seu país e representar essa ideia vazia por um ponto, e posteriormente foi representado por um pequeno círculo como a letra “0”. Por esse motivo que os algarismos conhecidos e utilizados são chamados indo-arábicos. Ábaco: é um antigo instrumento de cálculo. Agrupar: reunir em grupo, formar grupo. Contemporâneo: pessoa que vive ou viveu na mesma época. Seixos: fragmento de mineral ou de rocha. Valores posicionais: é o valor correspondente do algarismo na classe que ocupa. Materiais não estruturados são aqueles que a criança forma os grupos, assim ela visualiza as quantidades contidas neles, associa de forma significativa o registro do número e compreende o valor posicional de cada algarismo, podem ser utilizados os seguintes materiais: Material Dourado: O “Material Dourado” desperta no aluno a concentração, o interesse, além de desenvolver sua inteligência e imaginação criadora, pois a criança está sempre predisposta ao jogo. Além disso, permite o estabelecimento de relações de graduação e de proporções, e finalmente, ajuda a contar e a calcular. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 14 de 52 O material dourado é confeccionado em madeira, é composto por: cubos, placas, barras e cubinhos. O cubo é formado por dez placas, a placa por dez barras e a barra por dez cubinhos. Este material é de grande importância na numeração e facilita a aprendizagem dos algoritmos da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão. O material dourado foi criado pela educadora italiana Maria Montessori e é usado pedagogicamente e estruturado em base 10. Orientações Gerais: • O cubinho menor representa a unidade. • A barra representa a dezena e é formada por dez cubinhos. • A placa representa a centena e é formada por dez barras. • O cubo representa mil unidades e é formado por dez placas. Quando começar a utilizar o material dourado: 1º ano (antigo pré) – por volta dos 6 anos: A criança terá que compreender, concordar e aceitar que dez cubinhos valem o mesmo que uma barra. 1º semestre do 2º ano – construção das ideias de unidades e dezenas. Utilize materiais não estruturados. 2º semestre do 2º ano – apresentar o material dourado como uma possibilidade de representar as unidades e dezenas. “Não ensine; promova descobertas, acredite que as crianças são capazes, confie na curiosidade natural delas” Luiza Faraco Ramos Para a construção da centena inicie por materiais não estruturados e depois o material dourado. O importante é a criança estabelecer relações entreuma centena de palitos amarrados de dez em dez e a placa de material dourado. O mesmo procedimento para a construção da unidade de milhar. O uso de fichas simbólicas ou dinheiro como material para os cálculos: As fichas ou o dinheiro têm caráter simbólico, valem a quantidade indicada. Nestes casos, é considerado que são como uma forma de representação de uma quantidade. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 15 de 52 A unidade deve ser representada por uma cor, a dezena por outra e assim por diante. As cores favorecem melhor visualização e a organização dos valores, elas devem ser as mesmas para todos os alunos. Pode construir as fichas simbólicas com EVA de fina espessura, ou até mesmo com cartolina, simbolicamente faça um tamanho que caiba em uma carteira, para dar sentido à criança de dinheiro. Essas fichas irão representar, respectivamente, a unidade, a dezena, a centena e a unidade de milhar. Elas podem ser utilizadas a partir do 4º ano. Brincando: faça com que as crianças façam a troca como no sistema de numeração decimal, ou seja: • 10 fichas de 1 são trocadas por 1 ficha de 10. • 10 fichas de 10 são trocadas por 1 ficha de 100. • 10 fichas de 100 são trocadas por 1 ficha de 1000. Faça diversas simulações para fixar essa ideia. A escrita de números com muitos dígitos: Para entender a escrita e a leitura de números com muitos dígitos o sistema de numeração decimal foi ganhando nomes e estruturas: Quando os números são escritos em tabelas, a compreensão pelas crianças fica mais fácil. Um modelo de organizar um número para a sua leitura: Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 16 de 52 Leitura do número: trezentos e vinte e quatro milhões, oitocentos e nove mil, quinhentos e sessenta e nove. Na leitura a criança deve observar que após a quantidade vem a classe em que está o número, somente na classe das unidades não há necessidade de acrescentar a palavra unidades. Proporcionalmente: que tem proporção, simétrico. Conceitual: formulação de uma ideia por palavras. Procedimento: modo de proceder, comportamento. Variação: que varia, que muda, que troca. Informal: o que ou aquilo que não é formal. Neste tema, a abordagem inicia-se com o questionamento: Quando as crianças começam a operar matematicamente? Para melhor entendimento tem que conhecer o processo de reversibilidade. Reversibilidade é a capacidade de ir e vir do pensamento, ou seja, partir de uma ação realizada e ser capaz de refazer os passos de volta ao início, desfazendo a ação. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 17 de 52 As crianças entre cinco a seis anos ainda estão construindo o conceito de número e encontram-se no processo de atingir a conservação da quantidade. Sendo assim, no primeiro semestre a ênfase em numeração, deve ser o foco, na identificação das quantidades e na sua relação com a escrita numérica. Quando estiverem com seis anos completos, a partir do segundo semestre, é possível iniciar o trabalho com situações históricas matemáticas – os chamados “Problemas”. Nesta fase, a criança ainda está com dúvidas, iniciando sempre a contagem de determinada situação. Uma criança de cinco anos que não faz ainda a adição, mas conta os elementos de 1 em 1, desde o início. Uma criança irá fazer uma adição quando ela acrescentar na quantidade inicial os elementos inseridos sem que para isso seja necessário contar desde o início. Sempre que uma criança voltar a contar desde o primeiro elemento estará fazendo uma contagem e não uma adição. O mesmo procedimento se faz na subtração, quando uma criança contar os elementos ela não estará fazendo a operação de subtração, mas também uma contagem, só será uma operação de subtração quando ela for capaz de imaginar que, se tinha 9 balas e comeu 3, ficou com 6, sem que precise voltar e contar uma a uma as balas que têm. Você verá agora o processo de transformação reversível. Entende-se por pensamento reverso o tipo de pensamento que está envolvido nos processos em que se parte de uma situação A para chegar à B e, depois, se parte da situação B para voltar à situação A. São exemplos as ações de fazer e desfazer, construir e desconstruir e assim por diante. No caso específico da Matemática, utiliza-se o pensamento reverso nas operações inversas, por exemplo, somar e subtrair, multiplicar e dividir. A ideia de reversibilidade, como sendo a possibilidade de executar determinada ação em sentido contrário ao da ação original. Na construção do conhecimento matemático, desde a fase das operações concretas, as noções de fazer e desfazer caminham juntas: para cada operação matemática, define-se a operação inversa, por meio de uma adequada ampliação do universo no qual se trabalha. A palavra problema remete a dificuldades e obstáculos, está carregada de emoções e impressões negativas, bem como está distante de significar algo simples e fácil. A criança chega à escola repleta desses aspectos sobre a definição da palavra problema. É necessário desenvolver na criança a percepção de detectar o que é um problema e o que é uma situação. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 18 de 52 O importante é que as crianças compreendam que o que as pessoas chamam de problemas matemáticos são situações do dia a dia que envolvem quantidades ou medidas para as quais é necessário encontrar uma solução. É de mais ou de menos? As crianças aprendem e compreendem a ideia de adição quando vivenciam situações, nas quais quantidades são acrescentadas a outras; aprendem a subtrair quando vivenciam situações nas quais retiram quantidades de outras; aprendem a multiplicar quando têm os pacotes com a mesma quantidade de doces e aprendem a dividir quando fazem distribuição de palitos em caixas. As atividades de contagem possibilitam à criança a percepção e a vivência da ação de somar. Quando constrói conceitos numéricos ao realizar contagens, a adição é parte dessa construção, porque, na sequência numérica, um número é resultado da adição de 1 ao que lhe antecede. Percebe, também, que o valor numérico de um grupo aumenta ao ser adicionado. Ao fazer uma contagem regressiva, observa que as quantidades diminuem de 1 em 1. Se, após 6, a criança diz 5, esse número é o mesmo que 6 menos 1. Esses pensamentos carregam a origem conceitual das operações de adição e subtração. No entanto, as crianças têm muito que aprender e compreender sobre estas duas operações. O verbo “aprender” aqui empregado não significa saber usar números, sinais ou, mesmo, o algoritmo para fazer a conta. O “aprender” envolve o “entender” que se refere à compreensão conceitual básica dessas operações. Nas situações do cotidiano, a criança desde muito pequena vai criando meios de resolver problemas com os quais se defronta. A maioria envolve estruturas aditivas ou subtrativas e ela consegue solucioná-las utilizando os recursos de que dispõe. Outras vezes, a resolução de um problema se ocorre por meio do olhar concreto, mas já abrange alguma abstração. Por exemplo: mediante a situação – há 5 balas na caixa e Júlia coloca lá mais 4 balas –, a criança pode usar fichas ou outro material no lugar das balas e encontrar a solução. Nesse caso, ela imagina que as fichas são as balas e isso não faz diferença. Daí, passa a utilizar variados objetos em substituiçãoa outros, o que já é um tipo de representação. A atividade espontânea da criança ao resolver situações-problema e a sua motivação e envolvimento nessa tarefa levam a constatar que esse é o melhor caminho para Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 19 de 52 trabalhar os conceitos de adição e subtração. Não há como separar essas operações de contextos que lhes são próprios, pois a compreensão conceitual está condicionada à compreensão dos contextos (situações-problema) em que estão inseridas. Portanto, uma das maiores preocupações dos professores das classes do Ciclo Inicial de Alfabetização parece ser a de propiciar aos seus alunos situações favoráveis à construção conceitual das quatro operações básicas. Essa construção leva a inverter a postura do professor tradicional, pois, primeiro, deve-se focalizar os significados das operações; depois, o ensino do algoritmo. Mais uma vez, fica reforçada a afirmativa de que a compreensão deve preceder à simbolização. A construção dos conceitos operatórios de adição e subtração passa pela compreensão dos contextos em que aparecem, pois a ação inserida nesses contextos é que determina a operação envolvida. Operação é, portanto, ação; em cada uma das operações essa ação tem vários significados. A adição envolve ações de reunir e de acrescentar. Num contexto em que se reúnem grupos de objetos, animais, pessoas, entre outros, por exemplo, num aquário em que há peixinhos azuis e vermelhos, diz-se que o significado da adição, nessa situação, é de reunir. Assim, a ação é menos dinâmica. O mesmo acontece quando se refere aos alunos de uma classe afirmando que são 16 meninos e 18 meninas, perfazendo um total de 34 crianças. O contexto já está formado, as partes estão reunidas e o total é obtido considerando-se estas partes. A ação de reunir está ligada à ideia de combinar dois grupos para obter um terceiro e é comumente identificada como ação de “juntar”. Quando a situação é dinâmica e requer somar um grupo a outro, diz-se que a ação é de acrescentar. As situações que encerram esse significado estão ligadas à ideia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial. Quando há um grupo e outro se junta a ele, afirma-se que, por exemplo, “há 3 crianças jogando e chegam mais 5 para entrar no jogo”; a ação é mais concreta do que no primeiro caso, por isso as crianças menores entendem melhor o adicionar com significado de acrescentar. Os significados da subtração têm suporte nas ações de tirar, comparar e complementar. A ação de tirar é bem dinâmica e compreende o ato de, a partir de um grupo, tirar outro contido nesse e de verificar o que sobra. O resultado é o resto. As situações envolvendo ação de tirar são mais frequentes na vida da criança e, por isso, ela tem mais facilidade de solucioná-las. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 20 de 52 Conceito de Problema: um problema é uma determinada questão ou um determinado assunto que requer uma solução. Reversível: que pode voltar atrás, que se pode reverter. Desconstruir: desfazer, destruir. Heurísticos: método pedagógico que leva o aluno a aprender por si mesmo a verdade que se lhe quer ensinar. Perímetro: em matemática é a soma de todos os lados de um polígono. No tema anterior, você viu que uma operação matemática é uma transformação que pode ser desfeita. Lembre-se sempre destas palavras e seu significado: Sem ação não acontece uma transformação; e, da mesma forma, sem ação não ocorre operação. Agora, você verá o conceito de ações de somar ou ideias de adição. São vários os conceitos que as crianças começam a assimilar, como as palavras: juntar, tirar, ganhar, perder e comparar, esses verbos relacionados à adição e a subtração envolvem as duas operações básicas para a realização de contas “de mais” ou “de menos”. A autora demonstra neste tema alguns exemplos que devem ficar claros para as crianças, as ações de acrescentar e ações de reunir: OPERAÇÃO = Operar + ação TRANSFORMAÇÃO = Transformar + ação Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 21 de 52 Ações de acrescentar Em uma piscina, havia 13 boias e outras 5 foram jogadas nela. Quantas boias existem na piscina? Mário tinha 12 carrinhos e ganhou 7 de sua tia. Com quantos carrinhos ele ficou? Estes dois exemplos demonstram a ação de acrescentar que a criança deve observar. Ações de reunir Em uma garagem, há 45 carros e 30 motos. Qual o total de veículos? Em uma bandeja estão 12 brigadeiros e 24 cocadas. Ao todo, quantos doces estão na bandeja? Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 22 de 52 Observe que essas duas ações acabam sendo totalmente diferentes e que são resolvidas pela ação de adição: acrescentar e reunir. A adição • Ideia de juntar: Marcos tem 8 bolinhas e João tem 5. Quantas bolinhas os dois têm juntos? • Ideia de acrescentar: Marcos tinha 8 bolinhas e ganhou mais 5 de sua tia. Com quantas bolinhas ficou? Em geral, pensa-se que primeiro a criança deve aprender a contar e escrever os números para que depois aprenda as operações, mas quando se observa a maneira de representar os números vê-se presente a adição. As ideias da adição estão presentes mesmo no nome dos números (12 = doze) – na formação da sequência numérica usada na contagem observa-se a ideia de somar a unidade: 1, 1+1=2; 2+1=3; 3+1=4; ... É possível perceber e compreender que as ações de acrescentar e reunir, mesmo sendo ambas aditivas, constituem ações diferentes e exigem da criança diferentes competências e habilidades. Ações de subtrair ou ideias de subtração A ideia de tirar, separar ou decompor, é aquela que as crianças identificam mais facilmente com a subtração. No entanto, a ideia de tirar não é a única associada à subtração. As ideias de completar e de comparar também estão presentes na subtração. Esses três tipos que devem ser trabalhados correspondem à subtração. • Ideia subtrativa (tirar): Marcelo tinha 8 figurinhas e perdeu 5 no jogo. • Ideia aditiva (completar): Marcelo já leu 20 das 80 páginas do livro. Quantas ainda precisa ler? • Ideia comparativa (comparar): Marcelo tem 12 anos e Pedro tem 9 anos. Quantos anos Marcelo tem a mais que Pedro? Veja alguns exemplos que a autora cita em seu livro: Ações de retirar No parque havia 29 crianças e saíram 17. Quantas crianças ficaram no parque? Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 23 de 52 Observando as ações de retirar, existe um todo do qual retiro uma parte e que a parte que permanece fica menor. Nas situações de retirar, a ação é explícita, o verbo declara a ação; a ação de retirar constitui o inverso da ação de acrescentar. Ações de completar No meu álbum, cabem 50 figurinhas e já colei 35. Quantas figurinhas ainda devo colar para que ele fique completo? Nesta ação de completar, observe que há um todo que inclui as partes consideradas, ou há um todo que pode ser completado, o verbo não é explícito. A ação de completar é o inverso da ação de reunir, ambas lidam com ideias inclusivas. Ação de comparar Nas ações de comparar ou achar a diferença, observe que há dois todos, dois universos a considerar – devem ser feitosos questionamentos: “quantos a mais” ou “quantos a menos”. Exemplos: João tem 6 figurinhas e Maria tem 4. Quantas figurinhas Maria tem a menos que João? A fila A tem 9 alunos e a fila B tem 6 alunos. Qual a diferença de idade entre as filas? Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 24 de 52 Combinação de medidas: junção de conjuntos de quantidades pré-estabelecidas. Comparação: confronto de duas quantidades para achar a diferença. Composição de transformações: alterações sucessivas do estado inicial. Percepção: consiste na aquisição, interpretação, seleção e organização das informações obtidas pelos sentidos. Transformação: alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva ou negativa que interfere no resultado final. O domínio das operações de adição e subtração não é pré-requisito para compreender as propriedades do campo multiplicativo que deve ser trabalhado desde o primeiro ano. Os conceitos ligados à multiplicação, como os de adição, são fundamentais para o desenvolvimento de muitos outros conceitos aritméticos. Caso não domine o conceito da operação, a criança conseguirá, no máximo, memorizar os fatos básicos e realizar de forma mecânica o algoritmo posteriormente. A dificuldade nesta memorização será muito grande e a insegurança ficará clara diante de um problema: quando ela não for capaz de se decidir sobre qual operação realizar. Da mesma forma, os conceitos relacionados com a divisão de números naturais desempenharão um papel decisivo nas aprendizagens de outros tópicos da Matemática, como os conceitos de números fracionários e decimais. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 25 de 52 Atividades que levam à formação de um conceito devem ser baseadas em experiências concretas, nas quais os alunos terão oportunidade de construir e, com o tempo, aperfeiçoar e transferir tais conceitos. A professora ou o professor deve proporcionar à criança múltiplas oportunidades de trabalho com material concreto para que ela chegue à representação de seus fatos básicos, compreendendo o significado da operação. Veja alguns objetivos básicos que se deve alcançar para a compreensão da multiplicação: • Desenvolver o sentido da multiplicação a partir de problemas simples e significativos, com números acessíveis. • Introduzir a escrita da multiplicação com significado a partir da relação entre a multiplicação e a adição. • Resolver problemas de multiplicação antes da aprendizagem formal do algoritmo da multiplicação. A multiplicação funciona como uma forma simplificada de adição quando os números são repetidos. Veja como funciona: Para multiplicar um número por outro, é fácil! É só SOMAR o número escolhido quantas vezes desejar. Veja o exemplo: Duas vezes três, escreve-se em matemática: 2 x 3 O resultado é 6 porque duas vezes três é 3 + 3 = 6 Repete-se o número três duas vezes, somando: 2 x 3 = 6 porque 3 + 3 = 6 Podem-se multiplicar todos os números naturais. Vamos recordar os números naturais: Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 26 de 52 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,...} Assim, cada número natural pode ser repetido por muitas vezes. Ao repetir o mesmo número por duas, três ou mais vezes, multiplica-se o número natural N. A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de parcelas iguais: Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 x 2 (três parcelas iguais a 2) que resulta 6. A multiplicação tem o sentido de crescer, expandir, multiplicar-se. Quando se multiplica um número pelo outro, aumenta-se seu tamanho, a quantidade que ele representa. Na matemática para representar a multiplicação, usa-se dois símbolos: x ou . (7 x 2 ou 7. 2). Multiplicação combinatória A Análise Combinatória é um conteúdo matemático que apresenta grande dificuldade em relação à formulação e, principalmente, interpretação dos seus enunciados. É um ramo da Matemática que permite que se escolha, arrume e conte o número de elementos de determinado conjunto, sem que haja necessidade de enumerá-los. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 27 de 52 Cada um desses problemas é um desafio para os alunos, pois exige flexibilidade de pensamento: é necessário parar, concentrar, discutir e pensar para poder resolvê- los. As operações combinatórias são essenciais para o desenvolvimento cognitivo, por isso seria de extrema importância que o aluno tivesse contato com esse tópico desde os primeiros anos da escola básica, para familiarizar-se com problemas de contagem, descrevendo os casos possíveis e contando-os através de uma representação por ele escolhida, sem regras em princípio, de modo que ele adquirisse um método sistemático e gradativo para a resolução dos problemas, visando uma posterior formalização no ensino médio. Com o princípio fundamental da contagem, pode-se apresentar ferramentas básicas que permitem determinar o número de elementos de conjuntos formados de acordo com certas regras, sem que seja necessário enumerar seus elementos. A primeira técnica matemática aprendida por uma criança é “contar”, ou seja, enumerar elementos de um conjunto de forma a determinar quantos são os seus elementos. As operações aritméticas são aprendidas pelas crianças por meio da aplicação de problemas de contagem, sem que muitas vezes elas percebam isso. Por exemplo, a operação de adição é em geral introduzida conjuntamente com um problema de contagem, como se pode ver na figura: Nesse exemplo, ocorreu somente o somatório das figuras, não importando a sua imagem, a criança estará entendendo que tem no somatório geral, quatro sorrisos e três corações, ou seja, sete figuras. Na multiplicação combinatória, a criança já desenvolve outro raciocínio, veja no exemplo: Em uma lanchonete, são vendidos apenas sanduíches de queijo, presunto e mortadela com pão de forma ou de batata. Uma pessoa que deseja consumir um desses sanduíches, de quantas opções diferentes dispõe? Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 28 de 52 Veja a esquema da solução desse problema de acordo com a figura a seguir: Nota-se claramente que para cada tipo de pão há três tipos de recheio. Assim, por observação, vê-se que o total de casos possíveis será dado pela multiplicação entre o total de escolhas para o tipo de pão e o total de escolhas para o recheio utilizado. Portanto, existem 6 possibilidades de sanduíche. Configuração retangular ou multiplicação em linhas e colunas Nessa fase, devem-se alcançar os seguintes objetivos: • Reconhecer situações de multiplicação a partir da adição de parcelas iguais. • Trabalhar a multiplicação antes da aprendizagem formal do algoritmo. • Trabalhar o sentido aditivo proporcional da multiplicação e a utilização de tabelas. • Reconhecer situações de multiplicação partindo de disposição retangular de objetos. • Utilizar diferentes estratégias de contagem usando a multiplicação. Veja exemplo: Nesse exemplo, há 5 fileiras e em cada uma, 3 carteiras. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática– Temas 1 ao 12 ............................... Página 29 de 52 Ou seja: 5 fileiras x 3 carteiras = 15 lugares ou 3 carteiras x 5 fileiras = 15 lugares Ações de dividir A divisão é a operação aritmética que permite identificar quantas vezes um número, chamado divisor, está contido em outro número chamado dividendo. Por exemplo, pela divisão de 12 por 4, identifica-se que o 4 está contido 3 vezes no número 12, ou seja, 12 é igual a 4+ 4 + 4. Utiliza-se os símbolos ÷ ou : como o operador da operação de divisão. Assim sendo, pode-se expressar a divisão de 12 por 4 como 12 ÷ 4 ou como 12 : 4. A divisão de 12 por 4 dá exatamente 3, pois não sobra nada, o resto da divisão é zero, por isto a divisão é exata. A divisão de 13 por 4 também dá 3, mas desta vez a divisão não é exata, pois há um resto de 1, ou seja, 13 é igual a 4 + 4 + 4 + 1. A Divisão é realizada separando-se blocos de algarismos no dividendo, da esquerda para direita, até formar um número que seja igual ou maior que o divisor. Nesse ponto, divide-se este dividendo parcial pelo divisor e o resultado, que irá possuir apenas um dígito, será colocado no quociente da divisão, abaixo da chave. Multiplica-se então este algarismo do quociente pelo divisor e se subtrai este produto do dividendo parcial, colocando o resto abaixo do mesmo. Baixam-se um a um os próximos algarismos do dividendo que ainda não foram utilizados, até que juntos com o resto do passo anterior formem um número que seja maior ou igual ao divisor. Cada vez que se baixa um número e não se consegue obter um dividendo parcial maior ou igual ao divisor, deve-se colocar um zero à direita do quociente. Divide-se este dividendo parcial pelo divisor e o dígito resultante será novamente colocado no quociente da divisão, à direita do dígito colocado anteriormente. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 30 de 52 Novamente, multiplica-se este algarismo do quociente pelo divisor e subtraímos este produto do dividendo parcial, colocando o resto abaixo do próprio dividendo parcial. A partir daí, continua-se com este procedimento até que se tenha realizado a divisão tendo baixado todos os dígitos do dividendo. Divisão Revendo o conceito de divisão – repartir igualmente. Ideias que traduzem a divisão: • Ideia de distribuir. Exemplo: Quero repartir minhas 32 figurinhas repetidas com meus dois irmãos. Quantas figurinhas cada um receberá? • Ideia de formar grupos. Exemplo: Tenho 18 figurinhas para colar em meu álbum. Se em cada página posso colar 4 figurinhas, quantas páginas irei completar? O trabalho com materiais concretos: A divisão com as barrinhas Cuisenaire: Dividir 8 em 4 partes: A divisão com o material dourado: 334 : 2 = 167 Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 31 de 52 Algoritmo da divisão Não se deve iniciar o trabalho ensinando uma técnica que a criança não terá condições de compreender, o caminho será o de fazer divisões por estimativas, pelo processo longo para finalmente chegar ao processo breve. Divisão por estimativa: iniciar esse processo através de material concreto. Nesse processo, distribui-se igualmente de forma aleatória, sem um critério previamente estabelecido. Exemplo: distribuir 450 moedas de R$1,00 para 18 pessoas. Pode-se começar dando 10 moedas para cada um, portanto se utiliza 180 moedas. Fica-se ainda com 270 moedas. Distribui-se novamente 10 moedas para cada criança, então se utiliza mais 180 moedas. Como ainda havia 270, restando agora com 90. Novamente, distribui-se, desta vez, 2 moedas para cada um, após a distribuição restará 54. Desta vez, oferecem-se três para cada um e termina-se com as moedas que tinha. Portanto, cada um recebe: 10 + 10 + 2 + 3 = 25. Processo longo: a subtração para se encontrar o que resta é realizada no papel. Processo breve: a subtração é realizada mentalmente. As tabelas de multiplicação: Tabuadas A tabuada é uma forma de facilitar a memorização dos resultados das multiplicações de unidades. O fato de sabê-la de cor facilita na hora de resolver uma conta de multiplicar e em diversas situações do cotidiano, porém, o importante não é decorá- la, mas para entender como ela funciona. Um grande estudioso chamado Pitágoras, para facilitar aos seus alunos o entendimento da multiplicação, criou uma forma diferente de mostrar o assunto: Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 32 de 52 A tabela ajuda a entender como funciona a multiplicação. Se quer saber o resultado da multiplicação de sete vezes o número dois, faz-se assim: 1. Escolhe-se o número sete na tabela, na vertical e riscamos uma linha. 2. Escolhe-se o número dois na tabela, na horizontal e riscamos outra linha. 3. Onde as duas linhas se encontram, é o resultado da multiplicação do número sete pelo número dois. Algoritmo: um algoritmo nada mais é do que uma receita que mostra passo a passo os procedimentos necessários para a resolução de uma tarefa. Concepção: ação pela qual um ser é concebido, gerado. Cuisenaire: o material Cuisenaire é constituído por uma série de barras de madeira, sem divisão em unidades e com tamanhos variando de uma até dez unidades. Cada tamanho corresponde a uma cor específica. Cumulativa: amontoar, juntar, reunir. Decompor: separar os elementos ou partes constitutivas de. A escrita dos cálculos Os aspectos fundamentais para a realização e o registro dos cálculos são o conhecimento da estrutura lógica do Sistema de Numeração Decimal e o significado das operações. A estrutura do Sistema de Numeração Decimal Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 33 de 52 O contato com números (telefone, preços, entre outros) não garante a compreensão do conceito de número que dirá do SND. Os princípios básicos do Sistema de Numeração Decimal: A base decimal; a notação posicional e um signo para cada um dos dez primeiros números. Desde cedo, a criança utiliza os dedos da mão para contar, assim contam de dez em dez. Na escola, deve ser estimulada a criar estratégias pessoais para decodificar o sistema. O Estímulo a Criação de Estratégias Pessoais As estratégias pessoais possibilitam a vivência de conflitos que permitem aos alunos ajustar e revisar suas concepções. Exemplo: pedir a cada criança que pensem em um número muito alto e escrevam-no e depois que comparem os números escritos. Testando o conhecimento dos alunos Supondo que os números escritos sejam: 100; 98; 10005; 10050; 987; 789. Comparando o 98 e 100, peça para que a criança diga qual é o maior. Se ela responder que é 100, pois quanto maior a quantidade de algarismos de um número, maior é o número, contra-argumentar: • Mas se eu comparar 100 e 98, o 98 é maior, porque 9 + 8 é mais que 1 + 0 + 0 – discutir o porquê. • A partir do conflito estabelecido, conduzir a discussão para um consenso. A posição dos algarismos como critério de comparação E se os números tiverem a mesma quantidade de algarismos como o 789 e o 987? Quem é o maior? Se a criança responder que o primeiro é quem manda, contra- argumentar: • Mas não são iguais? Eles têm os mesmos algarismos. A partir da discussão entre as crianças, conduzir a discussão para a aceitação das regras já estabelecidas. E dos números 10005 e 10050, qual é o maior? Se disserem que é o 10005 porque 1000 é maiorque 100, pedir para que escrevam apenas os dois últimos algarismos de cada número – 05 e 50. Como já foi discutido que o primeiro é quem manda, pode- se auxiliar a criança a concluir que 10005 é menor que 10050. Ditado de números Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 34 de 52 Sugestão (Fonte: Nova escola – Edição especial – Matemática): ditar o número 134 para as crianças. Possíveis formas de escrita, além da correta: 100304; 10034. A intervenção do professor deve ser no sentido de que percebam que essas notações possuem mais algarismos que o 100 e o 200, o que mostra o erro. Números especiais As crianças manipulam, primeiro, as dezenas, as centenas, as unidades de mil e, depois, a escrita dos números que se posicionam nos intervalos entre eles. Pedir que a criança escreva 100 e 200 – possibilidades de escrita: 100 e 102. Como buscar a diferenciação em 102 e 200? Elaborar situações que mostrem que a variação do 100 para o 200 ocorre na escrita do primeiro algarismo. Outros meios para a compreensão do SND Ainda devem ser oferecidas situações-problema com: • Materiais não estruturados: as gavetas, os palitos, as tampinhas entre outros. • Material Dourado: representando a unidade (cubinhos), dezenas (barrinhas), placas (centenas), Unidade milhar (cubão). • Fichas simbólicas (dinheiro) em atividades de compra e venda (mercadinho) • O ábaco: da direita para a esquerda as hastes representam a unidade, a dezena, a centena, a unidade de milhar e assim por diante. O cálculo mental e as técnicas para o cálculo mental Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 35 de 52 Não confundir cálculo mental com “continhas de cabeça”. O cálculo mental refere- se à possibilidade de encontrar a solução de uma operação independentemente de seu registro e utilizando-se técnicas de decomposição. Exemplo 1: na prateleira de uma loja havia 57 pirulitos. Coloquei outros 22. Descubra quantos são os pirulitos agora. • 57 + 22 = 50 +20 + 7 + 2 = 79 Exemplo 2: com o total de R$65,00, pretende-se comprar algo que custa R$12,00. Quanto restará após a compra? • 60 – 10 = 50 • 5 – 2 = 3 • 65,00 – 12,00 = 53,00 Exemplo 3: em uma vitrine, uma roupa está marcada com o seguinte preço: 4 x R$24,00. • 4 x 20 + 4 x 4 = 80 + 16 = 96 (Para esse cálculo foi utilizada a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição). Técnicas operatórias da adição Em uma lanchonete, havia 13 canudinhos. Coloquei outros 25. Quantos canudinhos há agora? • 13 + 25 =10+20+3+5. • 30 + 8 = 38. Fazendo trocas Duas crianças vão reunir suas figurinhas: João tem 36 figurinhas e Pedro, 28. Descubra quantas figurinhas eles têm juntos. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 36 de 52 • 36+28 = 30+20+6+8 = • 50 + 10 + 4 = 64 Decompor: separar os elementos ou partes constitutivas. Diversidade: é tudo o que se diferencia de algo ou de outro. Expandida: crescer, estender, incrementar. Reescrita: a reescrita é uma atividade de produção de texto. Valor relativo: o valor relativo de um número é o valor desse número consoante a casa decimal em que se encontra. Exemplo 1: Numa tarde de sol, estão na aula de natação 28 alunos, mas 12 precisaram sair. Quantos permanecem na piscina? • 28 – 12 = 20 - 10 e 8 - 2 Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 37 de 52 • 28 – 12 = 16 Exemplo 2: Crie um enredo para: 32 – 16 = Organize formas para mostrar como explicar de forma concreta essa situação. Represente essa situação com o material dourado. Seguindo o mesmo raciocínio resolva, utilizando todas as formas que você conhece: • Em um grande aquário havia 453 peixes. No final de semana, foram doados 182 peixes. Quantos peixes estão agora no aquário? • Uma pessoa utiliza um cartão de crédito que acumula pontos para serem trocados por brindes. Ela tem 2000 pontos e escolheu um brinde de 350 pontos. Com quantos pontos vai ficar? Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 38 de 52 A subtração envolve três ideias básicas: Subtrativa: ideia de retirar Havia 5 figurinhas num álbum e 2 foram perdidas. Com quantas figurinhas existem agora? 5 – 2 = 3 Comparativa: ideia de comparar. Um menino tem 5 figurinhas e seu irmão tem 2. Quantas figurinhas o menino tem a mais que seu irmão? 5 – 2 = 3 Aditiva: ideia de completar. Na página de meu álbum cabem 5 figurinhas. Já tenho 2. Quantas figurinhas faltam? 5 – 2 = 3. Nas três situações a operação é a mesma, porém as ideias são diferentes. Exemplo: Ana tinha 34 figurinhas. Deu 28 figurinhas para sua irmã. Com quantas figurinhas Ana ficou? Subtração com recurso à ordem superior (“pegar emprestado”) 1ª situação: 2ª situação: Observe que o aluno é capaz de resolver a mesma operação sem emprestar 10 unidades: Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 39 de 52 Subtração usando o processo da compensação É comum os professores explicarem a subtração da seguinte forma: A ideia de tirar (separar ou decompor) é aquela que as crianças identificam mais facilmente com a subtração. No entanto, a ideia de tirar não é a única associada à subtração. As ideias de completar e de comparar precisam ser trabalhadas, pois ao que parece, não é tão imediato para a criança perceber que a subtração resolve problemas desse tipo. Esses três tipos que devem ser trabalhados, correspondem a: 1º tipo: Quanto fica? 2º tipo: Quanto há a mais quê? Ou, quanto há a menos quê? 3º tipo: Quanto é preciso para? Veja os exemplos de cada uma destas três situações-problema: Problema que envolve o ato de retirar Quando Oswaldo abriu a papelaria pela manhã havia 56 cadernos na prateleira. Durante o dia vendeu 13. Ao fechar a loja, quantos cadernos havia na prateleira? Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 40 de 52 Ao resolver este problema pensa-se assim: dos 56 cadernos tira-se 13. Para saber quantos ficaram, faz-se uma subtração: 56 – 13 = 43. Havia 43 cadernos na prateleira. Problema que envolve comparação João pesa 36 quilos e Luís, 70 quilos. Quantos quilos Luís tem a mais que João? Essa pergunta envolve uma comparação: ao constatar que Luís é mais pesado que João, deseja-se saber quantos quilos a mais ele tem. Responda a pergunta efetuando uma subtração: 70 – 36 = 34. Luís tem 34 quilos a mais que João. Problema que envolve a ideia de completar O álbum completo terá 60 figurinhas. Já possuo 43. Quantas faltam? Para descobrir quantas figurinhas faltam para completar o álbum logo se pensa numa subtração: 60 – 43 = 17. Faltam 17 figurinhas Concluindo De acordo com Ramos (2009, p. 125), é importante afirmar: Na adição, não vai um para lugar nenhum. O que se faz são agrupamentos ou trocas, dependendo do material que se utiliza. Na subtração nenhum número empresta nada para nenhum outro, masse desmancha grupos quando se precisa ou se faz trocas dentro da mesma estrutura lógica de SND, que agrupa e reagrupa as quantidades de 10 em 10. Técnicas operatórias da multiplicação Relembrando os aspectos conceituais da multiplicação: - Abordar primeiramente a multiplicação como uma nova operação que pode ser aplicada quando as parcelas são iguais; contextualizar as situações-problema para que a criança tenha a possibilidade de vivenciar a operação realizada. Exemplo: Tenho quatro caixas de lápis de cor com 3 lápis cada uma. Quantos lápis eu possuo? - Ao trabalhar com a multiplicação também explorar as ideias de proporcionalidade, de configuração retangular e situações relacionadas à combinatória. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 41 de 52 Exemplos: Ideias de proporcionalidade: Em cada pacote de figurinhas há 5 figurinhas, se eu comprar 3 pacotes quantas figurinhas terei? Configuração retangular: em uma bandeja, os doces foram colocados em 5 fileiras, cada uma com 7 docinhos. Quantos doces há na bandeja? Combinatória: tenho 4 saias (branca, preta, vermelha e azul) e 3 blusas (branca, verde e amarela). De quantas maneiras posso me vestir? Compreender, portanto, o conceito da multiplicação é ser capaz de aplicar a ideia para situações variadas e em diversos contextos. Esse trabalho deve ocorrer no 3º ano (EF de nove anos) quando a criança apenas multiplica unidades. Após, quando as crianças estiverem no 4º ano, deve-se iniciar o trabalho para a compreensão das técnicas operatórias. Técnicas operatórias - Várias vezes dez (cem e mil) – O objetivo é que as crianças percebam sozinhas que multiplicação por dez resulta no próprio número acrescido de um zero. Identicamente fazer várias vezes 100 e várias vezes mil. - Decomposição em fatores menores. Exemplo: 7 x 90 = 7 x 9 x 10 = 63 x 10 = 630 - Multiplicação expandida. Exemplo: 23 x 5 = 20 x 5 + 3 x 5 = 100 + 15 = 115 A técnica de multiplicação expandida permite que a criança não repita um processo de cálculo sem que haja a compreensão do mesmo. - O trabalho com dobro, triplo. Exemplo: Utilizar o material dourado para fazer o dobro de 123. - A multiplicação por dezenas - por meio de um registro longo. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 42 de 52 É importante que a criança possa compreender o processo da multiplicação, o que é possível se ela for capaz de fazer a decomposição dos termos para realizar essa operação. Exemplo: 12 x 123 = O processo breve, que é o algoritmo que se utiliza deve ser a meta após a compreensão. Outras demonstrações A multiplicação envolve 4 ideias básicas: Adição de parcelas iguais: 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ⇒ 4 x 3 = 12 Esta é a primeira ideia a ser explorada, pois por meio dela, a tabuada vai sendo construída. Raciocínio combinatório: Quantos trajes posso formar tendo 2 calças e 3 blusas diferentes? Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 43 de 52 Proporção: Uma blusa custa R$ 23,00. Qual o preço de 6 blusas iguais a essa? Exemplos: Maria comprou 25 caixas de bombons a R$ 12,00 cada uma. Quanto Maria gastou? Flexibilidade: qualidade do que é flexível. Proporcional: que tem proporção; que está em proporção; simétrico; regular. Matemática Relativo a uma proporção. Gradativo: em que há gradação; gradual. Coletivo: que compreende, abrange muitas pessoas ou muitas coisas, ou lhes diz respeito; que pertence a um conjunto de pessoas ou de coisas: corpo coletivo, opinião coletiva. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 44 de 52 Técnicas operatórias da divisão Revendo o conceito de divisão – repartir igualmente. Ideias que traduzem a divisão: - Ideia de distribuir. Exemplo: Quero repartir minhas 32 figurinhas repetidas com meus dois irmãos. Quantas figurinhas cada um receberá? - Ideia de formar grupos. Exemplo: Tenho 18 figurinhas para colar em meu álbum. Se em cada página posso colar 4 figurinhas, quantas páginas irei completar? - O trabalho com materiais concretos: A divisão com as barrinhas Cuisenaire: Dividir 8 em 4 partes: A divisão com o material dourado – 334 : 2 = 167 Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 45 de 52 Algoritmo da divisão Não se deve iniciar o trabalho ensinando uma técnica que a criança não terá condições de compreender, o caminho será o de fazer divisões por estimativas, pelo processo longo para finalmente chegar ao processo breve. - Divisão por estimativa: Iniciar esse processo por meio de material concreto. Nesse processo distribui-se igualmente de forma aleatória, sem um critério previamente estabelecido. Exemplo: distribuir 450 moedas de R$1,00 para 18 pessoas. Distribui-se 10 moedas para cada pessoa, utilizando180 moedas, restando, portanto, 270 moedas. É distribuído novamente 10 moedas para cada pessoa, então, utiliza-se mais 180 moedas. Como ainda havia 270, resta agora 90. Novamente é distribuído, mas desta vez 2 moedas para cada um, restando 54 moedas. Desta vez, é dado três para cada um e termino com as moedas que tinha. Portanto, cada um recebeu: 10 + 10 + 2 + 3 = 25. Processo longo: a subtração para se encontrar o que resta é realizada no papel. Processo breve: a subtração é realizada mentalmente. Atividade: Dividir 3456 por 54 por meio de estimativa, processo longo e processo breve. Outros exemplos: A divisão está ligada a duas ideias básicas: repartir e medir Repartir: Há 50 metros de corda para dividir em 5 pedaços iguais. Qual será a medida de cada pedaço? 50 m : 5 pedaços = 10 m. Medir: Há 50 metros de corda e para dividi-la em pedaços de 5 metros cada um. Quantos pedaços de corda serão obtidos? 50 m : 5 m = 10 pedaços. Algoritmo escolar É preciso dividir 1 025 reais entre 5 pessoas. Quantos reais cada pessoa irá receber? Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 46 de 52 Por que 1 não dá para dividir por 5? É necessário imaginar um bloco que represente 1 unidade de milhar de cadernos. Quantos blocos iguais a esse, cada pessoa receberá? Nenhum, pois há somente um único bloco, resultando em zero unidade de milhar no quociente. • Transforma-se, então, 1 unidade de milhar em 10 centenas de cadernos e dividi- se essa quantidade por 5 pessoas, obtendo 2 centenas de cadernos para cada pessoa. • Há agora 2 blocos menores que representam 2 dezenas de cadernos. Quantos blocos iguais a esse, cada pessoa receberá? Nenhum, pois há 2 blocos para dividir entre 5. Então, terá zero dezena de caderno no quociente. • Transforma-se, então, as 2 dezenas em unidades, juntando com 5 unidades e dividindo as 25 unidades de caderno por 5 pessoas, obtendo 5 unidades de caderno para cada pessoa. Estimativa Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 47 de 52 • Quantos reais podem ser dado a cada pessoa? Estimativa: 100 reais 5 x100 reais = 500 reais → quantidade total de reais dada às pessoas 1025 – 500 = 525 reais → quantidade de reais que sobrou • Quantos reais pode ser dado a cada pessoa? Estimativa: 100 reais 5 x 100 reais = 500 reais → quantidade total de reais dada às pessoas 525 – 500 = 25 reais → quantidade de reais que sobrou • Quantos reais pode ser dado a cada pessoa? Estimativa: 5 reais 5 x 5 reais = 25 reais → quantidade total de reais dada às pessoas 25 – 25 = 0 real → quantidade de reais que sobrou Cada pessoa ganhou 205 reais. Jogos que estimulam a agilidade em cálculos: Jogar é brincar. Vale a pena mostrar como os jogos são importantes no processo de ensino-aprendizagem, faz-se necessário uma breve reflexão sobre o que são os jogos e como eles afetam o desenvolvimento das crianças. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 48 de 52 Segundo Bittencour & Giraffa (2003), o jogo se define como um processo intrinsecamente competitivo, em que coexistem as possibilidades de vitória e derrota. Esse sentido de competição deve ser explorado positivamente. Conforme os autores afirmam, “os jogos educacionais são exemplos de ambientes de resolução de problemas que podem ser projetados e explorados com uma abordagem construtivista.” Os mesmos autores ainda acrescentam que as regras do jogo não precisam ser expressas ao usuário em um primeiro momento, podendo ser oferecidas à medida que o jogador vai avançando na sequência do jogo, ou até mesmo como prêmio para as tarefas concluídas, ao invés de se utilizar o sistema de simples ganho de pontuação. Exemplos de Jogos: Nunca 10: Objetivos: - Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal explorando situações- problema que envolva contagem. - Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos, no Sistema de Numeração Decimal. Material: Ábaco de pinos – 1 por aluno. 2 dados por grupo. Metodologia: Os alunos divididos em grupos deverão, cada um na sua vez, pegar os dois dados e jogá-los, conferindo o valor obtido. Este valor deverá ser representado no ábaco. Para representá-lo, deverão ser colocadas argolas correspondentes ao valor obtido no primeiro pino da direita para a esquerda (que representa as unidades). Após todos os alunos terem jogado os dados uma vez, deverão jogar os dados novamente, cada um na sua vez. Quando forem acumuladas 10 argolas (pontos) no pino da unidade, o jogador deve retirar as 10 argolas e trocá-las por 1 argola que será colocada no pino seguinte, representando 10 unidades ou 1 dezena. Nas rodadas seguintes, os jogadores continuam marcando os pontos, colocando argolas no primeiro pino da esquerda para a direita (casa das unidades), até que sejam acumuladas 10 argolas que devem Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 49 de 52 ser trocadas por uma argola que será colocada no pino imediatamente posterior, o pino das dezenas. Vencerá quem colocar a primeira peça no terceiro pino, que representa as centenas. Com essa atividade inicial, é possível chamar a atenção dos alunos para o fato do agrupamento dos valores, e que a mesma peça tem valor diferente de acordo com o pino que estiver ocupando. Possivelmente seja necessário realizar essa atividade mais de uma vez. É importante que os alunos possam registrá-la em seus cadernos, observando as estratégias e os pontos obtidos por cada um dos jogadores. TANGRAN O tangram é um quebra-cabeça chinês, de origem milenar. Ao contrário de outros quebra-cabeças ele é formado por apenas sete peças com as quais é possível criar e montar cerca de 1700 figuras entre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números, figuras geométricas e outros. As regras desse jogo consistem em usar as sete peças em qualquer montagem colocando-as lado a lado sem sobreposição. Com o uso do tangram você pode trabalhar a identificação, comparação, descrição, classificação e desenho de formas geométricas planas, visualização e representação de figuras planas, exploração de transformações geométricas pela decomposição e composição de figuras, compreensão das propriedades das figuras geométricas planas, representação e resolução de problemas usando modelos geométricos. Esse trabalho permite o desenvolvimento de algumas habilidades tais como a visualização, percepção espacial, análise, desenho, escrita e construção. Se utilizado em terceiras e quartas séries pode envolver ainda noções de área e frações. Esse quebra-cabeça tem sido utilizado como material didático nas aulas de Artes e está cada vez mais presente nas de Matemática. O trabalho com o tangram deve, em suas atividades iniciais, visar a exploração das peças e a identificação das suas formas. Logo depois, se passa à sobreposição e construção de figuras dadas a partir de uma silhueta, nesse caso, cabe ao aluno reconhecer e interpretar o que se pede, analisar as possibilidades e tentar a construção. Durante todo esse processo, a Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 50 de 52 criança precisa analisar as propriedades das peças do tangram e da figura que se quer construir, se detendo ora no todo de cada figura, ora nas partes. Descritiva: que descreve; que serve para descrever; relativo a descrições. Estimativa: cálculo aproximado, avaliação; conjectura. Lúdico: que faz referência a jogo ou brinquedos: brincadeiras lúdicas. Planificado: que obedece a uma planificação; planejado. Polinômios: matemática; soma algébrica de monômios. Se interessou pelo tema? Então veja estes meus outros materiais: Didática do Ensino da Matemática - 20 Exercícios dos temas 1 a 4 Didática do Ensino da Matemática - Questões de prova Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 51 de 52 GONÇAVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: O Sistema de numeração decimal – parte I. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. GONÇAVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: O Sistema de Numeração Decimal – Parte II. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção Conceitual das Operações – Parte II. Caderno de Atividades. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: Construindo o Pensamento Matemático. Caderno de Atividades. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção do Número Operatório – Parte I. Caderno de Atividades. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção do Número Operatório – Parte II. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção do Número Operatório – Parte III. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014. GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção Conceitual das Operações – Parte I. Caderno de Atividades. Anhanguera Educacional: Valinhos, 2014. Gostou? Então CLICA NO CURTIR e me ajude a continuar produzindo novos materiais Anhanguera – Pedagogia – Didática do Ensino da Matemática – Temas 1 ao 12 ............................... Página 52 de 52 GONÇALVES, Milton R. Fundamentos e Metodologia de Matemática: A Construção Conceitual das
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